Các bài toán và bài tập chuyên đề đạo hàm

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM CHƯƠNG ĐẠO HÀM BÀI ĐỊNH NGHĨA – QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM _2 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP _2 _ DẠNG TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA _2 _ DẠNG CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM _3 _ DẠNG BÀI TỐN CHỨNG MINH, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH _16 _ DẠNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 20 _ DẠNG CHÚNG MINH ĐẲNG THỨC, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ĐẠO HÀM _26 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN _27 D LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 32 BÀI PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN _41 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT _41 B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 41 _ DẠNG VIẾT PTTT KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM (TẠI ĐIỂM M ) HOẶC BIẾT HOÀNH ĐỘ, TUNG ĐỘ _41 _ DẠNG VIẾT PTTT KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC HOẶC SONG SONG, VNG GĨC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 48 _DẠNG BÀI TỐN VỀ XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GĨC NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA TIẾP TUYẾN 54 _ DẠNG VIẾT PTTT KHI BIẾT ĐIỂM MÀ TIẾP TUYẾN ĐI QUA _57 _ DẠNG TÌM THAM SỐ m ĐỂ TỪ ĐIỂM TA KẺ ĐƯỢC ĐÚNG MỘT TIẾP TUYẾN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 62 TỔNG HỢP KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ TIẾP TUYẾN 64 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN _65 D LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 71 BÀI ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ VI PHÂN 92 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT _92 B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 92 _ DẠNG TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA MỘT HÀM SỐ _92 _ DẠNG TÌM VI PHÂN CỦA MỘT HÀM SỐ _94 Page BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG V _96 Tài liệu biên soạn sưu tầm! Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM BÀI ĐỊNH NGHĨA – QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f ( x ) định khoảng ( a; b ) x0  ( a; b ) Giới hạn hữu hạn có tỉ số f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 x → x0 gọi đạo hàm hàm số cho x0 , kí hiệu f ' ( x0 ) hay y ' ( x0 ) Như vậy, ta có: f ' ( x0 ) = lim f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 x → x0 Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Định lí Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 liên tục điểm Ý nghĩa đạo hàm a) Ý nghĩa hình học: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) có dạng: y = k ( x − x0 ) + f ( x0 ) với k = f ' ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến b) Ý nghĩa vật lý: – Vận tóc tức thời: v ( t ) = s ' ( t ) – Gia tốc tức thời: a ( t ) = v ' ( t ) – Cường độ dòng điện tức thời: I ( t ) = Q ' ( t ) Đạo hàm khoảng: Hàm số y = f ( x ) gọi có đạo hàm khoảng ( a; b ) có đạo hàm điểm x khoảng B DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP _ DẠNG TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG PHÁP: f ( x ) − f ( x0 )  Cần nhớ công thức: f ' ( x ) = lim x → x0 x − x0  Phương pháp tính giới hạn hàm số _VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = x + x + Tính f ' ( ) ? ( x − 2)( x + 5) = lim x + = x + x + − 11 = lim ( ) x →2 x →2 x →2 x →2 x−2 x−2 x−2 Ví dụ Cho hàm số y = x3 − x + Tính y ' ( ) ? Ta có f ' ( ) = lim Ta có y ' ( ) = lim x →1 = lim x →1 f ( x ) − f ( 2) Lời giải y ( x ) − y (1) x −1 ( x − 1) ( x + x − 1) x −1 = lim Lời giải = lim x →1 ( x − 2x +1 − x −1 ) = lim x + x − = x →1 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = x + Tính f ' (1) ? Tài liệu biên soạn sưu tầm! Page Lời giải Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM f ( x ) − f (1) Ta có f ' (1) = lim x −1 x →1 = lim x →1 ( x − 1) ( 2x − 2x +1 + Ví dụ Cho hàm số y = 2x +1 − x −1 = lim x →1 = 2x +1 + = lim ) x →1 2x −1 Tính y ' ( 3) ? x+3 Lời giải 2x −1 − y ( x ) − y ( 3) x − 21 7 x + = lim = lim = lim = Ta có y ' ( 3) = lim x →3 x →3 x →3 ( x + 3)( x − 3) x →3 ( x + 3) x −3 x−3 36 _BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: Cho f ( x ) = x3 + x − Tính f ' ( −2 ) ? Cho y = − x Tính y ' ( −3) ? _LỜI GIẢI x+2 x →−2 ( x + 2) ( x x →−2 − 2x + x+2 ) = lim x →−2 = lim x + x − − ( −12 ) x+2 x →−2 (x y ( x ) − y (1) ĐS: f ' ( ) = −3 f ( x ) − f ( −2 ) Ta có f ' ( −2 ) = lim = lim ĐS: y ' ( −3) = − 2x +1 Tính f ' ( ) ? x −1 Cho f ( x ) = ĐS: f ' ( −2 ) = 13 ) − x + = 13 − 2x − x →−3 x →−3 x+3 x+3 −6 − x −2 = lim = lim =− x →−3 ( x + 3) − x + x→−3 − x + 3 Ta có y ' ( −3) = lim ( = lim ) Ta có f ' ( ) = lim x →2 f ( x ) − f ( 3) x−2 2x +1 −5 −3x + −3 = lim x − = lim = lim = −3 x →2 x →2 ( x − 1)( x − ) x →2 ( x − 1) x−2 _ DẠNG CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM  Quy tắc tính đạo hàm  ( u + v − w ) ' = u '+ v '− w '  ( u.v ) ' = u ' v + v ' u  u  u ' v − v ' u   = v2 v  ( k u ) ' = k u ' (k  )  Bảng đạo hàm   ( x n ) = n.x n −1 (n  * ) Tài liệu biên soạn sưu tầm!  ( u n ) n.u n −1.u ' (n  * ) Fb: ThayTrongDGL  ( C ) ' = (C  ) Hàm hợp Page Hàm sơ cấp ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM  ( x ) = x ( x  0)       = − ( x  0) x  x o Công thức nhanh  ax + b  ad − bc   =  cx + d  ( cx + d ) ( u ) = 2u 'u (u  0) u'      = − (u  0) u u  ax + bx + c  adx + 2aex + ( be − cd )   = ( dx + e )  dx + e  a1 b1 a c b c x +2 1 x+ 1 a2 c2 b2 c2  a1 x + b1 x + c1  a2 b2  (Tích huyền trừ tích sắc)  = 2  a2 x + b2 x + c2  a2 x + b2 x + c2 ( ) Loại Làm quen nhóm cơng thức ( x n ) = n.x n −1 ( u.v ) = u ' v + v ' u Ví dụ minh họa Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y = x − x + Lời giải y ' = x3 − 2.2 x = x3 − x Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y = x ( 3x − 1) Lời giải y ' = 5 x ( 3x − 1)  = x  ( x − 1) '+ x ( x − 1) ' = 10 x (3 x − 1) + x = 45 x − 10 x ( ) Bài tập áp dụng Bài Tính đạo hàm hàm số sau y = −2 x + x − 3x + ĐS: −8x3 + 8x − y = x3 − 3x + x − ĐS: 3x − x + 3 x + x − x − x + 4x − 2 1 y = − x + x2 − x Tính đạo hàm hàm số sau 1 y = mx5 − x + x3 + m2 − x x y = − + x + m − 3 y = 3x3 + ( m − 1) x + x + m − ĐS: y = ĐS: x3 − x + x ĐS: x + ( m − 1) x + Tính đạo hàm hàm số sau ( )( ) y = x + x − x ĐS: −4 x3 − 3x + x + y = ( x − 1) ( x + 1) ĐS: 16 x + y = x ( x − 1)( 3x + ) ĐS: 18x + x − Tài liệu biên soạn sưu tầm! Fb: ThayTrongDGL Bài ĐS: mx − x3 + x Page Bài x + x3 − 3x − 3x + ĐS: − + x − x3 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Lời giải Bài 1 y ' = −2.4 x3 + 4.2 x − = −8 x3 + x − y ' = 3x − 3.2 x + = 3x − x + Bài Bài 3 y ' = 5x + x3 − 3x − x + = x + x3 − 3x − 3x + 2 1 y ' = − + x − x3 = − + x − x3 3 1 y ' = 5mx − 2.4 x3 + 3x = mx − 8x3 + x 1 y ' = x3 − 3x2 + x = x3 − x + x 2 y ' = 3.3x + 2.2 ( m − 1) x + = x + ( m − 1) x +    y ' = ( x + x )( − x )  = ( x + x ) ( − x ) + ( x + x ) ( − x ) ( ) ( ) = ( x + 1) − x + x + x ( −2 x ) = −4 x − 3x + x + 2  2  y ' = ( x − 1) ( x + 1)  = ( x − 1) ( x + 1) + ( x − 1) ( x + 1)      = ( x + 1) + ( x − 1) = 16 x + 2 y ' =  x ( x − 1)( 3x + )  = x ' ( x − 1)( 3x + )  + x ( x − 1)( x + ) = ( x − 1)( x + )  + x ( x − 1) ' ( x + ) + ( x − 1) ( x + ) ' = 6 x + x −  + x  ( x + ) + ( x − 1) 3 = x + x − + x 12 x + 1 = x + x − + 12 x = 18 x + x − Loại Làm quen nhóm công thức ( u n ) = n.u n −1.u Ví dụ minh họa ( ) Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y = x + x ( )( ) ( Lời giải ) y = ( x − x + 3) ( x + 1) y = x + x x + = x + x + x = 14 x13 + 16 x + x Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số 13 Lời giải  3  y =  x2 − x + ( x + 1)  = x − x +  ( x + 1) + x − x + ( x + 1)      ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) 3 = ( x − ) ( x + 1) + x − x + 3 ( x + 1)  = ( x − ) ( x + 1) + x − x + ( x + 1)   Bài tập áp dụng Bài Tìm đạo hàm hàm số sau 2 ) 10 ( + 3x + − 2x2 + x −1 Tài liệu biên soạn sưu tầm! ) ( ĐS: 10 x7 + 3x + x6 + 12 x3 ) ĐS: 25x5 − 60 x4 − 60 x3 + 120 x + 60 x − 12 ) ĐS: 8x7 − 24 x5 + 10 x + 8x3 − 12 x + 10 x − Fb: ThayTrongDGL ) Page ( y = (x y = (x y = x3 − 3x − x + ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM ( ĐS: 10 (12 x ) ( x + 3) − 10 x + 3) ( x + 5) ( 3x − x y = 3x − x + x3 10 5 ) + x3 ( + ( x + 3) x − x + x3 ) 10 Lời giải Bài 1 y = 2 x3 − 3x − x + x − x − = 12 x − 30 x − 30 x + 60 x + 30 x − ( )( ) ( ) = 24 x5 − 60 x − 60 x3 + 120 x + 60 x − 12 ( ) ( + x − 1) ( x ) y = 10 x7 + 3x + x + 12 x3 ( y = x − x ) ( ) − x + = x − 12 x + x + x − x + x − = 8x7 − 24 x5 + 10 x4 + x3 − 12 x2 + 10 x −  ( ) ( x + 3)  = (3x − 5x ( ) ( y =  3x − x + x  10 ) + x3 ) 10  ( x + 3)5 + 3x − x + x3  ( ( = 10 3x − x + x3 − 10 x + 12 x  ( x + 3) + 3x − x + x3   ( ) ( = 10 12 x − 10 x + ( x + 3) 3x − x + x3 ) ) 10 ( 10 5 ( x + 3) 1   + ( x + 3) x − x + x ) ( x + 3)  ) 10  ax + b  ad − bc  u  uv − vu Loại Làm quen nhóm cơng thức   =   = v2  cx + d  ( cx + d ) v Ví dụ minh họa Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y = 2x + x +1 Lời giải  u  uv − vu - Cách Sử dụng công thức   = ta v2 v y = ( x + 1) ( x + 1) − ( x + 1) ( x + 1) = ( x + 1) − ( x + 1) = 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)  ax + b  ad − bc - Cách Sử dụng công thức nhanh  (rèn luyên cho lớp 12 trắc  =  cx + d  ( cx + d ) nghiệm) 2.1 − 1.1 y = = 2 ( x + 1) ( x + 1) Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y = 2mx + x+m Lời giải ( 2mx + 1) ( x + m ) − ( x + m ) ( 2mx + 1) = 2m ( x + m ) − ( 2mx + 1) = 2m2 − 2 ( x + m) ( x + m) ( x + m) Page y =  u  uv − vu - Cách Sử dụng công thức   = ta v2 v Tài liệu biên soạn sưu tầm! Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM  ax + b  ad − bc - Cách Sử dụng công thức nhanh  (rèn luyên cho lớp 12 trắc  =  cx + d  ( cx + d ) nghiệm) y = 2m.m − 1.1 ( x + m) = 2m − ( x + m) Bài tập áp dụng Bài Tính đạo hàm hàm số sau 2x −1 y = 4x − Bài ĐS: y = 2x + ĐS: y = 2x + − 3x ĐS: y = − 2x x+5 ĐS: Tính đạo hàm hàm số sau mx + y = x+m y = ( 2m + 1) x − ( m + 1) mx + m2 − ĐS: ĐS: −2 ( x − 3) −6 ( x + 1) (1 − 3x ) −11 ( x + 5) m2 − ( x + m) 2m3 + 3m2 − ( ) mx + m2 − Lời giải Bài  u  uv − vu - Cách Sử dụng công thức   = ta v2 v y = ( x − 1) ( x − 3) − ( x − 3) ( x − 1) = ( x − 3) − ( x − 1) = −2 2 ( x − 3) ( x − 3) ( x − 3)  ax + b  ad − bc - Cách Sử dụng công thức nhanh  (rèn luyên cho lớp 12 trắc  =  cx + d  ( cx + d ) nghiệm) ( −3) − ( −1) −2 y = = 2 ( x − 3) ( x − 3)  u  uv − vu - Cách Sử dụng công thức   = ta v2 v ( 3) ( x + 1) − ( x + 1) = ( x + 1) − 2.3 = −6 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Page  ax + b  ad − bc - Cách Sử dụng công thức nhanh  (rèn luyên cho lớp 12 trắc  =  cx + d  ( cx + d ) nghiệm) Tài liệu biên soạn sưu tầm! y = Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM y = 0.1 − 2.3 ( x + 1) = −6 ( x + 1)  u  uv − vu - Cách Sử dụng công thức   = ta v2 v y = ( x + 1) (1 − 3x ) − (1 − 3x ) ( x + 1) = (1 − 3x ) + ( x + 1) = 2 (1 − 3x ) (1 − 3x ) (1 − 3x )  ax + b  ad − bc - Cách Sử dụng công thức nhanh  (rèn luyên cho lớp 12 trắc  =  cx + d  ( cx + d ) nghiệm) 2.1 + 3.1 y = = 2 (1 − 3x ) (1 − 3x )  u  uv − vu - Cách Sử dụng công thức   = ta v2 v y = (1 − x ) ( x + 5) − ( x + 5) (1 − x ) = −2 ( x + ) − (1 − x ) = −11 2 ( x + 5) ( x + 5) ( x + 5)  ax + b  ad − bc - Cách Sử dụng công thức nhanh  (rèn luyên cho lớp 12 trắc  =  cx + d  ( cx + d ) nghiệm) −2.5 − 1.1 −11 y = = 2 (1 − 3x ) ( x + 5) Bài  u  uv − vu - Cách Sử dụng công thức   = ta v2 v y = ( mx + ) ( x + m ) − ( x + m ) ( mx + ) = m ( x + m ) − ( mx + ) = m2 − 2 ( x + m) ( x + m) ( x + m)  ax + b  ad − bc - Cách Sử dụng công thức nhanh  (rèn luyên cho lớp 12 trắc  =  cx + d  ( cx + d ) nghiệm) y = m.m − 4.1 ( x + m) = m2 − ( x + m)  u  uv − vu - Cách Sử dụng công thức   = ta v2 v ) ( ( mx + m ) −1 ) ( 2m + 1) ( mx + m2 − 1) − m ( 2m + 1) x − ( m + 1) Tài liệu biên soạn sưu tầm! ( mx + m ) −1 = 2m3 + 3m2 − ( mx + m ) −1 = ( Page y = ( 2m + 1) x − ( m + 1) mx + m2 − − mx + m2 −  ( 2m + 1) x − ( m + 1) Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM  ax + b  ad − bc - Cách 2: Sử dụng công thức nhanh:  (Rèn luyện cho lớp 12 trắc  =  cx + d  ( cx + d ) nghiệm) y = ( 2m + 1) ( m2 − 1) + ( m + 1) m ( mx + m ) −1 = 2m3 + 3m2 − ( mx + m ) −1  u  uv − uv Loại Làm quen với nhóm cơng thức   = v2 v a1 b1 a c b c x +2 1 x+ 1 a2 c2 b2 c2  a1 x + b1 x + c1  a2 b2   = 2  a2 x + b2 x + c2  ( a x2 + b x + c ) 2 Ví dụ minh họa Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y = x2 + x + x2 − x + Lời giải  u  uv − uv - Cách 1: Sử dụng công thức:   = ta v2 v (x y = = + x + ' 2x2 − x + − 2x2 − x +  x2 + x + )( ( 2x ) ( −x+4 ) )( ( x + 1) ( x − x + ) − ( x − 1) ( x + x + 1) ( 2x −x+4 ) ) 2 = −3x + x + ( 2x −x+4 ) - Cách Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trắc nghiệm): −1.1 − 2.1) x + (1.4 − 2.1) x + (1.4 + 1.1) −3x + x + ( 1  y = = = 2 −1 ( 2x2 − x + 4) ( 2x2 − x + 4) ( ) Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y = x − ( m − 1) x + m + x −1 Lời giải  u  uv − uv - Cách 1: Sử dụng công thức:   = ta v2 v (x y = − ( m − 1) x + m +  ( x − 1) − ( x − 1) x − ( m − 1) x + m + ) ( ) ( x − 1) x − ( m − 1) ) ( x − 1) − ( x − ( m − 1) x + m + 3) x − x + m − ( = = 2 ( x − 1) ( x − 1) - Cách Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trắc nghiệm):   x − 2x + m − y = 1 − ( m − 1) m +  = −1  0 ( x − 1) Tài liệu biên soạn sưu tầm! Page Bài tập áp dụng Bài Tính đạo hàm hàm số sau Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM y = + x − x2 − x + x2 ĐS: x − 3x + y = x− y = Bài ĐS: 2x − x + x+2 ĐS: x + ( m + ) x − 3m + Tính đạo hàm hàm số y = x −1 ĐS: −4 x + ( 2x −x+4 ) 2 x − 10 x + ( x − 5) −2 x + 10 x + ( x2 + x + ) x − x + 2m − ( x − 1) Lời giải Bài  u  uv − uv - Cách 1: Sử dụng công thức:   = ta v2 v (1 + x − x ) (1 − x + x ) − (1 − x + x ) (1 + x − x ) (1 − x + x ) (1 − x ) (1 − x + x ) − ( −1 + x ) (1 + x − x ) −4 x + = = (1 − x + x ) (1 − x + x ) 2 y = 2 2 2 2 - Cách Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trắc nghiệm) ( −1.( −1) − 1.1) x − (1.1 −1.1) x + (1.1 + 1.1) y = −1 1 = −1 x2 − x + ( ) ( )  u  uv − uv - Cách 1: Sử dụng công thức:   = ta v2 v y = (x − 3x +  ( x − ) − ( x − ) x − 3x + ) ( ( x − 5) ) ( x − 3)( x − 5) − ( x − 3x + ) x − 10 x + = = 2 ( x − 5) ( x − 5) - Cách Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trắc nghiệm) ( y = − −1 ) = x − 10 x + −5 ( x − 5)  u  uv − uv - Cách 1: Sử dụng công thức:   = ta v2 v y = ( x − 5) ( x + x + ) − ( x + x + ) ( x − 5) (x +x+2 ) = −2 x + 10 x + (x +x+2 ) - Cách Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trắc nghiệm) ( ) Tài liệu biên soạn sưu tầm! ) Page ( 10 −2 x + 10 x + y = − = 1 x2 + x + Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM y = (1 − x ) x − x + ĐS − x2 − x + x2 − x + Lời giải  2x +1  y ' = 2015    3x +  y ' = (1 − x ) 2014  2x +1   2x +1    = 2015    3x +   3x +  ' x − x + − (1 − x ) x − x + ' x −1 = − x − x + + (1 − x ) Bài 29 x2 − x + Tính đạo hàm hàm số sau y = x + x3 − x − 2 x − 5x + y = x+2 ( y = −3x + 3x − ) 15 =− −1 2014 ( 3x + 1) ' 2x2 − 4x + x2 − x + ĐS 5x3 + x − ĐS x + x − 11 ( x + 2) ( ĐS −45 ( x − 1) −3x + 3x − y = ( x − 5) x + x − ĐS ) 14 x2 − x − x2 + x −1 Lời giải y ' = x + x − ( 2x y' = 2 ) ( x + 2) − ( 2x − 5x + ' ( x + 2) ) − 5x + ( x + 2) ' ( x − 5)( x + ) − ( x − x + 1) x + x − 11 = = 2 ( x + 2) ( x + 2) ( y ' = 15 −3x + 3x − ) ( −3x 14 y ' = x + x − + ( x − ) Bài 30 ) ( + 3x − = −45 ( x − 1) −3x + 3x − x +1 x2 + x −1 ' = x2 − x − x2 + 2x −1 ) 14 Cho hàm số y = x3 − x + x Tìm tất giá trị x thỏa mãn y '  ĐS x  x  Lời giải Ta có y ' = 3x − x + 5 x  3x + x2 − 6x + Khi y '   3x − x +  x  Bài 31 Tính đạo hàm hàm số y = ĐS y ' = (x −11x + 21 − 6x + ) x2 − x + Page 101 Lời giải Tài liệu biên soạn sưu tầm! Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Với x  ( −;1)  ( 5; + ) , y ' = Bài 32 x2 − x + − ( ( 2x − 6) x2 − x + x2 − 6x + ) ( 3x + ) = (x −11x + 21 − 6x + ) x2 − x +  2   ĐS S =       Cho hàm số f ( x ) = x − − x Giải phương trình f ' ( x ) = Lời giải Bài 33   x  −1  x    x  −1 x  x   Ta có f ' ( x ) =  − =    x  x= x −1 2 x − = x  x =   Giải bất phương trình y '  biết y = x − + ĐS S = ( −;0 )   2; + ) x Lời giải Ta có y ' = − x Điều kiện x  x3 − Do y '   −    x x Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu ta có x  ( −;0 )   2; + ) Vậy S = ( −;0 )   2; + ) Bài 34  2 ĐS S =  ;   3 Giải bất phương trình y '  biết y = ( x − 1) x + Lời giải Ta có y ' = ( x − 1) ' x + + ( x − 1)  x +  = x + + ' ( x − 1) 2x +1 = 3x − 2x +1  x  3x −  2 x −  0   x  ;  Khi y '   x −  2x +1  3 x    2 Vậy S =  ;   3 Bài 35 ( Tính đạo hàm hàm số sau y = − x3 ) ( x + 1) ĐS y ' = −5 x − x3 − 3x + x + Tài liệu biên soạn sưu tầm! Page Lời giải 102  Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM ( Ta có y = − x3 Bài 36 ) ( x + 1) = − x5 − x − x3 + x + x + 2 x3 + x − 3x + Tính đạo hàm hàm số sau y = x2 + x + ĐS y ' = x + x3 + 10 x − (x ) + x +1 2 Lời giải Tập xác định D = Ta có Bài 37 (6x y' = )( ) ( ) + x − x + x + + x3 + x − 3x + ( x + 1) (x ) + x +1 = x + x3 + 10 x − (x ) + x +1 Cho hàm số y = x3 − x − 12 x − x3 Tính y ' giải phương trình y ' = 12 − x − 3x ĐS y ' = x − − = x2 − − , x = 2, x = − 2 12 x − x3 12 x − x3 Lời giải y ' = x2 − − 12 − x 2 12 x − x3 = x2 − − − 3x 12 x − x3 Điều kiện 12 x − x3   =  x2 − =   x =  x = − 12 x − x3 So sánh điều kiện, hai giá trị x thỏa mãn Ta có y ' =  x − − − 3x Vậy x = 2, x = − Bài 38 Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) : y = x − x + điểm có hồnh độ −1 ĐS y = −2 x + Lời giải Ta có y ' = x − x x0 = −1  y0 = 3; y ( x0 ) = y ( −1) = −2 Suy PTTT: y = −2 ( x + 1) + = −2 x + Bài 39 2x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) , biết tiếp 2x −1 tuyến song song với đường thẳng d : y = −4 x + ĐS y = −4 x − ; y = −4 x + Lời giải −4 Với x  , y = 2 ( x − 1) Gọi ( C ) đồ thị hàm số y =  2a +  Gọi A  a ;  tiếp điểm  2a −  Ta có y ( a ) = −4  ( 2a − 1) =   a =  a = y − ( −1) = −4 ( x − )  y = −4 x − (nhận) Page - a = Suy A (1;3 ) phương trình tiếp tuyến tương ứng y − = −4 ( x − 1)  y = −4 x + (nhận) Tài liệu biên soạn sưu tầm! 103 - a = Suy A ( 0; − 1) phương trình tiếp tuyến tương ứng Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Bài 40 x+2 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) , biết tiếp x −1 10 tuyến vng góc với đường thẳng d : y = 3x + ĐS y = − x − ; y = − x + 3 3 Lời giải −3 Ta có y = , x  ( x − 1) Cho hàm số y =  a+2 Gọi A  a ;  tiếp điểm  a −1  Tiếp tuyến y ( a ) = −1  Bài 41 (C ) −3 vng A góc với d = −1  ( a − 1) =   a =  a = −2 ( a − 1) 2 a = −2 Khi đó, A ( −2;0 ) phương trình tiếp tuyến tương ứng y = − x − 3 10 a = Khi đó, A ( 4; ) phương trình tiếp tuyến tương ứng y = − x + 3 Cho đường cong ( C ) : y = f ( x ) = −4 x − 3x + x − Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với d : y = − x ĐS y = − x − 12 ; y = − x − 21 Lời giải Ta có y = −12 x − x + Gọi M ( a ; b )  ( C ) Suy hệ số góc tiếp tuyến với (C ) tiếp điểm M k = −12a − 6a + Do tiếp tuyến ( C ) song song với d : y = − x nên ta có  a = −1  b = −11 23 −12a − 6a + = −1    a =  b = −  Tại M ( −1; − 11) phương trình tiếp tuyến ( C ) y = − ( x + 1) − 11  y = − x − 12  23   Tại M  ; −  phương trình tiếp tuyến ( C )  2  23 21  y = − x −  −  y = −x − 2 4  21 Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) Kết luận Có hai tiếp tuyến y = − x − 11 y = − x − Bài 42 biết tiếp tuyến song song với d : y = −3x − ĐS y = −3x + 67 27 Ta có y = 3x − 10 x Gọi M ( a ; b )  ( C ) Suy hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) tiếp điểm M k = 3a − 10a Tài liệu biên soạn sưu tầm! Page Do tiếp tuyến ( C ) song song với d : y = −3x − nên ta có 104 Lời giải Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM  a =  b = −16 40 3a − 10a = −3    a =  b = 27  Tại M ( 3; − 16 ) phương trình tiếp tuyến ( C ) y = −3 ( x − 3) − 16  y = −3x − (loại)  40   Tại M  ;  phương trình tiếp tuyến ( C )  27   40 67  y = −3  x −  +  y = −3x +  27 27  67 27 2x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = biết tiếp tuyến song song với đường x −1 13 1 thẳng (  ) : x + y + = ĐS y = − x + ; y = − x + 3 3 Lời giải −3 Ta có y = ( x − 1) Kết luận Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −3x + Bài 43 Gọi M ( a ; b )  ( C ) với a  Suy hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) tiếp điểm M k= −3 ( a − 1) Do tiếp tuyến ( C ) song song với (  ) : x + y + = nên ta có −3 ( a − 1) 2 = −  ( a − 1) =   a =  b =  a = −2  b =  Tại M ( 4;3) phương trình tiếp tuyến ( C ) 1 13 ( x − 4) +  y = − x + 3  Tại M ( −2;1) phương trình tiếp tuyến ( C ) y=− 1 ( x + 2) +  y = − x + 3 13 1 Kết luận Có hai tiếp tuyến y = − x + y = − x + 3 3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + , biết tiếp tuyến song song với y=− Bài 44 đường thẳng 3x + y + = ĐS y = −3x + 67 27 Lời giải y = 3x − 10 x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Page Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x + y + = hay y = −3x − nên hệ số góc tiếp tuyến M −3 Tài liệu biên soạn sưu tầm! 105 Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM  x0 =  Ta có y ( x0 ) = −3  3x0 − 10 x0 = −3    x0 = Với x0 = y0 = −16 Phương trình tiếp tuyến điểm M ( 3; − 16 ) y = −3 ( x − 3) − 16 hay y = −3x − (loại)  40 40  40   y0 = Phương trình tiếp tuyến điểm M  ;  y = −3  x −  +  27 27  27   67 hay y = −3x + 27 67 Vậy y = −3x + 27 2x −1 Cho hàm số y = (C ) Viết phuwong trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song −x + với đường thẳng 3x − y − 14 = ĐS y = 3x − Với x0 = Bài 45 Lời giải y = Gọi ( − x + 2) M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x − y − 14 = hay y = 3x − 14 nên hệ số góc tiếp tuyến M Ta có y ( x0 ) =  ( − x0 + ) 2 −x + = x =1 =  ( − x0 + ) =    − x + = −    x0 = Với x0 = y0 = Phương trình tiếp tuyến điểm M (1;1) y = ( x − 1) + hay y = 3x − Với x0 = y0 = −5 Phương trình tiếp tuyến điểm M ( 3; − ) y = ( x − 3) − hay y = 3x − 14 (loại) Vậy y = 3x − Bài 46 Cho hàm số y = − x3 + 3x − 3x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị ( C ) biết d vng góc với đường thẳng  : x − y − = ĐS y = −3x + , y = −3x + Lời giải Vì tiếp tuyến d vng góc với  : x − y − = hay y = x − nên hệ số góc tiếp tuyến −3 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm x =2 Ta có y ( x0 ) = −3  3x02 + x0 = −3    x0 = Với x0 = y0 = Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A ( 2;0 ) y = −3 ( x − ) hay y = −3x + Tài liệu biên soạn sưu tầm! Page Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề Câu y = −3x + , y = −3x + 106 Với x0 = y0 = Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A ( 0; ) y = −3x + Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Bài 47 Cho hàm số y = x3 + x − có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x + y − = ĐS y = − x − , y = − x − 31 27 Lời giải Vì tiếp tuyến song song với d : x + y − = hay y = − x + nên hệ số góc tiếp tuyến −1 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm  x0 = −1 Ta có y ( x0 ) = −1  3x02 + x0 + =    x0 = − Với x0 = −1 y0 = Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm A ( −1;0 ) y = − ( x + 1) 22  22  y0 = − Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A  − ; −  27  27   22 31  y = − x +  − hay y = − x −  27 27  31 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề Câu y = − x − , y = − x − 27 − 3x Cho hàm số y = f ( x ) = có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) biết x+2 tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x − y − = ĐS y = −7 x − y = −7 x − 31 Với x0 = − Bài 48 Lời giải Ta có y = − ( x + 2) Vì tiếp tuyến vng góc với d : x − y − = hay y = 1 x − nên hệ số góc tiếp tuyến 7 −7 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có y ( x0 ) = −7  − ( x0 + ) 2 x = −1 = −7  ( x0 + ) =    x0 = −3 Với x0 = −1 y0 = Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm A ( −1; ) y = −7 ( x + 1) + hay y = −7 x − Với x0 = −3 y0 = −10 Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm B ( −3; − 10 ) y = −7 ( x + 3) − 10 hay y = −7 x − 31 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề Câu y = −7 x − y = −7 x − 31 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y = f ( x ) = thẳng d : y = x + x−2 , biết tiếp tuyến song song với đường x −1 ĐS y = x − 107 Bài 49 Lời giải ( x − 1) Tài liệu biên soạn sưu tầm! Page Ta có f  ( x ) = Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Vì tiếp tuyến song song với d : y = x + nên hệ số góc tiếp tuyến Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có y ( x0 ) = −7  − ( x0 + ) =1 ( x0 − 1) 2 x =2 =  ( x0 − 1) =    x0 = Với x0 = y0 = Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A ( 2;0 ) y = x − Với x0 = y0 = Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm B ( 0; ) y = x + (loại) Vậy y = x − Bài 50 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = x + x − x − giao điểm đồ thị với đường thẳng x = ĐS y = x − Lời giải Ta có y = 3x + x − Gọi M giao điểm đồ thị ( C ) với đường thẳng x = Suy tọa độ M (1; − ) Hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) tiếp điểm M k = y (1) = Vậy phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M y = x −1 −  y = x − Kết luận Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = x − Bài 51 Cho hàm số y = x −1 có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến đồ thị ( C ) tạo với trục Ox , Oy tam giác x +1 vuông cân O Viết phương trình tiếp tuyến ĐS y = x + − 2 ; y = x + + 2 Lời giải Ta có y = ( x + 1)  a −1  Gọi M  a ;   ( C ) với a  −1  a +1   a −1  Vì OAB vuông cân O nên tiếp tuyến điểm M  a ;   ( C ) phải song song với đường  a +1  phân giác y = x y = − x Suy hệ số góc tiếp tuyến ( C ) M −1 Khi  =1   a + ( )   ( a + 1) =   a = −1 +   a = −1 − = −1  ( a + 1)2   Với a = −1 + phương trình tiếp tuyến y = x + − 2  Với a = −1 − phương trình tiếp tuyến y = x + + 2 Tính đạo hàm hàm số y = ( x − ) sin x + x cos x Ta có y = ( x − ) sin x + x cos x Tài liệu biên soạn sưu tầm! ĐS y = x cos x Lời giải Page Bài 52 108 Kết luận Có hai tiếp tuyến y = x + − 2 y = x + + 2 Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Suy y = ( x − ) sin x + ( x − ) ( sin x ) + ( x ) cos x + x ( cos x ) ( ) = x sin x + x − cos x + cos x − x sin x = x cos x Bài 53 ĐS y = sin x + x cos x Tính đạo hàm hàm số y = x sin x Lời giải Với giá trị thực x , y = sin x + x cos x Bài 54 Bài 55 1 Tính đạo hàm hàm số y = sin 2 x − cos x ĐS y = 2sin x Lời giải Với x  , 1 1 y = 2.sin x ( sin x ) − ( − sin x ) = 2.sin x.2.cos x − ( − sin x ) 4 sin x + sin x = 2sin x ( ) Tính đạo hàm hàm số y = − tan x ĐS y = −12 tan x ( − tan x )(1 + tan x ) Lời giải Ta có y = ( − tan x ) ( − tan x ) = −12 tan x ( − tan x )(1 + tan x ) Bài 56 Bài 57         Tính đạo hàm hàm số y = tan  x −  ĐS y = tan  x −  1 + tan  x −     4    Lời giải   Ta có y = tan  x −  4               Suy y = tan  x −   tan  x −   = tan  x −  1 + tan  x −           sin x x cos x − 2cos x Tính đạo hàm y hàm số y = ĐS y = x x3 Lời giải Tập xác định D = \ 0 cos x.x − x cos x x cos x − 2cos x = x4 x3  x +1  Tính đạo hàm hàm số sau y = tan    x+3 Ta có y = Bài 58 ĐS y = ( x + 3)  x +1  cos    x+3 Lời giải  x  −3  Điều kiện  x +   x +  + k ( k  ) Page 109  x +    x + 3) ( x+3   = = Ta có y = 2  x +1   x +1   x +1  cos   cos   ( x + 3) cos    x+3  x+3  x+3 Tài liệu biên soạn sưu tầm! Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Bài 59 ĐS y = Tính đạo hàm hàm số sau y = sin + x x 1+ x cos + x Lời giải Tập xác định D = Ta có y = Bài 60 ( )  + x cos + x = x cos + x 1+ x sin x Tính đạo hàm hàm số sau y = sin x − cos x ĐS y = −1 ( sin x − cos x ) Lời giải cos x ( sin x − cos x ) − sin x ( cos x + sin x ) −1 Ta có y = = 2 ( sin x − cos x ) ( sin x − cos x ) Bài 61 Tính đạo hàm hàm số tan x x +1 ĐS y = − x2 x ( x2 + 1) cos x +1 Lời giải y = Bài 62 x2 + − 2x2 1 − x2  x    = = 2 2 x  x +1  x x 2 ( x + 1) cos ( x + 1) cos cos x +1 x +1 x +1 Cho hàm số y = f ( x ) = cos3 3x − 2 x Tính f  ( ) ĐS f  ( ) = Lời giải f  ( x ) = −3cos2 3x − 2 x sin 3x − 2 x = −3cos 3x − 2 x sin x − 2 x ( 3x − 2 x ) x − 2 3x − 2 x 4 = 2     Cho hàm số y = sin x − cot  x −  Tính y  −  3   3 Lời giải Ta có y = 2cos x +  2 sin  x −  3  1    2  = Khi đó, y  −  = cos  − +  3   sin  − 2      Vậy f  ( ) = −3cos  sin  Tính đạo hàm hàm số y = sin x + ĐS y = cos x + x x +1 Lời giải 2x x y = cos x + = cos x + x2 + x2 + Bài 65 Tính đạo hàm hàm số y = cos2 − 3x Tài liệu biên soạn sưu tầm! ĐS − 3sin − x − 3x Fb: ThayTrongDGL 110 Bài 64   ĐS y  −  =  3 Page Bài 63 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Lời giải Ta có ( ) ( )   y = cos − 3x = 2cos − 3x cos − 3x = −2cos − 3x sin − 3x 3sin − x (1 − 3x ) = − − 3x − 3x Tính đạo hàm hàm số sau ( − 3x ) = −2 cos − 3x sin − x Bài 66 y = ( x − 3) cos x ( y = − sin 3x ) ĐS x cos x − ( x − 3) sin x ( ) ĐS −15 − sin 3x sin x Lời giải y = ( x − 3) cos x + ( x − 3) ( cos x ) = x cos x − ( x − 3) sin x 4 y = ( − sin 3x ) ( − sin 3x ) = −5 ( − sin x ) 2.sin x.3cos x = −15 ( − sin x ) sin x Bài 67 Tính đạo hàm hàm số y = x + sin x − cos x ĐS −4 x sin x (1 − cos x ) Lời giải Ta có ( x + sin x ) (1 − cos x ) − ( x + sin x )(1 − cos x ) (1 − cos x ) ( + cos x )(1 − cos x ) − 2sin x ( x + sin x ) = −4 x sin x = 2 (1 − cos x ) (1 − cos x ) y = Bài 68 Tính đạo hàm hàm số sau y = ( 5sin x − 3)( 3cos x − 1) y = ĐS 15cos x − 5cos x + 9sin x cos3 x − sin x cos x − sin x ĐS cos 2x Lời giải y = 5cos x ( 3cos x − 1) − 3sin x ( 5sin x − 3) = 15cos x − 5cos x + 9sin x y = Bài 69 cos3 x − sin x = cos2 x + cos x sin x + sin x = + sin x  y = cos x cos x − sin x Tính đạo hàm hàm số y = tan x ( cos x + cot x ) ĐS y = cos x − sin x Lời giải k (k  Do đó, y = cos x − Bài 70 ) , ta có y = sin x + cot x sin x Tính đạo hàm hàm số y = sin x − cos x sin x + cos x ĐS y = ( sin x + cos x ) Page Lời giải 111 Với x  Tài liệu biên soạn sưu tầm! Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Với x  − Bài 71  ( sin x + cos x ) + ( sin x − cos x ) ) , y = ( sin x + cos x ) + k ( k  Tính đạo hàm hàm số y = sin x + cos2 x = ( sin x + cos x ) ĐS y = 2sin x (1 + cos x ) 2 Lời giải Với x  , y = Bài 72 2sin x cos x (1 + cos x ) + cos x sin x.sin x (1 + cos x ) 2 cos x Tính đạo hàm hàm số y = + sin x = 2sin x cos x (1 + sin x + cos x ) (1 + cos x ) ĐS y = = 2sin x (1 + cos x ) −2sin x (1 + sin x ) + sin x 2 Lời giải − sin x + sin x − cos x y = = Bài 73 sin x cos x 2 + sin x = − sin x (1 + sin x ) − cos x sin x (1 + sin x ) + sin x + sin x − sin x (1 + sin x ) − (1 − sin x ) sin x (1 + sin x ) + sin x 2 = −2sin x (1 + sin x ) + sin x Tính đạo hàm hàm số sau y = x sin ( x + 1) ĐS y = sin ( x + 1) ( sin ( x + 1) + x cos ( x + 1) ) Lời giải Ta có y = sin ( x + 1) + x sin ( x + 1) cos ( x + 1) = sin ( x + 1) (sin ( x + 1) + x cos ( x + 1) ) Bài 74 Tính đạo hàm hàm số sau y = cos ( x + 1) ĐS y = −3 ( x + 1) sin ( x + 1) 3 Lời giải ( Ta có y = − ( x + 1) Bài 75 ) sin ( x +1) = −3 ( x + 1) sin ( x + 1) tan x Tính đạo hàm hàm số y = − tan 2 x ĐS y = (1 + tan 2 x ) (1 − tan 2x) 2 Lời giải Ta có y = = 2x) 2   − tan 2 x ) − tan x  −2 tan x (  cos x cos 2 x   (1 − tan 2x) 2 (1 + tan 2 x )(1 − tan 2 x ) + tan 2 x (1 + tan 2 x ) (1 − tan (1 + tan 2 x ) (1 − tan 2x) 2x) = − tan x + tan 2 x + tan x (1 − tan 2x) 2 Tài liệu biên soạn sưu tầm! 112 = (1 − tan Page = ( tan x ) ' (1 − tan 2 x ) − tan x (1 − tan 2 x ) Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Bài 76 Cho hàm số y =  sin x − cos x  Tính y chứng minh y − tan  x −  = 4 cos x + sin x    ĐS y = + tan  x −  4  y = = = Bài 77 Lời giải ( cos x + sin x )( cos x + sin x ) − ( sin x − cos x )( − sin x + cos x ) ( cos x + sin x ) cos x + 2sin x cos x + sin x + sin x − 2sin x cos x + cos x ( cos x + sin x ) ( cos x + sin x ) = 2 =   = + tan  x −   4   cos  x −  4       cos  x −        Từ suy ra, y − tan  x −  = (đpcm) 4  Cho hàm số y = sin x + cos x + 12 Tính y giải phương tình y =    ĐS y = −2 sin  x −  x = k 4  Lời giải   Ta có y = cos x − 2sin x = −2 sin  x −  4  Lại có    x − = − + k 2  x = k     4 y =  sin  x −  = −    x = k (k    x = + k 4 2   x −  =  −  + k 2   4 sin x Chứng minh y = cos x − cos x + cos x Lời giải Với x   + k 2 ( k  ) , Cho hàm số y = Bài 79 3sin x cos x (1 + cos x ) + sin x.sin x (1 + cos x ) ( Cho hàm số y = f ( x ) = x + + x ) 10 = sin x 3cos x (1 + cos x ) + sin x  (1 + cos x ) Chứng minh 100 y = y (1 + x ) + yx Lời giải ( y = 10 x + + x ) (x + ) (  + x = 10 x + + x ) x +1 +1 +x x 2 = ( 10 x + + x ) 10 + x2 (1 + cos x )(1 − cos x ) ( 2cos2 x + 3cos x + 1) (1 − cos x )(1 + cos x )2 ( 2cos x + 1) = = 2 (1 + cos x ) (1 + cos x ) ( = (1 − cos x )( cos x + 1) = cos x − ( cos x − 1) = cos x − cos x  y + x = 10 x + + x Tài liệu biên soạn sưu tầm! ) 10 Fb: ThayTrongDGL 113 y = Page Bài 78 ) ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM x Đạo hàm hai vế, ta y + x + y + x2 ( = 100 x + + x ) x + + x2  y (1 + x ) + yx = 100 y (đpcm) Bài 80 Cho hàm số y = y = + x2 x −3 Chứng minh ( y ) = ( y − 1) y x+4 Lời giải ( x + 4) 14 ( x + ) 14 y = − =− ( x + 4) ( x + 4) Ta có ( y ) = 98 ( x + 4) x −  −14 −7 −14 98 − 1 = = 3 x + ( x + 4)  x +  ( x + 4) ( x + 4) ( y − 1) y =  Bài 81 Từ suy điều phải chứng minh Cho hàm số y = sin x Chứng minh y + y tan x + y − = Lời giải Ta có y = 2sin x ( sin x ) = 2sin x cos x = sin x Và y = ( sin x ) = 2cos x = 2cos x − 2sin x Do y + y tan x + y − = 2sin x + 2sin x cos x sin x + 2cos x − 2sin x − cos x = 2sin x + 2cos x − = Bài 82 Cho hàm số y = x sin x Chứng minh xy − ( y − sin x ) + xy = Lời giải   Ta có y = sin x + x cos x  y = cos x + cos x − x sin x = 2cos x − x sin x Khi xy − ( y − sin x ) + xy = x sin x − ( sin x + x cos x − sin x ) + x cos x − x sin x = Cho hàm số y = x + x Chứng minh y y + y y = x Lời giải Tập xác định D = ( − ; − 2   0; +  ) x +1 x2 + x x2 + x − Khi y = ( x + 1)( x + 1) x2 + x x2 + x Vậy y y + y y = x + x Bài 84 x +1 x2 + 2x −1 = x + x ( x2 + 2x ) + Cho hàm số y = sin x + (m + 1)sin x + ( m  ) x2 + 2x −1 x2 + 2x ( x2 + 2x ) = x + −1 = x x + 2019 với m tham số thuộc Chứng minh phương trình y ' = ln có nghiệm với m Tài liệu biên soạn sưu tầm! 114 Ta có y = Page Bài 83 Fb: ThayTrongDGL ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG - ĐẠO HÀM Lời giải Tập xác định D = Ta có y ' = 2sin xcosx + (m + 1)cosx + 2mx  hàm số liên tục Trường hợp m = ta có   x = + k  cosx =     x = − + k 2 (k  ) y ' =  2sin xcosx + cosx =   sin x = −   x = + k 2    Trường hợp m  ta có y '(− ) = −m ; y '( ) = m 2   Page 115 Khi y '(− ) y '( ) = −m2  , m  nên phương trình y ' = ln có nghiệm 2     − ;  với m   2 Kết luận Vậy phương trình y ' = ln có nghiệm với m Tài liệu biên soạn sưu tầm! Fb: ThayTrongDGL ... hàm số y = 3mx3 − x + ( − m ) x Tìm tham số m để phương trình y  có hai nghiệm ĐS: m  m  trái dấu Cho hàm số f ( x ) = x3 + mx + ( m + ) x + Tìm tham số m cho f  ( x )  0, x  ĐS:... số f ( x ) = x3 + mx + ( 4m − ) x Tìm tham số m cho f  ( x )  0, x  Cho hàm số y = ĐS: m  ĐS:  m  Bài 18 Cho hàm số y = x3 − mx − x + m + Tìm tham số m để phương trình y = có hai nghiệm... x + 1) ĐS: 16 x + y = x ( x − 1)( 3x + ) ĐS: 18x + x − Tài liệu biên soạn sưu tầm! Fb: ThayTrongDGL Bài ĐS: mx − x3 + x Page Bài x + x3 − 3x − 3x + ĐS: − + x − x3 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11