Bài giảng: Tiếp tuyến của ĐTHS

Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 4 Chủ đề 1. Tiếp tuyến và sự tiếp xúc A. Tóm tắt lý thuyết  PTTT với đồ thò hàm số tại một điểm PTTT với đồ thị     C : y f x  tại     0 0 M x ;f x là       0 0 0 d : y f ' x x x f x    . (đường thẳng qua     0 0 M x ;f x và có hệ số góc là   0 f ' x ) Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến của   C tại M , ta phải hiểu rằng   M C  và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc. d O y x M x 0 ;f x 0    C( )  Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thò     C : y f x  và     C' :y g x  tiếp xúc nhau  hệ         f x g x f ' x g' x        có nghiệm đối với x . Nghiệm của hệ chính là hồnh độ tiếp điểm. B. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho     2 x x 1 2 3x 1 f x C     . Viết PTTT của   C tại điểm M có hồnh độ bằng 1 . Giải Ta có   1 4 f 1  ,     2 3x 4x 1 2 2 3x 1 f ' x        1 8 f ' 1    PTTT với   C tại M là   1 1 8 4 d : y x 1      3 1 8 8 d : y x    . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 5 Ví dụ 2. Cho     3 2 f x x 4x 5x 2 C     . Viết PTTT của   C tại những giao điểm của   C với trục hồnh. Giải *   M M M x ;y là giao điểm của   C với trục hồnh      3 2 M M M M M y x 4x 5x 2 1 y 0 2           . Thay   2 vào   1 ta được 3 2 M M M x 4x 5x 2 0         2 M M x 2 x 1 0     M M x 2 x 1        . Vậy   C có hai giao điểm với trục hồnh là   1 M 2;0  và   2 M 1;0  . * Ta có   2 f ' x 3x 8x 5    . +)   f ' 2 1    PTTT với   C tại 1 M là   1 d : y 1. x 2 0     1 d : y x 2   . +)   f ' 1 0    PTTT với   C tại 2 M là   2 d : y 0. x 1 0     2 d : y 0  . Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho     3 2 f x 4x 6x 1 C    . Viết PTTT đi qua điểm   M 1; 9   của   C . Giải Ta có   2 f ' x 12x 12x   . Giả sử d là tiếp tuyến cần tìm. Cách 1: (Sử dụng PTTT của đồ thị tại một điểm) * d tiếp xúc với   C tại     0 0 x ;f x        0 0 0 d : y f ' x x x f x         2 3 2 0 0 0 0 0 d : y 12x 12x x x 4x 6x 1       . * d đi qua   M 1; 9        2 3 2 0 0 0 0 0 9 12x 12x 1 x 4x 6x 1          3 2 0 0 0 8x 6x 12x 10 0         2 0 0 4x 5 x 1 0     5 0 4 0 x x 1        . +) 5 0 4 x     15 5 9 4 4 16 d : y x     15 21 4 4 d : y x   . +) 0 x 1      d : y 24 x 1 9     d : y 24x 15   . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 6 Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc) * Giả sử d có hệ số góc là k    d : y k x 1 9    . * d tiếp xúc với   C  hệ   3 2 2 4x 6x 1 k x 1 9 (1) 12x 12x k (2)             có nghiệm đối với x . Thay (2) vào (1) ta có     3 2 2 4x 6x 1 12x 12x x 1 9           2 4x 5 x 1 0     5 4 x x 1        . Thay 5 4 x  vào (2) ta được 15 4 k     15 4 d : y x 1 9     15 21 4 4 d : y x   . Thay x 1   vào (2) ta được k 24     d : y 24 x 1 9     d : y 24x 15   . Vậy (C) có hai tiếp tuyến qua M và phương trình của chúng là 15 21 4 4 y x   , y 24x 15   . Ví dụ 4. [ĐHD05] Cho     3 2 1 m 1 m 3 2 3 f x x x C   . Gọi M là điểm thuộc   m C có hồnh độ bằng 1  . Tìm m để tiếp tuyến tại M của   m C song song với đường thẳng d :5x y 0   . Giải Ta có   2 f ' x x mx   , d : y 5x  . *   M m x 1 M C            m M M 2 y f x       m 2 M 1;  . *  là tiếp tuyến tại M của   m C        M M M : y f ' x x x f x          m 2 : y m 1 x 1         m 2 : y m 1 x 1      . * / /d   m 2 m 1 5 1 0           m 4  . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 7 Chú ý: (về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc) Cho 1 1 1 d : y k x m   và 2 2 2 d : y k x m   . ☞ 1 2 d / /d  1 2 1 2 k k m m      . ☞ 1 2 d d   1 2 k k 1   . ☞ 1 d tạo với 2 d góc  (   0 ;90    )  k k 1 2 1 k k 1 2 tan     . Ví dụ 5. [ĐHD07] Cho     2x x 1 f x C   . Tìm tọa độ điểm M thuộc   C biết tiếp tuyến của   C tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho OAB  có diện tích bằng 1 4 . Giải Ta có     2 2 x 1 f ' x   . *   M C     2x M M M x 1 M y f x       2x M M x 1 M M x ;  . *  là tiếp tuyến với   C tại M        M M M : y f ' x x x f x          2x 2 M M 2 x 1 M x 1 M : y x x            2 2x 2 M 2 2 x 1 x 1 M M : y x      . * A Ox         2 2x 2 M A A 2 2 x 1 x 1 M M A y x y 0             2 M A x ;0  . B Oy         2 2x 2 M B B 2 2 x 1 x 1 M M B y x x 0             2 2x M 2 x 1 M B 0;          . * Ta có 2 M OA x  ,   2 2x M 2 x 1 M OB   . OAB  vng tại O      4 x 1 M 2 2 x 1 M S OAB OA.OB     . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 8 *   1 4 S OAB      4 x M 1 2 4 x 1 M      2 4 M M 4x x 1         2 M M M M x 1 2x 1 2x x 1 0       M 1 M 2 x 1 x        (Phương trình 2 M M 2x x 1 0    có 7 0     nên vơ nghiệm)      1 2 M 1;1 M ; 2       . Ví dụ 6. Cho     3 2 m f x x 3x mx 1 C    . Tìm m để   m C cắt đường thẳng d :y 1  tại ba điểm phân biệt   C 0;1 , D , E sao cho các tiếp tuyến với   m C tại D và E vng góc với nhau. Giải Ta có   2 f ' x 3x 6x m    . * Xét phương trình hồnh độ giao điểm của   m C và d : 3 2 x 3x mx 1 1 (1)     . Ta có (1)    2 x x 3x m 0         2 t x x 0 x 3x m 0 (2) 9 4m              .   m C cắt đường thẳng y 1  tại ba điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0    0 t 0 0          9 4m 0 m 0       Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 9  9 4 0 m (3)   . * D và E là các nghiệm của (2) nên theo định lý vi-ét, ta có: D E D E x x 3 (4) x x m        . Hệ số góc các tiếp tuyến với   m C tại D và E lần lượt có hệ số góc là   D f ' x và   E f ' x nên: Tiếp tuyến với m (C ) tại D và E vng góc với nhau      D E f ' x .f ' x 1        2 2 D D E E 3x 6x m 3x 6x m 1                2 2 2 D E D E D E D E D E D E 9 x x 18x x x x 3m x x 2x x 36x x m 1 0 5                . Thay (4) vào (5) ta được:     2 2 2 9m 18m 3 3m 3 2m 36m m 1 0                 2 4m 9m 1 0     9 65 8 m   (thỏa mãn (3) ). Vậy 9 65 8 m   . Chú ý: (Định lý vi-ét thuận) Nếu phương trình 2 ax bx c   ( a 0  ) có hai nghiệm 1 x , 2 x thì b 1 2 a c 1 2 a x x x x          . Ví dụ 7. Cho     3 2 f x x 3x 5x 1 C     . Viết PTTT của hệ số góc nhỏ nhất của   C . Giải Ta có   2 f ' x 3x 6x 5     Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ 0 x là   2 0 0 0 k f ' x 3x 6x 5     . Ta thấy   2 0 k 3 x 1 2 2     và k 2   0 x 1  . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của   C là tiếp tuyến có tại điểm có hồnh độ bằng 1 , PTTT là:       : y f ' 1 x 1 f 1        : y 2 x 1 4      : y 2x 2    . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 10 Ví dụ 8. [ĐHD02] Cho       2 2m 1 x m x 1 f x C     và d : y x  . Tìm m để   C tiếp xúc với d . Giải Ta có     2 m 1 x 1 f ' x    .   C tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm     2 2m 1 x m x 1 2 m 1 x 1 x 1               . * Với m 1  : hệ nói trên vơ nghiệm. * Với m 1  : hệ          2 2 2 2m 1 x m x x 1 (1) m 1 x 1 (2)             . Ta có (2)  m 1 x 1 m 1 x 1            x m (3) x 2 m (4)       . Thay (3) vào (1) ta được:     2 2m 1 m m m m 1     0 0   (ln đúng). Vậy hệ ln có nghiệm x m  . Tóm tại:   C tiếp xúc với d  m 1  . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 11 C. Bài tập Bài 1. Viết PTTT d của   C biết rằng 1)   4 2 3 C : y x 2x   và hồnh độ tiếp điểm bằng 2 . 2)   2 x 3x 4 x 1 C : y     và d là tiếp tuyến tại giao điểm của   C với trục tung. 3)   3 2 C : y 2x 3x 5    và d đi qua   19 12 A ;4 . 4)   3 2 C : y 2x 3(m 1)x 6(m 2)x 1       và d đi qua   A 0; 1  . Đáp số: 1) y 24x 43   . 2) y 7x 4   . 3) y 12x 15   , 645 21 32 128 y x   , y 4  . 4)     2 3 2 234 32 y 3 3m 9m 11m 1 x m 1 1        . Bài 2. Cho   x y C x 1   . Chứng minh rằng qua giao điểm của hai tiệm cận của   C , khơng kẻ được tiếp tuyến nào tới   C . Hướng dẫn: Viết PTTT d của   C tại điểm có hồnh độ 0 x , chứng minh khơng tồn tại 0 x để d đi qua giao điểm hai tiệm cận của   C . Bài 3. Tìm trên đường thẳng x 3  các điểm mà qua đó có tiếp tuyến tới   2x 1 C : y x 2    . Hướng dẫn:  là tiếp tuyến với   C tại điểm có hồnh độ 0 x      2x 1 5 0 0 2 x 2 0 x 2 0 : y x x         . Xét   A 3;a . Qua A có tiếp tuyến tới   C  tồn tại 0 x sao cho  qua A  phương trình     2x 1 5 0 0 2 x 2 0 x 2 0 a 3 x        có nghiệm đối với 0 x  a 7  . Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn u cầu bài tốn là     A 3;1 |a 7  . Bài 4. Viết PTTT d của   C biết rằng 1) [ĐHD10]   4 2 C : y x x 6     biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 1 6 : y x 1    . 2) [ĐHB06]   2 x x 1 x 2 C :y     và d vng góc với tiệm cận xiên của   C . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 12 3)   3 C : y x 3x 7    và d tạo với : y 2x 3    góc o 45 . Đáp số: 1) y 6x 10    . 2) y x 2 2 5     , y x 2 2 5     . 4) y 3x 7    , 20 10 1 3 27 y x 7    , 20 10 1 3 27 y x 7    . Bài 5. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị   3 1 2 C : y x x 3 3    mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng 1 2 3 3 : y x     . Đáp số:   2;0  ,   4 3 2; . Bài 6. Cho       3 2 1 m 3 y mx m 1 x 3m 4 x 1 C      . Tìm điều kiện của m để   m C có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x 2011   . Hướng dẫn:   m C có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x 2011    phương trình     2 0 0 mx 2 m 1 x 3m 4 1       có nghiệm đối với 0 x  1 2 m 1    . Bài 7. Tìm m để tiếp tuyến với   2 3x mx 4 C : y 4x m      tại điểm có hồnh độ bằng 1 vng góc với tiệm cận xiên của   C . Đáp số: m 25 477    . Bài 8. Cho   2x 1 x 1 y C    và   M C  . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt hai tiệm cận tại A và B . 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB . 2) Chứng minh diện tích IAB  khơng đổi. 3) Tìm M để chu vi IAB  đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn: 1) * Giả sử M có hồnh độ là 0 x  tiếp tuyến với   C tại M là     2x 1 01 0 2 x 1 0 x 1 0 : y x x              2 2x 2x 1 0 0x 2 2 x 1 x 1 0 0 : y         . * A là giao điểm của  và tiệm cận ngang của   C    0 A 2x 1;2  . B là giao điểm của  và tiệm cận đứng của   C  2x 0 x 1 0 B 1;        . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 13 * Ta thấy: x x A B 0 2 x   ; A , B , M thẳng hàng  M là trung điểm của AB . 2) Ta có: 0 IA 2 x 1   , 2 x 1 0 IB    1 IAB 2 S IA.IB 2    (ĐPCM). 3) 2 2 IAB P IA IB AB IA IB IA IB 2 IA.IB 2.IA.IB 4 2 2             . Dấu bằng xảy ra  IA IB       M 0;1 M 2;3     . Vậy IAB P  nhỏ nhất      M 0;1 M 2;3     . Bài 9. [ĐHA09] Cho   x 2 2x 3 y C    . Viết PTTT của   C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho OAB  cân tại O . Hướng dẫn: * Giả sử tiếp tuyến cần tìm là : y kx m    . OAB  cân tại O  k 1 m 0       . *  tiếp xúc với   C tại điểm có hồnh độ 0 x      1 0 2 2x 3 0 k f ' x     . * Phương trình   0 f ' x 1  vơ nghiệm,   0 f ' x 1    0 0 x 1 x 2        . 0 x 1    : y x    (loại); 0 x 2    : y x 2     . Bài 10. Cho     x 3 2 x 1 y C    . Viết phương trình tiếp tuyến của   C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O . Hướng dẫn: * Giả sử tiếp tuyến cần tìm là : y kx m    . Trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O  OAB  cân tại O  k 1 m 0       . * Các tiếp tuyến thõa mãn u cầu bài tốn là: 3 2 y x    , 5 2 y x    . Bài 11. Cho   x 2 x 1 y C    . Viết PTTT của   C biết tiếp tuyến cắt các tiệm cận tại A , B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp IAB  đạt giá trị lớn nhất với I là giao điểm của hai tiệm cận. Hướng dẫn: * Chứng minh IBC S  khơng đổi. [...]... Viết phương trình tiếp tuyến  của tại điểm uốn và chứng minh  là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C  Đáp số:  : y   x  8 3 Bài 30 3 2 Cho y  x  3x  9x  5 Bài 31 Cho y   C Tìm tiếp tuyến với (C) 1 3 x  mx 2  x  m  1 3  C  Tìm m có hệ số góc nhỏ nhất để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là 24 Viết phương trình các tiếp tuyến đó Bài 32  C 3 2 Cho...  0 thì tiếp tuyến với tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, nếu a  0 thì tiếp tuyến với  C  tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất Bài 33 Cho y   x  1 2  x  1 2  C  2 và y  2x  m P 1) Tìm m để  C  và  P  tiếp xúc nhau 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị Bài 34 Cho  C  : y  1 và  : y  ax  b x 1) Tìm điều kiện của a , b để  tiếp xúc...   Cm  Viết phương trình tiếp tuyến của  Cm  tại  các điểm cố định của Cm Tìm quỹ tích các giao điểm của các tiếp tuyến đó 2 Cho y  x  2mx  m Bài 26 x m  hai tiếp tuyến của Cm  m để  Cm  cắt Ox tại hai điểm phân biệt và tại điểm đó vng góc với nhau Cho y   x  1 x2 Bài 27  Cm  Tìm  C Tìm trên  C  cặp điểm A , B sao cho AB  8 và các tiếp tuyến của  C  tại A và B song song... Bài 13  C Viết PTTT của  C   cận một tam giác có chu vi bằng 2 2  biết rằng tiếp tuyến tạo với hai tiệm  2 Đáp số: y   x  8 Cho y  3x  2 x 1 Bài 14  C Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của  C  Viết PTTT của  C  biết rằng tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của  C  lần lượt tại A ,  B sao cho cosBAI  5 26 Đáp số: y  5x  2 , y  5x  2 Cho y  2mx  3 x m Bài. .. 1 Tiếp tuyến với  C  tại A cắt đồ thị cắt  C  tại B khác A Hãy xác định tọa độ của B theo tọa độ của A   3 Đáp số: B 2x0 ; 8x 0  6x0  1 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số Bài 18 4 2 Cho y  1 x  3x  5 2 2 C 15 và điểm A   C  có hồnh độ bằng a Tìm các giá trị của a sao cho tiếp tuyến của. . .Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số 14 * Từ cơng thức r  S suy ra: bán kính đường tròn nội tiếp IAB đạt giá trị lớn nhất  p PIBC đạt giá trị nhỏ nhất * Các tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là: y  x  2  2 3 , y  x  2  2 3 Cho y  2x x 2 Bài 12  C Viết PTTT của  C  biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt... Bài 15  tuyến bất kỳ của Cm Đáp số:   Cm  Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm m để tiếp cắt 2 tiệm cận tại A , B sao cho IAB có diện tích bằng 64  58 2   Cho Cm : y  Bài 16  tại giao điểm của Cm  2x 2  3x  m ( m  0;1 ) Chứng minh tiếp tuyến với  Cm  xm với trục tung cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1  Cho điểm A x0 ; y 0 Bài 17  3 thuộc đồ thị  C  của hàm số... cặp điểm A , B sao cho hai tiếp tuyến với  C  tại hai điểm đó vng góc với nhau ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số 4 2 Cho y   x  2mx  2m  1 Bài 22 16  C  Tìm m để các tiếp tuyến với  C  tại A  1;0  và B  1;0  vng góc với nhau Đáp số: 3 ; 5 4 4 3 2 Cho y  x  mx  1 Bài 23  Cm  Tìm m để ...  2 Bài 19 4 Cho y  x  3x 2  5 2 2  C 1) Gọi d là tiếp tuyến của  C  tại điểm M có hồnh độ bằng a Chứng minh hồnh độ giao điểm của d với  C  là nghiệm của phương trình  x  a  2  x2  2ax  3a2  6  0 2) Tìm a để ngồi điểm M nói trên, d còn cắt  C  tại hai điểm phân biệt P , Q Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng PQ Hướng dẫn: 1) Chứng minh phương trình hồnh độ giao điểm của. ..    I là trung điểm của P , Q  I a;  7 a4  9a 2  5 2 2  3  x   4 2 Vậy quỹ tích điểm I là đường cong  C'  : y   7 x  9x  5 với  2 2  x  1  Bài 20 3 Cho y  x  1  m  x  1  C Viết phương trình tiếp tuyến 3 d của  C  tại giao điểm của  C  với Oy Tìm m để d chắn trên Ox , Oy một tam giác có diện tích bằng 8 Đáp số: m  9  4 5 , m  7  4 3 Bài 21 3 2 Cho y  x  . các tiếp tuyến đó. Bài 32. Cho   3 2 y ax bx cx d C     . Chứng minh nếu a 0  thì tiếp tuyến với   C tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, nếu a 0  thì tiếp tuyến. trình tiếp tuyến  của   C tại điểm uốn và chứng minh  là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của   C . Đáp số: 8 3 : y x     . Bài 30. Cho   3 2 y x 3x 9x 5 C     . Tìm tiếp. định của   m C . Tìm quỹ tích các giao điểm của các tiếp tuyến đó. Bài 26. Cho   2 x 2mx m m x m y C     . Tìm m để   m C cắt Ox tại hai điểm phân biệt và hai tiếp tuyến của