chuyen de phuong trinh luong giac

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cos x  sin 2 x  0.. Giải.[r]

(1)

CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG GIÁC I CƠNG THỨC

I Cơng thức lượng giác bản

 

2 2

2

sin os 1 tan , ( )

os

1

tan cot 1, ( ) cot ,

2 sin

a c a a a k k

c a

a a a k k a a k k

a

  

 

      

       



 

I Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt

a Cung đối:  và

   

os os tan tan

sin sin cot cot

c  c   

   

   

   

b Cung bù:  và  

   

sin sin tan tan

os os cot cot

c c

     

   

   

c Cung phụ: và



  

sin os tan cot

2

os sin cot tan

2

c c

 

   

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

d Cung kém  : và  

   

sin sin tan tan

os os cot cot

c c

     

   

Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo,  tan cot

I Công thức cộng

 

sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin os cos cos sin sin os cos cos sin sin

tan tan tan

1 tan tan tan tan tan

1 tan tan

a b a b a b

c a b a b a b

a b

a b

a b

a b

a b

  

  

  

  



 

 

 



(2)

I Công thức nhân đôi

2 2

2 tan

sin 2sin cos os2 os sin 2cos 1 2sin tan

1 tan a

a a a c a c a a a a a

a

       



I Công thức hạ bậc

2 os2 os2 os2

sin os tan

2 os2

c a c a c a

a c a a

c a

  

  



I Công thức tính theo t tan

 

2

2 2

2

sin cos tan ,

1 1 2

t t t a

a a a k k

t t t

 

  

       

    

I Công thức nhân ba

3

2 3tan tan sin 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan

1 3tan

a a

a a a c a a a a

a



    



I Cơng thức biến đổi tổng thành tích

   

cos cos 2cos os cos cos 2sin sin

2 2

sin sin 2sin os sin sin os sin

2 2

sin sin

tan tan , , tan tan , ,

cos cos cos cos

a b a b a b a b

a b c a b

a b a b a b a b

a b c a b c

a b a b

a b a b k k a b a b k k

a b a b

                                           

I Công thức biến đổi tích thành tổng

   

1

cos cos os os

2

sin sin os os

2

sin cos sin sin

2

a b c a b c a b

a b a b a b

     

     

     

I 10 Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt Cung 00 

30        45        60        90        120        135        150          180 

sin

2 2 3 2 2

cos

2 2 2  2 

 1

tan

3 ║  1

1

 0

cot ║ 1

3

1

 1  3 ║

Chú ý:

 sin

n

 

(3)

 Công thức đổi từ độ sang radian ngược lại:

0 a 180

  

(4)

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II Phương trình lượng giác bản: II.1.1 Phương trình sinx a

 a 1: Phương trình vơ nghiệm  a 1

   sin sin x k x k x k                      0

0 0

360 sin sin 180 360 x k x k x k                   sin sin sin

x arc a k

x a k

x arc a k

               Tổng quát:               sin sin

f x g x k

              

* Các trường hợp đặc biệt

 

sin

2

sin

2 sin

x x k k

x x k k

                        

Ví dụ: Giải phương trình sau:

)sin sin 12

a x  b)sin 2x sin 360



1 )sin

2

c x )sin

3

d x

Giải   2 12 12 )sin sin 11 12 2 12 12

x k x k

a x k

x k x k

                                         

0 0 0

0

0 0 0

0

2 36 360 2 36 360

)sin sin 36 sin sin 36

2 180 36 360 216 360

18 180 108 180

x k x k

b x x

x k x k

(5)

 

3

1 18

)sin sin sin

5

2

3

6 18

x k x k

c x x k

x k x k

  

 

  



 

   

 

       

     

 

 



 

2 arcsin

2

)sin

2

arcsin

x k

d x k

x k



 



 



   

   





II.1.2 Phương trình cosx a  a 1: Phương trình vơ nghiệm  a 1

 c x cos  os  x  k2k 

  

0 0

os os 360

c x c   x k k   c x aos   xarcc a kos  2k 

Tổng quát: c f xos   c g xos    f x g x k2 k  * Các trường hợp đặc biệt

 

os

2

c x x k k

c x x k k



 

    

     

     

  

) cos os

a x c  ) cos 450

2

b x  ) os4

2 c c x

;

3 ) cos

4

d x

Giải

 

) cos os

4

a x c   x  k  k 

     

0 0 0

0 0

0 0 0

45 45 360 45 360

2

) cos 45 cos 45 os45

2 45 45 360 90 360

x k x k

b x x c k

x k x k

      

         

    

 

 



 

2 3

) os4 os4 os ,

2 4 16

c c x  c x c   x  k   x  k k 

3

)cos arccos ,

4

d x  x k  k 

II.1.3 Phương trình tanx a

 

0 0

tan t an =

tan t an = 180

tan = arctan

x x k k

x a x a k k

  

 



    

  

(6)

) tan tan

a x  ) tan

3

b x c) tan 4 x 200 3

 

Giải

 

) tan tan ,

3

a x   x k k 

 

1 1

) tan 4 arctan arctan ,

3 4

b x  x  k  x  k k

    

   

 

0 0 0 0

0

) tan 20 tan 20 tan 60 20 60 180 80 180

20 45 ,

c x x x k x k

x k k

           

    

II.1.4 Phương trình cotx a

 

0 0

cot cot x = + k cot cot x = + k180 cot x = arc cot + k

x k

x a a k

  

 



   

  

Tổng quát: c f xot  c g xot    f x  g x k k  Ví dụ: Giải phương trình sau:

3 ) cot cot

7

a x 

) cot

b x

1 ) cot

6

c  x  

 

Giải

 

3

) cot cot ,

7 7

a x   x  k  x k k 

     

) cot 4 arctan arctan ,

4

b x  x  k  x  k k 

 

1

) cot cot cot 2 ,

6 6 6

c  x     x     x   k  x k  x k k

    

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải phương trình sau:

1) sin 2 x1 sin 3 x1 2)

cos cos

4

x  x 

   

  

   

    3) tan 2 x 3 tan3 

 

4)  

0

cot 45

3 x

 

5) 

3 sin

2

x

6)  



 

cos 25

2

x

7) sin3xsinx 8) cot 4 x2  9)    

0

tan 15

3

x

10)  

sin 8x60 sin 2x0

11)  

0 cos cos 30

2 x

x

 

12) sinx cos 2x0

13)

tan cot

4 x   x

  14) sin 2xcos3x 15)



 

 

 

 

2

sin cos2

3

x x

(7)

19) tan 3 x2 cot 2 x0 20) sin 4xcos5x0 21) 2sinx sin 2x0

22) sin 22 xcos 32 x1 23) sin cos3x xsin cos2x x

24)  

2

cos 2sin

2

x x

25)  



 

  

 

 

tan cot

2

x x

26) tan tan3x x1

27)



 



 

 

2

sin cos

4 x 28) tan 4sinx 1



 

 

 

 

Bài 2: Tìm x 2;   

 

  

  cho:tan 3 x2  3.

Bài 3: Tìm x0;3 cho:

sin cos

3

x  x 

   

   

   

    .

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Giải phương trình sau:

18)

 

 

       

2 cos4 cos6

sin sin cos4 cos6 cos4 cos

2

x x

x x x x x x

22)

 

      

2 cos4 cos6

sin cos 1 cos4 cos6

2

x x

x x x x

23)

   

   1   

sin cos3 sin cos2 sin sin8 sin sin8 sin2 sin

2

x x x x x x x x x x

24)

 

       1

cos 2sin cos cos cos

2

x

x x x x

25)    



 

  

 

 

tan cot 25

2

x x

Vì



 

 

 

 

tan

2

x

cot 5 x  0 không nghiệm pt (25) nên ta có:

 

   

  

 



     

         

     



     

1

tan cot tan tan tan

2 cot

x x x x x

x

26) tan5 tan3x x1 26 

Vì tan 5x0 tan3x0 khơng nghiệm pt (26) nên ta có:



 

         

 

1

tan tan3 tan5 tan cot tan5 tan

tan3

x x x x x x x

(8)

II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp: II.2.1 Phương trình bậc hàm số lượng giác:

II.2.1.1 Định nghĩa: phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng

0

at b  t a,b số a0và t hàm số lượng giác. Ví dụ:

1

2sin 0; os2 0; 3tan 0; cot

x  c x  x  x 

II.2.1.2 Phương pháp: Đưa phương trình lượng giác bản. Giải

 

2

1

) 2sin sin sin sin

5

2

x k

a x x x k

x k

  

  

 



        

  





   

1 2

) os2 os2 os2 cos 2

2 3

b c x  c x  c x   x  k  k  x  k k

 

1

) 3tan tan arctan

3

c x   x  x k k 

 

1 2

) cot cot cot cot

3

d x   x  x   x  k k 

II.2.1.3 Phương trình đưa phương trình bậc hàm số lượng giác: Ví dụ: Giải phương trình sau:2cosx sin 2x0

(9)

 

cos sin cos 2sin cos cos 2sin

2 cos

cos

,

1 2sin sin

2 5

6

x x x x x x x

x k

x x

x l k l

x x

x l

  

 



       



 



 

 

  

      

 

  



 

  





Bài tập đề nghị:Giải phương trình sau:

29) 2cosx 0 30) tan 3x 0 II.2.2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác:

II.2.2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng

2 0

at bt c  , a, b, c số a0 t hàm số lượng giác. Ví dụ:

a) 2sin2xsinx 0 phương trình bậc hai sinx. b) cos x2 3cosx1 0 phương trình bậc hai cos2x. c) tan2x tanx 0 phương trình bậc hai tanx.

d) 3cot 32 x cot 3x 3 phương trình bậc hai cot 3x

II.2.2.2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ t hàm số lượng giác đưa phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa phương trình lượng giác (chú ý điều kiện   1 t 1 đặt t sin

cos)

Giải

) 2sin sin 0(1)

a x x 

Đặt tsinx, điều kiện t 1 Phương trình (1) trở thành:

 

2

1 ân

2 3

2

t nh

t t

t loai

  

   

  

Với t=1, ta sinx 1 x k 2k 

 

)

b cos x cosx 

Đặt t c x os , điều kiện t 1 Phương trình (2) trở thành:

 

2

3 13 â

3

3 13

t nh n

t t

t loai

  

  

   

  

   Với

3 13 t 

ta  

3 13 13

os arccos

2

c x   x   k  k 

Các câu lại giải tương tự

(10)

2

)3sin cos

a x x  b)7 tanx 4cotx12

Giải

 

2

)3sin cos 3 cos cos 3cos cos cos 3cos

cos 3cos

a x x x x

x x x x

x x

       

     

 

   



*) Giải phương trình:cos 2x 2x k x k 2,k 

  



        

*) Giải phương trình:

7 3cos cos

3

x   x

Vì

7

3  nên phương trình 3cos 2x 0 vơ nghiệm.

Kết luận: nghiệm phương trình cho x k 2,k 

 

   

 

)7 tan cot 12

b x x

Điều kiện: sinx0và cosx0 Khi đó:

 1 7 tan 4. 12 0 7 tan2 12 tan 4 0 tan

x x x

x

       

Đặt t tanx, ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t2 12 0t  Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau:

31) 2 cos2x 3cosx 1 32) cos2 xsinx 1 33) 2 cos2x cosx1

34) 2sin2x5sin – 0x  35) 2cos2x + 2cosx -√2=0 36)

6 cos2x+5 sinx −2=0

37) tan2x (1 3) tan =0x 38) 24 sin2 x14cos 21 0x 

39)

sin 2cos

3

x  x 

   

   

   

    40) 4cos 2( 1)cos2x  x 

II.2.3 Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx:

II.2.3.1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx phương trình có dạng

 

2

.sin sin cos os , ,

a x b x x c c x d a b c  II.2.3.2 Phương pháp:

 Kiểm tra cosx0có nghiệm khơng, có nhận nghiệm này.

 cosx0chia hai vế cho cos2xđưa phương trình bậc hai theo tanx:  

2

tan tan

a d x b x c d  

Ví dụ: Giải phương trình sau

(11)

41) 3sin2x 4sin cos +5cosx x x2 42) 2cos2x 3 sin 2x 4sin2x4

43) 25sin2x15sin 2x9cos2x25 44) 4sin2x 5sin cosx x cos2 x0

45) 4sin2x 5sin cosx x0 46) 4sin2x 6cos2x0

II.2.4 Phương trình bậc sin x cos x :

II.2.4.1 Định nghĩa: Phương trình bậc sin x cos x phương trình có dạng

sin cos

a x b x c a b c, ,   a2 b2 0

Ví dụ: sinxcosx1; 3cos 2x 4sin 2x1;

II.2.4.2 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

2 2 2

sin cos

a b c

x x

a b  a b  a b

 Nếu 2

1 c

a b  : Phương trình vơ nghiệm.

 Nếu 2

1 c

a b  đặt os 2 sin 2

a b

c

a b a b

    

 

(hoặc 2 2

sin a cos b

a b a b

    

  )

Đưa phương trình dạng:

  2 2

sin x c

a b



 

 (hoặc   2

os c

c x

a b



 

 ) sau giải phương trình lượng giác

Chú ý: Phương trình asinx b cosx c a b c, ,   a2b2 0 có nghiệm c2 a2b2.

Giải Ví dụ: giải phương trình sau:

a) sinxcosx1; b) 3cos 2x 4sin 2x1;

Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau:

47) 2sinx cosx  48) 3sinx4 cosx5 49) 3sinx1 4cos x1 5

50) 3cosx4sinx5 51) 2sin 2x 2cos 2x 52) 5sin 2x 6cos2x13;(*) 53)



 

   

 

4

sin cos

4

x x

(*) 54) sinx cosx

III BÀI TẬP

Bài Giải phương trình sau: 55

1 sin

2 x

56

3 os2

2 c x

57  

0

tan 30

3

x 

(12)

58

1

cot

8 x



 

 

 

  59 sin 2x sin x 

 

   

  60 cot 2x cot 5x

 

   

  

   

   

61    

0

os 20 sin 60

c x   x

62

tan cot

6

x  x 

   

  

   

    63

2

tan x

Bài Giải phương trình sau: 64

2sin 3

6 x 

 

  

 

  65 cos 22 x c os2x=0 66 tanx1 cos x0

67 2sin2xsinx 0 68 4sin2 x4cosx1 0 69 tanx2 cotx 0 70 2cot4x 6cot2x 4 0 71 sin4 x c os4xcosx 2

72 1 cos4 sin 4x x sin 22 x (*) 73 3sin2 x 2sin cosx x c os2x0

74 cos2 x sin2 x sin 2x1 75

2

sin sin 2cos 2

x x x

Bài Giải phương trình sau:

76 3sinx4cosx5 77 2sin 2x cos 2x 2 78 √3 cosx −sinx=√2

79

2

sin sin x x

80 cos 2x9 cosx 5 0 Bài 4.Giải phương trình sau:

81) sin 6x cos 6x 82) cos2xsinx 1 83) 3sinx cosx1 84) 5cos 2x12sin 2x13 85)

2

sin sin 2 x x

86) cos2x sinx2

87) 4sin2 x3 3sin 2cosx 2x4 88) 24sin2x14cosx 21 0

89)

tan cot

6 x x

 

   

    

   

   

90)

sin 2cos

3

x  x 

   

   

   

   

91)  

2

3sin x8sin cosx x cos x0 92) 2sin 3x sin 6x0

93) cos2x sin2 x 94)

sin 3cos

3

x  x 

   

   

   

   

95)  

2

(13)

96) sin2 x–10sin cosx x21cos2x0 97) cos2x sin2x 2sin 2x1 98) cos sin3 cosx x x sin cos 3x x 99)

1 sin cos

sin

x x

x

 

Dành cho HS – giỏi 100) cosx sinx2 os3c x

101) tanxtan tan x x

HD:

sin sin 1

tan tan tan sin

cos cos cos3 cos cos cos3

x x

x x x x

x x x x x x

 

       

 

Giải phương trình

 

3

1

0 cos cos cos3

cos3 cos cos

4cos 3cos cos 2cos

2cos 2cos

cos cos

x x x

x x x x

x x

 

  

    

  

102)  2sinx cosx 1 cos x sin2 x

103) (1 cos )sin 2 x xsin x Hướng dẫn:

2 (1 cos )sin 2 x xsin x

104) cos tanx  x sinxcosxsinx 105) cotx tanxsinxcosx

Hướng dẫn

(14)

     

   

 

2

cos sin

sin cos sin cos

cos sin

sin cos sin cos

cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos

cos sin 91

cos sin sin cos 91

x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x a

x x x x b

   



  

     

    

  

 

  



HD giải pt 91b):

cosx sinx sin cosx x0

Đặt  

2

cos sin cos sin 2sin cos sin cos

2 t

t x x t  x x   x x  x x 

Thay vào phương trình, ta được:

2

0 1 2

2 t

t    t  t    t  t 

Ta giải phương trình: cosx sinx 1 2; cosx sinx 1

106)

2

sin 2 cos

x x 

HD:  

2 3

sin 2 cos cos cos

4

x x    x  x  

Giải phương trình bậc hai hàm số cos 2x

107) 2sin 17x 3cos 5xsin 5x0 HD:

2sin17 3cos sin

3

sin17 cos sin

2

sin17 sin

3

x x x

x  x

  

   

 

    

 

108) cos 7x sin 5x cos 5 x sin 7x

109)  

0

tan 45 tan 180

x

x   

 

200)

1 cos sin cos cos

x x



 

) cos sin cos

b x x x

HƯỚNG DẪN GIẢI

(15)

  5sin cos 13 sin 3cos 16

x x

   

  

53)

 

  

 

  

       

        

 

   

 

 

2

4

1 cos 2

1 cos2

sin cos

4 2

x x

   

  

 

    

      

   

  

 

   

 

2

1 cos2 sin2

1 cos2 cos 2sin sin

1 cos2 sin

cos2 sin

1 cos2 sin 2

2 2

sin cos2 cos sin sin

4 4

sin sin

4

x x

x x x x

x x

x

72) 1 cos4 sin 4x x sin 22 x 1 cos4 sin 4x x 2 sin 22 x

 



85)

2

sin sin 2 x x

 

1

1 cos sin

2

sin cos

x x

   

  

87) cosx sinx c os3x cosx sinxcos3x

BÀI TẬP BỔ SUNG: Giải phương trình sau: 201) cos5 sin 4x xcos3 sin 2x x

202)  

2

cos cos

2

x x

(16)

204) sin3xsin 5xsin 7x0

205) cos2xcos 22 xcos 32 x1(*) 206)

 

   

  

   

   

3

sin 2sin

4

x x

(*) (hay)

  

  

         

 

3 3

: sin sin3

4 4

x

HD t x t x t

207)

 

   

  

   

   

3

sin 2sin

4

x x

III ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM

1) cos cos 2x x cos 2x0 (Khối A - 2005) 2) sin xcosxsin 2x c os2x0 (Khối B - 2005)

4

3) os sin cos sin

4

c x x x    x   

    (Khối D - 2005)

 6 

2 cos sin sin cos

4)

2 2sin

x x x x

x

 



 (Khối A - 2006)

5)

cot sin tan tan x x x  x 

  (Khối B - 2006)

6)cos3x c os2x cosx1 0 (Khối D - 2006)

7)   

2

1 sin x cosx 1cos x sinx 1 sin 2x

(Khối A – 2007) 8)2sin 22 xsin 7x1 sin x (Khối B – 2007)

9)

2

sin os cos

2

x x

c x

 

  

 

  (Khối D – 2007)

10)

1

4sin

sin sin

2

x

x x

 

 

    

    

 

  (Khối A – 2008)

11)sin3x cos3xsin osxc 2x sin2xc xos (Khối B – 2008)

12)2sin 1x cos2xsin 2x 1 2cosx (Khối D – 2008)

13)   

1 2sin cos

3 2sin sin

x x





 

(Khối A – 2009)

14)  

3 sinxcos sin 2x x cos 3x2 cos 4xsin x

(17)

16)

1 sin os2 sin

1

4 cos

1 tan

x c x x

x x



 

    

  

 (Khối A – 2010)

17) sin 2xcos cosx x2 cos 2x sinx0 (Khối B – 2010)

18) sin 2x c os2x3sinx cosx 0 (Khối D – 2010)

19)

1 sin os2

2sin sin cot

x c x

x x

x

 



 (Khối A - 2011)

20) sin cosx xsin cosx x c os2xsinxcosx (Khối B - 2011)

21)

sin 2cos sin

tan

x x x

x

  



 (Khối D - 2011)

22) sin 2x c os2x2cosx1 (Khối A A1 - 2012) 23) 2 cos x sinxcosxcosx sinx1 (Khối B - 2012)