Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát: 1.. Giaûi vaø bieän luaän:.[r]
(1)Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TRỌNG TÂM KIẾN THỨC CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a + b = (a + b) − 2ab a + b = (a − b) + 2ab (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) a2 − b2 = (a + b)(a − b) (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát: Daïng : ⎧x : aån soá ⎨ ⎩a, b : tham soá ax + b = (1) Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : Bieän luaän: (1) ⇔ ax = -b (2) b a • Nếu a = thì (2) trở thành 0.x = -b * Neáu b ≠ thì phöông trình (1) voâ nghieäm * Nếu b = thì phương trình (1) nghiệm đúng với x Toùm laïi : b • a ≠ : phöông trình (1) coù nghieäm nhaát x = − a • a = vaø b ≠ : phöông trình (1) voâ nghieäm • a = và b = : phương trình (1) nghiệm đúng với x • Neáu a ≠ thì (2) ⇔ x = − Lop12.net (2) Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình: Ñònh lyù: Xeùt phöông trình ax + b = (1) ta coù: • (1) coù nghieäm nhaát ⇔ • (1) voâ nghieäm ⇔ • (1) nghiệm đúng với x ⇔ a ≠0 ⎧a = ⎨ ⎩b ≠ ⎧a = ⎨ ⎩b = II.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai: Daïng: ⎧x : aån soá ⎨ ⎩a, b , c : tham soá ax + bx + c = (1) Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a = thì (1) là phương trình bậc : bx + c = • b ≠ : phöông trình (1) coù nghieäm nhaát x = − c b • b = vaø c ≠ : phöông trình (1) voâ nghieäm • b = và c = : phương trình (1) nghiệm đúng với x Trường hợp 2: Nếu a ≠ thì (1) là phương trình bậc hai có Bieät soá Δ = b2 − 4ac ( Δ ' = b '2 − ac với b' = Bieän luaän: ) Neáu Δ < thì pt (1) voâ nghieäm b ) Neáu Δ = thì pt (1) coù nghieäm soá keùp x1 = x2 = − 2a −b ± Δ ) Neáu Δ > thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1,2 = 2a Lop12.net b' ( x1 = x2 = − ) a ( x1,2 = − b' ± Δ ' ) a b ) (3) Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: Xeùt phöông trình : ax + bx + c = (1) Ñònh lyù : ) Pt (1) voâ nghieäm ⇔ ) Pt (1) coù nghieäm keùp ⇔ ) Pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät ⇔ ) Pt (1) coù hai nghieäm ⇔ ) Pt (1) nghiệm đúng với x ⇔ ⎧a = ⎧a ≠ ⎪ ⎨b = ⎨ ⎩Δ < ⎪c ≠ ⎩ ⎧a ≠ ⎨ ⎩Δ = ⎧a ≠ ⎨ ⎩Δ > ⎧a ≠ ⎨ ⎩Δ ≥ ⎧a = ⎪ ⎨b = ⎪c = ⎩ Ñaëc bieät Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt Định lý VIÉT phương trình bậc hai: ) Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai : ax + bx + c = ( a ≠ ) coù hai nghieäm x1, x2 thì b ⎧ ⎪⎪S = x1 + x = − a ⎨ ⎪ P = x x = c a ⎩⎪ ) Định lý đảo : Nếu có hai số x , y mà x + y = S và x.y = P ( S ≥ P ) thì x , y là nghiệm phöông trình X2 − S.X + P = ) YÙ nghóa cuûa ñònh lyù VIEÙT: Cho phép tính giá trị các biểu thức đối xứng các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x1, x2 và x12 + x 22 1 không thay đổi giá trị ta thay đổi vai trò x1,x2 cho Ví dụ: A = + + ) maø x1 x x1 x khoâng caàn giaûi pt tìm x1, x2 , tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng … Chuù yù: ) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1 = và x = c a ) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1 = −1 và x = − Lop12.net c a (4) Daáu nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: Dựa vào định lý Viét ta có thể suy định lý sau: Ñònh lyù: Xeùt phöông trình baäc hai : ax + bx + c = (1) ⎧Δ > ⎪ ) Pt (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät ⇔ ⎨P > ⎪S > ⎩ ⎧Δ > ⎪ ) Pt (1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät ⇔ ⎨P > ⎪S < ⎩ ) Pt (1) coù hai nghieäm traùi daáu ⇔ P<0 ( a ≠ 0) II Phöông trình truøng phöôngï: 1.Daïng : ax + bx + c = (a ≠ 0) (1) 2.Caùch giaûi: ) Đặt ẩn phụ : x2= t ( t ≥ ) Ta phương trình: at + bt + c = (2) Giải pt (2) tìm t Thay t tìm vào x2= t để tìm x Tùy theo số nghiệm phương trình (2) mà ta suy số nghiệm cuûa phöông trình (1) III Phöông trình baäc ba: Daïng: ax + bx + cx + d = (1) (a ≠ 0) Cách giải: Áp dụng biết nghiệm phương trình (1) )Bước 1: Nhẩm nghiệm phương trình (1) Giả sử nghiệm là x = x0 )Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân tử và đưa pt (1) dạng tích số : (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = ⎡ x = x0 ⇔ ⎢ ⎣ Ax + Bx + C = (2) )Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( có) Chuù yù Ta có thể áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kỷ thuật sử dụng sơ đồ HOÓCNE, để giải các phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm nghiệm đa thức) Lop12.net (5) B BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Baát phöông trình baäc nhaát: Daïng : (hoặc ax + b > (1) ≥, <, ≤ ) Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : (1) ⇔ ax > −b (2) Bieän luaän: • • • b a b Neáu a < thì (2) ⇔ x < − a Nếu a = thì (2) trở thành : 0.x > −b * b ≤ thì bpt voâ nghieäm * b > thì bpt nghiệm đúng với x Neáu a > thì ( 2) ⇔ x > − II Dấu nhị thức bậc nhất: Daïng: f ( x) = ax + b (a ≠ 0) Bảng xét dấu nhị thức: x −∞ − Trái dấu với a ax+b III Dấu tam thức bậc hai: b a +∞ Cùng dấu với a f ( x) = ax + bx + c Daïng: (a ≠ 0) Bảng xét dấu tam thức bậc hai: Δ<0 Δ = b − 4ac Δ=0 x f(x) x f(x) Δ>0 x f(x) −∞ +∞ Cuøng daáu a −∞ − Cuøng daáu a −∞ x1 b 2a +∞ Cuøng daáu a x2 +∞ Cuøng daáu a Traùi daáu a Cuøng daáu a Lop12.net (6) Chú ý: Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tam thức luôn có thể phân tích thành f(x) = ax + bx + c = a (x − x1 )(x − x ) Điều kiện không đổi dấu tam thức: Định lý: Cho tam thức bậc hai: f ( x) = ax + bx + c • f (x) > ∀x ∈ R • f (x) < ∀x ∈ R • f (x) ≥ ∀x ∈ R • f (x) ≤ ∀x ∈ R (a ≠ 0) ⎧Δ < ⇔ ⎨ ⎩a > ⎧Δ < ⇔ ⎨ ⎩a < ⎧Δ ≤ ⇔ ⎨ ⎩a > ⎧Δ ≤ ⇔ ⎨ ⎩a < IV Baát phöông trình baäc hai: Daïng: ax + bx + c > ( ≥, <, ≤ ) Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai vế trái chọn nghiệm thích hợp Lop12.net (7) VẬN DỤNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM GIẢI CÁC BÀI TOÁN TUYỂN SINH x − 2x + = mx + − 2m (1) x−2 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Baøi 1: Cho phöông trình: Bài giải: Điều kiện: x ≠ Khi đó: (1) ⇔ x − 2x + = (mx + − 2m)(x − 2) ⇔ x − 2x + = mx2 + 2x − 2mx − 2mx − + 4m ⇔ (m − 1) x − (2m − 2) x + 4m − = (2) Đặt: f(x) = (m − 1) x − (2m − 2) x + 4m − Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác ⎧ ⎧ ⎪⎪m − ≠ ⎪⎪a ≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨Δ ' > ⇔ ⎪ ⎨(2m − 2) − (m − 1)(4m − 8) > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪f(2) ≠ ⎪⎪(m − 1) − (2m − 2) + 4m − ≠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧ ⎪ m≠1 ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎪ ⎨4m − > ⇔ m > ⎪ ⎪ ⎪ −4 ≠ ⎪ ⎪ ⎩ Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là m > Baøi 2: Cho phöông trình: x − (m + 1) x + 3m − = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt Bài giải: Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ⎧ m <3∨m>7 ⎪ ⎧Δ > ⎧(m + 1)2 − (3m − 5) > ⎧m2 − 10m + 21 > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ <m<3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨P > ⇔ ⎨3m − > ⇔ ⎨3m − > ⇔ ⎨m > ⇔ ⎢3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢m > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + > + > m m > ⎣ S ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ ⎪⎪m > −1 ⎩ Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là < m < ∨ m > 7 Lop12.net (8) mx + x + m =0 (1) x −1 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt Baøi 3: Cho phöông trình: Bài giải: Điều kiện: x ≠ Khi đó: (1) ⇔ mx + x + m = (2) Đặt: f(x) = mx + x + m Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt khác ⎧ ⎪ ⎪ m≠0 ⎪ ⎧ ⎪ a ≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪1 − 4m2 > ⎪⎪Δ > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪m > P ⇔⎪ > ⇔ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ m ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ S > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − >0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f(1) ≠ ⎪ ⎪ m ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ + 2m ≠ ⎪ ⎩ m≠0 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ − <m< ⎪ ⎪ 2 ⇔⎪ ⇔− <m<0 ⎨ m < ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ m≠− ⎪ ⎪ ⎩ Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là − < m < Baøi 4: Cho phöông trình: x − mx + m − = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Bài giải: Đặt x = t (t ≥ 0) , phương trình (1) trở thành: t2 − mt + m − = (2) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Lop12.net (9) ⎧⎪Δ > ⎪⎧⎪m2 − 4m + > ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎪⎨P > ⇔ ⎪⎨m − > ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪S > ⎪⎪m > ⎪⎩ ⎪⎩ ⎧⎪m ≠ ⎪⎪ ⎪⎧m > ⎪ ⇔ ⎨m > ⇔ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎪m ≠ ⎩ ⎪⎪m > ⎪⎩ ⎧m > ⎪ Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là ⎪⎨ ⎪ m≠2 ⎪ ⎩ Baøi 5: Cho phöông trình: ( x − 1)( x + mx + m) = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Bài giải: Ta có: ⎡x = (1) ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣ x + mx + m = (2) Đặt: f(x) = x + mx + m Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác ⎧⎪m2 − 4m > ⎧⎪Δ > ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎪⎨ ⎪⎪f(1) ≠ ⎪1 + 2m ≠ ⎩⎪ ⎩⎪⎪ ⎧⎪m < ∨ m > ⎪ ⇔ ⎪⎨ ⎪⎪m ≠ − ⎪⎩ ⎧⎪m < ∨ m > ⎪ Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là ⎪⎨ ⎪⎪m ≠ − ⎪⎩ Baøi 6: Cho phöông trình : mx + (m − 1) x + 3(m − 1) = (1) Với giá trị nào m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa Lop12.net 1 + = x1 x (10) Bài giải: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⎧⎪m ≠ ⎧⎪a ≠ ⇔ ⎪⎨ ⇔ ⎪⎨ ⎪Δ > ⎪(m − 1)2 − 12m (m − 1) > ⎩⎪ ⎪⎩⎪ Theo định lý Viet ta có: ⎧⎪m ≠ ⇔ ⎪⎨ ⎪⎪−11m2 + 10m + > ⎪⎩ ⎧⎪m ≠ ⎪ ⇔ ⎪⎨ ⎪⎪− < m < ⎪⎩ 11 ⎪⎧⎪x + x = − m ⎪ m ⎪⎨ ⎪⎪ (m − 1) ⎪⎪x1x2 = m ⎪⎩ Khi đó: 2 (x1 + x2 ) − 2x1x2 1 2m (1 − m ) + = ⇔ = ⇔ = 2 − 2 x1 x2 9 (m − 1) (m − 1) ( x1 x ) 2 ⇔ (1 − m ) − (m − 1) 2m = (m − 1) ⇔ − 2m + m2 − 6m2 + 6m = 7m2 − 14m + ⇔ 12m − 18m + = Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là m = ⎡m = (loai) ⎢ ⇔⎢ ⎢m = ⎢⎣ 10 Lop12.net (11) CÁC BÀI TOÁN TỰ LUYỆN Bài 1: Cho phương trình: ( x − 3)(x + 3x + − m ) = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⎧ 15 ⎪ ⎪ m> ⎪ Kết quả: ⎨ ⎪ ⎪ m 24 ≠ ⎪ ⎩ Bài 2: Cho phương trình: x − (m + 1) x + (7m − 2) x + − 6m = Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt (1) ⎡2 ⎢ < m <1 Kết quả: ⎢ ⎢m > ⎢⎣ Bài 3: Cho phương trình: x − (m + 1) x +2m+1 (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⎧ ⎪ ⎪ m>− ⎪ Kết quả: ⎨ ⎪ ⎪ m≠0 ⎪ ⎩ −x + x + m = x − (1) x+m Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình: ⎡ m < −6 − ⎢ Kết quả: ⎢ ⎢ m > −6 + ⎣ Bài 5: Cho phương trình: 3x2 + (m − 1) x + m2 − 4m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện 1 + = ( x1 + x ) x1 x 2 ⎡m = Kết quả: ⎢⎢ ⎢⎣ m = Heát 11 Lop12.net (12)