chủ đề iii tổ hợp nhị thức newton đại số tổ hợp – nhị thức newton 1 đẳng thức và bất đẳng thức 1 tính tổng 2 tính tổng 3 so sánh 4 chứng minh 5 cho tx biến đổi tx t

[r]

ĐẠI SỐ TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON : 1/.Đẳng thức và bất đẳng thức:

1/.Tính tổng : S 12C1n 22Cn2 n C2 nn,(n )



      .

2/.Tính tổng :

2 ( 1) n k k n k k k T C k       

3/ So sánh :

2

2

0 & n n k k n n k k

A C  B C 

 

 

4/.Chứng minh :

(2 1)!

[( 1)!]

n

k n k n n k

n k C C

n      

5/.Cho T(x) =

2003

1

(2 1)k k

x 





, biến đổi T(x) =

2003

0

( 1)k k k a x   

Thu gọn hệ số a0 , a1, a2

6/.Chứng minh :

0 ( 1) ( 2) 1 ( 1) (2 1)! , *.

6.( 1)!( 1)!

n

n n n n

n

nC n C n C C n n

n n

 

         

  

7/.Chứng minh :

1

( 2)2

( 1)! ,

n

n n

n n n

n

n C C C n

n



 

    

2/.Phương trình, bất phương trình & hệ phương trình:

1/.Tìm k 50 và n để các số Cnk 1,C Cnk, nk

 

là số hạng liên tiếp của một cấp số cộng 2/.a/.Tính số tập của một tập hợp A biết rằng lần tổng các số tập có 1,2, phần tử của A đúng bằng lần số phần tử của A

b/.Tìm số phần tử lớn nhất của tập hợp B biết B cósố tập phần tử không nhiều hai lần số tập phần tử

3/.Giải : a/

4 n

3 n

n n

A 24

23 A C 





 b/.A4n 1 14.P C3 n 3n 1

c/

1

1 1

10

y y y

x x x y

x

A y A A

C

-

+ - = =

d/.Cxy 1:Cxy :Cxy1 : :

 



e/ 60.( )! 32

k

n n

P n k A 

    f/

1

2

5

n n

n n n

C  C A

   

4/.Cho nhị thức

1

lg 12

( )

n x

f x x  x

 

 

 

 

  Biết tổng các hệ số thứ 1,2,3 của khai triển nhị thức bằng 22; tìm

giá trị của x để số hạng thứ bằng 200?

5/.Cho T(x) =

1 3 4.2           n x x

Gọi u , v là số hạng thứ 3, của T(x) Tìm x cho :

9 240

log n log(3 )n

6/.Cho T(x) =  

5

log(10 ) ( 2)log3

2  x 2x n 

Biết các hệ số thứ , , của khai triển T(x) lập thành cấp số cộng và số hạng thứ của T(x) bằng 21, tìm số hạng thứ

7/ Cho T=

2

3

2a n ab

b b

 



 

  ( a,b > ; n N*) Tìm n để tỉ số hai số mũ của a và b số hạng thứ của

khai triển T là một số nguyên dương Khi n = 12 , tìm số hạng có tích số hai số mũ của a và b lớn nhất ( nhỏ nhất)

8/.Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n cho khai triển T(x) = (1 + x)n có hai hệ số liên tiếp có tỉ số

bằng 7/15 ? Khi x = - 2/3 , tìm số hạng lớn nhất của khai triển này ( với n tìm được ở trên)

9/ Tính hệ số của x-3 trong khai triển sau : T(x) =

100

1 2x

x

 

 

 

 

10/.Tính hệ số của x-2 trong khai triển sau : T(x) = 

100

2

1

2

3

 

   

 

x x x x x

x .

11/.Tính hệ số của x2 f(x) = (x2 – 3x + )2003 bằng cách

12/.Cho A = ( )

100 35- 43

, tìm các số hạng nguyên khai triển A

3/.Các bài toán tổ hợp , chỉnh hợp , hoán vị :

1/.Trên các cạnh AB, BC, CA của DABC lần lượt cho 2; 2; điểm phân biệt khác A,B,C và các điểm này chia cạnh tam giác thành các đoạn bằng

a/.Tính số tam giác có đỉnh là các điểm đã cho

b/.Tính số tứ giác có đỉnh là các điểm đã cho , đó có hình bình hành c/.Nếu tô màu tất cả các điểm đó bằng màu xanh , đỏ , vàng thoả mãn : các điểm cùng cạnh thì cùng màu Tính số tam giác không có đỉnh màu vàng

2/ Cho M = {0;1;2;3; 4;5;6} và N ={4;5;6;7;8;9}.Tính số lượng số tự nhiên A các trường hợp sau :

a/ A có chữ số phân biệt chỉ thuộc tập M hoặc N

b/.A =abcd, avà b thuộc M, c và d thuộc N ,các chữ số của A phân biệt

2/.Tính tổng tất cả các số tự nhiên có chữ số phân biệt thuộc tập A ={0;1;2;3; 4;5;6} 3/ Có số dạng N = abcd với a,b,c,d phân biệt thuộc và N > 2003 ?

hoặc a b c d   ?

4/.Tìm số cách chia tất cả 12 sách GK khác cho học sinh A,B,C cho số sách được chia theo tỉ lệ 1:2:3 ? Nếu đem xếp thứ tự 12 sách GK vào một kệ sách có ngăn liên tiếp cho ngăn nào cũng có sách , có cách ?

5/.Cho A = 0;1;2;3; 4;5;6 Gọi N là số lớn nhất có các chữ số phân biệt thuộc A Tìm số lượng ước số của N Gọi M là số có chữ số phân biệt thuộc A cho tổng các

chữ số của M chia hết cho , tìm số lượng M

6/.Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 có thể lập được số có chữ số phân biệt mà mỗi số đều chia hết cho và hai chữ số 6,7 không ở kề nhau?

8/.Có password dạng N = ******* đó có ký tự là các chữ số phân biệt thuộc A và có ký tự là các chữ cái phân biệt thuộc B =a; b;c;d;e ?

9/.Cho A= {0;1; 2;3; 4;5;6;7} Tính số lượng các số tự nhiên N có không nhiều chữ số đó có đúng chữ số lẻ, ̀ các chữ số của N đôi một phân biệt và đều thuộc A

TỔ HỢP-NHỊ THỨC NEWTON



BÀI 1: Cho đa thức P(x) =(1 x) 2(1 x)   23(1 x) 20(1 x) 3   20được viết dưới dạng P(x) = a0a x a x1  2  a x20 20.Tìm a15?



BÀI 2: Tìm giá trị của x, biết số hạng thứ của khai triển: ?????????

x x

2

7 1log(3 1)

log 5

(2  2  



 



 

 



BÀI 3: Giả sử *;(1 ) 2

n n

n

n N x a a x a x  a x .Biết rằng tồn tại số k nguyên

(1 k n 1)   cho :

k k k

a a a

2 9 24

   

Hãy tính n?



BÀI 4: Tìm số tự nhiên n ,biết rằng khai triển

n

1

(x )

2



thành đa thức đối với biến x, hệ số của x6 bằng lần hệ số của x4



BÀI 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Newton của

7 n

1

( x )

x  ,

biết rằng : C12n 1 C22n 1  C n2n 1 220 1



BÀI 6: Tìm hệ số không chứa x khai triển

2 2 n

(3x )

x



, biết rằng : C0nC1nC2n 121



BÀI Cho n N C m * / :

1 4 2n n .4n ( 1)4n ( 2)4n ( 1)n n

n n n n n n n

C C n  C n  C n  C n  C  C 

          



BÀI :Tìm hệ số của x8 khai triển thành đa thức của :

8

1 x (1 x)

   

 



BÀI 9: C/m: C020093 C2 220093 C4 42009 3 2008 2008C2009 22008 2009(2  1)



BÀI 10: C/m:

n

1 n

n n n

1 1 1 2 1

1 C C C

2 3 n 1 n 1

 

    



BÀI 11: C/m:

n

0 n

n n n n n

1 1 1 1 ( 1) 1

C C C C C

2 4 6 8 2(n 1) 2(n 1)



     

 



BÀI 12: Với n là số nguyên dương ,c/mr:C2n2Cn3 (n 1)C  nn (n 2)2 n 1



BÀI 13: Tìm số nguyên bé nhất n cho khai triển (1 x) n có hệ số liên tiếp có tỉ số là

7

15



BÀI 14: Trong khai triển sau có số hạng hửu tỷ: ( 3 45)124.



BÀI 15: Cho biết số hạng đầu tiên của khai triển

n

1

( x )

2 x



có các hệ số là số hạng liên tiếp của cấp số cộng Tìm tất cả các số hạng hửu tỷ của khai triển đã cho



BÀI 16: Xác định số n cho khai triển nhị thức (x 2) n số hạng thứ 11 là số hạng có hệ số lớn nhất



BÀI 17: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển

8

1 2

( )

3 3



BÀI 18: Khai triển đa thức P(x) (1 2x)  12 thành dạng :

P(x) a 0a x a x1  2 a x 20 20.Tìm max(a ,a , a1 12)?