Đang tải... (xem toàn văn)
- Reøn luyeän kyû naêng giaûi caùc baøi toaùn coù tham soá m vaø caùc ñieàu kieän cuûa nghieäm, Giaûi caùc heä phöông trình - Bieát caùch chöùng minh moät phöông trình baäc hai luoân luo[r]
(1)Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH (06 tiết) I MỤC TIÊU: - HS nắm vững dạng tốn phương trình bậc hai: dấu nghiệm; mối quan hệ nghiệm; hệ phương trình bậc hai ẩn - Rèn luyện kỷ giải tốn có tham số m điều kiện nghiệm, Giải hệ phương trình - Biết cách chứng minh phương trình bậc hai ln ln có nghiệm biết tìm hệ thức nghiệm độc lập m II NỘI DUNG: A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Hệ phương trình bậc ẩn: Có dạng: ( ) ' ' ' ( ') ax by c d a x b y c d (I) Các cách giải: *) Phương pháp đồ thị: - Heä (I) vô nghiệm <=> (d) // (d’) <=> ' ' a b a b - Hệ (I) có nghiệm <=> (d) cắt (d’) <=> ' ' ' a b c a b c - Heä (I) có vô số nghiệm <=> (d) (d’) <=> ' ' ' a b c a b c *) Giải đại số: - Phương pháp - Phương pháp cộng đại số 2) Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) Các cách giải phương trình bậc hai ẩn: a) Công thức nghiệm: = b2 – 4ac > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -b + 2a ; x2 = -b - 2a = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b 2a < phương trình vô nghiệm b) Cơng thức nghiệm thu gọn: ’ = b’2 – ac ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -b' + ' a ; x2 = -b' - ' a ’ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b' a ’ < phương trình vô nghiệm c) Nhẩm theo hệ số a, b, c: - Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) coù a + b + c = x1 = 1; x2 = c a - Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) có a - b + c = x1 = - 1; x2 = - c a 2 Định lý Vi ét: a) Nếu p.trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x 1; x2 tổng tích nghiệm là: S = x1 + x2 = -b (2)b) Nếu hai số x1; x2 có S = x1 + x2 P = x1.x2 hai số nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = 0 3 C.minh phương trình bậc hai ln ln có nghiệm với giá trị tham số m - Bước 1: Lập - Bước 2: Biến đổi dạng: = A2 với m hoặc = A2 + k > với m 4 Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ta tiến hành: Lập Phương trình có nghiệm Từ suy điều kiện m Áp dụng định lý Vi ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2 Biến đổi đề thành dãy phép tính có chứa tổng tích Thay S P vào suy giá trị m Đối chiếu điều kiện kết luận 5 Tìm hệ thức nghiệm độc lập m Khử m từ S P ta hệ thức cần tìm 6 Một số hệ thức khác: Phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có: - Hai nghiệm trái dấu a.c < 0 0 P - Hai nghiệm dương 0 S > 0 P > 0 - Hai nghiệm âm 0 S < 0 P > 0 - Một số công thức cần lưu ý: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2; (x1 - x2 )2 = (x1 + x2)2 – 4x1.x2; x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1.x2(x1 + x2) B LUYỆN TẬP: Hoạt động Nội dung Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a) 2( 1) 3( 2) 5( ) 17 4( 3) ( 2) 2 6 x y x y x y y x b) 3 1 4 2 3 1 4 x y x y c) 2 3 3 3 4 1 6 4 x y x y x a) 2( 1) 3( 2) 5( ) 17 4( 3) ( 2) 2 6 x y x y x y y x 2 2 3 6 5 5 17 3 8 9 4 12 2 2 6 8 x y x y x y x y y x x y Giải ta được: (x; y) = (11; -3) b) 3 1 3 4 2 9 12 6 4 2 3 4 3 4 16 12 16 1 4 x y x y x y x y x y x y Giải ta (x; y) = ( 10 4 ; 7 7 ) c) 2 3 7 2 2 14 3 3 4 11 2 12 11 2 12 1 6 4 x y x y x y x y x x y x y Giải ta (x; y) = (2; 5) (3) 2 10 (1 ) 0 ax ay a x y a) Giải hệ phương trình a = -2 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm 2 4 10 3 0 x y x y Giải ta (x; y) = (-1; 3) b) 2 10 (1 ) 0 ax ay a x y <=> 2 10 2 (1 ) 2 0 ax ay a a x ay Trừ hai PT theo vế, ta được: [a – 2a(1 – a)].x = -10 <=> (2a2 – a).x = -10 (1) Phương trình 91) có nghieäm <=> (2a2 – a) 1 0; 2 a a Vậy với 1 0; 2 a a hệ p.trình cho có nghiệm Bài 3: Xác định giá trị a, b để hệ phương trình 4 10 3 ax y b x by a có nghiệm x = 4; y = 3. Vì x = 4; y = nghiệm hệ PT cho, nên thay vào ta hệ PT: 4 12 5 10 4 5 22 12 3 7 4 4 3 5 a b a b b a a b Giải ta a = 27 1 2 ; 2 32 b 8 Bài 4: Giải phương trình sau: a) 7x2 -12x + = 0; b) 1 2 1 x x x x c) x2 - 2(1+ √3 )x + √3 = d) x2 - ( √2+√3¿ x + √6 = a) 7x2 -12x + = (a = 7; b = -12; c = 5) Ta thaáy a + b + c = + (- 12) + = Vậy nghiệm phương trình x1 = 1; x2 = 5 7 b) 1 2 1 x x x x (1) ÑK: x 0; x -1 (1) <=> x2 + (x + 1)2 = -2x(x + 1) <=> 4x2 + 4x + = 0 Giải ta x1 = x2 = 1 2 c) x2 - 2(1+ √3 )x + √3 = (a = 1; b = - 2(1+ √3 ); b’ = - (1+ √3 ); c = √3 ’ = b’2 – ac = [- (1+ √3 )]2 - √3 = > => ' x1 = + √3 ; x2 = √3 - Bài 5: Giải phương trình sau: a) 2 1 1 10 9 0 2 2 x x ; b) (x2 – 6x + 9)2 + x2 – 6x – = 0 c) x 8 2 x7 x 8 2 x7 4 d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 9 2 a) Đặt t = 1 2 x , ta có phương trình t2 – 10t + = 0 Giải ta t1 = 1; t2 = - Với t1 = 1 2 x = => x = 1 2 - Với t2 = 1 2 x = => x = 1 2 b) Đặt t = x2 – 6x + ta có phương trình t2 + t - 12 = 0 Giải ta t1 = 3; t2 = -4 - Với t1 = x2 – 6x + = => x1 = ; x2 = - Với t2 = -4 x2 – 6x + = -4 => x3 = ; x4 = Keát luaän: c) x 8 2 x7 x 8 2 x7 4 (ñk: x -7) 2 ( x 1) ( x 1) 7 1 7 4 x x (4)*) x 7 1< <=> x + < <=> x < -6 Do -7 x < -6, ta có: x 7 1 x 7 4 <=> = => phương trình vơ nghiệm *) x 7 1 <=> x + <=> x -6 ta coù: x 7 1 x 7 4 x7 2 <=> x = -3 Vậy phương trình có nghiệm x = -3 d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 9 2 <=> 16.(8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 16. 9 2 <=> (8x + 7)2.(8x + 6).(8x + 8) = 72 Đặt t = 8x + 7, ta coù PT: t2.(t – 1)(t + 1) = 72 <=> t4 – t2 – 72 = 0 Giải ta t = 3, x1 = 2 1 5 ; 2 x 4 Bài 6: Cho phương trình x2 + (2a – 5)x – 3b = 0 Xác định a; b để phương trình có hai nghiệm x1 = 2; x2 = -3 Thay x1 = 2; x2 = -3 vào phương trình, ta được: 4 3 6 3 6 3 24 2 a b a a b b Bài 7: Chứng minh phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – ln có hai nghiệm phân biệt với m R Phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – = 0 ’ = [-(m+1)]2 – 2m + = m2 + > với m Điều chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m R Baøi 8: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = (m 1) a) Chứng tỏ phương trình ln ln có hai hai nghiệm phân biệt với m b) Không giải phương trình, xác định giá trị m để tích hai nghiệm Từ tính tổng hai nghiệm a) Phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = 0 ’ = (-m)2 – (m – 1)(m + 1) = m2 – m2 + = > với m Điều chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Theo hệ thức viet, ta có: 1 1 2 1 1 . 1 m x x m m x x m theo đề x1.x2 = ta suy 1 3 1 m m <=> m = 2 Với m = 2, ta lại có x1 + x2 = Bài 9: Cho phương trình x2 + (k – 1)x – k = 0 a) Xác định k để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) Xác định k để phương trình có hai nghiệm dương a) = (k – 1)2 + 4k = = (k + 1)2 Phương trình có nghiệm kép <=> = <=> k = -1 Khi nghiệm kép là: x1 = x2 = b) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 1 ( 1) . x x k x x k Phương trình có hai nghiệm dương <=> 1 1 0 ( 1) 0 ( 1) 0 1 0 0 0 . 0 k x x k k k k x x k Bài 10: Cho phương trình: 2x2 – 3mx – = 0 a) CMR với giá trị m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt a) = (-3m)2 + 16 = 9m2 + 16 > với m (5)b) Goïi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để S = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ c) Tính 3 1 1 x x theo m b) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 1 3 2 . 1 m x x x x Khi S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – x1 x2 = 2 3 ( ) 2 m + Dấu “=” xảy 2 3 ( ) 2 m = <=> m = Vaäy S = m = c) Ta coù: 3 3 1 2 2 3 3 1 2 ( ) ( ) 1 (3 4) ( ) ( ) x x x x x x x x m m x x x x x x Bài 11: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – = 0 a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Xác định giá trị m cho phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu a) Khi m = 4, giải ta nghiệm PT: x1 = 2 ; x2 = 2 b) ’ = (m – 1)2 – (m – 3) = = m2 – 3m + = 2 3 7 ( ) 0 2 4 m với m Điều chứng tỏ PT ln có hai nghiệm với m c) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 1 2( 1) . 3 x x m x x m Hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 - x1.x2 = 2(m – 1) – 2(m – 3) = d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu khi: 1 1 ' 0 3 0 3 . 0 1 2( 1) 0 1 0 m m x x m m m x x Bài 12: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – = 0 a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Chứng minh biểu thức S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m a) Giải ta x1 = 6 35; x2 = 6 35 b) ’ = (m + 1)2 – (m – 4) = = m2 + m + = 2 1 19 ( ) 0 2 4 m với m Điều chứng tỏ PT ln có hai nghiệm với m c) phương trình có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < <=> m – < <=> m < d) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 1 2( 1) . 4 x x m x x m Khi đó: S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 + x2 - x1.x2 = 2m + – 2m + = 10 Điều chứng tỏ biểu thức S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m Bài 13: Cho phương trình: (2m – 1) x2 – 2(m + 4) x + 5m + = 0 a) Giải phương trình m = - b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm a) Giải ta x = b) Ta coù: ’ = (m + 4)2 – (2m – 1).(5m + 2) = = -(9m2 - 9m – 18) (6)2 2 0 ' (9 18) 1 2 ( 1)( 2) m a m m m m m m m C BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = với m tham số: a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình c) Tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 +x2 x1 +5 2=0 HD: a) Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = > b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 = m−m+11 = ⇒ m = 32 Khi đó: x1 + x2 = m−2m1 = 6 c) x1 + x2 = 2m m−1 = m−2m1 – + = 2m-(m-1)+1=m+1+1= m-1 m-1 x1.x2 + 1 Vậy hệ thức cần tìm là: x1.x2 – (x1 + x2) + = 0 d) x1 x2 +x2 x1 +5 2=0 ⇔ 2(x12 + x22) + 5x1x2 = ⇔ 2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 = 0 ⇔ 2(x1 + x2)2 + x1x2 = ⇔ 2 4m (m−1)2+ m+1 m −1 = ⇔ 9m2 = ⇔ m = ± 1 3 Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + = 0 a) Định m để phương trình có nghiệm b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tính x12 + x22 theo m c) Tìm m cho x12 + x22 = 12 HD:a) Ta coù ’ = (m + 1) 2 – m2 + 4m – = 6m – Phương trình có nghieäm ’ m 2 3 b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x1 + x2 = 2(m + 1); P = x1 x2 = m2 – 4m + 5 x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 = 12 <=> 4(m + 1)2 – 2m2 + 8m – 10 = 12 <=> 2m2 + 16m – = 12 <=> m2 + 8m – = <=> m 1 = 1; m2 = -9 (loại) Bài 3: Cho phương trình x2 + mx – m2 + m – = 0 a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m Xác định dấu nghiệm b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ HD: a) Vì phương trình có hệ số a = > c = – m2 + m – = -(m - 1 2)2 - 3 4 < nên ac < với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = - 2m; P = x1.x2 = – m2 + m – 1 x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m + 2= 4m2 – 2m + 2 = (m - 1 2)2 + 7 4 7 4 với m.Vậy giá trị nhỏ x12 + x 22 7 4 m = 1 2 Bài : Cho phương trình: x2 - 2x - m2 - = 0 a- Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b- Tìm m cho phương trính nghiệm x = - tính nghiệm c- Tìm m cho : + ) x12 + x22 = 20 +) x1 = -2x2 (7)Bài : Cho phương trình: x2 - 2(m+1)x + m2 + = 0 a) Với giá trị m phương trình có nghiệm số b) Với giá trị m hai nghiệm số x1 x2 phương trình nghiệm hệ thức x1 - x2 = Baøi : Cho phương trình : x2 + 3x + - m = (1) a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm b) Giải phương trình (1) m = c) Xác định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình ( 1) thỏa mãn hệ thức:x12 + x22 = d) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Bài : Cho phương trình có ẩn số x ( m tham số ) x2 - mx + m - = 0 a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1;x2 với m Tính nghiệm kép ( có) phương trình giá trị m tương ứng b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2 +) Chứng minh A = m2 - 8m + +) Tìm m cho A = +) Tìm gia trị nhỏ A giá trị m tương ứng RÚT KINH NGHIỆM :