- Reøn luyeän kyû naêng giaûi caùc baøi toaùn coù tham soá m vaø caùc ñieàu kieän cuûa nghieäm, Giaûi caùc heä phöông trình - Bieát caùch chöùng minh moät phöông trình baäc hai luoân luo[r]
(1)Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH (06 tiết) I MỤC TIÊU:
- HS nắm vững dạng tốn phương trình bậc hai: dấu nghiệm; mối quan hệ nghiệm; hệ phương trình bậc hai ẩn
- Rèn luyện kỷ giải tốn có tham số m điều kiện nghiệm, Giải hệ phương trình - Biết cách chứng minh phương trình bậc hai ln ln có nghiệm biết tìm hệ thức nghiệm độc lập m
II NỘI DUNG:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Hệ phương trình bậc ẩn: Có dạng:
( )
' ' ' ( ')
ax by c d a x b y c d
(I)
Các cách giải: *) Phương pháp đồ thị:
- Heä (I) vô nghiệm <=> (d) // (d’) <=> ' ' a b a b
- Hệ (I) có nghiệm <=> (d) cắt (d’) <=> ' ' ' a b c a b c - Heä (I) có vô số nghiệm <=> (d) (d’) <=> ' ' '
a b c a b c *) Giải đại số:
- Phương pháp
- Phương pháp cộng đại số
2) Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a
0) Các cách giải phương trình bậc hai ẩn: a) Công thức nghiệm: = b2 – 4ac
> phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
-b + 2a
; x2 =
-b - 2a
= phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
b 2a
< phương trình vô nghiệm
b) Cơng thức nghiệm thu gọn: ’ = b’2 – ac
’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
-b' + '
a ; x2 =
-b' - '
a ’ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
b' a ’ < phương trình vô nghiệm
c) Nhẩm theo hệ số a, b, c:
- Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = (a
0) coù a + b + c = x1 = 1; x2 =
c a - Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = (a
0) có a - b + c = x1 = - 1; x2 = -
c a 2 Định lý Vi ét:
a) Nếu p.trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x
1; x2 tổng tích nghiệm là:
S = x1 + x2 =
-b
(2)b) Nếu hai số x1; x2 có S = x1 + x2 P = x1.x2 hai số nghiệm phương trình:
x2 – Sx + P = 0
3 C.minh phương trình bậc hai ln ln có nghiệm với giá trị tham số m - Bước 1: Lập
- Bước 2: Biến đổi dạng: = A2 với m
hoặc = A2 + k > với m
4 Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ta tiến hành: Lập
Phương trình có nghiệm Từ suy điều kiện m Áp dụng định lý Vi ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2
Biến đổi đề thành dãy phép tính có chứa tổng tích Thay S P vào suy giá trị m
Đối chiếu điều kiện kết luận
5 Tìm hệ thức nghiệm độc lập m Khử m từ S P ta hệ thức cần tìm 6 Một số hệ thức khác: Phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có:
- Hai nghiệm trái dấu a.c <
0 0 P
- Hai nghiệm dương
0 S > 0 P > 0
- Hai nghiệm âm
0 S < 0 P > 0
- Một số công thức cần lưu ý: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2;
(x1 - x2 )2 = (x1 + x2)2 – 4x1.x2; x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1.x2(x1 + x2)
B LUYỆN TẬP:
Hoạt động Nội dung
Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a)
2( 1) 3( 2) 5( ) 17
4( 3) ( 2) 2 6
x y x y
x y y x
b)
3 1
4 2
3 1 4 x y x y
c)
2 3
3 3
4
1
6 4
x y x y x
a)
2( 1) 3( 2) 5( ) 17
4( 3) ( 2) 2 6
x y x y
x y y x
2 2 3 6 5 5 17 3 8 9
4 12 2 2 6 8
x y x y x y
x y y x x y
Giải ta được: (x; y) = (11; -3)
b)
3 1
3 4 2 9 12 6
4 2
3 4 3 4 16 12 16
1 4
x y x y x y
x y x y
x y
Giải ta (x; y) = (
10 4 ;
7 7
)
c)
2 3
7 2 2 14
3 3
4 11 2 12 11 2 12
1
6 4
x y
x y x y
x y x x y x y
Giải ta (x; y) = (2; 5)
(3)
2 10
(1 ) 0
ax ay a x y
a) Giải hệ phương trình a = -2 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
2 4 10
3 0
x y x y
Giải ta (x; y) = (-1; 3)
b)
2 10
(1 ) 0
ax ay a x y
<=>
2 10
2 (1 ) 2 0
ax ay
a a x ay
Trừ hai PT theo vế, ta được: [a – 2a(1 – a)].x = -10 <=> (2a2 – a).x = -10 (1)
Phương trình 91) có nghieäm <=> (2a2 – a)
1 0;
2
a a
Vậy với
1 0;
2 a a
hệ p.trình cho có nghiệm Bài 3: Xác định giá trị a, b để hệ phương
trình
4 10
3
ax y b x by a
có nghiệm x = 4; y = 3.
Vì x = 4; y = nghiệm hệ PT cho, nên thay vào ta hệ PT:
4 12 5 10 4 5 22
12 3 7 4 4 3 5
a b a b
b a a b
Giải ta a =
27 1
2 ; 2
32 b 8
Bài 4: Giải phương trình sau: a) 7x2 -12x + = 0;
b)
1 2 1
x x
x x
c) x2 - 2(1+
√3 )x + √3 = d) x2 - (
√2+√3¿ x + √6 =
a) 7x2 -12x + = (a = 7; b = -12; c = 5)
Ta thaáy a + b + c = + (- 12) + = Vậy nghiệm phương trình x1 = 1; x2 =
5 7 b)
1 2 1
x x
x x
(1)
ÑK: x 0; x -1
(1) <=> x2 + (x + 1)2 = -2x(x + 1) <=> 4x2 + 4x + = 0
Giải ta x1 = x2 =
1 2
c) x2 - 2(1+
√3 )x + √3 =
(a = 1; b = - 2(1+ √3 ); b’ = - (1+ √3 ); c = √3 ’ = b’2 – ac = [- (1+ √3 )]2 - √3 = > => ' x1 = + √3 ; x2 = √3 -
Bài 5: Giải phương trình sau:
a)
2
1 1
10 9 0
2 2
x x
;
b) (x2 – 6x + 9)2 + x2 – 6x – = 0
c) x 8 2 x7 x 8 2 x7 4 d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) =
9 2
a) Đặt t = 1 2 x
, ta có phương trình t2 – 10t + = 0
Giải ta t1 = 1; t2 =
- Với t1 =
1 2 x
= => x = 1 2
- Với t2 =
1 2 x
= => x = 1 2
b) Đặt t = x2 – 6x + ta có phương trình t2 + t - 12 = 0
Giải ta t1 = 3; t2 = -4
- Với t1 = x2 – 6x + = => x1 = ; x2 =
- Với t2 = -4 x2 – 6x + = -4 => x3 = ; x4 =
Keát luaän:
c) x 8 2 x7 x 8 2 x7 4 (ñk: x -7)
2
( x 1) ( x 1)
7 1 7 4
x x
(4)*) x 7 1< <=> x + < <=> x < -6
Do -7 x < -6, ta có: x 7 1 x 7 4 <=> = => phương trình vơ nghiệm
*) x 7 1 <=> x + <=> x -6
ta coù: x 7 1 x 7 4 x7 2 <=> x = -3 Vậy phương trình có nghiệm x = -3
d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) =
9 2
<=> 16.(8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 16.
9 2 <=> (8x + 7)2.(8x + 6).(8x + 8) = 72
Đặt t = 8x + 7, ta coù PT:
t2.(t – 1)(t + 1) = 72 <=> t4 – t2 – 72 = 0
Giải ta t = 3, x1 =
2
1 5
;
2 x 4
Bài 6: Cho phương trình x2 + (2a – 5)x – 3b = 0
Xác định a; b để phương trình có hai nghiệm x1 = 2; x2 = -3
Thay x1 = 2; x2 = -3 vào phương trình, ta được:
4 3 6 3
6 3 24 2
a b a
a b b
Bài 7: Chứng minh phương trình: x2 –
2(m + 1)x + 2m – ln có hai nghiệm phân biệt với m R
Phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – = 0
’ = [-(m+1)]2 – 2m + = m2 + > với m
Điều chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m R
Baøi 8: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = (m
1) a) Chứng tỏ phương trình ln ln có hai hai nghiệm phân biệt với m b) Không giải phương trình, xác định giá trị m để tích hai nghiệm Từ tính tổng hai nghiệm
a) Phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = 0
’ = (-m)2 – (m – 1)(m + 1) = m2 – m2 + = > với m Điều chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m
b) Theo hệ thức viet, ta có:
1
1 2
1 1 .
1 m x x
m m x x
m
theo đề x1.x2 = ta suy
1 3 1 m m
<=> m = 2 Với m = 2, ta lại có x1 + x2 =
Bài 9: Cho phương trình
x2 + (k – 1)x – k = 0
a) Xác định k để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
b) Xác định k để phương trình có hai nghiệm dương
a) = (k – 1)2 + 4k = = (k + 1)2
Phương trình có nghiệm kép <=> = <=> k = -1 Khi nghiệm kép là: x1 = x2 =
b) Theo hệ thức Viet, ta có:
1
1
( 1) .
x x k
x x k
Phương trình có hai nghiệm dương <=>
1
1
0 ( 1) 0
( 1) 0 1 0 0
0
. 0
k
x x k k k
k x x k
Bài 10: Cho phương trình: 2x2 – 3mx – = 0
a) CMR với giá trị m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
a) = (-3m)2 + 16 = 9m2 + 16 > với m
(5)b) Goïi x1; x2 hai nghiệm phương
trình Tìm giá trị m để S = x12 + x22 đạt
giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ
c) Tính 3
1 1
x x theo m
b) Theo hệ thức Viet, ta có:
1
1 3
2
. 1
m x x x x
Khi S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – x1 x2
=
2 3
( )
2 m
+ Dấu “=” xảy
2 3
( )
2 m
= <=> m = Vaäy S = m =
c) Ta coù:
3 3
1 2 2
3 3
1 2
( ) ( )
1 (3 4)
( ) ( )
x x x x x x x x m m
x x x x x x
Bài 11: Cho phương trình
x2 – 2(m – 1)x + m – = 0
a) Giải phương trình với m =
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m
c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Xác định giá trị m cho phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu
a) Khi m = 4, giải ta nghiệm PT: x1 = 2 ; x2 = 2
b) ’ = (m – 1)2 – (m – 3) = = m2 – 3m + =
2
3 7
( ) 0
2 4
m
với m
Điều chứng tỏ PT ln có hai nghiệm với m
c) Theo hệ thức Viet, ta có:
1
1
2( 1)
. 3
x x m
x x m
Hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 +
x2 - x1.x2 = 2(m – 1) – 2(m – 3) =
d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu khi:
1
1
' 0
3 0 3
. 0 1
2( 1) 0 1
0
m m
x x m
m m
x x
Bài 12: Cho phương trình:
x2 – 2(m + 1)x + m – = 0
a) Giải phương trình m =
b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d) Chứng minh biểu thức
S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc
vào m
a) Giải ta x1 = 6 35; x2 = 6 35
b) ’ = (m + 1)2 – (m – 4) = = m2 + m + =
2
1 19
( ) 0
2 4
m
với m
Điều chứng tỏ PT ln có hai nghiệm với m c) phương trình có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < <=> m – < <=> m <
d) Theo hệ thức Viet, ta có:
1
1
2( 1)
. 4
x x m
x x m
Khi đó: S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1)
= x1 + x2 - x1.x2 = 2m + – 2m + = 10
Điều chứng tỏ biểu thức
S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m
Bài 13: Cho phương trình:
(2m – 1) x2 – 2(m + 4) x + 5m + = 0
a) Giải phương trình m = -
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm
a) Giải ta x =
b) Ta coù: ’ = (m + 4)2 – (2m – 1).(5m + 2) = = -(9m2 - 9m – 18)
(6)2
2
0
' (9 18)
1
2
( 1)( 2)
m a
m m
m m
m m m
C BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = với m tham số:
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m
b) Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình
c) Tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức:
x1 x2
+x2
x1 +5
2=0
HD: a) Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = >
b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 = m−m+11 = ⇒ m = 32 Khi đó: x1 + x2 = m−2m1 = 6
c) x1 + x2 = 2m
m−1 = m−2m1 – + =
2m-(m-1)+1=m+1+1=
m-1 m-1 x1.x2 + 1
Vậy hệ thức cần tìm là: x1.x2 – (x1 + x2) + = 0
d) x1
x2 +x2
x1 +5
2=0 ⇔ 2(x12 + x22) + 5x1x2 = ⇔ 2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 = 0
⇔ 2(x1 + x2)2 + x1x2 = ⇔ 2 4m (m−1)2+
m+1
m −1 = ⇔ 9m2 = ⇔ m = ±
1 3 Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tính x12 + x22 theo m
c) Tìm m cho x12 + x22 = 12
HD:a) Ta coù ’ = (m + 1) 2 – m2 + 4m – = 6m –
Phương trình có nghieäm ’ m 2 3
b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x1 + x2 = 2(m + 1); P = x1 x2 = m2 – 4m + 5
x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 = 12
<=> 4(m + 1)2 – 2m2 + 8m – 10 = 12 <=> 2m2 + 16m – = 12
<=> m2 + 8m – = <=> m
1 = 1; m2 = -9 (loại) Bài 3: Cho phương trình x2 + mx – m2 + m – = 0
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m Xác định dấu nghiệm b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
HD: a) Vì phương trình có hệ số a = > c = – m2 + m – = -(m - 1 2)2 -
3 4 <
nên ac < với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = - 2m; P = x1.x2 = – m2 + m – 1
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m + 2= 4m2 – 2m + 2
= (m -
1 2)2 +
7
4
7
4 với m.Vậy giá trị nhỏ x12 + x 22
7
4 m = 1 2 Bài : Cho phương trình: x2 - 2x - m2 - = 0
a- Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2
b- Tìm m cho phương trính nghiệm x = - tính nghiệm c- Tìm m cho : + ) x12 + x22 = 20
+) x1 = -2x2
(7)Bài : Cho phương trình: x2 - 2(m+1)x + m2 + = 0
a) Với giá trị m phương trình có nghiệm số
b) Với giá trị m hai nghiệm số x1 x2 phương trình nghiệm hệ thức x1 - x2 =
Baøi : Cho phương trình : x2 + 3x + - m = (1)
a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm b) Giải phương trình (1) m =
c) Xác định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình ( 1) thỏa mãn hệ thức:x12 + x22 =
d) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Bài : Cho phương trình có ẩn số x ( m tham số ) x2 - mx + m - = 0
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1;x2 với m Tính nghiệm kép ( có) phương trình
giá trị m tương ứng b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2
+) Chứng minh A = m2 - 8m + +) Tìm m cho A =
+) Tìm gia trị nhỏ A giá trị m tương ứng RÚT KINH NGHIỆM :