1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

ON VAO 10 HE PHUONG TRINH

7 5 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 582,99 KB

Nội dung

- Reøn luyeän kyû naêng giaûi caùc baøi toaùn coù tham soá m vaø caùc ñieàu kieän cuûa nghieäm, Giaûi caùc heä phöông trình - Bieát caùch chöùng minh moät phöông trình baäc hai luoân luo[r]

(1)

Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH (06 tiết) I MỤC TIÊU:

- HS nắm vững dạng tốn phương trình bậc hai: dấu nghiệm; mối quan hệ nghiệm; hệ phương trình bậc hai ẩn

- Rèn luyện kỷ giải tốn có tham số m điều kiện nghiệm, Giải hệ phương trình - Biết cách chứng minh phương trình bậc hai ln ln có nghiệm biết tìm hệ thức nghiệm độc lập m

II NỘI DUNG:

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Hệ phương trình bậc ẩn: Có dạng:

( )

' ' ' ( ')

ax by c d a x b y c d

 

 

 

 (I)

Các cách giải: *) Phương pháp đồ thị:

- Heä (I) vô nghiệm <=> (d) // (d’) <=> ' ' a b ab

- Hệ (I) có nghiệm <=> (d) cắt (d’) <=> ' ' ' a b c abc - Heä (I) có vô số nghiệm <=> (d)  (d’) <=> ' ' '

a b c abc *) Giải đại số:

- Phương pháp

- Phương pháp cộng đại số

2) Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a

0) Các cách giải phương trình bậc hai ẩn: a) Công thức nghiệm: = b2 – 4ac

  >  phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =

-b + 2a

; x2 =

-b - 2a

  =  phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

b 2a 

  <  phương trình vô nghiệm

b) Cơng thức nghiệm thu gọn:’ = b’2 – ac

 ’ >  phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =

 -b' + '

a ; x2 =

 -b' - '

a  ’ =  phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

b' a  ’ <  phương trình vô nghiệm

c) Nhẩm theo hệ số a, b, c:

- Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = (a

 0) coù a + b + c = x1 = 1; x2 =

c a - Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = (a

 0) có a - b + c = x1 = - 1; x2 = -

c a 2 Định lý Vi ét:

a) Nếu p.trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x

1; x2 tổng tích nghiệm là:

S = x1 + x2 =

-b

(2)

b) Nếu hai số x1; x2 có S = x1 + x2 P = x1.x2 hai số nghiệm phương trình:

x2 – Sx + P = 0

3 C.minh phương trình bậc hai ln ln có nghiệm với giá trị tham số m - Bước 1: Lập 

- Bước 2: Biến đổi  dạng:  = A2  với m

hoặc  = A2 + k > với m

4 Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ta tiến hành:  Lập 

 Phương trình có nghiệm   Từ suy điều kiện m  Áp dụng định lý Vi ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2

 Biến đổi đề thành dãy phép tính có chứa tổng tích  Thay S P vào suy giá trị m

 Đối chiếu điều kiện kết luận

5 Tìm hệ thức nghiệm độc lập m  Khử m từ S P ta hệ thức cần tìm 6 Một số hệ thức khác: Phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có:

- Hai nghiệm trái dấu  a.c <

0 0 P    

 

- Hai nghiệm dương 

0 S > 0 P > 0       

- Hai nghiệm âm 

0 S < 0 P > 0       

- Một số công thức cần lưu ý: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2;

(x1 - x2 )2 = (x1 + x2)2 – 4x1.x2; x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1.x2(x1 + x2)

B LUYỆN TẬP:

Hoạt động Nội dung

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a)

2( 1) 3( 2) 5( ) 17

4( 3) ( 2) 2 6

x y x y

x y y x

     

 

     

b)

3 1

4 2

3 1 4 x y x y

  

 

  

 

c)

2 3

3 3

4

1

6 4

x y x y x

 

  

 

  

 

a)

2( 1) 3( 2) 5( ) 17

4( 3) ( 2) 2 6

x y x y

x y y x

     

 

     

2 2 3 6 5 5 17 3 8 9

4 12 2 2 6 8

x y x y x y

x y y x x y

       

 

   

       

 

Giải ta được: (x; y) = (11; -3)

b)

3 1

3 4 2 9 12 6

4 2

3 4 3 4 16 12 16

1 4

x y x y x y

x y x y

x y

 

      

 

  

   

 

  

 

Giải ta (x; y) = (

10 4 ;

7 7

 )

c)

2 3

7 2 2 14

3 3

4 11 2 12 11 2 12

1

6 4

x y

x y x y

x y x x y x y

 

 

      

 

  

      

  

 

Giải ta (x; y) = (2; 5)

(3)

2 10

(1 ) 0

ax ay a x y

 

 

  

a) Giải hệ phương trình a = -2 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm

2 4 10

3 0

x y x y    

 

 Giải ta (x; y) = (-1; 3)

b)

2 10

(1 ) 0

ax ay a x y

 

 

  

 <=>

2 10

2 (1 ) 2 0

ax ay

a a x ay

 

 

  

Trừ hai PT theo vế, ta được: [a – 2a(1 – a)].x = -10 <=> (2a2 – a).x = -10 (1)

Phương trình 91) có nghieäm <=> (2a2 – a)

1 0;

2

a a

  

Vậy với

1 0;

2 aa

hệ p.trình cho có nghiệm Bài 3: Xác định giá trị a, b để hệ phương

trình

4 10

3

ax y b x by a

      

 có nghiệm x = 4; y = 3.

Vì x = 4; y = nghiệm hệ PT cho, nên thay vào ta hệ PT:

4 12 5 10 4 5 22

12 3 7 4 4 3 5

a b a b

b a a b

    

 

 

    

 

Giải ta a =

27 1

2 ; 2

32 b 8

 

Bài 4: Giải phương trình sau: a) 7x2 -12x + = 0;

b)

1 2 1

x x

x x

 

c) x2 - 2(1+

√3 )x + √3 = d) x2 - (

√2+√3¿ x + √6 =

a) 7x2 -12x + = (a = 7; b = -12; c = 5)

Ta thaáy a + b + c = + (- 12) + = Vậy nghiệm phương trình x1 = 1; x2 =

5 7 b)

1 2 1

x x

x x

 

 (1)

ÑK: x  0; x  -1

(1) <=> x2 + (x + 1)2 = -2x(x + 1) <=> 4x2 + 4x + = 0

Giải ta x1 = x2 =

1 2 

c) x2 - 2(1+

√3 )x + √3 =

(a = 1; b = - 2(1+ √3 ); b’ = - (1+ √3 ); c = √3 ’ = b’2 – ac = [- (1+ √3 )]2 - √3 = > =>  ' x1 = + √3 ; x2 = √3 -

Bài 5: Giải phương trình sau:

a)

2

1 1

10 9 0

2 2

x x

   

    

   

    ;

b) (x2 – 6x + 9)2 + x2 – 6x – = 0

c) x 8 2 x7  x 8 2 x7 4 d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) =

9 2

a) Đặt t = 1 2 x

, ta có phương trình t2 – 10t + = 0

Giải ta t1 = 1; t2 =

- Với t1 =

1 2 x

= => x = 1 2

- Với t2 =

1 2 x

= => x = 1 2

b) Đặt t = x2 – 6x + ta có phương trình t2 + t - 12 = 0

Giải ta t1 = 3; t2 = -4

- Với t1 = x2 – 6x + = => x1 = ; x2 =

- Với t2 = -4 x2 – 6x + = -4 => x3 = ; x4 =

Keát luaän:

c) x 8 2 x7  x 8 2 x7 4 (ñk: x  -7)

2

( x 1) ( x 1)

      

7 1 7 4

x x

(4)

*) x 7 1< <=> x + < <=> x < -6

Do -7  x < -6, ta có: x  7 1 x  7 4 <=> = => phương trình vơ nghiệm

*) x 7 1 <=> x +  <=> x  -6

ta coù: x  7 1 x 7 4  x7 2 <=> x = -3 Vậy phương trình có nghiệm x = -3

d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) =

9 2

<=> 16.(8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 16.

9 2 <=> (8x + 7)2.(8x + 6).(8x + 8) = 72

Đặt t = 8x + 7, ta coù PT:

t2.(t – 1)(t + 1) = 72 <=> t4 – t2 – 72 = 0

Giải ta t =  3, x1 =

2

1 5

;

2 x 4

 

Bài 6: Cho phương trình x2 + (2a – 5)x – 3b = 0

Xác định a; b để phương trình có hai nghiệm x1 = 2; x2 = -3

Thay x1 = 2; x2 = -3 vào phương trình, ta được:

4 3 6 3

6 3 24 2

a b a

a b b

  

 

 

  

 

Bài 7: Chứng minh phương trình: x2 –

2(m + 1)x + 2m – ln có hai nghiệm phân biệt với m  R

Phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – = 0

’ = [-(m+1)]2 – 2m + = m2 + > với m

Điều chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  R

Baøi 8: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = (m

 1) a) Chứng tỏ phương trình ln ln có hai hai nghiệm phân biệt với m  b) Không giải phương trình, xác định giá trị m để tích hai nghiệm Từ tính tổng hai nghiệm

a) Phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = 0

’ = (-m)2 – (m – 1)(m + 1) = m2 – m2 + = > với m Điều chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 

b) Theo hệ thức viet, ta có:

1

1 2

1 1 .

1 m x x

m m x x

m

 

 

 

 

theo đề x1.x2 = ta suy

1 3 1 m m

 

 <=> m = 2 Với m = 2, ta lại có x1 + x2 =

Bài 9: Cho phương trình

x2 + (k – 1)x – k = 0

a) Xác định k để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép

b) Xác định k để phương trình có hai nghiệm dương

a)  = (k – 1)2 + 4k = = (k + 1)2

Phương trình có nghiệm kép <=>  = <=> k = -1 Khi nghiệm kép là: x1 = x2 =

b) Theo hệ thức Viet, ta có:

1

1

( 1) .

x x k

x x k    

 

Phương trình có hai nghiệm dương <=>

1

1

0 ( 1) 0

( 1) 0 1 0 0

0

. 0

k

x x k k k

k x x k

   

 

        

 

    

 

Bài 10: Cho phương trình: 2x2 – 3mx – = 0

a) CMR với giá trị m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

a)  = (-3m)2 + 16 = 9m2 + 16 > với m

(5)

b) Goïi x1; x2 hai nghiệm phương

trình Tìm giá trị m để S = x12 + x22 đạt

giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ

c) Tính 3

1 1

xx theo m

b) Theo hệ thức Viet, ta có:

1

1 3

2

. 1

m x x x x

 

 

 

Khi S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – x1 x2

=

2 3

( )

2 m

+  Dấu “=” xảy

2 3

( )

2 m

= <=> m = Vaäy S = m =

c) Ta coù:

3 3

1 2 2

3 3

1 2

( ) ( )

1 (3 4)

( ) ( )

x x x x x x x x m m

x x x x x x

     

    

Bài 11: Cho phương trình

x2 – 2(m – 1)x + m – = 0

a) Giải phương trình với m =

b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m

c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Xác định giá trị m cho phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu

a) Khi m = 4, giải ta nghiệm PT: x1 = 2 ; x2 = 2

b) ’ = (m – 1)2 – (m – 3) = = m2 – 3m + =

2

3 7

( ) 0

2 4

m  

với m

Điều chứng tỏ PT ln có hai nghiệm với m

c) Theo hệ thức Viet, ta có:

1

1

2( 1)

. 3

x x m

x x m

  

 

  

Hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 +

x2 - x1.x2 = 2(m – 1) – 2(m – 3) =

d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu khi:

1

1

' 0

3 0 3

. 0 1

2( 1) 0 1

0

m m

x x m

m m

x x   

  

 

    

  

  

 

  

 Bài 12: Cho phương trình:

x2 – 2(m + 1)x + m – = 0

a) Giải phương trình m =

b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

d) Chứng minh biểu thức

S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc

vào m

a) Giải ta x1 = 6 35; x2 = 6 35

b) ’ = (m + 1)2 – (m – 4) = = m2 + m + =

2

1 19

( ) 0

2 4

m  

với m

Điều chứng tỏ PT ln có hai nghiệm với m c) phương trình có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < <=> m – < <=> m <

d) Theo hệ thức Viet, ta có:

1

1

2( 1)

. 4

x x m

x x m

  

 

  

Khi đó: S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1)

= x1 + x2 - x1.x2 = 2m + – 2m + = 10

Điều chứng tỏ biểu thức

S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m

Bài 13: Cho phương trình:

(2m – 1) x2 – 2(m + 4) x + 5m + = 0

a) Giải phương trình m = -

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

a) Giải ta x =

b) Ta coù: ’ = (m + 4)2 – (2m – 1).(5m + 2) = = -(9m2 - 9m – 18)

(6)

2

2

0

' (9 18)

1

2

( 1)( 2)

m a

m m

m m

m m m

 

 

 

 

     

 

 

 

 

  

      

 

C BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài 1: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = với m tham số:

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m

b) Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình

c) Tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức:

x1 x2

+x2

x1 +5

2=0

HD: a) Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = >

b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 = m−m+11 = m = 32 Khi đó: x1 + x2 = m−2m1 = 6

c) x1 + x2 = 2m

m−1 = m−2m1 – + =

2m-(m-1)+1=m+1+1=

m-1 m-1 x1.x2 + 1

Vậy hệ thức cần tìm là: x1.x2 – (x1 + x2) + = 0

d) x1

x2 +x2

x1 +5

2=0 2(x12 + x22) + 5x1x2 = 2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 = 0

2(x1 + x2)2 + x1x2 = 2 4m (m−1)2+

m+1

m −1 = 9m2 = m = ±

1 3 Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + = 0

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tính x12 + x22 theo m

c) Tìm m cho x12 + x22 = 12

HD:a) Ta coù ’ = (m + 1) 2 – m2 + 4m – = 6m –

Phương trình có nghieäm m  2 3

b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x1 + x2 = 2(m + 1); P = x1 x2 = m2 – 4m + 5

x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 = 12

<=> 4(m + 1)2 – 2m2 + 8m – 10 = 12 <=> 2m2 + 16m – = 12

<=> m2 + 8m – = <=> m

1 = 1; m2 = -9 (loại) Bài 3: Cho phương trình x2 + mx – m2 + m – = 0

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m Xác định dấu nghiệm b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ

HD: a) Vì phương trình có hệ số a = > c = – m2 + m – = -(m - 1 2)2 -

3 4 <

nên ac < với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = - 2m; P = x1.x2 = – m2 + m – 1

x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m + 2= 4m2 – 2m + 2

= (m -

1 2)2 +

7

4 

7

4 với m.Vậy giá trị nhỏ x12 + x 22

7

4 m = 1 2 Bài : Cho phương trình: x2 - 2x - m2 - = 0

a- Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2

b- Tìm m cho phương trính nghiệm x = - tính nghiệm c- Tìm m cho : + ) x12 + x22 = 20

+) x1 = -2x2

(7)

Bài : Cho phương trình: x2 - 2(m+1)x + m2 + = 0

a) Với giá trị m phương trình có nghiệm số

b) Với giá trị m hai nghiệm số x1 x2 phương trình nghiệm hệ thức x1 - x2 =

Baøi : Cho phương trình : x2 + 3x + - m = (1)

a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm b) Giải phương trình (1) m =

c) Xác định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình ( 1) thỏa mãn hệ thức:x12 + x22 =

d) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Bài : Cho phương trình có ẩn số x ( m tham số ) x2 - mx + m - = 0

a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1;x2 với m Tính nghiệm kép ( có) phương trình

giá trị m tương ứng b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2

+) Chứng minh A = m2 - 8m + +) Tìm m cho A =

+) Tìm gia trị nhỏ A giá trị m tương ứng RÚT KINH NGHIỆM :

Ngày đăng: 27/05/2021, 03:06

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w