(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tác giả sáng kiến: Lê Văn Vượng Mã sáng kiến: 31.52.02 Vĩnh Phúc, năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Trong đề thi THPT Quốc gia năm học 2015 - 2016, năm học 2016 - 2018 đề thi Tuyển sinh Đại học năm học 2014 - 2015 trở trước, đề thi học sỉnh giỏi Toán lớp 12 Tỉnh Vĩnh Phúc và các tỉnh toàn quốc năm gần đây, đề thi thử THPT Quốc gia trường THPT toàn quốc hay gặp tốn giải phương trình và hệ phương trình Các toán toán mức độ vận dụng Khi hướng dẫn học sinh giải toán hệ phương trình ta dùng cách giải hệ phương trình học lớp 10 như: Biến đổi tương đương thông thường để đưa về hệ thức Viet, hệ phương trình đối xứng loại I, loại II,…để giải Trong đề thi THPT quốc gia 2017 thi Toán hình thức trắc nghiệm kiến thức thi chương trình 12, đề thi THPT quốc gia 2018 thi Toán hình thức trắc nghiệm kiến thức thi chương trình lớp 11,12, đề thi thử Toán 12 THPT quốc gia 2019 theo hướng dẫn của Bộ Giáo dục và Đào tạo thi Tốn hình thức trắc nghiệm kiến thức thi chương trình Toán 11, 12 trọng tâm là kiến thức Toán 12 Khi hướng dẫn học sinh giải tốn hệ phương trình sử dụng hàm số để học sinh hiểu tìm tịi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực , tư duy, sáng tạo giải tốn Với người giáo viên việc đổi mới phương pháp dạy học thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái gì qua việc học Trong SKKN tơi nêu hai vấn đề chính: + “ Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình ” Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tốn + “ Cách hệ phương trình sử dụng hàm số ” Giáo viên đề Tên sáng kiến: “Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Lê Văn Vượng - Địa tác giả sáng kiến: Giáo viên trường THPT Bình Xuyên - Số điện thoại: 0988560979, E_mail: levuongc3bx@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lê Văn Vượng GV THPT Bình Xuyên Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bài tập Đại số 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, thi THPT quốc gia theo lộ trình Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10/12/2017 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Nội dung sáng kiến: 7.1.1 Nội dung: download by : skknchat@gmail.com NỘI DUNG ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Cơ sở lý thuyết Cho hàm số đồng biến ( nghịch biến) liên tục tập D: 1/ Nếu tồn cho D phương trình có nghiệm 2/ Nếu 3/ Khi cho hệ phương trình hai ẩn (x;y) sử dụng hàm số thường bài toán có hướng giải sau: a/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn b/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn bằng phương pháp hàm số II Áp dụng A/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn Cho hàm số đồng biến ( nghịch biến) liên tục tập D tồn cho D phương trình có nghiệm Bài tập Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện (*) Ta thấy x =0 không là nghiệm của hệ phương trình Xét Từ phương trình (1) chia hai vế cho ta được (3) Xét hàm số đồng biến và liên tục R Từ (3) với , Hàm số thay vào (2) ta được: hoặc download by : skknchat@gmail.com + Với + Với Vậy nghiệm của hệ phương trình , Bài tập Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện (*) Phương trình (1) Xét hàm số và liên tục R Từ (3) với Hàm số đồng biến , thay vào (2) ta được: Vậy nghiệm của hệ phương trình Bài tập Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Phương trình (1) Xét hàm số với , Hàm số đồng biến và liên tục R Từ (3) thay vào (2) ta được: Vậy nghiệm của hệ phương trình download by : skknchat@gmail.com Bài tập Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện Ta nhận thấy Xét (*) Từ phương trình (1) không là nghiệm của hệ phương trình Phương trình (1) Xét hàm số biến và liên tục R với Hàm số đồng , Từ (3) thay vào (2) ta được: (4) Đặt phương trình (4) (5) Xét hàm số Hàm số đồng biến và liên tục R Ta thấy u=0 là nghiệm của phương trình (5) x=1 Vậy nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn (*) Bài tập Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện (*) Ta nhận thấy Phương trình (1) Xét hàm số (3) với , Hàm số đồng biến và liên tục R Từ (3) thay vào (2) ta được: download by : skknchat@gmail.com thỏa mãn (*) Vậy nghiệm của hệ phương trình hoặc Bài tập Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện Phương trình (1) (3) Xét hàm số với , Hàm số nghịch biến và liên tục Từ (3) thay vào (2) ta được: Thỏa mãn (*) Vậy nghiệm của hệ phương trình Bài tập Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Rút 3y từ (1) thay vào (2) ta được (3) Xét hàm số với , hàm số đồng biến liên tục Từ phương trình (3) thay vào (2) ta được: Vậy nghiệm của hệ phương trình Bài tập Giải hệ phương trình Hướng dẫn: Phương trình (1) (3) download by : skknchat@gmail.com Xét hàm số với , Hàm số nghịch biến và liên tục R Từ (3) thay vào (2) ta được: Điều kiện Đặt (*) Ta được Trừ vế với vế ta được + Với x=y thay vào (4) ta được x =u =2 là nghiệm + Với x+y+1=0 thay vào (4) ta được là nghiệm Vậy nghiệm của hệ phương trình Bài tập Cho hệ phương trình: Giả sử hệ phương trình có nghiệm A 10 bằng B 15 C Hướng dẫn: Điều kiện D .(*) Phương trình(1) (3) Xét hàm số , Hàm số đồng biến R Từ (3) Thay vào (2) ta được Đặt điều kiện Phương trình (1) (**) (2) , đồng biến Hàm số g(k) Từ (2) ta có download by : skknchat@gmail.com Chọn (D) Bài tập 10 Hệ phương trình: Có nghiệm? A.1 B.2 C.3 D.4 Hướng dẫn: Do Bằng cách nhân hai vế phương trình (1) với ta (3) Xét hàm số , Ta có Hàm số ln đồng biến Từ phương trình (3) ta có Thay vào (2) ta được nên hệ phương trình có nghiệm chọn (B) phương trình có nghiêm Nhận xét: Trong 10 tập cho hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận tốn góc nhận biêt, thơng hiểu như: Từ mợt phương trình của hệ có chuyển phương trình đơn giản khơng, có phân tích nhân tử khơng … Tiếp theo ta thấy có phương trình của hệ có thể dùng phương pháp hàm số để giải đưa về mối quan hệ x và y sau đó thế vào phương trình còn lại để được phương trình ẩn để giải… Bài tập Giải các hệ phương trình sau 1/ 2/ 3/ 4/ download by : skknchat@gmail.com 5/ B/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn dùng phương pháp hàm số để giải Cho hàm số đồng biến ( nghịch biến) liên tục tập D tồn cho D phương trình có nghiệm Bài tập 11 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện Phương trình (1) Thay vào (2) ta được Điều kiện Xét hàm số Ta có liên tục , Bảng biến thiên: x y’ + y Ta có - x =3 nghiệm phương trình mãn (*) Vậy nghiệm của hệ phương trình Với x=3 y=3 thỏa Bài tập 12 Giải hệ phương trình: Xét Hướng dẫn:Ta thấy y =0 không là nghiệm của hệ phương trình chia hai vế của phương trình (1) cho ta được thay vào (2) ta được (3) download by : skknchat@gmail.com Xét hàm số: liên tục R Hàm số đồng biến liên tục R Ta có y =1 Vậy nghiệm của hệ phương trình Bài tập 13 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Phương trình (1) Thay vào (2) ta được (3) Xét hàm số Hàm số đồng biến và liên tục Ta có Từ (3) Vậy nghiệm của hệ phương trình … Bài tập 14 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện Phương trình (1) (3) Xét từ phương trình (3) vế trái lớn vế phải Xét từ phương trình (3) vế trái nhỏ vế phải Xét x=y vế trái bằng vế phải Vậy x=y thay vào (2) (1) Hướng dẫn: Điều kiện (*) Phương trình (1) Xét hàm số (2) , Hàm số đồng biến R Từ (2) y=2 nghiệm phương trình Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(2;2) Bài tập 15 Giải hệ phương trình: 10 download by : skknchat@gmail.com Hướng dẫn: Điều kiện (*) Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình Xét chia hai vế của (1) cho ta được thay vào (2) ta được (3) Phương trình (3) Xét (4) , hàm số ln đồng biến R Từ phương trình (4) ta có Vậy nghiệm của hệ phương trình là Bài tập 16 Cho hệ phương trình: Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm và MN bằng? Hướng dẫn: Điều kiện (*) Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được Với x=y thay vào (2) ta được (2) Xét , Hàm số đồng biến R 11 download by : skknchat@gmail.com Từ phương trình (2) ta có nghiệm cần tìm Với Vậy Chọn (B) Bài tập 17 Cho hệ phương trình: Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm trung điểm của MN có tọa độ là? A.(0;0) Hướng dẫn: Điều kiện (*) B.(1;2) và C.(3;-1) D.(2;-3) Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được Với x=y thay vào (2) ta được Điều kiện Hàm số hàm chẵn Xét hàm số nghịch biến Ta có x = nghiệm Xét hàm số ln đồng biến Ta có x = - nghiệm Với Vậy Tọa độ trung điểm của MN là (0;0) Chọn (A) Bài tập 18 Hệ phương trình: có nghiệm? A.0 B.1 C.2 D.3 Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình Xét chia hai vế của (1) cho ta được thay vào (2) ta được Xét hàm số 12 download by : skknchat@gmail.com Xét , g(t) hàm số đồng biến R Ta có nên f(x) đồng biến R Ta có x =1 y=1 Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x;y) =(1;1) Chọn (B) Bài tập 19 Cho hệ phương trình: Giả sử hệ phương trình có nghiệm các khoảng sau? Hướng dẫn: Điều kiện (*) tḥc khoảng nào Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được Với x=y thay vào (2) ta được (3) Phương trình (3) (4) Xét , Hàm số đồng biến Từ (4) Vậy nghiệm của hệ phương trình là Chọn (C) Bài tập 20 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Phương trình (1) Phương trình (2) Xét hàm số (3) với ta có bảng biến thiên 13 download by : skknchat@gmail.com x -1 - f’(x) f(x) 26 Phương trình (3) có vậy phương trình (3) Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(6;6) Bài tập 21 Giải phương trình Hướng dẫn: Điều kiện (*) Phương trình (1) (3) Xét từ phương trình (3) vế trái lớn vế phải Xét từ phương trình (3) vế trái nhỏ vế phải Xét x=y vế trái bằng vế phải Vậy x=y thay vào (2) (4) Giải phương trình (4) Điều kiện Phương trình (4) (5) Ta thấy vế phải có bảng biến thiên Xét hàm số x -1 y ta - y’ với + Phương trình nghiệm cần tìm 14 download by : skknchat@gmail.com Vậy (x;y)=(0;0) Bài tập 22 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình Xét chia hai vế của (1) cho ta được thay vào (2) ta được Ta thấy x=0 khơng nghiệm phương trình (3) Xét x>0 chia hai vế phương trình (3) cho ta được: Xét , Hàm số đồng biến R Từ phương trình (2) ta có Vậy nghiệm hệ phương trình là (x;y)=(1;1) Nhận xét: Trong 12 tập cho hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận tốn góc nhận biêt, thơng hiểu như: Có biến đởi phương trình của hệ phương trình tìm mới liên hệ x,y có phân tích nhân tử khơng … đã có mối quan hệ x và y ta thay vào phương trình còn lại của hệ và dùng hàm số để giải Cách “Hệ phương trình sử dụng hàm số để giải” Bước 1: Xây dựng một phương trình hai ẩn để tại mối quan hệ x và y sử dụng 1/ Viét đảo 2/ Đẳng cấp ví dụ 3/ Đánh giá được mối quan hệ x và y 15 download by : skknchat@gmail.com Bước 2: Xây dựng một phương trình hai ẩn để thay mối quan hệ x và y sử dụng ở bước thay vào được phương trình ẩn sử dụng hàm sớ 1/ 2/ với 4/ ln hàm số đồng biến nghịch biến R 5/ 6/ với ac>0 Bước 3: Với phương trình lập bước ta giải toán cách biến đổi theo chiều xi kiểm tra tính xác, mức độ đề để điều chỉnh kết thúc đề Bài tập Giải các hệ phương trình sau 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 7.1.2 Danh mục tài liệu tham khảo: [1] Đề thi tuyển sinh Đại học đề thi THPT quốc gia mơn Tốn [2] Đề thi HSG Toán 12 Tỉnh Vĩnh Phúc [3] Sách giáo khoa Bài tập giải tích 12 nâng cao Nxb.Giáo dục [4] Các đề thi thử ĐH khối chuyên ĐHSP Hà Nội 16 download by : skknchat@gmail.com 7.2 Khả áp dụng sáng kiến: SKKN áp dụng cho học sinh 12, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 SKKN áp dụng cho giáo viên: Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên cách tập hệ phương trình vơ tỷ sử dụng hàm số Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 12 sau học tính đơn điệu hàm số, bồi dưỡng học sinh giỏi, kiến thức áp dụng thi THPT quốc gia theo lộ trình Tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng thường xuyên 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: - So sánh lợi ích kinh tế, xã hội thu áp dụng giải pháp đơn so với trường hợp không áp dụng giải pháp đó, so với giải pháp tương tự biết sở (cần nêu rõ giải pháp đem lại hiệu kinh tế, lợi ích xã hội cao khắc phục đến mức độ nhược điểm giải pháp biết trước - giải pháp cải tiến giải pháp biết trước đó); - Số tiền làm lợi (nếu tính được) nêu cách tính cụ thể 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Đề tài tác giả dạy cho học sinh lớp 12 lớp đầu cao, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia năm học trước Giúp học sinh làm tốt tốn giải phương trình vô tỷ sử dụng phương pháp hàm số Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên học sinh Độc giả quan tâm bổ sung thêm làm cho tài liệu thêm phong phú hấp dẫn 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ TT chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 17 download by : skknchat@gmail.com ., ngày… tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Bình Xun, ngày 18.tháng 01 năm 2019 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Lê Văn Vượng 18 download by : skknchat@gmail.com ... SKKN nêu hai vấn đề chính: + “ Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình ” Giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán + “ Cách hệ phương trình sử dụng hàm số ” Giáo viên đề Tên sáng kiến: ? ?Ứng dụng. .. download by : skknchat@gmail.com NỘI DUNG ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Cơ sở lý thuyết Cho hàm số đồng biến ( nghịch biến) liên tục tập D: 1/ Nếu tồn cho D phương trình có nghiệm... (*) Phương trình (1) Xét hàm số (2) , Hàm số đồng biến R Từ (2) y=2 nghiệm phương trình Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(2;2) Bài tập 15 Giải hệ phương trình: 10 download by : skknchat@gmail.com