Người ta cắt bỏ bốn tấm hình vuông có cạnh là 5cm ở bốn góc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật( không nắp). Tính kích thước của tấm tôn đã chô. Biết rằng thể tích hình hộp bằng 150[r]
(1)
y
x O
(2)(3)1 PHẦN A: ĐẠI SỐ
Chủ đề 1: CĂN BẬC 2- CĂN BẬC
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ A có nghĩa A ≥
2
2
0 A A
A A
A A
3 A B A B ( A 0; B 0)
4 A A
B B
( A 0; B > 0) Các phép biến đổi đơn giản:
2
A B A B ( B 0) + A 0:
A B A B ( B 0)
+ A < 0:
A B A B ( B 0)
2
A AB
AB
B B B ( AB > 0; B 0)
A A B
B
B ( B > 0)
1 A B
A B
A B
( A, B 0; A B)
2
2
2 ( ) 0;
2 ( )
A B AB A B A B
A B B A A B A
6 Căn bậc ba:
a Định nghĩa: Căn bậc ba số a số x cho
x = a
b Tính chất: a < b a3 b; 3
ab a b; 3
3
a a
b b
II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1: Tìm điê ̀u kiê ̣n của biến để mô ̃i biểu thức (căn thức) sau cố nghĩa: * Phương pháp:
- Xác dịnh điều kiện để biểu thức chơ có nghĩa + A có nghĩa A ≥
+
A có nghĩa A >0
- Giải bất pt để tìm giá trị biến Lưu ý: Ta ln có A2 ≥
Ví dụ: 1) 2015
2016
x 2) 2x 3) 3x12 4)
5
x 5)
1 x 6) 4a 7) 5a 8) 8 2 x 2 x4 9) 3a7 10)
(4)2
Dạng 2:Vận dụng đẳng thức
2
0 A A
A A
A A
để rút gọn biểu thức:
Bài tập:
1)
(1 2) 2) ( 23)2 3) 3
4) 3 3
1)
( 52) 2) 21 5 3)
4) 53 2 2 52 5) 6 6
6)3 5 3 5 3 5 3 5
7)4 15 10 6 4 15 8) 62 5 13 48
Dạng 3: Thực phép tính, rút gọn biểu thức
Lưu ý: Đối với biê ̉u thức chứa biê ́n ca ̀n ghi rỗ ĐK của biê ́n rút gộn 1) 3 505 182 72
2)
6 7
3) x x y y x 0;y 0;x y
x y
4) 1 3 1 3
5) 2
3
x x x x
x
1)5 82 183 50 2) 1 2 4 2
3) 1
4 2 4 2 4) 9a 16a 49a a0 5) 16b2 40b3 90b b0 6) 6
3
7) 15 21
1
8)5 483 27 2 12 : 3
Dạng 4: Giải phương trình + Dạng: A B
AB ( nê ́u B là mô ̣t sô ́ dương ) + Dạng:
2 B
A B
A B
( nê ́u B là mô ̣t biê ̉u thức chứa biê ́n )
+ Dạng:
0
A B
A B
A
+ Dạng:
A B Ta đưa vê ̀ phương trình chứa da ́u giá trị tuyê ̣t đô ́i
A B A B
*Trường hợp 1: Nê ́u B là mô ̣t sô ́ dương thì: A B A B
A B
(5)3 *Trường hợp 2: Nê ́u B là mô ̣t biê ̉u thức chứa biê ́n thì:
A B B
A B
Bài tập: Giải phương trình sau 1) 9(x 1) 21
2)
(x3) 9
3)
4x 4x 1 6
4)
5
x x
x x
5)
6
x x x
1) 18
2
x x x
2) 2
2 36
x
x x
3) 18 4
3
x x x 4)3 3x7 27x5 12x 24
5) 25 25 15
2
x
x x
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức:
+ Thực hiê ̣n các phế p biê ́n đô ̉i biê ̉u thức chứa ba ̣c hai + Va ̣n dụng phương pháp chứng minh đa ̉ng thức A = B
C/m A = C; B = C
Biến đổi A thành B B thành A Bài tập: Chứng minh đẳng thức sau
1) 1 ( 0, 1)
1
a a a a
a a a
a a
2) x y xy : xy 1 (x 0;y 0;x y)
x y x y x y
3) a b b a : a b (a 0,b 0,a b)
ab a b
4) ( 3 )( ) ( 0, 0)
3
x y x y x y
x y x y
x y
5) 14 15 :
1
6) 3 2 (2 3)
3
7) 15 12 6
5
(6)4
1) Cho M =
1 2 a a a a a a a a a) Tìm ĐKXĐ M
b) Rút gọn M
c) Tìm giá trị a để M = -
2) Cho S x x x (x 0; x 4)
x x 4x
a) Rút gọn S
b) Tìm giá trị x để S >
3) Cho biểu thức Q =
1
1
a
a
a a a a
với a > ; a ≠
a) Rút gọn Q
b) Tính giá trị Q a = + 2 c) Tìm giá trị a cho Q <
4) Cho biểu thức M = 2
1
2
a a a
a
a a a
a) Tìm điều kiện a để M có nghĩa b) Rút gọn M
c) Tìm số nguyên a để M số nguyên
5) Cho biểu thức: A = :
2
a a a a
b a
a b a b a b ab
với a b
các số dương khác
a) Rút gọn biểu thức A – a b ab b a
b) Tính giá trị A a = 7 b =
6) Tính giá trị biểu thức:
1
1 3
2
1
1 1
2 M
7) Rút gọn biểu thức:
2
A
8) Tính giá trị biểu thức: P x y y x
(7)5
9) Cho biểu thức: 1 : 2
1
a K
a a
a a
với a > 0, a ≠
a) Rút gọn biểu thức K b)Tìm a để K 2012 10) Cho biểu thức:
1
x x x x
A
x x
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị x A < 11) Cho biểu thức:
2 2 : 2
x x y
P
x y x y x x y
a)Tìm điều kiện x, y để biểu thức P có nghĩa b)Rút gọn biểu thức P
c)Tính P biết 2x – 3y =
12) Cho biểu thức: 1
1 1
x x x A
x x x x x
a)Rút gọn biểu thức A b)Tìm giá trị x để A > 13) Cho biểu thức: Q x y y x
x y
với x0,y0,x y
a)Rút gọn biểu thức Q
b)Tính giá trị Q x 26 1; y 26 1
Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hàm số y = f(x) xác định với x ∈ D
Nếu có số M cho:
{f(x) ≤ M với x ∈ D f(x) = M có nghiệm x ∈ D (tức có x0 ∈ D thỏa f(x0) = M) M giá trị lớn f(x) kí hiệu fmax = M
Nếu có số m cho
{ f(x) ≥ m với x∈D f(x) = m có nghiệm x∈D (tức có x0∈D thỏa f(x0) = m) m giá trị nhỏ f(x) kí hiệ fmin = m
Cho f(x) = A+ B
(8)6
thì fmax gmin fmin gmax
Cho f(x) = A- B
g(x) ( A, B, g(x) trên) fmax gmax
fmin gmin
Cho f(x) = A – g(x) (A số) fmax gmin
fmin gmax II CÁC BÀI TOÁN
1) Cho M x4 x 4 x4 x4 Tìm x để M nhỏ xác định giá trị nhỏ M
2) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số:
2
3
2
x x
y
x x
3) Cho
2
2 1
1 2
x x
M
x x x
Tìm giá trị nhỏ M
4) Cho hàm số Tìm x để y đạt giá trị nhỏ Xác định ymin 5) Cho hàm số
2
1 x y
x
Tìm x để y đạt giá trị lớn Xác định ymax
7) Tìm giá trị nhỏ hàm số
4
1
2
x x
y
x x
HD: Biến đổi y; đặt
1 t
x
8) Tìm giá trị nhỏ hàm số 2
1
2 5,
y x x x
x x
HD: Đặt
1
t x x
Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I PHƯƠNG TRÌNH
I.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương trình ax + b =
Nếu a ≠ 0: PT có nhiệm x b a
Nếu a = 0, b ≠ 0: PT vô nghiệm
Nếu a = 0, b = 0: PT có vơ số nghiệm
(9)7
Công thức nhiệm PT
∆ = b2 – ac ∆’ = b’2 – ac ( b = b’) ∆ > 0: PT có hai nghiệm 1 ; 2
2
b b
x x
a a
x1 b' '; x2 b' '
a a
∆ = 0: PT có nghiệm kép
2 b
x x
a
x1 x2 b'
a
∆ < 0: PT vơ nghiệm
Định lí Vi-et:
1 ;
b c
S x x P x x
a a
( x1, x2 nghiệm PT ax2 + bx + c = 0, a≠0) Ta sử dụng định lí Vi-êt để tính biểu thức x1, x2 theo a, b, c:
S1 x1 x2 b
a
2
2 2
2 2 2
2
( ) b ac
S x x x x x x
a
3
3 3
3 2 2
3
( ) ( ) abc b
S x x x x x x x x
a
2
2
1 2 2
4
( ) ( ) b ac
x x x x x x x x
a
Định lí Vi-êt đảo:
Nếu x + y = S xy = P x, y nghiệm PT: X2 – SX + P = ( với điều kiện S2 ≥ 4P)
Ứng dụng định lí Vi-et: Nhẩm nghiệm:
a + b + c =0: x1 = 1; x2 = c a a – b + c = 0: x1= -1; x2= c
a Tìm hai số biết tổng tích:
Cho hai số x, y Biết rừng x + y = S, x.y = P x, y nghiệm PT X2 +SX + P = Phân tích thành nhân tử:
Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠0) có hai nghiệm x1, x2 ax2+bx+c = a( x – x1)( x – x2) =
Xác định dấu nghiêm số:
Cho PT ax2 + bx + c = (a ≠0) Giả sử PT có nghiệm x1, x2, S = x1 + x2 = b a
(10)8
P = x1 x2 = c a Nếu P = x1 x2 = c
a < PT có hai nghiệm trái dấu Nếu P = x1 x2 = c
a > ∆ = b
2 – ac > PT có hai nghiệm dấu Khi đó, S = x1 + x2 = b
a
> PT có hai nghiệm dương Nếu S = x1 + x2 = b a
< PT có hai nghiệm âm
3 Phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ ) Nhẩm nghiệm x0 = α
Nếu a + b + c + d = x0 = Nếu a + c = b + d x0 = -1
Chia ax3 + bx2 + cx + d cho x – a để đưa giải phương trình bậc hai
Lưu ý: Sử dụng mây tính casiơ để nhẩm nghiệm Bước 1: Nhập PT đê chơ vẵ mây tính
Bước 2: Bấm shift → CALC → “=”
4 Các phương trình quy phương trình bậc a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c =
Đặt t = x2 ( t ≥ ), PT trở thành: at2 + bt + c = Giải kiểm tra điều kiện b) Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + ê = với a + b = c + d Đặt t = (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
⟹ (x + c)(x + d) = x2 +(c + d)x + cd = t – ab + cd nên PT trở thành: t(t – ab – cd ) + ê = ⇔ t2 + (cd – ab )t + e = ( PT bậc hai theo t) c) Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 + c =
Đặt t = x + α với
2 a b
có: x + a = t + a b
, x + b = t - 2
a b
PT trở thành:
4 4
4
0 12
2 2
a b a b a b a b
t t c t t c
Giải phương trình trùng phương
d) Phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e =
2
0,e d a
a b
Chia hai vế cho x2 PT trở thành:
0
e b
a x b x c
ax bx
(11)9 Đặt t x d
bx
2
2 2
2 2
2
d d e d
t x x
b x b ax b
Và PT trở thành: at2 + bt + c – 2ad
b = ( PT bậc hai theo t) TH đặc biệt: a = e, b = ± d t = x ±
x I.2 CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Giải phương trình sau
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1)
2) 2
x x x 2
3) 2 7 5 2 0 4) 2 1 2 3
x x x
x x x
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
2
1) 12 64 0 4
2) 8
2
3) ( 3) 3 22 3 7
x x
x
x x
x x x x
2
4)
4
5) 2
2
6) 12 27(1 )
x x x x
x
x
x x x x
Bài tập tổng hợp:
1)
4 14
x x x x
2)
(x1)(3x4)(6x7) 6
3) 3
( 7)
x x
4) x x2( 2) 0
5) (x1)(x2)(x3)(x4) 35 0 6) 3 x 9
7)
3x x
8) 36x497x2360 9)
2
2
3 x x x
14)
2x x 3x 0
15) ( 1)( 2) 4(x 1) 12
1 x x x x
16) x 5 2x18
17) x2011 4x8044 3
18) 1
3
x x x 19) 5 x 16
20) x 4x 3
21)
20
x x
22) 2
4x 12x 9 x
4
2 2
1) 12
2) ( 1)( 5)( 3)( 7) 20
1 48
3) 10
3
4) 27
5) 72
x x x x
x x x x
x x x x x x x x 2 2 2
6) 4( 5)( 6)( 10)( 12)
3 119
7)
3 18
8)3 10
9)9 16 25
10) 12 36
x x x x x
x x
x x x
(12)10
10) 2 x0
11) 2x5 8x20 18x 0 12) 16x16 9x 9 13) x25x 6
23)
4x 12 x 9 2x
24) 10 22
2
x x
x x x
25) 2x43x2 2 Dạng 2: Giải phương trình bậc hai có chứa tham số
1) Chơ phương trình: x2 - 2(m - 1)x – – m = ( ẩn số x) a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thơả mãn x12+x22 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
2) Chơ phương trình: x2 + 2x + m -1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2 1
1 x x
y ;
1 2
1 x x
y với x1; x2 nghiệm phương trình
3) Chơ phương trình: x2 – 4x + m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m s chơ phương trình có nghiệm x1, x2 `thoả mãn: x12 + x22 = 10
4) Chơ phương trình: 2x2 – 10x + m – = (1). Tìm giá trị m để phương trình (1) có
a) Hai nghiệm phân biệt
b) Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép c) Vơ nghiệm
5) Chơ phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – = 0 Tìm m đề phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại
6) Chơ phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – = 0 Chứng minh PT ln có hai nghiệm phân biệt
7) Chơ phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – = 0 Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 =
(13)11 b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m
c) Tính tổng tích nghiệm theo m
9) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt :
a) x2 – 2(m+3)x + m2 + = b) (m – 1)x2 + 4mx + 4m – = 10) Chơ phương trình x2 – mx + – m = 0
a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép 11) Chơ phương trình : (m – 1)x2 – 2mx + m + = (1)
a) Chứng tỏ phương trình ln ln có nghiệm
b) Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình
12) Chơ phương trình x2 + 2(m+1)x + m2 – 3m + = 0 Tìm giá trị m để PT (1) a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 16 13) Chơ phương trình x2 – 2mx +m2 – m +1 = 0
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
14) Chơ phương trình x2 + 2(m +1)x + m2 + 2m – = 0 (m tham số) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 vơi m b) Xác định m để x1– 2x2 =
c) Xác định m để – < x1< x2 <
15) Chô phương trình x2 – 2(m +1)x + m – = 0 (m tham số)
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với m b) Chứng minh giá trị biểu thức A= x1(1–x2) +x2 (1–x1) không phụ thuộc vào m c) Xác định m để phương trình có nghiệm trái dấu có giá trị tuyệt đố
16) Chơ phương trình: x2 + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2 1
1 x x
y ;
1 2
1 x x
y với x1; x2 nghiệm phương trình
17) Chơ phương trình bậc hai ẩn x: x2 2m1xm2 20 (I) a) Giải phương trình m = –
b) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm? Có hai nghiệm phân biệt? c) Tìm m để phương trình (I) có hai nghiệm trái dấu
(14)12
g) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm âm h) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm dương
i) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại j) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm x1;x2 thỏa 2x14x2 3 18) Cho PT 2
( 3)
x m x m m (m tham số thực) Tìm m để PT chơ có hai nhiệm phân biệt cho hai nghiệm giá trị độ dài hai cạnh liên tiếp hình chữ nhật có độ dài đường chéo 10 ( CT 2016)
19) Cho PT 2
5
x ax b (CT 2015)
a) Giải PT a = b = b) Tính
2a 3b biết PT nhận x1=3, x2=-9 làm nghiệm 20) Cho PT 2
4
x x m (*)
a) Cm PT (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m
b) Tính giá trị m để PT (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x2 = -5x1 21) Cho PT
2x 2mx m 0(1)
a) Cm (1) có hai nghiệm phân biệt với m b) Xác định m để (1) có hai nghiệm dương
22) Cho PT
(m3)x 2mx5m0 Xác định m để PT có hai nghiệm phân biệt dương 23) Cho PT 2
2
x x m (1)
a) CMR PT (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để PT có nghiệm -2 Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để PT (1) có nghiệm x1, x2 thỏa: 2
1 20; ;2 10 x x x x x x 24) Cho PT:
2( 1)
x m x m (1) a) Giải phương trình m =
b) CMR (1) ln có nghiệm phân biệt ∀m
c) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu, dấu, nghiệm âm
d) Chứng minh biểu thức A = x1(1x2)x2(1x1) không phụ thuộc vào m 25) Cho PT:
2( 1) 11
x m x m (1) a) CMR (1) ln có nghiệm phân biệt ∀m
b) Tìm m để (1) có nghiệm > nghiệm < 26) Chơ phương trình
2x
x m Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa 3x12x2 1
27) Gọi x x1, nghiệm phương trình
2
(15)13 CMR: A = 3(x1x2)2x1 2x 8 không phụ thuộc m
28) Cho PT:
10x
x m (1)
a) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Giả sử nghiệm x x1, Tìm nghiệm biết
2 2 68 x x 29) Cho PT:
2x (2m1)x m (1)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Tìm m để (1) có nghiệm âm
30) Chơ phương trình
2( 1)
x m x m ( m tham số) a) Giải phương trình m=
b) CMR phương trình có nghiệm x x1, 2m
c) Tìm hệ thức liên hệ x x1, không phụ thuộc m
d) Xác định m để phương trình có nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu 31) Cho PT:
2x
x m ( m tham số) a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x x1, 2 c) Tìm m để x x1, 2thỏa điề kiện x12 x22 1 32) Cho PT:
2( 2)
x m x m Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép
33) Cho PT:
2( 1)
x m x m
a) chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt ∀m b) Tìm m để 2
1 14 x x 34) Cho PT:
(2 3)
x m x m Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 1,
x x thỏa x1 x2 x x1 2 3 35) Chơ phương trình:
2( 1)
x m x m
a) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 ∀m b) Tìm m để A = 2
1
x x đạt giá trị nhỏ 36) Cho PT:
2( 2)
x m x m Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép
(16)14
b) CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m
c) Trơng trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m
II HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Hệ phương trình bậc hai ẩn số Giải hệ phương trình sau:
a)
3
x y
x y
b)
5 17
9 x y x y
c)
7 17
3
x y
x y
d)
2
5
x y x y
Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại
Nhận dạng: Nếu ta thay đổi vai trị x, y phương trình khơng thay đổi PP giải: Đưa PT theo biến S x y
P xy
với điều kiện S
2 ≥ 4P Giải hệ phương trình sau
a) 2 2 11
30 x y xy x y xy
b) 2
2
x y xy
y x c) 12 28 x y y x x x y y
d)
64
1 1
4 xy x y
Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại
Nhận dạng: Nếu ta thay đổi vai trò x, y phương trình chuyển thành phương trình
PP giải: Trừ PT với để nhận phương trình có dạng tích số Chú ý HPT đối xứng loại có nghiệm (xo; xo) ( tức x = y) Nếu HPT có nghiệm (x; y) HPT có nghiệm ( y; x)
Giải hệ phương trình sau: a) 3 3
9 x y x y b) 2 8 x y y x
c)
3 2 x y y x
d)
2
4
4
x x y
y y x
Bài tập nhà: 1) y x y x 2) 10 y x y x 3) 14 y x y x 4) 14 3 y x y x
5) 21
2 x y x y
6)
43
3 19
x y
x y
7)
3 20
170 x y x y
8)
3 10 16 x y x y
9)
4 10 x y x y
10)
3 18
2 x y x y
11)
3 10 x y x y
12)
4
2 10
x y x y
13)
2 x y x y
14)
3 12
4
x y
x y
15)
2
3
x y
x y
16)
2
5
(17)15
17)
3 x y x y
18)
3
3
x y
x y
19)
7
4 x y x y
20)
3 x y x y
21)
2 x y x y
22)
2 x y x y
23)
1
3
x y
x y
24)
2 x y x y
25)
3 x y x y
26)
0,
15 10 x y x y
27)
3
2 2007
x y
x y
28)
3
3
x y y x 27)
3 10
2 3 x y x y
28)
5 2 y x x y 29)
2
5 5 x y x y
30)
5 30 20 x y x y 31) ) ( ) ( y x y x 32) 3 , , , y x y x 33) 10 y x y x
34)
3 x y x y 35) 1 2 20 2
x y x y
x y x y
36)
4
2
7
15 4
3
13
x y x y
x y y
37)
2( 5) 3( 1)
1 2 x y x y
Chủ đề 4: ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.1 Hàm số bậc
1 Hàm số bậc hàm số cho cơng thức y = ax +b trơng a, b số cho trước a ≠
2 Hàm số bậc y = ax + b xác định với x ∈ R có tính chất: Đồng biến R a > 0; Nghịch biến R a <
3 Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ ) đường thẳng: Cắt trục tung điểm B(0; b); Cắt trục hoành điểm A( b
a
; 0) (a gọi hệ số góc; b gọi tung độ góc)
4 Các đường thẳng có hệ số góc a tạo với trục Ox góc ( Nếu gọi α góc hợp đường thẳng tia Ox a = tanα)
Chú ý: Nếu đường thẳng (D): y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng (D'): y = a'x + b' ( a' ≠ ) :
(D) cắt (D') ⇔ a ≠ a' (D) // (D') ⇔ '
' a a b b
(18)16
(D) ≡ (D') ⇔ ' ' a a b b
I.2 Hàm số y = ax2 ( a ≠ )
Hàm số y = ax2 ( a ≠ ) có tính chất:
Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x <
Đồ thị hàm số y = ax2 ( a ≠ ) parabol với đỉnh gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng:
Nếu a > đồ thị nằm phía trục hơành, O điểm thấp đồ thị Nếu a < đồ thị nằm phía trục hơành, O điểm cao đồ thị I.3 Tìm gi điểm (P) (d)
Tìm gi điểm: (P): y = ax2(a0) (D): y = ax + b:
La ̣p phương trình hoành đô ̣ giaô điê ̉m của (P) và (D): cho vê ́ phải của hàm sô ́ ba ̀ng đưa vê ̀ pt ba ̣c hai dạng ax2 + bx + c =
Giải pt hoành đô ̣ giaô điê ̉m:
+ Nê ́u > pt cố nghiê ̣m phân biê ̣t (D) ca ́t (P) tại điê ̉m phân biê ̣t + Nê ́u = pt cố nghiê ̣m kế p (D) và (P) tiê ́p xúc
+ Nê ́u < pt vô nghiê ̣m (D) và (P) không giao Xác định số giaô điểm: (P): y = ax2(a0) (Dm) theo tham sô ́ m:
La ̣p phương trình hoành đô ̣ giaô điê ̉m của (P) và (Dm): cho vê ́ phải của hàm sô ́ ba ̀ng đưa vê ̀ pt ba ̣c hai dạng ax2 + bx + c =
La ̣p (hoa ̣c') của pt hoành đô ̣ giaô điê ̉m
Biê ̣n lua ̣n:
+ (Dm) ca ́t (P) tại điê ̉m phân biê ̣t > 0 giải ba ́t pt tìm m + (Dm) tiê ́p xúc (P) tại điê ̉m = 0 giải pt tìm m
+ (Dm) và (P) không giao < 0 giải ba ́t pt tìm m II BÀI TẬP
1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y x a) Vẽ đồ thị hàm số (P)
b) Tìm tọa độ giaô điểm (P) với đường thẳng d:
3
y x 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (P):
2 y x a) Vẽ đồ thị (P)
b) Gọi A( x1; y1) B( x2; y2) hôành độ giaô điểm (P) (d): y = x – Chứng minh: y1 + y2 – 5( x1 + x2) =
3) Cho (P): y = ax2
(19)17
b) Xác định m để đường thẳng
(2 )
y m x m m tạo với trục hồnh góc α = 60o
4) Cho (P): y = ax2
a) Tìm a biết (P) qua điểm A( 3; -3 )
b) CMR điểm B thuộc (P) có hơành độ O làgốc tọa độ tam giác OAB tam giác
5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) a) Tìm a biết (P) cắt đường thẳng (d) có PT
2
y x điểm A có hồnh độ Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm
b) Tìm tọa độ giaô điểm thứ hai B( khác A) (P) (d)
6) Chô hai đường thẳng (d1): y = x + (d2): y = x – Gọi A, B theo thứ tự giao điểm (d1) với trục hoành, trục tung C, D theo thứ tự giaô điểm (d2) với trục hoành, trục tung
a) Xác định tọa độ điểm A, B, C, D
b) Vẽ (d1) (d2) mặt phẳng tọa độ c) Cm tứ giác ABCD nội tiếp
7) Chô hai đường thẳng d1: y = x + m – d2: y = -2x + -2m a) Xác định tọa độ giaô điểm d1 với trục tọa độ
b) Với giá trị m d1 d2 cắt điểm nằm trục hoành? 8) Vẽ đồ thị hàm số y =
x có đồ thị (P) y = x +2 có đồ thị (d) hệ trục tọa độ Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính
9) Cho hàm số y = 2x
có đồ thị (P) y= x – có đồ thị (d) a) Vẽ (P)
b) Tìm tọa độ (P) (d) phép tính 10) Cho (P) y =
x a) Vẽ đồ thị (P)
b) Xác định m để đường thẳng (d) y = mx - tiếp xúc với (P) 11) Chô đồ thị (P):
2
yx mx đường thẳng (d): y = 2x Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B
12) Trong hệ tọa độ vng góc Oxy cho (P):
y x đường thẳng (d) qua điểm
; M
có hệ số góc m
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Viết PT đường thẳng (d) c) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P)
(20)18
Chủ đề 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Các toán chuyển động Phương pháp giải:
Dựa vào quan hệ ba đại lượng s: quãng đường, t: thời gian, v: vận tốc chuyển động công thức s = v.t
Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: ví dụ giải tốn thuyền sơng ta có: v1 = vo + v3; v2 = vo – v3 trơng v1 vận tốc thuyền xi dịng, v2 vận tốc thuyền ngược dòng; vo vận tốc riêng thuyền; v3 vận tốc dòng chảy
Chú ý: để thuyền ngược dịng phải có vo = v3 Bài tập:
1) Khoảng cách hai bến sông A B 60 km Một xuồng máy xi dịng từ A đến B, nghỉ 30 phút bến B quay trở lại ngược dòng 25 km để đến bến C Thời gian kể từ lúc đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất Tính vận tốc xuồng máy nước yên lặng, biết vận tốc nước chảy km/h
2) Trong đua xê mô tô, ba tay đua khởi hành lúc Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm người thứ 15km nhanh người thứ ba 3km nên người thứ hai đế đích chậm người thứ 12 phút sớm người thứ ba phút Tính vận tốc ba tay đua mô tô
3) Một xe lửa từ Huế Hà Nội Sau 40 phút, xe lửa khác từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn vận tốc xe thứ 5km/h Hai xe gặp ga cách HN 300km Tìm vận tốc xe, giả thiết quãng đường sắt Huế - Hà Nội dài 645km
4) Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước 5km/h vận tốc riêng ca nô lúc xi dịng lúc ngược
5) Một người xê máy từ A đến B cách 120km với vận tốc dự định trước Sau 1/3 quãng đường AB người tăng vận tốc lên 10km/h qng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian xê lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút
6) Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn đường 10km Nếu từ A đến B ca nơ 20 phút, cịn tơ Tính vận tốc ca nơ, biết ô tô nhanh ca nô 17km
(21)19 10) Một người xê máy khởi hành từ Hôài Ân Quy Nhơn Sa 75 phút, tơ khởi hành từ Qui Nhơn Hôài Ân với vận tốc lớn vận tốc xe máy 20km/h Hai xe gặp Phù Cát Tính vận tốc xe, giả thiết Quy Nhơn cách Hôài Ân 100km Qui Nhơn cách Phù Cát 30km
11) Một ô tô dự định từ A đến B cách 120km thời gian qui định Sau thêm ơt tơ bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Dơ để đến B thời gian xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h Tính vận tốc lúc đầu tơ
12) Bác Hai cô Bảy xê đạp từ huyện lên tỉnh quãng đường dài 30km, khỏi hành lúc Vận tốc xe bác Hai lớn vận tốc xe cô Bảy 3km/h nên bác Hai đến trước Bảy Tính vận tốc người?
Dạng 2: Các toán suất laô động Phương pháp:
Dựa vào quan hệ ba đại lượng: N: suất laô động( khối lượng cơng việc hồn thành đơn vị thời gian), t: thời gian để hoàn thành công việc, s: lượng công việc làm, công thức biểu diễn mối quan hệ là: N s
t
Bài tập:
1) Hai máy ủi làm việc vịng 12 san lấp 1/10 khu đất Nếu máy ủi thứ làm 42 nghỉ sau máy ủi thứ hai làm việc 22 hai máy ủi san lắp 25% khu đất Hỏi làm máy ủi san lấp xông khu đất chô trông baô lâu?
2) Một đội thợ mỏ theo kế hoạch phải khai thác lượng than Họ dự định ngày khai thác 50 Nhưng thực tế đội tăng suất nên ngày khai thác 57 Dơ khơng họ hơàn thành trước thời gian dự định ngày mà vượt tiêu 13 Tính số than mà đội phải thác theo kế hoạch?
3) Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm thời gian định Nhưng thực suất tổ vượt suất dự định 10 sản phẩm Dơ tổ hơàn thành cơng việc sớm dự kiến ngày Tính xem thực tế ngày tổ làm sản phẩm?
4) Một công nhân phải làm việc 420 dụng cụ Do ngày người tăng suất dụng cụ nên hôàn thành công việc sớm ngày Tính số ngày người làm? 5) Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ Do công nhân chuyển làm việc khác nên người lại phải làm thêm dụng cụ.Tính số cơng nhân lúc đầu tổ suất người
Dạng 3: Các toán làm chung- làm riêng, vòi nước chảy chung- chảy riêng Phương pháp giải:
Nếu x giờ( ngày) làm xong cơng việc giờ( ngày) làm 1/x cơng việc
Nếu giờ: đối tượng A làm 1/x công việc; đối tượng B làm 1/y cơng việc lượng cơng việc mà hai làm 1
(22)20
Bài tập:
1) Hai vịi nước chảy vào bể đầy sau 16 Nếu vòi I chảy vịi II chảy thể tích nước 25% bể Tính thời gian cần thiết để riêng vòi chảy đầy bể
2) Hai người thợ làm cơng việc sau 16 làm xong việc Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc này?
3) Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau 18 bể đầy Nếu chảy riêng voi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng vịi phải lâu chảy đầy bể?
4) Hai tổ sản xuất may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may 1310 áo Biết ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ ngày may áo?
5) Hai máy cày làm việc chung cày xơng cánh đồng giờ.Nếu làm việc riêng máy cày thứ xong sớm máy cày thứ hai giờ.Hỏi làm việc riêng máy cày thứ cày xông cánh đồng giờ?
6) Hai vòi nước chảy vào bể nước cạn sau 20 phút đầy bể.Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vòi thứ hai chảy trơng 12 phút đầy 2/15 bể.Hỏi vịi chảy b lâu đầy bể?
Dạng 4: Các toán xếp, chia sản phẩm( hàng hóa…) Phương pháp giải:
N: số lượng hàng hóa phân phối cho xe;
t: số xe chở hàng; ⟹N s
t
s: tổng số lượng hàng hóa kho
Bài tập:
1) Một đội xe dự định chở số lượng hàng, với dự tính xe chở Nhưng đến thực đội tăng cường thêm xe, lúc xe phải chở tổng hàng chở nhiều kế hoạch ban đầu Tính số xe tham gia chở hàng
2) Một hội trường có 300 ghế ngồi, chúng xếp thành dãy Nếu dãy thêm ghế bớt dãy hội trường giảm 11 ghế Tính số dãy ghế hội trường lúc đầu
3) Nhà Lan có mảnh vườn trơng cải bắp Vườn đánh thành nhiều luống, luống trồng số cải bắp Lan tính rằng: tăng thêm luống rau, luống trồng tơàn vườn giảm 54 Nếu giảm luống trồng thêm luống tơàn vườn tăng thêm 32 Hỏi vườn nhà Lan có bao nhiều cải bắp?
4) Một hội đồng thi dự định có 552 thí sinh thực tế dự thi có 525 thí sinh nên phịng thi xếp thêm thí sinh số phòng giảm phòng.Hỏi lúc đầu dự định có phịng thi?
(23)21 Dạng 5: Các tơán có liên quan đến cấu tạo thập phân số
Phương pháp giải:
Dựa vào mối liên hệ hàng số Chú ý: ab10a b abc ; 100a10b c
Bài tập:
1) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: số chẵn, chia hết cho 11 tổng chữ số số chia hết cho 11
2) Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số 10 Số lớn tích hai chữ số 12
3) Tìm số abc thỏa mãn:
( )
abc ab c
4) Cho số có hai chữ số Biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị chia số chơ chữ số hàng chục thương 11, dư Tìm số chơ 5) Chữ số hàng chục số có chữ số chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ chữ số cho số
8 số ban đầu.Tìm số ban đầu
6) Tìm số biết tổng chúng 156 Lấy số lớn chia cho số nhỏ thương 6, dư
7) Hai số 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho 7, số lớn cho thương thứ thương thứ hai đơn vị Tìm số
8) Tìm số tự nhiên , biết tích với số lớn đơn vị 168
Dạng 6: Các toán có nội dung hình học ( ý đến hệ thức lượng tam giác, cơng thức tính chu vi, diện tích … hình)
1) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 675m2 chu vi 120m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn
2) Tính độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng, biết tăng cạnh lên 3cm diện tích tăng thêm 36cm2 giảm cạnh 2cm cạnh giảm 4cm diện tích giảm 26cm2
3) Một hình chữ nhật có chu vi 160cm có diện tích 1500m2 Tính kích thước cạnh
4) Một tơn hình chữ nhật có chu vi 114cm Người ta cắt bỏ bốn hình vng có cạnh 5cm bốn góc gấp lên thành hình hộp chữ nhật( khơng nắp) Tính kích thước tơn chơ Biết thể tích hình hộp 150cm3
(24)22
6) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900m2 chu vi 122m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn
7) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 675m2 chu vi 120m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn
8) Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi
9) Cạnh huyên tam giác vng bắng 10 cm Hai cạnh góc vng có độ dài 2cm Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng
(25)23 PHẦN B: HÌNH HỌC
Chủ đề 1: TAM GIÁC
TÓM TẮT KIẾN THỨC
Hệ thức cạnh đường cao trong vuông:
1) AB2 = BC.BH
AC2 = BC.CH 2) AH2 = BH.CH
3) AB.AC = BC.AH 4)
2
2
1
1
AC AB
AH
Áp dụng định lí pytago vào:
1) vuông ABC: AB2 + AC2 = BC2
2) vuông ABH: AH2 + BH2 = AB2
3) vuông ACH: AH2 + CH2 = AC2
Tỉ số lượng giác góc nhọn vng:
1) sin = BC AC
2) cos = BC AB
3) tan = AB AC
4) cot =
AC AB
Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau:
Nếu + = 900 thì
sin = cos cos = sin tan = cot cot = tan
Một số tính chất tỉ số lượng giác:
1)
cos sin
tan 2)
sin cos
cot 3) sin2cos1 4) tan.cot1
Hệ thức cạnh góc tam giác vng:
1) cgv = ch sin(góc đối) 1) AC = BC sinB AB = BC sinC 2) cgv = ch cos(góc kề) 2) AC = BC cosC
AB = BC cosB 3) cgv = cgv tan(góc đối) 3) AC = AB tanB AB = AC tanC 4) cgv = cgv cot(góc kề) 4) AB = AC cotB AC = AB cotC
H C
B
A
(26)24
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho ABC có AB = 5cm; AC = 12cm; BC = 13cm
a) Chứng minh ABC vng A tính độ dài đường cao AH b) Kẻ HEAB E, HF AC F Chứng minh: AE.AB = AF.AC Bài 2: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết HB = 3,6cm; HC = 6,4cm
a) Tính độ dài đơạn thẳng: AB, AC, AH
b) Kẻ HEAB ; HFAC Chứng minh rằng: AB.AE = AC.AF
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Từ D hạ đường vng góc với AC, cắt AC H Biết rằng: AB = 13cm; DH = 5cm Tính độ dài BD
Bài 4: Cho ABC vng A có AB = 3cm, AC = 4cm, đường cao AH a) Tính BC, AH
b) Tính góc B, góc C
c) Phân giác góc A cắt BC E Tính BE, CE
Bài 5: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH = 6cm, HC = 8cm a) Tính độ dài HB, BC, AB, AC
b) Kẻ HDAC (DAC) Tính độ dài HD diện tích ∆AHD Bài 6: Cho ∆ABC vuông A, AB = 3cm, AC = 4cm
a) Giải tam giác vuông ABC?
b) Phân giác góc A cắt BC E Tính BE, CE
c) Từ E kẻ EM EN vng góc với AB AC Hỏi tứ giác AMEN hình gì? Tính diện tích tứ giác AMEN
Bài 7: Tìm x, y có hình vẽ sau :
Bài 8: Chô ∆ABC, BC = 15cm, góc B = 340, góc C = 400 Kẻ AH vng góc với BC (H BC) Tính độ dài đôạn thẳng AH
Bài 9: Cho ABC vuông A có AB = cm, AC = cm, đường cao AH a) Tính BC, AH
b) Tính góc B, góc C
c) Phân giác góc A cắt BC E Tính BE, CE
Bài 10: Cho ABC vuông A, đường cao AH Trông đôạn thẳng sau AB, AC, BC, AH, HB, HC tính độ dài đơạn thẳng cịn lại biết:
a) AB = cm ; AC = cm
A
B H C
25
(27)25 b) AB = 15 cm ; HB = cm
c) AC = 44 cm ; BC = 55 cm d) AC = 40 cm ; AH = 24 cm e) AH = 9,6 cm ; HC = 12,8 cm f) CH = 72 cm ; BH = 12,5 cm
g) AH = 12 cm ; trung tuyến AM = 13 cm Bài 11: Cho ABC vuông A, AB= 6cm, AC = 8cm
a) Tính BC, B C,
b) Đường phân giác A cắt BC D.Tính BD, CD
c) Từ D kẻ DE, DF vng góc với AB, AC Tứ giác AEDF hình gì? Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF
Bài 12: Cho ABC(A = 900 ) C 300 , BC = 10cm a) Tính AB, AC
b) Từ A kẻ AM, AN vuông góc với đường phân giác ngồi B
Chứng minh AN//BC, MN//AB
c) Chứng minh MAB đồng dạng với ABC
Bài 13: Cho ABC có AC = , AC = , AB = a) Chứng minhABC vuông A
b) Tính AH, BH, CH c) Tính B C,
Bài 14: Cho ABCcân A, cạnh bên AB = AC=14cm, A500 Tính BC, AH, BK Bài 15: Cho tam giác ABC vng A có AB = 4, BC = 8.Tính độ dài cạnh AC, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC số góc B
Bài 16: Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=4,5, BC=7,5 cm a) Chứng minh tam giác ABC vng A
b) Tính góc B,C đường cao AH tam giác
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH=12cm, BH=9cm Tính CH; AB; AC; góc B góc C? (Số góc làm trịn đến phút)
Bài 18: Cho tam giác ABC vng A có AB=3, AC=4.Kẻ đường c AH Tính độ dài BC,AH,HB,HC
Bài 19: Cho tam giác vuông ABC với cạnh góc vng AB=5, AC =8 Hãy giải tam giác vng AB
Bài 20: Chơ đường trịn (O) có dây AB CD vng góc với I.Biết IA=2, IB=14 Tính khoảng cách từ O tới dây AB CD
Bài 21: Chô đường trịn (O), bán kính R = 15cm, dây AB = 24cm Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn M cắt AB H
1) Tính tỉ số lượng giác góc O tam giác vng HAO 2) Tính AM
(28)26
Bài 22: Cho (O,OA=R) dây BC vuông góc với OA trung điểm M A a) Tứ giác OCAB hình ? sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường trị B, cắt đường thẳng OA E Tính BE theo R Bài 23:Cho (O),A nằm bên ngơài đường trịn.Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm)
a)Chứng minh OA vng góc với BC
b)Vẽ đường kính CD Chứng minh BD // AO
c)Tính độ dài cạnh tam giác ABC, biết OB=2cm, OA= 4cm
Bài 24:Chơ đường trịn (O), dây AB khác đường kính.Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn C
a)Chứng minh CB tiếp tuyến đường trịn
b)Cho bán kính đường trịn 15cm,AB=24cm Tính OC Bài 25: Chơ đường trịn (O), bán kính OA=5, dây CD trung trực OA
a)Chứng minh tứ giác OCAD hình thoi
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn C, tiếp tuyến cắt đường thẳng OA I Tính độ dài CI
Chủ đề 2: ĐƯỜNG TRÒN
ĐƯỜNG TRÒN I ĐN xác định đường tròn:
1/ ĐN:
Đường tròn tâm O bán kính R hình gồm điểm cách điểm O khoảng bẳng R
2/ ĐL: Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn
3/ PPCM: Bốn điểm thuộc đường tròn
A, B, C, D (O) OA = OB = OC = OD II Các TC đường kính dây:
1/ Quan hệ vng góc đường kính dây:
*Xét đường trịn (O), có: AB đường kính, CD dây không qua tâm
ABCD I IC = ID
2/ Liên hệ cung dây:
*Xét đường tròn (O), có: AB, CD hai dây cung OHAB, OKCD AB = CD OH = OK AB > CD OH < OK
C
D O
A
B I
A K
H B
D
(29)27 III Vị trí tương đối:
1/ VTTĐ đường thẳng đường tròn: *Xét đ.tròn (O;R)
đường thẳng a Kẻ OH a H OH = d k/c từ O đến a
*Các vị trí tương đối:
a/ Đ.thẳng a (O) cắt
d < R
b/ Đ.thẳng a (O) tiếp xúc
d = R
c/ Đ.thẳng a (O) không giao
d > R
2/ VTTĐ hai đường tròn:
*Xét đường tròn (O;R) (O’;r) với R > r
Đơạn nối tâm OO’= d
*Các vị trí tương đối:
a/ (O) (O’) cắt R – r < d < R + r b/ (O) (O’) tiếp xúc d = R + r (O) (O’) tiếp xúc d = R – r c/ (O) (O’) d > R + r (O) (O’) đựng d < R – r IV Tiếp tuyến đường tròn:
1/ ĐN tiếp tuyến:
Tiếp tuyến đường tròn đường thẳng có điểm chung với đường trịn
2/ TC tiếp tuyến:
a tiếp tuyến (O) a OM (OM bán kính qua tiếp điểm) 3/ TC hai tiếp tuyến cắt nhau:
AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O)
AB AC
AO BAC
OA BOC
tia phân giác tia phân giác
V Đường tròn với tam giác: 1/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác: đường tròn qua ba đỉnh tam giác *Tâm O đường trịn gi điểm đường trung trực tam giác
2/ Đường tròn nội tiếp tam giác: đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác *Tâm I đường tròn giaô điểm đường phân giác tam giác
B C
A
O
C I
B A
a
d H O
R r
B A
O O'
a
d
A
M O
O B
(30)28
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRỊN I Số cung trịn:
*ĐN: Trơng đ.tròn (hay đ.tròn nhau)
+ Sđ cung nhỏ = Sđ góc tâm
(chắn cung ) + Sđ cung lớn = 3600 – Sđ cung nhỏ + Sđ nửa đ.tròn = 1800
SđAnB = AOB
SđAmB = 3600 - SđAnB II.Liên hệ: Góc tâm – Cung – Dây:
(Chỉ xét cung nhỏ trông đ.tròn ) AOB = COD AB=CD AB = CD AOB > COD AB>CD AB > CD III Góc với đường trịn
1.Góc tâm:
* AOB chắn cung AmB AOB= Sđ AmB
2.Góc nội tiếp:
*ABC chắn cung AmC
ABC=
2Sđ AmC
*ABC ADC chắn cung AmC ABC= ADC
* AC = CD ABC= CBD
* ABC AOC chắn cung AmC
ABC = 1
2 AOC (ABC < 90 0)
*ABC chắn nửa đường tròn ABC=900
n O
A B m
n m
B A
O
D
m A C
B
D C
B A
O
m A C
B
O C
B
A
m A C
B
O A
B
(31)29
3 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung:
*BAx chắn cung AmB BAx=
2Sđ AmB *BAx ACB chắn cung AmB BAx=ACB
4 Góc có đỉnh bên Góc bên ngồi đường tròn:
*BED chắn hai cung nhỏ BD AC
2
BED (Sđ BD+ Sđ AC)
*CED chắn hai cung AB CD CED =
2(Sđ CD - Sđ AB)
IV Tứ giác nội tiếp:
1 ĐN:
ABCD nội tiếp đ.tròn(O) A,B,C,D(O)
2 TC:
*Tứ giác ABCD nội tiếp
0
180 180 A C
B D
(Tổng số đo góc đối 1800)
*Tứ giác ABCD nội tiếpBCxA
(Góc ngồi với góc đỉnh đối diện)
*Tứ giác ABCD nội tiếpACB ADB; (Hai góc nội tiếp chắn cung nhau)
3.DHNB tứ giác nội tiếp:
Tứ giác →Tứ giác nội tiếp; DHNB
DH1:Tứ giác có tổng góc đối 1800 →nội tiếp
180
A C Tứ giác ABCD nội tiếp
DH2:Tứ giác có 2 đỉnh kề nhìn cạnh
chứa 2đỉnh cịn lại 2góc nhau → nội tiếp
ACBADB Tứ giác ABCD nội tiếp (Thường gặp: 2góc vng CM tứ giác nội tiếp)
*Có thể tìm cách CM từ góc tứ giác: xCB AABCD1800Tứ giác ABCD nội tiếp
O
m
A x
B
C
O
m
A x
B
D
C
B
A O
E C
D A
B E C
D A
(32)30
* Đặc biệt:
Ta có:
ADC=90 (gt)
ABC=90 (gt) Nên:
0 0
ADC+ABC=90 +90 180 Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp
Ta có:
ABD=90 (gt)
ACD=90 (gt)
Nên:
ADC=ABC=90
Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp
V Các công thức tính chu vi đường trịn, cung trịn, diện tích hình trịn, quạt trịn:
* Chu vi hình trịn: C = 2R = d * Độ dài cung tròn: l =
180 Rn
* Diện tích hình trịn: S = R2
* Diện tích hình quạt trịn: S =
360 R n lR
BÀI TẬP:
Dạng 1: Chứng minh hai góc
Cho tứ giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O), gọi D điểm cung nhỏ AC a Chứng minh DACDBA
b Hai đường thẳng AB CD cắt E Chứng minh ABCADE Dạng 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Chô tam giác ABC, hai đường cao BD, CE cắt H Chứng minh a Tứ giác AEHD nội tiếp
b Tứ giác BCDE nội tiếp
Dạng 3: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn
Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E Gọi H giaô điểm BE CF, I trung điểm AH Chứng minh IE, IF tiếp tuyến đường tròn (O)
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, hai đường thẳng song sông, hai đôạn thẳng nhau,
Chơ hai đường trịn (O) (O’) cắt hai điểm A B, kẻ đường kính AOC cắt đường trịn (O’) E đường kính AO’D cắt đường trịn (O) F
a Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
b Chứng minh ba đường thẳng CE, DF, AB đồng quy Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
Từ điểm M nằm ngơài đường trịn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA; MB cát tuyến MCD Gọi I trung điểm CD Gọi E, F, K giaô điểm đường thẳng AB với OM, MD, OI a Chứng minh: R2 = OE.OM = OI.OK
b Chứng minh M, A, B ,O, I nằm đường tròn
D
C B
A O
D
C B
A
(33)31 c Khi cung CAD nhỏ cung CBD, chứng minh DEC2DBC
Dạng 6: Bài tốn tổng hợp
Bài 1: Chơ đường trịn (O;R) từ điểm M nằm ngơài đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm)
a Chứng minh bốn điểm O, A, M, B nằm đường tròn
b Kẻ cát tuyến MNP, gọi K trung điểm NP Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B thuộc đường
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường (O) tia phân giác góc A cắt đường tròn M Vẽ đường cao AH Chứng minh rằng:
a OM qua trung điểm dây BC b AM tia phân giác góc OAH Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao AM, BN cắt H cắt đường tròn (O) D, E Chứng minh rằng:
a Tứ giác HMCN nội tiếp đường tròn b CD = CE c Tam giác BHD cân Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Vẽ bán kính OC vng góc AB, gọi M điểm cung BC, AM cắt OC N Từ C hạ CK vng góc với AM K Chứng minh rằng:
a Tứ giác MNOB nội tiếp b Tứ giác OACK nội tiếp c Tam giác OKC cân d AM.AN = 2R2
Bài 5: Cho tam giác ABC cân A (A < 900), hai đường cao BD CE cắt H a Chứng minh bốn điểm A, D, H, E thuộc đường tròn, Xác định tâm O vẽ đường tròn
b Gọi K giaô điểm AO BC Cm: KD tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 6: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax, By C D
a Chứng minh AC + BD = CD b Chứng minh COD = 900 c Chứng minh OC // BM
d Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD
Bài 7: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường trịn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b Chứng minh BAF tam giác cân
c Chứng minh tứ giác AKFH hình thoi
d Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao BD CE cắt H
(34)32
c Qua B kẻ đường thẳng vng góc với AB B, qua C kẻ đường thẳng vng góc với AC C hai đường thẳng cắt K Gọi M trung điểm BC, chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng
Bài 9: Chơ đường trịn (O), đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B (B khác O C) Gọi M trung điểm AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB M Đường trịn đường kính BC cắt DC I
a Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp b Chứng minh ba điểm I, B, M thẳng hàng c Chứng minh MI tiếp tuyến đường tròn (K)
Bài 10: Chơ hình vng ABCD điểm E thuộc cạnh BC (E khác B C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K
a Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp b Tính góc CHK
c Chứng minh KC.KD = KH.KB
d Đường thẳng AE cắt DC F, chứng minh 12 12 12 AD AE AF
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Gọi M trung điểm AC, kẻ đường trịn đường kính MC cắt BC E cắt BM kéo dài D
a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Xác định tâm O b Chứng minh OM tiếp tuyến đường tròn đường kính MC
c Chứng minh DB tia phân giác góc ADE
Bài 12: Chơ đường trịn (O), từ điểm A nằm ngơài đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm)
a Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp b Chứng minh OA vuông BC H
c Trên đôạn thẳng BH lấy điểm D, kẻ đường thẳng vng góc với OD D cắt tiếp tuyến AB, AC E, F Chứng minh DE = EF
Bài 13: Chơ đường trịn (O), nửa đường tròn lấy điểm D cho AD > DB, OB lấy điểm C Kẻ CH vng góc AD H, kẻ tia phân giác góc DAB cắt đường tròn (O) điểm E cắt CH F; đường thẳng DF cắt đường tròn (O) N Chứng minh rằng:
a ANFACF
b Tứ giác AFCN nội tiếp c Ba điểm N, C, E thẳng hàng
Bài 14: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Hai tiếp tuyến B C cắt D; Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC I cắt đường tròn (O) E F Chứng minh rằng: Tứ giác OICD nội tiếp
Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A, B, C cắt đường tròn (O) D, E, F Chứng minh rằng:
a AD >AB + AC
b AD + BE + CF lớn chu vi tam giác ABC
(35)33 nửa đường trịn khơng trùng với A B.Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax By C D
a) Chứng minh tứ giác OACM nội tiếp b) Chứng minh CD = AC+BD
c) OC cắt AM E, OD cắt BM F.Chứng minh FE=R
d) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD
Bài 17: Chơ đường trịn tâm O, bán kính R=3 A điểm nằm ngơài đường trịn cho OA=5.Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm)
a) Chứng minh OABC
b) Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) D.Chứng minh BD//AO c) Tính chu vi tam giác ABC
Bài 18: Cho hình vng OABC.Dựng đường trịn tâm O, bán kính OA M điểm cung nhỏ AC đường tròn (O) ( M khác A, C).Dựng MH AB (H AB ),
( )
MI AC IAC MK BC K( BC) Chứng minh rằng:
a) AB, BC tiếp tuyến đường tròn (O) b) Các tứ giác AHMI CKMI nội tiếp
c) BH.BK = MI
Bài 19: Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB<AC) nộit tiếp đường trịn (O) Vẽ đường cao BH CK Chứng minh:
a) Tứ giác BKHC nội tiếp đường tròn Xác đình tâm đường trịn b) Góc AKH góc ACB
c)OA KH
Bài 20: Cho tam giác cân ABC (A góc nhọn AB=AC) Các đường cao BE, CF, AD cắt H Chứng minh
a) Tứ giác ÀHE nội tiếp đường tròn Xác định tâm vẽ đường tròn b) Góc HFD AFI
c)DF tiếp tuyến đường tròn tâm I
Bài 21: Cho tam giác ABC vng A có AB<AC, kẻ đường cao AH Trên BC lấy điểm D cho HD=HB từ C kẻ CE Vng góc với AD kéo dài Chứng minh:
a)Tứ giác AHEC nội tiếp, Xác định tâm vẽ đường tròn b) Tam giác ABD tam giác cân
c) AH=HE
d) Tam giác HBA ABC đồng dang e.BH.BC=AB2
Bài 22:Cho tam giác ABC vng A có AB<AC Gọi M trung điểm AC, đường trịn đường kính MC cắt BC E cắt BM kéo dài D
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Xác định tâm O vẽ đường tròn
b)Chứng minh DM tia phân giác góc ADE
c)Chứng minh OM tiếp tuyến đường trịn đường kính MC d) Cho góc ACB 300 Chứng minh OM=2OE
Bài 23: Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm M nằm nửa đường tròn cho MA>MB Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn ta kẻ tiếp tuyến Ax.Kéo dài BM cắt Ax I Vẽ tia phân giác góc IAM cắt nủa đường tròn E cắt MI F Vẽ tia BE cắt AM K cắt AI H
(36)34
c)Chúng minh:Tứ giác AKFI hình thang Xác định vị trí điểm M để AKFI nội tiếp đường tròn
Bài 24: Cho nửa đường trịn đường kính AB=2R điểm M nằm nửa đường tròn (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn ta kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I Vẽ tia phân giác góc IAM cắt nủa đường tròn E cắt BM F Tia BE cắt Ax H cắt AM K
a)CM: Tứ giác AKMF nội tiếp
b)CM: AHE ABE E MA EBM
c) CM: Tứ giác AKFH hình thoi
Bài 24:Chơ đường trịn tâm O đường kính AB Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt (O) P Q Tiếp tuyến (O) điểm D thuộc cung nhỏ BP cắt PQ E, AD cắt PQ F
a)CM: Tứ giác BCFD nội tiếp b)Chứng minh ED=EF
c)CM:Tam giác EDP EQD đồng dạng từ suy ED2=EP.EQ
Bài 26:Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C, D điểm nằm nửa đường tròn (D nằm C B) AC cắt BD E, AD cắt BC F
a)CM: Tứ giác ECFD nội tiếp Xác định tâm vẽ đường trịn b)Chứng minh EFAB
c)Chứng minh: AEF ABC
d)Cho biết số đô cung CD 600, AD=5cm Tính độ dài cạnh AE
Bài 27: Chơ đường trịn (O) có đường kính AB CD vng góc với Trên AB lấy điểm M khác O Đường thẳng CM cắt đường trịn N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến với (O) N P
a) CM: Tứ giác OMNP nội tiếp
b) CM: Tứ giác CMPO hình bình hành c) CM: COM đồng dạng vớiCND
Bài 28: Cho nửa đng trịn đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By Qua điểm M(khác A,B) thuộc nửa đường trịn chơ kẻ tiếp tuyến thứ cắt Ax C cắt By D
a) CM:Tứ giác ACMO nội tiếp b) Chứng minh:CD=AC+BD
c) Gọi N giaô điểm AD BC Chứng minh MN//AC
Bài 29: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tia phân giác góc A cắt đường trịn M Vẽ đường cao AH Chứng minh rằng:
a)OM qua trung điểm dây BC, b)AM tia phân giác góc OAH
Bài 30: Cho tam giác ABC vuông A.Trên AC lấy điểm M vàvẽ đường trịn đường kính MC.Kẻ BM cắt đường trịn D Đường thẳng DA cắt đừơng Chứng minh :
a)ABCD tứ giác nội tiếp, b)ABD ACD
c)CA tia phân giác góc SCB
Bài 31: Cho tam giác ABC vng A có AC>AB.Kẻ đường cao AH Trên BC lấy điểm D cho HD=HB từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh:
a)Tam giác ADB cân
(37)35 c)AH=HE
Bài 32:Tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên , nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B,C đường trònlần lượt cắt tia AC tia AB D E Chứng minh:
a)
D D D
B A C
b)Tứ giác BCDE tứ giác nội tiếp c)BC song song với DE
Bài 33: Chô đường trịn (O,R) (O’,r) tiếp xúc ngồi (R>r) Hai tiếp tuyến chung AB A’B’ đường tròn cắt P (A, A’ Thuộc đường tròn (O’ ), B B’ thuộc đường tròn (O)) Biết PA=AB=4cm Tính diện tích hình trịn (O’)
Bài 34:Cho tam giác ABC cân A, có A góc nhọn Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng BC E.Kẻ EN vng góc với AC.Gọi M trung điểm BC.Hai đường thẳng AM EN cắt F.CMR:
a)Tứ giác AMNE MCNF nội tiếp đường tròn b)BAM A BE EB tia phân giác góc AEF
Bài 35:Chơ tam giác ABC Trên nửa mp bờBC không chứa đỉnh A, lấy điểm D cho DB=DC
2A DCB CB
a)Chứng minh ABDC tứ giác nội tiếp