Bài tập rút gọn Bài : 1) Đơn giản biểu thức : 2) Cho biểu thức : P = 14 + + 14 x +2 Q = x + x +1 x x +1 ữ x ữ x a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để Q > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Hớng dẫn : P = a) ĐKXĐ : x > ; x Biểu thức rút gọn : Q = x b) Q > - Q x > c) x = { 2;3} Q Z x + Bài : Cho biểu thức P = x +1 x x a) Rút gọn biểu thức sau P b) Tính giá trị biểu thức P x = Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x Biểu thức rút gọn : P = b) Với x = x +1 x P = - 2 Bài : Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức sau A x x +1 x x x +1 b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A Hớng dẫn : x x a) ĐKXĐ : x 0, x Biểu thức rút gọn : A = b) Với x = A = - c) Với x < A < d) Với x > A = A Bài : Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức sau A a + ữ ữ a + a 1 b) Xác định a để biểu thức A > Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : a > a Biểu thức rút gọn : A = a +3 x + x x 4x x + 2003 + ữ A= x2 x x x +1 b) Với < a < biểu thức A > Bài : Cho biểu thức: 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A 3) Với x Z ? để A Z ? Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : x ; x b) Biểu thức rút gọn : A = x + 2003 với x ; x x c) x = - 2003 ; 2003 A Z ( ) x x x x +1 x x +1 ữ: x x+ x ữ x x Bài : Cho biểu thức: A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Hớng dẫn : x +1 a) ĐKXĐ : x > ; x Biểu thức rút gọn : A = x b) Với < x < A < c) x = { 4;9} A Z Bài : Cho biểu thức: x+2 A = x x a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng: < A < + x ữ: x + x +1 x ữ x +) A > +) A < x + x +1 x + x +1 + Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x Biểu thức rút gọn : A = b) Ta xét hai trờng hợp : x + x +1 > với x > ; x (1) < 2( x + x + ) > x + x > theo gt x > (2) Từ (1) (2) suy < A < 2(đpcm) a +3 Bài : Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = a a a +2 + a (a 0; a 4) 4a Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a Biểu thức rút gọn : P = a b) Ta thấy a = ĐKXĐ Suy P = N = + Bài : Cho biểu thức: 1) Rút gọn biểu thức N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 a + a a a ữ ữ a + ữ a ữ Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a Biểu thức rút gọn : N = a b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ Suy N = 2005 Bài 10 : Cho biểu thức P = x x + 26 x 19 x + x+2 x x x x +3 a Rút gọn P b Tính giá trị P x = c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Hớng dẫn : x + 16 x +3 103 + 3 b) Ta thấy x = ĐKXĐ Suy P = 22 a ) ĐKXĐ : x 0, x Biểu thức rút gọn : P = c) Pmin=4 x=4 x x 3x + x : + Bài 11 : Cho biểu thức P = x x x + x + a Rút gọn P b Tìm x để P < c Tìm giá trị nhỏ P Hớng dẫn : a ) ĐKXĐ : x 0, x Biểu thức rút gọn : P = b Với x < P < c Pmin= -1 x = x +3 a +1 a )( 15 Bài 12: Cho A= +4 aữ với x>0 ,x ữ a + a ữ a +1 a a Rút gọn A ( )( b Tính A với a = + 15 10 ( KQ : A= 4a ) ) x x x x x 1ữ : + ữ với x , x 9, x ữ x+ x x x +3ữ x9 Bài 13: Cho A= a Rút gọn A b x= ? Thì A < c Tìm x Z để A Z ) x (KQ : A= Bài 14: Cho A = 15 x 11 x 2 x + + x + x x x +3 với x , x a Rút gọn A b Tìm GTLN A c Tìm x để A = d CMR : A Bài 15: Cho A = a Rút gọn A 2 (KQ: x+2 x +1 + + x x x + x + 1 x b Tìm GTLN A 25 x ) x +3 A= với x , x x ) x + x +1 ( KQ : A = + với x , x x +1 x x +1 x x +1 Bài 16: Cho A = a Rút gọn A b CMR : A ( KQ : A= x ) x x +1 x x 25 x x +3 x 1ữ : + ữ ữ x +5 x 3ữ x 25 x + x 15 Bài 17: Cho A = a Rút gọn A b Tìm x Z để A Z ( KQ : A= ) x +3 Bài 18: Cho A = a a + a +1 a a +6 a a với a , a , a a Rút gọn A b Tìm a để A < c Tìm a Z để A Z a +1 ) a ( KQ : A = x x +7 x +2 x 2 x + : ữ ữ x 2ữ x +2 x4ữ x4 x Bài 19: Cho A= a Rút gọn A b So sánh A với A ( KQ : A = 3 x y x y Bài20: Cho A = ữ: + x y yx ữ ( x y ) với x > , x x+9 ) x + xy với x , y 0, x y x+ y a Rút gọn A b CMR : A ( KQ : A = xy x xy + y ) x x x x +1 x +1 x + x + ữ ữ x x x+ x x x x +1ữ Bài 21 : Cho A = a Rút gọn A b Tìm x để A = ( KQ : A = ( ) x + x +1 Với x > , x ) x x ữ x +2 x Bài 22 : Cho A = + : ữ x x x 2ữ x x 2ữ ( với x > , x ) a Rút gọn A b Tính A với x = (KQ: A = x ) 1 1 + với x > , x ữ: ữ+ x 1+ x x 1+ x x Bài 23 : Cho A= a Rút gọn A b Tính A với x = 2x +1 Bài 24 : Cho A= x a Rút gọn A (KQ: A= x ) x+4 : ữ ữ với x , x ữ x x + x +1 b Tìm x Z để A Z (KQ: A= x ) x 1 x 2 : ữ ữ với x , x ữ x +1 x x x + x x x Bài 25: Cho A= a Rút gọn A b Tìm x Z để A Z c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: x x 3x + x + ữ ữ: x 1ữ ữ x x + x Bài 26 : Cho A = x ) x +1 A= với x , x a Rút gọn A b Tìm x để A < - ) a +3 x x3 ữ với x , x x x ữ ( KQ : A = x +1 x x ữ: x +1 x ữ x Bài 27 : Cho A = a Rút gọn A b Tính A với x = (KQ: A= x ) x+4 c CMR : A Bài 28 : 1 x +1 + ữ: x x x +1 x x với x > , x Cho A = a Rút gọn A (KQ: A= b.So sánh A với Bài 29 : x ) x x 1 x x + : Với x 0, x ữ ữ ữ ữ x x +1 x x +1 Cho A = a Rút gọn A b Tìm x để A = c Tìm x để A < x+ x ) x ( KQ : A = x x + x2 2x + Bài30 : Cho A = ữ ữ x x + x +1 a Rút gọn A b CMR < x < A > c Tính A x =3+2 d Tìm GTLN A (KQ: với x , x A= x (1 x ) ) x+2 x x + + ữ ữ: x x x + x +1 x Bài 31 : Cho A = với x , x a Rút gọn A b CMR x , x A > , (KQ: Bài 32 : x2 x + ữ: x +1 x x Cho A = A= ) x + x +1 với x > , x 1, x a Rút gọn b Tìm x để A = x +1 x x x + : + ữ ữ với x , x ữ x x x +1 x Bài 33 : Cho A = a Rút gọn A b Tính A x= 0,36 c Tìm x Z để A Z Bài 34 : Cho A= a Rút gọn A b Tìm x Z để A Z c Tìm x để A < x x +3 x +2 x +2 : + + ữ ữ ữ với x , x , x 1+ x ữ x x x x + (KQ: A= x ) x +1 Bài tập hàm số bậc Bài : 1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành Hớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b = a + b a = = a + b b = Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) ta có hệ pt : Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = 3x 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ Bài : Cho hàm số y = (m 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x đồng quy Hớng dẫn : 1) Hàm số y = (m 2)x + m + m < m < 2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m = y = x + y = 2x 3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x nghiệm hệ pt : (x;y) = (1;1) Để đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + y = 2x đồng quy cần : (x;y) = (1;1) nghiệm pt : y = (m 2)x + m + Với (x;y) = (1;1) m = B ài : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m Hớng dẫn : 1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m = - m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua M(x0 ;y0) Ta có x0 = y0 = y0 = (m 1)x0 + m + (x0 1)m - x0 - y0 + = Vậy với m đồ thị qua điểm cố định (1;2) Bài : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB 2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Hớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b = a + b a = = a + b b = Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) (2 ;-1) ta có hệ pt : Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = - 2x + 2) Để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm m 3m = C(0 ; 2) ta cần : m = m 2m + = Vậy m = đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Bài : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Hớng dẫn : 1) m = 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua M(x0 ;y0) Ta có x0 = y0 = (2m 1)x0 + m - (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = y = Vậy với m đồ thị qua điểm cố định ( ; ) 2 Baứi : Tìm giá trị k để đờng thẳng sau : y= 6x 4x ;y= y = kx + k + cắt điểm Bài : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(-3; -1) Bài : Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đờng thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003) 2) Song song với đờng thẳng x y + = Chủ đề : Phơng trình bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn A kiến thức cần nhớ : Phơng trình bậc : ax + b = Phơng pháp giải : + Nếu a phơng trình có nghiệm : x = a b + Nếu a = b phơng trình vô nghiệm + Nếu a = b = phơng trình có vô số nghiệm Hệ phơng trình bậc hai ẩn : ax + by = c a' x + b' y = c' Phơng pháp giải : Sử dụng cách sau : +) Phơng pháp : Từ hai phơng trình rút ẩn theo ẩn , vào phơng trình thứ ta đợc phơng trình bậc ẩn +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số ẩn (làm cho ẩn hệ có hệ số đối nhau) - Trừ cộng vế với vế để khử ẩn - Giải ẩn, suy ẩn thứ hai B Ví dụ minh họa : Ví dụ : Giải phơng trình sau : x x ĐS : ĐKXĐ : x ; x - S = { } + =2 x -1 x + 2x - b) =2 x + x +1 Giải : ĐKXĐ : x + x + (*) 2x - Khi : = 2x = - x = x + x +1 3 3 Với x = thay vào (* ) ta có ( ) + +10 2 Vậy x = nghiệm a) Ví dụ : Giải biện luận phơng trình theo m : (m 2)x + m2 = (1) + Nếu m (1) x = - (m + 2) + Nếu m = (1) vô nghiệm Ví dụ : Tìm m Z để phơng trình sau có nghiệm nguyên (2m 3)x + 2m2 + m - = Giải : Ta có : với m Z 2m , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) để pt có nghiệm nguyên 2m Giải ta đợc m = 2, m = Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : Giải : a) Ta có : 7x + 4y = 23 y = Vì y Z x Giải ta đợc x = y = 4 2m - 7x + 4y = 23 23 - 7x x = 2x + 4 tập phần hệ pt Bài : Giải hệ phơng trình: 2x 3y = 3x + 4y = a) x + 4y = 4x 3y = b) 2x y = + y = 4x c) 10 x y = x + y = d) Bài1 : Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô Bài 12 : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km quãng đờng lại Do ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nu chảy thời gian nh lợng nớc vòi II 2/3 lơng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể Bài : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu Bài : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô? Bài : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng đợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ Bài : Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc ô tô Bài : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2 Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu Bài : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô Bài : Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe Bài 10 : Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên công nhân lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có công nhân? Biết suất lao động công nhân nh Bài 11: Ba bình tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc 1/3 thể tích Tìm thể tích bình Bài 11 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km Bài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngợc từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc 3km/h Bài 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp 23 Bài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phòng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng có ghế? Bài 15 : Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm công việc giời xong? Bài 16 : Hai vật chuyển động đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát núc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều nhauthì sau 10 giây lại gặp nhua Tính vận tốc vật Bài 17 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc sản phẩm Bài 18 : Một khối lớp tổ chức tham quan ô tô Mỗi xe chở 22 h/s thừa 01 h/s Nếu bớt 01 ôtô xếp h/s ôtô lại Hỏi lúc đầu có ôtô, h/s Mỗi xe chở không 32 h/s Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày làm thêm đợc 100 chi tiết, nên sản xuất thêm đợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất Bài 20: Một ca nô xuôi dòng 42km ngợc dòng trở lại 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận tốc dòng chảy 2km/h Tìm vận tốc ca nô lúc dòng nớc yên lặng Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe? Bài 22: Hai ô tô khởi hành lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB dài 240km Bài 23: Nếu mở hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể? Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc số sân trờng Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đợc tổ hai gấp đôi số tổ Hỏi tổ trồng đợc cây? Bài 25: Hai ô tô A B khởi hành lúc từ hai tỉnh cách 150km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô, biết vận tốc ô tô A tăng thêm 5km/h vận tốc ô tô B giảm 5km/h vận tốc ô tô A lần vận tốc ô tô B Bài 26: Hai hợp tác xã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã bán cho nhà nớc Biết lần số thóc hợp tác xã thứ bán cho nhà nớc nhiều hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán 280 24 ôn tập hình học Phần : hình học phẳng A lý thuyết: I.Đờng tròn: 1,Định nghĩa: Tập hợp điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi đờng tròn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R) 2, Vị trí tơng đối: * Của điểm với đờng tròn : xét (0 ; R ) điểm M vị trí tơng đối Hệ thức M nằm ( O ; R ) OM > R M nằm ( O ; R ) hay M thuộc ; R) ( O OM = R M nằm ( O ; R ) OM < R * Của đờng thẳng với đờng tròn : xét ( O ; R ) đờng thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a ) vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức a cắt ( O ; R ) dR * Của hai đờng tròn : xét ( O;R) (O; R) ( với d = O O ) vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức Hai đờng tròn cắt R r < d < R- r Hai đờng tròn tiếp xúc : + tiếp xúc : + tiếp xúc : d=R+r d=Rr 25 Haiđờng tròn không giao : +hai đờng tròn : +đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ : d>R+r d < R -r Tiếp tuyến đờng tròn : a Định nghĩa : đờng thẳng d đợc gọi tiếp tuyến đờng tròn có điểm chung với đờng b, Tính chất : + Tính chất : Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn vuông góc với bán kính đI qua tiếp điểm + Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng tròn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến c, Cách chứng minh : Cách : chứng minh đờng thẳng có điểm chung với đờng tròn Cách : chứng minh đờng thẳng vuông góc với bán kính đờng tròn điểm điểm thuộc đờng tròn Quan hệ đờng kính dây cung : * Định lí : Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần * Định lí : Đờng kính đI qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc với dây cung Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm : * Định lí : Trong đờng tròn hai dây cung chúng cách tâm * Định lí : Trong hai dây cung không đờng tròn, dây cung lớn gần tâm II Góc đờng tròn: 1, Các loại góc đờng tròn: - Góc tâm - Góc nội tiếp - Góc có đỉnh bên hay bên đờng tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung 2, Mối quan hệ cung dây cung: * Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Cung lớn căng dây lớn b, Dây lớn trơng cung lớn 26 3, Tứ giác nội tiếp: a, Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đờng tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn Đơng tròn đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b, Cách chứng minh : * Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 * Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc B Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F a CM: tứ giác AEHF hình chữ nhật b CM: tứ giác EFCB nội tiếp c Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC d CMR: Nếu S ABC = S AEHF tam giác ABC vuông cân Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  cắt (O) M Nối OM cắt BC I Chứng minh tam giác BMC cân Chứng minh: góc BMA < góc AMC Chứng minh: góc ABC + góc ACB = góc BMC Đờng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì? Chứng minh AM phân giác góc OAH OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chứng minh OE = MB Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp 10 Từ C vẽ tiếp tuyến (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK 11 So sánh góc KMC KCB với góc A 12 Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M 13 13.Chứng minh góc S = góc EOI góc MOC 14 Chứng minh góc SBC = góc NCM 15 Chứng minh góc ABF = góc AON 27 16 Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O) Chứng minh BF = CA Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh AI vuông góc với BC Chứng minh góc IDE = góc IAE Chứng minh : AE EC = BE EI Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D , AO kéo dài cắt (O) E a Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân b Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c Tính bán kính (O) biết BC = 24 cm IM = cm Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM CMR: a Tứ giác AMNB hình thang cân b c PH AB Từ suy P, H, O thẳng hàng ON tiếp tuyến đờng tròn đơnngf kính PH Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F CMR: a Tam giác MAE MCA đồng dạng b ME MC = MF MD c Tứ giác CEFD nội tiếp d Khi AB = R tam giác OAM Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC F a Tứ giác AEHF hình gì? b Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp c Chứng minh AE AB = AF AC d Chứmg minh EF tiếp tuyến chung (O) (I) e Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E a Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp b Tính góc AHE 28 c Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng d Chứng minh AD = AE e Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng nào? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng: a b c EF AC DA DF = DC DE Tứ giác BDFE nội tiếp Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I a Chứng minh IA tiếp tuyến (O) b Chứng minh CK tia phân giác góc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm Tính OI, CI Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho góc MON = 90 Gọi I trung điểm MN Chứng minh : a AB tiếp tuyến (I ; IO) b MO tia phân giác góc AMN c MN tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB d Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dổi Bài 12: Cho (O;R) (O; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M b Đờng thẳng OO có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O , M d Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O, M Bài 13: Cho (O) (O)tiếp xúcngoài A Đờng thẳng Ô cắt (O) (O) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O)) M giao điểm BD CE Chứng minh : a Góc DME góc vuông b MA tiếp tuyến chung hai đờng tròn c MD MB = ME MC Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng 29 c d Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác Bài 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp b Chứng minh HA tia phân giác góc BHA c Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh : AB2 = AI AH d BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N a Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b Tứ giác MNDC nội tiếp c Chứng minh AC AM = AD AN tích không đổi C, D di động Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đờng tròn D, tia AD BC cắt E a Chứng minh tam giác ABE cân B b c Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK AB Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T a Chứng minh OT // AB b Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng c Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R d Tính diện tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R Bài 19: Hai đờngtròn (O) (O) có bán kính R R ( R > R) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính qua C (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O) F a Tứ giác AEBD hình gì? b Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng c Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp d DB cắt (O) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e Chứng minh MF = DE MF tiếp tuyến (O) Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng tròn tâm O đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O) I 30 a.Tứ giác ADBE hình ? sao? b.Chứng minh BI // AD c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng MD = MI d.Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O) Bài 21: Từ điểm A bên đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng tròn Gọi I trung điểm dây MN a Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng tròn b Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O) Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M a Chứng minh MA = MD b Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB b Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c Chứng minh DM phân giác góc ADE d Chứng minh M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A a Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O) qua tiếp xúc với BC C b Hai đờng tròn (O) (O) vị trí tơng đối nào? c Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung (O) (O) d Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O) Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M B, M C) AM cắt OC N a Chứng minh tích AM AN không đổi b c Vẽ CD AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành b Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng 31 c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn Bài 27: Cho (O,R) (O,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO cắt (O) C, cắt (O) D Tiếp tuyến chung AB ( A (O), B (O' ) ) cắt đòng thẳng OO H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I a Chứng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông b Chứng minh AB = R.r c Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2 = BB2 + AA2 d Gọi N N lần lợt giao điểm AM với OI BM với OI Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, OI, OH, OH theo R r Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O a Chứng minh (O, OC) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB b Gọi D,E theo thứ tự giao điểm thứ hai CA, CB với (O) Chứng minh D, O, E thẳng hàng c Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E ) a Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng b Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp c Khi D C di động nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vuông góc M bên (O) Từ A vẽ đ ờng thẳng vuông góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng: a Góc MAH = góc MCB b Tam giác ADE cân c Tứ giác AHBK nội tiếp Bài 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vuông góc với tia CI C cắt By K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh: a Tứ giác CPKB nội tiếp b AI.BK=AC.CB c APB vuông d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn Bài 32 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM[...]... (P) ≡ (Q) 2 Mét sè c¸ch chøng minh: a Chøng minh hai ®êng th¼ng song song: C1: a vµ b cïng thc mét mỈt ph¼ng a vµ b kh«ng cã ®iĨm chung C2: a // c vµ b // c ( P ) //(Q) C3 : ( P) ∩ ( R) = a ⇒ a // b (Q) ∩ ( R ) = b b.Chøng minh ®êng th¼ng song song víi mỈt ph¼ng: a // b ⇒ a //( P ) b ⊂ ( P) c.Chøng minh hai mỈt ph¼ng song song: a, b ⊂ (Q), aXb ⇒ ( P ) //(Q) a //( P ), b //( P ) d.Chøng... I th¼ng hµng Bµi 3: CMR: NÕu mét mỈt ph¼ng song song víi ®êng th¼ng a cđa mp(Q) mµ (P) vµ (Q) c¾t nhau th× giao tun cđa chóng song song víi a Bµi 4: Cho hai mỈt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t nhau theo giao tun d Mét mỈt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tun a vµ b CMR: a NÕu a x d = M th× a, b, d ®ång qui b NÕu a // d th× a, b, d ®«i mét song song 1 1 Bµi 5: Cho tø diƯn S.ABC, ®iĨm D ∈ SA... gi÷a d©y cung vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m : * §Þnh lÝ 1 : Trong mét ®êng trßn hai d©y cung b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Ịu t©m * §Þnh lÝ 2 : Trong hai d©y cung kh«ng b»ng nhau cđa mét ®êng trßn, d©y cung lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n II Gãc trong ®êng trßn: 1, C¸c lo¹i gãc trong ®êng trßn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp - Gãc cã ®Ønh ë bªn trong hay bªn ngoµi ®êng trßn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tun... = 10 100 x + 20y = 400 Ta có hệ pt : x = 2,5 ⇔ y = 7,5 Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C Bµi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít trong dung dòch ban đầu Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu ( x + 200) y + 200 100 % =... NÕu sè hµng t¨ng thªm 1 vµ sè ghÕ ë mçi hµng t¨ng thªm 1 th× trong phßng cã 400 ghÕ Hái cã bao nhiªu hµng, mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ? Bµi 15 : Hai ngêi thỵ cïng lµm mét c«ng viƯc trong 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê vµ ngêi thø 2 lµm 6 giê th× hä lµm ®ỵc 25% c«ng viƯc Hái mçi ngêi lµm mét m×nh c«ng viƯc ®ã trong mÊy giêi th× xong? Bµi 16 : Hai vËt chun ®éng trªn mét ®êng trßn cã ®êng kÝnh... Chøng minh c¸c tø gi¸c ABHP vµ QPCH néi tiÕp 10 Tõ C vÏ tiÕp tun cđa (O) c¾t BM kÐo dµi t¹i K Chøng minh CM lµ ph©n gi¸c cđa gãc BCK 11 So s¸nh c¸c gãc KMC vµ KCB víi gãc A 12 Tõ B vÏ ®êng th¼ng song song víi OM c¾t CM t¹i S Chøng minh tam gi¸c BMS c©n t¹i M 13 13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC 14 Chøng minh gãc SBC = gãc NCM 15 Chøng minh gãc ABF = gãc AON 27 16 Tõ A kỴ AF // BC, F thc (O) Chøng... chảy vào một cài bể nước cạn, sau 4 lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau 4 giờ thì đầy bể Nếu 5 6 giờ nữa mới nay bể Nếu một mình 5 vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể Đáp số : 8 giờ Bµi 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t 0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 100 0C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C Hường dãn : x + y = 10. .. ( x + 200) 100 % = 40% y + 500 x = 400 ⇔ y = 100 0 Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40% Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Þnh lý viet vµ øng dơng A.Kiến thức cần ghi nhớ 1 Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp 12 a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương... trªn c¸c «t« cßn l¹i Hái lóc ®Çu cã bao nhiªu «t«, bao nhiªu h/s Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 h/s Bµi 19 : Mét nhµ m¸y dù ®Þnh s¶n xt chi tiÕt m¸y trong thêi gian ®· ®Þnh vµ dù ®Þnh sÏ s¶n xt 300 chi tiÕt m¸y trong mét ngµy Nhng thùc tÕ mçi ngµy ®· lµm thªm ®ỵc 100 chi tiÕt, nªn ®· s¶n xt thªm ®ỵc tÊt c¶ lµ 600 chi tiÕt vµ hoµn thµnh kÕ ho¹ch tríc 1 ngµy TÝnh sè chi tiÕt m¸y dù ®Þnh s¶n xt Bµi 20: Mét ca... xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®êng cßn l¹i Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh TÝnh qu·ng ®êng AB Bµi 2 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bĨ th× sau 4 giê 48 phót th× ®Çy Nðu ch¶y cïng mét thêi gian nh nhau th× lỵng níc cđa vßi II b»ng 2/3 l¬ng níc cđa vßi I ch¶y ®ỵc Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u ®Çy bĨ Bµi 3 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Ịn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh ... lít 100 0C lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C Hường dãn : x + y = 10 100 x + 20y = 400 Ta có hệ pt : x = 2,5 ⇔ y = 7,5 Vậy cần 2,5 lít nước sôi 75 lít nước 200C Bµi 14 : Khi thêm 200g axít vào. .. 3m)x + m2 – 2m + song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iĨm m − 3m = −2 C(0 ; 2) ta cÇn : ⇔ m = m − 2m + = VËy m = th× ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song víi ®êng th¼ng... lu«n ®i qua víi mäi m Híng dÉn : 1) §Ĩ hai ®å thÞ cđa hµm sè song song víi cÇn : m – = - ⇔ m = -1 VËy víi m = -1 ®å thÞ cđa hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo