chuyen de phuong trinh luong giac 11

Do vËy ®ßi hái häc sinh cÇn tinh ý xem bµi to¸n nµo nªn ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy.[r]

Chơng I: Phơng trình lợng giác và số phơng trình lợng giác thờng gặp

Để giải PTLG , nói chung ta tiến hành theo bớc sau:

Bc 1: t điều kiện để phơng trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm điều kiện để có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức logarit có nghĩa Ngồi PTLG có chứa biểu thức chứa tanx va cot gx cần điều kiện để tanx cot gx có nghĩa

Bớc 2: Bằng phơng pháp thích hợp đa phơng trình cho phơng trình

Bớc 3: Nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện đặt Những nghiệm không thoả mãn điều kiện y thỡ b loi

1.1-Phơng trình lợng giác bản

1.1.1- Định nghĩa: Phơng trình lợng giác phơng trình chứa hay nhiều hàm số lợng giác

1.1.2- Các phơng trình lợng giác bản.

a) Giải biện luận phơng trình sinx m (1)

Do sinx  1;1 nên để giải phơng trình (1) ta biện luận theo bc sau

Bớc1: Nếu |m|>1 phơng trình vô nghiệm

Bớc 2: Nếu |m|<1 ,ta xét khả

-Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua sin góc đặc biệt ,giả sử  phơng trình có dạng đặc biệt

2

sin sin ,

2

x k

x k

x k

 



  

  

   

  





-Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua sin góc đặc biệt đặt m=sin Ta có: 2

sin sin ,

2

x k

x k

x k

 



  

  

   

  





Nh ta kết luận phơng trình có hä nghiÖm

Đặc biệt ta cần phải nhớ đợc giá trị cung đặc biệt nh

; ; ; ; ;2 6 3    

 

 

 

  sau biến đổi các toán thơng đa cung đặc biệt

Ví dụ 1: Giải phơng trình

1 sin

4 x Gi¶i:

Ta nhËn thÊy 1

4 không giá trị cung đặc biệt nên ta đặt 1

Khi ta có:

2

sin sin ,

2

x k

x k

x k

 



  

  

   

  



 VËy phơng trình có họ ngiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình 3 sin(3 )

4 2

x  Gi¶i:

Do

3 sin

3 2 



nªn

3

sin(3 ) sin(3 ) sin

4 2 4 3

2

3 2 3 2

4 3 4 3 24 3

5 2

3 2 3 2

4 3 3 4 24 3

x x

x k x k x k

k

x k x k x k

  

     

 

     

   

    

  

       

  

      

            

  

  



Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

b) Giải biện luận phơng trình lợng giác cosx m ( )b

Ta cịng ®i biƯn ln (b) theo m

Bớc 1: Nếu m 1phơng trình vô nghiệm

Bíc 2: NÕu m 1 ta xÐt khả năng:

-Kh nng 1: Nu m c biu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc Khi phơng trình có dạng 2

cos cos ,

2   

   

  



x k

x k

x k

 



 

-Khả 2: Nếu m khơng biểu diễn đợc qua cos góc đặc biệt

đặt m=cos Ta có:

2

cos cos ,

2   

   

  



x k

x k

x k

 



 

Nh vËy ta kết luận phơng trình có họ nghiƯm

VÝ Dơ Minh Ho¹.

VÝ dơ 1: Giải phơng trình sau: 1

cos

Gi¶i:

Do

2 1

cos( ) cos

3 3 2

 

   

nªn

1 2

cos cos cos 2 ( )

2 3 3

x  x   x  k  k Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3cos(2 ) 1

6 x  Gi¶i:

1 3cos(2 ) 1 cos(2 )

6 6 3

x   x 

V×   1

1;1 3  vµ

1

3 khơng giá trị cung đặc biệt nên tồn góc  0;

cho 1

cos 3  

Ta cã:

cos(2 ) cos 2 2

6 6

x    x   k 

2 2 ( )

6 12 2

 x     k   x   k k  VËy ph¬ng trình có hai họ nghiệm

c) Giải biện luận phơng trình lợng giác tanx m c ( )

Ta biện luận phơng trình (c) theo bớc sau:

Bớc 1: Đặt điều kiÖn

cos 0 ,

2

     

x x  k k

Bớc 2: Xét khả

-Kh nng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử  phơng trình có dạng tanxtan  x  k ,k 

-Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt , đặt m=tan ta đợc tanxtan  x  k ,k

Nhận xét: Nh với giá trị tham số phơng trình có nghiệm

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình

Do

3 tan 6  

nªn ta cã:

tan 3 tan tan

6 6

x  x   x k

 

k

VËy ph¬ng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình tan( ) 2

5 x

Giải:

Điều kiện:

cos( ) 0

5 x 5 x 2 k

  



     

Do 2 biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt nên ta đặt tan 2 Từ ta có

tan( ) 2 tan( ) tan ( )

5 x 5 x 5 x k x 5 k k

   

    

            

Vậy ph-ơng trình có họ nghiệm

d) Giải biện luận phơng trình lợng giác cotx m ( )d

Ta cịng ®i biƯn ln theo m

Bớc1: Đặt điều kiện sinx 0 x k  k  Bíc 2: XÐt khả

-Kh nng 1: Nu m c biểu diễn qua cot góc đặc biệt , giả sử  phơng trình có dạng cotxcot  x  k ,k 

-Khả 2: Nếu m khơng biểu diễn đợc qua cot góc đặc biệt , đặt m=cot ta đợc cotxcot  x  k ,k 

NhËn xÐt: Nh với giá trị tham số phơng trình (d) có nghiệm

Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1:

Giải phơng trình sau:

1 cot( )

4 x 3 

 

(1)

Giải:

Điều kiện

cos( ) 0 4  x  

4 x k x 4 k k

 

 

       

(*) Ta cã:

(1)

cot( ) cot

4 x 3 4 x 3 k x 12 k k

    

 

      

Họ nghiệm thoả mÃn điều kiện (*) Vậy phơng trình có họ nghiÖm

cot(4x 35 )o 1

 

Gi¶i:

Ta nhËn thÊy cot( 45 ) 1

o

  nªn ta cã cot(4x35 )o  1 cot(4x35 ) cot( 45 )o   o 4x 35o 45o k180o 4x 80o k180ox 20o k45 (o k )

   

Vậy phơng trình cã hä nghiƯm

Lu ý: Khơng đợc ghi hai loại đơn vị ( radian độ ) cơng thức

1.2- Mét sè ph¬ng trình lợng giác thờng gặp.

1.2.1- Phng trỡnh bc hai hàm số lợng giác Dạng 1:

2

sin sin 0 ( 0; , , ) a x b x c  a  a b c (1) Cách giải: Đặt tsinx , điều kiện | |t 1

Đa phơng trình (1) phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t ý kết hợp với điều kiện giải tìm x

Dạng 2:

2

cos cos 0 ( 0; , , ) a x b x c  a a b c 

(2)

Cách giải: Đặt tcosx điều kiện | |t 1 ta đa phơng trình (2) phơng trình bậc hai theo t, giải tìm t tìm x

D¹ng 3:

2

tan tan 0 ( 0; , , )

a x b x c  a  a b c  (3)

Cách giải: Điều kiện

cos 0 ,

2

x  x k k 

Đặt ttanx t  ta đa phơng trình (3) phơng trình bậc hai theo t, ý tìm đợc nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay khơng

D¹ng 4:

2

cot cot 0 ( 0; , , )

a x b x c  a a b c  (4) Cách giải: Điều kiện sinx 0 x k k

Đặt tcotx (t ) Ta đa phơng trình (4) phơng trình bậc hai theo Èn t

VÝ Dơ Minh Ho¹:

VÝ dơ 1: Giải phơng trình

2

2cos x 3cosx 1 0 (1)

Giải:

Phơng trình (1)

2 cos 1

, 1

2 cos

3 2

x k x

k

x k

x

 

 

 



 

  



   

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

2 cot tan 4sin 2

sin 2

x x x

x

  

(2)

§iỊu kiƯn

sin 2 0 ,

2

  k  

x x  k

Ta cã:

 

2

2

2

cos sin 2

(2) 4sin 2

sin cos sin 2

cos sin 2

4sin 2

sin cos sin 2

2cos2 2

4sin 2 cos2 2sin 2 1 sin 2 sin 2

cos 2 1

2cos 2 cos2 1 0 1 *

cos 2

2

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x

x x x

x x

x

x x

x

   



  

     

 



    

 



Ta thấy cos2x1 khơng thoả mãn điều kiện Do (*)

1 2

cos 2 2 2

2 3 3

x   x   k   x  k k  VËy ph¬ng trình có họ nghiệm

Bài tập:

Bài 1: Giải phơng trình:

2

5sin x 4sinx 1 0 Bài 2 Giải phơng trình: cos2x 3cosx 4 0

Bài 3: Giải phơng trình:

5 3tan 2 3tan 0

2 x x 

Bài 4: Giải phơng trình: cos(4x2) 3sin(2 x1) 2

Bài 5: Giải phơng trình:

4

tan 3x 3tan 3x 1 0

Bài 6: Giải phơng trình:

4 25

cos 2 6cos 2

16

x x 

Bµi 7: Giải phơng trình:

2

sin 2

tan 6 2cos 2sin

4 x

x

x 

 

Bµi 8: Giải phơng trình

2

1 2sin 3 sin sin 2 1 2sin cos 1

x x x

x x

  

Bài 9: Giải phơng trình

4

4

1

cot 2 25

sin 2 x

x

1.2.2- Phơng trình bậc sin ,cosx x

a)Định nghĩa: Phơng trình asinx b cosx c (1) a, b, c  a2b2 0 đợc gọi phơng trình bậc sin ,cosx x

b) Cách giải

Ta lựa chän c¸ch sau:

C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc

Bíc 1:KiĨm tra

-NÕu a2 b2<c2 phơng trình vô nghiệm

-Nu a2b2 c2 để tìm nghiệm phơng trình ta thực tiếp bớc

Bíc 2: Chia c¶ vế phơng trình (1) cho

2

a b , ta đợc

2 2 2

sin cos

a b c

x x

a b  a b  a b

V×

2

2 2

( a ) ( b ) 1

a b  a b  nªn tån t¹i gãc  cho

2 2

cos , sin

a b

a b   a b  

Khi phơng trình (1) có dạng 2 2

sin cosx sin cosx c sin(x ) c

a b a b

      

 

Đây phơng trình sin mà ta biết cách giải

C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bíc

Bíc 1: Víi

cos 0 2 ( )

2 x

x  k  k

 

thử vào phơng trình (1) xem có nghiệm hay không?

Bớc 2: Víi

cos 0 2 ( )

2 x

x  k  k Z

 

Đặt

tan 2 x t

suy

2

2

2 1

sin , cos

1 1

t t

x x

t t



 

 

Khi phơng trình (1) có dạng

2

2

2

2 1

( ) 2 0 (2)

1 1

t t

a b c c b t at c b

t t



       

 

Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau giải tìm x

* Dạng đặc biệt:

sin cos 0 ( )

4

sin cos 0 ( )

4

x x  x k k 

Chú ý: Từ cách ta có kết sau

2 sin cos 2

a b a x b x a b

      từ kết ta áp dụng tìm GTLN GTNN hàm

sè cã d¹ng y a sinx b cosx,

sin cos sin cos

a x b x

y

c x d x

 

 phơng pháp đánh giá cho số phơng trình lợng giác

VÝ Dơ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình: sin 2x 3cos 2x3 (1)

Giải :

Cách 1: Chia hai vế phơng trình (1) cho

2

1 3  10 ta đợc

1 3 3

sin 2 cos 2

10 x 10 x 10

Đặt

3 1

sin , cos

10   10   Lúc phơng trình (1) viết đợc dới dạng

cos sin 2 sin cos 2 sin sin(2 ) sin

2 2

2 2

2

x x x x

x k

x k

x k x k

   

 

  



    

    

  

  

 

  



     



 k 

VËy ph¬ng trình có nghiệm

Cách 2:-Ta nhận thấy cosx0 nghiệm phơng trình -Với

cos 0 ,

2

x  x k k 

Đặt ttanx ,lúc

2

2

2 1

sin 2 , cos2

1 1

t t

x x

t t



 

 

Phơng trình (1) có dạng

2

2

2

2 1

3 3 2 3(1 ) 3(1 ) 3

1 1

t t

t t t t

t t



        

 

Hay tanx 3 tan x k ,k Vậy phơng trình có hä nghiƯm

Cách 3: Biến đổi phơng trình dạng

2

sin 2 3(1 cos2 ) 2sin cos 6cos

cos 0 tan 3 tan (sin 3cos )cos 0

sin 3cos 0 cos 0

x x x x x

x x

x x x

x x x



   

  

 

      

  

 

, 2

x k

k

x k

 

    



  

  



Chú ý: Khi làm toán dạng nên kiểm tra điều kiện trớc bắt tay vào giải phơng trình có số tốn cố tình tạo phơng trình khơng thoả mãn điều kiện Ta xét ví d sau:

Ví Dụ 2: Giải phơng trình 2 2(sinxcos )cosx x 3 cos 2x  2

Gi¶i:

Ta biến đổi phơng trình (2)

Ta cã:

2 2

2

2 sin 2 2(1 cos ) cos 2 2 sin 2 ( 1)cos 2 3 2

2 ; 2 ; 3 2 2 ( 1) 5 2 (3 2) 11 2

x x x

x x

a b c

a b

c

    

    

    

     

   

Suy a2 b2<c2

Vậy phơng trình cho vơ nghiệm

Ngồi cần lu ý việc biến đổi lợng giác cho phù hợp với toán biểu diễn chẵn họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

VÝ Dơ 3: Giải phơng trình (1 3)sinx(1 3)cosx2 (3)

Giải :

Cách 1:Thực phép biến đổi

(3)

1 3 1 3 2 1

( )sin ( )cos

2 2 x 2 2 x 2 2 2

 

  

Đặt

1 3 1 3

cos ; sin

2 2 x 2 2 x

 

 

Phơng trình (3) đợc viết thành

1

sin cos sin cos sin( ) sin 4 2

x    x   x  

2 2

4 4 ,

3

2 2

4 4

x k x k

k

x k x k

 

   

 

    

 

     

 

    

        



Vậy phơng trình cã hai hä nghiÖm

(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin( ) 6 cos( ) 2

4 4

1 3 1

sin( ) cos( )

2 4 2 4 2

1 sin( )cos cos( )sin

4 3 4 3 2

sin( ) sin

4 3 4

2 2

3 12 4

5

2 2

12 4 6

x x x x x x

x x

x x

x

x k

x k

k

x k x k

 

 

   

  



 

 

  

  

        

    

    

   

 

 

   



    



      

 

 



Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Qua hai cách giải ta nhận thấy cách ta thu đợc nghiệm phơng trình chẵn Bài cĩng sử dụng cách đặt

tan 2 x t

ta thu đợc nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với phơng trình dạng asin ( )P x bcos ( )Q x csin ( )Q x dcos ( ) (*)P x a, b, c, d  thoả mãn a2 b2 c2 d2>0 P(x) ,Q(x) không đồng thời hàm số Bằng phép chia cho

2

a b ta cã (*) sin P x( ) sinQ x( ) hc

(*) cos ( ) P x  cosQ x( )  , góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 4: Giải phơng trình: cos7x sin5x 3(cos5x sin ) (4)x

Gi¶i:

(4) cos7x 3 sin 7x 3 cos5xsin 5x

1 3 3 1

cos7 sin 7 cos5 sin 5

2 x 2 x 2 x 2 x

   

cos cos7 sin sin 7 cos cos5 sin sin 5

3 x 3 x 6 x 6 x

   

   

cos(7 ) cos(5 )

3 6

x  x 

   

7 5 2

3 6

7 (5 ) 2

3 6

x x k

x x k

 



 

 



   

  

     

2 2

6 12

3

12 2

8 6 2

x k x k

k Z k

x

x k

 

 

 





 

   

 

    

     

 

 

VËy ph¬ng trình có hai họ nghiệm

Bài tập: Giải phơng trình sau :

1 3 sinxcosx 3

2 10cosx 24sin 2x13

3

2

sin x 6 cosx3cos x 2 sinx

4

3

4cos x 3 sin 3x  1 3cosx

5

4

sin x cos x  1 2 sin cosx x

6

4

2( 3sinx cos )x  7 sin 2x3(cos x sin )x

7

3 1

8sin

cos sin x

x x

 

8 2 2(sinxcos )cosx x 3 cos 2x

9 cosx2cos 2x2 cos3 x

10.

2 3

2 cos( ) 6 sin( ) 2sin( ) 2sin( )

5 12 5 12 5 3 5 6

x  x  x  x 

      

1.2.3- Phơng trình bậc hai sinx cosx.

a) Định nghĩa: Phơng trình bậc hai sinx ,cosx phơng trình asin2x b sin cosx x c cos2x d (1) a, b, c, d  

b) C¸ch giải :

Chia vế phơng trình (1) cho mét ba h¹ng tư

2

sin ,cosx x sin cosx x Chẳng hạn

nếu chia cho cos2 x ta làm theo bíc sau:

Bíc 1: KiĨm tra:

cos 0 ,

2

x  x k k 

xem có phải nghiệm phơng trình(1) hay không?

Bc 2: Vi cos x 0 chia hai vế cho cos2x lúc phơng trình (1) trở thành

2

2

tan tan (1 tan )

( ) tan tan 0

a x b x c d x

a d x b x c d

   

Đây phơng trình bậc hai theo tan ta biết cách gii

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

2 1 cos2 1 cos2 sin 2

sin ; cos ; sin cos

2 2 2

x x x

x   x  x x

đa phơng trình cho phơng trình bsin 2x(c a )cos 2x d c a  

Đây phơng trình bậc sin cos ta biết cách giải

*Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát (sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

A x x x x 

k h n k h n  ; , ,   Khi ta làm theo bớc :

Bíc 1: KiĨm tra xem cosx0 có phải nghiệm phơng trình hay kh«ng?

Bớc 2: Nếu cosx0.Chia hai vế phơng trình cho cosnx ta đợc phơng trình bậc n theo tan Giải phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu

VÝ Dơ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình :

2

2 cos x6sin cosx x 3 3 (1) Giải:

Cách 1: Phơng trình (1) 3(1 cos ) 3sin 2 x  x 3 3 cos2x 3 sin 2x 3

1 3 3 3

cos 2 sin 2 cos(2 )

2 x 2 x 2 x 3 2



     

2 2 2

3 6 4

2 2

3 6 12

 

    

 

    

      



 





x k x k

k

x k x k

  

 

Vậy phơng trình cã hai hä nghiƯm

C¸ch 2: +) Thư víi

cos 0 2

2

x  x k k

vào phơng trình (1) ta cã 0 3  3  v« lÝ VËy

2 2

x k  k 

không nghiệm phơngtrình

+)Vi cosx0 Chia hai vế phơng trình cho cos2x ta đợc

2

2 6tan x(3 3)(1 tan ) x  (3 3) tan x 6 tanx 3 3 0

tan 1

4 3 3

tan tan

3 3 

 

 

 

    



   

  



 x

x k

k

x x k

  

 

* Chú ý: Khơng phải phơng trình dạng ta phải thực số phép biến đổi thích hợp

VÝ Dơ 2: Giải phơng trình:

3

sin ( ) 2 sin 4

x   x

(2)

Gi¶i :

Ta nhËn thÊy

sin( ) 4 x 

biểu diễn đợc qua sinx cosx Luỹ thừa bậc ba biểu thức sinx cosx ta đa phơng trình dạng nht ó bit cỏch gii

Phơng trình (2)

3

2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

4 4

x  x  x   x

       

 

3

(sinx cos )x 4sinx

  

+) XÐt víi

cos 0 2

2

x   x k  k 

Khi phơng trình có dạng

3

sin ( ) 4sin( )

2 k 2 k

 

 

 

mâu thuẫn Vậy phơng trình không nhËn

2 2

x k 

lµm nghiƯm

+) Với cosx0 Chia hai vế phơng trình (2) cho cos3x ta đợc :

3

(tanx 1) 4(1 tan ) tan x x  3tan x3tan xtanx 1 0 Đặt ttanx phơng trình có đợc đa dạng:

3 2

3 3 1 0 ( 1)(3 1) 0 1

4

t t t t t

t x  k k

       

      

Hä nghiệm thoả mÃn điều kiện phơng trình Vậy phơng trình có họ nghiệm

*Chú ý: Ngồi phơng pháp giải phơng trình nêu có phơng trình giải ph-ơng pháp khác tuỳ thuộc vào toán để giải cho cách giải nhanh ,khoa hc nht

Ví Dụ 3: Giải phơng trình:

1 tan

1 sin 2 1 tan

x

x x



 

(3)

Giải :

Điều kiện

cos 0 2

tan 1

4

x k

x

k x

x k

  

 

 

 

 

 

 



   

 



 

 

2

3

cos sin

cos sin cos sin

cos sin cos sin

x x

x x

x x

x x x x



 



   

Chia hai vế phơng trình (3) cho cos3x0 ta đợc :

   

 

3

2

3 2

1 tan tan tan tan

tan tan tan tan tan tan (*)

x x x x

x x x x x x

    

       

(dotan2xtanx 2 0 vô nghiệm) nên: Phơng trình (*) tanx 0 x k  k Z

VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiƯm

Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng

 2

2

2

cos sin

cos sin cos sin

cos

2

4 2sin cot( )

4 4 1 cot ( )

sin

4 4

x x

x x

x x

x

x x

x x



 

 



 



 



 

 

 

      

    

Đặt

cot( ) 4 t x

ta đợc :

  

3

2

2

2 0 1 2 0 1

1

cot( ) 1 ( )

4 4 4

t t t t t t t

t

hay x  x   k x k k

           



         

VËy phơng trình có họ nghiệm

Bài tập :

Giải phơng trình sau :

1)

2

3sinx 4sin cosx xcos x0

2)

3

2cos xsin x 11sin x 3cosx0

3)

1 4sin 6cos

cos

x x

x

 

5) sin3x 5sin2xcosx7sin cosx 2x 2cos3x0 6) sin sinx xsin 3x6cos3x

7)

3 1

8cos

sin cos x

x x

 

8)

2

(sin x 4cos )(sinx x 2sin cos ) 2x x  cos x

9) cos3x sin3xsinx cosx

1.2.4-Phơng trình đối xứng sinx cosx.

a) Định nghĩa: Phơng trình đối xứng sinx cosx phơng trình dạng a(sinxcos )x bsin cosx x c 0 a b c, ,   (1)

b) Cách giải: Cách 1: Do

2

(sin ) 1 sin cos

a x cosx   x x nên ta đặt sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

4 4

t  x x x    x

§iỊu kiƯn | |t  2 Suy

2 1

sin cos

2 t x x 

phơng trình (1) đợc viết lại:

2 2 ( 2 ) 0

bt  at  b c  Đó phơng trình bậc hai ó bit cỏch gii

Cách 2: Đặt 4 t   x

th×

sin cos 2 cos( ) 2 cos 4

x x   x  t

2

1 1 1 1

sin cos sin 2 cos( 2 ) cos 2 cos

2 2 2 2 2

x x  x   x  t t

nên phơng trình (1) trở thành

2

cos 2 cos 0

2 b

b x x  c

Đây phơng trình bậc hai biết cách giải

*Chó ý: Hai c¸ch giải áp dụng cho phơng trình a(sinx cos )x bsin cosx x c 0 b»ng c¸ch

đặt tsinx cosx lúc

2

1 sin cos

2 t x x  VÝ Dô Minh Hoạ :

Ví Dụ 1: Giải phơng trình sinxcosx 2sin cosx x 1 (1)

Gi¶i:

Cách 1: Đặt sinxcosx t điều kiện | |t  2 Lúc

2 1

sin cos

Khi phơng trình (1) có dạng

2 1

2( ) 0 2

t

t   

2 2 0 1 (*)

2 t t t

t  

     





Với t2 không thoả mÃn điều kiện nên (*) t 1 sinxcosx 1

2 1

2 sin( ) 1 sin( ) 2

4 4 2 2

x k

x x k

x k





 

 



  

       



 

Cách 2: Đặt 4 z  x

Khi phơng trình có dạng 2 cos( ) sin 2 1 0

4 x x



   

 2 cosz sin 2(4 z) 0 

   

 2 cosz sin(2 z) 0 

   

 2 cosz cos 2z 2 0  2 cosz (2cos2z 1) 0 

 2cos2z 2 cosz 1 0

cos 2 2 cos

2 z

z

 

  



(*) Ta thấy cosz 2 không thoả m·n

Do (*’)

3

2

2 4

cos

3 2

2 4

z k

z

z k



 

 

 



   

  

 3

2

4 4

3

2

4 4

x k

x k

 



 

 

  

  

   



2 2

2

x k

k

x k





 



  

 



Vậy phơng trình có hai hä nghiƯm

*Chú ý: Ta đa số dạng phơng trình dạng phơng trình đối xng ó xột trờn

Bài toán 1: Giải phơng trình

2tan 2cot ( sin cos ) (1) 0

   

Cách giải: Phơng trình (1) viết

2sin2 2cos2

( sin cos ) sin cos



 

a x b x

c a x b x

x x

 ( sina x b cos )( sinx a x b cos )x c a( sinx b cos )x  ( sina x bcos ) ( sinx  a x bcos )x  csin cosx x 0

   

sin cos 0

sin cos sin cos 0

  

 

 

 

a x b x

a x b x c x x

*Quy íc: Khi cã nhiỊu dÊu   mét biĨu thøc hay hệ hiểu lấy dòng lấy dòng dới

Ví Dụ 2: Giải phơng trình tanx 3cotx4(sinx 3 cos ) (2)x

Gi¶i:

§iỊu kiƯn:

sin cos 0

2 k

x x   x   k 

Ta cã (2)

2

1

(sin 3cos ) 4(sin 3 cos )

sin cosx x x x x x

   

 (sinx 3 cos )(sinx x 3 cos ) 4(sinx  x 3 cos )sin cosx x x (sinx 3 cos ) (sinx x 3 cos )sin 2x x 0

 

     

sin 3 cos 0 (4) sin 3 cos sin 2 0 (3)

x x

x x x

  

 

  

 Ta cã (3)

tan 3 (5)

3

x x  k

    

(4)

1 3

sin cos sin 2

2 x 2 x x

   cos sin sin cos sin 2

3 x 3 x x

 

  

2 2

3 sin( ) sin 2

3

2 2

3

x x l

x x

x x l



 



 



  



    

    



2 3 4

2 3

x l

l

x l



 

 

  

  

  



 (6) Các gía trị x (5) (6) thoả mãn điều kin ca phng trỡnh

Vậy theo phơng trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải phơng trình:

   

(tan sin ) (cot cos ) (  ) 0

a x x b x x a b

víi a b c d, , ,   (1)

Ta cã:

   

   

 

(tan sin 1) (cot cos 1) 0

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos ) 0

cos sin

( )(sin sin cos cos ) 0 cos sin

     

      

    

a x x b x x

a b

x x x x x x x x

x x

a b

x x x x

x x

   

0 tan

cos sin

sin sin cos cos 0 sin sin cos cos 0

 

  

 

 

 

     

 

 

a b b

x

x x a

x x x x x x x x

Đến ó bit cỏch gii

Tơng tự cho phơng trình a(tanx sin )x b(cotx cos )x  a b 0

Ví Dụ 3: Giải phơng trình

tanx 3 cotx sinx 3 cosx 1 3 0 (3)

Giải:

Điều kiện

sin 2 0

2 k

x  x  k 

(3) tanx sinx 3(cotx cos ) 1x   3 0

1 3

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos ) 0

cosx x x x x sinx x x x x

      

1 3

( )(sin sin cos cos ) 0 cosx sinx x x x x

    

 

1 3

0 (4)

cos sin

sin sin cos cos 0 5

x x

x x x x



 

  

   



Gi¶i (4)

tan 3

3

x x  k k

      

Giải (5): Đặt

sin cos 2 cos( ) | | 2 4

t  x x   x t 

(*) Suy

2 1

sin cos

2 t

x x

Phơng trình (5) trë thµnh

2

2

1

0 1 0

2 t

t    t  t 

1 2 1 2 t

t     

Kết hợp với điều kiện (*) t 1 2 bị loại

Với t 1 2 ta cã

1 2 2 cos( ) 1 2 cos( ) cos

4 x 4 x 2

 

 

      

2 2

4 x l x 4 l

 

   

       

 , l Các nghiệm phơng trình (4) (5) thoả mãn điều kin ca phng trỡnh

Vậy phơng trình có ba hä nghiƯm

Chú ý: Ta áp dụng phơng pháp phơng trình hỗn hợp chứa biểu thức đối xứng sinx cosx với bc ln hn 2.

Ví dụ 4: Giải phơng tr×nh:

4

cos sin sin 2 (1)

2 2

x x

x

 

Gi¶i :

Ta cã:

4 2 2

cos sin (cos sin )(cos sin ) cos

2 2 2 2 2 2

x x x x x x

x

Phơng trình (1) có d¹ng

cos sin 2 cos 2sin cos

2 6 1

sin 2 5

cos (1 2sin ) 0 2 2

6 cos 0

2 2

x x x x x

x k

x

x x x k k

x

x k



 

 



  



 

  

 



       

 



 



Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví Dụ 5: Giải phơng trình:

6

2

sin cos

8 tan cot

sin 2 

 

x x

x x

Giải:

Điều kiện: sin 2x0

Phơng trình (2)

2

2

2

3 sin cos

8(1 sin ) 2sin ( )

4 cos sin

x x

x x

x x

   

2

2

1 1 sin 2

2 8 6sin 2 4sin

sin 2 x

x x

x 

  

 (8 6sin )sin 2 x x 4 2sin 22 x  3sin 23 x sin 22 x 4sin 2x 2 0  (sin 2x 1)(3sin 22 x2sin 2x 2) 0



sin 2 1 0

3sin 2 2sin 2 2 0 x

x x

  



  





sin 2 1

1 7 sin 2

3 7 1 sin 2 sin

3 x

x

x 



 



 

 

 



  

 (lo¹i)

4

x k

x k k

x k

 

 

  



 

 

    

    





Các nghiệm thoả mãn điều kiện sin 2x0 Vậy phơng trình có h nghim

Bài tập:

Giải phơng tr×nh sau:

1.

20 1 1

( tan )cos2 9

sin 2x 2(sinx cos )x  2 xsinxcosx x

2. 2(tanx sin ) 3(cotx  x cos ) 0x  

3

3

1 cos x sin xsin 2x 4. sinxcosx( 1)cos2 x

5.

2

2cos (1 sin ) cos 0 2

x

x x

  

3

sin xcos xsin 2xsinxcosx

7.

4

4(sin xcos )x  3sin 4x2 8.

8 17

sin cos

32 x x

9.

3 1 1 2

sin cos cos 2 sin cos sin 2

4 4 8

10.

3 5

sin xcos x2(sin xcos )x 11.

8 10 10 5

sin cos (sin cos ) cos2 4

x x x x  x

1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa biểu thức đối xứng tanx cotx.

* Phơng trình có dạng

(tan cot ) (tan cot ) 0 ( 0; 2)

n

k k k

k k

p x  x q x  x r  k



      



Cách giải:

Bớc 1: Đặt ẩn phụ

tan cot | | 2 tan cot

t x x t

t x x t

 

   



  

 

đa phơng trình cho dạng đại số F t( ) 0

Bớc 2: Giải phơng trình F t( ) 0 loại nghiệm không thoả mÃn điều kiện to¸n

Bớc 3: Với nghiệm t tìm đợc bớc vào bớc để tìm x

Ví dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng tr×nh

3 2

tan x cot x 3(tan xcot ) 3(tanx  x cot ) 10 (1)x Giải:

Phơng trình (1)

3 2

tan x cot x 3tan cot (x x tanx cotx) 3(tan x cot x 2) 0

        

3

(tanx cot )x 3(tanx cot ) (2)x

  

Đặt ttanx cotx , phơng trình (2) trë thµnh

3 3 4 0 ( 1)( 4 4) 0

t  t   t t  t 

2 1

( 1)( 2) 0

2 t

t t

t  

     



 hay

tan cot 1 tan cot 2

x x

x x

 



  



1 2 2

cot 2 cot 2 2

2

2

cot 2 1 4

8 2

x k x k

x

k

x k

x x k



  





 

 

   

  

 

 

    

    

  

 

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Ví Dụ 2: Giải phơng trình:

tan3xtan2xtanxcot3xcot2xcotx6 (2)

§iỊu kiÖn

sin cos 0

2 x x  x k Ta có: Phơng trình (2)

3

2

tan cot 3tan cot (tan cot )

tan cot 2 tan cot 2(tan cot ) 0

x x x x x x

x x x x x x

 

      

     

3

(tanx cot )x (tanx cot )x 2(tanx cot ) 0x

       

(3) Đặt ttanxcotx t| | 2 , phơng trình (3) có dạng

t3 t2 2t 8 0  t3 8t2  2t 0

2

(t 2)(t 2t 4) t t( 2) 0

        (t 2)(t2 2t 4 t) 0  (t 2)(t2  t 4) 0 Víi | | 2t  th× t2   t 4 0 nªn (4)  t 2 0  t 2

Suy

tan cot 2 sin 2 1

4 x x  x  x k

( thoả mÃn điều kiện(2)) Vậy 4

x  k

họ nghiệm nht ca phng trỡnh ó cho

Bài tập:Giải phơng trình sau:

7

2(tanxcot ) tanx  xcot x 2. tan3xtan2xcot2xcot3x 4 0

3

2

5(tanxcot ) 3(tanx  xcot ) 0x  

2

2

11 1 tan 2(tan cot )

3 sin

   

x x x

x

2

2

tan cot 2 tan 8

sin x  x x x sinxcosxtanxcotx

4

8(tan xcot ) 9(tanx  xcot )x  10

1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp PTLG.

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trớc kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem nghiệm tìm đợc có thoả mãn điều kiện đặt hay khơng, để ta loại nghiệm khơng thích hp

Chúng ta xét ba phơng pháp sau:

1.3.1 Phơng pháp loại nghiệm trực tiếp

Giả sử ta cần tìm nghiệm phơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) Trớc hết ta giải phơng trình (1) sau thay nghiệm phơng trình (1) tìm đợc vào (*) để loại nghiệm khụng thớch hp

Ví Dụ: Giải phơng trình

1 sin 0 sin 4

x x 



(1) Gi¶i:

Khi (1)

1 sin 0 sin 1 2 ,

2

x x x  k  k

         

Thay

2 2

x k

vào (*) xem có thoả m·n hay kh«ng ? sin 4( 2 ) sin( 2 2 ) ( ) 0

2 k k sin



   

 

       

 

 

Suy

2 2

x   k 

không thoả mÃn (*) Vậy phơng trình (1) vô nghiƯm

1.3.2- Phơng pháp hình học (dùng đờng trịn lợng giác).

Giả sử ta cần tìm nghiệm phơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) Gọi L tập cung khơng thoả mãn điều kiện (*), N tập nghiệm phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối cung thuộc hai tập L N lên đờng tròn lợng giác Chẳng hạn điểm cuối cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối cung thuộc N ta đánh dấu (.) Khi cung có điểm cuối đợc đánh dấu (.) mà khơng bị đánh dấu (x) nghiệm phơng trình

Ví Dụ: Giải phơng trình: cos cot 2x xsinx (1)

Giải:

Điều kiện

sin 2 0 2 ( ) (*)

2

      

x x n x n n

Khi phơng trình (1)

cos 2

cos sin

sin 2 x

x x

x

 

 cos cos2x xsin sin 2x x cos cos 2x x sin sin 2x x 0

  

cos3 0 3 (**)

2 6 3

x x  k x  k k

         

Từ ta có nghiệm phơng trình (1)

6 6

x k

k

x k

  

 

 



 

   



sin

1.3.3- Phơng pháp đại số.

Phơng pháp ta kiểm tra nghiệm cách chuyển phơng trình (thờng phơng trình nghiệm nguyên) bất phơng trình đại số

* Ví Dụ: Giải phơng trình: cos8

0 (1) sin 4

x x 

Gi¶i:

Điều kiện sin 4x 0 4x n  (n ) Khi (1)

cos8 0 8 ,

2 16 8

x x  k x  k k

      

Gía trị nghiệm (1) nÕu

1 2 4 16 k 8 n 4 k n

  

    

Điều 1 2k số lẻ 4n số chẵn Vậy nghiệm phơng trình

, 16 8

x k k Bài tập:

1: Tìm c¸c nghiƯm thc ;3 2 





phơng trình

5 7

sin(2 ) 3cos( ) 2sin

2 2

x   x x

2: Giải phơng tr×nh:

sin cot 5 1 cot 9

x x

x 3: Giải phơng trình:

cos 2sin cos

3 2cos sin 1

x x x

x x





4: Giải phơng trình:

sin 5 1 5sin

x

x  5: Giải phơng trình:

1 cos2 1 cot 2

sin 2 x x

x 

6: Giải phơng trình:

2

sin 3xcos cos2 (tanx x xtan )x

Chơng II: Hệ thống số phơng pháp giải phơng trình lợng giác

ng trc mt PTLG l, điều mà làm ta băn khoăn làm để giải nó, vấn đề nảy sinh phải đa phơng trình phơng trình mà ta biết cách giải Và để giải phơng trình ta phải thực phép biến đổi theo hớng

-Nếu phơng trình chứa nhiều hàm lợng giác khác biến đổi tơng đơng phơng trình chứa hàm

-Nếu phơng trình chứa hàm lợnggiác nhiều cung khác biến đổi tơng đơng phơng trình chứa cung

Dới số phơng pháp biến đổi tuỳ thuộc vào toán khác mà ta lựa chọn phơng pháp cho phù hợp

Phơng pháp: Sử dụng công thức lợng giác học thực phép biến đổi đại số lợng giác đa phơng trình dạng quen thuộc biết cách giải

Chú ý : Ta phải ý đến mối liên hệ cung hàm lợng giác Vì mối liên hệ đờng cho cách biến đổi phơng trình

VÝ dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình

3

3sin 3x 3 cos9( x) 4sin 3  x (1)

Gi¶i:

NhËn xÐt: Ta nhận thấy toán có số hạng

3

3sin ,4sin 3x x ta sử dụng đợc cơng thức góc

nh©n ba Ta cã

3

(1) 3sin 3x 4sin 3x 3 cos9x1

1 3 1

sin 9 3 cos9 1 sin 9 cos9

2 2 2

1

sin sin 9 cos cos9 cos( ) cos

6 6 2 6 3

x x x x

x x x

   

     

     

2 2

6 3 6 ( )

2 2

6 3 2

x k x k

k

x k x k

  

 

  

 

 

    

 

    

      



Vậy phơngtrình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình sin cos33x xsin cosx 3xsin 43 x

Gi¶i:

Ta cã:

2 3

cos3xcos (4cosx x 3)sin cos3x xsin cos (4cosx x x 3)

2 2 1 2

sin cos (4sin cos 3sin ) sin (sin 2 3sin ) (1) 2

x x x x x x x x

   

T¬ng tù ta còng cã

3 1 2

cos sin 3 sin (3cos sin ) (2) 2

x x x x x

Cộng vế với vế (1) (2) ta đợc

 

3

2 2

2

sin cos3 cos sin3 1

sin (sin 2 3sin 3cos sin ) 2

3 3 3

sin cos sin sin cos2 sin 4

2 2 4

x x x x

x x x x x

x x x x x x



   

   

Từ ta có :

3

3

sin12 0 12 ( )

12 k

x x k x  k

       

VËy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phơng trình 2 cosx sinx 1 (1)

Gi¶i :

Ta cã :

2

(1)  2 cosx  1 sinx  4cos x (1 sin )x  5sin2x 2sinx 3 0

2

sin 1 2

2 ( )

3 sin sin

( ) 2

5



 

 



 

     

  

   



 



x k

x

x k k

x

x k





 



Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 4: Giải phơng trình:

2

6

10 10

log x x (sin 3x sin ) logx x x sin 2x (1)

   

Gi¶i:

Ta cã :

2

6

0 1 0 6

10

(1) sin 2 0 sin 2 0

sin 3 sin sin 2 2sin cos sin 2 x x

x

x x

x x x x x x

 

 

   



 

     

    

 

 

0 6

sin 2 0 1

cos (*) 2

x x x 

   

  



 



Gi¶i (*): ta cã

2 3 (*)

2 3

x k

x k



 

 

 

  

   

*Víi

2 3

x   k 

lo¹i sin 2x0 *Víi

2 3

x k 

xÐt víi ®iỊu kiƯn 0

6 x   

Ta xÐt

0 2 6

3 k 



  

Vậy phơng trình cho có nghiệm 3 x 

Nhận xét : Phơng pháp biến đổi tơng đơng đòi hỏi phải sử dụng nhiều cơng thức lợng giác việc nắm công thức vận dụng linh hoạt vào toán cần thiết

2.1- Phơng pháp đặt ẩn phụ. Phơng pháp :

Có loại đặt ẩn phụ

(1) Đặt ẩn phụ , đa phơng trình cho phơng trình dễ giải (2) Đặt ẩn phụ đa phơng trình cho hệ phơng trình đại số

Phụ thuộc vào phơng trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ cách khéo léo để có đợc phơng trình đơn giản dễ giải

Thông thờng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thờng gặp loại đặt ẩn phụ sau: +) i bin di hm lng giỏc

+) Đặt biểu thức lợng giác làm ẩn phụ

2.1.1- Đổi biến dới hàm lợng giác Phơng pháp:

Khi biểu thức dới hàm lợng giác có mối liên hệ đặc biệt : bù nhau, 2 k

, biểu thức gấp hai, ba lần biểu thức thờng giải phơng pháp đổi bin

Ví dụ 1: Giải phơng trình

2

4

cos cos 3

x

x 

(1)

Gi¶i:

Ta cã

4 1 cos2 cos

3 2

x x

Đặt

2 3

3 2

x t

t  x

Lúc ta có

1 cos3 cos2

2 t t 

3

2

2cos 2 1 4cos 3cos 2(2cos 1) 4cos 3cos 4cos 2 4cos 3cos 1 0

t t t t t t

t t t

        

     

3

(cos 1)(cos 3) 0

cos 1 2

( ) (*) 3

cos

4 2 2

t t

t t k

k

t k

t



 

   



  

 

  

    

 





(*)

2 3

2

3 ( )

2

2 4 2

3 3

x x k

k

k

x k x k

                      

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình

3 1 3

sin( ) sin ( ) 10 2 2 10 2

x x

 

  

(1)

Ta nhËn thÊy

3 sin ( )

10 2 x 



cã thĨ biĨu diƠn

3 3

sin ( ) sin3( )

10 2 10 2

x x             

Nh phơng trình đợc đa phơng trình chứa hàm lợng giác chứa cung Từ ta sử công thức nhân ba để biến đổi

Gi¶i:

Ta cã:

3 3 3

sin( ) sin sin 3( )

10 2 10 2 10 2

x x x

           Đặt 3 3

( ) 2

10 2 5

x

t     x   t

ph¬ng trình (2) trở thành

2

sin (4sin 1) 0 sin (2cos 2 1) 0 2 2 sin 0

1

2 2 2 2

cos 2

3 3

2

t t t t

t k t k

t

t k t k

t                                    3 3 2 2 5 5 3 3 2 2

5 5 3

t k t k                   

 hay

3

2 5 4

2 ( )

5 14

2 5

x k

x k k

x k                  

Vậy phơng trình có họ nghiệm

2.1.2- Đặt biểu thức lợng giác lµm Èn phơ.

Chú ý số phơng pháp đặt ẩn phụ phơng pháp đại số sau +Phơng trình trùng phơng

4 0 ( 0)

ax bx c a Đặt

2 0

t x t +Phơng trình bậc bốn

4

Đặt 2 a b t x + Phơng trình bậc bốn

(x a x b x c x d )(  )(  )(  )k víia b c d Đặt t(x a x b )( )

+ Phơng trình bậc bốn đối xứng ax4 bx3 cx2 bx a 0 Chia hai vế cho

2 ( 0)

x x

Đặt

1 t x

x   VÝ dơ Minh Ho¹

Ví dụ1: Giải phơng trình

tan2x 3tanx 9cotx9cot2 x 2 0 (1)

Gi¶i :

§iỊu kiƯn

sin 0

sin 2 0

cos 0 2

x

x x k k

x

 



    



 



Ta cã: (1)

2

2

9 3

(tan ) 3(tan ) 0

tan tan

x x

x x



Đặt

3

tan 2 3

tan

t x t

x

  

(*) Do

2 2

2

9 9

tan 6 6 tan

tan tan

t x t x

x x



Phơng trình (1) trë thµnh

2 3 4 0 1

4

t

t t

t

      



 (2) Do (*) nên ta có (2)  t 4 Lúc ta có

2

3

tan 4 tan 4tan 3 0 tan

     

x x x

x tan 1

( ) 4

tan 3 tan 

  

 

   

  

  





x x k

k

x x k

  

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Chú ý: Một số phơng trình có cách đặt ẩn phụ khơng tồn phần ,nghĩa sau đặt ẩn phụ ẩn cũ ẩn cung tồn phơng trình Bộ phận cũ cịn lại đợc xem tham số phơng trình

4

(sin 3)sin (sin 3)sin 1 0

2 2

x x

x  x  

(1) Giải:

Cách 1: Đặt

2

sin 0 1

2 x

t t

 

phơng trình (1) trở thành  

2

sinx3 t  (sinx3)t 1 (*)

Do sinx 3 0 nên phơng trình (*) phơng trình bậc hai t

2

(sin 3) 4(sin 3) (sin 1)(sin 3)

x

x x

    

   

Do sinx     1 0

Do vËy (*)

2

0 sin 1 sin 1 1 1 cos2 1 sin

2 2 2 2 2

x x

b x x

t

a

   

  

  

      

  

  

 sin 1

sin 1 2

cos 0 2

x

x x k

x



 



      



 (k )

Vậy phơng trình có họ nghiệm

C¸ch 2:

(2)

2

(sin 3)sin (sin 1) 0

2 2

x x

x

    

2

1 (sin 3)sin cos 0

2 2

x x

x

   

2

3 2

4 (sin 3)sin 0

sin 3sin 4 0 (sin 1)(sin 2) 0

sin 1 2 ( )

2

x x

x x x x

x x  k  k

   

       

    

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phơng trình cosx 2 cos x 2 (1)

Gi¶i:

Đặt u  2 cos x điều kiện 1 u 3 ta có

2 2 cos (*)

u   x

Tõ (*) vµ (1) ta cã hÖ

2

2 cos cos 2

u x

x u

  

 

  

Ta cã u2 cos2x u cosx  cos2 xcosx u  u 0

 

(cos )(cos ) cos 0 cos cos (cos 1) 0

cos 1

x u x u x u

x u

x u x u

x u

     

 

      

  

-Với u  cosx vào (*) ta đợc

2 cos 1

cos cos 2 0 2 ( )

cos 2 ( ) x

x x x k k

x vn  

 

        

 

 -Với ucosx1thế vào (*) ta đợc

2

cos cos 1 0 1 5

cos ( )

2 2 ( )

5 1

cos cos

2

x x

x vn

x k k

x

 



  

  

 



    

 

 

 



Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 4: Giải phơng trình

2

16sin x 16cos x 10

 

Giải:

Cách 1: Viết lại phơng trình

2 2

2

1 16

16 16 10 16 10

16

sin x sin x sin x

sin x



Đặt

2

16sin x

t , điều kiện 1 t 16 0sin x2 1 nên 16o 16sin x2 161 Khi phơng trình có dạng

2

2 8 16 8

16

10 10 16 0

2 16 2

sin x sin x

t

t t t

t t



 



         



  

2

2

4

2

2

3 1

2

2 2 4 2 2 1

4

1 1

2 2 2

4 2

sin x sin x

sin x cos x

cos x

sin x cos x

 

 

   

       

   

  

 

 

 

1 2

4 4 2

2 3 6 2

cos x x  k x  k k

         

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Đặt

2

16

1 16

16

sin x

cos x

u

u, v v

  

 

    Khi đó:

2 2

16sin x16cos x 16sin x cos x 16

u v   

Phơng trình tơng đơng với

10 16

u v

uv

  

  

Khi u, v nghiệm phơng trình: t2  10t16 0

2 8

t t

    



2 2

2

2

2

2

1 4 16 2

2 3 1 1

2

8 16 8 4 4 2

3 1

8 16 8 3 2

4 2

4

2 16 2

1 4

sin x

cos x

sin x

cos x

sin x u

cos x sin x cos x

v u

sin x cos x

sin x v

cos x

 

  

  

     

 

 

        

 

  



         



       



      

  

   



 

   

22 1 4 1 4 2 2

4 2 3 6 2

cos x cos x x  k x  k ( k )

            

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 5: Giải phơng trình

6 2 sin cos sin cos

sin 2 2 sin cos

x x x x

x x x

   

 

(1) Giải:

Đặt t sin cosx x sinxcosx , suy 2tsin 2x2 sinxcosx

Ph¬ng trình (1) trở thành

2 1

6

2 2 3 0

3 t

t t t

t t

 

       

  -Víi t1 ta cã: sin cosx x2 sinxcosx 1

sinxcosx  1 sin cosx x a( ) Do 1 sin cos x x0 nªn (a)

2

(sinx cos )x (1 sin cos )x x

2

1 2sin cos 1 2sin cos (sin cos ) sin cos (sin cos 4) 0

sin cos 0 sin 2 0 2 ( )

2

x x x x x x

x x x x

x x x x k x k k

    

  

         

-Víi t3 ta cã sin cosx x sinxcosx 3  sinxcosx  3 sin cosx x ( )b

Ta nhËn thÊy  3 sin cosx x   2 sinxcosx , suy phơng trình (b) vô nghiệm Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 6: Giải phơng trình

2

2

sin sin

9 3

2(cos 2 2) 4cos 3 0 81 x  x 9 x  x 

(1) Giải:

Đặt

2

2

1 2sin cos

sin sin

3 3

0 3 3

9 9

x x

x t t x



    

2

1 2sin cos cos 2

sin

9

9 9 (3 )

81

x x x

x t





Phơng trình (1) trở thành

2 2(cos 2 2) 4cos2 3 0

t  x t x 



2 2(cos 2 2) 2cos 2 5 0

t  x t x 

1

5 2cos2 t

t x

     

 -Víi t 1 0 lo¹i

-Víi t 5 2cos2x ta cã 3cos 2x  5 2cos2x 

cos

3 x 2cos 2x 5

(*)

Đặt y cos ,x y 1phơng trình (*) trở thành 3 2 5

y y

Đặt ( ) 3 2

y

f x   y Rõ ràng f y( ) hàm ng bin trờn

Mặt khác ta có f(1) 5 suy y 1 lµ nghiƯmduy nhÊt cđa phơng trình (*) Với y1ta có cos2x 1 2x k 2  x k  (k )

VËy ph¬ng tr×nh cã nhÊt hä nghiƯm

NhËn xÐt:

phải tìm điều kiện lu ý ta phải thử lại xem nghiệm có thoả mÃn điều kiện phơng trình hay không

2.3- Giải phơng trình lợng giác sử dụng công thức hạ bậc Phơng pháp: Ta thực theo bíc sau:

Bớc 1:Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa

Bớc 2: Thực việc hạ bậc phơng trình cơng thức *Hạ bậc đơn:

   

   

2

2

2

2

2

2

2

1 1

1 sin 1 cos2 5 sin 3sin sin 3

2 4

1 1

2 cos 1 cos 2 6 cos 3cos cos3

2 4

sin 1 cos2 3sin sin 3

3 tan 7 tan

cos 1 cos2 3cos cos3

cos 1 cos2 3sin sin 3

4 cot 8 cot

sin 1 cos2 3cos cos

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x x

   

   

 

  

 

 

 

3x

* Hạ bậc toàn côc

4

4

6

6

3 1 sin cos cos4

4 4 sin cos cos2

5 3 sin cos cos 4

8 8

1 3

sin cos cos 2 cos2

4 4

x x x

x x x

x x x

x x x x

  

 

  

  

* Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :

3

sin cos3 sin cos

A x x x x

Ta cã thÓ lùa chän theo hai c¸ch sau:

C¸ch 1: Ta cã :

   

3

2

sin cos3 sin cos

1 cos sin cos3 1 sin sin cos

sin cos3 sin cos (cos cos3 sin sin3 )sin cos

1 1 3

sin 4 cos sin 2 sin 4 sin 4 sin 4

2 4 4

A x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

 

   

   

    

1 1

(3sin sin )cos3 (3cos cos3 )sin3

4 4

3 3

(sin cos3 .sin 3 sin 4

4 4

A x x x x x x

x x consx x x

   

  

Chú ý: (+) Tuỳ thuộc bậc toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp Chẳng hạn phơng trình bậc lẻ nhân tử bậc cao (giả sử 3) thông th ờng ta không hạ bậc tất nhân tử mà chọn hai nhân t h bc

(+) Với nhân tử bậc cao ta phải hạ bậc

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

2 2

sin xcos xcos 3x

Gi¶i.

Phơng trình đợc biến đổi dới dạng

2

2

1 cos 2 1 cos2

cos 3 2cos 3 (cos4 os )

2 2

2cos 3 2cos3 cos 0 (cos3 os5 )cos3 0 2cos cos cos3 0

x x

x x x c x

x x x x c x x

x x x

 

    

     

 

cos 2 0 2

cos 2 0 2 4 2

cos 0

cos3 0

3 cos3 0

6 3 2

 



    

 

 



         



      

 

  



x x k x k

x

x k

x

x k

x k

x

 



Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng tr×nh

4 4 9

sin sin ( ) sin ( )

4 4 8

x x  x   (1)

Gi¶i.

Ta cã:

(1)

2

2 1 cos(2 ) 1 cos(2 )

1 cos2 4 4 9

2 2 2 8

x x

x          

 

       

     

   

2 2 2

2

9 9

(1 cos2 ) (1 sin ) (1 sin ) 1 2cos 2 cos 2 2(1 sin )

2 2

2cos 2 4cos2 1 0

x x x x x x

x x

            

6 cos 2 1

2 6

cos 2 1 ( ) 2

6

cos 2 1 cos 2 2 2 2 ( )

2 x

x loai

x  x  k  x  k k



  

 



  



           

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

3 3

sin xcos xsin cotx xcos tanx x 2sin 2x (2)

Gi¶i

Ta cã: (2)

3 2

sin x cos x sin cosx x cos nx si x 2sin 2x

    

2

2

sin (sin cos ) s (cos n ) 2sin 2

(sin s )(sin cos ) 2sin 2 sin cos 2sin (3)

x x x co x x si x x

x co x x x x x x x

    

      

§iỊu kiƯn

sin cos 0 sin cos 0 sin 0 (*) sin 2 0 sin cos 0 cos 0

x x x x x

x x x x

    

  

 

  

Bình phơng hai vế phơng trình (3) ta có:

2

(sinxcos )x 2sin 2x 1 2sin cos sin 2 2sin 2 sin 2 1

2 2

2 4

x x x x x

x  k  x  k k

     

     

Các giá trị 4 x k

thỏa mãn điều kiện (*) k 2m Vậy phơng trình cho có họ nghiệm nht

Ví Dụ 4: Giải phơng trình:

7 1

sin cos (sin cos )sin 2 sin cos 2

x x x x x x x

(4)

Gi¶i: Ta cã

7 5

(4) sin xcos x(sin xcos )sin cosx x xsinxcosx

7

sin x cos x sin xcosx sin cosx x sinx cosx

     

7

6

6

6

(sin sin cos ) (cos sin cos ) sin cos sin (sin cos ) cos (sin cos ) sin cos

sin cos 0 (5) (sin cos )(sin cos 1) 0

sin cos 1 (6)

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x

x x

     

     

 



     

 

Ta cã (5)

tan 1

4

x x  k k

      

L¹i cã:

6

6 2

4

cos cos

cos sin sin cos 1 sin sin

x x

x x x x

x x

 



    



 



Dâú đẳng thức xảy sinx 0 cosx0

Bëi thÕ (6)

sin 0

cos 0 2

x

x k k

x

 



    

 

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Ví Dụ 5: Giải phơng trình :

4

2

sin cos 1 sin

2 2 tan sin tan

1 sin 2

x x

x

x x x

x

 

  

 (7)

Giải:

Điều kiện: cosx0 Ta có:

4 2 2

sin cos (sin cos ) 2sin cos

2 2 2 2 2 2

x x x x x x

    

2

1 1 cos

1 sin

2 2

x

x 

  

4

2

sin cos 1 cos

2 2

1 sin 2(1 sin )

x x

x

x x





 

  .

Thay vào (7) ta thu đợc

2

2

2

2

1 cos 1 sin

tan sin tan

2(1 sin ) 2

1 cos 1 sin

(1 sin ) tan 2(1 sin ) 2

x x

x x x

x

x x

x x

x

 

   



 

   



2 2

2 2 2

2 2 2

1 cos (1 sin )(1 tan ) 1 cos (1 sin )(1 sin )(1 tan )

2(1 sin ) 2 2(1 sin ) 2(1 sin )

1 cos (1 sin )(1 sin )(1 tan ) 1 cos (1 sin )(1 tan ) 1 cos cos (1 tan ) 1 cos cos 2sin )

x x x x x x x

x x x

x x x x x x x

x x x x x x

      

   

  

          

       

 1 2sin2 cos 2 0 2

2 4 2

x x x  k x  k k

          

Ví Dụ 6: Giải phơng trình:

3

3

6 8

tan 2 cot 2

sin 2 sin 4

x x

x x

  

(8)

Gi¶i: Ta cã:

3

3 3

8 8 1

(tan 2 cot ) sin 4x (2sin cos2 )x x (sin cos2 )x x  x x

3

3

tan 2 cot 2 3tan cot (tan 2 cot ) 3 tan 2 cot 2

sin 2

x x x x x x

x x

x

   

  

Do vËy (8) 

3 6 3 3

tan 2 cot 2 tan 2 cot 2

sin 2 sin 2

x x x x

x x

    

3

0 sin 2x

 

(v« nghiƯm )

Vậy phơng trình cho vơ nghiệm

Nh ận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ hữu hiệu có chứa hạng tử bậc cao, khó giải Vì để sử dụng tốt phơng pháp đòi hỏi học sinh cần nắm vững công thức hạ bậc nêu trên, đồng thời phải sử dụng đẳng thức cách linh hoạt

2.4- Biến đổi phơng trình lợng giác thành phơng trình tích

Có nhiều cách đa phơng trình lợng giác phơng trình tích ta sử dụng phép biến đổi dạng nh sau:

Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích

Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng

Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho cos x2

Dạng 4: Phơng pháp tách hệ số

Dạng 5 : Phơng pháp số biến thiên Dạng 6: Phơng pháp nhân

Dng 7: S dng cỏc phép biến đổi hỗn hợp Ta đa phơng trình cần giải dạng

1

( ) 0 ( ) ( ) 0

( ) 0

n

n

f x f x f x

f x  

   

 



trong phơng trình: f x( ), , ( )1 f xn phơng trình có dạng chuẩn

Sau ta xét dạng

2.4.1- Phng pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích:

VÝ Dụ 1: Giải phơng trình: 1 cos xcos 2xcos3x0 (1)

Gi¶i:

Ta cã: (1)  

2

(1 cos ) cos3x x cosx 0 2cos x 2cos2 cosx x 0

      

3

(cos cos2 )cos 0 2cos cos cos 0 2 2

x x

x x x x

    

cos 0

cos 0

2 2

cos 0 3

2 3

2 cos 0

2

3 2 2 3 3

cos 0 2 x

x x k x k

x

k

x x k

x k x                                              

Vậy phơng trình có hai họ nghiƯm

Cách 2: Biến đổi phơng trình chứa hàm lợng giác (1) 1 cosx2cos2x 1 4cos3x 3cosx 0

3 2

4cos 2cos 2cos 0 (2cos cos 1)cos 1

cos 0 2

2

cos 1 2

2 1

cos 2 3 3

2 3

x x x x x x

x k

x x k

x x k k

k x

x x k

                                                      

Ví Dụ 2: Giải phơng trình: 1 sin xcos3xcosxsin 2xcos 2x (2) Gi¶i:

Ta cã (2) (1 cos ) sin x  x(cos3x cos ) sin 2x  x0

2

2sin sin 2sin sin 2sin cos 0

(2sin 1 4sin cos 2cos )sin 0 (2sin 1)(1 2cos )sin 0

x x x x x x

x x x x x x x x

              2 1 3 cos 2 sin 0 2 1 6 sin 7 2 2 6 x k x x k x k x k x x k                                  

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví Dụ 3: Giải phơng trình

2 4

sinxsin xsin xsin xcosxcos xcos xcos x (3)

(3)

2 3 4

(sinx cos ) (sinx  x cos ) (sinx  x cos ) (sinx  x cos ) 0x 

     

   

(sin cos ) 1 sin cos 1 sin cos sin cos 0 sin cos 2 sin cos sin cos 0

x x x x x x x x

x x x x x x

          

       

 

sin cos 0 (1)

2 sin cos sin cos 0 (2)

x x

x x x x

 

  

   



Giải (1) ta đợc

sin cos tan 1

4

x x x  x k k 

Giải (2): Đặt sinxcosx t | |t 2 (*) suy

2 1

sin cos

2 t x x  Khi phơng trình có dạng

2

2 1

1

2 2 0 4 3 0

3 2

t t

t t t

t   

        

  Kết hợp với điều kiện (*) phơng trình tơng đơng với

1 sin cos 1 2 sin( ) 1 sin( )

4 4 2

x x   x   x  2

2

4 4 2

5

2 2

3 4

x k

x k

k

x k

x k

 

 



 

 

 

   

  



   



     

 

Vậy phơng trình có họ nghiệm

2.4.2- Phơng pháp biến đổi tích thành tổng

Ví Dụ 1: Giải phơng trình: sin sin 3x xsin sin8x x0 (1)

Gi¶i:

Ta cã (1) cos 4x cos 2xcos12x cos 4x0

12 2 2 5

cos12 cos2

12 2 2

7 k x

x x k

x x k

x x k k

x  

 

  

 



      

 

 

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Ví Dụ 2: Giảiphơngtrình:

cos2xcos 4xcos6xcos cos cos3x x x2 (2)

Ta cã:

 

2

4cos cos cos3 2cos2 2(cos cos3 ) 2cos2 cos2 cos4 2cos 2 2cos2 cos 4 1 cos 4 cos2 cos6

x x x x x x x x x

x x x x x x

  

     

Do vËy (2)

1

cos 2 cos4 cos6 (1 cos 4 cos 2 cos6 ) 2 4

x x x x x x

       

cos2x cos4x cos6x 3

   

cos 2 1

cos 4 1 cos2 1 cos6 1

x

x x x k k

x

 

 

       

 





Vậy phơng trình có họ nghiệm

2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho cosx.

VÝ Dụ 1: Giải phơng trình : 2cos3xcos 2xsinx0 (1)

Gi¶i:

 

 

3 2

2

2

(1) 2cos 2cos 1 sin 0 2(cos 1)cos sin 1 0 2(cos 1)(1 sin ) sin 1 0

(1 sin ) 2(cos 1)(1 sin ) 1 0

(1 sin ) 2sin cos 2(sin cos ) 0 (1 sin ) (sin cos ) 2(sin cos ) 0 (1 sin )(sin co

         

     

     

     

 

       

  

x x x x x x

x x x

x x x

x x x x x

x x x x x

x x s )(sin cos 2) 0

1 sin 0 sin 1

sin cos 0

sin( ) 0

sin cos 2 0 ( ) 4

2 2

4 4

  

 

  

 

   

   

    



 

   

 

    

     

 

 



x x x

x x

x x

x

x x vn

x k x k

k

x k x k



 

 

Vậy phơng trình cã hai hä nghiÖm

Nhận xét: Trong lời giải lựa chọn phép biến đổi cos2x2cos2 x 1 hai nhân tử lại 2cos3x(cos có hệ số 2) sinx(sincó hệ số 1),thực phép biến đổi để nhóm nhân tử chung đa phơng trình dạng tích

Nh trờng hợp trái lại ta lựa chọn phép biến đổi cos2x 1 2sin2x

Cô thĨ ta xÐt vÝ dơ sau:

Gi¶i:

Ta cã:

 

3 2

2

2

(2) 2sin 1 2sin cos 0 2( 1) 1 0 2(sin 1)(1 cos ) cos 1 0 2( 1)( 1) 0 (1 cos ) (sin cos ) 2(sin cos )

(1 cos )(sin cos )(sin cos 2) 0 1 cos 0

sin cos 0 sin cos

         

          

 

      

     

 

 



x x x sinx sin x cosx

x x x sinx cosx

x x x x x

x x x x x

x

x x

x

cos 1 2

sin( ) 0

2 ( ) 4 4

    

     

      

    





x x k

k

x x k

x vn

Vậy phơng trình có hä nghiÖm

Nhận xét: Nh có đợcphơng pháp suy luận việc lựa chọn hớng biến đổi cos2x Cuối trờng hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn phép biến đổi

cos2xcos2x sin2 x Cơ thĨ ta xÐt ví dụ sau:

Ví Dụ 3: Giải phơng trình: sin3xcos3xcos2x (1)

Giải:

Phơng trình (1) sin3xcos3x cos2x sin2x

 (cosxsin )(1 cos sinx  x xcosx sin ) 0x 

cos sin 0 (2)

1 cos sin cos sin 0 (3)

 



     



x x

x x x x

Giải (2): Ta đợc

sin cos tan 1

4

x x x  x   k k 

Giải (3): Ta đặt sinx cosx t t | | 2, suy

2 1

sin cos

2 t x x   Khi (3) có dạng:

2

2

1

1 0 2 1 0

2 

 t   t t  t 

2

( 1) 0 1 sin cos 1 2 sin( ) 1 4

2 1

sin( ) 2

4 2 2

          



  

    



  



t t x x x

x k

x k

x k

 

 

 

2.4.4- Phơng pháp tách hệ số.

Ví dụ 1: Giải phơng trình: cosxcos3x2cos5x0 (1)

Giải.    2

1 cos5 cos (cos3 cos5 ) 0 2cos3 cos 2 2cos cos 0

(4cos 3cos ).cos 2 cos 4 cos3 0 [(4cos 3)cos 2 cos ] os 0

{[2(1 cos ) 3]cos2 2cos 2 1}.cos 0 (cos 2 cos 2 1)cos 0

cos 0 1 17 cos2                               

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x c x

x x x x

x x x

x x 1 2 2 2

cos 2 2 2

8 2

2 2

1 17

cos2 cos2 2

8                                              x k x k

x k x k k

x k x k x               Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

sin 3 sin 5

3 5

x x

 Giải. Biến đổi phơng trình dạng

3

5sin3 3sin 5 2sin 2 3(sin5 in3 ) 2(3sin 4sin ) 6cos sin

x x x x s x

x x x x

             2

(3 sin 3cos4 )sin 0

3 cos2 3 cos 2 1 sin 0 3cos 2 cos 2 2 sin 0

x x x

x x x

x x x

   

 

      

   

cos 2 1

2

cos 2 cos2 2

cos 2 3

3 sin 0 cos 2 0

2 2 2

( )                                   x x x x x

x k x k

k

x k x k



   

 

Vậy phơng trình có họ nghiệm

3

2

sin 3 3sin 4sin

sin 5 sin( 4 ) sin cos 4 sin cos

sin cos 4 2cos sin cos2 sin cos4 4cos sin cos2

 

   

   

x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

2.4.5- Phơng pháp số biến thiên. Ví dụ 1: Giải phơng trình:



4

sin 3 sin sin 3 sin 1 0

2 2

x x

x  x  

(1)

Gi¶i.

Ta cã thĨ lùa chän c¸ch sau

Cách 1: Phơng pháp số biến thiên §Ỉt

2

sin 2 x t

®iỊu kiƯn 0 t 1

Khi (1) có dạng    

2

sinx3 t  sinx3 t 1 0

Ta cã        

2

sinx 3 4 sinx 3 sinx 3 sinx 1 0

        

( sin x 1) Do phơng trình đợc chuyển thành

2

0 sin 1 0 sin 1 1 1 cos 1 sin

2 2 2

sin 1 ( )

2

x x

b x x

t

a

x x  k k

   

 

 

 

 

  

 

  

 





Cách 2: Phơng pháp phân tích

1 sin2 1 sin 3 sin 1 0

2 2

x x

x

 

      

 

  2

2

2

sin 3 sin cos 1 0

2 2

(sin 1)(sin 4sin 4) 0

(sin 1)(sin 2) 0 sin 1 2 ( ) 2

x x

x

x x x

x x x x  k  k

    

    

          

VÝ dô 2: Giải phơng trình:

2sin sin

3 x 3sinx 10 3 x 3 sinx 0

    

Gi¶i.

Đặt

sin

3 x , 0

t  t

 

Khi phơng trình tơng đơng với  

2

 2    2

1 3sin 10 4.3 sin 3sin 8 3

3 sin t

x x x

t x

  

       

   

-Víi 1 3 t

ta đợc

 

sin 1

3 sin 2 1 sin 1 2

3 2

x x x x  k k





          

-Với t 3 sinx ta đợc

sin

3 x 3 sinx   Ta đoán đợc nghiệm sinx2và

0

3 2 

Vì VT hàm đồng biến VP hàm nghịch biến, sinx2 nghiệm phơng trình Nhng phơng trình sinx2 vơ nghiệm

VËy phơng trình có họ nghiệm

2.4.6- Phơng pháp nhân. Ví dụ 1: Giải phơng trình:

  1

2cos2 8cos 7 1 cos

x x

x

  

Gi¶i.

Điều kiện: cosx0 Nhân hai vế phơng trình (1) với cosx0 ta có

2

2cos cosx x 8cos x7cosx1

2

2cos (2cos 1) 8cos 7cos 1

 x x  x  x

3

2

4cos 8cos 5cos 1 0 (cos 1)(4cos 4cos 1) 0

    

    

x x x

x x x

2

2 cos 1

(cos 1)(2cos 1) 0 1 ( )

2 cos

3 2



 



 

      



   

 

 x k

x

x x k

x k

x

 

Các họ nghiệm thỏa mÃn điều kiện Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình

 

3

5

sin 5cos sin 2

2 2

x x

x 

+) Víi

cos 0 2 x



ta đợc

2

cos 2cos 1 1 2

x

x  

vµ

sin 1 5

2 x

VP

  

Khi phơng trình (2) có dạng: 5

sin 5 2

x 

v« nghiƯm

+)Víi  

cos 0 2

2 2 2

x x

k x k k



  

     

(*) Nhân hai vế phơng trình (2) với

cos 0 2 x



ta đợc

3

5

2sin .cos 10cos sin cos

2 2 2 2

x x x x

x 

3

3

3

2

3

sin 3 sin 2 5cos sin

3sin 4sin 2sin cos 5cos sin 3sin 4sin 2sin cos 5cos sin (3 4sin cos 5cos )sin 0 (5cos 4cos 2cos 1)sin 0

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

  

   

   

    

    

2

5cos cos 1 0 (5cos cos 1)(cos 1)sin 0 cos 1 0

sin 0

x x

x x x x x

x

   



        

 



 

 

*

1 21

cos cos

10

2 1 21

cos cos 2

10 sin 0

2 2 2

 

 



   

  

       

  

 

  

  

   

   

 

x

x k

x x k

x k x

x k

x k k

x k



 

  



 

 



2.4.7- Sử dụng phép biến đổi. Ví dụ 1: Giải phơng trình:

2

cos10x2cos 4x6cos3 cosx xcosx8cos cos x x

Biến đổi phơng trình dạng

 

3

cos10 1 cos8 cos 2(4cos 3cos3 )cos 2cos9 cos 1 cos 2cos9 cos

cos 1

x x x x x x

x x x x x

x x k k

    

   

 

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình:  

2

cos xsin xcosx0 2

Gi¶i.

 

 

2 2

2 cos cos sin sin 0 (cos 1)(1 cos )sin 0 (cos 1)[cos 1 cos sin ] 0

x x x x x x x

x x x x

       

    

   

cos 1 1

sin cos sin cos 1 2 x

x x x x

 

 

  



Giải (1): Ta đợc x  k2 , k  Giải (2): Đặt

2 1

sin cos , 2 sin cos

2 t x x t t   x x 

 

 

 

2

2

1

2 0 2 0

2 1 2

sin cos 1 2 1 2

1 2

2 sin 1 2 sin sin

4 4 2

2 2

4 4

3

2 2

4 4

t

t t t

t

x x

t loai

x x

x k x k

k

x k x k

 



 

   

 

    



      

  

     

  



   

         

   

 

     

 

    

        

 

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

3

cos xsin xcosxsin 2xsinx (3)

Gi¶i.

 3  (cosxsin )(1 cos sin ) cosx  x x  xsin 2xsinx

 

1

(cos sin )sin 2 sin 2 (cos sin 2)sin 2 0 2

sin 2 0 2

2

      

       

x x x x x x x

Vậy phơng trình có họ nghiệm

2.5- Biến đổi phơng trình lợng giác thành tổng đại lợng không âm. Phơng pháp: Ta cần nhớ đại lợng không âm lợng giác, bao gồm

2, , cos , sin

A B  x  x

để sử dụng phơng pháp giải PTLG ta thực theo bớc sau

Bớc 1: Biến đổi phhơng trình ban đầu dạng A A1 2  An0  1

Bíc 2: Dïng lËp luËn Ai 0,  i 1,n

Bớc 3: Khi

   

1

0 0

1 :

0

n

A A

I A

 

 

 

 

 



Bíc 4: Gi¶i hƯ  I

VÝ Dô Minh Häa:

VÝ dô 1: Giải phơng trình:

2 2

cos 4xcos 8xsin 12xsin 16x2 1

Gi¶i.

 

 

2 2

2 2

1 1 sin 4 1 sin 8 2 sin 12 sin 16 2 sin 4 sin 8 sin 12 sin 16 0

sin 4 0 sin8 0

sin 4 0 4

sin12 0 4

sin16 0

x x x x

x x x x

x x

x x k x k k

x x

 

       

    

 

 



       

 



Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình: 

3

cos 2x cos6x4(3sinx 4sin x 1) 0 2

Gi¶i Ta cã:

 

2 2

2 cos2 cos6 4sin 3 4 0

(1 cos2 ) (1 cos6 ) 4sin 3 2 0

2cos 2sin 3 4sin 3 2 0 cos (sin 3 1) 0

x x x

x x x

x x x x x

    

      

 

cos 0 2

2

sin 3 1 3 2

2

x k

x

x k k

x

x k

 



 

 

  



 

       



   

 



Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

2

4cos x3tan x 4 cosx2 tanx 4 0 3 Giải.

Nhận xét: Ta nhận thấy phơng trình có hạng tử

2

cos , cos ,x x tan ,x tan2 x

vậy ta biến đổi phơng trình dạng tổng bình phơng hai biểu thức

Gi¶i.

Ta cã:  

   

 

2

2

3 (4cos 4 cos 3) (3tan 2 tan 1) 0 2cos 3 3 tan 1 0

3 cos

2cos 3 0 2

1 3 tan 1 0 3 tan

3 2

6 2

6 6

      

    



 

  

 

   

 

 

 

  

  



     

   





x x x x

x x

x x

x x

x k

x k k

x k







 

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 4: Giải phơng trình

  1

tan 1 cot 1 4

sin 2

x x

x

 

Giải.

Điều kiện:

tan 1 cot 1 sin 2 0

x x x

 



 

 

   

2

1

4 tan 1 cot 1 tan cot 2

[(tan 1) tan 1 1] [(cot 1) cot 1 ] 0 ( tan 1 1) ( cot 1 1) 0

tan 1 0

tan cot 2 cot 1 0

x x x x

x x x x

x x

x

x x

x

     

          

      

   



    

   



tan cotx x 4

(mâu thuẫn) Vậy phơng trình vô nghiệm

Cỏch 2: S dng bt ng thức Cô si ta đợc 1 tan 1 tan 1(tan 1)

2 2

1 t 1 t

1(cot 1)

2 2

1 1

tan 1 cot 1 (tan cot )

2 sin 2

x x

x

co x co x x

x x x x

x

 



  

  

 

   

 

      

Do vËy

 4 tan 1 1 tan cot 2

cot 1 1 x

x x

x

  



    

 

(mâu thuẫn).

Vậy phơng trình vô nghiệm

Ví dụ 5: Giải phơng trình

 

2 2

tan xtan ycot (x y ) 1 5

Gi¶i.Ta cã

  1 tan tan

cot( )

tan tan

(tan tan )cot( ) tan tan

tan tan tan cot( ) tan cot( ) 1 *

x y

x y

x y

x y x y x y

x y x x y y x y



 



    

     

Do vËy

   

 

   

2 2

2 2

5 tan tan cot

tan tan tan cot( ) tan cot( ) 1

[(tan tan ) (tan cot ) (tan cot( )) ] 0 2

tan tan cot 6

x y x y

x y x x y y x y

x y x x y y x y

x y x y

   

    

        

Tõ (5) vµ (6) ta cã:

  1

tan tan cot

3 x y x y 

6 6

x k

y k

  

 

  

 

   

 hc

6 6

x k

y k

  

 

  

 

   



VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiƯm

Chó ý: Víi mäi x y, lµm tan , tan , tanx y x y  cã nghÜa ta lu«n cã

   

tan tanx ytan cotx x y tan coty x y 1

VÝ dơ 6: Gi¶i phơng trình

sin sin

4 x 2 x.cos xy 2y 0

  

(6)

Gi¶i.

     

 

 

2

sin sin

2 sin sin

6 2 2.2 cos 1 2 0 2 1 (2 1) 0

2 1 sin 0

0 0

2 1

y

x x

y x

x y

x y

x x k

k

y y



     

    

     



      

 

  

Vậy phơng trình có họ nghiƯm

Nhận xét: Để giải phơng trình lợng giác phơng pháp đòi hỏi học sinh phải có t duy, nhận xét qua tốn xem đa đẳng thức số hạng khơng âm Với phơng pháp có tác dụng tích cực tới t sáng tạo cho học sinh

2.6- Giải phơng trình lợng giác phơng pháp đánh giá. Phơng pháp: Xét phơng trình f x g x  x D (1)

Nếu  x D f x,   k g x  k k, số phơng trình tơng đơng với h ệ  

   2 f x k

g x k  

 

 



Nh ta quy ớc việc giải PTLG (1) giải hệ PTLG (2) Để đánh giá phơng trình ta dựa dạng sau:

D¹ng 1: TÝnh chất hàm số lợng giác biểu thức lợng giác

Dạng 2: PTLG dạng Pitago

Dng 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi

Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Bunhicôpski Sau ta xét dạng

VÝ dơ 1: Gi¶i phơng trình sinx 3 cos sin 3x x2 (1)

Gi¶i

Ta cã nhËn xÐt

| sin 3 cos | 2

(sin 3 cos )sin 3 2 sin 3 1

x x

x x x

x           

Do phơng trình (1) tơng dơng với sin( ) 1

sin 3 cos 2 3

sin 3 1 sin 3 1

sin 3 cos 2 sin( ) 1 3 sin 3 1

sin 3 1 x

x x

x x

x x x

x x                                          2 6 sin 3 1

5

2 6 sin 3 1

x k x x k x                               2 6 5 6 2 6 x k

x k k

x k                     

VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiƯm

VÝ dơ 2: Giải phơng trình:

8 10 10 5

sin cos 2(sin cos ) cos2 4

x x x x  x

(2)

Gi¶i.

 2 (1 2sin )sin2 (2cos2 1)cos8 5cos2 4

x x x x x

    

8 5

cos2 sin cos cos cos 2 4

x x x x x

       8 8

cos 2 0 3

5

(sin cos ) os2 cos2 5

4 sin cos 4

4 x

x x c x x

x x           

Giải (3) ta đợc  

2

2 4 2

x  k  x  k k  Gi¶i (4): Ta cã nhËn xÐt

VT =  

8 8

sin x cos xsin x1  2

Nhận xét: Hầu hết phơng trình lợng giác dạng ban đầu cha thể khẳng định đợc có thuộc loại đánh giá hay khơng Tất đợc khẳng định sau biến đổi lợng giác mà biết

VÝ dô 3: Giải phơng trình

3

log sin

2

2

3.sin x 2 x log (sin x 1) log sinx

  (3)

Giải.

Điều kiện sinx0 Ta thÊy

3

2

log sin log sin

2 x 2.2 x 2sin x

 

Ta cã

 

2

log sin

2

2

sin 1 3 3.sin 2 log

sin

x x

x

x

 

  

(4)

Víi sinx 0 ta cã

 

2

2

2

sin 1 sin 1

sin 1 2sin 2 log 1 5

sin sin

x x

x x

x x

 

  

Dấu = xảy chØ

6

10 10

2

1 sin cos

(sin cos ) (1)

4 sin 2 4cos 2

x x

x x

x x



 

 sin2x 1 2sinx

 

2

(sinx 1) 0 sinx 1 *

    

Tõ (4) vµ (5)

2 3

3sin x 2sin x 1 2sin x 3sin x 1 0

      

2

(sinx 1) (2sinx 1) 0 (6)

   

Do sinx 0 2sinx 1 1 (6)

2

(sinx 1) 0

  

sin 1 2 ( ) (**)

2

x  x k  k 

Tõ (*) vµ (**) ta suy

2 ( ) 2

x k  k 

là họ nghiệm phơng trình cho

2.6.2 Phơng trình lợng giác dạng Pitago.

2.6.3 Ví dụ 1: Giải phơng trình

6

10 10

2

sin cos

sin cos (1)

sin 2 4cos 2

x x

x x

x x



 

 Gi¶i:

VP=  

2

3 2

2

2 2

3 1 sin 2 (sin cos ) 3sin cos 4 1

4 3sin 2 4 4 sin 2 cos 2 3sin 2

x

x x x x

x

x x x

 Mặt khác: 10

10 10 2

10

cos cos 1 1 1

(sin cos ) (sin cos )

4 4 4

sin sin

x x

VT x x x x

x x             

Do đó: (1)

10 10 cos 0 cos 1 cos cos 1

4 sin sin sin 0 sin 1 x x x x VT x x x x                         cos 0

sin 2 0 2 ( )

sin 0 2

x

x x k x k k

x                

Nh vËy b»ng nhËn xÐt

2

cosnx cos x , sinn x sin x n( 2, n )

     vµ ta giải toán cách dễ dàng

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

2007 2008

sin x  cos x1

Gi¶i: Ta cã:

2

2007

sin 1 sin sin 1 sin sin 1 sin sin ( )

x x x x x

x x a

      

 

Mặt khác ta có:

2

2008

cos 1 cos cos 1 cos cos 1 cos cos ( )

x x x x x

x x b

      

 

Tõ (a) vµ (b)

2007 2008 2

sin x cos x sin x cos x 1

    

DÊu “=” x¶y

3

3

sin 0 sin 1

sin sin sin 0

sin 1 cos 0 cos cos 2 cos 1 x x k x

x x x

k

x x k

x x x x                                         

2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Cosi:

VÝ dô 1: Giải phơng trình:

8 1

sin 2 cos 2 (1) 8

Gi¶i:

Cách 1: Sử dụng giải PTLG hỗn hợp chứa biểu thức đối xứng sin ,cosx x Ta có:

8 4 4

2

2 2 2 4

2 4

sin 2 cos 2 (sin 2 cos ) 2sin cos 2 (sin 2 cos ) 2sin cos 2 2sin cos 2

1 1 1

(1 sin ) sin 4 sin 4 sin 4 1

2 8 8

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

   

 

    

     

Lúc (1)

4 4

1 1

sin 4 sin 4 1 sin 4 8sin 4 7 0

8 x x 8 x x

       

 

2

sin 4 1

cos4 0 sin 4 7 ( )

4

2 8 4

x

x

x vn

x  k x  k k

 

 



 

       

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cosi Ta có nhận xét

8 4

8 4

1 1 1 1

cos 2 ( ) ( ) ( ) cos 2

2 2 2 2

1 1 1 1

sin ( ) ( ) ( ) sin 2

2 2 2 2

x x

x x



   

  

    

 

Céng vÕ víi vÕ

8 1 1 2

sin 2 cos 2 6 ( ) (sin 2 cos )

2 2

x x x x

    

8 1

sin 2 cos 2 8

x x

  

Do đó: (1)

8

2

8

1 cos 2 ( )

1

2 sin 2 cos 2 cos 4 0

1 2

sin 2 ( ) 2 x

x x x

x 

 



      

 

 

4 ( )

2 8 4

x  k x  k k

      

VÝ dô 2: Giải phơng trình:

1

(tan cot ) sin cos 2, (2) 4

n n n

x  x  x  x n  n

Giải:

Điều kiện:

cos 0

sin 2 0 2 ,

sin 0 2

x

x x k x k k

x

 

 

      



 

+) Với n 2 phơng trình cho trở thành

2 2

1

(tan cot ) sin cos 1 4

x  x  x  x 

Ta cã:

2 1 1

(tan cot ) tan cot 1

6 2

x  x  x  x  

DÊu “=’’ x¶y ra:

2 1

tan cot 6

1

tan tan ( )

2

x x

x  x  k k

 

      

+) Víi n2 ta cã

1 1

| tan cot | (| tan | | cot |) 1

4 4

n n

x  x  x  x 

(Theo bất dẳng thức Cosi) Mặt khác: n 2 th×

2

|sin | sin

|sin | | cos | 1 | cos | cos

n

n n

n

x x

x x

x x

 



  



 

 Do đó:

1 |sin cos | |sin | | cos | | tan cot |

4

nx nx nx nx x x n

     

DÊu “=” x¶y

2

| sin | sin

| cos | cos 2

1 1

| tan | | cot | | tan | | cot |

4 4

n n

x k

x x

x k

x x

x x x x

 

  





 





  

    

 



Hệ vô nghiƯm

Vậy phơng trình cho có hai họ nghiệm

2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Ví dụ 1: Giải phơng trình

2

sinx  2 sin x sinx 2 sin x 3 (1)

Gi¶i:

Ta cã:

 

2 2

2 2

(1.sin 2 sin sin 2 sin )

(1 sin sin ) sin 1 sin 9 3

VT x x x x

x x x x VT

  

Vậy phơng trình cã nghiÖm

sin 1 ( )

2

x x  k k

      

VÝ dơ 2: Gi¶i phơng trình :

2

tanx tan 2x  cot 3x 1

Gi¶i:

§iỊu kiƯn

cos 0 sin 4 0

cos2 0 1

cos3

sin 3 0 2

x x

x

x x



  

 

 

 

 

  

 Ta cã:

tan 2 tan 1 tan (2 )

1 tan tan cot 3

tan tan tan cot 3 cot tan 1

x x

x x

x x x

x x x x x x



  



   

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

2 2

1 tan tan x x  tan cot3x x cot3 tanx x tan x tan 2x cot 3x DÊu “=” x¶y  tanx tan 2x cot 3x

2

2tan

tan tan 2 tan

1 tan cot 3 tan

cot 3 tan tan 0

cot 3 0 cot 3 0 x

x

x x

x

x x

x x

x x k

x x

 

 

 



   



  



 

 

   

 

 

Hệ phơng trình vơ nghiệm Vậy phơng trình cho vơ nghiệm

2.7- Dùng phơng pháp khảo sát hàm số

Phơng pháp ta dùng tính chất biến thiên ( đồng biến hay nghịch biến) cực trị hàm số để tìm nghiệm phơng trình Để hiểu rõ vấn đề ta xét số ví d c th

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

2

1 cos (1) 0

2 2

x

x x 

   

Phơng trình cho tơng đơng với

2

1 cos 0

2 x

x

XÐt hµm sè

2

'

( ) 1 cos ( ) sin 2

x

f x    x f x  x  x

"

( ) 1 cos 0 0 ; 2

f x x x   

    

Bảng biến thiên x

0 2  ( )'

f x  ( )''

f x

0 1

2   ( )

f x

0

2

1 8 

Dựa vào bảng biến thiên ta suy

( ) 0 0 ; 2 f x    x   

 

DÊu “=” x¶y  x0

Vậy phơng trình cho có nghiệm x 0

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

2 cos 1

1 sin 2 sin 2 cos2 2

x

x x x

  

(2)

Gi¶i:

Ta cã : (2)

2 cos 2

2sin 2x x sin 2x 2(1 cos2 ) 2x

   

cos 2

cos cos

cos

(1 cos2 )( 2 (1 cos ) 2(1 cos ) 0 (1 cos2 ) 2 (1 cos ) 2 0

(1 cos2 )(2 cos 2 1) 0 1 cos 2 0 (2)

2 cos 2 1 0 (3)

x x x x

x x x

x x

x x

x x

      

 

       

    

 

  

  



Ta cã: (2)  cos 2x  1 2x k 2  x k k (4) Đặt cos 2x t t 1 phơng trình (3) trở thành ( ) 2 1 0

t

f t   t 

Rõ ràng f t( ) hàm số đồng biến  Lại có f(0) 0  t 0 nghiệm (3)

Víi t0 ta suy

cos 2 0 2 ( ) (5)

2 4 2

x  x k  x  k k  Từ (4) (5) suy phơng trình cho có hai nghim

Ví dụ 3: Giải phơng trình :

log2 sin x(4 sin ) log 5 x  (1)

Gi¶i:

Ta cã:

5

3 5

5

log (4 sin )

(1) log 5 log (4 sin ) log 5.log (2 sin ) log (2 sin )

x

x x

x 

     



 

5

log sinx log (2 sin )x

Đặt log sin5  x log (2 sin )3  x t

Lúc ta có:

2 sin 3 4 sin 5

t t

x x

  

 

 



 (2)

1 3

2 5 3 2( ) ( ) 1 (3)

5 5

t t t t

     

XÐt hµm sè

1 3 ( ) 2( ) ( )

5 5

t t

f t  

Ta thấy f t( ) hàm nghịch biến f(1) 0 t 1 nghiệm phơng trình (3)

Với t1 vµo (2) ta cã

sin 1 2 ( )

2

x  x  k  k Vậy phơng trình có họ nghiệm nhÊt

Nhận xét: Phơng trình f x( )m f x( ) hàm đồng biến (hoặc nghịch biến ) miền xác định phơng trình , có nghiệm nghiệm

Phơng trình f x( ) g x( ) miền xác định phơng trình ,2 hàm số f x( ) g x( ) có tính đồng biến nghịch biến trái ngợc ,nếu có nghiệm nghiệm

VÝ dụ 4: Giải phơng trình :

2

sin cos 2

n

n x nx n



 

víi

0 , 2

2

x  n

 

Giải:

Xét hàm số

2

( ) sin cos 2

n

n n n

f x x x



   víi 0 x 2 ,n 2



Ta cã

1 2

( )' sinn cos sin cosn sin cos (sinn cosn )

f x n  x x n x  x n x x  x  x

   

2

( )' 0 sin cos 0

4

n n

f x  x  x x 

     

Bảng biến thiên: x

0 4

2  ( )'

f x   ( )

f x

2

2

n

Dựa vào bảng biến thiên

2

( ) ( ) 2 4

n

f x f 



  

Từ ta có

2

( ) 2

4

n

f x x 



     0; 2 

 

VËy phơng trình có nghiệm là: 4 x

Nhận xét : Với phơng pháp khảo sát hàm số ta thờng áp dụng để chứng minh nghiệm ta nhẩm nghiệm dựa vào bảng biến thiên để suy nghiệm phơng trình Do địi hỏi học sinh cần tinh ý xem toán nên áp dụng phơng pháp Đặc biệt phơng pháp thờng đợc áp dụng để tìm nghiệm PTLG dạng đại số

2.8- BiƯn luận phơng trình lợng giác chứa tham số

Cng nh phơng trình có chứa tham số khác ,việc giải biện luận PTLG có chứa tham số quan trọng chơng trình tốn phổ thơng nh đề thi Đại Học.Thờng tốn lợng giác chứa tham số u cầu tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm tìm điều kiện tham số để phơng trình có n nghiệm thuộc khoảng D Để có nhìn tổng quan phơng pháp giải phơng trình ta xét dạng

Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệmx D

Cho phơng trình Q m x( , ) (1) phụ thuộc vào tham số m ,x D Tìm m để phơng trình có nghiệm

Cách 1: Phơng pháp đạo hàm

Bớc 1: Đặt ẩn phụ t h x( ) h x( ) biểu thức thích hợp phơng trình (1)

Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị t D1

Bớc 3: Đa phơng trình (1) phơng tr×nh f m t( , ) 0

Bớc 5: Căn vào bảng biến thiên kết bớc mà định giá trị ca m

Cách 2: Phơng pháp tam thức bậc hai

( áp dụng đa Q m x( , ) vỊ d¹ng tam thøc bËc hai )

Bớc 1: Đặt ẩn phụ t h x( ) h x( ) biểu thức thích hợp phơng trình (1)

Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị t D1

Bớc 3: Đa phơng trình (1) phơng trình

2

( , ) 0

f m t at bt c  Bớc 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f m t( , ) có nghiệm t U

Bíc 5: KÕt luËn

Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình có nghiệm

0; 4 x  

 

2

cos 4sin cos 2 0

m x  x x m  

(1)

Gi¶i:

Víi

0; 4 x  

   cosx 0. Chia hai vế phơng trình cho

2

cos x 0

ta đợc

2

4tan ( 2) (1 tan ) 0

( 2) tan 4tan 2 2 (2)

m x m x

m x x m

    

     

Đặt t tanx

0; 4 x 

  nên t 0; 1 ta đợc

 

2

(m 2) t  4 t 2 m 2 0 3

Khi (1) có nghiệm

0; 4 x  

  vµ chØ (3) cã nghiƯm t 0; 1 Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau

Cách 1: +) Với m 2 0  m 2, (3) có dạng  

1

4 0 0 ; 1

2

t t

     

Vậy m2 thỏa mãn đề

 (3) cã nghiƯm  0; 1 hc (3) cã nghiƯm  0; 1

2

(3 8)(2 2) 0 (1) (2) 0

' 0 2 6 0

8 (1) 0 (3 8)( 2) 0 1

3 (0) 0 ( 2)(2 2) 0

2

0 1 0 1

2 2

m m

f f

m m

af m m m

af m m

S

m

  

 



 

    

 





 

     

      

     



 



     





  

 

VËy víi

8 1

3 m

phơng trình có nghiệm

0; 4 x  

 

C¸ch 2: Viết lại phơng trình dới dạng :

2

2 4 2 2

t t

m t

 

 

Phơng trình có nghiệm

0; 4 x

 

 đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số

2

2 4 2 2

t t

y

t

 



 trªn 0 ;1

XÐt hµm sè (C)

2

2 4 2 2

t t

y

t

 



 trªn 0 ;1

Đạo hàm

2

2 2

4 4 8 4( 1)( 2)

' 0 0;1

( 2) ( 2)

t t t t

y t

t t

     

    

 

tức hàm số đồng biến 0 ;1

Do đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số(C) khoảng 0 ;1 8

(0) (1) 1

3

y m y m

     

VËy víi

8 1

3 m

phơng trình có nghiệm

0; 4 x  

 

Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

4 6

4(sin xcos ) 4(sinx  xcos ) sin 4x  x m (1)

6

4

2

3 sin cos 1 sin 2

4 1 sin cos 1 sin 2

2

sin 4 4sin 2 4sin 2

x x x

x x x

x x x

  

  

 

Do phơng trình đợc biến đổi dạng

 

2 2

4

3 1

4(1 sin ) 4(1 sin ) 4sin 2 4sin 2

4 2

4sin 2 3 sin 2

x x x x m

x x m

     



Đặt

2

sin 0 1

t x  t Khi phơng trình có dạng 4t2  3t m (2) Cách 1: phơng trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm 0 ; 1

 (2) cã nghiƯm hc (2) cã nghiÖm 0 ; 1 (0) (1) 0

(1 ) 0

' 0 9 16 0

0 1

9

(0) 0 0 1

9

16 0

(1) 0 1 0

16 3

0 1 0 1

2 8

f f

m m

m m

af m m

m

af m

S

 



   

 

  

      



   



         



   

 

    



 

  

   

 



VËy víi 9

1 16 m



phơng trình có nghiệm

Cách 2: Phơng trình (1) có nghiệm  đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số

2

4 3

y  t  t trªn đoạn 0;1 Xét hàm số

2

4 3 y t t

đoạn 0;1 Đạo hµm

3 ' 8 3 , ' 0

8 y  t y   t B¶ng biÕn thiªn

t

  0 3

8  '

y

9 16 

Dựa vào bảng biến thiên ta đợc điều kiện 9

1 16 m

  

VËy víi 9

1 16 m

phơng trình có nghiệm

Ví dụ 3: Cho phơng trình

2

cos2x m 1 tan cos x x (1)

Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0;

3 

 

 

 

Giải:

Điều kiện

cos 0 (*) tan 1

x x

 



Đặt ttanx

2

1 cos 2

1 t x

t  

 vµ

2

2

1 cos

1 x

t 



Khi phơng trình có dạng

2

2

2

1 1

1 1 1

1 1

t

m t t m t

t t



     

 

V×

0; 3 x  

  suy t0 ; 3

Do 1 t 0 nên phơng trình đợc viết lại dới dạng (1 t) 1 t m

Để phơng trình (1) cã nghiÖm

0; 3 x  

  phơng trình (3) có nghiệm t0 ; 3 , suy đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số y  (1 t) 1t trên đoạn 0 ; 3

XÐt hµm sè y (1 t) 1t trªn D 0 ; 3

Đạo hàm

1 2(1 ) 1 3 1

' 1 0

2 1 2 1 2 1

t t t t

y t t D

t t t

      

       

  

Do điều kiện f( 3) m f(0) (1 3) 1 3  m 1 Vậy với (1 3) 1 3  m 1 thoả mãn điều kiện đề

Nhận xét: Với toán dạng cần phải nhớ đặt ẩn phụ, ta nên nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ từ ta xét điều kiện cho ẩn ban đầu

Dạng 2: Tìm điều kiện để phơng trình có k nghiệm thuộc D

Cho phơng trìnhQ m x( , ) (1) phụ thuộc vào tham số m , x D Tìm m để phơng trình có k k( 1) nghiệm thuộc D

Cách giải:

Cỏch 1: Phng phỏp o hàm

Bớc 1: Đặt ẩn phụ t h x( ) h x( ) biểu thức thích hợp phơng trình

Bớc 2: Tìm miền giá trị (ĐK) t tập xác định D Gọi miền giá trị t U

Bíc 3: Đa phơng trình (1) phơng trình f m t( , ) 0

Bớc 4: Tìm mối tơng quan số lợng t U x D phơng trình t h x( ) Hay nói cụ thể xét xem với toU phơng trình to h x( ) cã bao nhiªu nghiƯm x D

Bớc 5: Lập bảng biến thiên hàm sè f m t( , ) trªn miỊn U

Bớc 6: Căn vào bảng biến thiên kết bớc mà xác định giá trị m

Cách 2: Phơng pháp tam thức bậc hai

Bớc 1: Đặt ẩn phụ t h x( ) h x( ) biểu thức thích hợp phơng trình

Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị t U

Bíc 3: Đa phơng trình phơng trình bậc hai theo t

Bớc 4: Tìm tơng quan số lợng t U x D phơng trình t h x( ) Hay nói cụ thể xét xem với toU phơng trình to h x( ) cã bao nhiªu nghiƯm x D

Bớc 5: Giải tốn tìm điều kiện để tam thức f m t( , ) có đủ nghiệm t U gây nên k nghiệm x D

Chó ý: Gäi k số nghiệm phơng trình Q x( ) D, m số nghiệm phơng trình t h x( ) D, n số nghiệm phơng trình f t( ) U k m n .

Ví dụ 1: Cho phơng trình

3

cos xsin x m (1)

Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

; 4 4 x    

Gi¶i:

Ta cã : (1) (cosx sin )(1 cos sin )x  x x m Đặt

2

cos sin 2 cos( ) sin 2 1 4

t x x x  x  t

Víi

0 0 cos( ) 1 0 2

4 x 4 x 4 2 x 4 t

    

             

Khi phơng trình (1) trở thành

2

1

1 (1 ) 3 2

2

t   t  m t t  m



Ta nhận thấy với giá trị t0; 2 phơng trình

2 cos( ) 4 t  x

có nghiệm ;

4 4 x    

 

Do (1) có nghiệm phân biệt

; 4 4 x    

  (2) có nghiệm t0; 2 Xét hàm số

3

( ) 3

f t  t t víi t0; 2

2

( )' 3 ( )' 0 1 f t   t f t t Bảng biến thiên

t

0 2 f t( )'  

( ) f t

2

0 2 Dựa vào bảng biến thiên suy (2) có nghiệm t0; 2

2

2 2 2 1

2

m m

     

Vậy giá trị m cần tìm

2

1 2 m

Ví dụ 2: Cho phơng trình

tan tan

(3 2) x (3 2) x 1

Tìm m để phơng trình có nghiệm

; 2 2  

 

  

Giải :

Điều kiện

cos 0

2

x  x k k  Ta thÊy

tan tan

(3 2) x.(3 2) x 1

  

Do đặt

tan

(3 2) x 0 t  t  th×

tan 1

(3 2) x

t

 

Khi phơng trình có dạng

2

1

1 0

t m t mt

t

     

Cách 1: Để phơng trình có nghiệm

( ; ) 2 2    

(2)

có nghiệm dơng phân biÖt 

2

0 4 0

(0) 0 1 0 2

/ 0 / 0 m

af m

S m



   



 

    

 

   

 

VËy víi m2 thoả mÃn điều kiện đầu

Cỏch 2: Để phơng trình có nghiệm

( ; ) 2 2    

 đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số

1 y t

t  

(0;) điểm phân biệt Xét hàm

1 y t

t  

D(0;)

Đạo hàm 2

1 1

' 1 ' 0 1 0 1

y y t

t t

   

Bảng biến thiên :

t    '

y  

y    2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m2 thoả mÃn điều kiện toán

Ví dụ 3: Biện luËn theo m sè nghiÖm

3 0;

2 

 

  

msinxcosx2m (1)

Gi¶i:

Biến đổi phơng trình (1) dạng

cos cos (2 sin )

2 sin x

m x m

x

   



Số nghiệm phơng trình số giao điểm đờng thẳng y m Với đồ thị hàm số

cos 2 sin

x y

x 

 trªn

3 0;

2 D  

 

XÐt hµm sè

cos 2 sin

x y

x 

 Miền xác định

3 0;

2 D   

 

Đạo hàm

2

sin (2 sin ) cos cos 1 2sin '

(2 sin ) (2 sin )

x x x x x

y

x x

   

 

 

1 ' 0 1 2sin 0 sin

2

y    x  x

víi x D ta cã

6 5 6 x x

  

Bảng biến thiên:

x

0 6 

5

6 

3

2 

'

y +   y

1

3 0

1

2 1

3 

KÕt luËn:Víi

1 3 m

phơng trình vô nghiệm

Víi

1 3 m

hc

1 0

2 m

 

phơng trình có nghiệm D Với

1

0 3 m

  

hc

1 1

2 m 3 phơng trình có nghiệm D

cũng phải nắm vững phơng pháp giải số phơng trình lợng giác khơng mẫu mực để có hớng đắn cho toán

Bài tập củng cố:

Giải phơng trình sau

1.

2

sin ( ) 3 sin3 1 2 0

2 x x



    

2

3

8cos ( ) cos3 3

x  x

3.

1 cot tan

sin

x x

x

 

4

1 sin( ).

tan cos

1 2 x 3.4 x x

 

 

5.

4

sin sin

log x.log x 4

6. 2

3sin 2sin

( ) 2

sin cos

7

log log

x x

x x

x x



  

7.

sin 2 5sin cos3

3 6

x  x  x

   

   

   

    8.

6

32sin sin 6 1 4

x  x

 

  

 

 

9.

sin 3 sin sin

4 4

x  x x 

   

  

   

    10

2

2

1 2

18cos 5(3cos ) 5 0

cos cos

x x

x x

    

11

2

2 cosx 3 4cos x 3 cosx 3 4cos x 5 12. sinx cosx 4sin 2x1

13

2 1 cos

tan

1 sin x x

x  



14.    

sin sin

7 3 x  7 3 x 4

15

cot cos

3

2log x log x

 16 log(3sin2 2x2) 3cos2x

17.

( 2cos 1)

log

2 x 2cosx 18. cos 2x cos6x4(3sinx 4sin3x1) 0

19

2

3sinx  2sin x 4cosx 6 0 20. 4sin2xsin 33 x4sin sin 3x x 21

2 2 cos 2sin 2 0

x  x xy xy 

22. sinxsinysinz 6 sin  x  1 sin y  1 sin z

23.

5 sin sin 2 sin 3

2

x x x 

24.

1

cot3 cot 2 0

sin sin sin

x x

x x x

  

25. cosx 3 sin 2x 3 sinx cosx 4 0 26.

2 2 sin 1 0

x  x xy 

27.

4

4

1 1 sin

sin cos 8

sin cos 2

y

x x

x x

    

28

3 3 81

sin sin cos cos cos

2 2 2 2 4

x x x x

x

 

   

   

   

29

2

2 cosx 3 4cos x 3 cosx 3 4cos x 5

30

2

sinxcosx  3 sin x2cos x 2 31

3 1

8cos

sin cos x

x x

 

32

1 1 1 tan tan 3

cos cos2 cos cos3 sin

x x

x x x x x



 



33.

6

2008 2008

4

sin cos sin cos

3cos cos cos 2

x x

x x

x x x



 

 

34

3 sin cos sin cos sin cos 1 ln

4 sin cos

x x

x x x x

x x

 

   

 35

sin

2

log log

sinx3 x (sin )x

37 Cho phơng trình mcosx 2cosx cos4x1 Xác định m để phơng trình có nghiệm

; 3 2 x    

 .

38 Cho phơng trình 4(cosx sin ) sin 2x  x m Tìm m phng trỡnh vụ nghim

39 Cho phơng trình

3 2

sin (3 4)sin cos (3 7)sin cos ( 3)cos 0

m x m x x m x x m x 

Xác định m để phơng trình có nghiệm phân biệt thuộc

;0 2 

 



 

  .

40 Cho phơng trình

sin ( 1)cos

cos m

m x m x

x

  

a Xác định m phng trỡnh cú nghim

b Giả sử mlà giả thiết làm cho phơng trình có nghiệm x x1, 2 tho¶ m·n 2

x x  k TÝnh cos2(x1x2) theo m

41 Cho ph¬ng tr×nh

4

(cosx 2) (1 cos ) x m Xác định m để phơng trình có nghiệm

42 Cho phơng trình sin 4x m tanx

Xác định m để phơng trình có nghiệm x k k (  )

Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm

0; 2 x  

 

44. Cho phơng trình

2 2

( 1) tan 2 0

cos

m x m

x

   

Xác định giải thiết m để phơng trình có nhiều nghiệm

0; 2 x  

 .

45 Cho phơng trình

2

cos2 2( 1)sin 3 2 0 2

x

x m  m 

Xác định m để phơng trình có nghiệm

; 3 3 x    