Chuyên đề phương trình và hệ phương trình - Nguyễn Bảo Vương - TOANMATH.com

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách.. • Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ..[r]

(1)

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

A Phương pháp giải

 Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f x   ,g x cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

 Điều kiện để biểu thức

f x  xác định là f x 0

 

f x xác định là f x 0

  f x

xác định là f x 0 B Bài tập tự luận

Câu Tìm điều kiện xác định của phương trình 25 x

x

 



Câu Tìm điều kiện xác định của phương trình 1 3x  x2

Câu Tìm điều kiện xác định của phương trình 1

3

  

 x

x

Câu Tìm điều kiện xác định của phương trình 3

3

x x



 

 

Câu Tìm điều kiện xác định của phương trình x34x25x  2 x 2x.

(2)

Câu Cho hàm số x m  2 2x m 0. Tìm m để phương trình xác định với mọi x1

C Bài tập trắc nghiệm

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Điều kiện xác định của phương trình 22 23

1

x

x    x  là:

A x  1. B

1 x x

  

  

. C x1. D x.

Câu Tập xác định của hàm số

x y

x  

  là

A D\ 4 . B D\ 2 . C D\ 4 D D\ 2 Câu Tập xác định của hàm số

2

3

x y

x x

 

  là

A D B D\1;  C D\ 1;    D D\ 4 Câu Tập xác định của phương trình 3 12

4

x

x x

  

  là:

A \ 4 . B 4;. C 4;. D . Câu Điều kiện của phương trình

3

2 x

x

 



A x2. B x2. C x2. D x2. Câu Tập xác định của phương trình 2

4 

   

 x

x x

x là:

A 4; D 

 

. B ;4

5 D  

 

. C \ 4

5 D   

 

 D ;4

5 D  

 

. Câu Điều kiện xác định của phương trình 2x 1 4x1 là:

A 3;. B 1;

 

  

 . C 2;. D 3;. Câu Điều kiện xác định của phương trình

2

8

2

x

x  x là

(3)

A x2;8. B x8. C x2. D x8. Câu 10 Tập xác định của phương trình 1

2

  

 

  

x x x

x x x là:

A \2;2;1. B 2;. C 2;. D \ 2; 1. Câu 11 Tập xác định của phương trình 2

2 ( 2)



 

 

x

x x x x là:

A 2;. B 2;. C \2;0;2. D \ 2;0 . Câu 12 Tập xác định của phương trình 2 23 29

5 6 12

 

 

     

x x x

x x x x x x là:

A . B 4;. C \ 2;3; 4 . D \ 4 . Câu 13 Điều kiện xác định của phương trình 24

2

x x  x  là:

A x. B 2

2 x x

  

  

. C x2. D x2.

Câu 14 Điều kiện xác định của phương trình x 1 x2 x3 là:

A 3;. B 3;. C 2;. D 1;. Câu 15 Điều kiện xác định của phương trình 3x 2 3 x1 là:

A 2 4; 3 3

 

 

 

. B 4;

3

 



 

 

. C \ 4;

3

 

 

 

 D 4; 3

 

 

 

.

Câu 16 Điều kiện xác định của phương trình

2 x

x  

 là

A x2 hoặc x 2. B x2 hoặc x 2.C x2 hoặc x 2. D x2hoặcx 2. Câu 17 Điều kiện xác định của phương trình 22

3 x

x x

 

 là

A

x  B

2

x  và x  3. C

x  và x0. D x 3 và x0.

2

x x



 

 là

A x 2,x0 và

x B x 2 và x0.

C x 2 và

x D x 2 và x0.

Câu 19 Điều kiện xác định của phương trình x2 1 0 x   là:

A x0 và x2 1 0. B x0. C x0. D x0 và x2 1 0. Câu 20 Điều kiện xác định của phương trình

1



  

 

x x

x

(4)

A x 2 và 

x B

3

  x và x 1. C x 2. và

3 

x D x 2 và x 1.

2 x x x      là:

A x2. B x7. C 2 x 7. D 2 x 7. Câu 22 Điều kiện của phương trình:

1        x x x x

A x 1 ,x1 và x5. B x 1 và x1. C   1 x D x5 và x1. Câu 23 Tìm điều kiện xác định của phương trình

3

x x

 



A

1 x x     

. B x1. C

1 x x     

. D

1 x x       Câu 24 Giá trị x2 là điều kiện của phương trình nào?

A x x x

    B

2 x

x

 



C

4

x x

x

  

 D

1 2 x x x    

Câu 25 Tìm điều kiện xác định của phương trình 21

4 x

x   

A x 1 và x2. B x2 và x 2. C x 1. D x 1 hoặc x2. Câu 26 Điều kiện xác định của phương trình x 2x 1 1x là

A 1

2 x

   B 1

2 x

   C

2

x  D x1. Câu 27 Điều kiện xác định của phương trình x 1 x2 x3 là:

A x2. B x3. C x1. D x3. Câu 28 Điều kiện xác định của phương trình

3 x

x

  

 là tập nào sau đây?

A \ 3 . B 2;. C . D 2;  \ Câu 29 Điều kiện xác định của phương trình

2 x x    là A x 5. B

2 x x      

C

2 x x      

D x2

Câu 30 Tìm điều kiện của phương trình sau: x x x   

A

2 x x     

(5)

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 31 Tìm m để phương trình 2

2 x

x  xm có điều kiện xác định là

A m1. B m1. C m1. D m0. Câu 32 Cho phương trình

2

1

4

x x

x    



Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho A x 2 và x2 B x1 và x2. C x2 D x2.

Câu 33 Tìm điều kiện xác định của phương trình: x x

 



A x0 B

4 x x   

 

C

4 x x   

  

D x0

Câu 34 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2 mx y

x m 

   xác định trên 0;1  A m    ; 1  2 B ;3  2

2 m  

 

. C m  ;1 2 D m  ;1 3

Câu 35 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m2m x   2 mx x 2m nghiệm đúng với  x R

A m2 B m 2. C m1 D m 1. Câu 36 Tìm m để phương trình

2

0 x x m

 

  xác định trên 1;1.

A

3 m m

  

 

B

3 m m

  

 

C

3 m m   

 

D 1m3

Câu 37 Cho phương trình: 1

2

x m

x m

    

  Tìm m để phương trình xác định trên 0;1. A 1m2 B 1m2 C 1m2 D 1m2

Câu 38 Cho parabol y f x  có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f x 3 có điều kiện xác định là:

A

4 x x   

 

B

4 x x     

C 1x4 D  x  Câu 39 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng?

(6)

A Phương trình f x 0 xác định trên khoảng 1; 4. B Phương trình f x 0 xác định trên đoạn 2; 4. C Phương trình

 

0 f x

 xác định trên khoảng 1; 2. D Phương trình

  f x

xác định trên khoảng 0; 

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG, PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ A Phương pháp giải

 Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

 Nếu mọi nghiệm của phương trình f x g x  đều là nghiệm của phương trình f x1 g x1  thì phương trình f x1 g x1  được gọi là phương trình hệ quả của phương trình

    f x g x

 Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó.

B Bài tập tự luận

Câu Cho phương trình 2x2 x 0 * Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khơng phải là hệ quả của phương trình  * ?

 1 :2

 

 x x

x  

3

2 :4x  x 0.  3 : 2 x2x20.  4 :x22x 1 0.

Câu Phương trình x2 3x tương đương với phương trình nào trong bốn phương trình sau ?

 1 :x2 x23x x2.

  1

2 :

3

  

 

x x

 3 :x2 x 3 3x x3.   2

(7)

Câu Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

 1 : x2 1  x 1.    

 

1

2 :

1 

  x x

x x1.

 3 : 3x2 x 38x24x 5 0.  4 : x3 2 x3x120.

Câu Tìm m để cặp phương trình sau tương đương mx22m1x m  2 0 (1) và

  2

2 15

    

m x x m (2)

Câu Tìm m để cặp phương trình sau tương đương 2x2mx 2 0  1 và

   

3

2x  m4 x 2 m1 x 4 0  2

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Hai phương trình được gọi là tương đương khi

(8)

C Có cùng dạng phương trình. D Có cùng tập hợp nghiệm Câu Trong các phương trình sau, phương trình nào tương với phương trình x 1 0?

A x 2 0. B x 1 0. C 2x 2 0. D x1x20. Câu Cho phương trình: x2 x 0 (1). Phương trình nào tương đương với phương trình (1)?

A x x 10. B x 1 0. C x2(x1)20. D x0 Câu Xét trên tập số thực, khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hai phương trình x2 1 0 và x  1 3 là hai phương trình tương đương B Các phương trình bậc 3 một ẩn đều có 3 nghiệm thực

C Các phương trình bậc 2 một ẩn đều có 2 nghiệm thực

D Định lý Vi-ét khơng áp dụng cho phương trình bậc 2 có nghiệm kép.

Câu Phương trình 4 3

3

x x

   

  có bao nhiêu nghiệm?

A 2. B 1. C 3. D 0.

Câu Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x23x0?

A x2 x 3 3x x3. B 1

3

x x

  

 

C x2 x2  1 3x x21.. D x2 x 2 3x x2

Câu Cho phương trình f x g x  xác định với mọi x0. Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào khơng tương đương với phương trình đã cho?

A x22x3.f x  x22x3.g x . B f x  g x 

x  x

 

C k f x  k g x  , với mọi số thực k0 D        

1

x  f x  x  g x Câu Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x2 4 0?

A 2xx22x10 B x2x23x20 C x231 D x24x 4 0

Câu Khẳng định nào sau đây là sai?

A x 1 x 1 x 1 0 B 1 x x

x 

   



C x2  x 1 x22 x12 D x2  1 x1

Câu 10 Cho phương trình 2x2 x 0. Trong các phương trình sau đây phương trình nào khơng phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho:

A 2

1 x x

x

 

 B

3

4x  x 0 C 2x2x2x520 D 2x3x2 x 0 Câu 11 Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

A 2x x3 1 x3 và 2x1

B

1 x x

x 



(9)

C x  1 x và x 1 2x2 D x x2 1 x2 và x1

Câu 12 Hai phương trình nào sau đây khơng tương đương với nhau: A x 1 x và 2x1 x 1 x2x1

B x1 2 x0 và 1x 2x0 C

 

2

1

x x

x

x  

và 2 x

x x  D x2x20 và

x x 

Câu 13 Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương?

A x x22 x2 x22 xx2 B 2xx  2 x x2

C x x2x2 x2xx2. D x x23x2 x23 xx2. Câu 14 Khi giải phương trình x2  5 x 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được: 5 (2 )2

x   x   2

Bước 2: Khai triển và rút gọn  2 ta được: 4x9. Bước 3:  2

4 x  

Vậy phương trình có một nghiệm là: 9 4 x

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A Đúng. B Sai ở bước1. C Sai ở bước D Sai ở bước 3. Câu 15 Phương trình x2 3x tương đương với phương trình:

A x2 x33x x3. B x2 x2 1 3x x21. C x2 x23x x2. D 1 3 1

3 3

x x

  

 

Câu 16 Cho hai phương trình: x x 23x2  1 và  2  2

x x x

 

 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Phương trình  1 và  2 là hai phương trình tương đương. B Phương trình  2 là hệ quả của phương trình  1

C Phương trình  1 là hệ quả của phương trình  2 D Cả A, B, C đều sai.

Câu 17 Cho phương trình 2x2 x 0 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khơng phải là hệ quả của phương trình  1 ?

A 4x3 x 0. B 2x2x20. C 2

 

 x x

x D

2

  

(10)

Câu 18 Khi giải phương trình 3 4

x x

x

 



  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1:  1  3 4

2 x

x x



  

 2  Bước 2:  3

2 x

x x



    



Bước 3:  x 3 x4.

Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là:T 3; 4. Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước B Sai ở bước 1. C Sai ở bước D Sai ở bước 3. Câu 19 Khi giải phương trình 5 4

3

x x

x

 



  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1:  1  5 4 0

3 x

x x



  

 2 

Bước 2:  5 0 4 0

3 x

x x



    



Bước 3:  x5x4.

Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là:T 5; 4. Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 3. B Sai ở bước C Sai ở bước 1. D Sai ở bước Câu 20 Khẳng định nào sau đây sai?

A 3x2  x 38x24x 5 0. B x 3 2  x 4.

C  

 

2 2 x x

x 



  x2. D x 3 2 x 3x 6 0. Câu 21 Phép biến đổi nào sau đây đúng

A 5x x3x2x25x x3. B x2xx 2 x2.

C 3x x 1 x2 x 1 3xx2. D 3 2

( 1)

x x

x x x x

 

    

 

Câu 22 Khi giải phương trình x2 2x3 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

2

4 4 12

x  x  x  x 2 

Bước 2: Khai triển và rút gọn  2 ta được: 3x28x 5 0. Bước 3:  2

3

x x

   

Bước :Vậy phương trình có nghiệm là: x1 và x Cách giải trên sai từ bước nào?

(11)

Câu 23 Tậpnghiệm của phương trình x x x   là:

A T 1 B T   1 C T . D T 0 Câu 24 Khi giải phương trình

2

x x



  

   1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1: đk:x 2

Bước 2:với điều kiện trên  1 x x 2  1 2x3  2 Bước 3:  2  x24x40 x 2.

Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là:T  2 Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 1. B Sai ở bước C Sai ở bước 3. D Sai ở bước

Câu 25 Cho phương trình 2x2 x 0. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khơng phải là hệ quả của phương trình đã cho?

A 2

1

 

 x x

x B    

2

2x x  x5 0. C 2x3x2 x 0. D 4x3 x 0.

Câu 26 Phương trình nào sau đây khơng tương đương với phương trình x1 1 x ?

A 7 6x  1 18. B 2x 1 2x 1 0.C x x50. D x2 x 1. Câu 27 Cho phương trình 3 2

1

x x

  

  Với điều kiện x 1,phương trình đã cho tương đương với phương trình nào sau đây?

A 3x 2 x12 x B 3x  2 x C 3x   2 x x D 3x 2 x

Câu 28 Chọn cặp phương trình khơng tương đương trong các cặp phương trình sau:

A x 2 xx2x2x và x 2 xx. B 3x x 1 3xvà 6x x 1 16 3x. C x 1 x22x và x2x1 2 D x2 2x và

3 x Câu 29 Khẳng định nào sau đây là sai?

A 1

1 x x

x 

   

 B

2

1

x  x

C x2  x 1 x22 x1 2 D x 1 1xx 1 0. Câu 30 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 3x x2x2 x23xx2. B 2 3  2

x

x x x

x 

     



C 3x x2 x23xx2 x2. D x 1 3xx 1 x2 Câu 31 Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

(12)

Câu 32 Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A 2x x3 1 x3 và 2x1. B

1 

  x x

x và x0.

C x  1 x và x 1 2x2. D x x2 1 x2 và x1. CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 33 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:

 

2

    

mx m x m  1 và m2x23x m 2150 2 A m 5. B m 5; m4. C m4. D m5. Câu 34 Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:

2

2x mx 2 0 1 và 2x3m4x22m1x 4 0 2

A m2. B m3. C m 2. D

2 

m

Câu 35 Cho phương trình f x 0 có tập nghiệm S1m m; 1 và phương trình g x 0có tập nghiệm S2 1; 2. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình g x 0là phương trình hệ quả của phương trình f x 0.

A 1 

m B 1m2. C m D 1 3 m Câu 36 Xác định m để hai phương trình sau tương đương:

2

x   x (1) và x22m1xm2m20 (2) A m 3 B m 3 C m 6 D m 6 DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng

 Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

 Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác khơng và khơng làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.  Bình phương hai vế của phương trình (hai vế ln cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Câu Giải phương trìnhx x3 3x3

(13)

Câu Giải phương trình x2x23x20

Câu Giải phương trình 2x5 2x5

Câu Giải phương trình  

1

   

x x x

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Cặp số x y; nào dưới đây là nghiệm của phương trình 2x  y 0?

A ( , )x y (2;1). B ( , )x y (1; 2). C ( , )x y (3; 2) D ( , )x y (1; 2) Câu Phương trình x x 1 1x có bao nhiêu nghiệm?

A 1. B 2. C 0. D 3

Câu Số nghiệm của phương trìnhx x2 1  x2 là:

A 2. B 3. C 0. D 1.

Câu Số nghiệm của phương trình ,

3

x

x x

  

  là:

A 0. B 3. C 2. D 1.

Câu Số nghiệm của phương trình: 2

1

x

x x

  

  là:

A 1. B 3. C 2. D 0.

Câu Cặp số x y; nào sau đây là nghiệm của phương trình 3x2y7.

A (1; 2) B (1; 2). C ( 1; 2)  D ( 2;1) Câu Tập nghiệm của phương trình 2x34 là:

A 13

2 S   

 . B

13 S  

 . C

2 13 S   

 . D

2 13 S   

(14)

Câu Tập nghiệm của phương trình: 3

2

x

x x



 

  là:

A   B  4 C 4;1. D  1 Câu Nghiệm của phương trình 2

2

 

 

x x

x x là

A

8  

x B

3  

x C

3 

x D

8  x Câu 10 Số nghiệm của phương trình x21 10 x231x240 là

A 1. B 2. C 3. D 4.

Câu 11 Nghiệm của phương trình

3       x x

x x là

A -3. B -1. C 0 và -3. D 0.

Câu 12 Tập nghiệm của phương trình:

3 2

2

  

 

x x x

x là:

A S . B S { 1}. C

2

 

  

 

S D 23

16

 

  

 

S

Câu 13 Nghiệm của phương trình 1

2      x x

x x là:

A      x

x B x2. C

1      x

x D x1.

Câu 14 Phương trình 10 2     x

x x có bao nhiêu nghiệm?

A 1. B 3. C 2. D Vô nghiệm.

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ- GIỎI Câu 15 Nghiệm của phương trình

2

1

2

x x x

  

 

   là:

A 15

4 B 5. C

15

 D 5.

Câu 16 Tập nghiệm của phương trình x2(x23x2)0 là

A S  2; 2. B S= 1 . C S= 1; 2 . D S= 2 . Câu 17 Phương trình nào sau đây có nghiệm ngun

A 4 x x x x      B 2 x x x      . C

3

1

x

x x

 

  D

2 3 x x x x     

Câu 18 Tập nghiệm của phương trình x22x 2x x 2 là:

(15)

A 2. B 3. C 0. D 1 Câu 20 Phương trình  

1

x x  x  có bao nhiêu nghiệm?

A. B.1 C. D.

Câu 21 Phương trình x3 2 3 x2x 3x 5 4 có bao nhiêu nghiệm?

A. B. C. D.

Câu 22 Giải phương trình

4

1

 

  

 

x x

x

x x

A

4

x x

     

B. x 2 C. x4 D. x3

Câu 23 Cho phương trình x2 x 1 4x8. Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình.

A. 30 B.15. C. D.

Câu 24 Phương trình 1

x m

x  



  có nghiệm khi m thỏa

A. m2 B. m2 C. m2 D. m2

Câu 25 Cho phương trình 2

3

x  mx mxm   m  m. Phương trình có nghiệm

x  khi:

(16)

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA PHƯƠNG TRÌNH A Phương pháp giải

 Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f x   ,g x cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

 Điều kiện để biểu thức

f x  xác định là f x 0

 

f x xác định là f x 0

  f x

xác định là f x 0

Câu 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình 25 x

x

 

 Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là 4 2 x

x x

x

          



Vậy phương trình xác định trên tập D\ 2

Câu 2. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1 3 x x 2 Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là 3

2

x x

x

x x

  

 

   

 

  

 

Vậy phương trình xác định trên tập D2;3

Câu 3. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1

3

  



x

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là

3

2 3

2

3 2

3 

   

 

  

 

 

  

 

x x

x

Vậy phương trình xác định trên tập 3;

2

D   

 

3

x x



 

  Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

(17)

là

  

2

4

1

3x

x x

x x x

x

 

 

 



 

   

  

    2 

2 2

1

2

x x

x

x x

x

 

  

 

   



   

 

 



Vậy phương trình xác định trên tập D  ;2 \ 1  

Câu 5. Tìm điều kiện xác định của phương trình x34x25x  2 x 2x. Lời giải

Điều kiệnxác định của phương

trình    

2

3 1

4 2

2

2 2

2  

 

          

   

    

    

   

 x

x

x x x x x

x

x x

x

.

Vậy phương trình xác định trên tập D 1,2

Câu 6. Cho hàm số x m  2 2x m 0. Tìm m để phương trình xác định với mọi x1 Lời giải

Điều kiện

2

2      

 



 

  

 

x m

m

x m x

* Nếu 2  1

2

m mm Khi đó PT xác định với x 2 m, Suy ra

Ycbt 2 m 1 m1. Kết hợp với  1 ta có 1

m

 

* Nếu  

2  2  3

m

m m Khi đó PT xác định với

m

x , Suy ra Ycbt

2

m

   

Kết hợp với  2 ta có 4 3m

Vậy để phương trình xác định với mọi x1khi 1m2

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình 22 23

1

x

x    x  là:

A x  1. B 1

x x

  

  

. C x1. D x.

Lời giải Chọn D

Ta có

1 0,

x    x  nên PT xác định trên . Câu 2. Tập xác định của hàm số

4 x y

x  

  là

A D\ 4 . B D\ 2 . C D\ 4 D D\ 2 Lời giải

Chọn D

(18)

Câu 3. Tập xác định của hàm số

2

1 x y

x x

 

  là

A D B D\1;  C D\ 1;    D D\ 4 Lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định 4 x

x x

x       

  

. Vậy D\4;1.

Câu 4. Tập xác định của phương trình 3 12

4

x

x x

  

  là:

A \ 4 . B 4;. C 4;. D . Lời giải

Chọn A

Điều kiện x  4 x4

Câu 5. Điều kiện của phương trình 3 .

x

 



A x2. B x2. C x2. D x2. Lời giải

Chọn A

Điều kiện 2x 0 x2

Câu 6. Tập xác định của phương trình 2 5



   



x

x x

x là:

A 4;

D 

 

. B ;4

5

D  

 

. C \ 4

5

D   

 

 D ;4

5

D  

 

. Lời giải

Chọn D

Điều kiện 4

5

x x

   

Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình 2x 1 4x1 là:

A 3;. B 1;

 

  

 . C 2;. D 3;. Lời giải

Chọn B

Điều kiện 2 1

2

x   x

Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình

8

2

x

x  x là

A x2. B x2. C x2. D x2.

Lời giải Chọn B

Điều kiện x  2 x2

(19)

A x2;8. B x8. C x2. D x8. Lời giải

Chọn C

ĐK:x 2 0 x2

Câu 10. Tập xác định của phương trình 1

2

  

 

  

x x x

x x x là:

A \2;2;1. B 2;. C 2;. D \ 2; 1. Lời giải

Chọn D

Điều kiện

2

1

x x

   

 

 

   

 

     

 

.

Câu 11. Tập xác định của phương trình 2

2 ( 2)



 

 

x

x x x x là:

A 2;. B 2;. C \2;0;2. D \ 2;0 . Lời giải

Chọn C

Điều kiện

 

2 0

0

2

x x

x x x

    

 

   

 

    

 

.

Câu 12. Tập xác định của phương trình 2 23 2

5 6 12

 

 

     

x x x

x x x x x x là:

A . B 4;. C \ 2;3; 4 . D \ 4 . Lời giải

Chọn C

Điều kiện

2

5 2, 2,

6 2,

3, 4

7 12

x x x x x

x x x

x x

        

  

       

  

        

 



Câu 13. Điều kiện xác định của phương trình 24

2

x x  x  là:

A x. B 2

2 x x

  

  

. C x2. D x2.

Điều kiện x2 4 0 x 2

    

Câu 14. Điều kiện xác định của phương trình x 1 x2  x3 là:

A 3;. B 3;. C 2;. D 1;. Lời giải

(20)

Điều kiện

1

2

3

x x

x x x

x x                      

Câu 15. Điều kiện xác định của phương trình 3x 2 3 x1 là:

A 2 4; 3 3

 

 

 

. B 4;

3

 



 

 . C

2 4 \ ; 3 3      

 D 4;

3      . Lời giải Chọn D Điều kiện

3

4 3

3 x x x x x                    

Câu 16. Điều kiện xác định của phương trình x x    là A x2 hoặc x 2. B x2 hoặc x 2.

C x2 hoặc x 2. D x2hoặcx 2.

Điều kiện

2 2

4 2 2 x x x x x x x                       

Câu 17. Điều kiện xác định của phương trình 22 x x x    là A

2

x  B

2

x  và x 3. C

x  và x0. D x 3 và x0.

Lời giải Chọn C

Điều kiện

1

2

3

0, 0,

x x x

x x

x x x

                        

2 x x x x     là

A x 2,x0 và

x B x 2 và x0.

C x 2 và

x D x 2 và x0.

Lời giải Chọn A

Điều kiện

2

2 3

2

3 2

(21)

Câu 19. Điều kiện xác định của phương trình x2 1 0

x   là:

A x0 và x2 1 0. B x0. C x0. D x0 và x2 1 0.

Lời giải Chọn D Điều kiện 2 0 1 1 x x x x x x                     

Câu 20. Điều kiện xác định của phương trình       x x x x là

A x 2 và 

x B

3

 x và x 1.

C x 2. và 

x D x 2 và x 1.

Điều kiện  

2

4

4 2; \

3

1

x x

x x x

x x                                  

2 x x x      là:

A x2. B x7. C 2 x 7. D 2 x 7.

Điều kiện

2

7

x x x x x                

Câu 22. Điều kiện của phương trình: 1        x x x x

A x 1 ,x1 và x5. B x 1 và x1. C   1 x D x5 và x1.

Điều kiện

1

5

1

x x x x x x x x                             

Câu 23. Tìm điều kiện xác định của phương trình

3

x x

 

 A

1 x x     

. B x1. C

1 x x     

. D

(22)

Điều kiện 0

3

x x

 

 



 

  

 

Câu 24. Giá trị x2 là điều kiện của phương trình nào?

A x x x

    B

2

x x

 



C

4

x x

x

  

 D

1

2

x x

x

  



* Tự luận: Giải điều kiện của từng PT trong 4 đáp án

* Trắc nghiệm: Ta thấy x2 không thỏa B, D nên loại B, D

x không thỏa C nên loại C Vậy chọn A

4 x

x    A x 1 và x2. B x2 và x 2.

C x 1. D x 1 hoặc x2.

Điều kiện

2 1 1

4

2

1

x x

x

x x

x

        

 

  

  

   



Câu 26. Điều kiện xác định của phương trình x 2x 1 1x là

A 1

2 x

   B 1

2 x

   C

2

x  D x1.

Điều kiện xác định của phương trình là

1

x x

  

   

1 x

x 

    

  

1

2 x    

Câu 27. Điều kiện xác định của phương trình x 1 x2 x3 là:

A x2. B x3. C x1. D x3. Lời giải

Chọn D

PT có nghĩa khi:

1

2

3

x x

x x x

x x

  

 

 

     

 

    

 

. Vậy điều kiện xác định của pt trên là: x3.

Câu 28. Điều kiện xác định của phương trình x

x

  

 là tập nào sau đây?

A \ 3 . B 2;. C . D 2;  \ Lời giải

(23)

Điều kiện xác định của phương trình:

3

x x          

Câu 29. Điều kiện xác định của phương trình x x    là

A x 5. B x x      

C

2 x x      

D x2

Điều kiện của phương trình là 5

2

x x x x              

Câu 30. Tìm điều kiện của phương trình sau: x x x   

A

2 x x     

B x2 C x0 D x2

Lời giải Để phương trình có nghĩa ta phải có: x x      Đáp án A

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 31. Tìm m để phương trình 2

2

x

x  xm  có điều kiện xác định là

A m1. B m1. C m1. D m0. Lời giải

Chọn A

2

2 0,

Ycbtx  xm  x x  xm vô nghiệm

1 m m



       Câu 32. Cho phương trình

2

1

4 x x x      Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho A x 2 và x2 B x1 và x2. C x2 D x2.

Lời giải Chọn C Điều kiện xác định của phương trình

1

4 x x x x             

Câu 33. Tìm điều kiện xác định của phương trình: x x   

A x0 B

4 x x     

C

4 x x      

D x0

Lời giải

Điều kiện: 0 0

4 4

x x x x

(24)

Đáp án B

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2 mx y

x m 

   xác định trên 0;1  A m    ; 1  2 B ;3  2

2

m  

 

. C m  ;1 2 D m  ;1 3

Điều kiện xác định của hàm số là: 2

1

2

x m x m

x m x m                     Tập xác định của hàm số là Dm2;m1  m 1; .

Để hàm số xác định trên 0;1 thì       

   

0;1 2;

0;1 0;1 1; m m D m            2 1 1 m m m m m                  

 ;1  2

m  

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  

2

m m x  mx x m nghiệm đúng với  x R

A m2 B m 2. C m1 D m 1. Lời giải

Chọn C

   

2 2

m m x  mx x m m  x m (1).

Phương trình (1) nghiệm đúng với

2 1 0 1

1

2

m m

x R m

m m                 

Câu 36. Tìm m để phương trình 2 x x m  

  xác định trên 1;1.

A

3 m m     

B

3 m m     

C

3 m m     

D 1m3

Lời giải Phương trình xác định khi: xm2.

Khi đó để phương trình xác định trên 1;1 thì:

  1

2 1;1

2

m m m m m                 Đáp án C

Câu 37. Cho phương trình: 1

x m

x m

    

  Tìm m để phương trình xác định trên 0;1  A 1m2 B 1m2 C 1m2 D 1m2

(25)

2

2 m x m

x m x m

 

     

 

    

 

Hay phương trình xác định trên m2; 2m1 do đó điều kiện để phương trình xác định trên

0;1 là: 0;1  m2; 2m1

2

1

m

m m

m

         

 

hay 1m2.

Đáp án B

Câu 38. Cho parabol y f x  có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f x 3 có điều kiện xác định là:

A

4

x x

  

 

B

4

x x

    

C 1x4 D  x 

Lời giải

Điều kiện: f x 0 nhìn đồ thị ta thấy: 1x4 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh hay hàm cho

 

f x 

Đáp án C

Câu 39. Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng?

A Phương trình f x 0 xác định trên khoảng 1; 4. B Phương trình f x 0 xác định trên đoạn 2;  C Phương trình

 

1

f x  xác định trên khoảng 1; 2.

D Phương trình

 

1

f x

xác định trên khoảng 0; 4. Lời giải Nhìn đồ thị ta thấy f x 0  x  1; 2

(26)

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG, PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ A Phương pháp giải

 Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

 Nếu mọi nghiệm của phương trình f x g x  đều là nghiệm của phương trình f x1 g x1  thì phương trình f x1 g x1  được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x g x .  Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó.

Câu 1. Cho phương trình 2x2 x 0 * Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khơng phải là hệ quả của phương trình  * ?

 1 :2

 



x x

x  

3

2 :4x  x 0.  3 : 2 x2x2 0.  

4 :x 2x 1 0.

Lời giải

 1 :2

 



x x

x

2

0

2 1

2   

   

  

x

x x

x

 

2 :4x  x 20

   

  

x x

0 2     

 

     

x

   2

3 : 2x x 02x2 x

0    

  

x

 

4 :x 2x 1 0x1 Vậy  4 khơng là hệ quả của  *

Câu 2. Phương trình x2 3x tương đương với phương trình nào trong bốn phương trình sau ?

 

1 :x  x2 3x x2.  2 : 3

3

  

 

x x

 

3 :x x33x x3.  4 :x2 x2 1 3x x21. Lời giải

  2

1

3 



  

  

x

x x    3

3

  

  

 

 

x

x x

 

3

2

3 



  

  

x

x x  

2 2

4 :x  x  1 3x x  1 x 3x

Vậy  4 tương đương với phương trình đã cho

Câu 3. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

 1 : x2 1  x 1.    

 

1

2 :

1 

 

x x

(27)

 3 : 3x2  x 38x 4x 5 0.  4 : x3 2 x 3x120. Lời giải

 2 Sai vì phương trình  

 

1 1 

 

x x

x có điều kiện xác định là x1.

     1 , , Đúng

Câu 4. Tìm m để cặp phương trình sau tương đương mx22m1x m  2 0 (1) và

  2

2 15

    

m x x m (2)

Lời giải Giả sử hai phương trình  1 và  2 tương đương

Ta có  1  1 2

2  

      

   

x

x mx m

mx m

Do hai phương trình tương đương nên x1 là nghiệm của phương trình  2 Thay x1 vào phương trình  2 ta được

 2 3 15 0 20 0

5  

          

  

m

m m m m

m

 Với m 5: Phương trình  1 trở thành

1

5 12 7

5   

    

  

x

x x

x

Phương trình  2 trở thành

1

7 10 10

7   

    

   

x

x x

x

Suy ra hai phương trình khơng tương đương  Với m4: Phương trình  1 trở thành

1

4 2

1 

 

   

  

x

x x

x

1

2 1

2   

   

  

x

x x

x

Suy ra hai phương trình tương đương

Vậy m4 thì hai phương trình tương đương.

Câu 5. Tìm m để cặp phương trình sau tương đương 2x2mx 2 0  1 và

   

3

2x  m4 x 2 m1 x 4 0  2

Lời giải Giả sử hai phương trình  3 và  4 tương đương

Ta có 2x3m4x22m1x  4 x2 2 x2mx 2 0

2

x

x mx

  



    

Do hai phương trình tương đương nên x 2 cũng là nghiệm của phương trình  3 Thay

2

(28)

 Với m3 phương trình  3 trở thành

2

2 1

2

x

x x

x

    

   

  

Phương trình  4 trở thành 2x37x24x  4 x2 2 2x 1 0

1

x x

     

  

Suy ra phương trình  3 tương đương với phương trình  4 Vậy m3.

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu 1. Hai phương trình được gọi là tương đương khi

A Có cùng tập xác định B Có số nghiệm bằng nhau.

C Có cùng dạng phương trình. D Có cùng tập hợp nghiệm Lời giải

Chọn D

Theo định nghĩa sách giáo khoa 10 thì hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.

Câu 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương với phương trình x 1 0?

A x 2 0. B x 1 0. C 2x 2 0. D x1x20. Lời giải

Chọn C

Hai phương trình x 1 0 và 2x 2 0 tương đương nhau vì có cùng tập nghiệm là S 1 Câu 3. Cho phương trình: x2 x 0 (1). Phương trình nào tương đương với phương trình (1)?

A x x 10. B x 1 0. C x2(x1)2 0. D x0 Lời giải

Chọn A

2

(1)

1

x

x x

x

 

    

  

Ý A:  1 0

1

x x x

x

     

 

Câu 4. Xét trên tập số thực, khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hai phương trình x2 1 0 và x  1 3 là hai phương trình tương đương B Các phương trình bậc 3 một ẩn đều có 3 nghiệm thực

C Các phương trình bậc 2 một ẩn đều có 2 nghiệm thực

D Định lý Vi-ét khơng áp dụng cho phương trình bậc 2 có nghiệm kép. Lời giải

Chọn A

(29)

Câu 5. Phương trình 4 3

3

x x

   

  có bao nhiêu nghiệm?

A 2. B 1. C 3. D 0.

Điều kiện xác định: x 3. Với điều kiện trên, ta có:

2

3

4

3

x

x x x x

x

x x

 

        

 

  

So sánh điều kiện, ta có x0 là nghiệm của phương trình.

Câu 6. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x23x0?

A x2 x 3 3x x3. B 1

3

x x

  

 

C x2 x2  1 3x x21.. D x2 x 2 3x x2 Lời giải

Chọn C

Phương trình x23x0 có hai nghiệm x0;x3

Phương trình đáp án A khơng nhận x0 là nghiệm do khơng thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình

Phương trình đáp án B khơng nhận x3 là nghiệm do khơng thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình

Phương trình đáp án D khơng nhận x0 là nghiệm do khơng thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình

Câu 7. Cho phương trình f x g x  xác định với mọi x0. Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào khơng tương đương với phương trình đã cho?

A    

2 3

x  x f x  x  x g x B f x  g x 

x  x  

C k f x  k g x  , với mọi số thực k0 D        

1

x  f x  x  g x

   

f x g x x  x

  xác định khi x0 và f x g x ,   có nghĩa.

Biến đổi từ phương trình f x g x  sang phương trình f x  g x 

x  x

  khơng là biến đổi trương

đương do làm thay đổi TXĐ của phương trình nên hai phương trình này khơng tương đương. Câu 8. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x2 4 0?

A 2xx22x10 B x2x23x20 C x231 D x24x 4 0

Lời giải

Ta có phương trình: x2 4 0x 2 do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là:

 

0 2;

(30)

- Đáp án A: Giải phương trình: 2xx22x10

2

2 1

x x

x x x

 

  



  

     

 

Do đó tập nghiệm của phương trình là: S1  2;1 2;1 2S0 - Đáp án B: Giải phương trình:   

2

x

x x x x

x

  

      

   

Do đó tập nghiệm của phương trình là: S2   2; 1; 2S0. - Đáp án C: Giải phương trình: x23 1 x2  3 1 x 2 Do đó tập nghiệm S3S0 nên chọn đáp án C

- Đáp án D: Có S4  2 S0. Đáp án C

Câu 9. Khẳng định nào sau đây là sai?

A x 1 x 1 x 1 0 B 1 x x

x 

   



C x2  x 1 x22x12 D x2  1 x1 Lời giải

Chọn đáp án D vì x2  1 x 1 Cịn các khẳng định khác đều đúng. Đáp án D

Câu 10. Cho phương trình

2x  x 0. Trong các phương trình sau đây phương trình nào khơng phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho:

A 2

1

x x

x

 

 B

3

4x  x 0

C 2x2x2x520 D 2x3x2 x 0 Lời giải

Giải phương trình

0

2 1

2

x

x x

x

  

   

  

Tập nghiệm 0 0;1 S   

 

Ta xét các đáp án:

- Đáp án A:

 

1

0

1 0

2 1

2

1

2

x

x x

x

x x x

x x

x

 

  

  

   

    

   

    

 



Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 0;1 0 S  S

 

Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. - Đáp án B:

2

0

1

4 1 0; ;

2 2

x

x x S S S

x

 



  

      

   

 

(31)

- Đáp án C:    2 2

2

5

x x x x

x x x

x x

     

     

  

 

vô nghiệm

3

S S S

    

Vậy phương trình ở đáp án C khơng là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. - Đáp án D: Giải phương trình ta có: 4 1; 0;1 0

2

S   S

 

Đáp án C

Câu 11. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A 2x x3 1 x3 và 2x1

B

1

x x x

 

 và x0

C x  1 x và x 1 2x2 D x x2 1 x2 và x1

Lời giải Xét các đáp án:

- Đáp án A: + Phương trình 2 3

2

x

x x x x

x

 

        

 

+ Phương trình 2 1

x x

Do đó cặp phương trình ở đáp án A khơng tương đương vì khơng cùng tập nghiệm.

- Đáp án B: + Phương trình 1 0

0

x x x

x x

x

   

   



 

+ Phương trình x0

Vậy chọn đáp án B

- Đáp án C: + Phương trình  

2

1

2

x x

x

    

        

2 5 3 0

5 13

2

x

x x

x

x x

 

     

    

 

 



+ Phương trình 2 2 5 13

2 x  x x  x  x 

Do đó hai phương trình trong đáp án C khơng tương đương.

- Đáp án D: 2

1

x

x x x

x

  

      

 

Tập nghiệm rỗng.

Do đó phương trình x x2 1 x2 và x1 khơng phải là hai phương trình tương đương. Đáp án B

Câu 12. Hai phương trình nào sau đây khơng tương đương với nhau: A x 1 x và 2x1 x 1 x2x1

B x1 2 x0 và 1x 2x0 C

 

2 2

1

x x

x

x  

và 2

1

x x

(32)

D x2x20 và x x2 0

Lời giải Ta xét các đáp án:

- Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là x1

Khi đó 2x 1 0 nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho 2x1 nên hai phương trình tương đương.

- Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là 1; 2 nên tương đương.

- Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là x 1 nên ta có thể nhận phương trình thứ nhất với x 1 0 ta được phương trình thứ hai.

Vậy hai phương trình tương đương.

- Đáp án D: Phương trình x2x20 có 2 nghiệm x2 và x0 thỏa mãn điều kiện

x x

    

. Cịn phương trình x x20 chỉ có nghiệm x2 vì x0 khơng thỏa mãn điều kiện x2. Vậy hai phương trình khơng cùng tập nghiệm nên khơng tương đương.

Đáp án D

Câu 13. Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương?

A x x22 x2 x22 xx2 B 2xx  2 x x2

C x x2x2 x2xx2. D x x23x2 x23 xx2. Lời giải

Chọn D

* Xét phương án A:

2

2 2

2

2 0

1

x x

x x x x x x

x x

x

  

   



          



 

 

  

   

 

2 phương trình khơng có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi khơng tương đương. * Xét phương án B:

2

0

2

1

2

1

x x

x x x x

x x

x

  



 

       

 

 

 

   

    

 

2 phương trình khơng có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi khơng tương đương. * Xét phương án C:

2

1

x x

x x x x x x x x

x x

x

    

 

            



 

 

  

   

 

(33)

2 2

2

3 0

3

1

x x

x x x x x x

x

x x

x

x x

x

    



        

  

  

   

 

2 phương trình có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi là tương đương.

Câu 14. Khi giải phương trình x2  5 x 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

2

5 (2 )

x   x 2 

Bước 2: Khai triển và rút gọn  2 ta được: 4x9. Bước 3:  2

4 x  

Vậy phương trình có một nghiệm là: 9 4 x

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A Đúng. B Sai ở bước1. C Sai ở bước D Sai ở bước 3. Lời giải

Chọn D

Bài giải sai ở bước 3 vì HS chưa kiểm tra

x  có là nghiệm của phương trình  1 hay khơng

Câu 15. Phương trình x2 3x tương đương với phương trình:

A x2 x33x x3. B x2 x2 1 3x x21.

C x2  x2 3x x2. D 1 3 1

3 3

x x

  

 

Vì 2 2

1 3 ,

        

x x x x x x x

Câu 16. Cho hai phương trình: x x 23x2  1 và  2  2

x x x

 

 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Phương trình  1 và  2 là hai phương trình tương đương. B Phương trình  2 là hệ quả của phương trình  1

C Phương trình  1 là hệ quả của phương trình  2 D Cả A, B, C đều sai.

Vì mọi nghiệm PT  2 đều là nghiệm của PT  1

Câu 17. Cho phương trình 2x2 x 0 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khơng phải là hệ quả của phương trình  1 ?

A 4x3 x 0. B 2x2x2 0. C 2

 



x x

x D

2

2   

(34)

Lời giải

Chọn D

Vì các nghiệm của PT  1 khơng là nghiệm của PT

2   

x x

Câu 18. Khi giải phương trình 3 4

x x

x

 



  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1:  1  3 4

2 x

x x



  

 2 

Bước 2:  3

2 x

x x



    



Bước 3:  x 3 x4.

Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là:T3; 4. Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước B Sai ở bước 1. C Sai ở bước D Sai ở bước 3. Lời giải

Chọn A

Vì nghiệm x4 khơng là nghiệm của PT  2

Câu 19. Khi giải phương trình 5 4

x x

x

 



  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1:  1  5 4 0

3 x

x x



  

 2 

Bước 2:  5 0 4 0

3 x

x x



    



Bước 3:  x5x4.

Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là:T5; 4. Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 3. B Sai ở bước C Sai ở bước 1. D Sai ở bước Lời giải

Chọn B

Câu 20. Khẳng định nào sau đây sai?

A 3x2  x 38x24x 5 0. B x 3 2  x 4.

C  

 

2 2

x x x

 

  x2. D x 3 2 x 3x 6 0. Lời giải

Chọn C

Vì hai phương trình có tập nghiệm khơng bằng nhau Câu 21. Phép biến đổi nào sau đây đúng

A 5x x 3 x2 x25x x3. B x2 xx2x2.

C 3x x 1 x2 x 1 3xx2. D 3 2

( 1)

x x

x x x x

 

    

 

(35)

thay đổi Đk cuat PT nên khơng phải là phép biến đổi tương đương

Câu 22. Khi giải phương trình x2 2x3 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

2

4 4 4 12 9

x  x  x  x 2 

Bước 2: Khai triển và rút gọn  2 ta được: 3x28x 5 0. Bước 3:  2

3

x x

   

Bước :Vậy phương trình có nghiệm là: x1 và

x

Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 1. B Sai ở bước C Sai ở bước 3. D Sai ở bước Lời giải

Chọn D

Vì phép biến đổi ở bước 1 dẫn tới PT hệ quả  2 Do đó nghiệm của  2 có thể khơng là nghiệm của  1 Cụ thể x 1 khơng là nghiệm của  1

Câu 23. Tậpnghiệm của phương trình x x x   là:

A T  1 B T   1 C T  . D T 0 Lời giải

Chọn C

Câu 24. Khi giải phương trình

2

x x



  

   1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1: đk:x 2

Bước 2:với điều kiện trên  1 x x 2  1 2x3 2 Bước 3:  2  x24x40 x 2.

Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là:T  2 Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 1. B Sai ở bước C Sai ở bước 3. D Sai ở bước Lời giải

Chọn D

Vì chưa kiểm tra nghiệm PT cuối có thỏa đk của PT đầu hay khơng

Câu 25. Cho phương trình 2x2 x 0. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khơng phải là hệ quả của phương trình đã cho?

A 2

1

 



x x

x B    

2

2x x  x5 0.

C 2x3x2 x 0. D 4x3 x 0.

(36)

Câu 26. Phương trình nào sau đây khơng tương đương với phương trình x1 1

x ?

A 7 6x  1 18. B 2x 1 2x 1 0.C. x x50. D x2 x 1. Lời giải

Chọn C Vì PT x1 1

x vơ nghiệm cịn PT x x50 có nghiệm

Câu 27. Cho phương trình 3 2

1

x x

  

  Với điều kiện x 1,phương trình đã cho tương đương với phương trình nào sau đây?

A 3x 2 x12 x B 3x  2 x C 3x   2 x x D 3x 2 x

Với Đk x 1, 2  1  1

1 1

   

        

   

x x

x x x

x x x x

Câu 28. Chọn cặp phương trình khơng tương đương trong các cặp phương trình sau:

A x 2 xx2x2x và x 2 xx. B 3x x 1 3xvà 6x x 1 16 3x. C x 1 x22x và x2x1 2 D x2 2x và

3 x

Vì tập nghiệm của 2 PT là khơng bằng nhau Câu 29. Khẳng định nào sau đây là sai?

A 1

1

x x

x



   

 B

2

1

x  x

C x2  x 1 x22 x1 2 D x 1 1xx 1 0. Lời giải

Chọn B

Vì hai PT x2 1 và x 1 là khơng tương đương Câu 30. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 3x x2x2 x23xx2. B 2 3  2

x

x x x

x



     



C 3x x2 x23xx2 x2. D x 1 3xx 1 x2 Lời giải

Chọn C

Vì khi cộng hai vế của PT với cùng một biểu thức mà khơng làm thay đổi Đk của PT đã cho ta được một PT tương đương

Câu 31. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

A x x1  1 x1 và x1. B x x 2x và x 2 1. C x x2  1 x2 và x1. D x x 2 x và x 2 1.

(37)

Vì hai PT x x1  1 x1 và x1 có cùng tập nghiệm Câu 32. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

A 2x x3 1 x3 và 2x1. B 1 

 

x x

x và x0.

C x  1 x và x 1 2x2. D x x2 1 x2 và x1. Lời giải

Chọn B

Vì hai PT 1 

 

x x

x và x0 có cùng tập nghiệm

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:

 

2

    

mx m x m  1 và m2x23x m 2150 2 A m 5. B m 5; m4. C m4. D m5.

Giả sử hai phương trình  1 và  2 tương đương

Ta có  1  1 2

2  

      

   

x

x mx m

mx m

Do hai phương trình tương đương nên x1 là nghiệm của phương trình  2 Thay x1 vào phương trình  2 ta được

  2

2 15 20

5  

          

  

m

m m m m

m

 Với m 5: Phương trình  1 trở thành

1

5 12 7

5   

    

  

x

x x

x

1

7 10 10

7   

    

   

x

x x

x

Suy ra hai phương trình khơng tương đương  Với m4: Phương trình  1 trở thành

1

4 2

1 

 

   

  

x

x x

x

1

2 1

2   

   

  

x

x x

x

Suy ra hai phương trình tương đương

Vậy m4 thì hai phương trình tương đương.

Câu 34. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:

(38)

A m2. B m3. C m 2. D

2 

m

Giả sử hai phương trình  1 và  2 tương đương

Ta có       

2x  m4 x 2 m1 x40 x2 2x mx2 0

2

  

    



x

x mx Do hai phương trình tương đương nên x 2 cũng là nghiệm của phương

trình  1 Thay x 2 vào phương trình  1 ta được 222m220m3

 Với m3 phương trình  1 trở thành

2

2 1

2    

   

  

x

x x

x

Phương trình  2 trở thành   2  2x 7x 4x40 x2 2x1 0

1     

  

x

x Suy ra phương trình  1 tương đương với phương trình  2

Vậy m3.

Câu 35. Cho phương trình f x 0 có tập nghiệm S1m m; 1 và phương trình g x 0có tập nghiệm S2  1; 2. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình g x 0là phương trình hệ quả của phương trình f x 0.

A 1 3

m B 1m2. C m D 1 

2

m

Gọi S1, S2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình f x 0 và g x 0.

Ta nói phương trình g x 0là phương trình hệ quả của phương trình f x 0khi S1S2. Khi đó ta có

  

   

   

 

    

 



1

1 2

2

m m

m

m m

Câu 36. Xác định m để hai phương trình sau tương đương:

2

x   x (1) và x22m1xm2m 2 0 (2) A m 3 B m 3 C m 6 D m 6

Lời giải Dễ thấy phương trình (1) vơ nghiệm.

Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vơ nghiệm, tức là:

 2  

' m m m m m

            

(39)

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng

 Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

 Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác khơng và khơng làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.  Bình phương hai vế của phương trình (hai vế ln cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Câu 1. Giải phương trìnhx x3 3x3

Lời giải

Điều kiện 3

3

  

 

  

 

  

 

x x

x

x x

Thử x3 vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x3

Câu 2. Giải phương trìnhx x x1

Lời giải

Ta có:

1  

    

  

x

x x x

x

Vậy phương trình vơ nghiệm. Câu 3. Giải phương trình x2x23x20

Lời giải Điều kiệnx2.

Ta có: x2(x23x2)0

2 (tm)

1 (l)

2 (tm) 

  

 

  

   

  

 

x x

x

x x

x

Vậy phương trình có nghiêm x2

Câu 4. Giải phương trình 2x5  2x5

Lời giải

Điều kiện

5

2 5

2 

    

 

   

 

  

   

 

x x

x

.

Thay

2  

x vào phương trình thấy thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiêm  

x

Câu 5. Giải phương trình x1x2 x 20.

(40)

Điều kiện: 0

1



  



  

 

  

 



x x

x

Với điều kiện trên phương trình tương đương với

1

2  

   

  

 

  

  

x x

x

x x

x

.

Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x1, x2.

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu 1. Cặp số x y; nào dưới đây là nghiệm của phương trình 2x  y 0?

A ( , )x y (2;1). B ( , )x y (1; 2). C ( , )x y (3; 2) D ( , )x y (1; 2) Lời giải

Chọn D

Câu 2. Phương trình x x 1 1x có bao nhiêu nghiệm?

A B 2 C 0 D 3

Điều kiện 1

1

x x

x

x x

  

 

  

 

  

 

. Ta thấy x1 khơng là nghiệm PT

Câu 3. Số nghiệm của phương trìnhx x2 1  x2 là:

A 2. B 3. C 0. D 1.

2

1  

      

 

x

x x x

x PT vơ nghiệm

Câu 4. Số nghiệm của phương trình ,

3

x

x x

  

  là:

A 0. B 3. C 2. D 1.

2

3

1

9

3

 

 

     

   

   

x x

x

x x

x x PT vơ nghiệm

Câu 5. Số nghiệm của phương trình: 2

1

x

x x

  

  là:

A 1. B 3. C 2. D 0.

1

2

1

   

 

     

 

   

x x

x

x x

x x PT có một nghiệm

Câu 6. Cặp số x y; nào sau đây là nghiệm của phương trình 3x2y7.

(41)

Câu 7. Tập nghiệm của phương trình 2x34 là:

A 13

2

S  

 

. B 13

2

S   

 

. C

13

S   

 

. D

13

S   

 

Lời giải

Chọn B

* Tự Luận: 16 13

2

      

x x x

* Trắc nghiệm: Thay nghiệm ở mỗi đáp án vào PT để kiểm tra Câu 8. Tập nghiệm của phương trình: 3

2

x

x x



 

  là:

A   B  4 C 4;1. D  1 Lời giải

Chọn B

2

2 3

,

3

2 2

4

2

3

3 17 16 14 12

                                   x

x x x

x

x x

x x x x

Câu 9. Nghiệm của phương trình 2

2

 

 

x x

x x là

A

8  

x B

3  

x C

3 

x D

8  x Lời giải Chọn B 2

0 0, 2

2

2 8

2

3

2

                          

x x x

x x

x x x

Câu 10. Số nghiệm của phương trình   

1 10 31 24

   

x x x là

A 1. B 2. C 3. D 4.

  

8 10 31 24 10 31 24

3                 x

x x x x x

x

Câu 11. Nghiệm của phương trình

3       x x

x x là

A -3. B -1. C 0 và -3. D 0.

Lời giải Chọn D 3

1 0

3 6

3                             x x x

x x x

x x x x x

x

(42)

Câu 12. Tập nghiệm của phương trình:

2

3 2

2

  

 

x x x

x là:

A S . B S { 1}. C       

S D 23

16        S Lời giải Chọn D 2

2

3 2 23

23

2 4 12 4 15 16

16                              x x

x x x

x

x x x x x

x

Câu 13. Nghiệm của phương trình 1

2      x x

x x là:

A      x

x B x2. C

1      x

x D x1.

Lời giải Chọn D 2 1 1

2 2 1

2                          x x x

x x x

x x x x x

x

Câu 14. Phương trình 10 2     x

x x có bao nhiêu nghiệm?

A 1. B 3. C 2. D Vô nghiệm.

2

1 10 3 10 2                     x x x x x x

x x

CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ- GIỎI Câu 15. Nghiệm của phương trình

2

1

2

x x x

  

 

   là:

A 15

4 B 5. C

15

 D 5.

Điều kiện 4x2 0x 2, với đk này PT đã cho tương đương

   

2

2 2

2

1 15

3 10

2 4

  

            

  

x x x

x x x x x x n

x x x

Câu 16. Tập nghiệm của phương trình x2 (x23x2)0 là

A S  2; 2. B S= 1 . C S= 1; 2 . D S= 2 . Lời giải

Chọn D

(43)

   

2

2 ( 2)

1

3

    

      

  

 

 

x n

x

x x x

x l

x x

Câu 17. Phương trình nào sau đây có nghiệm ngun A

2 3 4

4 4

x x

 

 

 B

2 1 4

2 2

x

x x

 



  .

C

2 1 3 3

1 1

 

 

x

x x D

2

3 2

x x

x

x 

 



2

2 4 0 0

0

2

3 4

4 4

  

  

  

     

   

   

 

 

 



x

x x

x

x x

x

x x

x

Câu 18. Tập nghiệm của phương trình x22x 2x x 2 là:

A S . B S 0 C S0; 2. D S 2 Lời giải

Chọn C Điều kiện

2

2 0

2

x x x

    





  

 

 



. Ta thấy x0, x2 đều thỏa PT nên là nghiệm của PT

Câu 19. Phương trình x26x 9 x327 có bao nhiêu nghiệm?

A 2. B 3. C 0. D 1.

Điều kiện  2  2

6 3

x x x x x

             Ta thấy x3 thỏa PT nên là nghiệm của PT

Câu 20. Phương trình x x 21 x 1 0 có bao nhiêu nghiệm?

A 2. B 1. C 3. D 0.

Điều kiện x1, Với điều kiện này thì PT đã cho tương đương

 

0

1 1 1

1



  

 

         

      

x x

x x x x x x

x x

Câu 21. Phương trình x3 2 3 x2x 3x 5 4 có bao nhiêu nghiệm?

A 1. B 2. C 3. D 0.

(44)

Điều kiện

5

5 3

3 5

3

x x

x

  

 

 

  

 

 

  

 

. Ta thấy

x không thỏa PT nên PT đã cho vơ

nghiệm

Câu 22. Giải phương trình

4

1

 

  

 

x x

x

x x

A

4

x x

     

B x 2. C x4. D x3.

2

1

4

1 4

4

1

2     



  

       

  

   

   

x x

x x x

x x

x

Câu 23. Cho phương trình x2 x 1 4x8. Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình.

A 30. B 15. C 6. D 2.

Điều kiện x 1, với điều kiện này PT đã cho tương đương

      

 

2

15

1

   



           



   

 

x n

x

x x x x x

x n

x

Câu 24. Phương trình 1

x m

x

  

  có nghiệm khi m thỏa

A m2. B m2. C m2. D m2. Lời giải

Chọn A

Điều kiện x 1, với điều kiện này PT đã cho tương đương

0 1

1  

       

 

x m

x m x m

x Ycbt  1 m  1 m2

Câu 25. Cho phương trình x33mx2mxm2  4 m  m. Phương trình có nghiệm

x  khi:

A m. B m 1 ;m3. C m 1. D m3. Lời giải

Chọn C

Điều kiện m0.

1 

x là nghiệm PT 2

3

       

x mx mx m m mnên ta có

   

2

2 3

3

m n

m m m m m m

m l

  

           

 

(45)

DẠNG GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH ax b 0 A Phương pháp giải

 Nếu a0, phương trình cho trở thành 0x b 0 -Với b0 phương trình nghiệm với x - Với b0 phương trình vơ nghiệm

 Nếu a0, phương trình cho x b a

   Do phương trình  1 có nghiệm b

x a  

Chú ý: Phương trình ax b 0

 Có nghiệm

0 a

a b

     



 Vô nghiệm

0 a b

    



 Có nghiệm a0

Câu Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) m mx 19x3

b) m12x3m7x 2 m

Chương

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

(46)

Câu Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) 2m4x 2 m0

b)    

1 1

m x m  x m 

Câu Tìm m để phương trình sau có nghiệm

a) m2m x 2x m 21 b) m4mx3m2x m 1

(47)

Câu Tìm m để phương trình sau vô nghiệm a) m2m x 2x m 21

b) 2 

3

m xm x m

Câu Giải biện luận phương trình sau với a, b tham số

a) a2xab2x b 

b) b ax b  2x2ax1

(48)

CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Phương trình sau phương trình bậc nhất?

A x23x 2 B 2x 1 C

2

1 x

x 



 D 2 x 3 2x1 Câu Nghiệm phương trình 3x 1

A

3

 B 1

3 C 1 D 1

Câu Nghiệm phương trình 2 x0

A 5 B 5 C

2

 D 5

2.

Câu Trong phương trình sau, phương trình vơ nghiệm?

A 2x6 B x22x24 C 5x15x2 D 5x25x10 Câu Chophương trình: 2x 3 cónghiệm a Khi 2a3bằng

A 6 B 6 C 0 D 3

Câu Cho phương trình: (m 3) x 3 cónghiệm Khi m

A 6 B 6 C 0 D 3

Câu Giá trị m để phương trình (m 2) x m  3 vô nghiệm

A m2 B m 2 C m0. D m3 Câu Giá trị m để phương trình (m 2) x m 23m 2 0 có tập nghiêm

Rlà

A m1 B m2 C m 2 D m 1

Câu Phương trình m1xm2 có nghiệm

A m1 B m2 C m2 D m1

Câu 10 Phương trình  

9

m  xm vô nghiệm m nhận giá trị:

A m 3 B m3 C m 3 D Không tồn

Câu 11 Phương trình (2m1)x m  5 có nghiệm khi:

A m B \

2 m   

 

 C ;1

2 m  

  D

; m 

 

Câu 12 Phương trình (m22 )m xm25m6 có nghiệm khi:

A m\   B m\ 0; 2  C m\ 2  D m

Câu 13 Gọi m0 giá trị tham số m để phương trình m2xx10 vô nghiệm Khẳng định sau đúng?

A m0  B m0  2; 0 C m00;1 D m0  1;1 Câu 14 Với m phương trình mxm 1 vơ nghiệm?

A m0và m1 B m1 C m0 D m 1 Câu 15 Với giá trị tham số m phương trình m21x m 22m 3 vô nghiệm?

A m1 B m 1 C m 2 D m 3 Câu 16 Phương trình m24x3m6 có nghiệm

(49)

A m1 B m 1 C m0 D m1 CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 18 Với điều kiện m phương trình 3m24x 1 mx có nghiệm nhất? A m 1 B m1 C m 1 D m0 Câu 19 Với điều kiện m phương trình 4m5x3x6m3 có nghiệm

A m0 B

2

m  C

2

m  D m Câu 20 Phương trình m24m3xm23m2vơ nghiệm khi:

A m3hoặc m1 B m1 C m3 D m 3

Câu 21 Trong trường hợp phương trình

( 2)

m x   xm có nghiệm Khi nghiệm phương trình là:

A

2 m x

m  

 B

2

2 m x

m  

 C

2

2 m x

m  

 D

2

2 m x

m  



Câu 22 Phương trình m2x1mx6 5 m có nghiệm khi:

A

6 m m

  

 

B

6 m m

  

  

C

6 m m

    

D

6 m m

      Câu 23 Phương trình (m1)2x(3m7)x 2 mnghiệm với x thuộc 

A m3 B m 2 C

2 m m

     

D Kết khác Câu 24 Phương trình a2xab2x b vơ nghiệm

A ab B a b C a bvàb0 D a bvàa0 Câu 25 Phương trình m x m(  3)m x( 2) vô nghiệm khi:

A m\ 0;5   B m. C m\   D m\   Câu 26 Giá trị m để phương trình: 2x40 tương đương với phương trình x3m20là

A

m B m0 C m1. D m 1 Câu 27 Giá trị m để phương trình (m 2) x m  3 có nghiệm nhỏ

A m 2 B m 2 C m 2 D m 2 Câu 28 Số giá trị nguyên m để phương trình: 1m2mx10 có nghiệm

A 3 B 2 C 1 D 4

Câu 29 Với điều kiện mthì phương trình m22x2m x có nghiệm dương?

A

2

m B

2

m C

2

m D

2 m Câu 30 Phương trình 92

3

m x x m

m m m

  

 

   có nghiệm khơng âm

A m0 B m0 với m3 m9 C 0m3 D 3m9

(50)

A. a0;a4. B. a4.

C. 0a4. D. a0 a4

Câu 33 Phương trình m x2   2 x 2m có tập nghiệm S  khi:

A m 1 B m 1 C m 1 D m1

Câu 34 Cho S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 5;10 để phương trình

m1x  x m1 có nghiệm Tổng phần tử S

(51)

DẠNG GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH ax b 0 A Phương pháp giải

 Nếu a0, phương trình cho trở thành 0x b 0 -Với b0 phương trình nghiệm với x - Với b0 phương trình vơ nghiệm

 Nếu a0, phương trình cho x b a

   Do phương trình  1 có nghiệm b

x a

 

Chú ý: Phương trình ax b 0

 Có nghiệm 0

a

a b

     



 Vô nghiệm 0

a b

    



 Có nghiệm a0 B Bài tập tự luận

Câu 1. Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) m mx 19x3

b) m12x3m7x 2 m

Lời giải a)  Phương trình tương đương với m29xm3

 Nếu m2 9 0m 3

Khi m3 phương trình trở thành 0x6, phương trình vơ nghiệm

Khi m 3thì phương trình trở thành 0x0, phương trình có nghiệm với x

 Nếu m2 9 0m 3 phương trình có nghiệm 2

9

m x

m m



 

 

 Kết luận

Với m3 phương trình vơ nghiệm Với m 3 phương trình vơ số nghiệm

Với m 3 phương trình có nghiệm x

m





b)  Phương trình tương đương với m123m7x 2 m

   

2

6

m m x m

    

 Nếu m2m 6

m m

     



Khi m3 phương trình trở thành 0x5, phương trình vơ nghiệm

Khi m 2thì phương trình trở thành 0x0, phương trình có nghiệm với x

 Nếu m2m 6

m m

     



phương trình có nghiệm x

m





 Kết luận

Chương

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

(52)

Với m3 phương trình vơ nghiệm

Với m 2 phương trình có nghiệm với x Với m3và m2thì phương trình có nghiệm

3 x

m





Câu 2. Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) 2m4x 2 m0

b) m1x3m21x m 1

Lời giải

a) ● Phương trình tương đương với 2m4xm2

● Nếu 2m40 m2 phương trình trở thành 0x0 Phương trình với x ● Nếu 2m40 m2 phương trình có nghiệm x 1

● Kết luận:

Với m2 phương trình nghiệm với x Với m2 phương trình có nghiệm x 1 b) ● Phương trình tương đương với  

3m m2 x 1 m

● Nếu 3m2m 2

1

m m

   

   

Khi m1 phương trình trở thành 0x0 Phương trình với x

Khi

3

m  phương trình trở thành

x Phương trình vơ nghiệm

● Nếu 3m2m 2

1

m m

    

   

phương trình có nghiệm nhst

2

1

3

m x

m m m



  

  

● Kết luận:

Với

3

m  phương trình vơ nghiệm

Với m1 phương trình nghiệm với x

Với

3

m  m1 phương trình có nghiệm

3

x m

 



Câu 3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) m2m x 2x m 21

b) m4mx3m2x m 1

Lời giải

a) ● Phương trình tương đương m2m2xm21

● Phương trình có nghiệm a0 m2m 2

m m

    

 

● Vậy với m 1 m2 phương trình có nghiệm

(53)

● Phương trình có nghiệm a0 4m2m 1 17

m 

 

● Vậy với 17

m  phương trình có nghiệm

Câu 4. Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm

a)  

2

m m x x m 

b) m2xmx3m2

Lời giải

a) ● Phương trình tương đương m2m x 2x m 21 m2m2xm21 ● Phương trình vơ nghiệm

0

a b

   

 

2

1

m m

m

    

 

  



2

m

 

● Vậy với m2 phương trình vơ nghiệm

c) ● Phương trình tương đương m21xm33m2 ● Phương trình vơ nghiệm

0

a b

   

 

2

3

m

m m

   

 

   



1

m

   ● Vậy với m 1 phương trình vơ nghiệm

Câu 5. Giải biện luận phương trình sau với a, b tham số a) a2xab2x b 

b) b ax b  2x2ax1

Lời giải

a) Phương trình tương đương a2xab2x b  a2b2xa3b3 Nếu a2b2 a b

Khi ab phương trình trở thành 0x0, phương trình nghiệm với x Khi

a b b0 phương trình trở thành 0x 2b3, phương trình vơ nghiệm (Trường hợp

a b, b0 suy ab0 rơi vào trường hợp ab) Nếu a2b20a b phương trình có nghiệm

3 2

2

a b a ab b

x

a b a b

  

 

 

Kết luận:

Với ab phương trình nghiệm với x Với a b b0 phương trình vơ nghiệm Với a b phương trình có nghiệm

2

a ab b

x

a b

  



b) Phương trình tương đương b ax b  22ax1 a b 2xb22b2 TH1: a b 20

2

a b

    



Khi a0 phương trình trở thành 0xb22b2, phương

trình vơ nghiệm (do b22b 2 b12 1 0)

Khi b2 phương trình trở thành 0x2 phương trình vơ nghiệm TH2: a b 20

2

a b

   

 

phương trình có nghiệm

 

2 2 2

2

b b

x

a b

  

(54)

Nếu a0 b2 phương trình vơ nghiệm Nếu a0 b2 phương trình có nghiệm

 

2

b b

x

a b

  



CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu 1. Phương trình sau phương trình bậc nhất?

A x23x 2 B 2x 1 C

2

x x

 

 D 2 x 3 2x1

Câu 2. Nghiệm phương trình 3x 1

A

3

 . B 1

3. C 1. D 1

Xét phương trình:3 1

x   x x

Câu 3. Nghiệm phương trình 2 x0

A 5. B 5. C

2

 . D 5

2.

Xét phương trình:5 2 5

x x x

     

Câu 4. Trong phương trình sau, phương trình vô nghiệm?

A 2x6 B x22x24 C 5x15x2 D 5x25x10

Lời giải

Chọn C

 

5 x1 5x2 5x 5 5x252 vơ lý, phương trình vơ nghiệm

Câu 5. Chophương trình: 2x 3 cónghiệm a Khi 2a3bằng

A 6 B 6 C 0 D 3

Lời giải

Chọn B

3

2

x  x a

Câu 6. Cho phương trình: (m 3) x 3 cónghiệm Khi m

A 6 B 6 C 0 D 3

Lời giải

Chọn B

(m 3)

x 3

x

m m

  

(55)

Câu 7. Giá trị m để phương trình (m 2) x m  3 vô nghiệm

A m2 B m 2 C m0. D m3

Lời giải

Chọn B

(m 2) x m  3 vô nghiệm m m

3

m

  

   

   

Câu 8. Giá trị m để phương trình (m 2) x m 23m 2 0 có tập nghiêm Rlà

A m1 B m2 C m 2 D m 1

Lời giải

Chọn B

 

(m 2) xm 3m 2 có nghiệm

2

3

m

m m

  

  

    

Câu 9. Phương trình m1xm2 có nghiệm

A m1 B m2 C m2 D m1

Lời giải

Chọn D

+ Với m 1 0m1: Phương trình trở thành 0x 1 Suy phương trình vơ nghiệm

+ Với m 1 0m1: Phương trình tương đương với m x

m

 



Phương trình có nghiệm m x

m

 



Câu 10. Phương trình m29xm3 vơ nghiệm m nhận giá trị:

A m 3 B m3 C m 3 D Không tồn

Lời giải

Chọn B

+ Với m2 9 0m 3:

Khi m3 : Phương trình trở thành 0x6 suy phương trình vơ nghiệm

Khi m 3: Phương trình trở thành 0x0 suy phương trình nghiệm với xR

+ Với m2 9 0m 3: Phương trình tương đương với 2

9

m x

m m



 

 

Câu 11. Phương trình (2m1)xm 5 có nghiệm khi:

A m B \

2

m   

 

 C ;1

2 m  

  D

1 ; m 

 

Lời giải

Chọn B

Phương trình có nghiệm 1

m  m

(56)

A m\   B m\ 0; 2  C m\ 2  D m

Lời giải

Chọn A

Phương trình(m22 )m xm25m6có nghiệm

2

0

2

5

m m

m

m m

  



 

  

 

   

 

Câu 13. Gọi m0 giá trị tham số m để phương trình m2xx10 vơ nghiệm Khẳng định sau đúng?

A m0  B m0  2; 0 C m00;1 D m0  1;1

Lờigiải ChọnB

m2xx10m1x 1

Phương trình vơ nghiệmm 1 0m 1

Câu 14. Với m phương trình mxm 1 vơ nghiệm?

A m0và m1 B m1 C m0 D m 1

Lờigiải

Chọn C

Để phương trình mxm 1 0vô nghiệm: 0

1 0

m m

 

 

   

   

 

Câu 15. Với giá trị tham số m phương trình m21x m 22m 3 vơ nghiệm?

A m1 B m 1 C m 2 D m 3

Phương trình m21x m 22m 3 vô nghiệm

2

m

m m

   

 

   



1

2

m m

      



   

Câu 16. Phương trình m24x3m6 có nghiệm

A m 2;m 3 B m 2 C m2 D m 2

Lờigiải ChọnD

Phương trình m24x3m6 có nghiệm m2 4 0m 2 Khi nghiệm phương trình 32

4

m x

m m



 

 

Câu 17. Tìm m để phương trình sau có nghiệm m1x 2

A m1. B m 1. C m0. D m1

0

(57)

CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 18. Với điều kiện m phương trình 3m24x 1 mx có nghiệm nhất?

A m 1. B m1. C m 1. D m0

Xét phương trình:    

3m 4 x 1 m x 3m 4 x x m1

     

3m x m m x m 1

       

Để phương trình  1 có nghiệm m2 1 0m 1

Câu 19. Với điều kiện m phương trình 4m5x3x6m3 có nghiệm

A m0. B

2

m  . C

2

m  . D m

Xét phương trình: 4m5x3x6m 3 4m5x3x6m3

4m 2x 6m 2 m 1x 2 m 1  1

       

Khi

2

m  phương trình  1 trở thành: 0x0 nghiệm x

Khi

2

m  phương trình  1 có nghiệm

x

Vậy với m phương trình cho ln có nghiệm

Câu 20. Phương trình m24m3xm23m2vơ nghiệm khi:

A m3hoặc m1. B m1 C m3 D m 3

Lời giải ChọnC

Xét phương trình: m24m3xm23m 2 m1m3xm1m2 Khi m1 phương trình  1 trở thành: 0x0 nghiệm x

Khi m3 phương trình  1 trở thành: 0x2 pt vô nghiệm

Khi

3

m m

  

 

thì phương trình  1 có nghiệm m x

m

 



Câu 21. Trong trường hợp phương trình

( 2)

m x   xm có nghiệm Khi nghiệm phương trình là:

A

2 m x

m

 

 B

2

2 m x

m

 

 C

2

2 m x

m

 

 D

2

2 m x

m

 



Lời giải

Chọn A

2 2

( 2) ( 4)

m x   xm m  x m m

Phương trình có nghiệm

4

(58)

Khi PT

2

4

m m m

x

m m

  

  

 

Câu 22. Phương trình m2x1mx6 5 m có nghiệm khi:

A

6

m m

  

 

B

6

m m

  

  

C

6

m m

    

D

6

m m

     

Lời giải

Chọn B

Phương trình cho tương đương vớim25m6xm m

Để phương trình có nghiệm thì: m25m 6 0m 1 m 6

Câu 23. Phương trình (m1)2x(3m7)x 2 mnghiệm với x thuộc 

A m3 B m 2 C

2

m m

     

D Kết khác

Lời giải

Chọn B

Phương trình tương đương với

(m 1) 3m x m

      

  m2m6x 2 m

+ Với

2

m

m m

m

      

  

:

Khi m3 : Phương trình trở thành 0x5 suy phương trình vơ nghiệm

Khi m 2: Phương trình trở thành 0x0 suy phương trình nghiệm với xR

+ Với

2

m

m m

m

      

  

: có nghiệm

Câu 24. Phương trình a2xab2x b vơ nghiệm khi

A ab B a b C a bvàb0 D a bvàa0

Lời giải

Chọn C

Ta có a2x a b2x b a2b2xa3b3 + Với a2b2 0a b

Khi ab: Phương trình trở thành 0x0 suy phương trình nghiệm với xR

Khi a bvà b0: Phương trình trở thành

0x 2b suy phương trình vơ nghiệm (Trường hợp a b b,  0 ab0 rơi vào trường hợp ab )

+ Với a2b2 0a b: Phương trình có nghiệm

Câu 25. Phương trình m x m(  3)m x( 2) vô nghiệm khi:

A m\ 0;5   B m. C m\   D m\  

Lời giải

Chọn A

2

( 3) ( 2)

(59)

Phương trình vơ nghiệm

2

5

m

m m

m

     

 

Câu 26. Giá trị m để phương trình: 2x40 tương đương với phương trình x3m20là

A

m B m0 C m1. D m 1

2x40 x2

3

x m   x m

Hai phương trình tương đương 3m22m0

Câu 27. Giá trị m để phương trình (m 2) x m  3 có nghiệm nhỏ

A m 2 B m 2 C m 2 D m 2

 

(m 2) xm 3 có nghiệm m 2 Khi nghiệm (1)

m m

x 



Ta có 3

m m 2

m m

x m

m

  

         

  

Câu 28. Số giá trị ngun m để phương trình: 1m2mx10 có nghiệm

A 3 B 2 C 1 D 4

 

2

1m mx1 0 có nghiệm

   

2

1

1;1 \ {0} 1;1

1

0

m m

     

 

         

   

 

 

   

 



Câu 29. Với điều kiện mthì phương trình m22x2m x có nghiệm dương?

A

2

m . B

2

m . C

2

m . D

2

m

   

2 3

m  x m  x m  x m Phương trình ln có nghiệm nhất: 2

1 m x

m

 



Ycbt 22 3

1

m

m m

m



      



3

m x x m

m m m

  

 

   có nghiệm khơng âm

(60)

C 0m3. D 3m9

Đk: m 3

Xét phương trình: 92   3 2 3 3 9

3

m x x m

m x m x m m

m m m

  

         

  

9 m x m9 m

   

Phương trình cho có nghiệm khơng âm

m m

  

 

Câu 31. Tìm điều kiện a b, để phương trình sau có nghiệm a bx  a 2  a b 1x1

A a1. B b1. C a1,b4. D a1,b4

Ta có a bx a - 2  a b 1x 1 ab  a b 1xa22a1 a 1b 1x a 12

    

Phương trình có nghiệm

     

 2

1 1

1

a b a

a b b a

a a

     

 

   

    



  

  

   Vậy a1 điều kiện cần tìm

Câu 32. Với điều kiện a phương trình a22x 4 4x a có nghiệm âm?

A a0;a4. B a4.

C 0a4. D a0 a4

Xét phương trình: a22x 4 4xaa24a x  4 aa a 4x a4  1 Với a40a4 phương trình  1 có nghiệm x

a

 

Khi phương trình cho có nghiệm âm a0 Vậy a0 a4 thỏa ycbt.

Câu 33. Phương trình m x2   2 x 2m có tập nghiệm S  khi:

A m 1 B m 1 C m 1 D m1

Phương trình cho tương đương với phương trình (m21)x2(m1) ⇒ phương trình có tập nghiệm

2

1

m

S m

m

  

   

  

 ⇒ Chọn D

1

m

  

Câu 34. Cho S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 5;10 để phương trình m1x  x m1 có nghiệm Tổng phần tử S

(61)

Lờigiải ChọnA

Ta có m1x  x m 1 m2xm1

Phương trình có nghiệm m20m 2

(62)

DẠNG GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

- Nếu a0: trở về giải và biện luận phương trình bậc nhất bx c 0. - Nếu a0. Xét

4

b ac

  

Trường hợp 1.  0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 b x

a

  



Trường hợp 2.  0 phương trình có nghiệm kép

b x

a

 

Trường hợp 3.  0 phương trình vơ nghiệm.

Câu Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số a) x2 x m0.

b) m1x22mxm 2 0.

Chương

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

(63)

Câu Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số a) m2x22m1xm 5 0.

b)  

2m 5m2 x 4mx 2 0.

Câu Cho phương trình m2x22x 1 2m0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có

nghiệm duy nhất.

(64)

Câu Cho phương trình mx2 x m 1 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình.

a) Có nghiệm kép.

b) Có hai nghiệm phân biệt.

Câu Cho phương trình mx22mxm 1 0, với m là tham số.

a) Giải phương trình đã cho khi m  2. b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

Câu Tùy thuộc vào giá trị của tham số m hãy tìm hồnh độ giao điểm của đường thẳng d y: 2xm và Parabol  P :ym1x22mx3m1.

(65)

Câu Giải và biện luận phương trinh ax22a b x   a 2b0 với ,a b là tham số.

Câu Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình x22mxm1x23x2m0

 * có bốn nghiệm phân biệt.

(66)

CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu Tìm m để phương trình x23mx(2m2m1)0 có nghiệm kép

A m 5. B m 2. C m 4. D m 3.

Câu Tìm m để phương trình mx22mx m  1 0 có nghiệm.

A m0. B m0. C m0. D m0.

Câu Tìm m để phương trình mx22(m2)x m  3 0 có nghiệm duy nhất.

A m0. B m4. C 0m4. D m4 hoặc m0

Câu Cho phương trình

2( 1)

x  m x m  với giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép.

A m0. B m1. C m2. D m3

Câu Phương trình x23xm 1 0 ( ẩn x) có nghiệm khi và chỉ khi

A

4

m B

4

m C

4

m  D

5

m

Câu Tìm m để phương trình x22mx(m2m1)0 vơ nghiệm.

A m 1. B m 2. C m 1. D m 2.

Câu Cho phương trình 2

3 (2 1)

x  mx m m  tìm m để phương trình vơ nghiệm.

A

0

m m

 

 



. B m0. C m0. D m0.

Câu Tìm m để phương trình  

2 – –

x  m x m  vô nghiệm.

A m5 hoặc m 1. B m 5 hoặc m 1.

C  5 m 1. D m1 hoặc m5.

Câu Tìm m để phương trình mx2– 2m1xm 1 0 vơ nghiệm. A m0và m 1. B m 1.

C m0và m 1. D m1 hoặc m0.

Câu 10 Cho phương trình (2m7)x26x 3 0 với giá trị nào của m thì phương trình vơ nghiệm.

A m2. B

2

m C m2. D m2.

Câu 11 Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình 2x2m2xm 4 0 có hai nghiệm

phân biệt.

A m6. B m6. C m6. D m.

Câu 12 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2 x m 2 0 có nghiệm là

A

4

m B

4

m C

4

m D

4

m

Câu 13 Cho phương trình bậc hai:  

2

x  m x m m  , với m là tham số. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A Phương trình ln vơ nghiệm với mọi m.

B Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

C Phương trình có duy nhất một nghiệm với mọi m.

(67)

Câu 14 Cho phương trình m3x22m3x 1 m0  1 Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình  1 vơ nghiệm?

A 1. B 2 C 0. D 3.

Câu 15 Phương trình mx2(2m3)x m  4 0 vơ nghiệm khi:

A

28

m B

28

m  C m0. D m0.

Câu 16 Tìm m để phương trình mx22m1xm 1 0 vơ nghiệm.

A m 1. B

0

m m

 

 



. C m0 và m 1. D m0 và m 1.

Câu 17 Cho phương trình mx2 x m 1 0 với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

A m1và

2

m B m0 và m1.

C m1và

2

m D m0 hoặc

2 m

Câu 18 Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình  

3 2

x  m x m  có đúng một nghiệm thuộc ;3 là

A ; 2 1 B   1  2;. C  1 2;. D 2;.

Câu 19 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x22x 3 m0 có nghiệm x0; 4.

A m  ;5. B m   4; 3. C m  4;5. D m3;

Câu 20 Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trìnhx24x 6 3m0 có đúng hai nghiệm thuộc đoạn  1;5 ?

A

3

m

    B

3

m

   

C 11

3 m

    D 11

3 m

   

DẠNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG A Phương pháp giải

a) Định lí Vi-ét. Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2bx c 0 khi và

chỉ khi thỏa mãn hệ thức:

1

2

b x x

a c x x

a



  

  

 

 

.

b) Ứng dụng

Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f x ax2bxc có hai nghiệm

(68)

Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình

0 x SxP  1

Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình bậc hai ax2bx c 0  1 , kí hiệu S b a

  , P c a

 Khi đó - Phương trình  1 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P0.

- Phương trình  1 có hai nghiệm dương khi và chỉ khi 0 P S         

- Phương trình  1 có hai nghiệm âm khi và chỉ khi 0 P S         

So sánh nghiệm

1. Xét dấu các nghiệm của phương trình f x ax2bxc a b c, , R  1 :

Phương trình  1 có hai nghiệm x10x2 ac0.

Phương trình  1 có hai nghiệm 1 2

0 0 0 a x x S P              

0 0 0 a x x S P              

Phương trình  1 có hai nghiệm 0 1 2  0 0 f x x S          

Phương trình  1 có hai nghiệm 1 2  0 0 f x x S          

0 0 a x x S           

0 0 a x x S           

2. So sánh các nghiệm của phương trình f x ax2bxc a b c, , R  1 với số thực : Phương trình  1 có hai nghiệm x1x2af   0.

Phương trình  1 có hai nghiệm 1 2  

0

2

a

(69)

Phương trình  1 có hai nghiệm 1 2   0

2

a

x x a f

S

 

      

   



 

 

.

Phương trình  1 có hai nghiệm

 

0

2

f

x x S

 

  



   

  

.

 

0

2

f

x x S

 

  



   

  

.

0

2

a x x

S



    

    

   

.

0

2

a x x

S



    

    



 



.

Câu Khơng giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm a) x213x400.

b) 5x27x 1 0.

c) 3x25x 1 0.

Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f x 3x214x8.

(70)

c) P x y ; 6x211xy3y2.

d) Q x y ; 2x22y23xy x 2y.

Câu Phân tích đa thức f x x42mx2 x m2m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x.

Câu Cho phương trình 2x2mx 5 0, với m là tham số. Biết phương trình có một nghiệm là 2, tìm m và tìm nghiệm cịn lại.

(71)

Câu Cho phương trình x2 2 (m1)x m 2 0  , với

mlà tham số.Tìm mđể phương trình có hai nghiệm dương.

Câu Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:  

2

x  m xm  

Câu Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: m1x22m2xm 3 0

Câu Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:  

2

x  m xm  m 

Câu Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm âm phân biệt: mx22m3xm0

Câu 10 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:  

2

(72)

Câu 11 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:    

2

m x  m xm 

Câu 12 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm âm: mx22m3xm 4 0

Câu 13 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm dương: m3x22m6xm 3 0

Câu 14 Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương:  

3x 2 m5 xm 4m150

(73)

Câu 15 Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm: m1x22m1xm24m 5 0

Câu 16 Tính

a) Cho phương trình x2 5x 1 0. Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức

2

1 2

3 2

3x 5x x 3x A

x x x x

 





b) Cho phương trình 2x25x 1 0. Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức

1 2

Bx x x x

Câu 17 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

a) mx22(m1)x3(m2)0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x12x2 1.

b) x2(2m1)x m 2 2 0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 3x x1 25(x1x2) 7 0. c)

3

x  xm có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x12(1x2)x22(1x1) 19. d) 3x24(m1)x m 24m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

(74)

(75)

1

1 1

( ) x x

x  x  

Câu 18 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thỏa mãn x1  1 x2:

   

2 10

m x  m x m 

Câu 19 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thỏa mãn x1x21:

   

1

m x  m xm  m 

Câu 20 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thỏa mãn 2x1x2:

   

1

m x  m xm  m 

Câu 21 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm lớn hơn 1:  

2

mx  m x 

(76)

Câu 22 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm nhỏ hơn 1: m2x22mx 1 0

Câu 23 Cho phương trình x2(m1)x m 2m 2 0, với m là tham số.

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x x1, 2. Tìm m để biểu thức

3

1

2

x x

A

x x

   

   

   

đạt giá trị lớn nhất.

(77)

Câu 24 Cho phương trình 2x22mx m 2 2 0, với m là tham số. Gọi x x1, 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 2x x1 2x1x24

Câu 25 Cho phương trình x2mx m  1 0, với m là tham số. Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình.

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1, 2 khơng phụ thuộc vào m b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biếu thức

2

1 2

2

2( 1)

x x A

x x x x

 

  

(78)

Câu 26 Cho phương trình x22(m1)x2m23m 1 0, với m là tham số. Gọi x x1, 2 là nghiệm của

phương trình, chứng minh rằng 1 2 1 2

x x x x 

(79)

Câu 27 Cho phương trình x2(2m1)x m 2 1 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị mđể phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho biểu thức

1 x x P

x x



 có giá trị là số nguyên.

Câu 28 Cho phương trình x22(m1)x m 2 2 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho

a) x14x24 16m264 m

b) Px x1 22(x1x2) 6 đạt giá trị nhỏ nhất.

(80)

CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ

Câu Cho phương trình: x23x 2 0 có hai nghiệm x1, x2. Biết rằng x11. Hỏi x2 bằng bao nhiêu?

A 2. B 3 C 1. D 0

Câu Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x23x 9 0. Chọn đáp án đúng.

A x x1 2x1x26. B x x1 2x1x227. C x x1 2 9. D x1x2 3.

Câu Phương trình 2x23x 1 0 có tổng hai nghiệm bằng

A khơng tồn tại. B

2

 C 3

4 D

3

Câu Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình x22x130

A 22. B 4. C 30. D 28

Câu Gọi x1;x2 là các nghiệm của phương trình 4x27x 1 0. Khi đó giá trị biểu thức 2

1

M x x

A 41

16 B 41

64. C 57

16 D

81 64.

Câu Phương trình nào sau đây có hai nghiệm trái dấu?

A 5x24x11 0 B 2x28x 1 0. C x24x 6 0. D x26x 9 0.

Câu Phương trình nào sau đây có hai nghiệm dương phân biệt?

A x24x 7 0. B 2x25x 2 0. C x24x 4 0. D x25x 6 0.

Câu Phương trình nào sau đây có hai nghiệm âm phân biệt?

A x26x 9 0. B x24x 2 0. C x26x 3 0. D 2x28x170.

Câu Phương trình nào sau đây có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: x12x2?

A x27x100. B x28x150.

C x22x 2 0. D x21 3x 30.

Câu 10 Phương trình nào sau đây có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: x1x2 1?

A x22x 3 0. B x211x 3 0. C x26x 9 0. D x210x130.

Câu 11 Phương trình nào sau đây có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: 1 x1x2?

(81)

Câu 12 Điều kiện cần và đủ để phương trình: ax2bx c 0a b c, , R có hai nghiệm phân biệt trái dấu là:

A ac0. B ac0. C

0 a c     

. D

0 a c     

Câu 13 Điều kiện cần và đủ để phương trình: ax2bx c 0a b c, , R có hai nghiệm dương phân biệt là: A 0 0 a S P            B 0 0 a S P            C 0 0 a S P            D 0 0 a S P           

Câu 14 Điều kiện cần và đủ để phương trình: ax2bx c 0a b c, , R có hai nghiệm âm phân biệt là:

A 0 0 a S P            B 0 0 a S P            C 0 0 a S P            D 0 0 a S P           

Câu 15 Điều kiện cần và đủ để phương trình: f x ax2bx c 0a b c, , R có hai nghiệm một nghiệm lớn hơn m và một nghiệm nhỏ hơn m là:

A a f m  0. B a f m  0. C a f m  0. D a f m  0.

Câu 16 Điều kiện cần và đủ để phương trình: f x ax2bx c 0a b c, , R có hai nghiệm phân biệt

cùng nhỏ hơn m là:

A   0 a

a f m S m            B   0 a

a f m S m            C   0 a

a f m m S            D   0 a

a f m m S           

Câu 17 Điều kiện cần và đủ để phương trình:    

0 , ,

f x ax bx c a b cR có hai nghiệm phân biệt cùng lớn hơn m là:

A   0 a

a f m S m            B   0 a

a f m S m            C   0 a

a f m m S            D   0 a

a f m m S           

Câu 18 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình    

1

m x  m  x  có hai nghiệm trái dấu?

A m1. B m0. C m0. D m1

Câu 19 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2

x  xm  có hai nghiệm trái dấu.

A m2. B m1. C m1. D m2.

Câu 20 Phương trình

(m1)x 2(m1)xm20 có hai nghiệm trái dấu khi nào?

A  1 m3. B  1 m2. C  2 m1. D 1m2.

Câu 21 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m2x22m1x m  7 0 có hai nghiệm trái

(82)

A

2

m m

 

 

 B 2m7. C 2m7. D

7

m m

 

 



Câu 22 Phương trình x22mxm23m20 có hai nghiệm trái dấu khi A m1; 2. B m  ;1  2; .

C 2;

3

m   

 

. D 2;

m  

 

Câu 23 Phương trình ax2bx c 0a0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

A

0

P

   

 

. B

0 0 P S

   

    

. C

0 0 P S

   

    

. D

0

S

   

 

.

Câu 24 Giá trị nào của m làm cho phương trình mx22m1xm 1 0 có hai nghiệm phân biệt

dương?

A m1 và m0. B 0m1. C

0

m m

  

  



. D m0.

Câu 25 Với giá trị nào của m thì phương trình mx22m2x  m 0 có nghiệm dương phân biệt?

A 3 m 4. B m4. C

3

m m  



  

 . D m 0. Câu 26 Phương trình x22m1x9m 5 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi

A 5;1 6; 

m  

  B m  2;6. C m6;. D m  2;1.

Câu 27 Giá trị của m làm cho phương trình m2x22mx m  3 0 có 2 nghiệm dương phân biệt là

A m6 B m6 và m2. C 2m6 hoặc m 3. D m0 hoặc 2m6.

Câu 28 Tìm m để phương trình m1x22mx3m 2 0 có hai nghiệm dương phân biệt.

A m0;1m2. B 1m2. C m2. D

2

m

Câu 29 Phương trình x26xm 2 0 có hai nghiệm dương phân biệt khi

A 2m11. B 0m11. C 2m11. D 2m11.

Câu 30 Cho phương trình x22m2x m 2m 6 0. Tìm tất cả giá trị m để phương trình có hai nghiệm đối nhau?

A Khơng có giá trị m. B m 3 hoặc m2.

C  3 m2. D m2.

Câu 31 Cho phương trình x22mxm2 1 0 với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.

A  1 m0. B  1 m0. C m0 hoặcm 1. D m0hoặc m 1.

Câu 32 Cho phương trình m24x22m1x 1 0 với giá trị nào của m thì phương trình có hai

nghiệm trái dấu.

(83)

Câu 33 Cho phương trình

2

x  mx  với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

A  1 m0. B m1. C m0 hoặcm 1. D m0hoặc m 1.

2x mx 5 0 biết phương trình có nghiệm là 2. Tìm m

A

2

m B 13

2

m C

2

m D 13

2 m 

Câu 35 Giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình:    

1

x  m  x m   mR Khẳng định nào sau đây đúng?

A x x1, 2 0. B x x1, 20. C x10x2. D x1x2.

Câu 36 Giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình:    

2

x  m  x m   mR Khẳng định nào sau đây đúng?

A x x1, 20. B x x1, 2 0. C x10x2. D x1x2.

Câu 37 Giả sử x1x2 là hai nghiệm của phương trình:    

x  m  x m   mR Khẳng định nào sau đây đúng?

A x1x20. B x1 1 x2. C x1x21. D 1x1 x2.

Câu 38 Điều kiện cần và đủ để phương trình: f x ax2bx c 0a b c, , R có hai nghiệm nghiệm

phân biệt x x1, 2 thỏa mãn: x1  1 x2 là:

A  

 

a f a f        B    

1 a f f        C    

1 a f f       

. D    

a f a f       

Câu 39 Điều kiện cần và đủ để phương trình:    

0 , ,

f x ax bx c a b cR có hai nghiệm phân biệt

1,

x x thỏa mãn: x1 1 x23 là:

A  

 

a f a f        B    

1 a f f       

. C    

a f a f        D    

1 a f f       

Câu 40 Điều kiện cần và đủ để phương trình: f x ax2bx c 0a b c, , R có hai nghiệm phân biệt

1,

x x thỏa mãn: 1x1 3 x2 là:

A  

 

a f a f       

. B    

a f a f        C    

1 a f f        D    

1 a f f       

Câu 41 Có bao nhiêu giá trị của tham số mđể phương trình m2x22m21mx m  1 0 có hai nghiệm phân biệt và là hai số đối nhau?

A 0 B 1. C 3 D 2

Câu 42 Có bao nhiêu giá trị msao cho phương trình x22mx 4 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x12x x1 2x22 4?

A 2. B 0. C 4. D 1.

Câu 43 Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2m2xm2 1 0. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức P4x1x2x x1 2 bằng

A 95

9 B 11. C 7. D



(84)

Câu 44 Gọi m1;m2 là hai giá trị khác nhau của m để phương trình x23xm23m40 có hai

nghiệm phân biệt x1;x2 sao cho x12x2. Tính m1m2m m1 2.

A 4. B 3 C 5 D 6

Câu 45 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x22m1x3m 2 0 có hai nghiệm trái dấu x x1, 2 và thỏa mãn

1

3 x   x ?

A 1. B 2. C 0. D 3.

Câu 46 Cho phương trình x22m1x m 2 2 0, với m là tham số. Giá trị m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 sao cho A 2x12x2216 3 x x1 2

biểu thức đạt giá trị lớn nhất là một phân số tối giản có dạng aa b, ,b 0

b   Khi đó 2a3b bằng :

A 6. B 4. C 5. D 7.

Câu 47 Cho phương trình x22(m1)x2m 3 0 (mlà tham số) có hai nghiệm là x1và x2. Phương trình nào dưới đây có hai nghiệm là 3x1và 3x2?

A t26(m1)x9 2 m30.

B t26(m1)x9 2 m30.

C t26(m1)x6 2 m30.

D t26(m1)x6 2 m30.

Câu 48 Cho phương trình: (m1)x22(m2)xm 1 0, với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho Ax1x2x x1 2 là số một ngun?

A 3. B 4. C 5. D 6.

Câu 49 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm thực của phương trình x2mxm 1 0 (m là tham số). Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

 

1 2

2

x x P

x x x x

 

  

A min

P   B Pmin  2. C Pmin 0. D Pmin 1.

Câu 50 Tìm m để phương trình x2mxm2 3 0 có hai nghiệm

1

x ,x2 là độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng với cạnh huyền có độ dài bằng

A m 2. B m  3.

C m  2. D khơng có giá trị nào của m.

Câu 51 Cho phương trình x22m1xm23m0. Tìm

m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho thỏa x12x22 8.

A

7

m m

     

. B m 7. C m0. D m 1.

1

x mx  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho thỏa

1 x x 

A

5

m m

 

   

(85)

Câu 53 Cho phương trình x22m1xm220 Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho x13x322x x1 2x1x2.

A. m2 B

2

m C. m1 D. m 4 10

Câu 54 Cho phương trình  

2

x  m xm   Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho 4

1 16 64

x x  m  m

A m2. B

2

m C m1. D m 4 10

Câu 55 Cho phương trình 3x24m1xm24m 1 0 Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho  1 2

1

1 1 x x

x  x  

A. m1,m2 B. m1,m5 C. m1,m3 D. m1,m4

Câu 56 Cho phương trình x22m1xm2 3 0 Với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho x1x2 2x x1 2.

A

3

m m

  

 



. B

2

m m

  

 



. C

2

m m

  

 



. D

3

m m

  

 



.

Câu 57 Cho phương trình x22m1xm220 Với

mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho Ax x1 22x1x26 đạt giá trị nhỏ nhất.

A m2. B

2

m C. m1 D. m 4 10

Câu 58 Cho phương trình x22m1xm220 Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho B 2x12x2216 3 x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

A. m2 B

2

m C. m1 D. m 4 10

Câu 59 Cho phương trình x2mx m  1 0 Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm

1;

x x sao cho 2

1 2

2

2( 1)

x x A

x x x x

 

   tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

A. maxA1, min

A  B. maxA2, min

2 A 

C maxA1, min

A  D maxA1,min

2 A 

2

x  m xm   Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho  2

1 2

2

A x x x x đạt giá trị lớn nhất.

A

5

m B

5

m C

5

m D

5 m

(86)

DẠNG GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Phương pháp giải

- Nếu a0: trở về giải và biện luận phương trình bậc nhất bx+ c 0. - Nếu a¹0. Xét  b2-4ac.

Trường hợp 1.  >0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

b x

a

-  



Trường hợp 2.  0 phương trình có nghiệm kép

b x

a

 - Trường hợp 3.  <0 phương trình vơ nghiệm.

Câu Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số a) x2- +x m0.

b) m+1x2-2mx+m- 2 0.

Lời giải a) Ta có   -1 4m.

Với  >0 Û -1 4m>0 m

Û < thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1

2

m x  - Với  0 Û -1 4m0

4 m

Û  thì phương trình có nghiệm kép

x

Với  <0 Û -1 4m<0 m

Û > thì phương trình vơ nghiệm. Kết luận

1

m< thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1

2

m x  -

4

m thì phương trình có nghiệm kép

x

1

m> thì phương trình vơ nghiệm.

b) Với m+ 1 0 Ûm -1. Khi đó phương trình trở thành 2x- 3 0 x

Û 

Với m+ ¹1 0 Ûm¹ -1. Ta có   m2-m-2m+1m+2.

Khi  > 0Ûm> -2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

m m x

m

 +



+

Khi   0 Ûm -2 thì phương trình có nghiệm là x2. Khi  < 0 Ûm< -2 thì phương trình vơ nghiệm.

Kết luận:

Với m -1 thì phương trình có nghiệm

x

Với m -2 thì phương trình có nghiệm x2.

Với m> -2 và m¹ -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

m m x

m

 +



+

Chương

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

(87)

Với m< -2 thì phương trình vơ nghiệm.

Câu Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số a) m-2x2-2m+1x+m- 5 0.

b) 2m2+5m+2x2-4mx+ 2 0.

Lời giải

a) Với m- 2 0 Ûm2. Khi đó phương trình trở thành 6- x- 3 0 x

Û  -

Với m- ¹2 0 Ûm2. Ta có   m+12-m-2m-59m-1. Khi  < 0 Û9m-1<0 Ûm<1 thì phương trình vơ nghiệm.

Khi   0 Û9m-10 Ûm1 thì phương trình có nghiệm kép 2 m x

m

+

 

Khi  > 0 Û9m-1>0 Ûm>1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

2

m m

x

m

+ 

-

-

Kết luận:

Với m1 thì phương trình có nghiệm kép x -2. Với m2 thì phương trình có nghiệm

2 x - Với m<1 thì phương trình vơ nghiệm.

Với 1<m¹2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

m m

x

m

+ 

-

-

b) Với

2m +5m+ 2 0

2 m

Û  - hoặc m -2.

Khi m -2 thì phương trình trở thành 8x+20 x

Û  -

Khi

m - thì phương trình trở thành 2x+20 Û x -1.

Với 2m2+5m+ ¹2 0

2 m m

¹ -ì ï Û 

¹ -ï 

. Ta có  4m2-2 2 m2+5m+2  -2 5 m+2. Khi  >0 Û -2 5 m+2>0

5 m

Û < - thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

 

2

m m

x

m m

 - +



+ +

Khi  0 m

Û  - thì phương trình có nghiệm kép x -5.

Khi  <0 m

Û > - thì phương trình vơ nghiệm.

Kết luận: Với m -2 thì phương trình có nghiệm

x -

Với

m - thì phương trình có nghiệm x -1.

Với

(88)

Với

5

m< - và m¹ -2 và

m¹ - thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

 

2

m m

x

m m

 - +



+ +

Với

m> - thì phương trình vơ nghiệm.

Câu Cho phương trình m-2x2-2x+ -1 2m0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải Với m2, phương trình trở thành 3

2

x x

- -  Û  -

Do đó m2 là một giá trị cần tìm.

Với m¹2, phương trình đã cho là phương trình bậc hai có

  

1 m 2m 2m 5m



  - - -  - +

Phương trình có nghiệm duy nhất m



Û   Û  hoặc m1.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m 1 hoặc

m hoặc m2.

Câu Cho phương trình mx2+ +x m+ 1 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình. a) Có nghiệm kép.

b) Có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải a) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi

 

0

1

0 4

2 m m

a m

m

m m m m m

ì ¹ ì ¹ ì ¹ ì ¹

ï ï ï ï

Û Û Û Û 

   

- + 

  - +  

ï ï ï ï

 



Vậy

m thì phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

   2

0

1

0

2 m m

m a

m m m m

ì ì ¹ ì ¹ ì ¹

¹

ï ï ï ï

Û Û Û

   

- + >

 > - > ¹

ï ï ï ï

 



Vậy m¹0 và

m¹ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu Cho phương trình

2

(89)

b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

a) Với m -2 phương trình trở thành 2 2 2

x x x x x 

- + -  Û - +  Û 

Vậy với m -2 phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2

x 

b) Với m0 phương trình trở thành 1 0 Do đó phương trình vơ nghiệm Với m¹0 ta có   m2-m m +1 -m

Phương trình có nghiệm khi   Û - m Û0 m0. Kết hợp m¹0ta được m<0 Vậy để phương trình có nghiệm thì m<0

Câu Tùy thuộc vào giá trị của tham số m hãy tìm hồnh độ giao điểm của đường thẳng d y: 2x+m và Parabol  P :ym-1x2+2mx+3m-1.

Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng d và  P là

     

1 2 2

m- x + mx+ m-  x+mÛ m- x + m- x+ m- 

+) Với m1 thì phương trình trở thành 1 0 nên phương trình vơ nghiệm. Do đó d và  P khơng có điểm chung

+) Với m¹1  m-12-m-1 2 m-1 -m m -1

Khi  

0

1

0

1

0

1

m m

m m m

m m

m

m m

 -ì > ì <

 

 

- < <  <

 

 



 < Û - - < Û Û Û 

ì - < ì >  >

 

- > >

 

 

Thì phương trình vơ nghiệm nên d và  P khơng có điểm chung

Khi  1 0

1

m

m m m

m

  

  Û - -  Û Û 

 

(do m¹1 )

Thì phương trình có nghiệm kép x -1nên d và  P khơng có một điểm chung là M- -1; 2 Khi  > 0Û -m m -1>0Û <0 m<1

Thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 

m m

x

m

- - 

(90)

Câu Giải và biện luận phương trinh ax2-2a b x a+  + +2b0 với ,a b là tham số.

Lời giải Với m2, phương trình trở thành 3

2

x x

- -  Û  -

* Với a0 phương trình trở thành -2bx+2b Û0 bxb

+) Khi b0 thì phương trình trở thành 0x0. Do đó phương trình nghiệm đúng với mọi x * Với a0 phương trình trở thành -2bx+2b Û0 bxb

+) Khi b¹0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x1. * Với a¹0 Ta có  2  

2

a b a a b b



  + - +  

Khi   Û b0 thì phương trình có nghiệm kép x a b

a

+

 

Khi  > Û b¹0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x a b b a 2b

a a

+ + +

  và

1

a b b

x

a

+

- 

* Kết luận:

Với a b 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x. Với a0 và b¹0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x1. Với a¹0 và b0 thì phương trình có nghiệm kép x1.

Với a¹0 và b¹0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x a b b a 2b

a a

+ + +

  và

1

a b b

x

a

+

- 

Câu Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình   

2

x - mx+m- x - x+ m   * có bốn nghiệm phân biệt.

Lời giải Phương trình tương đương với  

 

2

2 0 0

x mx m

x x m

 - + - 



- + 



.

Phương trình  * có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai phương trình  1 và  2 mỗi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt và chúng khơng có nghiệm chung.

Ta có

2

1

' 0,

2

m m m  m

  - +  -  + >  

  .

(91)

2 8m

  - Để  2 có hai nghiệm phân biệt khi 2

m

 > Û <

Giả sử hai phương trình  1 và  2 có nghiệm chung là x0 thì

0 0

2

3

x mx m x x m

ì - + - 

ï 

- + 

ï 

 

2 0

0 0 0 0

3

3 2

2

x x

x x x x - x x x x

 - - + -  Û - + -  Û 

Với x02 suy ra m1.

Khi m1, phương trình  1 trở thành 2 0 x

x x

x

 

-  Û 

 

;

phương trình  2 trở thành 2 x

x x

x

 

- +  Û 

 

. Do đó m1 thì hai phương trình có nghiệm chung.

Suy ra để hai phương trình  1 và  2 khơng có nghiệm chung là m¹1. Vậy để phương trình  * có bốn nghiệm phân biệt thì 1

8

m

¹ <

CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu Tìm m để phương trình x2-3mx+(2m2-m-1)0 có nghiệm kép

A m -5. B m -2. C m -4. D m -3. Lời giải

Chọn. B

Ta có  9m2-4 2 m2-m-19m2-8m2+4m+4(m+2)2 Phương trình có nghiệm kép  (m+2)2 0m -2. Câu Tìm m để phương trình mx2-2mx m+ + 1 0 có nghiệm.

A m<0. B m0. C m0. D m>0. Lời giải

Chọn. B

Với m0 ta thấy phương trình vơ nghiệm.

Với m¹0 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  ' m2-m m +10Ûm<0. Câu Tìm m để phương trình mx2-2(m-2)x m+ - 3 0 có nghiệm duy nhất.

A m0. B m4. C 0¹m4. D m4 hoặc m0 Lời giải

Chọn. D

Nếu 3

4

m  x-  Ûx Phương trình có 1 nghiệm Nếu m¹0Phương trình có nghiệm duy nhất khi

m 22 (m 3) m m m



  - - -  - +  Û 

Vậy m4 hoặc m0 thì thỏa mãn điều kiện bài tốn.

(92)

A m0. B m1. C m2. D m3

Lời giải Chọn. A

Ta có  ' m+12-2m- 1 m2

Phương trình có nghiệm kép Û  ' 0Ûm0 hay 17

4

8

m -m- ¹ Ûm¹ 

Vậy vớim0 thì phương trình có nghiệm kép. Câu Phương trình x2-3x+m+ 1 0 ( ẩn x) có nghiệm khi và chỉ khi

A

m¹ B

4

m C

4

m - D

5

m

Lời giải Chọn B

Phương trình x2-3x+m+ 1 0 có nghiệm khi và chỉ khi 4 1

m m

  Û - +  Û 

Câu Tìm m để phương trình x2-2mx+(m2-m-1)0 vơ nghiệm.

A m> -1. B m> -2. C m< -1. D m< -2. Lời giải

Chọn. C

Ta có  ' m2-m2-m-1m+1

Để phương trình vơ nghiệmÛ  <' 0Ûm+ <1 0Ûm< -1. Vậy với m< -1 thì phương trình vơ nghiệm.

Câu Cho phương trình x2-3mx+(2m2-m-1)0 tìm m để phương trình vơ nghiệm.

A 0 m m

< 

 



. B m0. C m0. D m>0.

Lời giải Chọn. B

Với m0 ta thấy phương trình vơ nghiệm.

Với m¹0 thì phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi  ' m2-m m +1<0Ûm>0. Câu Tìm m để phương trình  

2 – –

x + m+ x m  vô nghiệm. A m>5 hoặc m< -1. B m< -5 hoặc m> -1.

C - <5 m< -1. D m1 hoặc m5. Lời giải Chọn. C

Với  ' m2+4m+ - -4  2m-1m2+6m+5.

Để phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi  ' m2+6m+ <5 0Û - <5 m< -1. Câu Tìm m để phương trình mx2– 2m+1x+m+ 1 0 vơ nghiệm.

A m0và m> -1. B m< -1.

C m0và m< -1. D m1 hoặc m0. Lời giải Chọn. B

Với m0ta có 1

x x

(93)

Với m¹0  ' m2+2m+ -1 m m +1m+1.

Để phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi ' m+ <1 0Ûm< -1. Câu 10 Cho phương trình (2m-7)x2+6x- 3 0 với giá trị nào của

m thì phương trình vơ nghiệm. A m>2. B

2

m< C m<2. D m<2. Lời giải

Chọn. B

Nếu 2 7

2

m-  Ûm  x-  Ûx Phương trình có 1 nghiệm. Nếu 2 7

2

m- ¹ Ûm¹ Phương trình vơ nghiệm khi.

3 ( 3)(2m 7) 6m 12 m



  - - -  - < Û <

So với điều kiện  m<2.

Câu 11 Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình  

2x - m-2 x+m- 4 0 có hai nghiệm phân biệt.

A m>6. B m<6. C m¹6. D m. Lời giải

Chọn C

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  >0

   

 

2

12 36 6

m m

Û - - - >

Û - + >

Û - >

Û ¹

.

Câu 12 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

2

x - +x m-  có nghiệm là A

4

m< B

4

m C

4

m> D

4

m

Lời giải Chọn D

 

2

x - +x m-  ;có a ¹1 0;  -1 4m-2 -9 4m.

 1 có nghiệm khi  0 Û9-4m0

4 m

Û  Vậy

m

Câu 13 Cho phương trình bậc hai:  

2

x - m+ x+ m -m+  , với m là tham số. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A Phương trình ln vơ nghiệm với mọi m.

B Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m. C Phương trình có duy nhất một nghiệm với mọi m. D Tồn tại một giá trị m để phương trình có nghiệm kép.

Lời giải Chọn A

Ta có   m+12-2m2-m+8

2

2 19

3

2

m m m 

 - + -  - -  - <

  với mọi m

(94)

Câu 14 Cho phương trình m-3x2-2m-3x+ -1 m0  1 Có bao nhiêu giá trị ngun của tham

số m để phương trình  1 vơ nghiệm?

A 1. B 2 C 0. D 3. Lời giải

Chọn A

Trường hợp 1: m3.

Phương trình  1 trở thành: - 2 0 (vơ lý). Vậy m3phương trình  1 vơ nghiệm. Trường hợp 1: m¹3. Phương trình  1 là phương trình bậc hai.

Phương trình  1 vô nghiệm khi và chỉ khi   m-32-m-3 1 -m<0

m 3m m

Û - - - + < Ûm-3 2 m-4<0Û 2<m<3. Vì m nên trường hợp này khơng có mthỏa mãn.

Vậy có 1 số ngun m3 thỏa mãn phương trình  1 vơ nghiệm. Câu 15 Phương trình mx2-(2m+3)x m+ - 4 0 vơ nghiệm khi:

A 28

m> B

28

m< - C m0. D m0.

Xét trường hợp m0. Khi đó PT đã cho có dạng 4

x x

- -  Û  - (Không thoả mãn yêu

cầu bài tốn).

Xét trường hợp m¹0 :

PT vơ nghiệm Û  (2m+3)2-4m m -4<0 28 9 0

28

m m

Û + < Û < -

Câu 16 Tìm m để phương trình  

2 1

mx - m+ x+m+  vô nghiệm.

A m< -1. B

0 m m

 

 



. C m0 và m< -1. D m0 và m> -1.

 TH1: m0

Phương trình cho trở thành: 1

x x

- +  Û   Loại m0.

TH2: m¹0. Ta có   m+12-m m +1m+1

Để phương trình cho vơ nghiệm Û  < 0Ûm+ <1 0Ûm< -1 (thỏa mãn m¹0). Kết luận: m< -1.

Câu 17 Cho phương trình mx2+ +x m+ 1 0 với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

A m¹1và

2

m¹ B m¹0 và m¹1.

C m¹1và

2

m¹ D m¹0 hoặc

2

(95)

Chọn. D

Với m0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x+ 1 0 suy ra m0 khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.

Với m¹0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

   2

0 4

2

m m m m m m

 > Û - + > Û - + > Û - > Û ¹

Vậy m¹0 và

2

m¹ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 18 Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình x2-m+3x+2m+20 có đúng một nghiệm thuộc -;3 là

A -; 2 1 B   1  2;+. C  1 2;+. D 2;+. Lời giải

Chọn B

Ta có  3 2  ;3

x x m x m

x m

   -

- + + +  Û 

 +



.

Do đó, phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc -;3 khi và chỉ khi

1

m m

+  

 

Û  + >  >

 

.

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m là   1  2;+. Câu 19 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

2

x - x- -m có nghiệm x0; 4. A m - ;5. B m - - 4; 3. C m - 4;5. D m3;+

Lời giải: Chọn C

Cách 1: Phương trình có nghiệm khi   4+m0Ûm -4  1 Khi đó, phương trình có nghiệm x1 -1 4+m, x2 +1 4+m.

Để phương trình có nghiệm x0; 4 thì

0

x x

 



  



4

0 4

5

0 4 4

4

m m

m m m

m m

m m m

m

ìï +  

  - +  ï +  -  +   

-Û Û Û Û Û 

 ì

 + +  +  

  +  - 

 ï 

 

+ 

ï  

.

(96)

Cách 2: Phương trình đã cho tương đương m x2-2x-3.

Đặt y f x x2-2x-3.

Ta có đồ thị hàm số y f x  như sau:

Dựa vào đồ thị. Để phương trình y f x  x2-2x- 3 m có nghiệm x0; 4 thì 4- m5. Câu 20 Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trìnhx2-4x+ +6 3m0 có đúng hai nghiệm thuộc

đoạn  1;5 ? A

3 m

-   - B

3 m

-  < -

C 11

3 m

-   - D 11

3 m

-  

-Hướng dẫn giải. Chọn B

Pt: x2-4x+ +6 3m0Ûx2-4x+  -6 m Xét hàm f x x2-4x+6 trên đoạn

 1;5 :

Ghichú: Đây là parabol nên học sinh lớp 10 lập bảng được mà khơng cần tới đạo hàm. Để phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn  1;5 thì: 2 3

3

m m

< -  Û -  < -

DẠNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG A Phương pháp giải

a) Định lí Vi-ét. Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx c+ 0 khi và

chỉ khi thỏa mãn hệ thức:

1

1 2

b

x x

a c x x

a

ì

+ 

-ï ï 

ï 

ï 

.

b) Ứng dụng

Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

O x

y

5

4

-1

(97)

Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f x ax2+bx+c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f x a x -x1x-x2.

Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2+Sx+P0 1

Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình bậc hai ax2+bx c+ 0  1 , kí hiệu S b a

 - , P c a

 Khi đó - Phương trình  1 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P<0.

- Phương trình  1 có hai nghiệm dương khi và chỉ khi 0 P S

  ì ï

>  ï > 

.

- Phương trình  1 có hai nghiệm âm khi và chỉ khi 0 P S

  ì ï

>  ï < 

.

So sánh nghiệm

1. Xét dấu các nghiệm của phương trình      

, ,

f x ax +bx+c a b cR :

Phương trình  1 có hai nghiệm x1<0<x2Ûac<0.

0 0

0 a

x x

S P

¹ ì ï > ï < < Û 

> ï ï > 

.

0 0

0 a

x x

S P

¹ ì ï > ï < < Û 

< ï ï > 

.

Phương trình  1 có hai nghiệm 0 1 2  0 0

f x x

S

 ì ï

 < Û 

> ï 

.

Phương trình  1 có hai nghiệm 1 2  0 0

f x x

S

 ì ï

<  Û 

< ï 

.

0

0 a

x x

S

¹ ì ï <  Û  

ï > 

.

0

0 a

x x

S

¹ ì ï  < Û  

ï < 

.

(98)

0

2 a

x x a f

S

 



¹ ì ï > ï ï

< < Û > ï

ï < ï 

.

0

2 a

x x a f

S

 



¹ ì ï > ï ï

< < Û > ï

ï < ï 

.

 

1

0

2 f

x x S

 



 ì

ï  < Û 

< ï 

.

 

1

0

2 f

x x S

 



 ì

ï <  Û 

< ï 

.

0

2 a

x x

S



ì ï ¹ ï <  Û  

ï ï < 

.

0

2 a

x x

S



ì ï ¹ ï  < Û  

ï ï < 

.

Câu Khơng giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm a)

13 40

x - x+ 

b)

5x +7x+ 1 0. c)

3x +5x- 1 0.

a) Ta có

1 40 13 c

P x x

a b

S x x

a

ì

   >

ï ï 

-ï  +   >

ï 

(99)

b) Ta có

1

5

0 c

P x x

a b

S x x

a

ì

   >

ï ï 

-

-ï  +   <

ï 

Vì P>0 nên hai nghiệm x x1, 2 cùng dấu và S<0 nên hai nghiệm cùng dấu âm.

c) Ta có 1 2 c

P x x

a

-   < nên hai nghiệm x x1, 2 trái dấu.

Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f x 3x2-14x+8.

b) g x  -x4+5x2-4. c) P x y ; 6x2-11xy+3y2.

d) Q x y ; 2x2-2y2-3xy+ -x 2y.

Lời giải a) Phương trình 3 14 8 0

3

x - x+  Û x hoặc x4.

Suy ra    4 3 2 4

f x  x-  x-  x- x

- 

.

b) Phương trình  

2

4 2

2

1

5

4

x

x x x x

x

 

- + -  Û - + -  Û 

 

.

Suy ra          

1 1 2

g x  - x - x -  - x- x+ x- x+

c) Ta coi phương trình 6x2-11xy+3y20 là phương trình bậc hai ẩn x.

Ta có 11 2 4 18 49 0

x y y y

  -   

Suy ra phương trình có nghiệm là 11 3 12

2 y x

y y

x

y x

   

 Û 

  

.

Do đó  ,  3 2 

3

y y

P x y  x-   x-  x-y x- y

   

.

d) Ta có 2x2-2y2-3xy+ -x 2y Û0 2x2+1 3- y x -2y2-2y0. Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn x và có

 2    2

1 2 25 10

x y y y y y y

(100)

Suy ra phương trình có nghiệm là  

2

3

1

2

x y y y

x y

x

 

-  + 

 Û

-  

.

Do đó  ,  2   2 1

y

Q x y  x- y x -  x- y x+y+

 

.

Câu Phân tích đa thức f x x4-2mx2- +x m2-m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x. Lời giải

Ta có 2  

2

x - mx - +x m -m Ûm - x + m+x -x

Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m và có

2 12 4  4 4 1 2 12 0

m x x x x x x

  + - -  + +  + 

Suy ra  

2

2 2

1

0

2 2

x x

m x x

f x

x x

m x x

 + + +

  + +

 

 Û

+ -

-

 

-

.

Do đó     

f x  m-x - -x m-x +x

Câu Cho phương trình 2x2-mx+ 5 0, với m là tham số. Biết phương trình có một nghiệm là 2, tìm m và tìm nghiệm cịn lại.

Vì x2 là nghiệm của phương trình nên 8 13

m m

- +  Û 

Theo hệ thức Vi-ét ta có 1 2

x x  mà x12 nên 2

x 

Vậy 13

m và nghiệm còn lại là 5 4.

Câu Cho phương trình x2 2- (m+1)x m+ 2 0-  , với mlà tham số.Tìm mđể phương trình có hai nghiệm dương.

• Phương trình có hai nghiệm dương

2

1 ' 2

1

2 1

2

1 1

1 m m

S m m m

P m m

m

ì ï  -ï

ì  + 

ï ï

Û  + > Û > - Û >

ï ï

 - >

 ï <

-ï >  

• Vậy với m>1thì thỏa bài tốn.

(101)

Lời giải + Bài toán Ûac<0Ûm2- <4 0Ûm - 2; 2. + Kết luận: m - 2; 2.

Câu Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:      

1 2

m- x + m+ x+m+ 

Lời giải + Bài toán Ûac<0Ûm-1m+3<0Ûm - 3;1.

+ Kết luận: m - 3;1.

Câu Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

   

2 2 6 2 3 0 3

x - m+ x+m - m- 

+ Bài toán    

   

2 2

2 0

6

0 39

; 3;

0 2 6 0 14

0 2 3 0

a

m m m

m

S m

P m m

¹ ì ¹

ì

ï

ï > + - - - >

ï

ï  

Û Û Û  - -  +

> + >  

ï ï

ï > ï

  - - >

.

+ Kết luận: 39; 3;  14

m - -  +

 

Câu Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm âm phân biệt: mx2+2m+3x+m0  4 Lời giải

+ Bài toán

 

   

2 0

3

0

0;

2

0 0

0

0 m a

m m

S

m P

m

¹ ì ¹

ì ï

+ - >

ï > ï

ï ï

Û Û + Û  +

< - <

ï ï

ï > ï



ï > 

.

+ Kết luận: m0;+.

Câu 10 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:

   

2

2 5

x - m+ x+m - m

+ Bài toán  2    

2 0

25

0 ; 4;

14

0 4 0

a

m m m m

P m m

¹ ì ¹

ì

ï

ï ï  



Û  > Û + - - > Û  -  +

 

ï > ï

 ï - >

.

+ Kết luận: 25; 4;  14

m -  +

 

Câu 11 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:

     

2

m+ x + m+ x+m+ 

(102)

+ Bài toán  2  2

0

7

0 ;

2

0

0 m a

m m m

P m

m

ì

+ ¹

ï ¹

ì

ï

ï  



Û  > Û + - + > Û  - +

 

ï > ï +

 ï >

+ 

.

+ Kết luận: 7;

m - +

 .

Câu 12 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm âm:    

2

mx + m- x+m- 

Lời giải + TH1: m0 thì PTr có dạng:

x x

- -  Û  - Vậy m0 thỏa mãn. + TH2: m¹0.

Th1. PTr có hai nghiệm x1<0<x2Ûac<0Ûm m -4<0Ûm0; 4. Th2. PTr có hai nghiệm 1 2    

4 0

0 2 3

0

m f

x x m m

S

m

-  ì  ì

ï ï

<  Û Û - Û 

< - <

ï

 ï



.

Th3. PTr có nghiệm

   

 

2

1

3

0

0 2 3

0 0

m m m

x x m m

S

m

ì - - - 

  

ì ï

 < Û Û - Û 

<

 ï- <



.

+ Kết luận: 0; 4

m   ì 

 .

Câu 13 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm dương: m+3x2+2m+6x+m+ 3 0  8 Lời giải

+ TH1: m+ 3 0Ûm -3 thì PTr có dạng: 6x0Û x0. Vậy m0 khơng thỏa mãn. + TH2: m+ ¹3 0Ûm¹ -3.

Th1. PTr có hai nghiệm x1< <0 x2Ûac<0Ûm+32<0Ûm.

Th2. PTr có hai nghiệm 1 2     0

0 2 6

0

3 m f

x x m m

S

m

+  ì  ì

ï ï

 < Û Û + Û  

> - >

ï

 ï

+ 

.

   

 

2

1

6

0

0 2 6

0 0

3

m m

x x m m

S

m

ì + - + 

  

ì ï

<  Û Û + Û 

->

 ï- >

+ 

.

+ Kết luận:

2

m -

Câu 14 Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương:     3x -2 m+5 x+m -4m+150 Lời giải

+ Do a3¹0 nên bài tốn có các trường hợp:

Th1. PTr có hai nghiệm

1 15

(103)

Th2. PTr có hai nghiệm    

1

4 15 0

0 2 5

0

3

m m

f

x x m m

S

ì - + 

 ì

ï ï

 < Û Û + Û  

> ï >  ï  Th3. PTr có nghiệm       2

5 15

0

0 2 5

0 0

3

m m m

x x m m

S

ì + - - + 

  

ì ï

<  Û Û + Û 

->

 ï >

 Th4. PTr có nghiệm       2 2

5 15

0

2 5

0 0

3

0

4 15

m m m

m

x x S m

P

m m

ì + - - + >

ï   > ì ï + ï ï

< < Û > Û > Û >

-ï > ï

 ï - + >

ï 

.

+ Kết luận:

7

m -

Câu 15 Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm: m+1x2-2m-1x+m2+4m- 5  10 Lời giải

+ TH1: m+ 1 0Ûm -1 thì PTr có dạng: 4x- 8 0Ûx2. Vậy m -1 khơng thỏa mãn. + TH2: m+ ¹1 0Ûm¹ -1.

      

1 ; 1;1

x < <x Ûac< Û m+ m + m- < Ûm - -  -

Th2. PTr có hai nghiệm    

1

4 0

0 2 1

0

1

m m

f

x x m m

S m ì + -   ì ï ï

<  Û Û - Û  

< ï <  ï +  Th3. PTr có nghiệm        2

1

0

0 2 1

0 0

1

m m m m

x x m m

S m ì - - + + -     ì ï

 < Û Û - Û  

<

 ï <

+  Th4. PTr có nghiệm        2 2

0 1 1 4 5 0

0 2 1

0

1

0 4 5

0 m

a m m m m

m

x x m

S

m

P m m

m

+ ¹ ì ï ¹

ì ï - - + + - >

ï > ï

ï ï

-< < Û Û Û  

< <

ï ï +

ï > ï

 ï +

->

ï +



.

+ Kết luận: m - - ; 5  -1;1.

Câu 16 Tính

a) Cho phương trình x2- 5x+ 1 0. Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức

2

1 2 3 2 3x 5x x 3x A

x x x x

+ +



(104)

b) Cho phương trình 2x2-5x+ 1 0. Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức

1 2

Bx x +x x

Lời giải a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1+x2 5 và x x1 21. Do đó

2

1 2 3 2

2

1 2 2

1 2

2

3

3( )

=

( )

3( ) =

( )

3( 5) =

1 ( 5) 14

=

x x x x

A

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

+ +



+

+ +

- + + - 

 

+

- + - 

 

- - 

 

b) Ta có

1 2 1 2( 2)

Bx x +x x  x x x + x

Theo định lý Vi- ét, ta có 2

1 2

5

2

1

2

x x

x x x x

ì

ì + 

+  ï

ï

ï ï



 

ï  ï 

ï ï

 

Suy ra

1 2

( ) 2

2

x + x x +x + x x  + nên 1 2 2

x + x  +

Do đó

1 2

5 2

2

Bx x +x x  +  + Câu 17 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

a) mx2-2(m-1)x+3(m-2)0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x1+2x2 1.

b) x2-(2m+1)x m+ 2+ 2 0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 3x x1 2-5(x1+x2) 7+ 0. c)

3

x - x-m có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x12(1-x2)+x22(1-x1) 19. d) 3x2+4(m-1)x m+ 2-4m+ 1 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

1 2

1 1

( ) x x

x +x  +

Lời giải: a)

(105)

Nếu m¹0. Ta có  ' (m-1)2-m.3(m-2) -2m2+4m+1. Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi ' 6. ( )

2 m

- +

  Û   

Với điều kiện ( ) giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình. Từ u cầu bài tốn và áp dụng định lý Vi-ét ta có

1

2

1

2( 1)

2

m

x x m

x m

m

x x

-ì

+ 

-ï

 



ï + 



Thay x m m

- vào phương trình, ta được (m-2)(6m-4)0Ûm2 hoặc

m

Đối chiếu điều kiện ta được m2 hoặc

m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Ta có

2

(2m 1) 4(m 2) 4m

  + - +  -

Phương trình có hai nghiệm m

Û   Û 

Theo định lý Vi-ét, ta có

2

1

2

x x m x x m

ì  +

ï 

+  +

ï 

Ta có 1 2 1 2

4

3 5( ) 10

2 m

x x x x m m

m

  

- + +  Û - +  Û

  

Đối chiếu điều kiện ta được m2 thỏa mãn u cầu bài tốn. c)

Ta có   -9 4.1.(-m) +9 m

Phương trình có hai nghiệm

m

-Û   Û 

Theo định lý Vi-ét, ta có 2

3

x x x x m

+ 

ì 

 -

(106)

2 2 2

1 2 1 2 2 2 2 2

2

1 2

x (1 ) (1 ) 19 19

19 ( ) 19

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

- + -  Û - + - 

Û + - - 

Û + - + 

2

1 2 2

( ) ( ) 19 2( ) ( ).3 19

10

x x x x x x x x

m m

Û + - - + 

Û - - - - 

Û 

Đối chiếu điều kiện ta được m2 thỏa mãn u cầu bài tốn. d)

Ta có

2 2

' 4(m 1) 3(m 4m 1) m 4m

  - - - +  + +

Phương trình có hai nghiệm ' 3 m

m

 <

-Û   Û 

> - + 

Theo định lý Vi-ét, ta có 1 2 4( 1) m

x +x - - và

2

1

( 1)

m m

x x  - - +

Ta có

1 2

2

2 1

( )

2

4( 1) 4( 1)

3

2( 1)( 5)

3( 1) 2( 1)(

x x x x

x x

x x x x

m m

m m m

m m

m m m

+ +

+  + Û 

-

-Û - 

+

- -

-Û 

- +

- -

-Û

2

)

1

m m

m m m

m

ì 

ï 

- + ¹

ï 

 -    

ì ï Û 

¹  ï



Đối chiếu điều kiện ta được m1 hoặc m5 thỏa mãn u cầu bài tốn.

Câu 18 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thỏa mãn x1< - <1 x2:

     

2 10 11

m+ x - m+ x+ m- 

+ Bài toán Ûa f  -1 <0Ûm+2 8  m+8<0Ûm - - 2; 1.

+ Kết luận: m - - 2; 1.

Câu 19 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thỏa mãn x1<x2<1:

     

1 12

m+ x - m- x+m + m- 

(107)

+ Bài toán  

    

  

2 2

2 0

1

0

3 17 ;1

1 3 2 0

2

1 1

2 1

m a

m m m m

m

a f m m m

S m

m

+ ¹ ì ¹

ì

ï

ï > - - + + - >

ï

ï - + 

ï ï

Û > Û + + - > Û   

 

ï ï

ï < ï

-<

ï ï

  +

.

+ Kết luận: 17;1

m - + 

 

.

Câu 20 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thỏa mãn 2<x1<x2:

     

1 13

m+ x - m- x+m + m- 

+ Bài toán  

    

    

2

2 0

1

0

2;

1 4 3 0

1

2 2

2 1

m a

m m m m

m

a f m m m

S m

m

+ ¹ ì ¹

ì

ï

ï > - - + + - >

ï ï

Û > Û + + + > Û 

-ï ï

ï < ï

->

ï ï

  +

.

+ Kết luận: m - - 2; 1.

Câu 21 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm lớn hơn 1: mx2-2m+1x+20  14 Lời giải

+ TH1: m0 thì PTr có dạng: - +x 20Ûx2. Vậy m0 thỏa mãn. + TH2: m¹0.

       

1 1 ; 1; x < <x Ûaf < Ûm -m+ < Ûm -  +

Th2. PTr có hai nghiệm 1 2  

1

1 1

1

m f

x x m m

S

m

- + 

ì  ì

ï ï

 < Û Û + Û 

> >

ï

 ï

.

 2

1

2

0

1 2 1

1 1

m m

x x m m

S

m

ì + - 

 

ì ï

<  Û Û + Û 

> >

 ï



.

+ Kết luận:  ; 0 1; 

m - ì   +

 

Câu 22 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm nhỏ hơn 1: m+2x2-2mx- 1 0  15 Lời giải

+ TH1: m+20Ûm -2 thì PTr có dạng: 4 1

x-  Ûx Vậy m -2 thỏa mãn. + TH2: m+2¹0Ûm¹ -2.

        

(108)

Th2. PTr có hai nghiệm 1 2  

1

1 2

1

2 m f

x x m m

S

m

- + 

ì  ì

ï ï

<  Û Û Û 

< <

ï

 ï +

.

 

2

1

2 0

1 2

1

2

m m

x x m m

S

m

ì + + 

  

ì ï

 < Û Û Û  

< <

 ï

+ 

.

+ Kết luận: m - - ; 2  1;+.

Câu 23 Cho phương trình x2-(m-1)x m- 2+m- 2 0, với m là tham số.

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x x1, 2. Tìm m để biểu thức

3

2

x x A

x x

   

  + 

   

đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải: a) Xét

2

2 0,

2

ac -m +m-  -m-  - <  m

  

Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với mọi m b)

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x x1, 2. Theo câu a) thì x x1 2 ¹0, do đó A được xác định với mọi x x1, 2.

Do x x1, 2 trái dấu nên

2

0

x x

 

<

 

 

và

1

0,

x x

 

<

 

 

suy ra A<0.

Đặt

2

x

t x

 



- 

  với t>0, suy ra

3

1

x

x t

 



- 

 

Khi đó A t t

 - - mang giá trị âm nên A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi -A đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có A t 2, t

-  +  suy ra A -2.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

t t t

t

 Û   

Với t1 ta có

1

1 2

2

1 ( 1)

x x

x x x x m m

x x

 

 - Û  - Û  - Û +  Û - -  Û 

 

 

(109)

Câu 24 Cho phương trình 2x2+2mx m+ 2- 2 0, với m là tham số. Gọi x x1, 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 2x x1 2+x1+x2-4

Lời giải. Ta có

2 2

' m 2(m 2) m

  - -  - +

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

' m m

  - > Û - < <

Theo định lý Vi-ét, ta có x1+x2 -m và

2

1

2 m

x x  -

Khi đó

1 2

2

2 ( 2)( 3)

= ( 2)( 3) (do 2)

1 25 25

=

2 4

A x x x x m m

m m m

 + + -  +

+ - - < <

 

- + +  - -  + 

 

m

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 25, khi

1

m

Câu 25 Cho phương trình x2-mx m+ - 1 0, với m là tham số. Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình.

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1, 2 khơng phụ thuộc vào m b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biếu thức

2

1 2

2

2( 1) x x

A

x x x x

+ 

+ + +

Lời giải.

Ta có  m2-4(m-1)(m-2)20, với mọi m

Do đó phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1+x2m và x x1 2 m-1.

a) Thay mx1+x2 vào x x1 2m-1, ta được x x1 2x1+x2-1.

Vậy hệ thức liên hệ giữa x x1, 2 khơng phụ thuộc vào m là x x1 2x1+x2-1. b) Ta có

2 2 2

1 ( 2) 2 2( 1) 2

x +x  x +x - x x m - m- m - m+ Suy ra

1

2 2

1 2

2

2( 1)

x x m

A

x x x x m

+ +

 

+ + + +

Vì

2

2 2

2 2 ( 1)

1 0,

2 2

m m m m

A m

m m m

+ + - -

 -   -   

+ + + 

Suy ra A  1, m .

(110)

2

2 2

1 1 2(2 1) ( 2)

0,

2 2 2( 2) 2( 2)

m m m m

A m

m m m

+ + + + +

+  +     

+ + + 

Suy ra 1,

A -  m  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m -2.

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 22 m A

m

+ 

+ ta làm sau:

Xét

2

km m k

A k

m

- + - +

- 

+

Khi để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ tử số biểu thức

2

( ) 2

f m  -km + m- k +

phải biểu diễn dạng bình phương hay

2

1

0 (1 ) 2

1

m

k

k k k k

k

  -

  Û + -  Û - + +  Û

  

Câu 26 Cho phương trình x2-2(m-1)x+2m2-3m+ 1 0, với m là tham số. Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình, chứng minh rằng 1 2 1 2

8

x +x +x x 

Ta có      

2

' 2

1 1

m m m m m m m

  - - - +  - + 

-. Phương trình có hai nghiệm Û  ' 0Û0m1.

Theo định lý Vi-ét, ta có x1+x22m-1 và x x1 22m2-3m+1. Ta có

  2

1 2 2

x +x +x x  m- + m - m+  m -m-

2

2 1

2

2 16

m

m m 

 - -   - 

- 

Vì 0 1

4 4

m m

  Û -  -  , suy ra

2

1 9

0

4 16 16

m m

   

-  Û - - 

   

   

Do đó

2 2

1 2

1 9 9

2 2

4 16 16 8

x +x +x x  m-  -   -m-   - m-  

       

(111)

Câu 27 Cho phương trình x2-(2m+1)x m+ 2+ 1 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị mđể phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho biểu thức

1 x x P

x x



+ có giá trị là số nguyên.

Ta có    

2 2

2m m 4m

  + - + 

-.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt m

Û  > Û >

Theo định lý Vi-ét, ta có x1+x22m+1 và x x1 2 m2+1. Do đó

 

2

1

2 4

x x m m

P

x x m m

+

-   +

+ + +

Suy ra 4

P m

m

 - +

+ Do

3

m> nên 2m+ >1 1.

Để P thì 2m+1 là ước của 5, suy ra 2m+  Û1 m2. Thử lại với m2, ta được P1: thỏa mãn.

Vậy m2 là giá trị cần tìm thỏa mãn u cầu bài tốn.

Câu 28 Cho phương trình x2-2(m+1)x m+ 2+ 2 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho

a) x14-x24 16m2+64 m

b) Px x1 2-2(x1+x2) 6- đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải

Ta có  ' m+12-m2+22m-1.

Phương trình có hai nghiệm ' m

Û   Û    Theo định lý Vi-ét, ta có x1+x22m+2 và x x1 2m2+2. a) Ta có

    2

4 2 2

1 2 2 2 2

x -x  x +x x -x  x +x - x x  x -x x +x

 

Mà

 2  2  2  

1 2 2

x -x  x -x  x +x - x x  m+ - m +  m-

Suy ra

 2    

4 2

1 2 2 2 8 2

x -x  m+ - m +  m- m+  m + m m- m+

 

(112)

 

4 2

1 16 64 8 2 16 64

x -x  m + mÛ m + m m- m+  m + m

  

4 2

m m m m

Û + - + - 

2

4

8 2

m m

 + 

Û 

- + 



  2

4

8 2 64

m m

 

- 

Û 

 - + 



3

4

0

1 32 48 80

m m

m

m m

  -  

- 

Û  Û 



 + -   



Đối chiếu điều kiện   , ta chọn m1 thỏa mãn u cầu bài tốn. b) Ta có

     2

1 2 2 2 12 12

P x x - x +x - m + - m+ - m - m-  m- -  -

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m2 : thỏa mãn điều kiện   Vậy với m2 thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng -12. C Bài tập trắc nghiệm

CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ

Câu Cho phương trình: x2-3x+ 2 0 có hai nghiệm x1, x2. Biết rằng x11. Hỏi x2 bằng bao nhiêu? A 2. B 3 C 1. D 0

Theo định lí Viet x1 x2 b x1 x2 x2

a

+  - Û +   

Câu Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2-3x- 9 0. Chọn đáp án đúng.

A x x1 2+x1+x26. B x x1 2x1+x227. C x x1 2 9. D x1+x2 3. Lời giải

Chọn D

Theo Viét, ta có:

1

3

9

S x x

P x x

-ì

 +  - 

ï ï 

-ï   

-ï 

.

Vậy x1+x2 3.

Câu Phương trình -2x2+3x- 1 0 có tổng hai nghiệm bằng A không tồn tại. B

2

- C 3

4 D

(113)

Chọn D

Phương trình thỏa mãn a b c+ + 0 nên ln có 2 nghiệm

Theo định lý viet ta có tổng hai nghiệm bằng 3 2

- 

-

Câu Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình

2 13

x - x- 

A -22. B 4. C 30. D 28. Lời giải

Chọn C

Ta có   +' 1314 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lý viet ta có

1 2 13

x x

x x

+ 

ì 

 -

 2  

2 2

1 2 2 2 13 26 30

x +x  x +x - x x  - -  + 

Câu Gọi x1;x2 là các nghiệm của phương trình 4x2-7x- 1 0. Khi đó giá trị biểu thức M x12+x22

A 41

16. B

41

64. C

57

16. D

81 64. Lời giải

Chọn C

Theo định lí Vi-ét ta có:

1

4

x x

x x

ì

+ 

ï ï 

ï 

-ï 

; 2

1

M x +x x1+x22-2 x x1 2

7 57

2

4 16

   

  - - 

   

Câu Phương trình nào sau đây có hai nghiệm trái dấu?

A 5x2+4x-11 0 B 2x2-8x+ 1 0. C x2+4x+ 6 0. D x2-6x+ 9 0. Lời giải

Chọn. A

Tam thức bậc hai  

f x ax +bx+c có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac<0. Câu Phương trình nào sau đây có hai nghiệm dương phân biệt?

A x2+4x- 7 0. B 2x2-5x+ 2 0. C x2-4x+ 4 0. D x2+5x+ 6 0. Lời giải

Chọn. B

Phương trình

0

ax +bx c+  a¹0 có hai nghiệm 1 2

0 0

0 a

x x

S P

¹ ì ï > ï < < Û 

> ï ï > 

.

Câu Phương trình nào sau đây có hai nghiệm âm phân biệt?

A x2+6x+ 9 0. B x2+4x+ 2 0. C x2-6x+ 3 0. D 2x2-8x+170. Lời giải

(114)

Phương trình ax2+bx c+ 0 a¹0 có hai nghiệm 1 2

0 0 0 a x x S P ¹ ì ï > ï < < Û 

< ï ï > 

.

Câu Phương trình nào sau đây có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: x1<2<x2? A x2-7x+100. B x2-8x+150.

C x2-2x- 2 0. D x2-1- 3x- 30. Lời giải Chọn. C

Phương trình ax2+bx c+ 0 a¹0 có hai nghiệm x1<2<x2 Ûaf  2 <0. Câu 10 Phương trình nào sau đây có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: x1<x2< -1?

A x2-2x- 3 0. B x2+11x- 3 0. C x2+6x+ 9 0. D x2+10x+130. Lời giải

Chọn. D

Phương trình ax2+bx c+ 0 a¹0có hai nghiệm

 

1

0

a x x a f S ¹ ì ï > ï < < - Û 

- > ï

ï < -

.

Câu 11 Phương trình nào sau đây có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: 1< x1<x2?

A x2-6x+ 7 0. B 2x2-8x- 1 0. C 2x2-5x+ 2 0. D x2-8x+160. Lời giải

Chọn. A

 

1

0

a x x a f S ¹ ì ï > ï < < Û 

> ï

ï > 

.

Câu 12 Điều kiện cần và đủ để phương trình: ax2+bx c+ 0a b c, , R có hai nghiệm phân biệt trái dấu là:

A ac>0. B ac<0. C 0 a c < ì  > 

. D

0 a c > ì  <  Lời giải

Chọn. B

Tam thức bậc hai f x ax2+bx+c có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac<0. Câu 13 Điều kiện cần và đủ để phương trình:  

0 , ,

ax +bx+ c a b cR có hai nghiệm dương phân biệt

(115)

Lời giải Chọn. C

Phương trình ax2+bx c+ 0 a¹0 có hai nghiệm 1 2

0 0 0 a x x S P ¹ ì ï > ï < < Û 

> ï ï > 

.

Câu 14 Điều kiện cần và đủ để phương trình:   , ,

ax +bx+ c a b cR có hai nghiệm âm phân biệt là:

A 0 0 a S P ¹ ì ï > ï  < ï ï   B 0 0 a S P ¹ ì ï > ï   ï ï >  C 0 0 a S P ¹ ì ï  ï  < ï ï >  D 0 0 a S P ¹ ì ï > ï  < ï ï > 

Lời giải Chọn. D

Phương trình ax2+bx c+ 0

a¹0 có hai nghiệm 1 2

0 0 0 a x x S P ¹ ì ï > ï < < Û 

< ï ï > 

.

Câu 15 Điều kiện cần và đủ để phương trình: f x ax2+bx+ c 0a b c, , R có hai nghiệm một nghiệm lớn hơn m và một nghiệm nhỏ hơn m là:

A a f m  <0. B a f m  >0. C a f m  0. D a f m  0. Lời giải

Chọn. A Phương trình

0

ax +bx c+  a¹0 có hai nghiệm x1<m<x2Ûaf m <0.

Câu 16 Điều kiện cần và đủ để phương trình: f x ax2+bx+ c 0a b c, , R có hai nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn m là:

A   0 a

a f m

S m

¹ ì ï > ï  > ï ï <  B   0 a

a f m

S m ¹ ì ï  ï  > ï ï <  C   0 a

a f m

m S

¹ ì ï > ï  > ï ï <  D   0 a

a f m

m S ¹ ì ï  ï  > ï ï < 

Phương trình

0

ax +bx c+  a¹0có hai nghiệm  

  0 0 2 a a

x x m a f m

a f m S S m m ¹ ì ¹ ì ï >

ï

ï  >

ï ï

< < Û > Û

>

ï ï

ï < ï < ï



.

(116)

A

 

0

2 a

a f m

S m

¹ ì ï  ï 

> ï

ï < 

. B

 

0

2 a

a f m

S m

¹ ì ï > ï 

> ï

ï < 

. C

 

0

2 a

a f m

m S

¹ ì ï  ï 

> ï

ï < 

. D

 

0

2 a

a f m

m S

¹ ì ï > ï 

> ï

ï < 

.

Lời giải Chọn. D

 

1

0

2 a

m x x

a f m

S m

¹ ì ï > ï < < Û 

> ï

ï > 

.

Câu 18 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m-1x2-m2+1x- 3 0 có hai nghiệm trái dấu?

A m>1. B m>0. C m<0. D m<1 Lời giải

Chọn A

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì:

 

3 m m m

- - < Û - > Û >

Câu 19 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2-2x+m- 1 0 có hai nghiệm trái dấu. A m2. B m<1. C m1. D m<2.

Xét phương trình

2

x - x+m-   1

Phương trình  1 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: ac<0Û1.m-1<0Ûm<1. Câu 20 Phương trình

(m+1)x -2(m-1)x+m-20 có hai nghiệm trái dấu khi nào?

A - <1 m<3. B - <1 m<2. C - <2 m<1. D 1<m<2. Lời giải

Chọn B

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac<0Û(m+1)(m-2)<0Û - <1 m<2.

Câu 21 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m-2x2-2m-1x m+ - 7 0 có hai nghiệm trái dấu.

A m m

   <

 B 2m7. C 2<m<7. D

7 m m

>   <



Lời giải Chọn C

Phương trình có hai nghiệm trái dấu Ûac< Û0 m-2m-7< Û <0 m<7. Câu 22 Phương trình x2-2mx+m2-3m+20 có hai nghiệm trái dấu khi

A m1; 2. B m - ;1  2;+ .

C 2; m +  

 

. D 2; m + 

 

(117)

Chọn. A

Pt 2

2

x - mx+m - m+  có 2 nghiệm trái dấu khi

3 2

m - m+ < Û <m< Nên chon đáp án. A.

Câu 23 Phương trình ax2+bx c+ 0a¹0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

A 0 P  > ì  >  B 0 P S  > ì ï >  ï >  C 0 P S  > ì ï >  ï < 

. D

0 S  > ì  < 

Lời giải Chọn C.

Câu 24 Giá trị nào của m làm cho phương trình mx2-2m-1x+m- 1 0 có hai nghiệm phân biệt dương?

A m<1 và m¹0. B 0<m<1. C

0

m m

< -

 < < 

. D m<0. Lời giải

Chọn D

Ta có mx2-2m-1x+m- 1 0có hai nghiệm phân biệt dương

0 0 m S P ¹ ì ï  > ï Û  > ï ï >       

1

2

0

m

m m m m m m m ¹ ì ï

- - - >

ï

-Û  >

ï ï -ï >  0 1 m m m m m m m ¹ ì ï - < ï

Û Û <

<  > ï

ï <  > 

.

Câu 25 Với giá trị nào của m thì phương trình mx22m2x  m 0 có nghiệm dương phân biệt?

A 3 m 4. B m4. C

3 m m      

 . D m 0.

Lời giải Chọn C

Phương trình mx22m2x  m 0 có nghiệm dương phân biệt khi và chỉ

khi:                   0

2

4

2 ; 0 3; 4

0 ; 0 2;

; 3;

0 m

m

m m m

m m m m m m m m                                                       

(118)

A 5;1 6; 

9

m  +

  B m - 2;6. C m6;+. D m - 2;1.

Phương trình x2+2m+1x+9m- 5 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

0 0 S P   > ì ï <  ï >        2

1

2 1

5

9

m

m m m m m

m m m

m

m m

ì >

ì ï

ì + - - > ï - + > <

 ï

ï ï

Û - + < Û > - Û >

-ï - > ï ï

ï ï > ï >

  ï m m >   Û

 < < 

.

Vậy 5;1 6; 

m  +

 

Câu 27 Giá trị của m làm cho phương trình m-2x2-2mx m+ + 3 0 có 2 nghiệm dương phân biệt là A m>6 B m<6 và m¹2. C 2<m<6 hoặc m< -3. D m<0 hoặc

2<m<6.

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì: m-2¹0

m2-(m-2)(m+3)>0

m+3

m-2>0 2m m-2>0 ì  ï ï ï ï  ï ï ï ï Û

m¹2

m>6

m< -3

m>2 

 

m>2

m<0    ì  ï ï ï ï  ï ï ï ï

Ûm>6

.

Câu 28 Tìm m để phương trình m-1x2-2mx+3m- 2 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A m<0;1<m<2. B 1<m<2. C m>2. D

2 m< Lời giải

Chọn B

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi

  

2

1 1

2

1 1 3 2 0 2 5 2 0

0 2 2

1

0

0 1 1

0 3 2

0 1 m m m

m m m m m m

m m

S m m m

P m m

m m m m ì ï ¹ ¹

ì ì ï < <

ï ï

- ¹ ï

ì - - - > - + - >

ï ï ï

ï  > ï  <

ï ï ï

Û Û Û Û < <

 >  >  >  >



-ï ï ï ï

ï > ï - ï - ï

 > 

>

ï ï ï <

-

- ï

ï > 

.

Câu 29 Phương trình x2-6x+m- 2 0 có hai nghiệm dương phân biệt khi

(119)

ĐK: phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là: /

/

9 11

0 6 11

2

0

m m

b

S S m

a

P m m

c P

a

ì ï >

ì  - + > ì < ï

ï

ï ï

 - > Û  > Û > Û < <

  

ï ï  - > ï >

 

ï

 > ï



Vậy đáp án là. A.

Câu 30 Cho phương trình x2-2m-2x m+ 2+m+ 6 0. Tìm tất cả giá trị m để phương trình có hai nghiệm đối nhau?

A Khơng có giá trị m. B m< -3 hoặc m>2. C - <3 m<2. D m2.

Phương trình x2-2m-2x m+ 2+m+ 6 0có hai nghiệm đối nhau Û phương trình có hai nghiệm trái dấu x x1, 2 và x1+x20

2 6 0

2

m m

ì + + <

Û Û  

-  

.

Câu 31 Cho phương trình 2

2

x - mx m+ -  với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.

A - 1 m0. B - <1 m<0. C m<0 hoặcm> -1. D m0hoặc m -1. Lời giải

Chọn. B

Ta có:   m2-m2+ 1 1

Để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt

2 '

1

0 1

0

m

P m m

m

S m

 ì  > ì

- < < ì

ï ï

Û > Û - > Û Û - < <

<  ï < ï <

 

.

Câu 32 Cho phương trình    

4 1

m - x - m+ x-  với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

A - <2 m<2. B - 2 m2. C m< -2 hoặcm>2. D m2hoặc m -2. Lời giải

Chọn. C

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu . 0  4   1 4 0 . m

a c m m

m

> 

Û < Û - -  - < Û 

< -

.

2

x - mx+  với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

A - 1 m0. B m>1. C m<0 hoặcm> -1. D m0hoặc m -1. Lời giải

(120)

Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

2

'

0

m

S m m

P

ì

 > - >

ì

ï ï

Û > Û > Û > ï > ï >

 

.

Câu 34 Cho phương trình 2x2-mx+ 5 0 biết phương trình có nghiệm là 2. Tìm m

A

2

m B 13

2

m C

2

m D 13

2

m - Lời giải

Chọn. B

Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có 1 2

2

x x  Giả sử x12 suy ra 2

4

x 

Mặt khác 1 2 13

2 2

m

x +x   +  mm Vậy 13

2

m và nghiệm còn lại là 5

2.

Câu 35 Giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình: x2-m2+1x m+ 2+ 4 0mR. Khẳng định nào sau đây đúng?

A x x1, 2>0. B x x1, 2<0. C x1<0< x2. D x1x2. Lời giải

Chọn. A

Với điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2, ta có

2

1

4

S m P m

ì  + >

ï 

 + >

ï 

. Do đó, phương trình x2-m2+1x m+ 2+ 4 0mRcó hai nghiệm dương.

Câu 36 Giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình: x2+2m2-1x m- 2- 5 0mR. Khẳng định nào sau đây đúng?

A x x1, 2<0. B x x1, 2>0. C x1<0< x2. D x1x2. Lời giải

Chọn. C

Với điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2, ta có 5 0,

ac -m - <  m . Do đó, phương trình x2+2m2-1x m- 2- 5 0mRcó hai nghiệm trái dấu.

Câu 37 Giả sử x1<x2 là hai nghiệm của phương trình:    

1

x + m - x- m -  mR Khẳng định nào sau đây đúng?

A x1<x2<0. B x1< <1 x2. C x1<x2<1. D 1<x1<x2. Lời giải

Chọn. B

Với điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2, ta có

  2

1.f  +1 m - -1 2m -  -3 m - <3 0, m .

(121)

Câu 38 Điều kiện cần và đủ để phương trình: f x ax2+bx+ c 0a b c, , R có hai nghiệm nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn: x1< < <1 x2 là:

A  

 

a f a f > ì ï  > ï  B    

1

a f f ¹ ì ï  > ï  C    

1

a f f ¹ ì ï  < ï 

. D  

 

a f a f < ì ï  < ï  Lời giải

Chọn. D

Phương trình ax2+bx c+ 0 có hai nghiệm x1< < <1 x2  

 

a f a f < ì ï Û  < ï 

Câu 39 Điều kiện cần và đủ để phương trình: f x ax2+bx+ c 0a b c, , R có hai nghiệm phân biệt 1,

x x thỏa mãn: x1< <1 x2<3 là:

A  

 

a f a f < ì ï  > ï  B    

1

a f f ¹ ì ï  < ï 

. C  

 

a f a f < ì ï  > ï  D    

1

a f f ¹ ì ï  > ï  Lời giải

Chọn. C

Phương trình:     , ,

f x ax +bx c+  a b cR có hai nghiệm một nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn: x1< <1 x2Ûaf  1 <0.  1

Phương trình:     , ,

f x ax +bx+ c a b cR có hai nghiệm một nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa

mãn:   0

a x x a f S ¹ ì ï > ï < < Û 

> ï

ï < 

.  2

Từ    1 , , ta suy ra phương trình: f x ax2+bx c+ 0a b c, , R có hai nghiệm một nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn: x1< <1 x2<3 khi và chỉ khi  

 

a f a f < ì ï  > ï  .

Câu 40 Điều kiện cần và đủ để phương trình: f x ax2+bx+ c 0a b c, , R có hai nghiệm phân biệt 1,

x x thỏa mãn: 1<x1< <3 x2 là:

A  

 

a f a f > ì ï  < ï 

. B  

 

a f a f < ì ï  > ï  C    

1

a f f ¹ ì ï  < ï  D    

1

a f f ¹ ì ï  > ï  Lời giải

Chọn. B

Phương trình: f x ax2+bx c+ 0a b c, , R có hai nghiệm một nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn: x1< <3 x2Ûaf  3 <0.  1

Phương trình: f x ax2+bx+ c 0a b c, , R có hai nghiệm một nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa

mãn:   0

a x x a f S ¹ ì ï > ï < < Û 

> ï

ï > 

(122)

Từ    1 , , ta suy ra phương trình: f x ax2+bx+ c 0a b c, , R có hai nghiệm một nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn: 1<x1< <3 x2 khi và chỉ khi  

 

a f a f

< ì

ï 

> ï



.

CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 41 Có bao nhiêu giá trị của tham số mđể phương trình m+2x2-2m2-1mx m+ - 1 0 có hai nghiệm phân biệt và là hai số đối nhau?

A 0 B 1. C 3 D 2 Lời giải

Chọn D

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và là hai số đối

nhau     

2

1

2

0

2

0 0

2

ì ì

ï ï

+ ¹ ¹

-ï ï  

-ï ï

+ - < Û - < < Û

   



ï ï  



-ï ï

 

ï + ï  



m m

m

m m m

m m

.

Câu 42 Có bao nhiêu giá trị msao cho phương trình x2+2mx+ 4 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x12-x x1 2+x224?

A 2. B 0. C 4. D 1. Lời giải

Chọn B

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2

2

,

2 m

x x m

m

>  

Û   - > Û 

< -

. Khi đó theo Vi-et ta có:x1+x2  -2 ; m x x1 24.

Ta có: x12-x x1 2+x22 4Ûx1+x22-3x x1 2 4.Thế vi-et ta được:

2

4m -124Ûm 4Ûm 2 (Loại).

Vậy khơng có giá trị nào của m thỏa mãn u cầu bài tốn.

Câu 43 Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2-m+2x+m2+ 1 0. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức P4x1+x2-x x1 2 bằng

A 95

9 B 11. C 7. D

1

-. Lời giải

Chọn A

Phương trình bậc hai x2-m+2x+m2+ 1 0 có nghiệm 1, x x2

 2  2 

2

m m

Û   + - +  Û -3m2+4m0

3

m

Û  

Áp dụng hệ thức Viet ta có: 2

2

x x m

x x m

+  +

ì 

 +



(123)

Khi đó, P4x1+x2-x x1 2 4m+2-m2+1 -m2+4m+7

Xét 4 7 0;4

3

P -m + m+   m  

 . Có

4

2 0;

3

P  - m+    m  

 

Hàm số f m  luôn đồng biến trên 0;4

 

 

   

0;

4 95

max

3

f m f  

   

 

   

 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 95/9.

Câu 44 Gọi m1;m2 là hai giá trị khác nhau của m để phương trình 2

3

x - x+m - m+  có hai nghiệm phân biệt x1;x2 sao cho x12x2. Tính m1+m2+m m1 2.

A 4. B 3 C 5 D 6 Lời giải

Chọn C

Vì phương trình có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn x12x2 và từ định lí Vi-et ta suy ra:

1 2

3x +x 3x x 1.

Thay x21 vào phương trình ta được: 2

1

1 3

2

m

m m m m

m

 

- + - +  Û - +  Û 

 

Ta có 2

9 4m 12m 16 4m 12m

  - + -  - + - ;nên hai giá trị m11;m22 đều thỏa mãn điều kiện  >0 để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Do đó: m1+m2+m m1 25.

Câu 45 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x2+2m-1x+3m- 2 0 có hai nghiệm trái dấu x x1, 2 và thỏa mãn

1

3

x -  x ?

A 1. B 2. C 0. D 3. Lời giải

Chọn C

+) Phương trình x2+2m-1x+3m- 2 0 có hai nghiệm trái 2

a c m m

Û < Û - < Û <

+) Theo định lí Vi-et ta có: 2

2

3

x x m x x m

+  - +

ì 



-

.

+) Theo đề bài có :

 

1

*

1

3

x -  x > .

1

2

0

x x

> ì  

< 

. Do đó (*) tương đương với :

1 2 2

1 1

3 3 2

11

x x x x m m m

x -  -x Û x + x  Û +  Û - +  - Û  (Khơng thỏa mãn đk)

Vậy khơng có giá trị nào của tham số m thỏa mãn đề bài.

Câu 46 Cho phương trình x2-2m+1x m+ 2+ 2 0, với m là tham số. Giá trị m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 sao cho A 2x12+x22+16 3- x x1 2

biểu thức đạt giá trị lớn nhất là một phân số tối giản có dạng aa b, ,b 0

b  > Khi đó 2a-3b bằng :

(124)

Chọn B

Ta có : '  12  2 1

m m m m

  + - +  -  Û  Theo Viét ta có :  

2

x x m x x m

+  +

ì ï 

 +

ï 

 2  2

1 2 2

2 16 16

A x +x + - x x  x +x - x x + - x x

 

 2  2   2  2  2 

2 m m 16 m 4m 16m 16 m

 + - + + - +  + + - +

 2    

4 m m 3m m 3m 2m

 + - +  - - + +  - + -

Xét f m  -3m2+2m-2. Với

m

Ta có hàm số f m  nghịch biến 1;

 

+  

  Do đó ;

1

2

x

MaxA f

   + 

    

- 

Vậy a

b ta chọn đáp án. B.

Câu 47 Cho phương trình x2+2(m+1)x+2m+ 3 0 (mlà tham số) có hai nghiệm là x1và x2. Phương trình nào dưới đây có hai nghiệm là -3x1và -3x2?

A t2+6(m+1)x+9 2 m+30. B t2-6(m+1)x+9 2 m+30. C t2+6(m+1)x+6 2 m+30. D t2-6(m+1)x+6 2 m+30.

Khi phương trình x2+2(m+1)x+2m+ 3 0 có hai nghiệm là x1và x2, theo Vi-et ta có

   

1 2

1 2 2

3( ) 6( 1) 2( 1)

( ) 9 3

t t x x m

x x m

t t x x x x m

x x m

+  - +  +

ì

+  - +

ì ï



 

 - -   +

 + ï

 

Nên -3x1và -3x2 là nghiệm của phương trình t2-6(m+1)x+9 2 m+30.

Câu 48 Cho phương trình: (m-1)x2-2(m+2)x+m+ 1 0, với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho Ax1+x2-x x1 2 là số một ngun?

A 3. B 4. C 5. D 6. Lời giải.

Chọn C

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

 22  1  1

5

4 m

m m m

m m

¹ ì

ì + - - + >

ï ï

Û Û

> -¹

ï ï

 

Khi đó 1 2 1 2 2 2

1 1

m m m

A x x x x

m m m m

+ + +

 + -  -  

(125)

1

1 4

1 3( )

1

m m

A

m m L

m m m m -     -  -     -     Û Û -  -  - -     -  -   -  

Vậy tập các giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán là: -1; 0; 2;3; 4. Câu 49 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm thực của phương trình

1

x -mx+m-  (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

1 2

2

x x P

x x x x

+ 

+ + +

A min

2

P  - B Pmin  -2. C Pmin 0. D Pmin 1. Lời giải

Chọn A Ta biến đổi:

     

1 2

2

1 2 2 2

2 3

2 2 2 2 2

x x x x x x

P

x x x x x x x x x x x x

+ + +

  

+ + + + - + + + +

Áp dụng định lý VI – ÉT: 2 2 1 22

2 m m P m m - + +   + +             2

2 2

4 2

2 1

2 2 2 2 2

m m m m

m m

P

m m m m

+ + - + +

+ +

    - 

-+ + + +

Vậy giá trị nhỏ nhất là min

2

P  - Câu 50 Tìm m để phương trình 2

3

x -mx+m -  có hai nghiệm x1 ,x2 là độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng với cạnh huyền có độ dài bằng

A m 2. B m  3.

C m  2. D khơng có giá trị nào của m. Lời giải Chọn D

Ta có phương trình x2-mx m+ 2- 3 0 

u cầu bài tốn Û phương trình   có hai nghiệm dương x1,x2 thỏa mãn 2

x +x 

+) Phương trình có hai nghiệm dương  

0 0 P S   ì ï

Û > 

ï > 

với 2

S x x m P x x m

 +  ì    -   2

3 12

3 0 m m m ì- +  ï

 Û - >

ï >  2 3 m m m m -   ì ï

 < -ï Û  >  ï ï >   

3 m a

Û < 

+) 2

x +x  Û S2-2P4  

2

m m

Û - -  Û m  2(loại vì so với điều kiện  a ). Vậy khơng có giá trị nào của m thỏa u cầu bài tốn.

Câu 51 Cho phương trình x2-2m-1x+m2-3m0. Tìm

m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho thỏa 2

1

(126)

A

7 m m

    -

. B m -7. C m0. D m -1.

Lời giải Chọn. C

Ta có:  ' m2-2m+ -1 m2+3mm+1.

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt Û  >' 0Ûm> -1

Theo vi ét ta có 2

2 2

x

x m

x x m m

 +

ì 



- +

Ta có: 2

1

x +x 

 

   

2 2

2

2 2

2 14

0 ( ) 7 ( )

x x

m m m

m m

m n

m

x

l x

Û + - 

Û + - - 

Û + 

 

Û  

-

.

Câu 52 Cho phương trình x2-mx+ 1 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho thỏa

x -x 

A 5 m m

 

  -

. B m - 5. C m 5. D Kết quả khác.

Ta có:  m2-4.

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 m m

> - Û  > Û 

< 

Theo vi ét ta có  

 

2

1

x m

x x

x 

ì ï 

 ï 

+

Mặt khác: x1-x21  

Từ    

2

1

1 ,

1 m x

m x

+ ì

 ï ï  

-ï 

ï 

Thế x x1 2vào    

 

2

1

2 1

2 5

m n

m m

m m m

m n

 

+

-

Û  Û -  Û  Û 

  -

.

Câu 53 Cho phương trình x2-2m+1x+m2+20 Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho x13+x232x x1 2x1+x2.

A m2. B

2

m C m1. D m 4 10. Lời giải

Chọn. D

(127)

 2  

1

2

m m m

Û + - +  Û  (*) Theo Viet ta có: 2

1

2

x x m x x m

+  +

ì 

 +



a) Ta có 3  3   2 2

x +x  x +x - x x x +x

Suy ra 3    3    

1 2 2 2 2

x +x  x x x +x Û x +x - x x x +x  x x x +x

x1 x2  x1 x22 5x x1 2

Û + + - 

 

Suy ra 2m+2  2m+22-5m2+2 Û0 2m+1-m2+8m-60

 

2

1

8 10

m m

m m m

 -

+  

Û Û 

- + -   

 

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có m 4 10 thỏa mãn Vậy m 4 10 thỏa mãn u cầu bài tốn.

2

x - m+ x+m +  Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho 4

1 16 64

x -x  m + m

A m2. B

2

m C m1. D m 4 10. Lời giải

Chọn. C

Ta có x14-x24  x12+x22x12-x22 x1+x22-2x x1 2x1-x x2 1+x2

 

Mà

 2  2  2  

1 2 2

x -x  x -x  x +x - x x  m+ - m +  m-

Suy ra

 2  

4

1 2 2 2

x -x  m+ - m +  m- m+

 

 

2m 8m 8m 2m

 + - +

Suy ra 4  

1 16 64 8 2 16 64

x -x  m + mÛ m + m m- m+  m + m

  

2

4 2

4 (1)

8 2 (2)

m m m m

Û + - + - 

 + 

Û 

- + 



Ta có  1 m m

 

Û  

-

(loại)

    2

2 Û 8m-4 2m+2 64Û32m +48m -800

m

Û  (thỏa mãn (*))

Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 55 Cho phương trình 3x2+4m-1x+m2-4m+ 1 0 Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho  1 2

1 1

2 x x

(128)

A m1,m2. B m1,m5. C m1,m3. D m1,m4.

Lời giải Chọn. B

Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác 0 nên:

2

'

4 (*)

4 0

3

m m

c m m

m m

a

ì  + + >

ì + + >

ï ï Û  - +  - + ¹  ¹ ï ï 

Khi đó theo định lí Viet ta có:  

2

1 2

4

;

3

m m m

x +x  - x x  - +

Ta có:  1 2

1 1 x x

x +x  + Ûx1+x2x x1 2-20 (Do x x1 ¹0)

2

1

1, 1,

2

m x x

m m m

x x m m

 +    Û Û Û   -  -  - -    Thay vào (*) ta thấy m -1 khơng thỏa mãn

Vậy m1,m5 là giá trị cần tìm.

Câu 56 Cho phương trình x2-2m-1x+m2- 3 0 Với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho x1+x22x x1 2.

A m m  -   

. B

2 m m  -   

. C

2 m m  -   

. D

3 m m  -    Lời giải

Chọn. C

Ta có phương trình có hai nghiệm x x1; 2Û  ' 0

 2  

1

m m m

Û - - -  Û  (*) Theo Viet ta có: 2

1

2

x x m x x m

+  -ì   -

  2

1

2 2

2 m

x x x x m m

m  - +  Û -  - Û    (thỏa mãn (*)).

Câu 57 Cho phương trình x2-2m+1x+m2+20 Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho Ax x1 2-2x1+x2-6 đạt giá trị nhỏ nhất.

A m2. B

2

m C m1. D m 4 10. Lời giải

Chọn. C

 2  

1

2

m m m

Û + - +  Û  (*)

Theo Viet ta có: 2

2

x x m x x m

+  + ì   + 

Ta có    

1 2 2 2

Ax x - x +x - m + - m+ - m - m-

 22 12 12

A m

(129)

Suy ra minA -12Ûm2, m2 thỏa mãn (*) Vậy với m2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 58 Cho phương trình x2-2m+1x+m2+20 Với

mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho  2

1 2

2 16

B x +x + - x x đạt giá trị lớn nhất. A m2. B

2

m C m1. D m 4 10. Lời giải

Chọn. B

 2  

1

2

m m m

Û + - +  Û  (*) Theo Viet ta có: 2

1

2

x x m x x m

+  +

ì 

 +



 2  2

1 2 2

2 16 16

B x +x + - x x  x +x - x x + - x x

 2  2   2  2  2 

2 2m m 16 m 4m 16m 16 m

 + - + + - +  + + - +

 

2m m 3m 2m

 + - +  - + -

Xét hàm số y -3m2+2m-2 với

2

m Bảng biến thiên

x

2 +

y

4

-

- Suy ra giá trị

1

7 max

4 m

y 

 - khi

2

m

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là

4

- khi

2

m

Câu 59 Cho phương trình x2-mx m+ - 1 0 Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1;

x x sao cho 2

1 2

2

2( 1) x x

A

x x x x

+ 

+ + + tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

A maxA1, min

A - B maxA2, min

A - C maxA1, min

4

A - D maxA1,min

A - Lời giải

Chọn. D

(130)

Ta cóx12+x22x1+x22-2x x1 2 m2-2m+2. Suy ra

2 2

1 2

2

2( 1)

x x m

A

x x x x m

+ +

 

+ + + +

Vì  

2

2 2

1

2 2

1 0, 1,

2 2

m

m m m

A m A m

m m m

-+ + -

 -   -     

+ + +

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m1

Và  

 

2

2 2

1 1

0, ,

2 2 2 2

m m m

m

A m A m

m m m

+ + + +

+

+  +       - 

+ + +

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m -2

Vậy maxA1 khi và chỉ khi m1, min

A - khi và chỉ khi m -2

Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22

2

m A

m

+ 

+ ta làm như sau

Xét

2

km m k

A k

m

- + - +

- 

+ Khi đó để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì tử số là

biếu thức f m  -km2+2m-2k2+1 phải biểu diễn được dưới dạng bình phương hay

 

1

0 1 2 1

2

m

k

k k k k

k

  

  Û + -  Û - + +  Û

  -

. Vì vậy ta mới đi xét như trên.

Câu 60 Cho phương trình x2-2m-1x+m2- 3 0 Với mlà tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2sao cho  2

1 2

A x +x -x x đạt giá trị lớn nhất.

A

5

m B

5

m C

5

m D

5

m Lời giải

Chọn. B

Ta có phương trình có hai nghiệm x x1; 2Û  ' 0.

 2  

1

m m m

Û - - -  Û  (*) Theo Viet ta có: 2

1

2

x x m x x m

+ 

-ì 



-

.

 2    

1 2

2 2

A x +x - x x  m- - m -

2

5 11 3

5

m m m 

 - + +  -  -  + 

 

Đẳng thức xảy ra

5

m

(131)

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách. • Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

1. Định nghĩa khi

khi

A A

A

A A

 

 

 



2. Tính chất

A0; A

2

.B ;

A B  A A A A B  A B A.B0. A B  AB A.B0. AB  A  B A B0. AB  A  B A B0. • Bình phương hai vế.

• Đặt ẩn phụ. Một số dạng thường gặp:

Dạng 1. f x  g x 

 

     

   

1

0

Cách

f x

f x g x f x

f x g x   

   

  

 

  

 

 

       

2

0

Cách

g x

f x g x f x g x  

     

 

  

 

Dạng 2. f x   g x       

1 2 2

Cách

f x g x

   

            

2

Cách f x g x

f x g x    

  

.

Dạng 3. a f x  b g x  h x .

Câu Giải các phương trình sau:

 32 a) x  x  

5 4

b) x  x x

Chương

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI

(132)

2

)

a x  x  x ) 3b x2  2 x

2

) 17

c x  x  x

)

d x  x  x 

Câu Giải các phương trình sau

 12

a) x  x   b) 4x x 1 2x 1 1.

(133)

)

a mx m  mx x )b mx2x 1 x1.

Câu Tìm m để phương trình 2

( 1)

x x  mx  m x m có ba nghiệm phân biệt

(134)

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Phương trình x 1 2 có nghiệm là:

A x1 B x3. C x3;x 1 D x2. Câu Cho phương trình 3x 1 2x5 1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Phương trình  1 vơ nghiệm.

B Phương trình  1 có đúng một nghiệm.

C Phương trình  1 có đúng hai nghiệm phân biệt. D Phương trình  1 có vơ số nghiệm.

Câu Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x  x?

A 0. B 1. C 2. D Vơ số.

Câu Giả sử x0 là một nghiệm lớn nhất của phương trình 3x4 6. Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG? A x0  1; 0 B x00; 2 C x04; 6. D x03; 4.

Câu Phương trình 2x4  x 1 0 có bao nhiêu nghiệm?

A 0. B 1. C 2. D Vơ số.

Câu Phương trình x 1 2x1

có tập nghiệm là A S 0 B 0; 2

3 S  

  C

2 3 S  

  D S .

Câu Phương trình 3x  2x5 có hai nghiệm x x1, 2. Tính x1x2

A 14

 B 28

 C 7

3. D

14 Câu Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình | 5x4 | x 4.

A 4

3 B 0 C

4

 D 4. Câu Tập nghiệm của phương trình x2 2x1 là:

A S  1 B S   1 C S   1;1. D S  0 Câu 10 Gọi a b, là hai nghiệm của phương trình 3x2  x4 sao cho ab. Tính M 3a2b

A M5. B M 0 C M  5 D M  Câu 11 Phương trình 3x2  x có bao nhiêu nghiệm ngun?

(135)

Câu 12 Số nghiệm của phương trình x2  1 x 2 là

A 0 B 2. C 3 D 1. Câu 13 Tổng các nghiệm của phương trình sau x2 3x2 x 2 là:

A 0 B 2

3 C 1 D

3



Câu 14 Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2x23x2  x2 A 3

2 B 1. C 3 D 2.

Câu 15 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình x22x 1  x22 bằng:

A 1

2. B

3

2 C 1 D

3  Câu 16 Phương trình x22x8 x 2 có số nghiệm là:

A 0 B 2 C 3. D 1. Câu 17 Phương trình x1 2x5 có tập hợp nghiệm là

A  2 B  4 C 2;  D 2;  Câu 18 Điều kiện để phương trình 5x x4 có nghiệm là

A x5. B x5. C x 4. D x 4. Câu 19 Phương trình x23x2  x 3 có bao nhiêu nghiệm là số thực dương?

A 0. B 1. C 2. D 3. Câu 20 Phương trình 3 x 5x10 2 x5 tương đương với phương trình nào?

A 5 x x2. B x5 x2.

C  x 52 5x10 2 D 5x52 x2 2 Câu 21 Cho phương trình 7x2 8x3.Chọn đáp án đúng.

A

7

7 8

7

x

x x x x

x x

   

        

     



B

8

7

8

7

x

x x

x

x x

   

   

    

   



     

C

8

7 8

7

x

x x x x

x x

   

        

     



D 7

7

x

x x

  

    

  



Câu 22 Phương trình f x   g x  tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau? A f x g x . B f x 2 g x 2. C f x  g x  D f x 2 g x 20 Câu 23 Giá trị x1 là nghiệm phương trình nào trong các phương trình sau?

A 2x1 x3 B 2x1 x2 C x1 x3 D 2x1 x3 Câu 24 Tìm số nghiệm của phương trình 2x1 5x2.

(136)

Câu 25 Tìm số nghiệm của phương trình 2x1 x2

A 0. B 1. C 2. D 3. Câu 26 Tìm số nghiệm của phương trình 2x1  x23x4

A 2. B 3. C 4. D 5. Câu 27 Phương trình x23x10 11x có bao nhiêu nghiệm

A 1. B 2. C 3. D 4. Câu 28 Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 3x2 x23x3 là

A 27. B 28. C 1. D 26. Câu 29 Phương trình 2m21x5 3 vơ nghiệm khi và chỉ khi

A m1. B m 1. C m 1. D  1 m1. Câu 30 Tìm số nghiệm của các phương trình sau 2x123 2x  1 0

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm Câu 31 Khẳng định nào sau đây là đúng:

A AA khi A0. B A0;A. C AA khi A0 D A B 0;A B,

Câu 32 Phương trình mx n  ax b tương đương với phương trình nào dưới đây: A mx n ax b B mx n  ax b .

C

 

mx n ax b mx n ax b

   



    

D mxn  ax b

Câu 33 Tập hợp nào dưới đây là tập nghiệm của phương trình x 1 2x? A 1;1

3  

  

  B  1 C 1;

3    

  D

      Câu 34 Tập hợp nào dưới đây là tập nghiệm của phương trình 2x 1 4x?

A 3;1  

  

  B

;3  

  

  C

;    

  D 3;

3  

     Câu 35 Số nghiệm của phương trình x73x 5 0 là:

A 2 B 3. C 1. D 0. Câu 36 Số nghiệm của phương trình 3x4  x 0 là:

A 2 B 3. C 1. D 0. Câu 37 Số nghiệm của phương trình 3x7x5x là:

A B C D Vô số nghiệm.

Câu 38 Phương trình 5x  5 x có bao nhiêu nghiệm?

A Vơ số nghiệm B 1. C D 2.

2

(137)

Câu 39 Với giá trị nào của a thì phương trình3x 2ax 1 có nghiệm duy nhất?

A

a B

a C .

3 a a 

   

    

D

3 . a a

 

      Câu 40 Tập nghiệm của phương trình x24x3  x24x3 là:

A ;1. B  1;3 C ;1  3;. D ;1  3; Câu 41 Tập nghiệm của phương trình x3 3 x là:

A ;3. B ;3. C 0;1; 2;3. D .

Câu 42 Gọi tập nghiệm của phương trình 4x5  4x5 là S. Kết luận nào sau đây là đúng? A ;1S. B S . C S  . D S.

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 43 Phương trình m24x2 2018 vơ nghiệm khi và chỉ khi

A m 2 B m2 C m 2 D  2 m2. Câu 44 Tập nghiệm của phương trình 2x 1 x 3 2x là:

A 1;3  

  

  B

   

  C 1;

2     

  D . Câu 45 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2x5m 2x3m có nghiệm

A m0;. B m0; C m  ; 0 D m   ; . Câu 46 Cho phương trình m x2 6  4x3m. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Khi m2, phương trình đã cho có tập nghiệm là . B Khi m 2, phương trình đã cho vơ nghiệm.

C Khi m 2, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. D Khi m 2, phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 47 Điều kiện cần và đủ để phương trình x 1 x2 x3 m ( với m là tham số thực) có hai nghiệm phân biệt là:

A m2 B m 1. C m 1 D m 2.

Câu 48 Có bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình x26x5m có nghiệm phân biệt? A 3 B 4 C 2 D 1.

Câu 49 Số giá trị ngun của m để phương trình x24 m1 có bốn nghiệm phân biệt là: A 4 B 2. C 3 D 5. Câu 50 Phương trình x24x 3 m0 *  có bốn nghiệm phân biệt khi.

A  1 m3

. B  1 m3. C  1 m3. D

1 m m

      .

Câu 51 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình x22x3xx2 m có nghiệm

(138)

Câu 52 Hàm số yx24x1 có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị ngun của

m để phương trình x24x 1 m có nghiệm phân biệt.

A 3 B Vơ số. C 4 D 0.

Câu 53 Cho phương trình x2 x x22x. Biết phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2. Tính

1

x x A 1 2

2

x x  B x x1 2 2. C 1 2

2

x x   D x x1 2  3.

Câu 54 Cho phương trình x3 3x24. Biết phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2. Tính x12x22. A x12x22 4. B x12x226. C x12x22 8. D x12x22 16.

Câu 55 Cho phương trình 2x2m5  x 2, tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. Một học sinh đã tiến hành giải và biện luận phương trình trên như sau:

Bước 1: 2x2m5 x2

2

x

x m x

  

     



      



Bước 2: 

3 x

x m

  

   

   

 

Bước 3: Phương trình trên có nghiệm duy nhất 2

m m

    

Lý luận của học sinh trên

A Sai ở bước 1. B Sai ở bước 2.

C Sai ở bước 3. D Các bước lý luận đều đúng.

Câu 56 Tìm m để phương trình 2x   x m có hai nghiệm thực phân biệt?

A m 6. B m-4. C  5 m2. D  7 m1. Câu 57 Tìm m để phương trình x23x m  1 x2 có 2 nghiệm phân biệt?

A m 2. B m-1. C m 2. D m 1. Câu 58 Tìm tất cả các giá trị m

để phương trình     

2 m x 3 vô nghiệm.

(139)

Câu 59 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình mx2m  mx x 1 có vơ số nghiệm? A  1

2

m B  1

2

m C  1

2

m D m .

Câu 60 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình mx2x1 x1 có đúng hai nghiệm phân biệt?

A m. B m\   C m\   D m\ 3; 1  

. Câu 61 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình    

2

5

x x x m có hai nghiệm phân biệt?

A 1m4. B m1. C m4. D m1. Câu 62 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình   



3

1

x mx

m

x có đúng hai nghiệm phân

biệt?

A m 0;. B m. C m 0;  \ D m0; . Câu 63 Tìm m để phương trình x22x2x 1 m 3 0 có nghiệm

A m0 B m 2 C m 3 D m 1 Câu 64 Tìm m để phương trình 2x23x2 5m4x2x2 có nghiệm duy nhất

A m0. B

81 80

m m

 



 



. C 81

80

m D 0 81

80

m

 

Câu 65 Tìm m để phương trình x2 1 2x23x2 m1 có bốn nghiệm thực phân biệt? A 7

4 m B

7

4 m

   C m4. D  7 m1. Câu 66 Số nghiệm của phương trình x123 x1 20sau.

A 1. B 2. C 3 D 4. Câu 67 Số nghiệm của phương trình 4x x 1 2x1 1 là

A 1. B 2. C 3 D 4. Câu 68 Tổng các nghiệm của phương trình 3 1 3

2 x

x x



 

 là

A  1 B 4 C 2 D 3

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU A Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. • Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác khơng).

• Đặt ẩn phụ.

(140)

2 10 50

2 (2 )( 3)

a)

x x x x

  

    2

3

( 1) (2 1)

x x

b)

x x

 



 

2 2

1 1

5 11 28 17 70

a)

x  x x  x  x  x  x 2

4

1

(2 ) b)

x x

 



(141)

Câu Giải và biện luận các phương trình sau:

2

2 1 x mx a)

x  

 

| | | 1| x mx

b) m

x  





Câu Tìm điiều kiện của tham số ,a b để phươn trình:  

2

2 *

( )

a b a b

x a x b x a b x ab 

 

    

a) Có nghiệm duy nhất b) Có nghiệm.

(142)

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Số nghiệm của phương trình 24

2

x x x

 

  là

A 0. B 2 C 3. D 1. Câu Biết phương trình

2

x

x x



  

  có một nghiệm là

a b

c



, với a, b, c nguyên dương và a

c tối giản. Tính T 2a b 3c.

A T 5. B T  1 C T 1 D T  5. Câu Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 1

2

x  x x  x  là

A 1. B 0 C 1 D 

Câu Số nghiệm của phương trình

2 2 2 1 1

2

1 2 2

x x

x x x

 

  

   là

A 2. B 3. C 1. D 0. Câu Cho phương trình

2

3

x x

 

 

 có nghiệm a. Khi đó a thuộc tập:

A 1;3

 

 

 . B

1 ; 2

 



 

 . C

1 ;1

 

 

 . D .

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu Một xe hơi khởi hành từ Krơng Năng đi đến Nha Trang cách nhau 175 km. Khi về xe tăng vận tốc trung bình hơn vận tốc trung bình lúc đi là 20 km/giờ. Biết rằng thời gian dùng để đi và về là giờ, vận tốc trung bình lúc đi là:

A 60 km/giờ B 45 km/giờ C 55 km/giờ D 50 km/giờ.

Câu Tìm giá trị của tham số m m  để phương trình

 

2

1

2 2

x m m x m m

x x

 

         

  có nghiệm thực.

(143)

Câu Phương trình 2    mx x có nghiệm duy nhất khi A m0. B

2 

m C m0và 

m D  

m và  m Câu Gọi S là tập các giá trị của m để phương trình 2 3

2

x m x

x x

 

 

  vơ nghiệm. Tính bình phương của tổng các phần tử của tập S

A 121

9 B

49

9 C

65

9 D

16 Câu 10 Có bao nhiêu giá trị tham số a để phương trình

1

x x

x a x a

 

    vô nghiệm?

A 4. B 5. C 2. D 3. Câu 11 Hàm số

2

3 2x

x x

y x

 



  có tập giá trị S a b; . Tính giá trị biểu thức

2

a b ab

A 35 B 25 C 45 D 55

1

x m x

x x

 



  có nghiệm duy nhất khi:

A m0. B m1. C m0 và m1. D m1. Câu 13 Số nghiệm của phương trình

 

2

9 2

1

1 x x x x x x         là

A 4. B 6. C 8. D 10. Câu 14 Tập nghiệm của phương trình

2

x x

  



  là:

A 11 65 11; 41

14 10            

. B 11 65 11; 41

14 10            .

C 11 65 14           

. D 11 41 10           

Câu 15 Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình

  1 2 x x x x      ?

A Nghiệm là một số chẵn. B Nghiệm là một số chia hết cho 11. C Nghiệm là một số nguyên tố D Nghiệm là một số chia hết cho 12

3 8 x x     có tổng các nghiệm là:

A 1. B 0. C 3. D 2.

Câu 17 Tìm số nghiệm của các phương trình sau

 

2

9 2

1

(144)

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC A Phương pháp giải

Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ.

Câu 1. Giải các phương trình sau:

) 14

a  x x

2

b) x  x  x

2

)

a x  x  

4 1

b) x  x   x

) 3

a x x x.

2

b) x  x  x

(145)

2 2

) 10 14

a x  x  x  x   xx

2

b) x  x  x

2

) 2x x

a    x

  2

3

b) x x  x  x

(146)

3

3 2

) x

a   x 

2

3

3 15

b) x x   x  

Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ

2

, , ,

ax b x x t ax b t , 0

2

, ,

ax bxc ax bx

, t t ax bxc 

3 , ,

ax b ax b  t 3ax b

   

        ,

f x g x

f x g x C f x g x

 



  

 

   

(147)

 

     

2

,

A A

f x f x

   

  A t f x

f x

 

 ,  

m f x n f x t s f x  với s là bội chung nhỏ nhất của m và

n Câu Giải các phương trình sau

a) x x2 1 x x2 1 2. b) 3x221x18 2 x27x7 2.

a) x2 x21131.

b) x5 2 x3 x23x.

(148)

a) 2x26x 1 4x5.

b) x 5 x 1 6.

Câu 10 Giải các phương trình sau

a) 3 x 3 3x24x1.

b) x23x 1 x3 x21.

(149)

a) 60 24 x5x2 x25x10. b) x3 4x12x28x.

a) 4x25x 1 x2  x 9x3. b) x3x2 1 x3x22 3.

(150)

a) 1 1x2  1x3  1x3 2 1x2

 

 

b) x 5 x 1 6.

(151)

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu Tập nghiệm của phương trình 2x  1 x là:

A S 1; B S 1 C S 5 D S2;  Câu Tập nghiệm của phương trình 2x  1 x25 là

A S 1; B S 1 C S 5 D S . Câu Số nghiệm của phương trình 3 x2 2x1là:

A 0. B 1. C 2. D 3. Câu Số nghiệm của phương trình x3 4x2 x24x3là:

A 0. B 1. C 2. D 3. Câu Tổng các nghiệm của phương trình x1 10x2 x23x2là:

A 4. B 1. C 2. D 3. Câu Tập nghiệm S của phương trình 2x  3 x 3 là

A S   B S  2 C S 6; 2. D S 6 Câu Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số y 3x4 và đường thẳng yx3

A 2 giao điểm B 4 giao điểm C 3 giao điểm. D 1 giao điểm. Câu Tổng các nghiệm (nếu có) của phương trình: 2x 1 x2 bằng:

A 6 B 1. C 5 D 2 Câu Số nghiệm của phương trình 3x2 x là

A 2 B 1 C 3 D 0 Câu 10 Nghiệm của phương trình 5x6 x6bằng

A 15 B 6 C 2 và 15 D 2.

Câu 11 Tập nghiệm của phương trình 4x7 2x1 là A 10 2; 10

2

   

 

 

 

 

. B 10

  

 

 

 

 

.

C 10

  

 

 

 

 

. D Một phương án khác.

Câu 12 Phương trình x24x 2x2 có bao nhiêu nghiệm?

A 3 B 0 C 2. D 1. Câu 13 Số nghiệm của phương trình x22x5x22x3là

A 2 B 3 C 1. D 0 Câu 14 Tích các nghiệm của phương trình 2

1

x   x x  x là

A 3. B 3 C 1 D 0. Câu 15 Phương trình 2x23x5x1 có nghiệm:

A x1. B x2. C x3. D x4. Câu 16 Số nghiệm của phương trình 3x29x7 x2 là

A 3. B 1. C 0. D 2. Câu 17 Số nghiệm của phương trình x233x1. là

(152)

A 0 B 2

C 1 D Vơ Số.

Câu 19 Số nghiệm của phương trình sau x 2x23x 1 1 là:

A 0 B 1 C 2 D 3 Câu 20 Số nghiệm của phương trình x23x86 19 x23x160 là.

A 4 B 1. C 3 D 2.

Câu 21 Tổng các bình phương các nghiệm của phương trình x1x33 x24x  5 0 là:

A 17 B 4 C 16 D 8.

Câu 22 Tổng bình phương các nghiệm của phương trình x25x 2 x25x100 là:

A 5. B 13 C 10 D 25

Câu 23 Tập nghiệm của phương trình x2x23x20 là

A S . B S{1}. C S{2} D S{1;2}. Câu 24 Phương trình x21 2x 1 x0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A 1. B 4. C 3. D 2. Câu 25 Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: x24x3 x20

A 3. B 1. C 0. D 2 Câu 26 Tập nghiệm của phương trình x2 x 2  x 1 0 là

A {1; 2}. B {-1;1; 2}. C 1;  D {-1; 2}. Câu 27 Tập nghiệm của phương trình x2x24x30 là

A S 2;3 B S  2 C S  1;3 D S 1; 2;3 Câu 28 Tập nghiệm của phương trình x2 x  x 1 0 là

A {1; 2} B {-1; 1; 2} C 1; 2 D {-1; 2}.

Câu 29 Phương trình   2

6 17

x  x x x  x có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A 2. B 1. C 3. D 4. Câu 30 Số nghiệm của phương trình x2 2x7x24 bằng:

A 1. B 2. C 3 D 0 Câu 31 Tập nghiệm của phương trình 3x x2 là

A S   B 2;1 S  

 . C

1 S    

  D

1 S   

 

Câu 32 Nghiệm của phương trình 2x 1 3x là A

4

x B

3

x C

3

x D

2 x Câu 33 Số nghiệm của phương trình x x2  2xlà

A 3. B 0. C 1. D 2. Câu 34 Tìm tập hợp nghiệm của phương trình 3x x2 1

A  2 B 1; 2  C 1; 2. D  1 Câu 35 Số nghiệm nguyên của phương trình sau x 3 2x 1 1 là:

A 0 B 2 C 1 D 3 Câu 36 Số nghiệm của phương trình 3x 1 2x1 là

(153)

Câu 37 Số nghiệm của phương trình x22x2x x36 1x7 là

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 38 Phương trình x24x 3 x1 8x 5 6x2 có một nghiệm dạng xa b với a b, 0. Khi đó: ab

A 7. B 5. C 4. D 6. Câu 39 Biết phương trình

1 3

x  x  x  có hai nghiệm x x1, 2. Tính giá trị biểu thức

x11  x21

A 1. B 0 C D 3. Câu 40 Phương trình

2 2

x  x   x x  x có số nghiệm là:

A 1 B 3 C 2. D 0.

Câu 41 Với bài tốn: Giải phương trình 4x 4x  16x2 4. Một học sinh giải như sau:

Bước 1 Điều kiện: 4 x4. Đặt

2

2 2

4 16 16

2 t

t x xt   x  x  

Bước Ta được phương trình

2

8

4

2

t t

t t t

t   

        

. Bước Với t0 ta có 16x2 416x216x0.

Với t2 ta có 16x2 216x2 4x 2 3. Vậy phương trình có tập nghiệm S0; 3;2 3 . Hãy chọn phương án đúng.

A Lời giải trên sai ở bước 2 B Lời giải trên đúng hoàn toàn. C Lời giải trên sai ở bước 1 D Lời giải trên sai ở bước 3. Câu 42 Giải phương trình trên tập số thực:

2

5

2

x x x

x

 





A x1. B x4. C x x

    

. D x 

Câu 43 Số nghiệm của phương trình  

2 3 2 3

0

x x x x

   



A 1 B 2 C 3 D 0 Câu 44 Số nghiệm của phương trình 2

3 x x

x



  

 là

A 3 B 2 C 1. D 0 Câu 45 Tập nghiệm của phương trình 2x24x  1 x 1 là?

A S   3; 1   B S   

C S    D .

Câu 46 Tập nghiệm của phương trình x24x  3 2x là? A   

 

14 2;

5

S B S2;  C   

 

14

S D S 2

Câu 47 Khi giải phương trình x23x 1 3x ta tiến hành theo các bước sau:

(154)

Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được:

      

  

1

8 1

8 x

x x

x

Bước 3: Khi x1,ta có x23x0. Khi 

x , ta có x23x0

Vậy tập nghiệm của phương trình là:   

 

1 1;

8

S

Vậy Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A Đúng. B Sai ở bước 1. C Sai ở bước 2. D Sai ở bước 3. Câu 48 Tổng các nghiệm của phương trình x3x26x28 x 5 bằng:

A 0. B 1. C 2. D 1. Câu 49 Tổng các nghiệm của phương trình x44x314x11 1 x bằng:

A 2. B 4. C 3. D 1. Câu 50 Số nghiệm của phương trình 2x 6x21 x 1 là:

A 0nghiệm. B 1nghiệm. C 2nghiệm. D 3nghiệm. Câu 51 Tổng các nghiệm của phương trình 2x 1 x23x 1 0 bằng:

A 3 2. B 2 2. C 2 2. D 5. Câu 52 Điều kiện xác định của phương trình 2x 1 2 x là

A 1

2 x. B 

x C 1

2

x D   

 

\

2 Câu 53  3;1 là tập xác định của phương trình nào sau đây?

A  

 3

1 x

x B     

2

x x x x

C x2 x 6 x23x4 D 1x x2 x 6 Câu 54 Cho phương trình x22x3 x1 (1). Phép biến đổi nào sau đây là sai?

A    

    

 (1)

2

x

x x x

B (1) x22x3x1 C     

    

 2

2

(1)

2

x x

x x x

D

   

         

2

(1)

2

x

x x

x x x

Câu 55 Tính tổng các nghiệm của phương trình 22 3  5

(155)

Bước 1:

 

  

 

     

        

 

 

2

5

0

5 4 4

2

5

4

2 3

4

x x

x x x

x x x x x

Bước 2: Phương trình 23 70

x x có hai nghiệm phân biệt, nên theo định lý Vi-et, ta có tổng hai nghiệm là S3.

Bước 3: Vậy phương trình có tổng các nghiệm là 3. Lời giải trên là đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Đúng. B Sai từ bước 1. C Sai từ bước 2. D Sai từ bước 3. Câu 56 Giải phương trình x x2 1 x23x(*), một bạn làm như sau:

Bước 1:  

   

  

  

  

 

2

1 (1) (*)

1 (2)

x x

x x x x

Bước 2: Giải  1 : Vì x20, x  nên (1)x 1 0x1.

Bước 3:         

2

(2)

x

x x

x

Kết hợp ta được x2 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên là đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Đúng. B Sai từ bước 1. C Sai từ bước 2. D Sai từ bước 3. Câu 57 Điều kiện xác định của phương trình  

 

2

x x

là

A 1x B x1 C  

 

2

x

x D x1

Câu 58 Điều kiện xác định của phương trình        

1

( 3)( 1) 4( 3)

3 x

x x x

x là

A x3 B

  

  

3

x

x C

  

  

3

x

x D x 1

Câu 59 Phép biến đổi nào sau đây là sai

A 5x210x  1 x22x 7 5x210x  1 ( x22x7)2 B 5x210x  1 x22x75x210x  1 ( x22x7)2

C              

   

 

2 2

2

5 10 ( 7) 10

2

x x x x

x x

D

    



        

 

 

2

5 10

5 10 1

7

t x x

x x x x t

t

(156)

Câu 60 Giải phương trình



    



( 2)( 1) 2( 2) (1)

2 x

x x x

x

Bước 1: Điều kiện:     



 

2

0

1

x x

x

Bước 2: (1)(x2)(x1) ( x2)(x1) 0 (2)

Bước 3:

  

   

 



 



   



1 ( ) ( 2)( 1)

2 ( ) (2)

( 2)( 1) ( )

x tm

x x

x loai

x x loai

.

Vậy phương trình có một nghiệm x1

Lời giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Đúng B Sai từ bước 1 C Sai từ bước 2 D Sai từ bước 3 Câu 61 Tổng các nghiệm của phương trình      

2

5x 10x x 2x 7là

A -3 B -5 C -2 D 2 Câu 62 Số nghiệm của phương trình 2

3 x x

x



  

 là

A 3 B 2 C 1. D 0 DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 63 Tìm tập hợp nghiệm của phương trình 3x x2 1

A  2 B 1; 2  C 1; 2. D  1 Câu 64 Số nghiệm nguyên của phương trình sau x 3 2x 1 1 là:

A 0 B 2 C 1 D 3 Câu 65 Số nghiệm của phương trình 3x 1 2x1 là

A 3 B 0 C 1 D 2 Câu 66 Số nghiệm của phương trình x22x2x x36 1x7 là

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 67 Phương trình x24x 3 x1 8x 5 6x2 có một nghiệm dạng xa b với a b, 0. Khi đó: ab

A 7. B 5. C 4. D 6. Câu 68 Biết phương trình x 1 3x3 x21 có hai nghiệm

1,

x x Tính giá trị biểu thức x11  x21

A 1. B 0 C D 3. Câu 69 Phương trình x2 x2  x 1 2x 1 x2 có số nghiệm là:

A 1 B 3 C 2. D 0.

Câu 70 Với bài tốn: Giải phương trình 4x 4x  16x2 4. Một học sinh giải như sau: Bước 1 Điều kiện: 4 x4.

Đặt

2

2 2

4 16 16

2 t

(157)

Bước Ta được phương trình

2

8

4

2

t t

t t t

t   

        

. Bước Với t0 ta có 16x2 416x216 x0. Với t2 ta có 16x2 216x2 4 x 2 3. Vậy phương trình có tập nghiệm S0; 3;2 3 . Hãy chọn phương án đúng.

A Lời giải trên sai ở bước 2 B Lời giải trên đúng hồn tồn. C Lời giải trên sai ở bước 1 D Lời giải trên sai ở bước 3. Câu 71 Giải phương trình trên tập số thực:

2

5

2

x x x

x

 





A x1. B x4. C x x

    

. D x 

Câu 72 Số nghiệm của phương trình  

2

3

0

x x x x

   



A 1 B 2 C 3 D 0 Câu 73 Số nghiệm nguyên của phương trình x x 523 x25x 2 2 là

A 0 B 1. C 2 D 3 Câu 74 Phương trình x2481 3 x248110có hai nghiệm

,

 . Khi đó tổng  thuộc đoạn nào sau đây ?

A [2;5]. B [ 1;1]. C [ 10; 6].  D [ 5; 1].  Câu 75 Phương trình: 2x25x 1 x31 có nghiệm là a b thì 2ab bằng

A 2 B 1 C 3 D 4 Câu 76 Giải phương trình: x x 1

x x

    ta được một nghiệm x a b c 

 , a b c, , ,b20. Tính giá trị biểu thức Pa32b25c.

A P61. B P109. C P29. D P73. Câu 77 Cho phương trình 2x26xmx1. Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất

A m4 B 4m5 C 3m4 D m4. Câu 78 Tìm m để phương trình

2x  x 2m x2 có nghiệm. Đáp số nào sau đây đúng? A 25

4

m  B m3 C m0 D 25 m  Câu 79 Tìm m

để phương trình 2x22x2mx2

có nghiệm.

A m1 B m1; C m2 D m2 Câu 80 Với mọi giá trị dương của m phương trình x2m2  x m ln có số nghiệm là

A 2. B 1. C 3. D 0.

Câu 81 Cho phương trình x28xm 2x1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình đã cho

vơ nghiệm. A 15;

3 m  

  B

1 15 ; m  

 . C

15 ;

4 m  

  D

1 ;

3 m   

 .

(158)

A 1

3 B

1

6. C

1

8 D

2 3.

Câu 83 Cho phương trình x24x 3 2m3xx2  1 Để phương trình  1 có nghiệm thì  ; 

m a b Giá trị a2b2 bằng

A 4 B 2 C 1 D 3

Câu 84 Số các giá trị nguyên của m để phương trình x22x m  1 2x1 có hai nghiệm phân biệt

A 0. B 3. C 1 D 2

Câu 85 Cho phương trình: 2x 2x2 4x2 m0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A 4 B 5 C vô số D 10

Câu 86 Tìm tất cả giá trị m để phương trình 3 x 1 m x 1 24 x21 có nghiệm là

A

m  B 1

3 m

   C 1

3 m

   D 1

3 m

  

Câu 87 Cho hàm số

2

2018 ( 2) 2018 ( )

( 1)

m x m x

y f x

m x

   

 

 có đồ thị là (Cm), (m là tham số). Số

giá trị của mđể đồ thị (Cm) nhận trục Oy làm trục đối xứng là

A 0 B 1 C 2 D 3. Câu 88 Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình 2 

3

x m x m

x

  



 có nghiệm

A m   ; 1. B m   1;  C m   1;  D mR. Câu 89 Số các giá trị nguyên của tham số m  2018; 2018để phương trình:

 

2

2 4

x  m x  x  x có nghiệm là

A 2020 B 2019 C 2018 D 2021

Câu 90 Tìm m để phương trình  5m22m 2 m1x13x2  x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1; 0, ta được điều kiện ma b; . Giá trị của biểu thức Pa22b bằng

A P10. B P12. C P20. D P15.

Câu 91 Cho phương trình x 1 5x3 x1 5 xm. Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình trên có nghiệm?

A 6 B 8. C 7 D Vô số.

Câu 92 Tìm m để phương trình x2 x 1 m0 vơ nghiệm

A m2;. B m1;. C m  ;1  D m  ; 

Câu 93 Phương trình 2x2 2m21xm2 2x1 có hai nghiệm phân biệt thì ma b, . Tính

ba

A 1. B 0. C 2. D 3 2.

Câu 94 Phương trình x2 x 1 x2 x 1 m có vơ số nghiệm thì giá trị của m thuộc khoảng nào?

A m1;  B m2;  C m3;  D m4; 

(159)

Câu 96 Số các nghiệm nguyên của phương trình     

( 5) 2

x x x x

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 97 Tích các nghiệm của phương trình       

2

1 1

x x x x là

A 1

2 B 5 C 5 D 1

Câu 98 Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 2x22x x2 x x2 x 7là

A 11 B - C - D

25 Câu 99 Nếu phương trình x22x x22x15m0 có nghiệm duy nhất thì

A m ( 2; 0) B m 4 C m ( 4; 0) D   65

4

m

Câu 100 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có nghiệm ( ẩn x)       

2

2x 4x m x 2x 1

A 9 0

8 m B  

4

m C  1 m D 9  1

8 m

Câu 101 Cho phương trình x21 2 x x m x2  . Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất?

A  1

m B m1. C

      

1 m

m D  

1

m

Câu 102 Số nghiệm của phương trình 3x2 x3  2 x x là:

A 1. B 3. C 0. D 2.

Câu 103 Cho phương trình 4 2x23x1 9x254x81. Tính tổng các nghiệm của phương trình? A 13

23 B 5. C 102

23 D 125

23

Câu 104 Biết phương trình x23x 2x25x2  x23x 2x25x2 có tập nghiệm S. Phát biểu nào là đúng trong các phát biểu sau?

A 0;1 S  

  B S.

C S      ; 0 3; . D Scó hai phần tử.

Câu 105 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình mx2 2x9  xx2 có hai nghiệm phân biệt?

A m 5. B m 3. C m. D m . Câu 106 Số nghiệm của phương trình 17x 17x2 là:

A 3. B 2. C 1. D 0. Câu 107 Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 17x 17x8 là:

A 5. B 2. C 128. D 256. Câu 108 Số nghiệm của phương trình

2 40 16

16

x x

x   

 là:

(160)

A 3

2 B 2. C

3

4 D

2

Câu 110 Cho phương trình x2  1 x m.Tìm tất cả các giá trị thực củamđể phương trình có nghiệm: A m  1; 0    1; . B m  1; 0  1; .

C m  2; 0 2;. D m  2; 0   2;.

Câu 111 Cho phương trình 2x2mx3 x m.Tìm tất cả các giá trị thực củamđể phương trình vơ nghiệm:

A m1 B m 1. C m3. D m2

Câu 112 Cho phương trình 2x26x m  x 1.Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt:

A m 2; 6 B m 4; 6. C m 2; 5. D m 4; 5 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

A Phương pháp giải

1/ Dạng 1: Phương trình có mẫu số: Phương pháp:

+ Đặt điều kiện

+ Quy đồng, đưa về phương trình bậc 2. + Giải ra nghiệm, so điều kiện và kết luận 2/ Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Phương pháp: Nếu trong phương trình có các biểu thức giống nhau thì ta có thể đặt ẩn phụ Một số cách đặt ẩn phụ giải phương trình bậc 4:

Dạng 1: ax4bx2 c 0 (1) đặttx20 , ta được at2bt2 c 0 (2) Dạng 2: x a x b x c x d k Với ab c , d

Pt x2(ab)xabx2(cd)xcdk

Đặt tx2(ab)x

Dạng 3: xa4xb4k đặt a b

t x  (chú ý: (a b )4a44a b3 6a b2 24ab3b4 )

ạng 4:

0 ax bx cx bxa

Vì x0 khơng thỏa nên chia 2 vế của pt cho x2, ta được: 2

1

0

a x b x c

x x

   

    

   

    ,

đặt t x x

  ( nếu t x x

  thì t có điều kiện :t x x    ) Chú ý: Phương trình trùng phương (1) có

+ 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

+ 3 nghiệm phân biệt (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0

+ 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương + vơ nghiệm (2) vơ nghiệm hoặc 2 nghiệm âm.

+ có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t t1; 2 thỏa 9t1t2. 3/ Các phương pháp khác:

Phương pháp nhẩm nghiệm, chia đa thức:

Nếu phương trình f (x)0 có nghiệm x thì 0 f (x) x x0g(x) x x0 g(x)

 

     

 

(161)

Phương pháp đưa về dạng bình phương Ta có thể biến đổi phương trình về các dạng sau:

2 A

A B

B      

 

2 A B

A B

    

  

Phương pháp dùng máy tính để phân tích

4 2

( )( )

ax bx cx dx e a x  pxq x mxn

B Bài tập tự luận: Câu Giải phương trình sau:

2

1

2

x x x

  

 

  

a. x4– 13x2360 b. x45x2 6 0

Câu Giải phương trình sau: x –1 x–3 x+5  x+7 =297 

Câu Giải phương trình sau: x34x5416

a) x4x3– 4x2  x 0

b)

– 10 –10

x x  x x  

(162)

a)

2 x  x  x  x  (1) b) x44x212x 9 0 (2) c) x4x35x26x 4 0 (3)

Câu Cho phương trình:x – 2mx + 3m + 4 = 04 (1). Tìm m để phương trình:

a/có 4 nghiệm b/có 3 nghiệm

Câu Định k để phương trình: x44x3k1x28x40 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1:

(163)

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Nghiệm của phương trình 32

1

x x x



    là A 1 hoặc 10

3 B 1 hoặc 10

3

 C 10

3 D 1 Câu Nghiệm của phương trình

3

x x x x



 

  là:

A x0;x1 B x 1 C x0 D x1 Câu Giải phương trình

2

2x 5x 2x 3x

x x

   



 

A

x x . B

2

x  x . C

2

x  x . D x  x . Câu Số nghiệm của phương trình x21 10 x231x240 là

A 1. B 2 C 3. D 4 Câu Phương trình 1, 5x42, 6x2 1 0 có bao nhiêu nghiệm?

A 1. B 2 C 3. D 4 Câu Tập nghiệm của phương trình x45x240 là:

A S 1; B S1; 2; 2 . C S  1;1; 2; 2 . D S 1; Câu Giải phương trình

– ² – x x 

A x 1. B x 2. C x    1 x 2. D x  1 x 2.

Câu Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm: ( 72)x43x210(2 5)0 A 0. B 2 C 1. D 4 Câu Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x62003 x320050

A 0. B 1. C 2 D 6. Câu 10 Cho phương trình ax4bx2 c 0 (1) (a0). Đặt:  b24ac,S b,P c

a a



  Ta có (1) vơ nghiệm khi và chỉ khi:

A  0. B  0 hoặc 0 S P

   

 

 



. C 0 S    

 

. D

0 P    

 

(164)

Câu 11 Cho phương trình ax4bx2 c 0 (1) (a0). Đặt:  b24ac,S b,P c

a a



  Ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

A  0. B 0 S P    

    

. C

0 0 S P    

    

. D

0 0 S P    

    

.

Câu 12 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: x42(m1)x24m 8 0có 4 nghiệm phân biệt A m2 và m3. B m2. C m1 và m3. D m3.

Câu 13 Tìm m để phương trình x4– 3 m4x2m2 0 có 1 nghiệm duy nhất.

A m0. B m–2. C m0. D không tồn tại m. Câu 14 Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: x +2 x–3 x +1 x+6 = 36    

A 1. B 2. C 4. D 0. Câu 15 Giải phương trìnhx–1x– 3x5x7297.

A x –8 x 4. B x–9 x 5. C x–9 x4. D x–8 x 5 Câu 16 Cho phương trình  4

– – 97

x  x  Kết luận nào sau đây đúng?

A phương trình có hai nghiệm ngun. B phương trình có nghiệm khơng ngun. C phương trình khơng có nghiệm dương. D phương trình khơng có nghiệm thực. Câu 17 Giải phương trình 2x43x3–x23x20

A

x  x  B x 1. C –2 –1

x x D x 2.

Câu 18 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:

 

2

5

11 x x

x 

 



gần nhất với số nào dưới đây? A 2, B 3. C 3, D 2,8.

Câu 19 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:

 2   

2 x  2x  – 3m x  2x 1 2 m0có đúng 3 nghiệm 3;0 A 1. B 2 C 3. D 0.

Câu 20 Cho phương trình:x2– 2x32+2 – mx2– 2x3m26m0. Tìm m để phương trình có nghiệm:

A m. B m4. C m 2. D m2.

Câu 21 Có bao nhiêu giá trị ngun của a để phương trình:

2

2 2

0

1

x x

a

x x

 

    

     

có đúng 4 nghiệm.

A 0. B 1. C 2 D vơ số.

Câu 22 Định m để phương trình:

2

1

2

x m x

x x

   

    

   

    có nghiệm:

A 3 m

   B

4 m C

4

m  D ; 3;

4

m        . Câu 23 Định k để phương trình:

2

4

x x k

x x

 

        

(165)

A k  8. B  8 k 1. C 0k 1. D  8 k1. Câu 24 Tìm m để phương trình: x22x422m x 22x44m 1 0có đúng hai nghiệm.

A 3m4. B m 2 3,m4. C 2 3m4. D m2 3,m2 3. Câu 25 Nghiệm dương lớn nhất của phương trình:

2

5

4

x x x

 

  

  gần nhất với số nào dưới

đây?

A 2 B 2,5 C 1. D 1, 5.

Câu 26 Cho phương trình: x22x322 3 mx22x3m26m0Tìm m để phương trình có nghiệm:

A Với mọim B m4 C m 2 D m2 Câu 27 Có bao nhiêu giá trị ngun của a để phương trình:

2 2

0

1

x x

a

x x

 

  

       

có đúng 4 nghiệm.

A 0 B 1 C 2 D Vơ số

Câu 28 Định m để phương trình:  2 122  1 1

   

x m x

x

x có nghiệm:

A 3 m

   B

4

m C

m  D 3

4

m  m Câu 29 Tìm m để phương trình:  2  

2 4 – 2 2 4 4 – 1 0

x  x  m x  x   m  có đúng hai nghiệm.

A 3m4. B m 2 3m 2 3. C 2 3m4. D m 2 3m4.

Câu 30 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: x42(m1)x2 4m 8 0 có 4 nghiệm phân biệt.

A m2 và m3. B m2. C m1và m3. D m3.

Câu 31 Tìm tất cả các giá trị nguyên thuộc 2019; 2019 của tham số m để phương trình

4

2

    

x mx x mx có nghiệm.

A 2019 B 3039 C 4038 D 4041

Câu 32 Số giá trị ngun khơng dương của tham số m để phương trình x44x2 6 m3 0 có đúng nghiệm phân biệt là

A 0 B 1 C 2 D 2018

Câu 33 Số các giá trị ngun âm của mđể phương trình x4 2x33x2 2xm0 có nghiệm là A 0. B 1 C 2018. D 2019.

Câu 34 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm dương:

4 2 ( 1) 2 1 0 (1)

x  x  m x  x 

A m 5. B m5. C m 4. D m4. Câu 35 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình  2  2

4

x  x  x m có 4nghiệm phân biệt?

A 30 B vơ số C 28 D 0.

(166)

Hỏi với những giá trị nào của tham số m thì phương trình f  x  1 mcó đúng 3 nghiệm phân biệt?

A. m3 B.  2 m3 C. m2 D. m3

Câu 37 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình

 2 2  2 

2 2 4

x  x  m x  x  m   1 có đúng hai nghiệm thực phân biệt A. m4;   2 3. B m  ; 2 3  2 3;  C. m3; 4 D. m

Câu 38 Biết phương trình 2

3

x  mx m   có bốn nghiệm phân biệt x x x x1, 2, 3, 4. Tính

1 .2

M x x x x x x x x được kết quả là:

A. M m21 B. M  3 m C. M 3 m D. M  m21

Câu 39 Có bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình (x x1)(x2)(x3)m có 4 nghiệm phân biệt?

A. B. C. D.1

x y

3

3 O 1 -1

(167)

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách • Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ

1.Địnhnghĩa

A A

A

A A

 

 

 



2.Tínhchất

0; A A

2

.B ;

A B  A A A

A.B

A B  A B  

A.B

A B  AB  

A B

AB  A  B  

A B

AB  A  B  

• Bình phương hai vế • Đặt ẩn phụ

Một số dạng thường gặp:

Dạng f x  g x 

 

   

 

   

1

0

0 Cách

f x

f x g x

f x

f x g x

 

    

 

  

 

  

 

   

2

0 Cách

g x

f x g x

 

  

  

 

  

 

Dạng f x   g x       

1 2 2

Cách

f x g x

   

        

   

2

Cách f x g x

f x g x

 

 

  

Dạng a f x  b g x  h x 

Câu 1. Giải phương trình sau:  2

3

a) x  x   b) x25x4 x4

Lời giải

a) Đặt t x3t0

Chương

(168)

Khi phương trình trở thành:  

 

2

4

t tm

t t

t l

 

    

  

Với t2 ta 3

3

x x

t x

x x

  

 

     

   

 

Vậy phương trình cho có nghiệm x1;x5 b) Ta có:

2

5 4

x  x x

 2

4

5 ( 4)

x

x x x

     

   

 

 2

4

5 ( 4)

x

x x x

     

    

 

  

4

6

x

x x x x

     

   

 

2

4

6

5

x

x x

   

    



  

 

0 x x x

  

  

    

Vậy phương trình cho có ba nghiệm là: x0;x 2;x 4

Câu 2. Giải phương trình sau:

2

)

a x  x  x ) 3b x2  2 x

2

) 17

c x  x  x

)

d x  x  x 

Lời giải

a) Ta có:

2

2x 1 x 3x4 

 

2

x x x

    



    

 



2

5

3

x x

   

 

   

5 45 13

2

x

 

   

 

  

(169)

 2

2

3

3 2

2

3

x x x x x              

2 2

3

1

2

9 12 4 12 5

x x

x

x x x x x

                     

c) Ta có:

    2 2 2 17 17

4 (4 17)

4

4 17

4 17 x x x x x x x x x x x                         

   17

4

8 12 22

x

x x x

           2 17 17 6

8 12 22

22 22

x x

x

x x

x x x

x x                                 d)Ta có:

2x5 0 2x27x5 0 Suy ra: 2x5 2x27x5 0

Dấu "" xảy 2

2

5

2 2 5 0 5

5

2

2 x x x x x x x x x x                                    

Vậy phương trình có nghiệm

2 x

Câu 3. Giải phương trình sau  12

a) x  x   b) 4x x 1 2x 1

Lời giải

Đặt t x1 ,t0 Phương trình trở thành 2 t t t t         

Với t1 ta có: 1 1

1

x x x x x               

Với t2 ta có 2

1

x x x x x                

Vậy phương trình có nghiệm là: x 3,x 2,x0,x1 b) Phương trình tương đương với:

(170)

Phương trình trở thành: 2 1( )

1

2( )

t l

t t t t

t tm

  

         

 

Với t2 ta có:

3

2 2

2

x x

x

    



    

  

   



Vậy phương trình có nghiệm 1;

2

x  x

Câu 4. Giải phương trình sau

)

a mx m  mx x )b mx2x 1 x1

Lời giải

a) Ta có:

 

2 *

mx m  mx x

 

2

mx m mx x

   



      



   

2 1

(2 1) 2

x m

m x m

  

 

   



Với 1

2

m  m  phương trình  2 nghiệm với x nên phương trình

 * nghiệm với x

Với 1

2

m  m  phương trình  2 có nghiệm x 1 Khi

2m   1 m0

Do m0  * có nghiệm x 1

Nếu

2

m  m0  * có nghiệm phân biệt x 1;x2m1 Kết luận:

Với

2

m  phương trình nghiệm với x Với m0 phương trình có nghiệm x 1

Với m0,

2

m  phương trình có nghiệm x 1;x2m1

b) Ta có:

 

2 1

mx x x m x

mx x x

mx x x m x

       

     

      

 



• Với phương trình (1), ta có

1

m  phương trình  1 nghiệm với x

1

m  phương trình  1 có nghiệm x0 • Với phương trình  2 , ta có

3

(171)

3

m  phương trình  2 có nghiệm x

m

 



• Kết luận

Với m 1 phương trình nghiệm với x Với m 3 phương trình có nghiệm x0

Với m 1 m 3 phương trình có nghiệm nghiệm phân biệt x0, x

m

 



Câu 5. Tìm m để phương trình x2x  mx2(m1)x2m1 có ba nghiệm phân biệt Lời giải

Ta có:

 

2

( 1) *

x x  mx  m x m

  

 

( 1)

1 | | | 1|

x x x mx m

x x mx m

     

     

1

2

x

x mx m

  

    



2

x

mx m x

   

   



    



1

( 1) ( 1)

x

m x m

   

   

   



Nếu m1 phương trình  1 vơ nghiệm phương trình  * khơng thể có ba nghiệm phân biệt

Nếu m 1 phương trình  2 vơ nghiệm phương trình  * khơng thể có ba nghiệm phân biệt

Nếu m 1  1 m x

m



 

  

1 2

1 m x

m



 



Phương trình  * có ba nghiệm phân biệt

1

0

1 2

1

1 2

1

m

m m

m

m m

m

m m



   

   

 



 

    

 



 

 

 

  

   



Vậy với 1; 1; 2; 0;1

m    

  phương trình có ba nghiệm phân biệt

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu 1. Phương trình x 1 có nghiệm là:

(172)

Ta có: 2

1

x x

x

x x

  

 

   

    

 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x3;x 1

Câu 2. Cho phương trình 3x 1 2x5 1 Mệnh đề sau đúng?

A. Phương trình  1 vơ nghiệm

B. Phương trình  1 có nghiệm

C. Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt

D. Phương trình  1 có vơ số nghiệm

Lời giải ChọnA

Với

x :  1  3x 1 2x5 x 4 (loại)

Với

x :  1 1 3 x2x5

5

x (loại) Vậy phương trình  1 vơ nghiệm

Câu 3. Phương trình sau có nghiệm x  x?

A. B.1 C. D. Vô số

Lời giải ChọnD

0 x

  ln thỏa mãn phương trình

Câu 4. Giả sử x0 nghiệm lớn phương trình 3x4 6 Mệnh đề sau ĐÚNG?

A. x0  1; 0 B. x00; 2 C. x04; 6 D. x03; 4

Ta có:

3x4 6

10

3 3

3

x x

x

    



  

  

   



Suy 0 10

x 

Câu 5. Phương trình 2x4  x 1 có nghiệm?

A. B.1 C. D. Vô số

(173)

Trườnghợp1: x1 (1) 2 4  1

x x

x

         loại

Trườnghợp2: 1x2(1) 2x4  x10 x 3 1; 2loại

Trườnghợp3: x2(1) 2 4  1

3

x x

x

        loại

Câu 6. Phương trình x 1 2x1 có tập nghiệm

A. S 0 B. 0; 2

3

S  

  C.

2 3

S  

  D. S 

1

2 2

1 1 0

2

1

3

x x

x x x x x x

x x

x

     



 

          

 

     



   

 

Câu 7. Phương trình 3x  2x5 có hai nghiệm x x1, 2 Tính x1x2

A. 14

3

 B. 28

3

 C.

3 D.

14

Phương trình 3x  2x5 3x2 2x52 x23x80

1

2

14

3

x

x x

x

  

   

 



Câu 8. Tính tổng tất nghiệm phương trình | 5x4 | x

A.

3 B. C.

4

 D.

Trường hợp 1: 5x4x4 x0 ( thỏa mãn ) Trường hợp 2: ( 4)

3

         

x x x x (Thỏa mãn )

0

      

x x

Câu 9. Tập nghiệm phương trình x2 2x1 là:

A. S  1 B. S  1 C. S   1;1 D. S  0

(174)

Ta có

1

2

2 2 1

1

2

1

x x

x x x x x

x

x x

x



  

 

 

           



     



  



Câu 10. Gọi a b, hai nghiệm phương trình 3x2  x4 cho ab Tính M 3a2b

A. M5 B. M 0 C. M  5 D.

2 M 

Lời giải ChọnB

 

1

3

3 3

3

2

x

x x

x x x

  

  

 

    



    



Vậy 1,

2

a  b Do M 3a2b0

Câu 11. Phương trình 3x2  x có nghiệm nguyên?

A. B. C. D.

Ta có:

2

3 2 1

3

3 2 1

2

2 3 2

3

x x x x

x x

x

x x x

  

      



  



   



   

     



 



Vậy số nghiệm nguyên phương trình

Câu 12. Số nghiệm phương trình x2  1 x

A. B. C. D.1

2

1

x   x

 2  2

2

1

x

x x

     

  



   

2

1

x

x x x x

    

    





2

3

x

x x

   

   

2 13

2 x

x

  

 

    

  

   

Vơ nghiệm

(Giải thích: Phương trình x2  x 0 vơ nghiệm)

Câu 13. Tổng nghiệm phương trình sau x2 3x2 x là:

A. 0 B.

3 C. 1 D.

2 3



(175)

2

x  x  x

2

2 3 2 3

2

2 3

x x

x x x x x

x

x x

x x x x

    

 

     

 

 

    

  

 

 

       

 

Vậy tổng nghiệm phương trình

Câu 14. Tính tổng tất nghiệm phương trình 2x23x2  x2

A.

2 B. C. D.

2

2x 3x2  x2  2  2

2x 3x x

    

4 2

4x 9x 12x 8x 12x x 4x

        

4

4x 12x 8x

    x4x312x280

  

4x x x 2x

    

0

1

x x x x

  

  



     

0 (1 3) (1 3)

S

       

Câu 15. Tổng tất nghiệm phương trình x22x 1  x22 bằng:

A.

2 B.

3

2 C. D.

3



Ta có  

 

2

1

*

2

2 2 2 3 0 **

x

x x x

x x x x x

 

     

     



    

   



Phương trình  * * có tổng hai nghiệm 1, phương trình  * có nghiệm

2

x nên tổng

nghiệm phương trình cho

Câu 16. Phương trình x22x8  x 2 có số nghiệm là:

A. B. C. D.

(176)

Ta có     2 2 2

2 2

2

x x

x x x x x x

x x x

                                  2 2

6 2,

2

2,

3 10

x x

x x x x

x x x x x x x                                    

Câu 17. Phương trình x1 2x5 có tập hợp nghiệm

A.  2 B. 4 C. 2;  D. 2; 

Lời giải

Chọn B

Sử dụng máy tính Nhập vào máy X 1 2x5 Calc đáp án Cuối ta chọn B

Cách 2: Giải phương trình

1

x  x 

2

1

x x x x x                   x x x          

 x4

Câu 18. Điều kiện để phương trình 5x x4 có nghiệm

A. x5 B. x5 C. x 4 D. x 4

Lời giải

Chọn D

4

x   x 4

Câu 19. Phương trình x23x2  x có nghiệm số thực dương?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Cách 1: x23x2  x 3 x23x2  x Sử dụng máy tính, bấm mode7, sử dụng chức Tabletrong máy tính nhập hàm f X( ) X23X2X3, cho Start 0, End 5, bước nhảy Step (5-0):25 (nếu không tăng nhớ máy tính ta chọn Step 5:19), kiểm tra tiếp với Start 5, End 10, bước nhảy Step (10-5):25 Ta thấy đáp án C thỏa mãn (lần 1: đổi dấu lần; lần không thấy giá trị f(X) đổi dấu nữa),

Cách 2: phương trình  2

3

x

x x x

                    2

4

2

x x x x x                 1 x x x         

Câu 20. Phương trình  x 5x10 2 x5 tương đương với phương trình nào?

(177)

C.  x 52 5x10 2 D. 5x52 x2 2

Lời giải

Chọn B

Chú ý:  x  x5 Nên phương trình cho trở thành 3x5 5x10 2 x5

 x5 5x10  x5 x2

Câu 21. Cho phương trình 7x2 8x3.Chọn đáp án

A.

7

7 8

7

x

x x x x

x x

  



       



    

 

B.

8

7

8

7

x

x x

x

x x

  

   



    

  

 

    



C.

8

7 8

7

x

x x x x

x x

  



       



    

 

D.

7

x

x x

  

    

  



Lời giải

Chọn C

Ta có

1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

C C

f x g x

f x g x f x g x

f x

f x g x

 

  



 

   

 



   

 

  

 

Đối chiếu công thức, ta chọn C

Câu 22. Phương trình f x   g x  tương đương với phương trình phương trình sau?

A. f x g x . B. f x 2 g x 2 C. f x  g x  D. f x 2 g x 20

Lời giải

Chọn B

Câu 23. Giá trị x1 nghiệm phương trình phương trình sau?

A. 2x1  x3 B. 2x1  x2 C. x1  x3 D. 2x1  x3

Lời giải

Chọn B

Thế trực tiếp giá trị x1 vào phương trình, ta thấy x1 nghiệm phương trình

  

2x x 2

Câu 24. Tìm số nghiệm phương trình 2x1 5x2

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

   

        

2x 5x 2x 5x

   

    

   

2

1

21 24 1

7

x

x x

x

(178)

Câu 25. Tìm số nghiệm phương trình 2x1 x2

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

   

      

2x x 2x x

   

    

  

2

3

3 1

3

x

x x

x

Câu 26. Tìm số nghiệm phương trình 2x1  x23x4

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

  2     2 

2x x 3x 2x x 3x  2x12 x23x42 0

  

 x25x5 x2 x 0

 

   

 

  

5 45

2

1 13

2

x

Câu 27. Phương trình x23x10 11x có nghiệm

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Đk: x11

pt 2

3 10 11

x x x

    

 

    



3 ( ) ( ) ( )

x N

  

  

   

Câu 28. Tổng bình phương nghiệm phương trình 3x2 x23x3

A. 27 B. 28 C.1 D. 26

Lời giải

Chọn D

2

1

3 3

1 5

3 3

5

3 3

3

2

3 3

3

1 ( )

x

x x

x

x x

x x x x x

x

x x x

x

x x x

x vn

 

 

    

 

     

 

    

      

 

   

      

  



 



     

 



  



Phương trình có nghiệm x1;x5suy 125226

(179)

A. m1 B. m 1 C. m 1 D.  1 m1

Lời giải

Chọn C

     

 

2

2 5

2

m x

m x m x

m x

   



        

   



1

m m

     

Câu 30. Tìm số nghiệm phương trình sau 2x123 2x  1

A. nghiệm B. nghiệm C. nghiệm D. nghiệm

Lời giải

Chọn D

Đặt t 2x1 ,t0

Phương trình trở thành 1( )

t l

t t

t

  

    

 

Với t4 ta có 4

x   x   x

2 x 

2

x 

2 x

Câu 31. Khẳng định sau đúng:

A. A A A0 B. A 0;A

C. A A A0 D. A B 0;A B,

Lời giải

Chọn D

Vì giá trị tuyệt đối số không âm

Câu 32. Phương trình mx n  ax b tương đương với phương trình đây:

A. mx n ax b B. mx n  ax b 

C.

 

mx n ax b

mx n ax b

  

 

   



D. mxn  ax b

Lời giải

Chọn C

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

 

  

  

Câu 33. Tập hợp tập nghiệm phương trình x 1 2x?

A. 1;1

 



 

  B. 1 C.

1 1;

3

 

 

  D.

1

     

Lời giải

(180)

0

2

1

1 2

3

1

3

x x

x

x x x x x

x x x

  

 

 

 

       



     



 



Câu 34. Tập hợp tập nghiệm phương trình 2x 1 4x?

A. 3;1

 



 

  B.

5 ;3

 



 

  C.

5 ;

 

 

  D.

5 3;

3

 



 

 

Lời giải

Chọn D

5

2

3

x x x

x x

x



   

 

    



  

  



Câu 35. Số nghiệm phương trình x73x 5 là:

A. B. C.1 D.

Lời giải

Chọn C

5

3

7 7

1

3

x x

x x x x x x x

x

x x

x



  

 

 

                



    

 

  



Câu 36. Số nghiệm phương trình 3x4  x là:

A. B. C.1 D.

Lời giải

Chọn A

3

3 4

3

x x x

x x x x

x x x

   

 

         

  

 

Câu 37. Số nghiệm phương trình 3x7x5x là:

A. B. C. D. Vô số nghiệm

Lời giải

Chọn A

+ Với x 5 phương trình trở thành: 3 x  x x3x12 x4(loại) + Với

3

x

   phương trình trở thành: 5 2

x x x x x

        (nhận)

+ Với

x phương trình trở thành: 3x   7 x x x12(nhận)

Câu 38. Phương trình 5x  5 x có nghiệm?

A. Vơ số nghiệm B.1 C. D.

2

(181)

Lời giải

Chọn A

5x    5 x 5x     5 x x 0x5

Câu 39. Với giá trị a phương trình3x 2ax 1 có nghiệm nhất?

A.

2

a B.

2

a C.

3

a

    

    

D.

3

a

 

     

Lời giải

Chọn C

3 (3 )

3

3 ( )

x ax a x

x ax

x ax a x

     

 

    

       

 

Để phương trình có nghiệm

3

3 2

3

2

a a

a

   

 

 



 

  

  

 

Câu 40. Tập nghiệm phương trình x24x3  x24x3 là:

A. ;1 B. 1;3 C. ;1  3; D. ;1  3;

Lời giải

Chọn C

2 2

4 4

3

x

x x x x x x

x

 

          

 

Câu 41. Tập nghiệm phương trình x3 3 x là:

A. ;3 B. ;3 C. 0;1; 2;3 D. 

Lời giải

Chọn B

3 3

x     x x x

Câu 42. Gọi tập nghiệm phương trình 4x5  4x5 S Kết luận sau đúng?

A. ;1S B. S  C. S   D. S

Lời giải

Chọn B

Vì giá trị tuyệt đối số không âm nên

5

4 4

4 5

4 x x

x x

x

     

 

     

 

  

(182)

Suy vô nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 43. Phương trình m24x2 2018 vơ nghiệm

A. m 2 B. m2 C. m 2 D. 2 m2

4

m m

     

Câu 44. Tập nghiệm phương trình 2x 1 x3 2x là:

A. 1;3

 



 

  B.

3

   

  C.

3 1;

2



 

 

  D. 

Lời giải

Chọn B

+ Với

x phương trình trở thành: 2 x   3 x x0x4 vô nghiệm

+ Với

2 x phương trình trở thành:

3

2

x    x x x x (nhận)

+ Với 2 x3 phương trình trở thành: 2x    1 x x 22x2x1(loại) + Với x3 phương trình trở thành: 2x     1 x x 0x  4 vô nghiệm

Câu 45. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2x5m 2x3m có nghiệm

A. m0; B. m0; C. m  ; 0 D. m   ; 

2x5m 2x3m (1)

Điều kiện để phương trình cho có nghiệm 2x3m0 (2) Với điều kiện (2), ta có:

(1)

2

x m x m

  



     



2 (3) (4) m

x m

 

  



Phương trình (3) có nghiệm x m0 Kết hợp điều kiện (2), suy 2x3.00  x0 Nghiệm phương trình (4) nghiệm phương trình (1) 2x3m02.2m3m0

0 m

 

Vậy phương trình (1) có nghiệm m0;

Câu 46. Cho phương trình m x2 6  4x3m Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A. Khi m2, phương trình cho có tập nghiệm 

B. Khi m 2, phương trình cho vô nghiệm

C. Khi m 2, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt

D. Khi m 2, phương trình có nghiệm

(183)

     

2

4

6

6 4 2

m x m

m x x m

m x m x m x m

   



    



     

 

Tập nghiệm phương trình cho hợp hai tập nghiệm phương trình    1 , Vì phương trình  2 ln có nghiệm 3 2 2

4 m x

m

 

 với giá trị tham số m nên

phương trình cho ln có nghiệm với giá trị tham số m Do phương án Bsai

Cách (Trắc nghiệm)

Trong bốn phương án nên ta thấy có phương án B D có kết luận trái ngược nhau, nên phương án sai phải nằm hai phương án Thay m 2 vào phương trình ta

4 6

x x

x x x

x x

  



     

   



Do với m 2 phương trình có nghiệm nên phương án sai B

Câu 47. Điều kiện cần đủ để phương trình x 1 x2  x3 m ( với m tham số thực) có hai nghiệm phân biệt là:

A. m2 B. m1 C. m 1 D. m 2

 

1 ,

1

1 ,

2 ,

,

=

3 ,

2 ,

x x x x

f x x x x

x x x x

x x

       



        



       

      



      



   



   

 

  



  



Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y f x  với đường thẳng

ym Ta có bảng biến thiên hàm số y f x 

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt m 1

Câu 48. Có giá trị nguyên m để phương trình x26x5 m có nghiệm phân biệt?

A. B. C. D.

Số nghiệm phương trình số giao điểm đường thẳng ym đồ thị hàm số

2

6

y x  x 

-1

x

y=f(x)

+∞ - ∞

-1

3

(184)

Đồ thị hàm số y x26 x 5 hàm số chẵn nên nhận trục

Oylà trục đối xứng Bao gồm đồ thị hàm số yx26x5 phía bên phải trục Oyvà phần lấy đối xứng qua trục Oy

Đồ thị hàm số y x2 6x 5 bao gồm đồ thị hàm số y x2 6 x 5ở phía bên trục

Oxvà lấy đối xứng phần bên trụcOx qua trục Ox hình vẽ bên

Để phương trình x26x 5m có nghiệm phân biệt đường thẳng ym đồ thị hàm số y x26x 5 cắt điểm 0m4 Mà mZ nên m1; 2;3

Vậy có giá trị ngun m để phương trình x26x5 m có nghiệm phân biệt

Câu 49. Số giá trị nguyên m để phương trình x24 m1 có bốn nghiệm phân biệt là:

A. B. C. D.

Ta có:    

 

2

1

5

4 *

4

m m

x m

x m x m

    



 

   



       

 

        

 

 

Để phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt phương trình (1);(2) có hai nghiệm phân biệt nghiệm phương trình (1) khơng nghiệm phương trình (2) ngược lại

Khi đóm phải thỏa mãn điều kiện sau:

2

1

5

1

3

1

5

m m

m

m m

m

x m x m

   

 

     

 

    

 

   

 

        



Do m nên m0;1; 2

Vậy có giá trị nguyên mthoả mãn yêu cầu toán

Câu 50. Phương trình x24x 3 m0 *  có bốn nghiệm phân biệt

A. 1 m3

B. 1 m3 C. 1 m3 D.

3

m m

 

  

 .

(185)

1 2

0

1

4

3

m

t t m

m

t t m

   

 

 

        

 

   



Câu 51. Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x22x3xx2 m có nghiệm

A. m ( ; 0][2;). B. m[0;) C. m D. m0; 2

Xét 2

2

x x

y x x x x x

x x x

  

 

      

   



có đồ thị hình vẽ bên

Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng ym ln cắt đồ thị vói  m 

Vậy phương trìn x22x 3xx2mcó nghiệm với  m 

Câu 52. Hàm số yx24x1 có bảng biến thiên hình vẽ bên Có giá trị nguyên m để phương trình x24x 1 m có nghiệm phân biệt

A. B. Vô số C. D.

Ta có x24x 1 m

4

x x m

    (1)

Khi số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số f x  x24x1 đường thẳng ym

Dựa vào bảng biến thiên yx24x1 ta suy bảng biến thiên hàm

   

2

4 ; 5;

4

4 5;

khi

           

 



    

       

 

x x x

f x x x

x x x

(186)

Do đó, ta có bảng biết thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có nghiệm phân biệt 0m5 nên có giá trị nguyên tham số m

Câu 53. Cho phương trình x2 x x22x Biết phương trình có nghiệm phân biệt x x1, 2 Tính

1

x x

A. 1 2

x x  B. x x1 2 2 C. 1 2

2

x x   D. x x1 2  3

Lời giải

Chọn D

Phương trình  2 2 2 6 x x

x x x x

                    2 2

2

x x x x x                

2 2 0

2 x x x x            

 1 2

2 3 x x x x          

Câu 54. Cho phương trình x3 3x24 Biết phương trình có nghiệm phân biệt x x1, 2 Tính x12x22

A. x12x22 4 B. x12x226 C. x12x22 8 D. x12x22 16

Lời giải

Chọn C

Phương trình



2

3

3 4 x x x x x                 3

3

x x x x x                 

3

1 2 x x x x x                    2 x x      

x12x228

Câu 55. Cho phương trình 2x2m5  x 2, tìm m để phương trình có nghiệm Một học sinh tiến hành giải biện luận phương trình sau:

Bước 1: 2x2m5 x2

2

x

x m x

                 

Bước 2: 

(187)

Bước 3: Phương trình có nghiệm 2

m m

    

Lý luận học sinh

A. Sai bước B. Sai bước

C. Sai bước D. Các bước lý luận

Lời giải

Chọn D

Câu 56. Tìm m để phương trình 2x x 4 m có hai nghiệm thực phân biệt?

A. m 6 B. m-4 C.  5 m2 D.  7 m1

Lời giải

Chọn B

Ta có 2x   x m  2x  x 4m Đặt ( ) 4;

3 4;

x x

f x x x

x x

  

    

  



Đồ thị hàm số f(x)

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình có hai nghiệm phân biệt  m 4

Câu 57. Tìm m để phương trình x23x m  1 x2 có nghiệm phân biệt?

A. m 2 B. m-1 C. m 2 D. m 1

Lời giải

Chọn B

Ta có x23x m  1 x2 x2 x23xm1 Đặt

2

2 2;

( )

4 2;

x x x

f x x x x

x x x

   



     

  

 

(188)

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình có hai nghiệm phân biệt  m  1  m 1

Câu 58. Tìm tất giá trị m để phương trình 2m21x53 vơ nghiệm

A. m 1 B. m 1 C. m1 D.  1 m1

Lời giải

Chọn A

     

 

   



        

   



2

2 5

2

m x

m x m x

m x

Phương trình vơ nghiệm  m2 1 0m 1

Câu 59. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình mx2m  mx x 1 có vô số nghiệm? A.  1

2

m B.  1

2

m C.  1

2

m D. m 

Lời giải

Chọn A Ta có

 

    

     

    



2

mx m mx x

mx m mx x

mx m mx x    

  

 

   



2

2 1

x m

m x m

Phương trình cho có vơ số nghiệm phương trình  1 vơ số nghiệm Phương trình  1 vô số nghiệm  1

2

m

Câu 60. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình mx2x1 x1 có hai nghiệm phân biệt?

A. m B. m\   C. m\   D. m\ 3; 1  

Lời giải

Chọn D

Ta có mx2x1 x1

    

 

    



2 1

mx x x

 

  

 

 



1

3

m x

Phương trình mx2x1 x1 có hai nghiệm phân biệt    

  

1

m

Câu 61. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình    

2

5

x x x m có hai nghiệm phân biệt?

A. 1m4 B. m1 C. m4 D. m1

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: x m

Ta có x25x4 x m 0

   

 

  



2 5 4 0

0

x x

x m

  

 

  

1

x x x m

(189)

Câu 62. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình    

3

1 x mx

m

x có hai nghiệm phân

biệt?

A. m 0; B. m C. m 0;  \ D. m0;

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: x 1

Để phương trình có nghiệm điều kiện cần m0

Khi m0, phương trình tương đương  3x mx 2 m x1  

 

    

 

    



3

x mx m x

 

   

 

 

 



2

m x

m

Phương trình    

3

1 x mx

m

x có hai nghiệm phân biệt

 

  



   

 

  

 



2

3 1

2

m

m m

m

(luôn

đúng m0)

Với m0 phương trình có nghiệm  2

3

x

Vậy m0 phương trình    

3

1 x mx

m

x có hai nghiệm phân biệt

Câu 63. Tìm m để phương trình x22x2x 1 m 3 có nghiệm

A. m0 B. m 2 C. m 3 D. m 1

Lời giải

Chọn D

Đặt t x1 ,t0 ta có phương trình: t22t m  2 (1) Phương trình cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t0

2

m t t

     có nghiệm t0dựa vào đồ thị hàm số f t  t22t2 với t 0;

1

m

  

Câu 64. Tìm mđể phương trình 2x23x2 5m4x2x2 có nghiệm

A. m0 B.

0 81 80 m m

 



 



C. 81

80

m D. 81

80 m

 

Lời giải

Chọn B

Phương trình 5m 2x23x2 2x24x

(190)

Ta có:  



2

1

2 ; 2;

2

4 ;

2

x x

f x

x x x

  

      

   

  

 

 

     

  



Phương trình cho có nghiệm đường thẳng y5m cắt đồ thị (C)

điểm Điều xảy

5 0

81 81

5

16 80

m m

   

 

   

 

 

Vậy  ; 0 81; 80

m   

 

giá trị cần tìm

Câu 65. Tìm m để phương trình x2 1 2x23x2 m1 có bốn nghiệm thực phân biệt?

A.

4m B.

7

4

m

   C. m4 D.  7 m1

Lời giải

Chọn B

Số nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị

    2

:

y m

C y f x x x x

  

 

     

 

Dựa vào đồ thị (C) ta có:

m

(191)

Câu 66. Số nghiệm phương trình x123 x1 20sau

A.1 B. C. D.

Lời giải

Chọn D

 12 1 1

1

x x

      

      

  

  





0

3

x x x x

 

  

   

  

 

Câu 67. Số nghiệm phương trình 4x x 1 2x1 1

A.1 B. C. D.

Lời giải

Chọn B

 

  VN

2

4 1 4 1

3

2 1 2 2

2 2

2

x x x x x x

x

x x

x

x x

         

  

      

        

  

 

  

  



 

2 2

2

4 15 17 14 31 15 15 16

7 33

7 15 8

7

7 33

7 15

8

               

 

 

   

 

     



     

  



pt x x x x x x x x

x

x x

x x ptvn

x

Câu 68. Tổng nghiệm phương trình 3 1 3 2

x

x x



 



A.  1 B. 4 C. D.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện x 2 *Nếu 1

3

x Ta có

2 1( )

3 1

3 3 1 ( 2)( 3) 3 1 6 4 5 0

5 2

 

 

                 



 

x loai

x

x x x x x x x x x

x x

*Nếu 1 3

(192)

2 1 8( ) 3 1

3 1 3 ( 2)( 3) 1 3 6 2 7 0

2 1 8

    

                 

    

x loai

x

x x x x x x x x x

x x

Phương trình có hai nghiệm x5,x  1 8 Vậy tổng nghiệm 4

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU A Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thường Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ • Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)

• Đặt ẩn phụ

2 10 50

1

2 (2 )( 3)

a)

x x x x

  

    2

3

( 1) (2 1)

x x

b)

x x

 



 

Lời giải

a)

Điều kiện x3,x2

Với điều kiện phương trình tương đương với

2  3 2 3 10 2  50 7 30 10

3

x

x x x x x x

x

 

           

  

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình x10 b)

Điều kiện 1,

x x

2

3

( 3)(2 1) 2( 1)

( 1)

x

x x x x

x x



       

 

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình x5

2 2

1 1

5 11 28 17 70

a)

x  x x  x  x  x  x 2

4

1

(2 )

b)

x x

 

(193)

Lời giải

a)

Điều kiện 10; 7; 4; 1;1

x     

 

2 2

2

1 1

5 11 28 17 70

1 1 1 1 1

3 4 7 10

1 1

3 10

7 12

4

x x x x x x x

x x x

x x

  

      

     

         

      

     

 

   

  

 

   

  

   



• Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm x3

b)

Điều kiện x0,x2

2 2

2

4 4

5

(2 ) (2 )

x x x x

x x

x x x x

       

   

2 2

2

5

2

x x

x

x x

 

     

 

 

2

4

5

2

x x

 

    

 

 

Đặt

2

x t

x



 , phương trình trở thành

2

4

5

t

t t

t

 

    

  

Với t1 ta có:

2

1

2

x x

 

      

 

 

Với t 5 ta có:

2

5 10

2

x

x x

x      

 vơ nghiệm

• Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm x 2,x1

Câu 3. Giải biện luận phương trình sau:

2

2 1

x mx

a) x

 





| | | 1|

x mx

b) m

x

 



(194)

Lời giải

a)

Điều kiện x2 1 0 x 1

Với điều kiện phương trình tương đương với 2

2

x mx x  mx  Với m0 phương trình trở thành 0x 3 vơ nghiệm

Với m0 phương trình tương đương x m

 

Đối chiếu điều kiện xét m

m

     

Kết luận:

Với m  3; 0;3 phương trình vơ nghiệm

Với m  3; 0;3 phương trình có nghiệm x m

 

b)

Điếu kiện: x 1

Trường hợp 1: m0 ta có: VT  0 VP suy phươn trình vơ nghiêm

Trường hợp 2: m0 phương trình tương đương với

 

   

1

3 2

3

3 2

2

m

m x

x

x mx m x

x mx m x m

m x m x

m

 



  

      

       

       

     

  



Với

2 m

x  ta xét 1

2 m

m



     , với m0

Với

2

m x

m

  

 ta xét

2

1

2

m

m m

 

    

 , với m0

Kết luận:

Với m0 phương trình có nghiệm

2 m

x  ,

2

m x

m

  



Với m0 phương trình vơ nghiệm

Câu 4. Tìm điiều kiện tham số ,a b để phươn trình:  

2

2 *

( )

a b a b

x a x b x a b x ab



 

    

a) Có nghiệm b) Có nghiệm

(195)

Điều kiện xa x, b

 

2

( ) ( )

( )

( )( ) ( ) **

a x b b x a a b

a b x a b

x a x b x a b x ab

   

    

    

a)

Phương trình  * có nghiệm phương trình *** có nghiệm  khác avà b

2

0

a b

a b a b

a b

a a b a a

a b

a b b b

a b

b a b

   

   

 

  

      



     

 

 

 

 

Vậy phương trình có nghiệm 0

a b

  

    

b)

Phương trình  * có nghiệm phương trình  ** có nghiệm khác a b

Với ab phương trình  ** trở thành 0x0: Phương trình  ** có nghiệm với

x Do phương trình  * có nghiệm

Với ab phương trình  ** tương đương với:

2

a b

x a b

a b



  



Suy phương trình  * có nghiệm

0

a b a a

a b b b

    



 

   



Vậy phương trình  * có nghiệm 0

a b

  

    

ab

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ

Câu 1. Số nghiệm phương trình 24

2

x

x x

 

 

A. B. C. D. 1.

(196)

Điều kiện xác định: 2 x x      

. Với điều kiện phương trình cho tương đương với phương

trình ( 1)(2 2) 24 ( 1)( 2)

2

4

x

x x

x x x x

x x x                    

So sánh điều kiện xác định, PT có nghiệm x 3

Câu 2. Biết phương trình

2

x

x x



  

  có nghiệm

a b

c



, với a, b, c nguyên dương

a

c tối giản Tính T 2a b 3c

A. T 5 B.T  1 C. T 1 D. T  5

Điều kiện xác định: x x        

Khi đó, phương trình

1

3

2

x x x           

1 3

x x x x

        7x211x 2

11 65 14 11 65 14 x x           

Vậy phương trình có hai nghiệm 11 65

14

x  11 65

14

x  Từ suy a11, b65, 14

c Vậy T  1

Câu 3. Tích tất nghiệm phương trình 2 2 1

2

x  x x  x 

A. B. C. 1 D.

2  Lời giải ChọnB Điều kiện: 2

2

x x x

x x x                   Đặt

t x x với t 2

Phương trình trở thành: 1

2

t t    t t2  t2t2

2 0 0

t t

   

Khi đó: 0

1 x x x x         

( Thỏa mãn đk) Vậy tích nghiệm

Câu 4. Số nghiệm phương trình

2 2 1 1 2

1 2 2

x x

x x x

 

  

  

A. B. C. D.

(197)

2 2 2 1 1 2

1 2 2

x x

x x x

 

  

  

2

2 2 2 1

x x

x

 

 



4

x x

   

2

x

  (loại)

Vậy số nghiệm phương trình

Câu 5. Cho phương trình

2

3

x x

 

 

 có nghiệm a Khi a thuộc tập:

A. 1;3

 

 

  B.

1 ; 2

 



 

  C.

1 ;1

 

 

  D. 

ĐK x3

 

2

3 13 3,

3 2

3

3 13

0,

x

x x

x x x x x x x

x

 

 



 

             



  

  

3 13 1

;

2 2

x   

    

 

Câu 6. Một xe khởi hành từ Krông Năng đến Nha Trang cách 175 km Khi xe tăng vận tốc trung bình vận tốc trung bình lúc 20 km/giờ Biết thời gian dùng để giờ, vận tốc trung bình lúc là:

A. 60 km/giờ B. 45 km/giờ C. 55 km/giờ D. 50 km/giờ

Gọi x km/giờ vận tốc trung bình lúc (x0)

Khi thời gian lúc 175

x

Thời gian lúc 175 20

x

Theo đề ta có 175 175 20

x x 

2

6x 230x 3500

   

50 35

3

x x

    

    Vậy vận tốc trung bình lúc 50 km/giờ

Câu 7. Tìm giá trị tham số m m  để phương trình

 

2

1

2 2

x m m x m m

x x

 

         

  có nghiệm thực

(198)

Đặt t x 1t 2;t 2

x

     x2 12 t2

x

   

Phương trình trở thành: t2m2m2tm32m0   

2

t m t m

    

2 2 2

t m

   

  



 Phương trình ln có nghiệm x

Câu 8. Phương trình

  

mx

x có nghiệm

A. m0 B.

2



m C. m0và

2



m D.

2

 

m

2



m Lời

giải ChọnD

Đk: x 1

Phương trình cho 2mx 3  x1(2m3)x4. Trường hợp 1:

2

  

m x (Vơ lí)

Trường hợp 2:



m

2

 



x m

Để

2

 

x

m nghiệm phương trình cho

4

1

2



   

 m

m

Do

 

m

2



m Vậy chọn D

Câu 9. Gọi S tập giá trị m để phương trình 3

2

x m x

x x

 

 

  vô nghiệm Tính bình phương

của tổng phần tử tập S

A. 121

9 B.

49

9 C.

65

9 D.

16

ĐKXĐ:

x x

  

 

Khi đó, biến đổi: 3 (3 7) 10(*)

2

x m x

m x m

x x

 

     

 

+ Nếu

m PT vơ nghiệm

+ Nếu 7:

m

-) Ta thấy x1 không thỏa mãn (*) -) Thay x2 vào (*) ta 4( )

3

(199)

Tính

2

7 65

3

   

 

   

   

Câu 10. Có giá trị tham số a để phương trình

1

x x

x a x a

 

    vô nghiệm?

A. B. C. D.

Điều kiện

x a

 

 

   

Khi đó,  1 2  1 2 1

1

x x

x x a x x a a x a

x a x a



            

   

Phương trình cho vơ nghiệm

  

2 1

2 2

1

2

a a a

a a

 

    



      



    

   

  

2

0

2 1

2 2

2

1

a

a a

a

a a

a

  

  

   

      



    

 

  

Vậy có giá trị tham số a để phương trình vơ nghiệm

Câu 11. Hàm số

2

3

2x

x x

y x

 



  có tập giá trị S a b;  Tính giá trị biểu thức

2

a b ab

A. 35 B. 25 C. 45 D. 55

2 2 3 0,

x  x  x    

2

3

2x

x x

y y x y x y

x

 

       

 

Nếu y3 phương trình có nghiệm x1

Nếu y3 để phương trình ẩn x có nghiêm    y12y3 3 y10

 

2

y y y y y

       

6 2 2

y y y

        

.a 3 2,b 3 2       

2

3 3 3 3 35

a b ab

          

Câu 12. Phương trình

1

x m x

x x

 



  có nghiệm khi:

A. m0 B. m1 C. m0 m1 D. m1

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: 1

x x

     

(200)

 

2

1

x m x

x x

  

   x m x   1 x 2x1

2

x x mx m x x

        

2

mx m

  

Phương trình  1 có nghiệm

 Phương trình  2 có nghiệm khác 1 2 m m m m m                 2 m m m m m              m ld m          m m        

Câu 13. Số nghiệm phương trình

 

2

9 2

1

1 x x x x x x        

A. B. C. D. 10

Lời giải

Chọn A

ĐKXĐ: x1

Ta có:       2 2

9 2

1 7

1

x x

x x x x

x x x x                

Đặt  

     

2

3 9

1 6

1 1 1

t x t x x t

x x x

            

  

Phương trình trở thành 7 6 t

t t t t

t            

 Với t 1 

2

3 2 2

1 1

x x x x

x

x x x

               2 13

3 2

3 1 13

2 x x x x x x                         (thỏa mãn)

 Với t6 

2

3 2 2

1 6

1 1

x x x x

x

x x x

   

       

  

2

4

8

4 2

x

x x

x x x

                    (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm 13

2

x  , 13

2

x  , x4 3 x  2

Câu 14. Tập nghiệm phương trình

2

x x

  



  là:

A. 11 65 11; 41

14 10            

B. 11 65 11; 41

Định dạng
Số trang	443
Dung lượng	8,52 MB