Đang tải... (xem toàn văn)
Trái Đất quay trên quỹ đạo quanh Mặt Trời với khoảng cách trung bình 150 triệu km hết 365,2564 ngày Mặt Trời trung bình (1 năm thiên văn, số liệu đo được đến năm 2006) Quỹ đạo của Trái Đ[r]
(1)Phương trình tổng quát đường thẳng
I PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa Vectơ −→n 6=−→0 có giá vng góc với đường thẳng∆ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng∆
Tính chất Ta có tính chất sau:
(a) Các vectơ pháp tuyến đường thẳng phương
(b) Hai đường thẳng song song vectơ phát tuyến phương
(c) Hai đường thẳng vng góc vectơ pháp tuyến vng góc
Định lý Trong mặt phẳng tọa độ cho điểmI(x◦;y◦), vectơ −
→n Đường thẳng qua I nhận −→n = (a;b) là vectơ pháp tuyến có phương trình:
a(x−x◦) +b(y−y◦) =
Định lý Trong mặt phằng tọa, đường thẳng có phương trình tổng quát dạng
ax+by+c= vớia2+b26=
Trong đó−→n = (a;b)là vectơ pháp tuyến đường thẳng Định lý (Phương trình đoạn chắn) Phương trình đường thẳng qua điểmA(a; 0) vàB(0;b)(a, b6= 0)
x a+
y b =
Định nghĩa Xét đường thẳng ∆ : y = kx+m cắt Ox tạiM TiaM tphía trục hồnh Gọiαlà góc tạo tia M tvà tia Ox Khi tanα gọi hệ số góc ∆ k= tanα
Ví dụ I.1
Cho đường thẳnga: 3x+ 4y+ = (a) Tìm vectơ pháp tuyến củaa
(b) Trong điểm sau, điểm thuộc a: A(−1; 0), B(1;−1), C(0,1)
(c) Tìm điểm thuộc a mà hồnh độ hai lần tung độ
(d) ĐiểmM(3; 2)có thuộca khơng? NếuM khơng thuộca, viết phương trình đường thẳng qua M song song vớia
Lời giải
(a) Một vectơ pháp tuyến của(a)là :−→n = (3; 4) (b) Thay tọa độ điểm A, B, C vào đường thẳng (a)
ta có:
ĐiểmA:3.(−1) + 4.0 + =−26= 0nênAkhông thuộc(a)
ĐiểmB :3.1 + 4.(−1) + = 0nênB thuộc(a) ĐiểmC:3.0+4.1+1 = 56= 0nênCkhông thuộc (a)
(c) GọiD điểm thuộc(a)mà hoành độ hai lần tung độ Khi ta có:xD= 2yD Thay tọa độ điểmD vào ta có:
3yD+ 4yD+ = 0⇔7yD+ = 0⇔yD= −1
7 VớiyD=−1
7 ⇒xD= −2
7 Vậy tọa độ điểmDlàD(−2
7 ; −1
7 )
(d) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (a) ta có: 3.3 + 4.2 + = 186= nên M không thuộc đường thẳnga
Gọi (b) đường thẳng quaM song song với(a)
Ta có:−→nb=−n→a= (3; 4)
Phương trình đường thẳng(b)là:
3(x−3) + 4(y−2) = 0⇔3x+ 4y− −17 =
Ví dụ I.2
Cho đường thẳng(d) :ax+ 2y+c=
(a) Tìmabiết vectơ pháp tuyến củadcùng phương với−→n = (2; 1)
(b) Tìmcbiết đường thẳng qua điểm M(−1; 5) Lời giải
(a) Vectơ pháp tuyến đường thẳng(d)là: −→
nd= (a; 2)
Do vectơ pháp tuyến (d) phương với −
→n = (2; 1)nên ta có: a
2 =
1 ⇒a=
(b) Điểm M thuộc vào đường thẳng (d) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (d)ta có:
4.(−1) + 2.5 +c= 0⇔c=−6
Ví dụ I.3
(2)(b) Viết phương trình đường trung trực củaBC (c) Viết phương trình đường thẳngAB
Lời giải
(a) Ta có:−BC−→= (−2,5) MàBC⊥AH nên−−→nAH=
−−→
BC= (−2; 5) Đường thẳng AH qua điểm A nhận −BC−→ làm vectơ pháp tuyến
Phương trình đường thẳngAH là:
−2(x+ 1) + 5(y−1) = 0⇔ −2x+ 5y−7 = ⇔2x−5y+ =
(b) Gọi I trung điểm B, C Khi tọa độ điểmI là:
xI = xB+xC yI =yB+yC
2
⇔ (x
I = yI =
3
Đường trung trực củaBClà đường thẳng qua Inhận−BC−→làm vectơ pháp tuyến Phương trình đường trung trực củaBC là:
−2(x−1) + 5(y−3 2) = ⇔ −2x+ 5y−11
2 = 0⇔4x−10y+ 11 = (c) Ta có:−AB−→= (3,−2)khi ta có:−−→nAB= (2; 3)
Phương trình đường thẳngAB là:
2(x+ 1) + 3(y−1) = 0⇔2x+ 3y−1 =
II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Tính chất Cho hai đường thẳng ∆1 : a1x+b1y+c1 = 0; ∆ :a2x+b2y+c2= Khi
• ∆1,∆2 cắt ⇔ a1 a2
6= b1 b2
; Khi tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình
a1x+b1y+c1= a2x+b2y+c2= • ∆1||∆2⇔
a1 a2 =
b1 b2 6=
c1 c2 • ∆1≡∆2⇔ a1
a2 = b1
b2 =c1
c2 Ví dụ II.1
Cho đường thẳnga: 2x−3y+ = 0và điểmA(1; 2) (a) Viết phương trình đường thẳng quaAsong song
vớia
(b) Viết phương trình đường thẳngb quaA vng góc vớia Tìm tọa độ giao điểm củaavàb Lời giải
(a) Gọi (d) đường thẳng qua A song song vớia
Khi đó:−→d =−→a = (2;−3) Phương trình đường thẳng(d):
2(x−1)−3(y−2) = 0⇔2x−3y+ = (b) Đường thẳng(b)vng góc với đường thẳng(a)
nên−→b = (3; 2) Vậy phương trình đường thẳng (b)là:
3(x−1) + 2(y−2) = 0⇔3x+ 2y−7 = Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình:
2x−3y+ = 3x+ 2y−7 = ⇔
x= 19 13 y= 17 13
Vậy tọa độ giao điểm là:(19 13;
17 13)
III BÀI TẬP
1 Cho tam giácABC cóA(1; 2), B(−1;−2)vàC(−1; 3) a) Viết phương trình tổng quát đường cao hạ từA
(Đ/s:y= 2)
b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC (Đ/s:x=−1)
c) Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB (Đ/s:x+ 2y= 0)
2 Cho tam giácA(−1; 3), B(1; 5) vàC(3;−1)
a) Viết phương trình đường trung trực củaABvàBC (Đ/s:AB:x+y−1 = 0, BC:x−3y+ = 0)
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.(Đ/s: Tâm đường tròn ngoại tiếp (−1
4 ; 4)) Cho đường thẳngd1: 3x−2y−1 = 0vàd2:x+y−2 =
a) Chứng minhA(0; 2)thuộcd2 không thuộcd1 (Đ/s: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d2 vàd1:
3.0−2.2−1 = −5 6= ⇒ A không thuộc vào đường thẳng d1
0 + 2−2 = 0⇒Athuộc vào đường thẳngd2)
b) Chứng minh d1 vàd2 cắt Tìm tọa độ giao điểm d1 vàd2
(Đ/s: 6=
−2
1 nên hai đường thẳng cắt Tọa độ giao điểm là:(1; 1))
c) Viết phương trình đường thẳng quaAvà vng góc với d2 (Đ/s:x−y+ = 0)
d) Viết phương trình đường thẳng quaAvà song song với d1
(3)4 Cho tam giác ABC có phương trình cạnh (AB) :x+4y−7 = 0,(AC) :x+y−3 = 0,(BC) : 3x+8y+1 =
a) Tìm tọa độ đỉnh tam giác (Đ/s:A(5
3;
3), B(−15; 11
2 ), C(5;−2)) b) Tìm tọa độ điểm đối xứng củaAquaBC
(Đ/s: Tọa độ điểm đối xứng vơi A qua BC là: ( 65
219; −508
219 ))
5 Cho đường thẳngd1 : 2x+ 3y−5 = điểmA(4; 5) Tìm tọa độ điểmB ∈d1sao choAB=
(Đ/s:B(1; 1), B(19 13;
9 13))
6 Cho đường thẳng(d) : 3x−2y+ = 0và điểmA(2,3) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A
song song với d (Đ/s:3x−2y= 0)
b) Viết phương trình tổng qt đường thẳng qua A vng góc với d (Đ/s:2x+ 3y−13 = 0)
7 Cho tam giácABC cóA(1; 2),B(−3; 4)vàC(2; 0) a) Viết phương trình đường trung tuyếnAM
(Đ/s:y= 2)
b) Viết phương trình đường caoBK (Đ/s:x−2y+ 11 = 0)
c) Viết phương trình đường trung trực củaAB (Đ/s:2x−y+ = 0)
8 Cho tam giácABC cóA(0; 1), B(−2; 3) vàC(2; 0) a) Viết phương trình đường cao AD, BE tìm tọa độ
trực tâm H tam giácABC
(Đ/s: AD : 4x−3y + = 0, BE : 2x−y + = 0, H(−9;−11))
b) Viết phương trình trung trực cạnhAB,AC tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
(Đ/s: Đường trung trực cạnhAB:x−y+ = Đường trung trực cạnh AC;2x−y−3
2 = Tọa độ điểmI(9
2; 15
2 ))
c) Tìm tọa độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC chứng minh H, I, Gthẳng hàng
(Đ/s:G(0;4 3) −−→
GH = (−9;−37 );
−→ HI= (27
2 ; 37
2 ) Ta có: −9
27
= −37
3 37
2
(4)Phương trình tham số đường thẳng
I LÝ THUYẾT
Định nghĩa Vectơ −→u 6=−→0 có giá song song trùng với∆ gọi vectơ phương đường thẳng ∆
Tính chất Vectơ phương có tính chất sau: • Các vectơ phương đường thẳng
phương với vng góc với vectơ pháp tuyến • Hai đường thẳng song song vectơ phương
đường vectơ phương đường thẳng • Hai đường thẳng vng góc vectơ phương
đường thẳng vectơ pháp tuyến đường thẳng
Định lý Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(xo;yo), vectơ−→u Đường thẳng quaInhận−→u = (a;b) vectơ phương có phương trình tham số:
x=xo+at y=yo+bt
Ghi Khi khử tham sốt phương trình viết lại dạng
x−x0
a =
y−y0
b ,(a, b6= 0)
Phương trình gọi phương trình tắc đường thẳng (trong trường hợpab= 0thì đường thẳng khơng có phương trình tắc)
Ghi Phương trình tắc đường thẳng qua hai điểmA(xA, yA), B(xB, yB)có dạng
x−xA xB−xA =
y−yA yB−ya
(Trong trường hợp ta cần cóxB6=xA, yB6=yA)
II VÍ DỤ
Ví dụ II.1
Cho đường thẳngdcó phương trình tham số
x= + 2t y=−1 + 4t (a) Tìm vectơ phương củad
(b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hồnh độ
(c) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hoành độ tung độ
(d) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A(−1; 1) song song vớid
Lời giải
(a) Một vectơ phương củadlà:−→u = (2; 4) (b) Gọi M điểm thuộc đường thẳng dcó hồnh
độ 5, tọa độ điểm M có dạng M(5, yM) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳngdta có:
5 = + 2t yM =−1 + ⇔
t= yM = Vậy tọa độ điểmM làM(5; 3)
(c) GọiN(xN, yN)là điểm thuộc đường thẳngdcó hồnh độ ba lần tung độ , ta có: xN = 3yN
Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳngdta có:
3yN = + 2t yN =−1 + 4t ⇔
t=3 yN =
7 VớiyN =
5 ⇒xN = 21
5 Vậy tọa độ điểmN làN(21
5 ; 5)
(d) Gọi d1 đường thẳng qua A song song vớid Khi ta có:−→ud1=−u→d= (2; 4)
Phương trình tham số đường thẳngd1 là:
(5)
Ví dụ II.2
Cho tam giác ABC có đỉnh
A(1; 2), B(−1; 4), C(−2; 0)
(a) Viết phương trình tham số đường thẳngAB (b) Viết phương trình tham số đường thẳng qua
Asong song vớiBC
(c) Tìm điểmD thuộcBC cho ADvng góc vớiBC
Lời giải
(a) Ta có:−AB−→= (−2; 2)
Vectơ phương đường thẳng AB là: −−→
uAB = (1;−1)
Phương trình tham số đường thẳngABlà:
x= +t y= 2−t
(b) Ta có:−BC−→= (−1;−4) Gọi dlà đường thẳng quaA song song vớiBC
Khi đó:−→ud=−BC−→= (−1;−4)
Phương trình tham số đường thẳngBC là:
x= 1−t y = 2−4t
(c) Phương trình đường thẳngBC là:
x=−2−t y=−4t
Ta có:AD⊥BC Khi đó:−−→uAD= (4;−1) Phương trình tham số đường thẳngADlà :
x= + 4t1 y= 2−t1 D=AD∩BC Khi đó:
−2−t= + 4t1 −4t= 2−t1 ⇔
t=−1 t1=−2
Vớit=−1 tọa độ điểmD làD(−1; 4)
René Descartes Sinh La Haye, Touraine (trước tỉnh, gọi vùng Pháp), Descartes gia đình quý tộc nhỏ, có truyền thống khoa bảng tín hữu Cơng giáo Rơma Lên tám tuổi, ơng gửi theo học trường học dòng Tên La Flèche Anjou, ông học suốt năm Bên cạnh mơn học cổ điển, Descartes cịn học toán thầy theo trường phái Kinh viện, học phái chủ trương dùng lý luận loài người để hiểu lý thuyết Kitô giáo Thiên Chúa giáo La Mã có ảnh hưởng mạnh mẽ đến suốt đời Descartes Sau trường, ông theo học luật Đại học Poitiers, tốt nghiệp năm 1616 Tuy vậy, ông chưa hành nghề luật; năm 1618 ông phục vụ cho Hoàng tử Maurice de Nassau, nhà lãnh đạo Liên hiệp tỉnh Hà Lan, với ý định theo đuổi đời binh nghiệp Những năm tiếp theo, Descartes phục vụ quân đội khác, ông bắt đầu tập trung vào toán học triết học Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau từ 1624 đến 1628, ơng Pháp Trong thời gian Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học làm thí nghiệm quang học Năm 1628, sau bán hết tài sản Pháp, ông chuyển sang sống Hà Lan, sống hầu hết quãng đời lại xứ hoa tuylip Descartes sống nhiều thành phố khác Hà Lan, Amsterdam, Deventer, Utrecht, Leiden Dường năm Hà Lan, Descartes viết tác phẩm lớn đầu tiên, Es-sais philosophiques (Các tiểu luận triết học), xuất năm 1637 Tác phẩm gồm bốn phần: tiểu luận hình học, quang học, phần thứ ba băng, Discours de la méthode (Bàn luận phương pháp), ơng trình bày nghiên cứu triết học Sau đời tác phẩm khác, kể Meditationes de Prima Philosophia (Suy ngẫm Triết học Tiên khởi, năm 1641, viết lại năm 1642) Principia Philosophiae (Các nguyên lý triết học, năm 1644) Cuốn sau ông dành tặng cho Công chúa Elizabeth Stuart xứ Bohemia, người bạn thân thiết ông Hà Lan Năm 1649 Nữ hoàng Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng dạy cho bà triết học triều đình Stockholm Cái lạnh khắc nghiệt xứ Bắc Âu làm ông mắc bệnh viêm phổi qua đời năm 1650
III BÀI TẬP
1 Cho đường thẳngd:
x=−3 + 2t y= 1−3t
(a) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ (Đ/s: (−7
9 ; 5))
(b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ lần hoành độ.(Đ/s: (−7
9 ; 10
9 ))
(c) Cho điểm A(−1; 0) A có thuộc dkhơng?Tìm điểm B thuộcdsao choAB=√5
(Đ/s:Akhơng thuộc vàod
Tọa độ điểmB làB(−3; 1) hoặcB(−11 13 ;
(6)2 Cho−→u = (1;−2) Viết phương trình tham số đường thẳng
(a) Qua A(−1; 0) nhận−→u làm vectơ phương (Đ/s: Phương trình tham số là:
x=−1 +t y=−2t ) (b) Viết phương trình tham số đường thẳng quaOnhận
−
→u là vectơ pháp tuyến.
(Đ/s: Phương trình tham số là:
x= 2t y=t ) Cho tam giácABC cóA(−2; 3), B(0; 1), C(2; 5)
(a) Viết phương trình tham số đường thẳng AB, BC (Đ/s:AB:
x=t
y= 1−t , BC :
x=t y= + 2t )
(b) Viết phương trình tham số đường thẳng quaAsong song với BC
(Đ/s: Phương trình tham số là:
x=−2 +t y= + 2t )
4 Cho đường thẳngd:
x= 2−3t
y=−1 + 2t điểmA(−1; 1) a) ĐiểmAcó thuộc đường thẳngdkhơng? Tại sao?
(Đ/s:A∈d)
b) Viết phương trình tổng quát đường thẳngd ( Đ/s: 2x+ 3y−1 = 0)
c) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A vng với d
(Đ/s:
x=−1 + 2t y= + 3t )
5 Cho đường thẳngd:x+ 2y−3 = 0và điểmA(0,1) a) Viết phương trình tham số củad
(Đ/s:
x= + 2t y=−t )
b) Tìm điểmM thuộcdsao choAM = (Đ/s:M(1; 1)hoặcM(−3
5 ; 5)) Cho hai điểmA(1; 3)vàB(3; 7)
a) Viết phương trình tham số đường thẳngdlà trung trực đoạn thẳng AB (Đ/s:
x= + 2t y= 5−t
b) Tìm trêndđiểmM cho tam giácAM Bvuông cân (Đ/s:M(4; 4)hoặcM(0; 6))
7 Cho đường thẳngd:
x=−2 +t
y= +−3t Tìm điểmM trênd choOM nhỏ làO gốc tọa độ
(Đ/s:M(−3 ;
−1 ))
8 Cho tam giácABC cóA(−2; 4), B(0,2), C(8,6)
(a) Viết phương trình tham số đường trung tuyếnBM vàCN
(Đ/s:BM:
x=t
y = +t ;CN:
x=−1 + 3t y= +t
(b) Cho điểm K(t; 2t−1) Tìm t cho trung điểm BK thuộc đường thẳngCN
(7)Khoảng cách- Góc
I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
Định lý Cho đường thẳng4:ax+by+c= 0và điểm A(x◦;y◦) Khi khoảng cách từA đến4 là:
d= |ax√◦+by◦+c|
a2+b2
Ví dụ I.1
Cho đường thẳngd: 3x+ 4y−1 = 0và điểmA(−1; 2) vàB(0;−2)
(a) Tính khoảng cách từAvàB đếnd
(b) Viết phương trình đường thẳng AB tính khoảng cách từO(0; 0)đến AB
Lời giải
(a) Khoảng cách từA, B đếndlà: d(A, d) = |3.(−√1) + 4.2−1|
32+ 42 = d(B, d) =|3.0 + 4.(√ −2)−1|
32+ 42 =
(b) Ta có: −AB−→ = (1;−4), vectơ pháp tuyến đường thẳngAB là:−−→nAB = (4; 1)
Phương trình đường thẳngAB là: 4(x−0) + 1(y+ 2) = 0⇔4x+y+ = Khoảng cách từO đếnABlà:
d(O;AB) = |4.0 + + 2√ |
42+ 12 =
√
17 = 2√17
17
Ví dụ I.2
Cho hai đường thẳnga: 2x−y= 1vàb: 2x−y−4 = Chứng minhakbvà tính khoảng cách hai đường thẳng avàb
Lời giải Ta có: 2 =
−1
−1 6=
−1
−4 nên hai đường thẳng a, bsong song với
Lấy A(1; 1)∈anên
d(a, b) =d(A, b) =|2.1√−1−4|
22+ 12 =
√
5 = 3√5
5 Vậy khoảng cách hai đường thẳng là:
√
5
Ví dụ I.3
Cho đường thẳng a: 5x+ 12y−13 = Viết phương trình đường thẳng song song với a cách a khoảng cách 13
Lời giảiGọidlà đường thẳng song song vớiakhi ta có:−n→d=−n→a= (5; 12)
Phương trình đường thẳngdcó dạng:5x+12y+m= Lấy A(1,2
3)∈a, đó: d(a, d) =d(A, d) =
|5.1 + 12.2 +m|
√
52+ 122 = 13
⇔ |13 +m|
13 = 13⇔|13 +m|= 169
⇔
13 +m= 169 13 +m=−169 ⇔
m= 156 m=−182 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 5x+ 12y+ 156 = 0hoặc5x+ 12y−182 =
Tính chất Cho đường thẳng ∆ :ax+by+c= hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) Khi
• M, N nằm phía ∆ (axM + byM +c)(axN +byN +c)>0
• M, N nằm khác phía ∆ (axM + byM +c)(axN +byN +c)<0
Tính chất (Phương trình đường phân giác) Cho hai đường thẳng cắt
d1:a1x+b1y+c1, d2:a2x+b2y+c2=
Khi phương trình hai đường phân giác góc tạo d1 vàd2 là:
|a1x+b1y+c1| p
a2 1+b21
=±|a2xp+b2y+c2|
a2 2+b22
Ví dụ I.4
Cho hai đường thẳnga: 3x+ 4y−7 = 0, b: 5x+ 12y−
17 = Chứng minha vàb cắt viết phương trình phân giác tạo hai đường thẳngavàb
Lời giảiTa có:3 6=
4
12 nên hai đường thẳng cắt Phương trình đường phân giác tạo hai đường thẳng a, blà:
|3x+ 4y−7| √
32+ 42 =±
|5x+ 12y−17| √
52+ 122
⇔ |3x+ 4y−7|
5 =±
|5x+ 12y−17|
13
⇔
13(3x+ 4y−7) = 5(5x+ 12y−17) 13(3x+ 4y−7) =−5(5x+ 12y−17)
⇔
14x−8y−6 =
64x+ 112y−176 = ⇔
(8)II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa Cho hai đường thẳnga, bcắt tạo thành góc, góc nhỏ góc gọi góc hai đường thẳng avàb
Nếu hai đường thẳng song song trùng ta quy ước góc chúng 0o Kí hiệu (a, b)[ hoặc(a, b) Ta có 0o≤(a, b)≤90o.
Tính chất Nếu−→u ,−→v vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) hai đường thẳnga, b Đặt α= (−→u ,−→v) Khi
• (a, b) =αnếu 0≤α≤90o.
• (a, b) = 180o−αnếu 90o< α≤180o.
• cos(a, b) =|cosα|
Ví dụ II.1
Cho hai đường thẳnga:x+y−1 = 0, b: 3x+ 4y−2 =
(a) Tính góc tạo bởiavàbvới trục hồnh (b) Tínhcosgóc hai đường thẳng avàb
Lời giải
(a) Phương trình trục hồnh làOx:y=
Vectơ pháp tuyến đường thẳn a, b, Ox là:
−→
na= (1; 1),−→nb= (3; 4);−−→nOx = (0; 1)
Góc tạo đường thẳnga, bvới trục hoành là: cos(a, Ox) = √ |1.0 + 1.1|
12+ 02.√12+ 12 =
√
2 =
√
2
⇒(a, Ox) = 45o
cos(b, Ox) =√ |3.0 + 4.1|
32+ 42√02+ 12 =
⇒(b, Ox) = arccos(4 5)
(b) Góc hai đường thẳngavàblà: cos(a, b) = √ |1.3 + 1.4|
12+ 12.√32+ 42 = 5√2 =
7√2 10
⇒(a, b) = arccos(7
√
2 10 )
Ví dụ II.2
Cho đường thẳng a : x−y = Viết phương trình đường thẳngbqua điểmM(1; 2)sao cho góc giữaavà b là45◦
Lời giải Gọi −→nb = (m, n) vectơ pháp tuyến đường thẳngb
Khi đó, phương trình đường thẳngblà:
m(x−1) +n(y−2) =
Ta có: VTPT đường thẳngalà:−n→a= (1;−1) Góc giữaa, blà45◦ nên ta có:
cos(a, b) =√ |1.m−1.n|
12+ 12.√m2+n2 =
√
2
⇔ √|m−n|
m2+n2 = 1⇔|m−n|=
√
m2+n2
⇔2mn= 0⇔
m= n=
Vớim= 0chọnn= 1khi ta có phương trình đường thẳng blày=
Vớim= 0chọnn= 1khi ta có phương trình đường thẳng blà:x=
III BÀI TẬP
1 Cho hai đường thẳngd1: 2x+ 3y−1vàd2:−3x+y= điểmA(1; 2)
(a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độO đến d1 vàd2 (Đ/s:
d(O, d1) =
√
13
13 , d(O, d2) =
(b) Tính góc hai đường thẳngd1, d2 (Đ/s:(d1, d2) = arccos(3
√
130 130 )
2 Cho tam giácABC cóA(−1; 1), B(0,3), C(2;−1) (a) Viết phương trình đường thẳngBC
(Đ/s:BC: 2x+y−3 = 0)
(b) Tính độ dài đường cao hạ từ A diện tích tam giác ABC (Đ/s:SABC = 4)
3 Cho đường thẳngd1: 3x+ 4y−5 =
(a) Tìm điểm A thuộc Ox cho khoảng cách từ A đến d1 2.(A(5; 0), A(−5
3 ; 0))
(b) Tìm điểm B thuộcOy cho khoảng cách từ B đến d1 3.(Đ/s:B(0; 5), B(0;
−5 ))
(c) Viết phương trình đường thẳng song song vớid1và cách d1 khoảng
(9)4 Cho đường thẳngd:x−y−1 =
(a) Viết phương trình đường thẳng quaO tạo vớidmột góc45o (Đ/s:x= 0, y= 0)
(b) Cho hai điểmA(1; 0) vàB(−2; 1) Xét vị trí tương đối AvàB đối vớid
(Đ/s:Athuộcd,B khơng thuộcd)
(10)Phương trình đường trịn
I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
Định lý Đường trịn tâmI(a, b)có bán kính R có phương trình
(x−a)2+ (y−b)2=R2
Định lý Phương trình dạngx2+y2+ 2ax+ 2by+c= phương trình đường tròn a2+b2 > c Khi tâm I(−a;−b)và bán kínhR=√a2+b2−c
Ví dụ I.1
Cho điểm I(1; 2)vàA(−1; 4)
(a) Viết phương trình đường trịn tâm I bán kính
R=
(b) Viết phương trình đường trịn tâm I bán kính
IA
(c) Xét vị trí tương đối củaB(3; 1) với đường trịn tâmIbán kínhIA
Lời giải
(a) Phương trình đường trịn tâmI bán kínhR= là:
(x−1)2+(y−2)2= 32⇔x2+y2−2x−4y−4 = 0
(b) Ta có:−IA→= (−2; 2)⇒IA= 2√2
Phương trình đường trịn tâmIbán kínhIAlà: (x−1)2+(y−2)2= 8⇔x2+y2−2x−4y−3 = 0
(c) Ta có:−→IB= (2;−1)⇒IB=√5
IA > IB (2√2>√5) nên B nằm đường tròn tâmI bán kínhIA
Ví dụ I.2
Cho phương trìnhx2−2(m−1)x+y2−4my+5m2= 0.
(*)
(a) Khi m = 0, (*) có phải phương trình đường trịn khơng?Tìm tọa độ tâm tính bán kính (b) Tìm tất m để (*) phương trình
đường trịn
(c) Khi (*) phương trình đường trịn, chứng minh tâmIluôn thuộc đường thẳng cố định
Lời giải
(a) Khim= 0thay vào(∗)ta có:
x2+ 2x+y2= 0⇔(x+ 1)2+y2= 1
Khi đó:(∗)là phương trình đường trịn
Tâm:(−1; 0), bán kính là:1
(b) Để(∗)là phương trình đường trịn: (−(m−1))2+ (−2m)2>5m2
⇔m2−2m+ + 4m2>5m2
⇔ −2m+ 1>0⇔m <
2
(c) TâmI đường trịn(∗)là:I(m−1,2m) Ta có:xI =m−1(1), yI = 2m(2)khi đó:
m=xI+ thay vào(2)ta có:
yI = 2(xI+ 1)⇔2xI−yI+ =
Vậy điểmI thuộc vào đường thẳng : 2x−y+ =
II PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Cho đường trịn tâmI(a, b)bán kínhR Khi phương trình tiếp tuyến điểmA(xo, yo)là:
(x−xo)(xo−a) + (y−yo)(yo−b) =
Ví dụ II.1
Cho đường tròn(C) :x2+y2−2x+ 4y= (a) Tìm tọa độ tâm tính bán kính của(C) (b) Viết phương trình tiếp tuyến của(C)tạiA(2; 0)
Lời giải
(a) Tọa độ tâm, bán kính đường trịn(C)là: TâmI(1;−2)
Bán kínhR=√12+ 22−0 =√5
(b) Phương trình tiếp tuyến của(C)tại A(2; 0)là: (x−2)(2−1) + (y−0)(0−(−2)) =
⇔x−2 + 2y=
Ghi Tiếp tuyến đường trịn tâm I bán kính R đường thẳng cách I khoảng cách R Ta sử dụng tính chất để viết phương trình tiếp tuyến số trường hợp khác
Ví dụ II.2
Cho đường tròn(C) : (x−1)2+ (y−3)2= 25
(a) Viết phương trình tiếp tuyến của(C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng4x+ 3y= (b) Viết phương trình tiếp tuyến(C)biết tiếp tuyến
vng góc với3x+ 4y+ =
Lời giải
(11)3y+m= 0(m6= 0)
Tâm bán kính đường trịn(C)làI(1; 3), R= Dodlà tiếp tuyến đường trịn(C)nên ta có:
d(I, d) =R⇔ |4.1 + 3√ +m|
42+ 32 =
⇔|13 +m|= 25
⇔
13 +m= 25 13 +m=−25 ⇔
m= 12(N)
m=−38(N) Vớim= 12phương trình tiếp tuyến là: 4x+ 3y+ 12 =
Vớim=−38phương trình tiếp tuyến là: 4x+ 3y−38 =
III BÀI TẬP
Bài 1.Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 4), B(2;−1).Viết phương trình đường trịn trường hợp sau:
(a) TâmAbán kínhR= (Đ/s:(x−3)2+ (y−4)2= 16)
(b) TâmB bán kínhR= 5.(Đ/s:(x−2)2+ (y+ 1)2= 25)
(c) TâmO(0; 0)bán kínhOA.(Đ/s:x2+y2= 25)
(d) Đường trịn đường kínhAB (Đ/s:(x−5
2)
2+ (y−3
2)
2= 13
2 )
Bài 2.Cho tam giác ABC có A(−1; 0), B(2; 2), C(2;−6) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giácABC (Đ/s:(x−5
2)
2+ (y+ 2)2= 65
4 )
Bài 3.Cho đường thẳngd: 4x−3y−1 = 0và điểmA(2; 1)
(a) Viết phương trình đường tròn tâmAvà tiếp xúc vớid (Đ/s:(x−2)2+ (y−1)2= 16
25)
(b) ChodcắtOxtạiB Viết phương trình đường trịn tâm
B tiếp xúc vớiOy (Đ/s:(x−1
4)
2+y2=
16)
Bài 4.Cho đường tròn(C) :x2+y2−4x+ 2y=
(a) Tìm tọa độ tâm tính bán kính đường trịn (Đ/s: Tâm I(2;−1), bán kínhR=√5)
(b) Chứng minh A(4;−2) thuộc(C) viết phương trình tiếp tuyến tạiAcủa (C)
(Đ/s:2x−y−9 = 0)
Bài 5.Cho đường tròn (C) : (x−1)2+ (y+ 3)2 = Viết
phương trình tiếp của(C)biết tiếp tuyến
(a) Song song với đường thẳng2x+y−1 = (Đ/s:2x+y+ = 0; 2x+y−4 = 0)
(b) Vng góc với đường thẳng4x−y+ =
(Đ/s:x+ 4y+√85 + 11 = 0;x+ 4y−√85 + 11 = 0)
Bài 6.Cho đường tròn (C) : (x−5
2)
2+ (y+ 2)2 = 49
4 đường thẳngd: 2x+y+ =
(a) Tìm tọa độ giao điểmA, B củadvà(C) (Đ/s:A(2
5,− 24
5 ), B(−1;−3) hoặcA(−1;−3), B(2
5,− 24
5 ))
(b) Viết phương trình tiếp tuyến (C)tại AvàB Tìm tọa độ giao điểm hai tiếp tuyến
( Phương trình hai tiếp tuyến là: 7x+ 2y+ 13 = 0,3x+ 4y+ = 0, tọa độ giao điểm là: (−17
11;− 12 11))
Bài 7.Lập phương trình đường trịn trường hợp sau:
(a) Tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳngd:x−2y−2 = (Đ/s:(x+ 1)2+ (y−2)2=49
5 )
(b) Tâm thuộc đường thẳng x+y−3 = 0, bán kính tiếp xúcOx
(Đ/s:(x−2)2+ (y−1)2= 1; (x−4)2+ (y+ 1)2= 1) (c) Đi qua hai điểmA(0,1), B(2,−3)và bán kínhR=
(Đ/s:(x−5)2+ (y−1)2= 25,(x+ 3)2+ (y+ 3)2= 25)
(d) Đi qua hai điểm A(1,2), B(3,4) tiếp xúc với đường thẳng d: 3x+y−3 =
(Đ/s:(x−4)2+ (y−1)2= 10,(x−3
2)
2+ (y−7
2)
2=
2) (e) Đi qua gốc toạ độ, có bán kínhR=√5và có tâm nằm
trên đường thẳngx+y−1 =
(Đ/s:(x−2)2+ (y+ 1)2= 5,(x+ 1)2+ (y−2)2= 5)
(f) Có bán kính R = √5, qua gốc toạ độ tiếp xúc đường thẳng2x−y+ =
(Đ/s:(x+ 2−2√2)2+ (y−1−4√2)2= 5,
(x+ + 2√2)2+ (y−1 + 4√2)2= 5)
(g) Tiếp xúc vớid1:x−3y−2 = 0, d2:x−3y+ 18 = 0và
đi qua điểmA(4,−2)
(Đ/s:(x−10)2+ (y−6)2= 100,(x+28
5 )
2+ (y−4
5)
2=
100)
(h) Tiếp xúc vớid1: 2x+y−1 = 0, d2: 2x−y+ = 0và
có tâm thuộc đường thẳng d3:x−y−1 =
(Đ/s:(x−5
2)
2+ (y−3
2)
2= 121
10 , (x+1
4)
2+ (y+5
4)
2= 121
10)
(i) Tiếp xúc vớid:x−y−2 = 0tại M(1,−1) có bán kính bằng3
(Đ/s:(x−2 + √
2 )
2+ (y+2 +
√
2 )
2= 9,
(x−2−3 √
2 )
2+ (y+2−3
√
2 )
2= 9)
(j) Ngoại tiếp tam giác ABC biết
A(−2,4), B(6,−2), C(5,5)
(Đ/s:(x−50
31)
2+ (y−15
31)
2= 24425
(12)Phương trình tắc Elip
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1(Ellipse) Ellipselà tập hợp tất điểm có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định cho trước khoảng không đổi
Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0)
số 2a (a > c) Ellipse (E) tập hợp điểm M cho
M F1+M F2= 2a
(E) ={M:M F1+M F2= 2a}
F1, F2gọi cáctiêu điểm, khoảng cáchF1F2= 2cgọi tiêu
cựcủa(E)
Định lý 1(Phương trình tắc) Nếu chọn hệ trục có Oxy choF1(−c,0), F2(c,0) (E) có phương
trình tắc
x2
a2 +
y2
b2 =
với b=√a2−c2.
Tính chất Nếu elip có phương trình tắc
x2 a2 +
y2
b2 = 1(a > b >0)thì
• Tính đối xứng:(E)có trục đối xứng làOx, Oy, tâm đối xứng gốc tọa độ
• Trục lớn A1A2= 2anằm Ox, trục bé B1B2= 2b
nằm Oy
• Các đỉnh A1(−a,0), A2(a,0), B1(−b,0), B2(b,0) • Hai tiêu điểm F1(−c,0), F2(c,0)
• Phương trình cạnh hình chữ nhật sở:x=±a, y=
±b
• Tâm sai e = c
a, < e < Vì b a =
√
1−e2 nên e
càng gần ellipse “tròn”,ecàng gần ellipse “dẹp”
• Bán kính qua tiêu điểmM(x0, y0)trên(E)
M F1=a+ex0;M F2=a−ex0
Ví dụ I.1
Vẽ ellipse sau Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng, phương trình đường chuẩn, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai
(a) x
2
16 +y
2= 1 (b)9x2+ 4y2= 36
Lời giải
(a) Tâm đối xứngO(0; 0)
Trục đối xứng làx= 0;y=
Phương trình đường chuẩn là:x=±4, y=±1
Tiêu cựF1F2= √
15
Tiêu điểm: F1(− √
15; 0), F2( √
15; 0) Tâm sai: e= c
a =
√
15
(b) 9x2+ 4y2
= 36⇔x
4 +
y2
9 = 1(1)
Doa < b(2 <3) nên (1)khơng phải phương trình tắc elip
Ví dụ I.2
Tìm phương trình tắc elip biết hai tiêu điểm √3,0
and −√3,0
và qua điểmA(0,3)
Lời giải Gọi phương trình tắc elip cần tìm có dạng:
x2 a2 +
y2 b2 =
thỏa mãn a2−b2=c2, a > b >0
Elip có hai tiêu điểm là(√3; 0),(−√3; 0)nênc=√3 Khi ta có: a2−b2=c2= (1)
Elip quaA(0,3) nên:
b2 = 1⇔b 2= 9
Thayb2= 9vào(1)ta có:a2−9 = 3⇔a2= 12
Vậy phương trình elip cần tìm là:
x2
12+
b2
9 =
Ví dụ I.3
Cho elip có phương trình (E) : x
2
6 +
y2
3 =
(a) Tìm tọa độ hai tiêu điểmF1, F2 elip
(b) Tìm điểmM thuộc elip choM F1= 2M F2
(c) Tìm điểmM thuộc elip cho∠F1M F2= 90o
Lời giải
(a) Ta có:a2= 6, b2= 3khi đó:
c2=a2−b2= 6−3 = 3
Vậy tọa độ hai tiêu điểm là: F1= (−
√
3; 0), F2= ( √
3; 0)
(b) GọiM(xM, yM) DoM ∈(E)nên: x2
M
6 +
y2
M
3 = 1⇔3x
2
(13)Mặt khác ta có: M F1 = 2M F2 ⇔ M F12 =
4M F2
⇔(−√3−xM)2+y2
M = 4[(
√
3−x)2+y2
M]
⇔ + 2√3xM +x2M +yM2 = 4(3−2
√
3xM + x2
M +y
2
M)
⇔3x2M+ 3yM2 −10√3xM =−9(2)
Lấy2∗(2)−(1)ta có:
3x2
M−20
√
3xM+ 36 = 0⇔
xM = 6√3
xM =
√
3
VớixM =
√
3thay vào(1)ta có:y2
M =−51(L) VớixM =
√
3
3 thay vào(1)ta có:yM =±
√
21
Vậy tọa độ điểm M là: M(2
√
3 ;
√
21 ), M(
2√3 ;−
√
21 )
(c) GọiM(m, n) DoM ∈(E)nên ta có: m2
6 +
n2
3 = 1⇔m
2+ 2n2= 6(3)
GócF1M F2= 90◦ nên ta có:
M F1⊥M F2⇔ −−−→
F1M −−−→
F2M = ⇔(m+√3)(m−√3) +y.y=
⇔m2−3 +n2= 0(4)
Từ(3),(4)ta có: hệ phương trình:
m2+ 2n2= 6
m2+n2= 3 ⇔
m2= 0
n2= 3
Vậy tọa độ điểmM làM(0;√3), M(0;−√3)
II BÀI TẬP
Bài 1.(Nội thất) Phía cửa số nửa elip Phương trình tắc elip biết gốc tọa độ trung điểm cạnh cửa sổ(hình1)
Bài 2.Nhà Trắng.Có vùng đất phía nam Nhà Trắng, gọi cơng viên tổng thống, hình vẽ Viết phương trình elip lấy gốc tọa độ tâm elip.(hình??)
Bài 3.Thiên văn học Quỹ đạo hành tinh quay
quanh mặt trời đường elip với mặt trời tiêu điểm quỹ đạo Khoảng cách mặt trời so với tâm elip 21.24 triệu km, gần hành tinh cách mặt trời khoảng 206.75 (xấp xỉ), khoảng cách gần hành tinh cách tâm elip khoảng 226.94 tr km Viết phương trình elip vẽ mơ tả elip
Bài 4.Thiên văn họcKhi gần nhất, Trái đất cách mặt trời
91.4 tr km xa 94.5 tr km Giả sử tâm quỹ đạo gốc, mặt trời thuộc trục hồnh bán kính mặt trời 400,000 dặm Viết phương trình quỹ đạo trái đất (hình
4)
Bài 5.Đấu trường Colosseum Rome hình elip với độ dài trục lớn 190m trục nhỏ 155m Viết phương trình tắc đấu trường
Bài 6.Cho(E) : x
2
7 +
y2
4 = Tìm điểm M (E) cho:
(a) M F1= 2M F2 (Đ/s:M(
7√3 ;
4√15 ),(
7√3 ;−
4√15 )
(b) M nhìn hai tiêu điểm góc600.
(Đ/s:(±35
3 ;± 3)
Bài 7.Cho ABCD hình thoi có đỉnh trùng với đỉnh elip Bán kính đường trịn nội tiếp hình thoi √2 Viết phương trình tắc elip biết tâm sai e = √1
2 Bài tốn giải khơng ta biết
đỉnh hình thoinằm elip?
(x
2
6 +
y2
3 = 1) Bài 8.Cho(E) : x
2
8 +
y2
4 = 1và dường thẳngd:x−y
√
2 + =
(a) Chứng minh (d) ln cắt (E) hai điểm A,B Tính AB (AB= 3√2)
(b) Tìm điểm C (E) cho diện tích tam giác ABC lớn
(C(2,−√2hoặcC(−2;√2)
Bài 9.Tìm trên(E) : x
2
16 +
y2
13 = hai điểm M, N cho
tam giácF1M N
(M(8
√
3 ;
13 ), N(
8√3 ;−
13
5 )
M(−24
√
3 11 ;
13 11), N(
−24√3 11 ;−
13 11)) Bài 10.Cho (E) : x
2
4 +
y2
1 = Tìm A, B thuộc (E) có
hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn
(A(√2;
√
2 ), B(
√
2,− √
2 )) Bài 11.Cho(E) : x
2
16+
y2
7 = Tìm điểm M (E)
cho:
(a) 2M F1= 3M F2 (M(
16 15;±
√
1463 15 )
(b) M F1
+
M F2
=
F1F2
(M(±2 √
2 ;±
√
238 )
(c) M F3
1 +M F23= 182(M(±2;± √
21 )
Bài 12.Cho(E) : x
2
9 +
y2
4 = 1và điểm M(2,1)
(a) Chứng minh M nằm (E)
(b) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (E) hai điểm A, B cho M trung điểm AB
(8x+ 9y−25 = 0)
(c) Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến đường thẳng AB (d(F1, AB) =
8√5 + 25
√ , d(F2, AB) =
−8√5 + 25
(14)Bài 13.Cho(E) :x2+2y2= 2và đường thẳngd:x+y+m=
0 Tìmmđể:
(a) Đường thẳng (d) cắt (E) hai điểm phân biệt Khi đó:
(i) Tìm tập hợp trung điểm AB (ii) Tìm mđể độ dài AB lớn
(iii) Tìmmđể khoảng cách từ gốc toạ độ đến AB nửa độ dài đoạn AB
(b) Đường thẳng(d)có điểm chung với (E) (M =±1)
Bài 14.Cho(E) : x
2
a2 +
y2
b2 = 1, a > b >0
(a) Gọi A, B hai điểm (E) cho OA vng góc OB Chứng minh
OA2 +
1
OB2 =
1
a2+
1
b2
(b) Chứng minh đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn cố định
Bài 15.Cho(E) : x
2
a2 +
y2
b2 = 1, a > b >0 GọiF1, F2là hai
tiêu điểm vàA1, A2 hai đỉnh trục lớn M điểm
tuỳ ý (E) có hình chiếu Ox H Chứng minh rằng: (a) M F1.M F2+OM2=a2+b2
(b)(M F1−M F2)2= 4(OM2−b2)
(c) M H2=−b
a2HA1.HA2
Bài 16.Cho(E) : x
2
9 +
y2
3 = Gọi A, B hai điểm
(E) cho OA vng OB Xác định vị trí AB cho tam giác OAB có diện tích lớn
(OA;OBnằm hai trục tọa độ)
Bài 17.Cho(E) : x
2
a2 +
y2
b2 = 1, a > b > đường thẳng
d:Ax+By+C=
(a) Tìm điều kiện củaa, b, A, B, C để (E) vàdcó điểm chung, khơng có điểm chung
(b) Khi (E) vàdkhơng có điểm chung Tìm điểm M thuộc (E) cho khoảng cách từ M đếndđạt GTLN, GTNN
Bài 18.Cho(E) : x
2
a2+
y2
b2 = 1, a > b >0và điểmM(x0, y0)
nằm (E)
(a) Chứng minh a≤OM ≤b
(b) Chứng minh|x0+y0)| ≤ √
a2+b2
(c) Tìm điểm thuộc (E) cho khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm phải lớn nhất, nhỏ
Quỹ đạo Trái Đất đường Trái Đất xung quanh Mặt trời Trái Đất quay quỹ đạo quanh Mặt Trời với khoảng cách trung bình 150 triệu km hết 365,2564 ngày Mặt Trời trung bình (1 năm thiên văn, số liệu đo đến năm 2006) Quỹ đạo Trái Đất xung quanh Mặt Trời gọi đường hồng đạo Trên đường hồng đạo có điểm đặc biệt : điểm cận nhật, điểm viễn nhật, điểm xuân phân, điểm hạ chí, điểm thu phân, điểm đơng chí Góc điểm cận nhật điểm xn phân khoảng
(15)Bài tập tổng hợp
I BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC - TỨ GIÁC
Ví dụ Cho tam giác ABC có A(0; 3) Xác định tọa độ B, C biết:
(a) Phương trình hai đường trung tuyến từ B, C 4x−
9y−1 = 0vàx+ 3y−2 =
(b) Có hai đường cao từB vàC làx−y+ = 0và2x+
y−3 = Lời giải
(a) G trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểmGlà nghiệm hệ phương trình:
4x−9y−1 =
x+ 3y−2 = ⇔
(x= 1
y=1
Suy raG(1;1 3)⇒
−→
AG= (1;−8 )
Gọi M(xM;yM) trung điểm BC, ta có
−−→
AM = (xM, yM −3) Ta có: −→AG=2
3
−−→
AM
⇔
2
3xM =
3(yM −3) =−
⇔ (
xM =3
yM =−1
C thuộc đường trung tuyến từ đỉnhCnên tọa độ điểm C có dạngC(2−3a;a) tọa độ điểmB có dạng B(1 + 3a,−2 −a) Điểm B thuộc vào đường trung tuyến từ đỉnhB:
4(1 + 3a)−9(−2−a)−1 = 0⇔a=−1
Vớia=−1 tọa độ điểmB(−2;−1), C(5;−1)
(b) GọiH(xH, yH)là trực tâm tam giácABC Tọa độ điểmH nghiệm hệ phương trình:
x−y=−1 2x+y= ⇔
x=2
y=
⇒H(2 3;
5 3)
Gọi B(b, b+ 1)⇒−AB−→= (b, b−2)
−−→
nCH = (2; 1) Ta có−AB,−→ −−→nCH phương nên ta có: b
2 =
b−2
1 ⇔b=
⇒B(4; 5)
Ta có: −−→AH= (2 3,−
4
3) MàAH ⊥BC⇒
−−→
BC= (1;−2)
Phương trình đường thẳngBC là:
1.(x−4)−2(y−5) = 0⇔x−2y+ =
Tọa độ điểmC nghiệm hệ phương trình:
x−2y+ = 2x+y−3 =
Ví dụ Cho tam giácABC cóA(−1; 2), đường caoCD :
x+ 2y+ = 0và trung tuyếnBM:x−3y−3 =
(a) Viết phương trình đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm B
(b) Tìm tọa độ điểmC
Lời giải
(a) Vectơ pháp tuyến đường thẳngCDlà−−→nCD = (1; 2) Khi vectơ phương đường thẳngCDlà−−→uCD= (2;−1)
AB ⊥CD vectơ pháp tuyến đường thẳng AB là−−→nAB =
−−→
CD= (2;−1)
Phương trình đường thẳngABlà:
2(x+ 1)−1(y−2) = 0⇔2x−y+ =
(b) M ∈BM Gọi tọa độ điểmM làM(3b+ 3, b)
M trung điểm đoạnAC tọa độ điểmClà C(6b+ 7,2b−2)
C ∈ CD thay tọa độ điểm C vào đường thẳngCD ta có:
6b+ + 2(2b−2) + = 0⇔10b+ = 0⇔b=−1
2
Vớib=−1
2 tọa độ điểmC(4;−3)
Ví dụ Lập phương trình cạnh 4ABC biết B(−2,1), đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có phương trình d1 : 5x+ 4y−1 = 0, d2 : 8x+y−7 =
Lời giải
Thay tọa độ điểmB vàod1ta có:
5.(−2) + 4.1−1 =−76= Khi đóB khơng thuộc vàod1
Giả sử d1, d2 đường cao, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnhA
Khi tọa độ điểmAlà nghiệm hệ phương trình là:
5x+ 4y−1 = 8x+y−7 = ⇔
x=
y=−1 ⇒A(1;−1)
Ta có: −BA−→ = (3;−2) Khi vectơ pháp tuyến đường thẳng AB là−−→nAB= (2; 3)
Phương trình đường thẳngAB
2(x+ 2) + 3(y−1) = 0⇔2x+ 3y+ =
Vectơ pháp tuyến đường thẳng d1 −→nd1 = (5; 4) nên vectơ phương đường thẳngd1 là−→ud1 = (4;−5)
Ta có:d1 ⊥BC Khi vectơ pháp tuyến đường thẳng BC là−−→nBC =−→ud1= (4;−5)
Phương trình đường thẳngBC là:
4(x+ 2)−5(y−1) = 0⇔4x−5y+ 13 =
d2T
BC=M Tọa độ điểmM nghiệm phương trình:
4x−5y+ 13 = 8x+y−7 = ⇔
(
x=1
y=
⇒M(1 2; 3)
M trung điểm củaBC suy tọa độ điểmC là:C(3; 5)
−→
AC = (2; 6) Vectơ pháp tuyến đường thẳng AC là:
−−→
nAC= (3;−1)
Phương trình đường thẳngAC là:
3(x−1)−1(y+ 1) = 0⇔3x−y−4 =
Ví dụ Cho hình vng ABCD có đỉnh B(4,1) phương trình đường chéoAC :x+ 3y−11 = Hãy tìm toạ độ đỉnh lại
Lời giải
Vectơ pháp tuyến đường thẳngAC là:−−→nAC = (1; 3)nên vectơ phương đường thẳngAC là:−−→uAC = (3;−1) Do ABCD hình vng nên ta có: AC ⊥ BD Vậy vectơ pháp tuyến đường thẳngBD là:−−→nBD=−−→uAC= (3;−1)
Phương trình đường thẳngBD là:
3(x−4)−1(y−1) = 0⇔3x−y−11 =
(16)nghiệm hệ phương trình:
3x−y−11 =
x+ 3y−11 = ⇔
x= 22
y=11
⇒I(22 ;
11 )
I trung điểmBDnên tọa độ điểm DlàD(24 ;
17 )
Gọi vectơ pháp tuyến đường thẳngABlà:−−→nAB= (a, b) Ta có góc hai đường thẳngABvàBD là45◦ nên:
| −−→nAB.−−→nBD|
| −−→nAB |.| −−→nBD | =cos(45) ⇔ √|3a−b|
10.√a2+b2 =
√
2
2 ⇔|3a−b|=
p
5(a2+b2)
⇔9a2−6ab+b2= 5a2+ 5b2⇔4a2−6ab−4b2=
⇔(a−2b)(2a+b) = 0⇔
a= 2b
2a=−b
•Vớia= 2bchọnb= 1⇒a= Khi phương trình đường thẳngAB là:
2(x−4) + 1(y−1) = 0⇔2x+y−9 = A = ACT
AB Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình:
2x+y−9 =
x+ 3y−11 = ⇔
x= 16
y=13
⇒A(16 ;
13 )
I trung điểm củaAC nên tọa độ điểmC là:C(28 ;
9 5)
•Với2a=−bchọna= 1, b=−2 Phương trình đường thẳng ABlà:
1(x−4)−2(y−1) = 0⇔x−2y−2 =
Tọa điểmAlà nghiệm hệ phương trình:
x−2y−2 =
x+ 3y−11 = ⇔
x= 28
y=9
⇒A(28 ;
9 5)
I trung điểm củaAC nênC(16 ;
13 )
Vậy tọa độ đỉnh cịn lại hình vng là: D(24
5 ; 17
5 ), A( 16
5 ; 13
5 ), C( 28
5 ; 5)
hoặcD(24 ;
17 ), A(
28 ;
9 5), C(
16 ;
13 )
II BÀI TẬP ĐƯỜNG TRỊN
Ví dụ Cho đường trịn(C1) :x2+y2−2x−4y+ = Lập phương trình đường trịn(C2)biết
(a) (C2)đối xứng với(C1)quaI(3,4) Khi tìm giao điểm hai đường trịn có
(b)(C2)đối xứng với(C1)qua đường thẳngd:x−y−1 = Khi tìm giao điểm hai đường trịn có Lời giải
(C1) :x2+y2−2x−4y+ = 0⇔(x−1)2+ (y−2)2= 4. Khi tâm bán kính đường trịn(C1)là:O1(1; 2), R1= GọiO2, R2 tâm bán kính đường trịn(C2)
(a) (C2)đối xứng với(C1)qua điểmInên ta cóI trung điểm O1O2 vàR1 =R2 = Khi tọa độ (O2)
làO2= (5; 6)
Phương trình đường trịn(C2)là:
(x−5)2+ (y−6)2=
Ta có: O1O2 = 4√2 > R1+R2 nên hai đường trịn khơng có giao điểm chung
(b) (C2) đối xứng với (C1) qua đường thẳng d nên d đường trung trực đoạn thẳng O1O2
Vectơ pháp tuyến d là−n→d = (1,−1), nên vectơ phương đường thằngdlà:−u→d= (1; 1)
d⊥O1O2nên vectơ pháp tuyến đường thẳngO1O2 là:−−−→nO1O2 =
− →
ud= (1; 1)
Phương trình O1O2 là:
1(x−1) + 1(y−2) = 0⇔x+y−3 =
GọiM giao điểm củadvớiO1O2, đóM trung điểm củaO1O2
Tọa độ điểmM nghiệm hệ phương trình:
x+y−3 =
x−y−1 = ⇔
x=
y= ⇒M(2; 1)
M(2; 1) nên tọa độ điểmO2 là:O2(3; 0)
Mặt khác ta lại có:R2 =R1 = 2, phương trình đường trịn (C2)là:
(x−3)2+y2=
Ví dụ Cho hai đường tròn (C1) : (x−4)2+ (y−6)2 =
25,(C2) : (x−5)2+ (y+ 1) = 5và điểm A(4,1) (a) Chứng tỏ A điểm chung hai đường tròn
(b) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt hai đường trịn theo hai dây cung có độ dài Lời giải
(a) Thay tọa độ điểmAvào phương trình hai đường ta có:
(4−4)2+ (1−6)2= 52= 25
(4−5)2+ (1 + 1)2= + = 5
nênAlà điểm thuộc hai đường tròn hayAlà điểm chung hai đường tròn
(b) Tâm bán kính đường trịn(C1),(C2)lần lượt là:O1=
(4; 6), R1= 5, O2= (5;−1), R2=√5
Gọidlà đường thẳngdđi quaAvà cắt hai đường trịn theo hai dây cung có độ dài
Gọi I trung điểm O1O2 suy tọa độ điểm I là: I(9
2, 2)
TừO1, O2 kẻO1M, O2N vng góc vớid Khi M, N trung điểm hai cung nên AM =AN
XétO1O2N M có:
O1M//O2N ( vng góc vớid)
⇒Tứ giácO1O2N M hình thang Xét:
AM=AN O1I=O2I
⇒ AI đường trung bình hình thang O1O2N M
Suy ra:AI⊥d Ta có: −IA→= (−1
2;− 2)
Vectơ pháp tuyến đường thẳngdlà:−nd→= (1; 3) Phương trình đường thẳngdlà:
1(x−4) + 3(y−1) = 0⇔x+ 3y−7 =
Ví dụ Cho đường trònx2+y2−2x+ 4y−4 = 0và điểm M(1,-1)
(a) Viết phương trình đường thẳngdđi qua M cắt đường trịn hai điểm A, B cho M trung điểm AB (b) Viết phương trình đường thẳngdđi qua M cắt đường
(17)Lời giải
(a) (C) :x2+y2−2x+ 4y−4 = 0⇔(x−1)2+ (y+ 2)2=
Tọa độ tâm bán kính đường trịn(C)là:I(1;−2), R=
Ta có:IM = 1< RnênM nằm phía đường trịn M trung điểmAB nên ta có:IM ⊥AB ( mối quan hệ dây cung đường kính)
−−→
IM = (0; 1) Vectơ pháp tuyến đường thẳng dlà:
−→
nd =
−−→
IM = (0; 1)
Phương trình đường thẳngdlà:
0(x−1) + 1(y+ 1) = 0⇔y+ =
(b)
III BÀI TẬP
Bài 1.Cho hình bình hành ABCD có phương trình cạnh AB : 2x−y = 0, AD : 4x−3y = tâm I(2,2) Lập phương trình cạnhCB, CD
(BC: 2x−y−4 = 0;CD: 4x−3y−4 = 0)
Bài 2.Cho hình vng ABCD có đỉnh B(4,1) phương trình đường chéoAC :x+ 3y−11 = Hãy tìm toạ độ đỉnh cịn lại
(A(16 ;
13 ), C(
28 ;
9 5), D(
2 5;
17
5
C(16 ;
13 ), A(
28 ;
9 5), D(
2 5;
17 )
Bài 3.Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2,0) Biết phương trìnhAB: 4x+y+ 14 = 0, AC: 2x+ 5y−2 = Tìm toạ độ đỉnh tam giác (B(−3;−2), C(1; 0))
Bài 4.Lập phương trình đường thẳng qua P(2,-1) cho đường thẳng củng với hai đường thẳngd1 : 2x−y+ = 0, d2: 3x+ 6y−1 = 0tạo thành tam giác cân có đỉnh giao điểm d1, d2
(3x+y−5 = 0hoặcx−3y−5)
Bài 5.Cho tam giác ABC có diện tích
2 có toạ
độ A(2,-3), B(3,-2) Trọng tâm G tam giác thuộc đường thẳng3x−y−8 = Tìm toạ độ đỉnh C
(C(1; 15)hoặcC(4; 16))
Bài 6.Cho đường thẳngd1:x+y= 0, d2:x+ 2y= 0, d3:
x−2y+ = Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A giao điểm d1, d2; B, C ∈ d3 tam giác ABC vuông cân A
(B(−1 ;
3
7), C(−3;−1)hoặcB(−3;−1), C(
−1 ;
3 7))
Bài 7.Trong mặt phẳng toạ độ cho hai đường thẳng d1 :
x−y= 0, d2: 2x+y−1 = Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnhA∈d1, C∈d2 vàB, D∈Ox
(A(1; 1), C(1;−1), B(0; 0), D(2; 0)
hoặcA(1; 1), C(1;−1), B(2; 0), D(0; 0))
Bài 8.Cho đường thẳng d:x−2y+ = 0và điểm A(0,2) Tìm trêndhai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B vàAB= 2BC.(B(2
5; 5), C(
4 5;
7 5))
Bài 9.Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1
2,0), phương
trình đường thẳng AB làx−2y+ = AB=2AD Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh A có hồnh độ âm (A(−2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(−1;−2))
Bài 10.Cho đường tròn (C) : (x−1)2+ (y+ 2)2 = 9 và đường thẳngd:x−4y+ = Tìm điểm P nằm đường thẳng d cho vẽ hai tiếp tuyến PA, PB đến đường tròn mà:
(a) Tam giác PAB (P(7 + 64
√
2 17 ;
6 + 16√2 17 )
hoặcP(7−64
√
2 17 ;
6−16√2 17 ))
(b) Tam giác PAB vuông P (P(7 +
√
206 17 ;
6 +√206
17 )
P(7−4
√
206 17 ;
6−√206 17 )
Bài 11.Cho đường tròn (x−1)2+ (y+ 2)2 = đường thẳngd: 3x−4y+m= Tìmmđể trêndcó điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đến đường tròn cho tam giác PAB (m= 25;m=−35)
Bài 12.Cho đường tròn (C) : x2+y2−2x−6y+ = 0 điểm M(3,1) GọiT1, T2lần lượt tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thăngT1T2 (T1T2:x−y= 0)
Bài 13.Cho đường trịn (C) có phương trình(x−5)2+ (y−
4)2= 25vàP(m,0) điểm thay đổi trục hồnh (a) Tìm mđể từ P kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn
(m >8 hoặcm <2)
(b) Với điều kiện câu a, giả sử hai tiếp tuyến PA, PB Chứng minh AB qua điểm cố định P di chuyển trục hồnh, tìm toạ độ điểm cố định
(Tọa độ điểm cố định (5;−9
4)
Bài 14.Cho đường trịn có phương trình(x−2)2+(y−1)2=
25và đường thẳngd:y=k(x+ 4) +
(a) Chứng minh dluôn qua điểm cố đinh (Tọa độ điểm cố định (−4; 3))
(b) Tìm kđểdcắt(C)tại hai điểm phân biệt (m > −12 +
√
15
11 hoặcm <
−12−5√15 11 )
(c) Khi đường thẳng d cắt đường tròn A, B Chứng minh trung điểm I AB thuộc đường trịn cố định, viết phương trình đường thẳng
(Phương trình đường trịn là:(x+ 1)2+ (y−2)2= 10)
Bài 15.Cho đương tròn(C) :x2+y2−4x−2y= 0và đường thẳng d : x+y+ = Gọi I tâm (C), M điểm thuộcd Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) Tìm toạ độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10
(M(2;−4) hoặcM(−3; 1))
Bài 16.Cho đường tròn(C) :x2+y2+ 4x+ 4y+ = 0và đường thẳng d: x+my−2m+ = Gọi I tâm đường trịn Tìmmđểdcắt(C)tại hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn
(18)Bài 17.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường trònx2+y2−2x−
8y+ 12 = 0sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Biết:
(a) A(-5,1) (Đ/s: M A đạt GTLN M(3; 5), GTNN M(−1; 3))