CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP

XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP XÁC SUẤT ỨNG DỤNG Chương CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Siêu bội Bài Phân phối Nhị thức Bài Phân phối Poisson Bài Phân phối Chuẩn Bài Xấp xỉ quy luật PPXS Bài Phân phối Siêu bội 1.1 Định nghĩa • Xét tập có N phần tử gồm N A phần tử có tính chất A N N A phần tử có tính chất A Từ tập đó, ta chọn n phần tử Gọi X số phần tử có tính chất A lẫn n phần tử chọn X có phân phối Siêu bội, ký hiệu X H (N , N A, n ) hay X H (N , N A, n ) • Xác suất n phần tử chọn có k phần tử A pk đó: P (X C Nk C Nn k) A C Nn n n k k NA (N NA) k N A Bài Phân phối Siêu bội 1.1 Định nghĩa N N NA max{0; n (N Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo NA k n N A )} k min{n; N A } XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Siêu bội 1.1 Định nghĩa VD Một hộp phấn gồm 10 viên, có viên màu trắng Lấy ngẫu nhiên viên phấn từ hộp Gọi X số viên phấn trắng lấy Lập bảng phân phối xác suất tính kỳ vọng X ? Bài Phân phối Siêu bội 1.2 Các số đặc trưng X ~ H(N, NA, n) EX np; VarX đó: p NA N npq , q N N n 1 p Bài Phân phối Siêu bội VD Một cửa hàng bán 100 bóng đèn, có 12 bóng hỏng Một người chọn mua ngẫu nhiên 15 bóng đèn từ cửa hàng Hỏi trung bình người mua bóng đèn tốt ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Siêu bội VD Tại cơng trình có 100 người làm việc, có 70 kỹ sư Chọn ngẫu nhiên 40 người từ cơng trình Gọi X số kỹ sư chọn 0, 4955 1) Tính xác suất chọn từ 27 đến 29 kỹ sư ? 2) Tính EX VarX ? Bài Phân phối Nhị thức 2.1 Phân phối Bernoulli 2.1.1 Định nghĩa • Phép thử Bernoulli phép thử mà ta quan tâm đến biến cố A A , với P(A) p Khi ta nói X có phân phối Bernoulli với tham số p , ký hiệu X B(p) hay X B(p) • Xét biến ngẫu nhiên: A xaûy X P (A) A xaûy ra, p q Bài Phân phối Nhị thức 2.1 Phân phối Bernoulli 2.1.1 Định nghĩa Bảng phân phối xác suất X X P q p 2.1.2 Các số đặc trưng X ~ B(p) EX p; VarX pq VD Một câu hỏi trắc nghiệm có phương án trả lời, có phương án Một sinh viên chọn ngẫu nhiên phương án để trả lời câu hỏi Nguyễn Hồng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Nhị thức 2.1.2 Các số đặc trưng X ~ B(p) Gọi A: “sinh viên trả lời đúng” Khi đó, việc trả lời câu hỏi sinh viên phép thử Bernoulli p B ,q sinh viên trả lời sinh viên trả lời sai, Gọi BNN X X P (A) EX , VarX 4 16 Bài Phân phối Nhị thức 2.2 Phân phối Nhị thức 2.2.1 Định nghĩa • Xét dãy n phép thử Bernoulli độc lập Với phép thử thứ i , ta xét biến ngẫu nhiên Xi B(p) (i 1, , n ) lần thứ i A xảy Nghĩa là, Xi lần thứ i A không xảy • Gọi X số lần biến cố A xuất n phép thử Khi đó, X X1 Xn ta nói X có phân phối Nhị thức, ký hiệu X B(n, p) hay X B(n, p) Bài Phân phối Nhị thức 2.2 Phân phối Nhị thức 2.2.1 Định nghĩa • Xác suất n lần thử có k lần A xảy pk P(X k) C nk pkq n k (k 0,1, , n ) VD Một đề thi XSTK gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm VD Sinh viên B làm cách ngẫu nhiên Biết rằng, trả lời câu sinh viên B 0,5 điểm trả lời sai câu bị trừ 0,125 điểm Tính xác suất để sinh viên B đạt điểm ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Nhị thức 2.2 Phân phối Nhị thức 2.2.1 Định nghĩa VD Nhà AN có nuôi gà mái Xác suất gà đẻ trứng ngày 0,6 Gọi biến ngẫu nhiên X số trứng ngày An nhặt Hãy lập bảng phân phối xác suất tính kì vọng X Bài Phân phối Nhị thức 2.2 Phân phối Nhị thức 2.2.2 Các số đặc trưng X ~ B(n, p) Mod X EX x0 np; VarX npq : np q x np q VD Ông B trồng 100 bạch đàn với xác suất chết 0,02 Gọi X số bạch đàn chết 1) Tính xác suất có từ đến bạch đàn chết ? 2) Tính trung bình số bạch đàn chết VarX ? 3) Hỏi ông B cần phải trồng tối thiểu bạch đàn để xác suất khơng có chết nhỏ 50% ? Bài Phân phối Nhị thức VD Một nhà vườn trồng 126 lan quý, xác suất nở hoa năm 0,67 1) Giá bán lan quý nở hoa triệu đồng Giả sử nhà vườn bán hết lan nở hoa năm nhà vườn thu chắn tiền? 2) Nếu muốn trung bình năm có nhiều 100 lan quý nở hoa nhà vườn phải trồng tối thiểu lan quý ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Nhị thức VD Có 10 hộp phấn màu giống nhau, hộp chứa 20 viên phấn gồm hai loại: hộp loại I, hộp có 12 viên phấn đỏ; hộp loại II, hộp có viên phấn đỏ Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy viên phấn (lấy viên xong trả lại vào hộp viên đó) Tính xác suất chọn viên phấn đỏ ? Bài Phân phối Nhị thức VD Một lơ hàng chứa 20 sản phẩm có phế phẩm Chọn liên tiếp lần từ lô hàng (mỗi lần chọn có hồn lại), lần chọn sản phẩm Tính xác suất để lần chọn có lần chọn phải phế phẩm ? Bài Phân phối Poisson 3.1 Định nghĩa phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên rời rạc X có trung bình số lần xuất biến cố quan tâm khoảng xác định (khoảng thời gian khoảng đơn vị tính đó) , gọi có phân phối Poisson với tham số 0, ký hiệu X P( ) hay X P( )  X {0,1,2, , n, } xác suất pk P (X Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo k) e k! k (k 0,1, ) XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Poisson VD Quan sát sân bay thấy trung bình 16 phút có máy bay hạ cánh Suy 1giờ trung bình có: 60.2 7, máy bay hạ cánh 16 VD Trung bình 100 sinh viên thi hết mơn XSTK có 71 sinh viên thi đạt Suy 120 sinh viên thi hết mơn XSTK trung bình có 85,2 sinh viên thi đạt Nguyễn Hồng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Poisson 3.2 Các số đặc trưng X ~ P(λ) EX Mod X VarX x0 : x0 Bài Phân phối Poisson VD Quan sát siêu thị A thấy trung bình phút có 18 khách đến mua hàng 1) Tính xác suất để phút có 25 khách ? 2) Tính xác suất để phút có từ đến khách ? 3) Tính số khách chắn đến ? Bài Phân phối Poisson VD Quan sát thấy trung bình phút có ơtơ qua trạm thu phí Biết xác suất có ơtơ qua trạm thu phí t phút 0,9 Giá trị t (phút) là: A 0,9082 B 0,8591 Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo C 0,8514 D 0,7675 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Poisson VD Cứ lần câu cá ơng A chọn ngẫu nhiên nơi để câu Nếu câu địa điểm I trung bình 10 lần móc mồi, ơng A câu cá; câu địa điểm II trung bình 12 lần móc mồi, ơng A câu cá Hơm ơng A câu, ơng móc mồi 20 lần câu cá Tính xác suất ông A câu cá địa điểm II ? Bài Phân phối Poisson VD Tại xưởng dệt, trung bình dệt 10 m vải loại B bị lỗi 13 chỗ Chọn xấp vải loại B xưởng, xấp dài m Tính xác suất để xấp vải ấy, xấp vải có chỗ bị lỗi ? Bài Phân phối Poisson VD Quan sát thấy trung bình ngày (24 giờ) có 12 chuyến tàu vào cảng A Chọn ngẫu nhiên ngày Tính xác suất để ấy, có tàu vào cảng A ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Chuẩn 4.1 Phân phối Chuẩn 4.1.1 Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối chuẩn (Normal distribution) với hai tham số ( 0), ký hiệu X N ( ; ) hay X hàm mật độ xác suất X có dạng f (x ) e ), )2 (x N( ; 2 (x ) Bài Phân phối Chuẩn 4.1.2 Các số đặc trưng X ~ N(μ, σ2) Mod X p EX ; VarX Phân phối chuẩn Điểm uốn ● f (x ) ● x O Bài Phân phối Chuẩn 4.1.3 Xác suất X ~ N(μ, σ2) b P (a X b) a x Nhận xét Đổi biến z e a Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 2 e 2 dx a , ta có: b )2 (x b )2 (x b f (x )dx dx a e z2 dz 10 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Chuẩn 4.2 Phân phối chuẩn tắc 4.2.1 Định nghĩa Biến ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn với hai tham số gọi có phân phối chuẩn tắc, ký hiệu Z N (0; 1) hay Z N (0; 1) Hàm mật độ xác suất Z f (z ) z2 2, e z Bài Phân phối Chuẩn 4.2 Phân phối chuẩn tắc Trở lại với P(a ≤ X ≤ b) b a e b z2 dz f (z ).dz a b b a f (z ).dz f (z ).dz a f (z ).dz f (z ).dz 0 Bài Phân phối Chuẩn 4.2 Phân phối chuẩn tắc 4.2.2 Hàm Laplace x f (z )dz Tích phân hàm mật độ phân phối chuẩn tắc gọi hàm Laplace, kí hiệu (x ) p x (x ) f (z ) f (z )dz S O Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo x z 11 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Chuẩn 4.2 Phân phối chuẩn tắc 4.2.2 Hàm Laplace Tính chất hàm Laplace  Hàm (x ) đồng biến  ( x)  ( ; (x ) (hàm (x ) lẻ); ) 0, ; ( ) 0, Bài Phân phối Chuẩn 4.2 Phân phối chuẩn tắc 4.2.2 Hàm Laplace Cách tính giá trị máy tính Casio 570: - ES: mode  stat(3)  AC  shift   distr(7)  Q(2)  nhập biến x  = (kết quả) - MS: mode  mode  SD(1)  shift   Q(2)  nhập biến x  = (kết quả) Cách tìm x từ phương trình φ(x) = m  x = φ–1(m), φ–1 : hàm Laplace ngược  bảng tra giá trị hỗ trợ: Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 12 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Chuẩn  Nếu X N( ; X ) Z N (0; 1) Vậy, cơng thức tính xác suất phân phối chuẩn P (a X b) Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo b a 13 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố xác suất 34,1% 13,6% 34,1% 13,6% 2,1% 2,1% 0,1% 0,1% 2 Phân phối chuẩn Carl F Gauss đưa năm 1795 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Bài Phân phối Chuẩn VD Thời gian X (tháng) đạt chuẩn chiều cao loại giống A vườn ươm biến ngẫu nhiên có phân phối N (8; 3) Tỉ lệ (xác suất) đạt chuẩn chiều cao loại giống A vườn ươm khoảng từ tháng đến 8,2 tháng là: A 27, 65% B 31,15% Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo C 42,27% D 45, 78% 14 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Chuẩn VD Một kỳ thi đầu vào trường chuyên A quy định điểm đỗ tổng số điểm môn thi không thấp 15 điểm Giả sử tổng điểm môn thi học sinh biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 12 điểm Biết tỉ lệ học sinh thi đỗ 25,14% Độ lệch chuẩn là: A điểm; B 4,5 điểm; C điểm; D 5,5 điểm Bài Phân phối Chuẩn VD Tốc độ chuyển liệu từ máy chủ ký túc xá đến máy tính sinh viên vào buổi sáng chủ nhật có phân phối chuẩn với trung bình 60Kbits/s độ lệch chuẩn 4Kbits/s Xác suất để tốc độ chuyển liệu lớn 63Kbits/s là: A 0,2266; B 0,2144; C 0,1313; D 0,1060 VD Cho BNN X có phân phối chuẩn với EX 10 P(10 X 20) 0, Tính P(0 X 15) ? Bài Phân phối Chuẩn VD Thời gian khách phải chờ để phục vụ cửa hàng BNN X (phút), X N (4, 5; 1,21) 1) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 phút đến phút ? 2) Tính thời gian tối thiểu t xác suất khách phải chờ vượt t không 5% ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 15 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất 5.1 Xấp xỉ phân phối Siêu bội Nhị thức Xét BNN X có phân phối Siêu bội H (N ; N A; n ) Nếu N lớn n nhỏ so với N X B(n; p), p NA N VD Trong kho, người ta để lẫn 500 sản phẩm loại B với 1500 sản phẩm loại A Chọn ngẫu nhiên 40 sản phẩm từ kho Tính xác suất chọn 30 sản phẩm loại A ? Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất VD Một vườn lan có 10.000 nở hoa, có 1.000 hoa màu đỏ 1) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 50 lan 10 có hoa màu đỏ 2) Có thể tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 300 lan có 45 hoa màu đỏ khơng ? Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất 5.2 Xấp xỉ phân phối Nhị thức Poisson Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B(n; p) Nếu n đủ lớn p gần (hoặc gần 1) X P( ), np VD Một lơ hàng thịt đơng lạnh đóng gói nhập có chứa 3% bị nhiễm khuẩn Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 2.000 gói thịt từ lơ hàng có từ 40 đến 42 gói bị nhiễm khuẩn ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 16 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất VD Một vườn lan có 10.000 nở hoa, có 1.000 hoa màu đỏ Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 300 lan có 45 hoa màu đỏ ? Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất Tóm tắt loại xấp xỉ rời rạc p X NA N H (N , N A, n ) n X B(n, p) NA np N Sai số lớn X P( ) Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất 5.3 Xấp xỉ phân phối Nhị thức phân phối Chuẩn Xét biến ngẫu nhiên X B(n; p) Nếu n đủ lớn, p không gần X N ( ; ) với np, npq Khi P (k1 P (X X k) k2 ) Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo f k2 k k1 17 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất VD Trong đợt thi tuyển cơng chức thành phố có 1.000 người dự thi với tỉ lệ thi đạt 80% Tính xác suất để: 1) có 172 người khơng đạt; 2) có khoảng 170 đến 180 người khơng đạt Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất VD Một kho chứa 10.000 sản phẩm có 2.000 sản phẩm không kiểm tra chất lượng Chọn ngẫu nhiên từ kho 400 sản phẩm Tính xác suất để 400 sản phẩm đó: 1) có 80 sản phẩm khơng kiểm tra; 2) có từ 70 đến 100 sản phẩm không kiểm tra Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất VD Người ta phát 480 giấy mời dự hội nghị khách hàng Biết sức chứa khán phòng 400 khách thường có 80% khách hàng đến dự Tính xác suất để tất khách hàng đến dự có chỗ ngồi ? Nguyễn Hồng Tuấn sưu tầm soạn thảo 18 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất VD Một khách sạn nhận đặt chỗ 325 khách hàng cho 300 phịng vào ngày 1/1 theo kinh nghiệm năm trước cho thấy có 10% khách đặt chỗ không đến Biết khách đặt phịng, tính xác suất: 1) có 300 khách đến vào ngày 1/1 nhận phòng; 2) tất khách đến vào ngày 1/1 nhận phòng Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất VD Một cửa hàng bán cá giống có 20.000 cá loại da trơn để lẫn 4.000 cá tra Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1.000 từ 20.000 cá da trơn Tính xác suất khách hàng chọn từ 182 đến 230 cá tra ? A 0,8143; B 0,9133; C 0,9424; D 0,9765 Bài Các loại xấp xỉ phân phối xác suất Tóm tắt xấp xỉ Chuẩn cho Nhị thức X B(n, p) EX VarX np npq X N( , ) EX VarX ……………………………………… ……………………… Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 19 ... 13 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố xác suất 34,1% 13,6 % 34,1% 13,6 % 2,1% 2,1% 0,1% 0,1% 2 Phân phối chuẩn Carl F Gauss đưa năm 1795 Carl Friedrich Gauss... CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Bài Phân phối Chuẩn VD Một kỳ thi đầu vào trường chuyên A quy định điểm đỗ tổng số điểm môn thi không thấp 15 điểm Giả sử tổng điểm môn thi học sinh biến... phải chờ để phục vụ cửa hàng BNN X (phút), X N (4, 5; 1,21) 1) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 phút đến phút ? 2) Tính thời gian tối thiểu t xác suất khách phải chờ vượt q t khơng q 5% ?