[r]
(1)Đáp án HSG Toán Huyện Yên Lạc Năm học 2011-2012
Cõu 1: T (1) => (a+b)(b+c)(c+a)=0 a=-b b=-c c=-a +Nếu a=-b, thay vào (2) ta đợc b=8 Do P = 82011
+Nếu b=-c, thay vào (2) ta đợc a=8 Do P = 82011
+Nếu c=-a, thay vào (2) ta đợc c=8 Do P = 82011
VËy víi a, b,c số thực khác thỏa mÃn điều kiện (1) (2) giá trị biểu thức P 82011
Câu 2: ĐKXĐ : x ± 1, x -6 Ta cã : A= (x+1)
2
−(x −1)2+x2−4x −1
x2−1 ⋅
x+2009
x+6 =
x+2009
x+6 =1+
2003
x+6
Để A có giá trị nguyên th× 2003 ⋮ x+6
2003 ⋮ x+6 => x+6 {−1;1;2003;−2003} =>x {−7;−5;1997;−2009}
( t/m §KX§)
Vậy để A có giá trị ngun x {−7;−5;1997;−2009}
C©u 3:
1) Ta cã: a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)-3abc
NÕu a+b+c =0 th× a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc
Ta thấy (4x-2008) +(2009-x)-(3x+1) = (4x-2008) +(2009-x)+(-3x-1) =0 Do đó: (4x-2008)3 +(2009-x)3+(-3x-1)3 = 3(4x-2008)(2009-x)(-3x-1)
Suy : (4x-2008)3 +(2009-x)3-(3x+1)3 = 0 (4x-2008)3 +(2009-x)3+(-3x-1)3 =0 3(4x-2008)(2009-x)(-3x-1)=0
x=502 hc x=2009 hc x=-1/3
Vậy tập nghiệm phơng trình cho S= {−1
3 ;502;2009} 2)XÐt hiÖu : M= (a2+b2+c2+d2+1) –
Suy ra: 4M = 4a2+4b2+4c2+4d2+4 – 4ab-4ac-4ad-4a
= (a2-4a +4) +(a2-4ab+4b2)+(a2-4ac+4c2)+(a2-4ad+4d2)
=(a-2)2+(a-2b)2+(a-2c)2+(a-2d)2
V× (a-2)2 0; (a-2b)2 0 ; (a-2c)2 0 ; (a-2d)2 0
Nªn 4M => M
Vậy (a2+b2+c2+d2+1) a(b+c+d+1)
Đẳng thức xảy a=2; b=c=d=1 Câu 4:
a)BC//DE => CFCD=BF
BE => CF2 CD2=
BF2 BE2 AB//DF=> AEAD=BE
BF => AE2 AD2=
BE2 BF2 CD=AD (vì ABCD hình thoi) Do : CF
2
CD2+ AE2 AD2=
CF2+AE2
AD2 =
BF2 BE2+
BE2 BF2 => CF2+AE2=BF
4
+BE4
BE2BF2 ⋅AD
2 ≥2 BE
2
BF2 BE2BF2 ⋅AD
2
=2 AD2 (áp dụng Cô-si)
ng thc xy chi BE=BF Khi AC đờng trung bình tam giác AEF
Vậy đờng thẳng d//AC CF2+AE2 đạt giá trị nhỏ ln di
cạnh hình thoi b) Ta cã :
AC=AD=CD => Δ ACD tam giác => ∠ ACD= ∠ CAD =600
E
A
D C
F
B O
(2)∠ CAE=1800 - ∠ CAD =1800 -600 =1200 ∠ ACF=1800 - ∠ ACD =1800 -600 =1200
Do ∠ CAE= ∠ ACE(1) Theo a) ta có CFCD=BF
BE vµ AE AD=
BE
BF suy CF CD=
AD
AE hay CF AC=
AC AE (2) Tõ (1) vµ (2) suy Δ ACF ~ Δ EAC
c) Δ ACF ~ Δ EAC => ∠ AFC= ∠ ECA
∠ EOF= AFC+ OCF (góc tam giác COF) => ∠ EOF= ∠ ECA+ ∠ OCF = ∠ ACF=1200
Vậy góc EOF khơng đổi Câu 5: A=
1.3 2.4 3.5 ( 1)( 1) 1004.1006 1005.1007
3.5 5.7 7.9 (2 1)(2 1) 2009.2011 2011.2013
n n
n n
A=
2 2 2
2 1 1005 1006
3.5 5.7 7.9 (2 1)(2 1) 2009.2011 2011.2013
n
n n
A=
2 2 2 2 2
1 2 3 4 1005 1005 1006 1006
2 5 7 2009 2011 2011 2013
A=
2 2
1 3 8 15 15 1005 1005 1006 1006
2 5 7 2009 2011 2011 2013
A=
2
1 1006
1 1
2 2013
A =
2 1006
1005
2 2011
A=
1 1005.1007 1005
2 2013
A=
1005 2013 1007 2013
A= 503