Đang tải... (xem toàn văn)
-Học sinh có bài giải cách khác, nếu làm đúng vẫn cho điểm tối đa.. GV: NGUYỄN THỊ LÊ NA.. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số [r]
(1)ĐỀ THI CHO HSG LỚP ĐỀ SỐ 1:
Bài 1: Cho biểu thức M = [ x
2 x3−4x+
6 6−3x+
1
x+2] : (x −2+
10− x2 x+2 )
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị M |x| =
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A <
Bài 3:
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B = 3(x+1)
x3
+x2+x+1
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ đường thẳng a cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F cắt tia DC G
a) Chứng minh: AE2 =EF.EG
b) Chứng minh đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi
Bài 5: CMR xx2−yz
(1−yz)=
y2−xz
y(1−xz) Với x y ; xyz ; yz ; xz
(2)ĐÁP ÁN: Bài 1: a) Rút gọn M
M = [ x
2 x3−4x+
6 6−3x+
1
x+2] : (x −2+
10− x2
x+2 ) = [
x2
x(x −2)(x+2)−
6 3(x −2)+
1
x+2] :
6
x+2
M = −6
(x −2)(x+2)
x+2
6 = 2− x
b) |x| =
2 ⇔ x =
2 x = -1 Với x = 12 ta có : M =
1 2−1
2 =
1
= 32 ; Với x = - 12 ta có : M = 2+1
2 =
5
= 52
Bài 2: a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Ta có: (b + c - a) >0 ( BĐT tam giác)
(b + c + a) >0 ( BĐT tam giác) (b - c -a) <0 ( BĐT tam giác)
(b + c -a) >0 ( BĐT tam giác) Vậy A< Bài 3: a) Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1
= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1
Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 1 Dấu ''='' xãy ⇔ x = y y =
Vậy GTNN A ⇔ x = y =2 b) B = 3(x+1)
x3
+x2+x+1 =
3(x+1)
x2(x+1)+x+1 =
3(x+1)
(x2+1)(x+1) =
3
x2+1
Do x2 +1>0 nên B =
x2+1
Dấu ''='' xãy ⇔ x =
Vậy GTLN B ⇔ x =
(3)Bài 4: a)
Do AB//CD nên ta có: EAEG=EB
ED = AB
DG (1) Do BF//AD nên ta có:
EFEA=EB
ED = AD
FB (2) Từ (1) (2) ⇒ EAEG=EF
EA Hay AE2 = EF EG
b) Chứng minh đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi
Từ (1) (2) ⇒ ABDG=FB
AD Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi) Bài 5: Từ GT ⇒ (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)
⇔ x2y- x3yz-y2z + xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2 ⇔ x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0 ⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0
⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = ⇔ (x -y) [xy−xyz(x+y+z)+xz+yz] =
Do x - y nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
E
F
A B
(4)ĐỀ SỐ 2:
Câu 1: (2.5 điểm) Cho P= a
2
(a+b)(1−b)−
b2
(a+b)(1+a)−
a2b2
(1+a)(1−b)
a Rút gọn P
b Tìm cặp số nguyên (a, b) để P = Câu 2: (1.5 điểm): Giải phương trình: x3+ x
3
(x −1)3=2−
3x2 x −1 Câu 3: (1.5 điểm)
Cho x,y hai số dương thoả x.y = Tìm giá trị lớn biểu thức
A= x
x4+y2+
y y4+x2
Câu 4: (2.0 điểm)
Cho hình vng ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CD AN cắt BP E AN cắt DM F
a Chứng minh FA = FE b Chứng minh DE = DC Câu 5: (2.5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD F điểm thuộc cạnh BC AF cắt BD E cắt DC G
a Chứng minh AEAF=GE
GA
b Chứng minh BF.DG khơng đổi (khi vị trí điểm F thay đổi cạnh BC)
(5)ĐÁP ÁN: Câu 1: (2.5 điểm)
- Điều kiện a ≠ −1, b≠1, a ≠− b
- P=a
2
(1+a)−b2(1− b)− a2b2(a+b) (a+b)(1−b)(1+a) =
a2+a3−b2+b3− a2b2(a+b) (a+b)(1− b)(1+a)
a −b+a2−ab+b2− a2b2
¿
(a+b)¿ ¿(a − b)(a+b)+(a+b)(a
2
−ab+b2)−a2b2(a+b) (a+b)(1−b)(1+a) =¿
(a+b)(1+a)(a− b+b2− b2a)
¿(a+b)(a(1+a)−b(1+a)+b
(1− a)(1+a)) (a+b)(1− b)(1+a) =¿
¿
(a+b)(1− b)(1+a) (a+b)(1+a)(a(1−b)(1+b)− b(1−b))
(a+b)(1+a)(1−b)(a(1+b)−b)
¿ ¿ ¿
(a+b)(1− b)(1+a)=¿
¿
(a+b)(1− b)(1+a)=a+ab− b
b.- Để P =3: a+ab− b=3⇔a(1+b)−(1+b)=2⇔(a −1)(1+b)=2
- Lập hệ: {a −b+11==21 ; {a −b+11==−−21 ; {a −b+11==12 ; {a −b+11==−−12 - Giải: {ab==21 ; {ba==−03 ; {ab==30 ; {ab==−−12
- Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm: {ba==−03 ; {ab==30 (Mỗi ý cho 0,25 điểm – Riêng ý 6: 0,50 điểm) Câu 2: (1.5 điểm)
x −1¿2
(¿¿)=2−3 x
2 x −1
x2− x2 x −1+
x2 ¿ (x+ x
x −1)¿ Có:
x −1¿2 ¿ ¿ x2
+x
2 ¿
Đặt t=x+ x
x −1=
x2− x
+x
x −1 =
x2
x −1 được:
t −1¿3=1⇔t −1=1⇔t=2
t(t2−2t −t)=2−3t⇔t3−3t2+3t −1=1⇔¿ x −1¿2+1=0
x2
x −1=2⇔x
2
=2x −2⇔¿ (Vô nghiệm)
(6)Câu 3: (1.5 điểm) - x4+y2≥2x2y⇒ x
x4
+y2≤
x
2x2 y=
1
2 xy (x, y số dương) - y4+x2≥2y2x⇒ y
y4
+x2≤
y
2y2x=
1
2 xy (x, y số dương) - A= x
x4
+y2+
y y4
+x2≤
1 xy+
1 xy=
1 xy=1 - Dấu “=” xãy {x
4
=y2
x2=y4
xy=1
⇔{x6=y6 xy=1 ⇔{
x=1
y=1 (x, y số dương)
0,50 0,25 0,25 0,50 Câu 4: (2.0 điểm)
- Chứng minh MBPD hình bình hành
- => FM // BE
- M trung điểm AB nên MF đường trung bình ABE
- => FA = FE
- Chứng minh AN vng góc với DM - Suy DAE cân D
- => DE = DA Do DA = DC nên DE = DC
0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 Câu 5: (2.5 điểm)
- BF// AD => EBED=EF
EA - AB//DG => EBED=EA
EG - => EFEA=EA
EG - => EFEA+1=EA
EG +1 - => AFAE=AG
EG ⇒ AE AF=
GE GA
- CM: EAD EFB để BFDA=EB
ED - CM: EBA EDG để EBED=AB
GD - ⇒BF
DA =
AB
GD ⇒BF DG=DA AB
- Do DA, AB không đổi nên BF.DG không đổi
Mỗi ý cho 0,25 điểm
GV: NGUYỄN THỊ LÊ NA
A M B
N
D P C
E F
A
B C
D E
F
G
(7)ĐỀ SỐ 3: Câu 1 Cho P =
2
1
5
x x x x
x x
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị nhỏ P
Câu 2 a) Xác định số a, b cho:
3x3 + ax2 + bx + chia hết cho x2 – 9. b) Giải phương trình với tham số a, b
a(ax + b) = b2(x – 1)
Câu Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB tổng cộng 30km.Một người từ A đến B từ B A hết tất 4h 25 phút.Tính quãng đường nằm ngang,biết vận tốc lên dốc 10km/h, vận tốc xuống dốc 20km/h vận tốc đường nằm ngang 15km/h
Câu 4 Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến BD, phân giác góc ADB góc BDC cắt AB, BC M N, biết AB = 8, AD =
a) Chứng minh rằng: MN//AC
b)Tứ giác MNCA hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCA?
Câu 5 a) Giải bất phương trình:
2
2
x
x x
b) Cho 4x + y = 1.Chứng minh rằng: 4x2 + y2 ≥
1
c) Chứng minh m, n, p, q ta có m2+ n2+ p2+ q2+1 m(n+p+q+1) dấu xảy nào?
Câu 6 a) Chứng minh a2 b2 c2 abbcac
b) Cho a, b, c số dương thoả mãn a + b = 1.Chứng minh rằng:
1
1
a b
(8)ĐÁP ÁN:
Câu a) P = 5
1 ) )( (
2 2
x x
x x x x
P = 5
1 ) ( ) (
2 2
x x
x x x
x
P = 5 5
) 5
(
2
x x x
x x x
b) P =
5
5
x
Vậy P = - 5/4 x = - 5/2, giá trị x thoả mãn 5
x
x
Câu a, Chia 3x3 + ax2 + bx + cho x2 – 3x + a dư (b + 27)x + (9 + 9a)
Để phép chia hết cần : (b + 27)x + (9 + 9a) = với x
b + 27 =
9 + 9a =
B = - 27 a = - b) a2x + ab = b2x – b2
a2x – b2x = - ab – b2 (a2 – b2)x = - ab – b2
(a – b)(a + b)x = - b(a + b)
+) Nếu a = b pt có dạng 0x = - 2b2 Suy a = b = pt ngiệm x
a = b ≠ pt vô ngiệm
+) Nếu a = - b pt có dạng 0x = suy pt nghiệm x +) Nếu a ≠ ± b pt có ngiệm x = a b
b
Câu Gọi quãng đường nằm ngang CD x(km) ( x > 0) Thì quãng đường AC + BD = 30 – x
Cả quãng đường nằm ngang 2x Cả quãng đường lên dốc 30 – x Cả quãng đường xuống dốc 30 –x
(9)Ta có phương trình: 12 5( ) 20 30 10 30 15 tm x x x x Câu a) DC BD NC NB AD BD MB MA ;
mà AD = DC
nên NC MN AC
NB MA MB //
b) Tứ giác AMND hình thang vng
SAMND =
(MN + AC)AM Theo pytago với ABD có
A = 900 BD = 10 (cm)
); ( );
(
3 cm MB cm MA BD AD MB MA
AC = 2AD = 12(cm) MN // AC (cmt) AB
MB AC MN ) ( , cm MN
; SAMND = 292,5 (cm2) Câu Dành cho hs không học trường
a) < x <3
b) y = – 4x suy y2 = (1 – 4x)2
Xét x
x x
x y
x 0
5 ) ( ) ( 2 2 (đpcm) Câu Dành cho hs trường
a) ( )
4 ) ( 8 9 1 1 2 b a ab b a ab ab ab b a ab b a ab b b a a b a b) xy y xy x A xy y xy x y x A ( )( ) 2 y x A
Thay y = – x vào A được:
1 ) ( )
( 2
2
x x x x
A 2 2 x A
Suy Min A = 1/2 x = 1/2 ; Và y = 1/2
0 4 4 2 2 2
m mn n m mp p m mq q m m
0 2 2 2 2
m n m p m q m
(10)Dấu xảy 2 2 m q m p m n m 2 2 m m q m p m n q p n m
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1, 1, 1) (a, b, c) ta có 12 12 12(a2 b2 c2)1.a1.b1.c2
3a2 b2 c2a2 b2 c2 2abbcac
a2 b2 c2 abbcac Điều phải chứng minh Dấu xảy a = b = c
ĐỀ SỐ 4:
Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a) A = n3- n2 + n-1 số nguyên tố. b) B =
2 2 n n n n n
Có giá trị số nguyên c) D = n5-n+2 số phương (n2)
Câu 2: (5điểm) Chứng minh : a) 1 1acc11
c b bc b a ab a
biết abc =
b) Với a + b + c = a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 c) c
a a b b c a c c b b a 2 2 2
Câu 3: (5điểm) Giải phương trình sau: a) 82
54 84 132 86 214
x x
x
b) 2x(8x-1)2(4x-1) = 9
c) x2- y2 + 2x - 4y-10 = với x, y nguyên dương.
Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cắt BC F
a) Chứng minh :Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b) Chứng minh: AB CD EF
2 1
c) Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF
(11)Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(5điểm)
a) (1đ) A = n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A số nguyên tố n-1=1 n = A = 5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b) (2đ) B = n2 + 3n - n
2
2
B có giá trị nguyên 2 n2+2 n2 + ước tự nhiên 2
n2 + =1 khơng có giá trị thoả mãn
Hoặc n2 + = n = Với n = B có giá trị ngun. c) (2đ) D = n5- n + = n(n4-1) + = n(n + 1)(n-1)(n2 + 1) + 2 = n(n - 1)(n + 1)n2 45 + = n(n-1)(n+1)(n-2)(n + 2) +
5 n(n - 1)(n + 1) +
Mà n(n-1)(n + 1)(n-2)(n + 25 (tớch 5số tự nhiên liên tiếp)
Và n(n-1)(n + 15 Vậy D chia dư 2
Do số D có tận nên D số phương
Vậy khơng có giá trị n để D số phương
Câu 2
(5điểm)
a) (1đ) 1 1acc1
c b
bc b a
ab a
1
2
ac c
c ac
abc abc
abc c
ac abc
ac
= 1
1
1
1
abc ac
ac abc c
ac c ac
c abc c
ac ac
0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 b) (2đ) a + b + c = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) =
a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc)
a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2) = 4( a2b2+a2c2+b2c2) + 8abc(a +b + c) Vì a + b + c =
a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) (1)
(12) 2(ab + ac + bc)2 = 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) (2) Từ (1)và(2) a4 + b4 + c4 = 2(ab + ac + bc)2
0,5 0,5 0,5 0,5 c) (2đ) Áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu x = y
c a c b b a c b b a 2 2
; b
c a c b a a c b a 2 2 ; a b c b a c c b a c 2 2
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
a) b b c c a ( ) a c c b b a ( 2 2 2 a b b c c a a c c b b a 2 2 2
a) (2đ) 82
54 84 132 86 214
x x
x
82 3)
54 ( ) 84 132 ( ) 86 214
(x x x
82
300 84 300 86 300
x x
x
(x-300) 82
1 84 86
x-300 = x=300 Vậy S =
300
1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 3 (5điểm)
b) (2đ) 2x(8x-1)2(4x-1) =
(64x2-16x+1)(8x2-2x) = (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 Đặt: 64x2-16x + 0,5 = k Ta có: (k + 0,5)(k- 0,5) =72 k2=72,25 k = ± 8,5
Với k=8,5 ta có phương trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0;
x=
1 ; x
Với k =- 8,5 Ta có phương trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 vơ nghiệm
Vậy S = , 0,5 0,5 0,5 0,5 c) (1đ) x2-y2+2x-4y-10 = (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7 = 0
(x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x, y nguyên dương
Nên x+y+3 > x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x = 3; y =1
Phương trình có nghiệm dương (x, y) = (3; 1)
Câu 4
(5điểm)
a) (1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBA
(cùng đáy đường cao)
S DAB –SAOB = S CBA- SAOB
Hay SAOD = SBOC
0,5 0,5
GV: NGUYỄN THỊ LÊ NA
A B
C O
E K F
I
(13)b) (2đ) Vì EO//DC AC
AO DC EO
Mặt khác AB//DC
AB AO AB AO AB AO EO AB
DC OC AB DC AO OC AB DC AC DC AB DC
ABDC EF DC AB EF
DC AB DC
AB AB DC
EF 1
2
c) (2điểm) + Dựng trung tuyến EM, + Dựng EN//MK (NDF)
+ Kẻ đường thẳng KN đường thẳng phải dựng
Chứng minh: SEDM=S EMF(1) Gọi giao EM KN I SIKE = SIMN
(Cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN = SKFN.
0,5 1,0 0,5 1,0 1,0
ĐỀ SỐ 5:
(Đề gồm có 01 trang) Bài 1: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:(x + 4)( x2 +
2 x – 1,5) = (3 - x )(x2 +
2 x – 1,5) b) Giải bất phương trình: x + 1x <
Bài 2:(2,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức sau: x
16
−1
(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) ; với x = 2012 b) Cho (x + 3y)3 - 6(x + 3y)2 +12(x + 3y) = -19
Tính giá trị biểu thức x + 3y
Bài 3: (1,0 điểm)
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho biểu thức: P = (xx
+2−
x3−8
x3+8
x2−2x+4
x2−4 ):
x+2
x2+3x+2
x2+x+1
B M
K A
H
D C
E I
(14)a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P >
Bài 5:(3,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, AD = 6cm; gọi H hình chiếu A BD Gọi M, N trung điểm DH, BC
a) Tính diện tích tứ giác ABCH b) Chứng minh: AM MN
ĐỀ SỐ 6:
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Câu Nội dung Điểm
Bài 1: 2,0đ
Câu a 1,0đ
( x+4)( x2 +
2 x – 1,5) = (3-x )(x2 +
2 x – 1,5) ⇔
2 ( 2x + 1)( 2x2 + x – 3) =
0,25đ
x = - 0,5 0,25đ
2x2 + x – = ( x -1)(2x + 3) 0,25đ
x = ; x = - 1,5 0,25đ
Câu b 1,0đ
x+ 1x<2 ⇔ x
2
+1
x <2 ; ĐK : x 0,25đ
+ x > ; x2 +1 < 2x ⇔ (x – 1)2 < loại 0,25đ + x < ; x2 +1 > 2x ⇔ (x – 1)2 > với x < 0 0,25đ
Kết luận : x < 0,25đ
Bài 2: 2,0 đ
Câu a 1,25đ
x16−1=(x −1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) 0,5đ
x16−1
(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) =
(x+1)(x −1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) (x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
= x -
0,5đ
kết 2011 0,25đ
Câu b 0,75đ
(x + 3y)3 - 6(x + 3y)2 +12(x + 3y) - = -27 0,25đ
(x + 3y - 2)3 = -27 0,25đ
⇒ x + 3y - = -3 ⇒ x + 3y = -1 0,25đ
Bài 3: 1,0đ
Đặt AM = a ; MB = b ⇒ (a+b)2 = 502
(a – b)2 ⇔ a2 -2ab +b2 ⇔ a2 + b2 2ab 0,5đ
2(a2 + b2) (a + b )2 = 502 0,25đ
⇔ a2 + b2 1250
Diện tích nhỏ SAMEH + SBMIK = 1250 (m2)
Diện tích lớn cịn lại: 10000 – 1250 = 8750 (m2)
0,25đ Bài 4:
2,0đ
Câu a 1,25đ
ĐKXĐ: x ±2 0,25đ
x3−8 x3+8
x2−2x
+4
x2−4 =
(x −2)(x2+2x+4) (x+2)(x2−2x+4)
x2−2x+4 (x −2)(x+2)
0,25đ
(15)=
x+2¿2 ¿ x2
+2x+4
¿ x+2¿2
¿ x x+2−
x2+2x+4
¿
=
x+2¿2 ¿
x(x+2)−(x2+2x+4)
¿
=
x+2¿2 ¿ −4
¿
0,25đ
x+2¿2 ¿ −4
¿
: x1
+2
x2+3x+2
x2+x+1 =
x+2¿2(x2+x+1)
¿
−4 (x+2)(x+1)(x+2)
¿
=
−4 (x+1)
x2
+x+1
0,5đ
Câu b 0,75đ
x2 + x + = (x +
2 )2 +
4 > với x 0,25đ Để P > ⇒ -4(x + 1) > ⇒ x + < ⇒ x < -1 0,25đ
Vậy để P > x < - ; x -2
0,25đ
Bài 5 3,0đ
Câu a 1,5đ
Δ ABH Δ DBA 0,25đ
Tính AH = 4,8cm; BH = 6,4cm 0,5đ
Kẻ KC BD chứng minh KC = AH = 4,8cm 0,25đ
SABCH = SABH + SBHC = 12 AH.HB + 12 CK.HB = 30,72
(cm2) 0,5đ
Câu b 1,5đ
Δ AHD Δ ABC ⇒ AH AB =
AD AC=
HD
BC 0,25đ
AD AC=
DM
CN ; Δ ADM Δ ACN ⇒
AD AC =
AM
AN 0,5đ
∠ MAD = ∠ NAC ⇒ ∠ NAM = ∠ CAD ;
AD AC=
AM AN
0,25đ
Δ ADC Δ AMN ( c-g-c) 0,25đ
AM MN 0,25đ
Hình vẽ
A
D C
B
N K
(16)Chú ý:
-Học sinh có giải cách khác, làm cho điểm tối đa. -Thống điểm chấm đến 0,25đ.
ĐỀ SỐ 7:
Câu 1: Cho P =
2
2
2
x x x x
x a) Rút gọn P
b) CMR: P < với x
Câu 2: a) Tìm đa thức P(x) biết: P(x) chia cho x - dư -3, P(x) chia cho x + dư 3, P(x) chia cho x2 – thương 2x cịn dư bao nhiêu?
b) Giải phương trình:
5 4
1
2
x
x + 4 3
2
x
x + 2
1
(x 3)(x 2)+ 2 1
1 2
x
x = -1
Câu 3: Giải toán sau cách lập phương trình:
Hai đội cơng nhân làm cơng việc hồn thành cơng việc 24 h Nếu đội thứ làm 10 h, đội thứ hai làm 15 h hai đội làm
2
Câu 4: Cho tam giác ABC, hai trung tuyến AK CL cắt Từ P cạnh AC, vẽ PE // AK, PF//CL (E thuộc BC, F thuộc AB), trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M, N
CMR: FM = MN = NE
Câu 5: a) Giải bất phương trình:
1
x x
b) CMR: với a số tuỳ ý, ta có:
(a – 1)(a – 3)(a – 4)(a – 6) +
Câu 6: a) Giải phương trình: (x + y)2 = (x + 1)(y – 1) b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác
(17)CMR :
a b c
(18)ĐÁP ÁN:
Câu 1: a) P =
2
2
4
2
x x
x x
x
=
2
2 2
2( 1)
2
1
x
x x
x x x
b) x2 + 2x + = (x +1)2 + > với x P xác định với x. P =
2
2
0
x
x.
Câu 2: a) P(x) = A(x)(x – 1) – P(1) = -3. P(x) = B(x)(x + 1) + P(-1) = 3. P(x) = (x2 – 1).2x + ax + b.
Suy ra:
a + b = -3 - a+ b = 3
a = -3 b =
Vậy P(x) chia cho x2 – 2x dư -3x.
P(x) = (x2 – 1).2x – 3x = 2x3 – 5x.
b, 2 2 2 2
1 1 1 1
1
4
x x x x x x x x
2 2
1
1
1 5
x x x x
= -x4 – 6x2 – x4 + 6x + = 0
(x2 + 3)2 = Phương trình vơ ngiệm VT > x R.
Câu 3: Gọi thời gian đội I làm xong cơng việc x (h) (x > 24) 1h đội I làm
1
x (công việc)
1h đội II làm 1
24 x ( cơng việc)
Ta có phương trình:
10 1
15
24
x x
Giải x = 40 (thoả mãn)
Vậy thời gian đội I cần 40h, đội II cần 60h để xong công việc Câu
(19)AK// PE
FM FQ EF FP
CL //FP
FQ FP LO CL
( =
AF AL )
1 1
3 3
FQ LO FM
FM EF
FP CL EF
Chứng minh tương tự có:
1
3
EN EF MN EF Vậy FM = MN = NE
Câu 5: a) Lập bảng xét dấu giải :x > b) Có (a – 1)(a – 3)(a – 4)(a – 6) +
= (a2 – 7a + 6)(a2 – 7a + 12) + Đặt a2 – 7a + = y = (y – 3)(y + 3) + = y2 ≥ với y (đpcm) Câu 5: Dành cho học sinh trường Tiên Lữ
a) Đặt x + = a, y – = b
Phương trình trở thành: (a + b)2 = ab a2 + b2 + ab = 2a2 +2b2 +2ab = 0
(a + b)2 + a2 + b2 = 0 a = b = x = -1, y = 1. b) Đặt b + c – a = x, c + a – b = y, a + b – c = z
Suy 2a = y + z, 2b = x + z, 2c = x + y
2a 2b 2c y z x z x y b c a a c b a b c x y z
=
6
y x y z x z
x y z y z x
(20)ĐỀ SỐ 8:
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho a, b bình phương hai số nghuyên lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: ab – a - b + chia hết cho 48
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho biểu thức :
2
2 2
6 36
6 12 12
x x x
A
x x x x x
a) Tìm TX Đ A b) Rút gọn A
Bài 3: (1,0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức :x2y2 xy x y
Bài 4: (1,0 điểm)
Chứng tỏ khơng có giá trị x thoả mãn bất đẳng thức sau
4
5 2
x x
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD (P khác B D) Gọi M điểm đối xứng C qua P
a) Chứng minh AM song song với BD
b) Gọi E, F hình chiếu M AD AB Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF FA không phụ thuộc vào vị trí P
Bài 6: (1, điểm)
Giải phương trình:
5 15 2002 2012
2012 2002 15
x x x x
(21)Đáp án
Bài 1: Ta có ab – a - b + =(a - 1)(b - 1)
Vì a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên
2
(2 1) ; (2 3)
a n b n với nZ
2
2
2
ab - a - b +1 = (a - 1)(b - 1) = (2 1) (2 3)
(4 )(4 12 8)
16 ( 1) ( 2)
n n
n n n n
n n n
Vì 16 (n n1) (2 n2) 16 n n( 1)(n2) 3 16 (n n1) (2 n2) 3 mà ƯCLN (3;16) =1 Suy 16 (n n1) (2 n2) 48 hay ab a b 1 48
Bài 2:
a ĐKX Đ: x0;x6;x6
b Rút gọn:
2
2 2 2
2 2 2
2 2
6 36 (6 1)( 6) (6 1)( 6) 36
6 12 12 ( 36) 12( 1)
6 37 6 37 36 12( 1) 36
( 36) 12( 1) ( 36) 12( 1)
x x x x x x x x
A
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
Vậy A =
x Với x0;x6;x6
Bài 3:
2 2
2
2 2
2 2
1 2( ) 2( 1)
2 2 2
( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)
x y xy x y x y xy x y x y xy x y
x xy y x x y y x y x y
Ta có : (x y )2(x1)2(y1)2 0 ln Dấu " =" xảy x=y=1
Bài 4:
Ta có 2
4
5
2 ( 1)
x x x
2
2
4
( 1) 1 0
( 1) ( 1)
x
x x
Vậy khơng có giá trị x thoả mãn bất đẳng thức sau
4
5 2
x x
(22)
a) Ta có O trung điểm AC (ABCD hình chữ nhật) P trung điểm CM (Vì M đối xứng với C qua P) Nên OP đường trung bình ACM nên OP//AM
Suy AM//BD
b) Vì OP đường trung bình ACM
Nên OP//AM OP = 2 AM
Do đó: OP//AI OP = AI nên tứ giác AIPO hình bình hành Suy ra: PI//AC (1)
Kẻ ME//AB cắt AC K Ta có KAE = EAM (Vì KDA )
Nên AE phân giác KAM , mặt khác AE KM
AKM cân nên E trung điểm KM EI đường trung bình
của AMK
EI//OA nên EI//AC (2)
Ta lại có E, I, F thẳng hàng (3)
Từ (1), (2), (3) suy E, F, P thẳng hàng c) Ta xét hai vuông ABD FAM có:
BAD = AFM = 1v
BDA =AFM (Cùng EAM )
ABDFAM
MF AD
FA AB (không đổi).Vậy tỉ số độ dài hai đoạn thẳng
khơng phụ thuộc vào vị trí P
Bài 6:
Ta có :
5 15 2002 2012
2012 2002 15
x x x x
(23)2017 2017 2017 2017
2012 2002 15
1 1
( 2017)( )
2012 15 2002
x x x x
x
Vì :
1 1
0 ;
2012 15 2002 5 nên
1 1
( )
2012 15 2002 5 Suy ra: x-2017 = 0x = 2017 Vậy nghiệm PT x = 2017
(24)Bài (4 điểm)
Cho biểu thức A = (1− x3 1− x − x):
1− x2
1− x − x2+x3 với x khác -1
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị biểu thức A x ¿−12 c, Tìm giá trị x để A <
Bài (3 điểm)
Cho
2 2 2 2 2
a b b c c a 4 a b c ab ac bc
Chứng minh a=b=c
Bài (3 điểm)
Giải toán cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4−2a3
+3a2−4a+5
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M, N, I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD
a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON
b, Chứng minh AB1 +
CD= MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD.
Đáp án Bài 1( 4 điểm )
a, ( điểm )
(25)Với x khác -1 :
A= 1− x13− x− x+x2: (1− x)(1+x)
(1+x)(1− x+x2)− x(1+x)
0,5đ
= (1− x)(1+x+x
2 − x)
1− x :
(1− x)(1+x) (1+x)(1−2x+x2)
0,5đ = (1+x2):
(1− x)
0,5đ
= (1+x2)(1− x) 0,5đ
b, (1 điểm) Tại x = −12
3 = −
3 A =
−5
3¿
2
1+¿−[1−(−5
3)] ¿
0,25đ
= 3)
5 )( 25
( 0,25đ
¿34
8 3=
272 27 =10
2
27 0,5đ
c, (1điểm)
Với x khác -1 A<0 (1+x2)(1− x)<0 (1) 0,25đ
Vì 1+x2>0 với x nên (1) xảy 1− x<0 ⇔x>1 KL
0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4
a b ab b c bc c a ac a b c ab ac bc
0,5đ Biến đổi để có (a2+b2−2ac)+(b2+c2−2 bc)+(a2+c2−2 ac)=0 0,5đ
Biến đổi để có
a − c¿2=0
b −c¿2+¿ a− b¿2+¿
¿
(*)
0,5đ
Vì a −b¿2≥0
¿ ; b − c ¿2≥0
¿ ; a − c ¿2≥0
¿ ; với a, b, c nên (*) xảy a −b¿2=0
¿ ;
b − c¿2=0
¿
a − c¿2=0
¿ ;
0,5đ 0,5đ
Từ suy a = b = c 0,5đ
Bài (3 điểm)
Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x x
+11 (x số nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số xx −+157 (x khác -15)
0,5đ
Theo ta có phương trình x x
+11 =
x+15
x −7 0,5đ
(26)Từ tìm phân số −5
6 0,5đ
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4−2a3+3a2−4a+5
Biến đổi để có A= a2(a2+2)−2a(a2+2)+(a2+2)+3
0,5đ
= a −1¿2+3
(a2+2)(a2−2a+1)+3=(a2+2)¿
0,5đ Vì a2
+2>0 ∀a a −1¿
2 ≥0∀a
¿ nên
a −1¿2≥0∀a
(a2+2)¿ a −1¿2+3≥3∀a
(a2+2)¿
0,5đ
Dấu = xảy a −1=0 ⇔a=1 0,25đ
KL 0,25đ
Bài (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh tứ giác AMNI hình thang 0,5đ
Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân 0,5đ b,(2điểm)
Tính AD = 4√3
3 cm ; BD = 2AD = 8√3
3 cm AM = 12BD=¿ 4√3
3 cm
0,5đ
Tính NI = AM = 4√3 cm
0,5đ DC = BD = 8√3
3 cm , MN =
2DC=¿
4√3 cm
0,5đ Tính AI = 8√3
3 cm
0,5đ
Bài (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
GV: NGUYỄN THỊ LÊ NA
N
I M
D C
A B
O N
M
D C
(27)Lập luận để có OMAB =OD
BD , ON AB =
OC
AC 0,5đ
Lập luận để có ODDB =OC
AC 0,5đ
⇒ OMAB =ON
AB ⇒ OM = ON 0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xét ΔABD để có OMAB =DM
AD (1), xét ΔADC để có OM DC =
AM
AD (2) Từ (1) (2) ⇒ OM.( AB1 +
CD ) ¿
AM+DM
AD =
AD AD=1
0,5đ
Chứng minh tương tự ON (
AB+
CD)=1 0,5đ
từ có (OM + ON) (
AB+
CD)=2 ⇒ AB+
1 CD=
2
MN 0,5đ
b, (2 điểm)
SAOB SAOD
=OB
OD ,
SBOC SDOC
=OB
OD ⇒
SAOB SAOD
=¿ SBOC
SDOC
⇒
SAOB.SDOC=SBOC.SAOD
0,5đ
Chứng minh SAOD=SBOC 0,5đ
⇒ SAOD¿
SAOB.SDOC=¿
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
0,5đ Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172
(đơn vị DT)
0,5đ
Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON
b, Chứng minh AB1 +
CD= MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD.
ĐỀ SỐ 9:
Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: *
(28)* x x x x 24 b Giải phương trình:
x 30x 31x 30
c Cho
a b c
1
bc ca ab Chứng minh rằng:
2 2
a b c
0 bc ca ab
Câu2 Cho biểu thức:
2
x 10 x
A : x
x x x x
a Rút gọn biểu thức A
b Tính giá trị A, Biết |x| =
1 c Tìm giá trị x để A <
d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên
Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME
AB, MFAD.
a Chứng minh: DECF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu
a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng:
1 1 a b c
b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tính: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Đáp án Điểm
Câu a. x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 (1 điểm)
(29)HƯỚNG DẪN CHẤM
(3 điểm)
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
b.
x 30x 31x 30 0 <=>
x x x x
(*) Vì x2 - x + = (x -
1 2)2 +
3
4 > 0 x
(*) <=> (x - 5)(x + 6) =
x x x x
(1 điểm)
c. Nhân vế của:
a b c
1 bc ca ab
với a + b + c; rút gọn đpcm (1 điểm)
Câu
(3 điểm)
Biểu thức:
2
x 10 x
A : x
x x x x
a. Rút gọn kq:
1 A
x
(1 điểm)
b.
1 x
2
x
2
1 x
2
4 A
3
4 A
5
(0.5 điểm) c. A 0 x2 (0.5 điểm)
d
1
A Z Z x 1;3 x
(1 điểm)
Câu
(3 điểm)
HV + GT + KL
(30)HƯỚNG DẪN CHẤM
a Chứng minh: AEFMDF
AEDDFC đpcm (1 điểm)
b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm (1 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
ME MF a
không đổi
AEMF
S ME.MF
lớn MEMF (AEMF
hình vng)
M
trung điểm BD. (0.5 điểm)
Câu 4:
(1 điểm)
a. Từ: a + b + c =
1 b c
a a a a c
1
b b b a b
1
c c c
1 1 a b a c b c
a b c b a c a c b
3 2
Dấu xảy a = b = c =
1
(0.5 điểm)
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab =
(a – 1).(b – 1) = a = b =
Vì a = => b2000 = b2001 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 2
(0.5điểm)
(31)ĐỀ SỐ 10:
Bài 1: Tìm n N để A = 11n3+12n2+12n+20
n2+1 có giá trị nguyên
Bài 2: Giải phương trình : a) x+1¿
2
+1
x+1¿4−26¿ 25¿
= b) x2+|x −1|=|x|
Bài 3: a) Cho a > 0; b > a + b = Chứng minh :
1
1
a b
b) Với số không âm a, b, c, chứng minh rằng:
2 2 2
a b b c c a abc a b c
c) Tìm x, y, z biết : 10x2 + y2 + 4z2 + 6x – 4y – 4xz + =
Bài 4: Cho tam giác ABC có Â = 1200 , ¿ B
^
❑
¿
= 400 ; kẻ phân giác AD, BE (D BC ; E AC)
a) Chứng minh :
1 1
AB AC AD
b) Cho AB = m; AC = n; diện tích tam giác ABC S Tính diện tích tam giác ABE theo m, n, S
Bài 5: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Phân giác góc AMB cắt AB E, phân giác góc AMC cắt AC F
a) Chứng minh : EF // BC
b) Cho BC = 20 cm, AM = 10 cm Tính EF
(32)ĐÁP ÁN: Bài
1(2đ)
a) Gọi a-1, a, a+1 số tự nhiên liên tiếp ( a N ;a>0¿
M = (a 1)3a3(a1)3 3a36a = 3a(a−1)(a+1)+9a
(a −1)a(a+1) tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho
Vậy M chia hết cho
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) 11n
3
+12n2+12n+20
n2+1 =
11n+12+ n+8
n2+1 (n∈N)
A nguyên n+8⋮n2+1 n+8 n2+1 n(n−1)≤7 hay n=0;1 :2;3
Thử lại chọn n=0;2
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài
2(2,5đ) a)
x+1¿2+1
x+1¿4−26¿ 25¿
= 25X4−25X2− X2+1
= 25X2
[X2−1]−(X2−1) với X=x+1
= (X+1)(X −1)(25X2−1)
= (X+1)(X −1)(5X −1)(5X+1)
x(x+2)(5x+4)(5x+6) =
Suy nghiệm 0; -2 ; −4
5 ; −
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ b) x2
+|x −1|=|x|
x<0⇒x2− x+1=− x Vô nghiệm
0≤ x<1⇒x2− x+1=x Suy x=1 (loại) x ≥1⇒x2
+x −1=x Suy x=−1 ( loại), x=1 ( chọn)
Kết luận:
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài
3(2đ) a)
1 3( 1 1) 4( 1)( 1)
1 a b a b
a b
4( ab a b 1) ( a + b =1 ) 4 ab 8 4ab (a b )2 4ab
a −b¿2≥0
⇔¿ với a,b
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b) P =
4x+3
x2+1 =
2
2
4 4
1
x x x
x
=
2
2
4( 1) (4 1)
x x x
x
=
2x −1¿2 ¿ ¿ 4−¿ P nên Pmax = x=1
2
0,25đ 0,5đ 0,25đ
(33)Bài 4(2đ)
a) Vẽ DK // AB, K AC
Chứng minh ADK => AD = AK = DK ABC có DK // AB suy DK
AB= CK
AC ( Ta let ) => ADAB=AC−AK
AC
=> AB1 =AC−AD
AD AC suy điều chứng minh
b) Tam giác ABE tam giác ACB đồng dạng (gg) Suy SSABE
ABC
=AB
2
AC2
Thay giá trị suy SABE
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài (1,5đ)
Hình vẽ
a Chứng minh EAEB =MA
MB ( tính chất đường phân giác tam giác AMB)
Chứng minh FAFC=MA
MC ( tính chất đường phân giác tam giác AMC)
MB = MC ( gt), suy EAEB =FA
FC Suy EF // BC (Định lí ta let đảo)
b Chứng minh tam giác ABC vng A Chứng minh: AEMF hình chữ nhật Suy EF = AM = 10 cm
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25 0,25đ 0,25đ
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:
2 2 2 ; 2 2 2 2; 2 2 2 a b b c ab c b c c a abc c a a b a bc Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
2 2 2 2 2 2
2 a b b a c a 2abc a b c ; a b b c c a abc a b c
Dấu đẳng thức xảy khi:
ab bc
bc ca a b c ca ab
10x2 + y2 + 4z2 + 6x – 4y – 4xz + = 0 9x2 + 6x + 1+ y2– 4y + 4+ 4z2 – 4xz + x2 = 0
(3x + 1)2 + (y – 2)2 + (2z– x)2 = (0,25 điểm) Do : 3x + = y – = 2z – x = (0,25 điểm)
⇔ x = −1
3 ; y = 2; z = −
(34)ĐỀ SỐ 11:
Bài 1( điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2
2 21
:
4 12 13 20 4
x x x x
x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P
1
x
c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P >
Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:
a)
15 1
1 12
3 4 3
x
x x x x
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
c) x 3 5
Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phương trình:
Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời
Bài (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P
a) Tứ giác AMDB hình gì?
b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P
d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm,
9 16
PD
PB Tính cạnh hình chữ nhật ABCD
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092011 + 20112012 chia hết cho 2010 b) Cho x, y số lớn Chứng minh rằng:
2
1
1 x 1 y 1 xy
(35)ĐÁP ÁN:
Bài 1: Phân tích:
4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ Điều kiện:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x
0,5đ a) Rút gọn P =
2
2
x x
2đ
b)
1
x
2
x
1
x
+)
1
x
P =
1 +)
1
x
P =
3 1đ
c) P =
2
2
x x
=
2
5
x
Ta có: 1Z
Vậy PZ
5 Z
x
x – Ư(2)
Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – = -2 x = (TMĐK) x – = -1 x = (KTMĐK) x – = x = (TMĐK) x – = x = (TMĐK)
KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1đ d) P =
2
2
x x
=
2
5
x
0,25đ Ta có: >
Để P >
2 5
x > x – > x > 0,5đ
Với x > P > 0,25
(36)a)
15 1 12 1
3 4 3
x
x x x x
15 1
1 12
4
x
x x x x
ĐK: x 4;x 1
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4)
3x.(x + 4) = 0
3x = x + = 0
+) 3x = => x = (TMĐK) +) x + = => x = -4 (KTMĐK)
S = { 0} 1đ b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
148 169 186 199
1
25 23 21 19
x x x x
(123 – x)
1 1
25 23 21 19
= 0
Do
1 1
25 23 21 19
>
Nên 123 – x = => x = 123
S = {123} 1đ c) x 3 5
Ta có: x 2 0 x => x 2 3 > nên x 3 x 3 PT viết dạng:
x 2 5 x = – 3 x = 2
+) x - = => x = +) x - = -2 => x =
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là:
3
( / )
1 10
3 3
x x
km h
(3h20’ =
1 3
3 h ) 0,25đ
Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là:
(37)
3
5 /
10
x
km h
0,25đ Theo đề ta có phơng trình:
3
5 3 10
x
x
0,5đ
x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là:
3.150
45 / 10 km h
Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5đ
a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO đường trung bình tsm giác CAM
AM//PO
tứ giác AMDB hình thang 1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA
Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) MAF DBA g g nên
MF AD
FA AB không đổi (1đ)
d) Nếu
9 16
PD
PB 16 , 16
PD PB
k PD k PB k
Nếu CPBD
CP PB
CBD DCP g g
PD CP
1đ Do CP2 = PB.PD
Hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
A B
C D
O M
P I
E
(38)PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ Do BC = (cm)
CD = (cm) 0,5đ
Bài 5:
a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) Vì 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - )
= 2010.( ) chia hết cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + )
= 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta có đpcm
b) 2
1
1 x 1 y 1 xy (1)
2
2
2
2
1 1
0
1 1
0
1 1
1
0
1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
Vì x1;y1 => xy 1 => xy1 0
=> BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) 1đ
(39)ĐỀ SỐ 12: Câu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) -
b, Cho x Z chứng minh x200 + x100 +1 x4 + x2 +
Câu 2: (2đ)
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz x
+ y
+z
= Tính giá trị biểu thức P = 2
1 1
z y x Câu 3: (3đ) Tìm x biết
a, 3x2< 5x -4 b, 57
43
x
+ 54 46
x
= 48
52 51
49
x
x Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 với n N* b, Cho x,y,z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = x y
z x
z y z
y x
Bài 5: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E
1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB .
2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC G Chứng minh:
GB HD BC AH HC .
Bài 6: (2 đ)
(40)ĐỀ SỐ 13:
Câu
(4đ) a) Đặt a = x2 -2x x2 -2x -1 = a-1
A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b) A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
= x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) + (x4 + x2 =1) = x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 +
A chia hết cho x4 + x2 +
.1đ 1đ 1đ 1đ Câu (2đ) Có ( ) 1 z y
x = 2
1 1
z y
x + 2(xy1 xz1 yz1 )
( 3)2= p + xyz
x y z
VậyP + = Suy P =
0.75đ 0,75đ 0.5đ Câu 3:
(3đ)
Giải 4-5x < 3x +2< 5x – làm x > b) Cộng vào phân thức đặt nhân tử chung
(x + 100)( 48
1 51 54 57
) = S = 100
1đ 0.5đ 1đ 0.5đ Câu 4: 3đ
a) = n3 + (n3 + 3n2 + 3n + 1) + (n3 + 6n2 + 12n + 8) = 3n3 + 9n2 + 15n + = 3(n3 + 3n2 + 5n + 3)
Đặt B = n3 + 3n2 + 5n + = n3 + n2 + 2n2 + 2n + 3n + 3
= n2(n + 1) +2n(n + 1) + 3(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1) Ta thấy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho (vì tích số tự nhiên liên tiếp)
3(n + 1) chia hết cho3 B chia hết cho A = 3B chia hết cho
b) Đặt y + z = a; z + x = b ; x + y = c x + y + z = a+b2+c
x =
c b a
; y =
c b a
; z=
c b a
P = c
c b a b c b a a c b a 2 = ) 1 ( c b c a b c b a a c a b = 0.5đ 0,5đ 0,5đ 0.5đ
(41))) (
) ( ) ( (
b c c b c a a c b a a b
2
3
Min P =2
(Khi a = b = c x = y = z
1đ Câu 5:
(2đ)
+ Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung
CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC = ADC 1350
(vì tam giác AHD vuông cân H
theo giả thiết)
Nên AEB450Do tam giác ABE vng cân A. Suy ra: BEAB m
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ
b)
2đ Ta có:
1
2
BM BE AD
BC BC AC (do ΔBEC ~ ΔADC )
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân H) nên
1
2 2
BM AD AH BH BH
BC AC AC AB BE (do ABH Đồng
dạng CBA)
Do BHM đồng dạng BEC (c.g.c) Suy ra: BHM BEC1350 AHM 450
0,5đ
1đ 0,5đ C)
2đ
Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC
Suyra:
GB AB
GC AC ,
vì ΔABC ~ ΔDEC nên ABAC=ED
DC= AH HC=
HD
HC (DE//AH) Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
1đ 1đ Câu Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1)
Vì p số ngun tố nên:
Hoặc : a-1=2 suy p=13 ( thoả mãn)
Hoặc: a2 + a + = điều khơng xảy a >1
Vậy số tự nhiên có dang 2p+1 (p số nguyên tố) có số lập phương số tự nhiên khác
(42)ĐỀ SỐ 13:
Bài 1:(4 điểm) Cho biểu thức: M =
1
6
3
x x x
x x
:
2 10
2
x x x
a Rút gọn M
b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn
Bài 2:(3 điểm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b Chứng minh: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A <
Bài 3:(3 điểm)
a Tìm giỏ trị nhỏ biểu thức sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
b Cho cỏc số x, y, z thỏa mãn đồng thời:
x + y + z = 1: x2+ y2+ z2= x3+ y3+ z3= 1.
Tính tổng: S = x2009+ y2010+ z2011 Bài 4:(3 điểm)
a Giải phương trình: 20
2
x
x + 11 30
2
x
x + 13 42
2
x
x = 18
b Giải phương trình với nghiệm số nguyên: x( x2
+ x + 1) = 4y( y + 1)
Bài 5:(7 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H a Tính tổng :
HD HE HF AD BE CF
b Chứng minh : BH.BE + CH.CF = BC2
c Chứng minh : H cách ba cạnh tam giác DEF
d Trên đoạn HB, HC lấy điểm M, N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Hết
(43)HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 8
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
1 a 6 x x x x x = ) ( ) )( ( x x x x x x =
2( 2) ( 2) ( 2)( 2)
x x x
x x
=
6 (x 2)(x 2)
10 2 x x x =
( 2)( 2) (10 )
x x x
x = x
M =
2 ) )( ( x x
x = 2 x
1
0,5
0,5 0,5 0,5
b + Nếu x M 0 nên M khơng đạt GTLN.
+ Vậy x 2, M có Tử Mẫu số dương, nên M
muốn đạt GTLN Mẫu (2 – x) phải GTNN, Mà (2 – x) số nguyên dương – x = x = 1.
Vậy để M đạt GTLN giá trị nguyên x là:
0,5 0,5 0,5 0,5
2 a A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) = (b c )2 a2
2
(b c) a
= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
0,5 0,5 0,5
b Ta cú: (b+c –a ) >0 ( BĐT tam giác) Tương tự: (b + c +a) >0 ; (b – c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0 Vậy A <
0,5 0,5 0,5
3 a A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0
Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010
Dấu ''='' xảy x – y = y – = x = y = 2.
Vậy GTNN A 2010 x = y =2
0,5 0,5 0,5
b Ta có: (x + y + z)3= x3+ y3+ z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)
(44) Một thừa số tích (x + y)(y + z)(z + x) phải 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = z = 1, lại kết
hợp với đ/k: x2
+ y2
+ z2
= x = y = 0.
Vậy số x, y, z phải có số số 1, Nến tổng S ln có giỏ trị
0,5 0,5
4 a Phương trình biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: x4; 5; 6; 7 )
1 1
(x4)(x5) ( x5)(x6) ( x6)(x7) = 18
(
1
4
x x ) + (
1
5
x x ) + (
1
6
x x ) =
1 18
1
4
x x =
1
18 (x + 4)(x +7) = 54
(x + 13)(x – 2) = x = -13 x = (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm phương trình là: S = 13; 2
0,5
0,5 0,5 0,5
b + Phương trình biến đổi thành: (x + 1)(x2
+ 1) = (2y + 1)2
+ Ta chứng minh (x + 1) (x2
+ 1) nguyên tố ! Vì d = UCLN (x+1, x2
+ 1) d phải số lẻ (vì 2y+1 lẻ)
1 x d x d 2 1
x x d x d x d 1 x d x d
2d mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x2+ 1) số phương
Thì (x+1) (x2+ 1) phải số phương
Đặt: 2 1 x k x t
(k + x)(k – x) = 1
1 k x
1 k x
+ Với x = (2y + 1)2
= y = y = -1.(Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm phương trình là: (x;y) =(0;0), (0; 1)
0,25
0,25
0,25 0,25
(45)5
O
K I
N M
E
H F
A
D B
C
0,5
a
Trước hết chứng minh:
HD AD =
( ) ( )
S HBC S ABC
Tương tự có:
( ) ( )
HE S HCA BE S ABC ;
( ) ( )
HF S HAB CF S ABC
Nên
HD HE HF AD BE CF =
( ) ( ) ( )
( )
S HBC S HCA S HAB S ABC
HD HE HF AD BE CF = 1
0,5 0,5 0,5 0,5
b Trước hêt chứng minh BDHBEC
BH.BE = BD.BC
Và CDHCFB CH.CF = CD.CB.
BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 (đpcm)
0,5 0,5 0,5 0,5
c Trước hết chứng minh: AEF ABC AEFABC
Và CDECAB CED CBA
AEF CED mà EBAC nên EB phân giác góc DEF
Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đường phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm)
0,5 0,5 0,5
d Gọi O giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC, ta có OMH = ONC (c.c.c) OHM OCN .(1)
Mặt khác ta có OCH cân O nên:OHC OCH .(2)
Từ (1) (2) ta có: OHC OHB HO phân giác góc BHC
Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC phân giác góc BHC nên O điểm cố định
Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O
(46)Chú ý:
O
K I
N M
E
H F
A
D B
C
+ Hướng dẫn chấm có trang, chấm theo thang điểm 20 + Điểm toàn tổng điểm thành phần khơng làm trịn + Bài số phải có hình vẽ chấm
+ Mọi cách làm khác cho điểm tối đa tương ứng với nội dung