5 De thi HSG Toan 8(Co dap an)

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 (lần 2) Năm học 2009 - 2010 Bài 1: Cho biểu thức M =       + + − + − 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x :         + − +− 2 10 2 2 x x x a) Rút gọn M b)Tính giá trị của M khi x = 2 1 Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0. Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x 2 - 2xy + 2y 2 - 4y + 5 b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B = 1 )1(3 23 +++ + xxx x Bài 4: Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G. a) Chứng minh: AE 2 =EF.EG b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi. Bài 5: Chứng minh rằng nếu )1()1( 22 xzy xzy yzx yzx − − = − − Với x ≠ y ; xyz ≠ 0 ; yz ≠ 1 ; xz ≠ 1. Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) HD: Bài 1: a) Rút gọn M M=       + + − + − 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x :         + − +− 2 10 2 2 x x x =       + + − − +− 2 1 )2(3 6 )2)(2( 2 xxxxx x : 2 6 +x M = 6 2 . )2)(2( 6 + +− − x xx = x−2 1 b)Tính giá trị của M khi x = 2 1 x = 2 1 ⇔ x = 2 1 hoặc x = - 2 1 Với x = 2 1 ta có : M = 2 1 2 1 − = 2 3 1 = 3 2 Với x = - 2 1 ta có : M = 2 1 2 1 + = 2 5 1 = 5 2 Bài 2a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. Ta có : A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - (2bc) 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 -2bc)( b 2 + c 2 - a 2 +2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0. Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) Vậy A< 0 Bài 3: a) Ta có : A = x 2 - 2xy + y 2 +y 2 - 4y +4 + 1 = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 1 Do (x-y) 2 ≥ 0 ; (y - 2) 2 ≥ 0 Nên A= (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 1 ≥ 1 Dấu ''='' xãy ra ⇔ x = y và y = 2 Vậy GTNN của A là 1 ⇔ x = y =2 b) B = 1 )1(3 23 +++ + xxx x = 1)1( )1(3 2 +++ + xxx x = )1)(1( )1(3 2 ++ + xx x = 1 3 2 +x Do x 2 +1>0 nên B = 1 3 2 +x ≤ 3 Dấu ''='' xãy ra ⇔ x = 0 Vậy GTLN của B là 3 ⇔ x = 0 Bài 4: a) Do AB//CD nên ta có: ED EB EG EA = = DG AB (1) Do BF//AD nên ta có: ED EB EA EF = = FB AD (2) Từ (1) và (2) ⇒ EA EF EG EA = Hay AE 2 = EF. EG b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi. Từ (1) và (2) ⇒ AD FB DG AB = Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi) Bài 5: Từ GT ⇒ (x 2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y 2 - xz) ⇔ x 2 y- x 3 yz-y 2 z+xy 2 z 2 = xy 2 -x 2 z - xy 3 z +x 2 yz 2 ⇔ x 2 y- x 3 yz - y 2 z+ xy 2 z 2 - xy 2 +x 2 z + xy 3 z - x 2 yz 2 = 0 ⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y 2 - xz - x 2 )+z(x 2 - y 2 ) = 0 ⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0 ⇔ (x -y) [ ] yzxzzyxxyzxy ++++− )( = 0 Do x - y ≠ 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0 Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) E F A B D C G ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 Năm học 2009 - 2010 Bài 1: Cho biểu thức M = nn aa aa 3 2 1 2 − −+ + .       − − − −+ aaa aa 22 22 3 44 )2( (n ∉ N*) a) Rút gọn M b) Với a>2. Chứng minh rằng 0 < M < 1 Bài 2: . Chứng minh rằng với m là số nguyên lẻ thì: a) (m 3 +3m 2 - 3m -3)  48 b) ( 7.5 2n +12.6 n )  19; Với n là số nguyên dương Bài 3: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn 0=++ z c y b x a và 1=++ c z b y a x . Chứng minh rằng 1 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x Bài 4: Cho hình vuông ABCD, cạnh a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh C cắt tia AB ở E và tia AD ở F. a) Chứng minh: BE.DF = a 2 b) Chứng minh đẳng thức 2 2 AF AE DF BE = c) Xác định vị trí của điểm E trên tia AB sao cho diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất? Biết rằng " Hai số dương có tích không đổi tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau" Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 )2010( +x x HD: Bài 1: a) Rút gọn M Ta có: M = nn aa aa 3 2 1 2 − −+ + .       − − − −+ aaa aa 22 22 3 44 )2( = )3( )1)(2( − −+ aa aa n . )1(4 )3(4 − − aa a = 1 2 + + n a a b) Với a>2 ⇒ a + 2 > 0 và a n+1 > 0 Do đó 1 2 + + n a a > 0 (1) Với a>2 ⇒ a + 2 < 2a và a n+1 ≥ a 2 Do đó 1 2 + + n a a < 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1 Bài 2: a) (m 3 +3m 2 - 3m -3)  48 Ta có: m 3 +3m 2 - 3m -3 = m 2 (m+3) -(m+3) = (m+3)(m-1)( m+1) Do m lẻ nên (m+3);(m-1) ;( m+1) là các số chẵn Vậy (m 3 +3m 2 - 3m -3)  48 + b) Chứng minh ( 7.5 2n +12.6 n )  19; Với n là số nguyên dương 7.5 2n +12.6 n = 7.5 2n +12.6 n +7.6 n - 7.6 n =( 7.25 n - 7.6 n ) + 19.6 n = 7(25 n - 6 n ) +19.6 n Do 7(25 n - 6 n )  19 và 19.6 n  19 Nên ( 7.5 2n +12.6 n )  19 Bài 3: Từ 0=++ z c y b x a ⇒ 0= ++ xyz cxybxzayz ⇒ ayz + bxz + cxy = 0 Từ 1=++ c z b y a x ⇒ 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ + ab xy2 + bc yz2 + ac xz2 = 1 ⇒ 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ + abc xyc2 + abc yza2 + acb xzb2 =1 Mà ayz + bxz + cxy = 0 ⇒ 2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc ≠ 0) Hay 1 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x (đpcm) Bài 4: a) Chứng minh: BE.DF = a 2 ∆ BEC ~ ∆ DCF ⇒ DF BC DC BE = Hay BE.DF = BC.DC = a 2 A F C B D E b) Chứng minh đẳng thức 2 2 AF AE DF BE = ∆ BEC ~ ∆ AEF ⇒ FA AE BC BE = (1) ∆ DCF ~ ∆ AEF ⇒ FA AE DF DC = (2) Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có: 2 2 . AF AE DF DC BC BE = Hay 2 2 AF AE DF BE = c) Ta có: S FAE = 2 F.AAE Mặt khác BE.DF = a 2 (không đổi) ⇒ BE +DF nhỏ nhất khi BE = DF ⇒ BE+a = DF+a Hay AE = AF.Vậy để diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất thì E phải là điểm đối xứng của A qua B. Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 )2010( +x x HD: Dùng (a+b) 2 - (a-b) 2 = 4ab để giải UBND HUYỆN CẦU KÈ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 PHÒNG GIÁO DỤC NĂM HỌC: 2006 – 2007 (Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Thí sinh làm tất cả các bài toán sau đây: Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. 4x 2 – 8x + 3 2. x 2 – y 2 + 10 x – 6y + 16 3. x 5 + x + 1 4. a (b 2 – c 2 ) + b (c 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) Bài 2: (5 điểm) 1. Xác đònh hệ số a, b sao cho đa thức: x 4 + ax 3 + b chia hết cho x 2 – 1. 2. Cho biểu thức: a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trò của x để P = 1. c. Tìm các giá trò của x để P > 0. Bài 3: (4 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a 3 + b 3 + c 3 – 3abc. 2. Cho và x, y, z khác 0. Tính giá trò của biểu thức: Bài 4: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm đối xứng là điểm O. trên đường chéo BD lấy một điểm M, ttrên tia AM lấy điểm E sao cho M Là trung điểm của AM. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E trên BC và DC. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác HEKC là hình chữ nhật. 2. OM // CM. 3. HK // AC. 4. Ba điểm M, H, K thẳng hàng. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A. Điểm E nằm trong tam giác sao cho: . Tính số đo góc AEB ? HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2006 - 2007 BÀI CÂ U NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM 1 (4 đ) 1 2 3 4 4x 2 – 8x + 3 = 4x 2 – 2x – 6x + 3 = 2x(2x – 1) – 3(2x – 1) = (2x – 1)(2x – 3) x 2 – y 2 + 10x – 6y +16 = x 2 + 10x + 25 – y 2 – 6y – 9 = (x 2 + 10x + 25) – (y 2 + 6y + 9) = (x + 5) 2 – (y + 3) 2 = (x + 5 + y + 3)(x + 5 – y – 3) = (x + y + 8)(x – y + 2) x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) = x 2 (x – 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)( x 3 - x + 1) a (b 2 – c 2 ) + b (c 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) = = a (b 2 – c 2 ) + b(c 2 – b 2 + b 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) = (b 2 – c 2 )(a – b) + (a 2 – b 2 )(c – b) = (b + c)(b – c)(a – b) – (a + b)(a – b)(b – c) = (a – b)(b – c)(c – a) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 2 (5 đ) 1 2 Thực hiện phép chia đa thức x 4 + ax 3 + b cho đa thức x 2 -1 ta được thương là x 2 + ax + 1, số dư là ax + (b + 1) Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi x Do đó: a = 0 và b + 1 = 0 Vậy: a = 0 và b = - 1 a. 1 0.5 0.5 0.5 BÀI CÂ U NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM = b. ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ - 3; x ≠ ± 2 P = 1 <=> = 1 <=> x + 4 = 6 <=> x = 2 (không thỏa mãn) Vậy không có giá trò nào của x để P = 1. c. P > 0 <=> > 0 <=> x + 4 > 0 (vì 6 > 0) <=> x > - 4 (và x ≠ 0 ; x ≠ - 3 ; x ≠ ± 2) 1 0.5 0.5 0.5 Câu 3 (4đ) 1 2 a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = a 3 + (b + c) 3 – 3bc (b + c) – 3abc = (a + b + c){a 2 – a(b + c) + (b + c) 2 } – 3bc (a + b + c) = (a + b + c) (a 2 – ab – ac + b 2 + 2bc + c 2 – 3bc) = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 – ab – ac – bc) Áp dụng câu 1: nếu a + b + c = 0 thì: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Ta co ù:  Vậy: A = xyz = 3 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 4 (4 đ) 1 2 2 2 I 1 1 B E K O M H C D A Ta có: => tứ giác HEKC là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông). Gọi I là giao điểm của HK và CE, O là giao điểm của Hình vẽ 0.5 0.5 [...]... đều = 3600 – ( 150 0 + 600) = 150 0 ⇒ Ta có: BAK = BEK (c – g – c) ⇒ Vậy: = 600 + 150 = 750 C 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 Năm học 2009 - 2010 2 2 a 2 + a − 2  (a + 2) − a − 3  Bài 1: Cho biểu thức M = n+1   2 a2 − a  a − 3a n  4a − 4 (n∉ N*) a) Rút gọn M b) Với a>2 Chứng minh rằng 0 < M < 1 Bài 2: Chứng minh rằng với m là số ngun lẻ thì: a) (m3+3m2 - 3m -3)  48 b) ( 7 .52 n +12.6n )... (2) = ACE 0 .5 0 .5 CIK cân tại I (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra : 4 BIỂU ĐIỂM NỘI DUNG 0 .5 0 .5 = Vậy: HK // AC Xét ACE có đường thẳng HK đi qua trung điểm I của CE và HK // AC nên đường thẳng HK đi qua trung điểm của AE, tức đi qua điểm M Vậy 3 điểm M, H, K thẳng hàng 0 .5 0 .5 B Hình vẽ 0 .5 K E A 5 Trong ABC lây điểm K sao cho ⇒ KAB = EAC (c – g – c) Do đó: AK = AE ⇒ AKE cân tại A = 900 – 2 150 = 600 Nên... -(m+3) = (m+3)(m-1)( m+1) Do m lẻ nên (m+3);(m-1) ;( m+1) là các số chẵn Vậy (m3+3m2 - 3m -3)  48 + b) Chứng minh ( 7 .52 n +12.6n )  19; Với n là số ngun dương 7 .52 n +12.6n = 7 .52 n +12.6n +7.6n - 7.6n =( 7.25n - 7.6n) + 19.6n = 7(25n - 6n) +19.6n Do 7(25n - 6n) 19 và 19.6n 19 Nên ( 7 .52 n +12.6n )  19 Bài 3: ayz + bxz + cxy = 0 ⇒ ayz + bxz + cxy = 0 xyz x y z x 2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 xz x 2 y 2 z 2... = DF AF 2 c) Xác định vị trí của điểm E trên tia AB sao cho diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất? Biết rằng " Hai số dương có tích khơng đổi tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau" Bài 5: x Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = ( x + 2010) 2 HD: Bài 1: a) Rút gọn M 2 2 a 2 + a − 2  (a + 2) − a − 3  Ta có: M = n+1   2 a2 − a  a − 3a n  4a − 4 b) Với a>2 ⇒ a + 2 > 0 và an+1> 0 a+2... AE 2 = DF AF 2 F E Mặt khác BE.DF = a2(khơng đổi) ⇒ BE +DF nhỏ nhất khi BE = DF ⇒ BE+a = DF+a Hay AE = AF.Vậy để diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất thì E phải là điểm đối xứng của A qua B Bài 5: x Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = ( x + 2010) 2 HD: Dùng (a+b)2- (a-b)2 = 4ab để giải . đều Mà = 360 0 – ( 150 0 + 60 0 ) = 150 0 ⇒ Ta có: BAK = BEK (c – g – c) ⇒ Vậy: = 60 0 + 15 0 = 75 0 Hình vẽ 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 Năm học 2009 - 2010 Bài 1:. hàng. 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 5 K E C B A Trong ABC lây điểm K sao cho ⇒ KAB = EAC (c – g – c) Do đó: AK = AE ⇒ AKE cân tại A = 90 0 – 2. 15 0 = 60 0 Nên AKE là tam giác đều Mà = 360 0 – ( 150 0 . b) = (b + c)(b – c)(a – b) – (a + b)(a – b)(b – c) = (a – b)(b – c)(c – a) 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 0 .5 Câu 2 (5 đ) 1 2 Thực hiện phép chia đa thức x 4 + ax 3 + b cho đa thức x 2 -1 ta