5 De thi HSG Toan 8(Co dap an)

Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G.. Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi.

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 (lần 2)

Năm học 2009 - 2010











+

+

−

+

1 3 6

6 4

3

2

x x x

x

x

: + 

− +

−

2

10

x

x x

a) Rút gọn M

b)Tính giá trị của M khi x =

2 1

Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử

b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0 Bài 3:

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :

B =

1

) 1 ( 3

2

3 + + +

+

x x x

x

Bài 4:

Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G a) Chứng minh: AE2 =EF.EG

b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi

Bài 5:

Chứng minh rằng nếu

) 1 ( ) 1 (

2 2

xz y

xz y yz x

yz x

−

−

=

−

−

Với x ≠y ; xyz ≠0 ; yz ≠1 ; xz ≠1.

Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)

HD:

Bài 1:

a) Rút gọn M











+

+

−

+

1 3 6

6 4

3

2

x x x

x

x

: + 

− +

−

2

10

x

x











+

+

−

− +

1 ) 2 ( 3

6 )

2 )(

2 (

2

x x

x x x

x

: 2

6

+

x

) 2 )(

2

(

+

−

x

x

−

2 1

b)Tính giá trị của M khi x =

2 1

x =

2

1 ⇔x =

2

1 hoặc x =

-2 1

Với x =

2

1

ta có : M =

2

1 2

1

− =

2 3

1

= 3 2

Với x = -

2

1

ta có : M =

2

1 2

1

+ =

2 5

1

= 5

2

Bài 2a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử

Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2

+ c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)

b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0

Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)

(b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác)

(b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác)

(b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)

Vậy A< 0

Bài 3:

a)

Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1

= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1

Do (x-y)2 ≥0 ; (y - 2)2 ≥ 0

Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1≥1

Dấu ''='' xãy ra ⇔x = y và y = 2

Vậy GTNN của A là 1⇔x = y =2

b) B =

1

) 1 ( 3

2

3 + + +

+

x x x

x

= 2(3(+1)+1) +1

+

x x

x

x

=( 23+(1)(1)+1)

+

x x

x

=

1

3

2 +

x

Do x2 +1>0 nên B =

1

3

2 +

x ≤3 Dấu ''='' xãy ra ⇔x = 0

Vậy GTLN của B là 3⇔x = 0

Bài 4:

a)

Do AB//CD nên ta có:

ED

EB

EG

EA = =

DG

AB

(1)

Do BF//AD nên ta có:

ED

EB

EA

EF = =

FB

AD

(2)

Từ (1) và (2) ⇒

EA

EF EG

EA

= Hay AE2 = EF EG

b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi

Từ (1) và (2) ⇒

AD

FB DG

AB

= Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi)

Bài 5:

Từ GT ⇒(x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)

⇔x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2

⇔x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0

⇔xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0

⇔xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0

⇔(x -y)[xy−xyz(x+y+z) +xz+yz] = 0

Do x - y ≠0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0

Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)

E

F

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8

Năm học 2009 - 2010

Bài 1: Cho biểu thức M = n n

a a

a a

3

2

1

2

−

−

+











−

−

−

− +

a a a

a a

2 2

2

4 4

) 2 (

(n∉N*)

a) Rút gọn M

b) Với a>2 Chứng minh rằng 0 < M < 1

Bài 2:

Chứng minh rằng với m là số nguyên lẻ thì:

a) (m3+3m2 - 3m -3) 48

b) ( 7.52n +12.6n ) 19; Với n là số nguyên dương

Bài 3:

Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn

0

=

+

+

z

c

y

b

x

a

và + + = 1

c

z b

y a

x

Chứng minh rằng 22 + 22 + 22 = 1

c

z b

y a x

Bài 4:

Cho hình vuông ABCD, cạnh a Một đường thẳng d đi qua đỉnh C cắt tia AB ở

E và tia AD ở F

a) Chứng minh: BE.DF = a2

b) Chứng minh đẳng thức 22

AF

AE DF

BE =

c) Xác định vị trí của điểm E trên tia AB sao cho diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất? Biết rằng " Hai số dương có tích không đổi tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau"

Bài 5:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =(x+ 2010 ) 2

x

Bài 1: a) Rút gọn M

Ta có: M = n n

a a

a a

3

2

1

2

−

−

+











−

−

−

− +

a a a

a a

2 2

2

4 4

) 2 (

= (a a+n(2a)(a−−3)1) 44a((a a−−31)) = +n+12

a a

b) Với a>2 ⇒a + 2 > 0 và an+1> 0

Do đó +n+12

a

a

> 0 (1) Với a>2 ⇒a + 2 < 2a và an+1 ≥a2

Do đó +n+12

a

a

< 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1

Bài 2:

a) (m3+3m2 - 3m -3) 48

Ta có: m3+3m2 - 3m -3 = m2(m+3) -(m+3) = (m+3)(m-1)( m+1)

Do m lẻ nên (m+3);(m-1) ;( m+1) là các số chẵn

Vậy (m3+3m2 - 3m -3) 48 +

b) Chứng minh ( 7.52n +12.6n ) 19; Với n là số nguyên dương

7.52n +12.6n = 7.52n +12.6n +7.6n - 7.6n =( 7.25n - 7.6n) + 19.6n = 7(25n - 6n)

+19.6n

Do 7(25n - 6n)19 và 19.6n 19

Nên ( 7.52n +12.6n ) 19

Bài 3:

Từ + + = 0

z

c

y

b

x

a

xyz

cxy bxz ayz

⇒ayz + bxz + cxy = 0

Từ + + = 1

c

z

b

y

a

x ⇒ 22 22 22

c

z b

y a

x + + +

ab

xy

2 +

bc

yz

2 +

ac

xz

2

= 1 ⇒ 22 22 22

c

z b

y a

x + + +

abc

xyc

2 +

abc

yza

2 +

acb

xzb

2

=1

Mà ayz + bxz + cxy = 0 ⇒ 2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc≠0)

2 2

2

2

2

= + +

c

z b

y

a

Bài 4:

a) Chứng minh: BE.DF = a2

∆BEC ~ ∆DCF ⇒

DF

BC DC

BE = Hay BE.DF = BC.DC = a2

A

F

C

B

D

E

b) Chứng minh đẳng thức 22

AF

AE DF

BE =

∆BEC ~ ∆AEF ⇒

F

A

AE BC

BE = (1)

∆DCF ~ ∆AEF ⇒

F

A

AE DF

DC = (2)

Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có:

. 22

AF

AE DF

DC

BC

AF

AE DF

BE =

c) Ta có: SFAE =

2

F

.A

AE

Mặt khác BE.DF = a2(không đổi) ⇒BE +DF nhỏ nhất khi BE = DF ⇒ BE+a =

DF+a

Hay AE = AF.Vậy để diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất thì E phải là điểm đối xứng của A qua B

Bài 5:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =(x+ 2010 ) 2

x

HD: Dùng (a+b)2- (a-b)2 = 4ab để giải

UBND HUYỆN CẦU KÈ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

(Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Thí sinh làm tất cả các bài toán sau đây:

Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:

1 4x2 – 8x + 3

2 x2 – y2 + 10 x – 6y + 16

3 x5 + x + 1

4 a (b2 – c2) + b (c2 – a2) + c (a2 – b2)

Bài 2: (5 điểm)

1 Xác định hệ số a, b sao cho đa thức: x4 + ax3 + b chia hết cho x2 – 1

2. Cho biểu thức:

a. Rút gọn P

b. Tìm các giá trị của x để P = 1

c. Tìm các giá trị của x để P > 0

Bài 3: (4 điểm)

1 Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc

2. Cho và x, y, z khác 0 Tính giá trị của biểu thức:

Bài 4: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm đối xứng là điểm O trên

đường chéo BD lấy một điểm M, ttrên tia AM lấy điểm E sao cho M Là trung điểm của AM Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E trên BC và DC Chứng minh rằng:

1 Tứ giác HEKC là hình chữ nhật

2 OM // CM

3 HK // AC

4 Ba điểm M, H, K thẳng hàng

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A Điểm E nằm trong

tam giác sao cho: Tính số đo góc AEB ?

-HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN NĂM HỌC 2006 - 2007

1

(4

đ)

1

2

3

4

4x2 – 8x + 3 = 4x2 – 2x – 6x + 3

= 2x(2x – 1) – 3(2x – 1)

= (2x – 1)(2x – 3)

x2 – y2 + 10x – 6y +16 = x2 + 10x + 25 – y2 – 6y – 9

= (x2 + 10x + 25) – (y2 + 6y + 9)

= (x + 5)2 – (y + 3)2

= (x + 5 + y + 3)(x + 5 – y – 3)

= (x + y + 8)(x – y + 2)

x5 + x + 1 = x5 – x2 + x2 + x + 1

= x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)

= x2(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)( x3 - x + 1)

a (b2 – c2) + b (c2 – a2) + c (a2 – b2) =

= a (b2 – c2) + b(c2 – b2 + b2 – a2) + c (a2 – b2)

= (b2 – c2)(a – b) + (a2 – b2)(c – b)

= (b + c)(b – c)(a – b) – (a + b)(a – b)(b – c)

= (a – b)(b – c)(c – a)

0.5 0.5 0.5

0.5 0.5

0.5

0.5

0.5

Câu

2

(5

đ)

1

2

Thực hiện phép chia đa thức x4 + ax3 + b cho đa thức

x2 -1 ta được thương là x2 + ax + 1, số dư là ax + (b + 1) Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi x

Do đó: a = 0 và b + 1 = 0 Vậy: a = 0 và b = - 1

a

1

0.5 0.5 0.5

BÀI CÂ U NỘI DUNG ĐIỂM BIỂU

=

b ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ - 3; x ≠ ± 2

P = 1 <=> = 1 <=> x + 4 = 6 <=> x = 2 (không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nào của x để P = 1

c P > 0 <=> > 0 <=> x + 4 > 0 (vì 6 > 0)

<=> x > - 4 (và x ≠ 0 ; x ≠ - 3 ; x ≠ ± 2)

1

0.5 0.5 0.5

Câu

3

(4đ)

1

2

a3 + b3 + c3 – 3abc = a3 + (b + c)3 – 3bc (b + c) – 3abc

= (a + b + c){a2 – a(b + c) + (b + c)2} – 3bc (a + b + c)

= (a + b + c) (a2 – ab – ac + b2 + 2bc + c2 – 3bc)

= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

Áp dụng câu 1: nếu a + b + c = 0 thì: a3 + b3 + c3 = 3abc

Vậy: A = xyz = 3

0.5 0.5

0.5 0.5 0.5

0.5 0.5

0.5

Câu

4

(4

đ)

1

2

2 2

I 1

1

B

E

K

O

M H

C D

A

Ta có: => tứ giác HEKC là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

Gọi I là giao điểm của HK và CE, O là giao điểm của

Hình vẽ 0.5

0.5

BÀI CÂ U NỘI DUNG ĐIỂM BIỂU

3

4

AC và BD

Ta có: OM là đường trung bình của ACE Vậy: OM // CE

Ta có: = (góc đồng vị) (1) COD cân tại O; CIK cân tại I

Do đó: = (2)

= (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra : = Vậy: HK // AC

Xét ACE có đường thẳng HK đi qua trung điểm I của CE và HK // AC nên đường thẳng HK đi qua trung điểm của AE, tức đi qua điểm M

Vậy 3 điểm M, H, K thẳng hàng

0.5 0.5

0.5 0.5

0.5 0.5

5

K

E

C

B

A

Trong ABC lây điểm K sao cho

⇒ KAB = EAC (c – g – c)

Do đó: AK = AE ⇒ AKE cân tại A = 900 – 2 150 = 600

Nên AKE là tam giác đều Mà = 3600 – (1500 + 600) = 1500

⇒

Ta có: BAK = BEK (c – g – c)

⇒

Vậy: = 600 + 150 = 750

Hình vẽ 0.5

0.5 0.5 0.5 0.5

0.5

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8

Năm học 2009 - 2010

Bài 1: Cho biểu thức M = n n

a a

a a

3

2

1

2

−

−

+











−

−

−

− +

a a a

a a

2 2

2

4 4

) 2 (

(n∉N*)

a) Rút gọn M

b) Với a>2 Chứng minh rằng 0 < M < 1

Bài 2:

Chứng minh rằng với m là số nguyên lẻ thì:

a) (m3+3m2 - 3m -3) 48

b) ( 7.52n +12.6n ) 19; Với n là số nguyên dương

Bài 3:

Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn

0

=

+

+

z

c

y

b

x

a

và + + = 1

c

z b

y a

x

Chứng minh rằng 22 + 22 + 22 = 1

c

z b

y a x

Bài 4:

Cho hình vuông ABCD, cạnh a Một đường thẳng d đi qua đỉnh C cắt tia AB ở

E và tia AD ở F

a) Chứng minh: BE.DF = a2

b) Chứng minh đẳng thức 22

AF

AE DF

BE =

c) Xác định vị trí của điểm E trên tia AB sao cho diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất? Biết rằng " Hai số dương có tích không đổi tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau"

Bài 5:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =(x+ 2010 ) 2

x

HD:

Bài 1: a) Rút gọn M

Ta có: M = n n

a a

a a

3

2

1

2

−

−

+











−

−

−

− +

a a a

a a

2 2

2

4 4

) 2 (

= (a a+n(2a)(a−−3)1) 44a((a a−−31)) = +n+12

a a

b) Với a>2 ⇒a + 2 > 0 và an+1> 0

Do đó +n+12

a

a

> 0 (1) Với a>2 ⇒a + 2 < 2a và an+1 ≥a2

Do đó +n+12

a

a

< 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1

Bài 2:

a) (m3+3m2 - 3m -3) 48

Ta có: m3+3m2 - 3m -3 = m2(m+3) -(m+3) = (m+3)(m-1)( m+1)

Do m lẻ nên (m+3);(m-1) ;( m+1) là các số chẵn

Vậy (m3+3m2 - 3m -3) 48 +

b) Chứng minh ( 7.52n +12.6n ) 19; Với n là số nguyên dương

7.52n +12.6n = 7.52n +12.6n +7.6n - 7.6n =( 7.25n - 7.6n) + 19.6n = 7(25n - 6n)

+19.6n

Do 7(25n - 6n)19 và 19.6n 19

Nên ( 7.52n +12.6n ) 19

Bài 3:

Từ + + = 0

z

c

y

b

x

a

xyz

cxy bxz ayz

⇒ayz + bxz + cxy = 0

Từ + + = 1

c

z

b

y

a

x ⇒ 22 22 22

c

z b

y a

x + + +

ab

xy

2 +

bc

yz

2 +

ac

xz

2

= 1 ⇒ 22 22 22

c

z b

y a

x + + +

abc

xyc

2 +

abc

yza

2 +

acb

xzb

2

=1

Mà ayz + bxz + cxy = 0 ⇒ 2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc≠0)

2 2

2

2

2

= + +

c

z b

y

a

x

(đpcm) Bài 4:

a) Chứng minh: BE.DF = a2

∆BEC ~ ∆DCF ⇒

DF

BC DC

BE

= Hay BE.DF = BC.DC = a2

b) Chứng minh đẳng thức 22

AF

AE DF

BE =

∆BEC ~ ∆AEF ⇒

F

A

AE BC

BE = (1)

∆DCF ~ ∆AEF ⇒

F

A

AE DF

DC

= (2)

Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có:

. 22

AF

AE DF

DC

BC

AF

AE DF

BE =

c) Ta có: SFAE =

2

F

.A

AE

A

F

C

B

D

E

Mặt khác BE.DF = a2(không đổi) ⇒BE +DF nhỏ nhất khi BE = DF ⇒ BE+a =

DF+a

Hay AE = AF.Vậy để diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất thì E phải là điểm đối xứng của A qua B

Bài 5:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =(x+ 2010 ) 2

x

HD: Dùng (a+b)2- (a-b)2 = 4ab để giải