De Thi Hoc Sinh Gioi Toan 8 Co dap andoc

Thầy cô khai báo cụ thể các mục như sau: + Mail người giới thiệu là mail của tôi, tôi đã là thành viên chính thức: info@123doc.org + Mã số người giới thiệu Nhập chính xác : 66309 Hoặc qu[r]

Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2x 4x2 2 x x  3x A (   ):( ) 2 x x  2 x x  x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z      1   1 Cho a b c và x y z Chứng minh : a b c b) Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K là hình chiếu C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài a 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Năm học: 2013-2014 0,5 5,0 3,0 2  x 0   x  0   2  x 0  x  x 0  2 x  x3 0 A (  x 0   x 2   x 3 1,0  x 4x2 2 x x  3x (2  x)  x  (2  x) x (2  x )   ):( )    x x   x 2x  x (2  x )(2  x ) x ( x  3) x2  8x x(2  x)  (2  x)(2  x) x  0,5 x ( x  2) x (2  x ) 4x2  (2  x)(2  x)( x  3) x  0,25  Vậy với x 0, x 2, x 3 thì 1,0 A 4x x 0,25 b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A   4x 0 x  x 30  x  3(TMDKXD) 0,25 0,25 0,25 1,0 Vậy với x > thì A > c  x  4 x  4    x    x 11(TMDKXD )   x 3( KTMDKXD ) 0,5 0,25 121 Với x = 11 thì A = 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 =  (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) =  9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 2 Do : ( x  1) 0; ( y  3) 0;( z 1) 0 Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Gv: Hè Sü Hoµng 0,25 a b c ayz+bxz+cxy   0  0 x y z xyz Trường THCS H¶i Hµ 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014  ayz + bxz + cxy = x y z x y z   1  (   ) 1 a b c a b c Ta có : 0,25 0,5 x2 y2 z xy xz yz     2(   ) 1 a b c ab ac bc 2 x y z cxy  bxz  ayz    2 1 a b c abc x2 y z    1(dfcm) a b c 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g  c  g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF là hình bình hành b     Ta có: ABC  ADC  HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g  g )  CH CK   CH CD CK CB CB CD b, 1,75 0,25 Chứng minh : AFD AKC ( g  g ) AF AK   AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g  g ) 0,25   0,25 CF AH  CD AC 0,25  CF AH   AB AH CF AC AB AC Mà : CD = AB Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 Gv: Hè Sü Hoµng 0,5 Trường THCS H¶i Hµ 0,5 0,25 Tuyển tập đề thi HSG Toán (đfcm) Năm học: 2013-2014 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích các đa thức sau thừa số: x4   x    x    x    x    24 b Giải phương trình: x  30x  31x  30  a b c a2 b2 c2   1   0 c Cho b  c c  a a  b Chứng minh rằng: b  c c  a a  b Câu2   10  x   x A     :x   x 2   x   x x 2    Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm các giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vuông ABCD, M là điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 1   9 a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c b Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Câu (6 điểm) Đáp án a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Điểm ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x  30x    31x  30  <=> x2  x   x    x    Gv: Hè Sü Hoµng (2 điểm) (2 điểm) (*) Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Vì x2 - x + = (x - )2 + > x  (*) <=> (x - 5)(x + 6) =  x  0  x 5   x  0  x     a b c   1 c Nhân vế của: b  c c  a a  b với a + b + c; rút gọn  đpcm (2 điểm) Câu (6 điểm)   10  x   x A    : x      x2   x  2 x x2  Biểu thức: 1 A x a Rút gọn kq: 1 1 x   x x 2 b 4 A c A   x  1 AZ   Z  x   1;3 x d  A (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) HV + GT + KL (1 điểm) Câu (6 điểm) AE FM DF  AED DFC  đpcm b DE, BF, CM là ba đường cao EFC  đpcm a Chứng minh: (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi  ME  MF a không đổi  S AEMF ME.MF lớn  ME MF (AEMF là hình vuông)  M là trung điểm BD Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ (1 điểm) Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP a Từ: a + b + c =  Câu 4: (2 điểm) b c 1  a 1  a  a  a c 1  1   b b b a b 1    c c c  (1 điểm) 1  a b a c b c    3             a b c b a  c a  c b 3    9 Dấu xảy  a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab =  (a – 1).(b – 1) =  a = hoÆc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hoÆc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hoÆc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) §Ò thi SỐ C©u : (2 ®iÓm) Cho P= a3 − a2 −a+ a3 − a2 +14 a− a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên C©u : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho b) Tìm các giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó C©u : (2 ®iÓm) 1 1 + + = x +9 x +20 x + 11 x+30 x +13 x +42 18 b) Cho a , b , c lµ c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : A= a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c C©u : (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 C©u : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi C©u : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 3 a -7a + 14a - =( a -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nªu §KX§ : a 1; a≠ ; a ≠ 0,25 Rót gän P= b) (0,5®) P= a+1 a− 0,25 a− 2+3 =1+ a−2 a −2 ; ta thÊy P nguyªn a-2 lµ íc cña 3, mµ ¦(3)= { −1 ; 1; − ;3 } 0,25 Từ đó tìm đợc a { −1 ; ; } C©u : (2®) a)(1®) Gäi sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [( a2 +2 ab+b2 )− ab ] = a+b ¿ − ab =(a+b) ¿ ¿ V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; 0,5 a+b ¿ − ab chia hÕt cho ¿ ¿ b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 2 Do đó Min P=-36 (x +5x) =0 Từ đó ta tìm đợc x=0 x=-5 thì Min P=-36 C©u : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; §KX§ : x ≠ − ; x ≠ −5 ; x ≠ − ; x ≠ −7 Ph¬ng tr×nh trë thµnh : ¿ 1 1 + + = (x+ 4)( x +5) ( x+5)( x +6) ( x+6)(x +7) 18 ¿ 1 1 1 − + − + − = x + x +5 x +5 x +6 x+ x +7 18 Do vËy (a+b) 1 − = x + x +7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) Gv: Hè Sü Hoµng 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm đợc x=-13; x=2; b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 0,25 y+z x+ z x+ y ; ; b= ; c= 2 y+z x+z x+ y y x x z y z Thay vào ta đợc A= + + = ( + )+( + )+( + ) 2x y 2z x y z x z y Từ đó suy A (2+2+2) hay A C©u : (3 ®) a) (1®) ^1 Trong tam gi¸c BDM ta cã : ^ D1=120 − M Từ đó suy a= [ V× ^ M =600 nªn ta cã Suy V× BM=CM= BC b) (1®) Tõ (1) suy Chøng minh Từ đó suy 0,25 0,25 y A Δ BMD BD CM = BM CE ] ^ M 3=120 − ^ M1 ^ D 1= ^ M3 Chøng minh Suy : 0,5 ∾ Δ CEM (1) x , từ đó BD.CE=BM.CM D , nªn ta cã BD MD = CM EM 0,5 E BD.CE= BC B 2 C M 0,5 mµ BM=CM nªn ta cã BD MD = BM EM Δ BMD ∾ Δ MED ^ D 1= ^ D2 , đó DM là tia phân giác góc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn C©u : (1®) Gọi các cạnh tam giác vuông là x , y , z ; đó cạnh huyền là z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ đó ta tìm đợc các giá trị x , y , z là : Gv: Hè Sü Hoµng 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A  a  1  a  3  a    a    15 Câu 2( đ): Với giá trị nào a và b thì đa thức:  x  a   x  10   phân tích thành tích đa thức bậc có các hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x  3x  ax  b chia hết cho đa thức B ( x)  x  x  Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB và phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P Caâu 2ñ 1 1     1 2 1002 Đáp án và biểu điểm Đáp án A  a  1  a  3  a    a    15 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ  a  8a  a  8a  15  15   a  a  a   2  8a  22 a  8a  120  8a  11       8a  12   a  a    a    a 2ñ Bieåu ñieåm Giả sử:   8a  10   8a  10  x  a   x  10    x  m   x  n  ; (m, n  Z )  x   a  10  x  10a   x   m  n  x  mn   m  n a 10 m n 10 a 1 Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) +  mn  10m  10n  100 1  m(n  10)  10n  10) 1  vì m,n nguyeân ta coù: m  10 1 n  10 1 v  0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ m  10  n  10  suy a = 12 a =8 Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán 1ñ Năm học: 2013-2014 Ta coù: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + a  30 3  ba Để A( x )B ( x ) thì b 40  0,5 ñ 0,5 ñ  3ñ 0,25 ñ 2ñ Tứ giác ADHE là hình vuông    Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc AHC maø AHB  vaø AHC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc    Hay DHE = 900 maët khaùc ADH AEH = 900 Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)  AHD  AHB  90 450 2 AHC 900 AHE   450 2   Do  AHD  AHE  Hay HA laø phaân giaùc DHE (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông 1 1 P      1002 1 1      2.2 3.3 4.4 100.100 1 1      1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1       2 99 100 99 1   1 100 100 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ ĐỀ THI SỐ Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Năm học: 2013-2014 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x  241 x  220 x  195 x  166    10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2  2009  x    2009  x   x  2010    x  2010   2009  x    2009  x   x  2010    x  2010  19  49 Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010x  2680 x2 1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F là hình chiếu vuông góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB       cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF   a) Chứng minh rằng: BDF BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD Một lời giải: Bài 1: a)   x  y  z   x    y3  z3     (x + y + z) – x – y – z =  =  y  z    x  y  z  3   x  y  z  x  x    y  z   y  yz  z   y  z   3x  3xy  3yz  3zx   = =3  y  z   x  x  y   z  x  y   =  x  y  y  z  z  x  Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014  x  x    2010x  2010x  2010  b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = = x  x  1  x  x  1  2010  x  x  1 x =  x  1  x  x  2010  Bài 2: x  241 x  220 x  195 x  166    10 17 19 21 23  x  241 x  220 x  195 x  166  1  2  3  0 17 19 21 23 x  258 x  258 x  258 x  258    0 17 19 21 23   1   x  258       0  17 19 21 23   x 258 Bài 3: 2  2009  x    2009  x   x  2010    x  2010    2009  x    2009  x   x  2010    x  2010  19  49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010 Đặt a = x – 2010 (a  0), ta có hệ thức:  a  1   a  1 a  a 19 a  a  19  a  1   a  1 a  a 49  3a  3a   49  49a  49a  49 57a  57a  19  8a  8a  30 0  a     a  2   2a  1  0   2a  3  2a   0  (thoả ĐK) 4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐK) 4023 4015 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm Bài 4: 2010x  2680 A x2 1  335x  335  335x  2010x  3015 335(x  3)  335   335 x2 1 x2 1 = Vậy giá trị nhỏ A là – 335 x = – Bài 5: Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014    C a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E A F 90 ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân  giác BAC b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD D 3AD + 4EF nhỏ  AD nhỏ F  D là hình chiếu vuông góc A lên BC Bài 6:       a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF  A E B BAC     1800 Ta có (*) Qua D, E, F kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt O Suy O là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF A     OFD  OED  ODF 90o (1) E F  o    Ta có OFD    OED    ODF   270 (2) O  o (1) & (2)       180 (**)   (*) & (**)  BAC  BDF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:   C  B   ,  s B D C  AEF s DBF s DEC ABC 5BF 5BF 5BF  BD BA      BD  BD  BD   BF BC    8     7CE 7CE 7CE  CD CA       CD   CD   CD   8  CE CB     AE AB 7AE 5AF 7(7  CE) 5(5  BF) 7CE  5BF 24            AF AC  CD  BD 3 (3) Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4)  BD = 2,5 o ĐỀ SỐ Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x −17 x −21 x+ b) 1990 + 1986 + 1004 =4 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác và x + y + z =0 Tính giá trị biểu thức: Gv: Hè Sü Hoµng A= yz xz xy + + 2 x + yz y +2 xz z +2 xy Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Bài (1,5 điểm): Tìm tất các số chính phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số chính phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm HA ' HB' HC ' a) Tính tổng AA ' + BB ' + CC ' b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM c) Tam giác ABC nào thì biểu thức AB+ BC+CA ¿2 ¿ đạt giá trị nhỏ nhất? Ơ¿ ¿ ĐÁP ÁN  Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): 1 + + =0 x y z ⇒ xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A= (x − y )( x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )( z − y) ( 0,25điểm ) Tính đúng A = ( 0,5 điểm )  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có: N, ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ abcd=k (a+1)(b+ 3)( c+5)( d+ 3)=m abcd=k 2 abcd +1353=m ⇔ Do⇔đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ⇒ (0,25điểm) m+k = 123 m–k = 11 Gv: Hè Sü Hoµng với k, m N, 31<k <m<100 (0,25điểm) (0,25điểm) ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 41 m–k = 33 Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= Kết luận đúng abcd = 3136 Bài (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) a) Năm học: 2013-2014 (0,25điểm) (0,25điểm) HA ' BC S HBC HA ' = = ; S ABC AA ' AA ' BC (0,25điểm) S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC (0,25điểm) HA ' HB' HC ' S HBC SHAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN CM=BN IC AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) AB+ BC+CA ¿2 ¿ ⇔ (0,25điểm) Ơ¿ ¿ Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó ĐỀ SỐ Bài (4 điểm) Cho biểu thức A = ( 1− x − x2 −x : 1−x − x − x 2+ x ) với x khác -1 và a, Rút gọn biểu thức A Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán b, Tính giá trị biểu thức A x ¿ −1 Năm học: 2013-2014 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2  a  b   b  c   c  a  Cho 4. a  b  c  ab  ac  bc  Chứng minh a=b=c Bài (3 điểm) Giải bài toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu lên đơn vị thì phân số nghịch đảo phân số đã cho Tìm phân số đó Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − a3 +3 a2 −4 a+5 Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự M và N a, Chứng minh OM = ON 1 b, Chứng minh AB + CD =MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Đáp án Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 và thì : 0,5đ (1 − x )(1+ x) − x − x+ x : 1−x (1+ x )(1 − x+ x )− x (1+ x) (1− x)(1+ x + x − x) (1 − x )(1+ x) : = 1− x (1+ x )(1− x + x 2) = (1+x ) : (1− x) = (1+ x 2)(1 − x) A= b, (1 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ − ¿2 0,25đ Tại x = −1 = − thì A = 1+¿ − −(− ) [ 25 (1  )(1  ) = 34 272 ¿ = =10 27 27 Gv: Hè Sü Hoµng ] ¿ 0,25đ 0,5đ Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 c, (1điểm) Với x khác -1 và thì A<0 và (1+ x 2)(1 − x)< (1) Vì 1+ x 2> với x nên (1) xảy và 1− x< ⇔ x >1 KL 0,25đ 0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 2 2 0,5đ 2 2 a +b −2 ab+ b +c − bc+ c + a + 2ac=4 a + b + c − ab −4 ac − bc Biến đổi để có (a2 +b − 2ac )+(b2 + c2 −2 bc)+(a 2+ c2 −2 ac)=0 a − c ¿2=0 Biến đổi để có b −c ¿2 +¿ (*) a− b ¿ +¿ ¿ a −b ¿ ≥ b − c ¿2 ≥ ; a − c ¿2 ≥ ; với a, b, c Vì ; ¿ ¿ ¿ 2 nên (*) xảy và a −b¿¿ =0 ; b − c¿¿ =0 và a − c¿¿ =0 ; Từ đó suy a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (3 điểm) Gọi tử số phân số cần tìm là x thì mẫu số phân số cần tìm là x+11 Phân số 0,5đ x cần tìm là x +11 (x là số nguyên khác -11) x−7 Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số x +15 (x khác -15) 0,5đ Theo bài ta có phương trình x +11 = x − Giải phương trình và tìm x= -5 (thoả mãn) 0,5đ x Từ đó tìm phân số x +15 1đ 0,5đ − Bài (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a2 (a2+ 2) −2 a(a2 +2)+(a 2+2)+3 a −1 ¿2+3 0,5đ = (a2 +2)(a −2 a+1)+3=(a 2+ 2)¿ a −1 ¿2 ≥0 ∀ a a −1 ¿2 +3 ≥ ∀ a và a −1 ¿ ¿≥0 ∀ a nên đó (a +2)¿ ( a2 +2)¿ Dấu = xảy và a −1=0 ⇔ a=1 KL Bài (3 điểm) Vì a2 +2>0 ∀a B M Gv: Hè Sü Hoµng N Trường THCS H¶i Hµ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 a,(1 điểm) Chứng minh tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh AN=MI, từ đó suy tứ giác AMNI là hình thang cân b,(2điểm) √3 √3 cm ; BD = 2AD = cm Tính AD = √3 cm AM = √3 cm Tính NI = AM = √3 DC=¿ cm , MN = DC = BC = √3 cm Tính AI = 0,5đ 0,5đ 0,5đ BD=¿ 0,5đ 0,5đ √3 cm 0,5đ B A Bài (5 điểm) M O N C D a, (1,5 điểm) OM OD Lập luận để có AB = BD OD , ON OC = AB AC 0,5đ OC 0,5đ Lập luận để có DB =AC ⇒ OM ON = AB AB ⇒ 0,5đ OM = ON b, (1,5 điểm) OM DM OM AM = (1), xét Δ ADC để có DC = AD (2) AB AD 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1 Chứng minh tương tự ON ( AB + CD )=1 1 1 từ đó có (OM + ON) ( AB + CD )=2 ⇒ AB + CD =MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC S AOB S DOC =S BOC S AOD = = =¿ ⇒ ⇒ , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh S AOD =S BOC S AOD ¿ ⇒ S AOB S DOC =¿ Xét Δ ABD để có Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 2 Thay số để có 2008 2009 = (SAOD) ⇒ SAOD = 2008.2009 Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị 0,5đ DT) ĐỀ SỐ Bài 1: a  (b  c ) b2  c2  a 2 2bc Cho x = ; y = (b  c)  a Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: b 1 a, a  b  x = a + + x (x là ẩn số) (b  c )(1  a )2 (c  a )(1  b) (a  b)(1  c ) x  a2 x  b2 x  c2 b, + + =0 (a,b,c là số và đôi khác nhau) Bài 3: Xác định các số a, b biết: (3x  1) a b 3 ( x  1) = ( x  1) + ( x  1)2 Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên Bài 5: Cho  ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm)  1    x  A         : x x  2x  x x       x    Cho biểu thức: a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2 Bài (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, đó b và c là các số nguyên Biết đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 chia hết cho P(x) Tính P(1) Bài (3,5 điểm): Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I là trung điểm AB và CD Nối D với E Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB M.Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM = EK Gọi G là giao điểm DK và EM a/ Tính số đo góc DBK b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên đường thẳng Bài (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k là các số nguyên tố lớn 3, thì k chia hết cho ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (3 điểm)   x2  1 A     : x    x  3x   27  3x Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1 c) Với giá trị nào x thì A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: a) 3y 2+ x −3 x : ( x2 27 − x )  6 x x 3x  1     x 3  2 b) Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy và ô tô cùng từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M  AB và N AD) Chứng minh: a) BD // MN b) BD và MN cắt K nằm trên AC Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + là số chính phương ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm) 2 a) Cho x  2xy  2y  2x  6y  13 0 Tính Gv: Hè Sü Hoµng N 3x y  4xy Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 b) Nếu a, b, c là các số dương đôi khác thì giá trị đa thức sau là số A a  b3  c3  3abc dương: Bài 2: (2 điểm) Chứng minh a + b + c = thì: a b   a  b b  c c  a  c A        9 a b  a  b b  c c  a   c Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định là 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc kém vận tốc dự định là km/h Tính thời gian ô tô trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I là trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) x  3x  y Tìm nghiệm nguyên phương trình: ĐỀ SỐ 12 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = và a2 + b2 + c2= 14 Tính giá trị A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 x2  y  z x2 y z 2 2 2 Biết x,y,z thoả mãn: a  b  c = a + b + c Bài 3: 1 a, Cho a,b > 0, CMR: a + b  a  b b, Cho a,b,c,d > a d d  b b c c a CMR: d  b + b  c + c  a + a  d  Bài 4: x  xy  y 2 a, Tìm giá trị lớn nhất: E = x  xy  y với x,y > x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x  1995) với x > Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Bài 5: a, Tìm nghiệm  Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm  Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Cho ABC M là điểm  miền ABC D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B là hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ ĐỀ SỐ 13 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a+b ¿ 2( a −b) c +a ¿ 2(c − a)+ c ¿ b+ c ¿2 (b − c)+b ¿ a¿ 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác và a + b + c =0 Rút gọn biểu thức: N= 1 + + a +2 bc b + 2ca c +2 ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 M =x + y − xy − x+ y+1 y − 5,5 ¿ −1=0 b) Giải phương trình: y − 4,5 ¿ +¿ ¿ Bài 3: (2điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người đó gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B và gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF và vuông góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 +5 y 2=345 §Ề SỐ 14 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x √ x - 3x + √ x -2 với x  Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Bài : (1,5điểm) Cho abc = Rút gọn biểu thức: A= Năm học: 2013-2014 a b 2c + + ab+a+2 bc +b+1 ac+2 c+ Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a  b  Tính: P= ab a2 − b2 Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M bất kì cho BM  CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E và song song với AB cắt AC F Gọi N là điểm đối xứng M qua E F a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện  ABC AEMF là hình vuông Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 §Ò SỐ 15 Bài 1: (2 điểm) 3 3 a) Phân tích thành thừa số: a+b +c ¿ −¿ a −b − c b) Rút gọn: x − x2 −12 x+ 45 x − 19 x2 +33 x − Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: 2 n −7 ¿ −36 n A=n ¿ chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng Nếu làm mình thì máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 và máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó dùng đến máy bơm B Tính xem bao lâu thì giếng 2 x+ a−x −2 a=3 a b) Giải phương trình: (a là số) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I trên cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By các điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC và INC c) Chứng minh: góc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Bài 5: (1 điểm) Chứng minh số: Năm học: 2013-2014 224 99 ⏟ 00 09 ⏟ n-2 sè là số chính phương ( n ≥2 ) n sè Đề SỐ 16: Câu : ( ñieåm ) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu : ( ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x – x3 + ax2 + bx + là bình phương đa thức khác Câu : ( ñieåm ) Cho biểu thức : P= ( x 10 − x + + : x − 2+ x +2 x − x −3 x x+ a) Rút gọn p )( ) b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị nào x thì p = d) Tìm giá trị nguyên x để p có giá trị nguyên Câu : ( ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ Câu : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC M và N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Câu : ( ñieåm ) Cho tam giác ABC M, N là các điểm chuyển động trên hai cạnh BC và AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ đề SỐ 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: x  x  2 x  2008x  2007 x  2008 Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: x  3x   x  0 2 1   1     x     x     x    x    x   x x  x  x    Bµi 3: (2®iÓm) CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)( 1 + + ¿≥9 a b c  x    x    x    x    2008 T×m sè d phÐp chia cña biÓu thøc cho ®a thøc x  10 x  21 Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H  BC) Trªn tia HC lÊy ®iÓm D cho HD = HA §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m  AB Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM c¾t BC t¹i G Chøng minh: Bµi 1 C©u GB HD  BC AH  HC §iÓm Néi dung 2,0 1.1 (0,75 ®iÓm) Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 0.5 x  x  x  x  x  x  x  1   x  1 0,5  x  1  x   1.2 (1,25 ®iÓm) x  2008 x  2007 x  2008  x  x  2007 x  2007 x  2007  0,25  x  x   2007  x  x  1  x  1  x  2007  x  x  1 0,25  x  x  1  x  x  1  2007  x  x  1  x  x  1  x  x  2008  2 2 0,25 2,0 2.1 x  x   x  0 + NÕu x 1 : (1) + NÕu x  : (1) (1)   x  1 0  x 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x 1 )  x  x  0  x  x   x  1 0   x  1  x  3 0 2 0,5  x 1; x 3 (cả hai không bé 1, nên bị loại) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm nhÊt lµ x 1 2.2 2 0,5 1   1     x     x     x    x    x   x x  x  x    (2) x  Điều kiện để phơng trình có nghiệm: (2) 2 1 1          x     x     x     x     x   x x    x   x     0,25 1  2     x     x    x     x   16 x x     x 0 hay x  vµ x 0 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x  0,5 0,25 2.0 3.1 3.2 Ta cã: 1 a a b b c c A= (a+ b+c )( + + )=1+ + + +1+ + + +1 a b c b c a c a b a b a c c b = 3+( + )+( + )+( + ) b a c a b c x y Mµ: + ≥ (B§T C«-Si) y x Do đó A 3+2+2+2=9 Vậy A Ta cã: P ( x )  x    x    x    x    2008 0,5 0,5  x  10 x  16   x  10 x  24   2008 Đặt t  x  10 x  21 (t  3; t  7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: P( x)  t  5  t  3  2008 t  2t  1993 Do đó chia t  2t  1993 cho t ta có số d là 1993 0,5 4,0 Gv: Hè Sü Hoµng 0,5 Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung CD CA  CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) 4.2 4.3 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)   Suy ra: BEC  ADC 135 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt)  Nên AEB 45 đó tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE  AB m BM BE AD     Ta cã: BC BC AC (do BEC ADC ) mµ AD  AH (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM AD AH BH BH       AB BE (do ABH CBA ) nªn BC AC AC 0    Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135  AHM 45 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC GB AB AB ED AH HD    ABC DEC    ED // AH   HC HC Suy ra: GC AC , mµ AC DC GB HD GB HD GB HD      GB  GC HD  HC BC AH  HC Do đó: GC HC Phßng GD & §T huyÖn Thêng TÝn Trêng THCS V¨n Tù Gv: Bïi ThÞ Thu HiÒn đề SỐ 18 đề bài: Bµi 1( ®iÓm): Cho biÓu thøc: 2x  2x   21  x  x    1  : 2 x  12 x  13 x  x  20 x  x  x   P=  a) Rót gän P x  b) TÝnh gi¸ trÞ cña P c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P > Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh: 15 x     12    x  x  x  x    a) Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán b) Năm học: 2013-2014 148  x 169  x 186  x 199  x    10 25 23 21 19 x   5 c) Bµi 3( ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định ngời đó Bµi (7 ®iÓm): Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng điểm C qua P a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P PD  d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, PB 16 TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng Chøng minh r»ng: 1    x2  y  xy иp ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5® 3 x  ; x  ; x  ; x  ; x 4 2 §iÒu kiÖn: 2x  a) Rót gän P = x  x  b) 0,5® 2® 1  x x hoÆc 2 1  …P= +) 1 x  …P = +) 2x  1 x c) P = x  = x Ta cã: 1® 1 Z Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Z x   Z VËy P   x–5 ¦(2) Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – = -2 x – = -1 x–5=1 x–5=2 KL: x     x = (TM§K) x = (KTM§K) x = (TM§K) x = (TM§K)  {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn 1® 2x  1 x d) P = x  = 0,25® Ta cã: > x §Ó P > th× >0 Víi x > th× P > Bµi 2: a)  x–5>0  x>5 0,5® 0,25 15 x     12    x  3x   x  3x     15 x   12    x  x   x    x  1     §K: x  4; x 1  3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) …  3x.(x + 4) =  3x = hoÆc x + = +) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTM§K) S = { 0} 1® 148  x 169  x 186  x 199  x    10 25 23 21 19 b)  148  x   169  x   186  x   199  x   1    2   3     0    23   21   19    25 1 1        (123 – x)  25 23 21 19  = 1        Do  25 23 21 19  > Nªn 123 – x = => x = 123 S = {123} 1® x   5 c) Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Ta cã: x  0x => Năm học: 2013-2014 x  3 >0 x  3  x  3 nªn PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng: x   5  x =5–3  x =2 +) x - = => x = +) x - = -2 => x = S = {0;4} Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là: x 3x  (km / h) 10 3 1® 0,25®  h h ’ (3 20 = ) 0,25® VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y t¨ng lªn km/h lµ: 3x   km / h  10 0,25® Theo đề bài ta có phơng trình:  3x      x  10  0,5® 0,5® 0,25®  x =150 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 3.150 45  km / h  Vận tốc dự định là: 10 Bµi 4(7®) Vẽ hình, ghi GT, KL đúng D 0,5® C P M F I E A O B a) Gäi O lµ giao ®iÓm ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD  PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM  AM//PO  tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang Gv: Hè Sü Hoµng 1® Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, đó EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng 1® c) MAF DBA  g  g  MF AD  nên FA AB không đổi (1®) PD PB PD  k  PD 9k , PB 16k  16 PB 16 d) NÕu th× CBD DCP  g  g   NÕu CP  BD th× đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 đó BC = (cm) CD = (cm) CP PB  PD CP 0,5d 0,5® 0,5® Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm 1   1 y2  xy b)  x 1® 1® (1)  1   1         0 2  x  xy  y  xy     x  y  x y  x  y   0 2  x  xy  y  xy         y  x   xy  1 0   2  x  y  xy      V× x 1; y 1 => xy 1 => xy  0 => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy x = y) 1® ĐỀ SỐ 19 Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A  B biết A = 10x2 – 7x – và B = 2x – c) Cho x + y = và x y 0 Chứng minh 2 x  y x y   2 0 y  x  x y 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x+1 x +2 x +3 x+ x+5 x +6 + + = + + b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) b) (0,75đ) Xét x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) A 10x  7x   5x   B 2x  2x  (0,25đ) Với x  Z thì A  B x   Z   ( 2x – 3) Mà Ư(7) =   1;1;  7;7  x = 5; - 2; ; thì A  B x y x  x  y4  y  3 3 c) (1,5đ) Biến đổi y  x  = (y  1)(x  1) x (0,25đ) (0,25đ)  y   (x  y) 2 = xy(y  y  1)(x  x  1) ( x + y =  y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)  x  y   x  y   x  y2   (x  y) 2 2 2 = xy(x y  y x  y  yx  xy  y  x  x  1) (0,25đ)  y  1) xy  x y  xy(x  y)  x  y  xy    x  y  (x =  x  y  (x 2 (0,25đ)  x  y  y)  x  y   x(x  1)  y(y  1)  xy  x y  (x  y)  2 xy(x y  3) = =  x  y   x( y)  y(  x)   x  y  ( 2xy) 2 xy(x y  3) = = xy(x y  3) =  2(x  y) x y  Suy điều cần chứng minh (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = * x2 + x = - vô nghiệm vì x2 + x + > với x * x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) x 1 x  x  x  x  x       2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ ( (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x 1 x 2 x 3 x4 x 5 x 6  1)  (  1)  (  1) (  1)  (  1)  (  1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +2009 x +2009 x +2009 x+ 2009 x+ 2009 x+ 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ (0,25đ) x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ (0,25đ) 1 1 1 (x+ 2009)( + + − − − )=0 (0,5đ) Vì 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ 1 1   2008 2005 ; 2007 2004 ; 1  2006 2003 Do đó : 1 1 1 + + − − − <0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 = ⇔ x = -2009 E I Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) B  EDF vuông cân  ADE =  CDF (c.g.c)   EDF cân D ˆ ˆ Mặt khác:  ADE =  CDF (c.g.c)  E1 F2 C F Chứng minh Ta có O ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà E1  E  F1 = 900  F2  E  F1 = 900 A D 900 Vậy  EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông  CO là trung trực BD Mà  EDF vuông cân  DI = EF Tương tự BI = EF  DI = BI  I thuộc dường trung trực DB  I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng  EDF = Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) D A Áp dụng định lý Pitago với  ADE vuông A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 a2 a2 a2 = 2(x – )2 +  Gv: Hè Sü Hoµng B C E (0,25đ) (0,25đ) Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 a Ta có DE nhỏ  DE2 nhỏ  x = (0,25đ) a  BD = AE =  D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) AB2 AB AB2 AB2 AB AB2 = – (AD2 – 2 AD + ) + = – (AD – )2 +  (0,25đ) AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE  – = AB2 không đổi Do đó SBDEC = AB2 D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) (0,25đ) ĐỀ SỐ 20 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: x − 16 A = x x +2 Bµi 3: Cho ph©n thøc: x+5 2 x +2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức x+ 2 Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x −2 − x = x(x −2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đó đã hoàn thành tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn bao nhiªu ngµy Bài 6: Cho ∆ ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH và trung tuyÕn AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 BiÓu ®iÓm §¸p ¸n Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 ®iÓm) Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A= x − 16 ¿ x ¿2 −4 ¿ ¿ x¿ x¿ ¿ Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) vµ x + ⇔ 2x vµ x -1 ⇔ x b) Rót gän: 0 (1 ®iÓm) 5(x +1) x+5 = = (0,5 ®iÓm) 2 x + x x (x +1) x 5 =1⇔ 5=2 x ⇔ x= (0,25 ®iÓm) 2x V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn Bài 4: a) Điều kiện xác định: x - Gi¶i: x ( x +2)- (x- 2) = x ( x −2) x ( x − 2) 0; x x= (0,25 ®iÓm) ⇔ x2 + 2x – x +2 = 2; 1® ⇔ x= (lo¹i) hoÆc x = - VËy S = { −1 } b) ⇔ x2 – < x2 + 4x + ⇔ x2 – x2 – 4x < + ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > Vậy số ngày tổ đã thực là: x- (ngày) - Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo đề bài ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 ⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70 ⇔ x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 10 = 500 (s¶n phÈm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc gãc) Gv: Hè Sü Hoµng 1® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® 1® Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán b) ¸p dông pitago ∆ vu«ng ABC ta cã : BC = √ AB2 + AC2 = √ 152+ 202 = √ 625 = 25 (cm) v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn Năm học: 2013-2014 1® 1® AB AC BC 15 20 25 = = hay = = HB HA BA HB HA 15 20 05 =12 (cm) 25 15 15 =9 (cm) 25 ⇒ AH = BH = 1® HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) c) HM = BM – BH = BC − BH=25 −9=3,5(cm) SAHM = 2 AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 - Vẽ đúng hình: 1® A 1® B H M C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x −17 x −21 x+ b) 1990 + 1986 + 1004 =4 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác và x + y + z =0 Tính giá trị biểu thức: A= yz xz xy + + 2 x + yz y +2 xz z +2 xy Bài (1,5 điểm): Tìm tất các số chính phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số chính phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm Tính tổng HA ' HB' HC ' + + AA ' BB ' CC ' a) b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM c) Chứng minh rằng: AB+ BC+CA ¿ ¿ Ơ¿ ¿ ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI  Bài 1(3 điểm): Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( điểm ) x x x x x x c) – 12.2 +32 = ⇔ 2 – 4.2 – 8.2 + 4.8 = ( 0,25điểm ) x x x x x ⇔ (2 – 4) – 8(2 – 4) = ⇔ (2 – 8)(2 – 4) = ( 0,25điểm ) x x x x ⇔ (2 – )(2 –2 ) = ⇔ –2 = –2 = ( 0,25điểm ) x x ⇔ = = ⇔ x = 3; x = ( 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): 1 + + =0 x y z ⇒ xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A= (x − y )( x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )( z − y) ( 0,25điểm ) Tính đúng A =  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có: ( 0,5 điểm ) N, ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ abcd=k 2 (a+1)(b+ 3)( c+5)( d+ 3)=m abcd=k abcd +1353=m2 ⇔ Do⇔đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 với k, m (0,25điểm) N, 31<k <m<100 (0,25điểm) (0,25điểm) ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) ⇒ (0,25điểm) (0,25điểm)  Bài (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) HA ' BC S HBC HA ' = a) S = ; AA ' ABC AA ' BC S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC HA ' HB' HC ' S HBC SHAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC Gv: Hè Sü Hoµng (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒BI AN CM=BN IC AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 ⇔ AB+ BC+CA ¿2 ¿ Ơ¿ ¿ (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC đều) §Ò SỐ 22 C©u 1: (5®iÓm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè b, B = n +3 n +22 n +6 n −2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn n +2 c, C©u 2: (5®iÓm) a, b, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng (n 2) Chøng minh r»ng : a b c + + =1 biÕt abc=1 ab+ a+1 bc+b+1 ac+ c+1 Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 c, 2 a b c c b a + 2+ 2≥ + + b c a b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x −214 x − 132 x −54 + + =6 a, 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 c, x -y +2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), là giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: + = AB CD EF c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam gi¸c DEF Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 C©u Néi dung bµi gi¶i a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A là số nguyên tố thì n-1=1 ⇔ n=2 đó A=5 b, (2®iÓm) C©u (5®iÓm) B=n2+3n- n +2 ⇔ ⋮ n2+2 0,5 B cã gi¸ trÞ nguyªn n2+2 lµ íc tù nhiªn cña n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ c, (2®iÓm) D=n -n+2=n(n -1)+2=n(n+1)(n-1)(n +1)+2 =n(n-1)(n+1) [ ( n2 − ) +5 ] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ n(n-1)(n+1 ⋮ VËy D chia d Do đó số D có tận cùng là 7nên D không phải số chính ph¬ng Vậy không có giá trị nào n để D là số chính phơng a b c a, (1®iÓm) + + =¿ ab+ a+1 bc+b+1 ac+ c+1 ac abc c + + abc+ ac+c abc +abc+ ac ac+c +1 abc c abc+ ac+1 = ac + + = =1 1+ ac+c c +1+ac ac+c +1 abc+ ac+1 b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) C©u ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× (5®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) V× a+b+c=0 ⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2®iÓm) x=y áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 a2 b2 a b a ; + ≥ =2 b c c b c 2 c b c b b + ≥ =2 2 a c a a c §iÓ m 0,5 0,5 2xy DÊu b»ng a2 c a c c ; + ≥ =2 b a b b a 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có: 2( a, (2®iÓm) Gv: Hè Sü Hoµng a2 b c a c b + + ) ≥2( + + ) c b a b c a ⇒ a2 b2 c a c b + + ≥ + + b2 c a2 c b a x −214 x − 132 x −54 + + =6 86 84 82 Trường THCS H¶i Hµ 1,0 Tuyển tập đề thi HSG Toán ⇔ ⇔ C©u (5®iÓm) ⇔ (x-300) Năm học: 2013-2014 0,5 x −214 x − 132 x − 54 ( −1)+( −2)+( − 3)=0 86 84 82 x −300 x −300 x −300 + + =0 86 84 82 (861 + 841 + 821 )=0 ⇔ x-300=0 0,5 0,5 0,5 ⇔ x=300 VËy S = { 300 } 0,5 b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 ⇔ (64x -16x+1)(8x -2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 ⇔ k=± 8,5 Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; −1 ; x= ⇒ x= Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 ⇔ (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm VËy S = { −1 , 0,5 0,5 0,5 } x -y2+2x-4y-10 = ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 ⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn c, (1®iÓm) d¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 y=1 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng nhÊt (x,y)=(3;1) a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒ S DAB=S CBA A B (cùng đáy và cùng đờng cao) ⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O Hay SAOD = SBOC E F 0,5 0,5 I N M C D EO AO C©u b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒ DC =AC MÆt kh¸c AB//DC (5®iÓm) AB AO AB AO AB AO EO AB = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ DC OC AB+BC AO+OC AB+BC AC EF AB AB+ DC 1 = ⇒ = ⇒ + = DC AB+ DC AB DC EF DC AB EF DC AB+DC c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +KÎ đờng thẳng KN là đờng thẳng phải dựng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 KIẾM TIỀN QUA MẠNG VIỆT NAM Quý thầy cô và bạn hãy dành thêm chút thời gian để đọc bài giới thiệu sau tôi và hãy tri ân người đăng tài liệu này cách dùng Email và mã số người giới thiệu tôi theo hướng dẫn sau Nó mang lại lợi ích cho chính thầy cô và các bạn, đồng thời tri ân với người giới thiệu mình: Kính chào quý thầy cô và các bạn Lời đầu tiên cho phép tôi gửi tới quý thầy cô và các bạn lời chúc tốt đẹp Khi thầy cô và các bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cô và các bạn đã có thiên hướng làm kinh doanh Nghề giáo là nghề cao quý, xã hội coi trọng và tôn vinh Tuy nhiên, có lẽ tôi thấy đồng lương mình quá hạn hẹp Nếu không phải môn học chính, và không có dạy thêm, liệu tiền lương có đủ cho nhu cầu thầy cô Còn các bạn sinh viên…với bao nhiêu thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ? Bản thân tôi là giáo viên dạy môn TOÁN vì thầy cô hiểu tiền lương tháng thu bao nhiêu Vậy làm cách nào để kiếm thêm cho mình 4, triệu tháng ngoài tiền lương Thực tế tôi thấy thời gian thầy cô và các bạn lướt web ngày tương đối nhiều Ngoài mục đích kiếm tìm thông tin phục vụ chuyên môn, các thầy cô và các bạn còn sưu tầm, tìm hiểu thêm nhiều lĩnh vực khác Vậy chúng ta không bỏ ngày đến 10 phút lướt web để kiếm cho mình 4, triệu tháng Điều này là có thể? Thầy cô và các bạn hãy tin vào điều đó Tất nhiên thứ có giá nó Để quý thầy cô và các bạn nhận 4, triệu tháng, cần đòi hỏi thầy cô và các bạn kiên trì, chịu khó và biết sử dụng máy tính chút Vậy thực chất việc này là việc gì và làm nào? Quý thầy cô và các bạn hãy đọc bài viết tôi, và có hứng thú thì hãy bắt tay vào công việc thôi Thầy cô đã nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn là có Tuy nhiên trên internet có nhiều trang Web kiếm tiền không uy tín ( đó là trang web nước ngoài, trang web trả thù lao cao ) Nếu là web nước ngoài thì chúng ta gặp nhiều khó khăn mặt ngôn ngữ, web trả thù lao cao không uy tín, chúng ta hãy nhận gì tương xứng với công lao chúng ta, đó là thật Ở Việt Nam trang web thật uy tín đó là : http://satavina.com Lúc đầu thân tôi thấy không chắn cách kiếm tiền này Nhưng tôi đã hoàn toàn tin tưởng, đơn giản vì tôi đã nhận tiền từ công ty.( thầy cô và các bạn tích lũy 50.000 thôi và yêu cầu satavina toán cách nạp thẻ điện thoại là tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm chẳng bao nhiêu, sau đó số tiền kiếm tăng lên Có thể thầy cô và các bạn nói: đó là vớ vẩn, chẳng tự nhiên mang tiền cho mình Đúng chẳng cho không thầy cô và các bạn tiền đâu, chúng ta phải làm việc, chúng ta phải mang lợi nhuận cho họ Khi chúng ta đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa là mang doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm thì chúng ta phải có cháo mà ăn chứ, không thì dại gì mà làm việc cho họ Vậy chúng ta làm nào đây Thầy cô và các bạn làm này nhé: 1/ Satavina.com là công ty nào: Đó là công ty cổ phần hoạt động nhiều lĩnh vực, trụ sở tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP Hồ Chí Minh GPKD số 0310332710 - Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.HCM cấp Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận Thành Phố HCM Khi thầy cô là thành viên công ty, thầy cô hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo và xem video quảng cáo( tiền này trích từ tiền thuê quảng cáo các công ty quảng cáo thuê trên satavina) 2/ Các bước đăng kí là thành viên và cách kiếm tiền: Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm sau: Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Bước 1: Nhập địa web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, không nên dùng trình duyệt explorer) Giao diện sau: Để nhanh chóng quý thầy cô và các bạn có thể coppy đường linh sau: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=info@123doc.org;hrID=66309 ( Thầy cô và các bạn điền thông tin mình là Tuy nhiên, chức đăng kí thành viên mở vài lần ngày Mục đích là để thầy cô và các bạn tìm hiểu kĩ công ty trước giới thiệu bạn bè ) Bước 2: Click chuột vào mục Đăng kí, góc trên bên phải( có thể không có giao diện bước vì thời gian đăng kí không liên tục ngày, thầy cô và các bạn phải thật kiên trì) Bước 3: Nếu có giao diện thầy cô khai báo các thông tin: Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Thầy cô khai báo cụ thể các mục sau: + Mail người giới thiệu( là mail tôi, tôi đã là thành viên chính thức): info@123doc.org + Mã số người giới thiệu( Nhập chính xác) : 66309 Hoặc quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=info@123doc.org;hrID=66309 + Địa mail: đây là địa mail thầy cô và các bạn Khai báo địa thật để còn vào đó kích hoạt tài khoản sai thầy cô và các bạn không thể là thành viên chính thức + Nhập lại địa mail: + Mật đăng nhập: nhập mật đăng nhập trang web satavina.com + Các thông tin mục: Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Thông tin chủ tài khoản: thầy cô và các bạn phải nhập chính xác tuyệt đối, vì thông tin này nhập lần nhất, không sửa Thông tin này liên quan đến việc giao dịch sau này Sai không giao dịch + Nhập mã xác nhận: nhập các chữ, số có bên cạnh vào ô trống + Click vào mục: tôi đã đọc kĩ hướng dẫn + Click vào: ĐĂNG KÍ Sau đăng kí web thông báo thành công hay không Nếu thành công thầy cô và các bạn vào hòm thư đã khai báo để kích hoạt tài khoản Khi thành công quý thầy cô và các bạn vào web có đầy đủ thông tin công ty satavina và cách thức kiếm tiền Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina mang lại cho thầy cô Hãy bắt tay vào việc đăng kí, chúng ta không gì, chút thời gian ngày mà thôi Kính chúc quý thầy cô và các bạn thành công Nếu quý thầy cô có thắc mắc gì quá trình tích lũy tiền mình hãy gọi trực tiếp mail cho tôi: Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú info@123doc.org Mã số người giới thiệu: 66309 Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=info@123doc.org;hrID=66309 Email người giới thiệu: 2/ Cách thức satavina tính điểm quy tiền cho thầy cô và các bạn: + Điểm thầy cô và các bạn tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo và xem video quảng cáo Nếu tích lũy điểm từ chính các thầy cô và các bạn thì tháng khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè thầy cô và các bạn 3/ Cách thức phát triển mạng lưới: - Xem quảng cáo video: 10 điểm/giây (có 10 video quảng cáo, video trung bình phút) - Đọc tin quảng cáo: 10 điểm/giây (hơn tin quảng cáo) _Trả lời phiếu khảo sát.:100,000 điểm / bài _Viết bài Trong ngày bạn cần dành ít phút xem quảng cáo, bạn có thể kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, bạn kiếm 300đồng - Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi là Mức bạn), 10 người này dành phút xem quảng cáo ngày, công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Cũng tương tự 10 Mức bạn giới thiệu người 10 người thì bạn có 100 người (gọi là mức bạn), công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Tương tự vậy, công ty chi trả đến Mức bạn theo sơ đồ sau : - Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn 3.000đồng/ngày → 90.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn 30.000đồng/ngày → 900.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn 300.000đồng/ngày → 9.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn 3.000.000đồng/ngày → 90.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn 30.000.000đồng/ngày → 900.000.000 đồng/tháng Tuy nhiên thầy cô và các bạn không nên mơ đạt đến mức Chỉ cần cố gắng để 1tháng 1=>10 triệu là quá ổn Như thầy cô và các bạn thấy satavina không cho không thầy cô và các bạn tiền đúng không Vậy hãy đăng kí và giới thiệu mạng lưới mình Lưu ý: Chỉ thầy cô và các bạn là thành viên chính thức thì thầy cô và các bạn phép giới thiệu người khác Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Hãy giới thiệu đến người khác là bạn bè thầy cô và các bạn tôi đã giới thiệu và hãy quan tâm đến người mà bạn đã giới thiệu và chăm sóc họ( là thành viên thầy cô và các bạn có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè hãy thay nội dung mục thông tin người giới thiệu là thông tin thầy cô và các bạn Chúc quý thầy cô và các bạn thành công và có thể kiếm khoản tiền cho riêng mình Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người giới thiệu: info@123doc.org Mã số người giới thiệu: 66309 Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=info@123doc.org;hrID=66309 Website: http://violet.vn/nguyentuc2thanhmy HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CÔNG Chúc bạn thành công! Gv: Hè Sü Hoµng Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Toán Gv: Hè Sü Hoµng Năm học: 2013-2014 Trường THCS H¶i Hµ