Đang tải... (xem toàn văn)
Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.[r]
(1)UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016
Mơn: Tốn - Lớp
Câu Đáp án Điểm
1 (3.0 điểm)
Ta có ( ) ( ) ( )( )
3
3
2
2 2 2
a - b = a - b = a - b a+ ab + b 0.75
Suy ( )
( )( )
3
2( )
2( )
2
2 2 2
a b a a b
a b a
a ab b
a b a b a ab b
+ - -+ - = + + - - + + ( )( ) 2 2 2
a ab b
a b
a b a ab b
+ + = = + + 0.75 ( )( ) ( )
( )2
3 2
2
2
2
2
2 2 2
2 2
a b a ab b
b b a
a b
a b
a a
ab b
a ab b a ab b
a
b b b
+ - + - = -+ + -= - = = + - + - + 0.75
Từ đó, ( )
2
1
2 2
a b
a b
a b b b
P -= -= 0.75
2.1 (2.0 điểm)
Theo định lí Viét ta có x x1 2 = x x3 4 = 1,x1+ x2 = - 2015 0.5
Do ( ) ( )
1 2 3 2 4
M = ëéêx x + x + x x + x ûëùéúêx x - x + x x + x úùû 0.5
( 2)( 2) ( )( )
3 4
1 2015x x 2015x x 4031x x 4031
= - + + + = - - =
( Vì 2
3 2016 ;3 2016
x + = - x x + = - x ) 1.0
2.2 (2.0 điểm)
Ta có 3x + 5y = 68Û 3(x + 4)= 16( - y)Þ 3(x + 4) chia hết cho
( ) ( )
4 5
x k k x k k
ị + = ẻ Â ị = - Î ¢ 0.5
Mặt khác điểm M x y( ); thuộc hình chữ nhật A BCD (khơng nằm cạnh ) nên ta có
( )
6 42 58
3 68 58 19 Do
2 17
x
x y x x x
y
ìï < <
ï Þ = - < ị < ị Ê ẻ
ớ
ù < <
ùợ Â
Do ú 19 23
4 k k k k é = ê < - £ Û < < Þ ê
=
êë ( Vỡ k ẻ Â )
1.0
Vi k = Þ3 ( ) (x y; = 11; 7) ( Thỏa mãn) Với k = 4Þ ( ) (x y; = 16; 4) ( Thỏa mãn) Vậy điểm cần tìm M(11; ;) M (16; 4)
(2)3.1 (2.0 điểm)
Ta chứng minh 1( )
a + b ³ a + b Thật
( ) ( )( ) 2 ( )2
1 Û 2b+ a 2a+ b ³ 9abÛ 2a - 4ab+ 2b ³ Û a- b ³ 0, Dấu xảy a = b
1.0
Ta lại có (2a2 + b2)(2+ 1) (³ 2a+ b) ( )2
Dấu xảy a = b 0.5
Do đó,
( 2)
2 9
2 3 2
a + b ³ a+ b ³ a + b ³ c
Dấu xảy a = b= c
0.5
3.2 (2.0 điểm)
(10 ) (10 ) 2.5 ( ) ( ) ab b
c a b b c a c a b b a c
c
ca = Û + = + Û - =
-Suy ra, ước b a( - c)
Do nguyên tố 1£ b£ 9; 8- £ a- c£ nên b= c- a = -
c- a =
0.5
Nếu b= ( 5) 2
2 9
a
c a a c c c
a a
- = - Û = Û = +
- -
Vì 2c ³ 2ị 2a- 9> nờn (2a- 9) {ẻ 1; 3; 9}Û a Ỵ {5; 6; 9} (a = loại) Với a = Þ6 c = Þ2 (a b c; ; ) (= 6; 5;2)
Với a = Þ9 c = Þ1 (a b c; ; ) (= 9; 5;1)
0.5
Nếu a = c+ ( )
2
2 10
2
2
c c
c c b b b
c
+
+ - = Û =
+
4 20
2 2
2
c c
b b c
c c
+
Û = Û = +
-+ +
Suy ra, (2c+ 1) {Ỵ 1; 3; 9}Û c Î {0;1; 4} (c = loại) Với c = Þ1 a = 6;b= 4Þ (a b c; ; ) (= 6; 4;1) Với c = 4Þ a = 9;b= 8Þ (a b c; ; ) (= 9; 8; 4)
0.5
Nếu c = a + ( )( )
2
2 10
2
2
a a
a a b b b
a
+
+ - = - Û =
+
2
2
b a
a
Þ = +
-+ Do 2a+ 9> nên
2a+ ẻ Â (khụng tha món)
Vậy số (a b c; ; ) thỏa mãn (6; 4;1 , 9; 8; , 6; 5;2 , 9; 5;1 ) ( ) ( ) ( )
(3)4.1 (2.0 điểm)
F
E
Q P
O
N M
C
B A
Ta có
· · · · ·
( )
1
BOP = BA O + A BO = BA C + A BC
· ·
·
· ·
( )
· ·
0
0 90
180
2
PNC NCO
A CB
BA C A BC
BOP PNC
=
-= = +
Þ =
Do đó, tứ giác BOPN nội tiếp 1.0
Tương tự tứ giác AOQM nội tiếp 0.5
Do tứ giác AOQM nội tiếp Þ A QO· = A MO· = 900 Tứ giác BOPN nội tiếp · ·
90
BPO BNO
Þ = = · ·
90 A QB A PB
Þ = = Þ Tứ giác AQPB
nội tiếp
0.5
4.2 (2.0 điểm)
Tam giác A QB vuông Q có QE trung tuyến nên QE = EB = EA
· · 1µ ·
/ /
EQB EBQ B QBC QE BC
Þ = = = Þ 1.0
Mà EF đường trung bình tam giác A BC nên EF / /BC
Suy ra, Q E F, , thẳng hàng 1.0
4.3 (2.0 điểm) ,
MOP COB
D D đồng dạng MP OM OP
a OC OB
Þ = = 0.5
NOQ
D DCOA đồng dạng NQ ON OM
b OC OC
Þ = = 0.5
POQ
D vàDBOA đồng dạng PQ OP OM
c OB OC
Þ = = 0.5
OM MP NQ PQ MP NQ PQ
OC a b c a b c
+ +
Þ = = = =
+ + 0.5
5.1 (1.5 điểm)
Gọi A 4033 điểm cho Vẽ đường trịn tâm A bán kính Kí hiệu (A, ) +) Nếu tất 4032 điểm lại nằm đường tròn tốn giải
0.5 +) Giả sử B nằm ngồi đường trịn (A, ) Khi đó, A B > 1, vẽ đường trịn tâm B bán kính
bằng 1, kí hiệu (B, ) Gọi C điểm thứ 3trong 4031 điểm lại Do A B C, , ba điểm A B > nên theo giả thiết AC < BC < Nên C nằm
(A, 1) (B, 1) đó, hai hình trịn (A, 1) (B, 1) chứa tất 4033 điểm cho Mà 4033= 2.2016+ 1, nên theo ngun lí Dirichlet hai đường trịn chứa
2016 điểm
(4)5.2 (1.5 điểm)
F
D E C
B
O A
M
Đường thẳng OA cắt ( )O C D, với C trung điểm OA Gọi E trung điểm OC
Nếu M khơng trùng với C D, OEM
D DOMA đồng dạng
· ·
,
2
OM OE
MOE A OM
OA OM
ổ ửữ
ỗ = = = ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
1
2
ME OM
MA EM
A M OA
Þ = = Þ =
0.5
Nếu M trùng với C MA = CA = 2EC = 2EM Nếu M trùng với D MA = DA = 2ED = 2EM Vậy ta ln có MA = 2EM
0.5 Do đó, MA+ 2MB = 2EM + 2MB ³ 2EB số
Dấu xảy M giao điểm B E với ( )O
Vậy MA+ 2MB đạt giá trị nhỏ M giao điểm B E với ( )O
0.5
Chú ý:
1 Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm
HS trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm HS kết đến cuối cịn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải
3 Tổng điểm thi khơng làm trịn