Mọi vấn ñề phát sinh trong quá trình chấm phải ñược trao ñổi trng tổ chấm và chỉ cho ñiểm theo sự thống nhất của cả tổ..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn Tốn – Bảng A (đề thi thức)
Bài Sơ lược lời giải ðiểm
Bài 6ñiểm
1 Giao hai tiệm cận I( 1;1)
Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị điểm có hồnh độ x0
=>phương trình tiếp tuyến có dạng:
0
0
3
( )
( 1)
x
y x x
x x
− +
= − +
− −
0,5
Tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng A( 0
5 1;
1 x x
+ − ) Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang B(2x0−1;1)
0,5
Ta có
0
5
1 ;
1
x IA
x x
+ = − =
− − IB= 2x0− −1 1) =2 x0−1
Nên
0
.2 12
1
IA IB x
x
= − =
−
0,5
Do diện tích tam giác IAB :
S = IA IB=
Gọi p nửa chu vi ∆IAB => bán kính đường trịn nội tiếp ∆IAB : r S p p
= = => r lớn <= > p nhỏ Mặt khác ∆IAB vuông I nên
0,5
2
2p=IA+IB+AB=IA+IB+ IA +IB ≥2 IA IB + 2IA IB =4 3+2 Dấu “ = ” xảy <=>IA=IB ⇔(x0−1)2 = ⇔ = ±3 x
0,5 Với x= −1 3ta có tiếp tuyến d1 : y= − −x 2( 1)−
Với x= +1 3ta có tiếp tuyến d2 : y=2( 1)+ −x
0,5
L =
2 2
0
( 2012) ( 2012)
lim x
x x x x
x
→
+ − − + + 1
=
7
0
1
lim ( 2012)
x
x
x x
x →
− −
+ +
Ta có L1 =
2
lim( 2012) 2012
x→ x + = ; L3 = limx→0x=0
1
Tính L2 =
7
1
lim x
x x
→
− −
ðặt
7
71 2
2 t x t x − − = => = Và x → t →
=> L2 = 1 1
2( 1) 2
lim lim
1
t t
t
t t t t t t t
→ →
− −
= = −
− + + + + + +
Vậy L = 2012 4024
7
− + = −
(2)Bài 3ñiểm
ðiều kiện:
2
0
4
8
x x
x x
x x
+
≥
−
≠ ⇔ − ≤ <
+ − ≥
0,5
Với đ/k phương trình cho tương đương với
⇔ 2
( x 2x 8) m 2x x 2x x m
− − + + − + − + + − − − = (1) 0,5
ðặt t =
8+2x−x ; Khi x ∈[ – 2; 4) t ∈[ 0; 3] (2)
Phương trình trở thành : – t2 – mt + 2t – – m = 0,5
⇔
2
2 t t m
t − + − =
+
Xét hàm số [ ]
2 2 6
( ) ; 0;3
1 t t
f t t
t − + −
= ∈
+ ; f’(t) =
2 2 ( 1) t t
t − − +
+
0,5
f’(t) = ⇔ t t
= − =
Bảng biến thiên hàm số f(t) ñoạn [ ; ]
t –∞ –4 –1 +∞
f’(t) – + + + –
f(t)
-
–6
4
−
0,5
Phương trình cho có nghiệm x∈[–2; 4) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈[0; 3] ⇔ ðường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số f(t) , t ∈[ 0; ] ⇔ – ≤ m ≤ –
Vậy với – ≤ m ≤ – thi phương trình có nghiệm 0,5
Bài 3điểm
Ta có:
sin 45 sin
r r
x
B C
= o = + ;
; sin
2 r y
B =
sin r z
C =
r
r r
B C
A
I
1
Suy ra:
sin sin sin
2 2 2 ( )
sin sin sin sin
2 2 2
B C B C C B
cos cos
yz r r
r r a
B C B C B C
x tg tg
+
+
= = = + = =>
2 2
2 y z a
x
(3)Ngồi định lý hàm cos tam giác BIC cho : a2 = y2+z2−2yzcosBIC
<=> 2 2 (180 ) B C a = y +z − yzcos − + <=> 2
2 135 a = y +z − yzcos o <=> 2 2
2
a = y +z + yz (2) Từ (1) (2) ta có :
2
2
2
y z
y z yz
x = + + <=> 2
1 1
x = y + z + yz
Bài 5ñiểm
a)
( )
CM BM
CM ABM BH CM AB
⊥
=> ⊥ ⊃
⊥
=> BH CM BH (ACM) AC
BH AM
⊥
=> ⊥ ⊃
⊥
=> AC BH AC (BHK)
AC BK
⊥
=> ⊥
⊥
1
Mặt phẳng (BHK) ñi qua B cố định vng góc với AC cố định nên
mp(BHK) cố định
0,5
∆BHK vng H => SBHK= (1/2) BH.HK
2 2
4
BH HK BK
(const)
+
≤ =
vậy ∆BHK có diện tích lớn BH = HK ∆BHK vng cân Khi
2 BK BH =
1
Mà 2 12 2
BH = AB + BM 2
1 1
BK = AB + BC
=> 2 2 12 12 2 2
2 2
BK = BH <=> AB + BC = AB + BM
1
<=>
2
2 2 2 2
1 1 1
2 4
h R
BM BC AB R h h R
+
= + = + =
=>
2 2
2 2 2
4
2 2
h R hR
BM BM
h R h R
= <=> =
+ +
(với R bán kính đường trịn (C), AB = h )
1
Mà B cố ñịnh => M thuộc đường trịn tâm B bán kính
2
2 hR h + R
=> có hai vị trí M làm cho diện tích ∆BHK đạt GTLN giao đường trịn (C) ñường tròn (B;BM)
0,5
H B
C
M A
(4)Bài 3ñiểm
2 4 2 2 4 2 2 4 2
4 2 4 2 4 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
P a b a b a b b c b c b c c a c a c a
a b a b b c b c c a c a
+ + − + + − + + −
= + +
+ + + + + +
Nhận xÐt: Do abc=2 nên a2, b2, c2 l số thùc d−¬ng
0,5
XÐt : A =
2 2
x y xy
x y xy
+ −
+ + với x,y >
Chia tử mẫu cho y2 t t = x
y ta đợc A =
2
1 t t t t − +
+ + víi t >
0,5
XÐt hàm sè f(t) =
2
1 t t t t − +
+ + trªn (0;+∞)
Ta cã : f’(t) =
2
2
2( 1)
0
( 1) t
t t t
−
= ⇔ = + +
Bảng biến thiên:
t +
f’(t) – +
f(t)
1 1
1
0,5
Dựa vào bảng biến thiên ta có ( )
f t ≥ với t > Từ A =
2 2
1 x y xy x y xy
+ − ≥
+ + với x,y > 0; dấu xảy t = nên x = y Áp dụng với x = a2 , y = b2 ta có
4 2 4 2
1
a b a b
a b a b
+ − ≥ + + Tương tự
4 2 4 2
1 b c b c b c b c
+ − ≥
+ + ,
4 2 4 2
1 c a c a c a c a
+ − ≥ + +
0,5
=> P 1( 2) 1( 2) 1( 2) 2( 2 2)
3 a b b c c a a b c
≥ + + + + + = + + 0,5
Áp dụng BðT Cơsi ta có 2 2
3
a +b +c ≥ a b c = với abc=2
=> P ≥ dấu ñẳng thức xảy chẳng hạn a = b = c = Vậy Pmin = chẳng hạn a = b = c =
0,5
Chú ý:
1 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết,lập luận chặt chẽ,tính tốn xác ñược ñiểm tối ña
2 Các cách giải khác ñúng cho ñiểm Tổ chấm trao ñổi thông chi tiết nhưng không ñược q số điểm dành cho câu, phần
3 Có thể chia điểm thành phần khơng 0,25 ñiểm phải thống cả tổ chấm
4 ðiểm toàn tổng số điểm phần chấm Khơng làm trịn điểm