Số ramsey và ứng dụng giải toán sơ cấp

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN XUÂN THẮNG SỐ RAMSEY VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN SƠ CẤP Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Đà Nẵng, Năm 2012 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tổ hơ ̣p là ngành khoa ho ̣c xuấ t hiê ̣n khá sớm vào đầ u thế kỷ 17, cho đế n đã đươ ̣c áp du ̣ng nhiề u liñ h vực khác lý thuyế t số , hiǹ h học, đại số , xác suấ t thố ng kê, quy hoa ̣ch thực nghiê ̣m, khoa ho ̣c máy tiń h, hóa ho ̣c…Các bài toán tổ hơ ̣p đươ ̣c phân thành các da ̣ng: bài toán tồ n ta ̣i, bài toán đế m, bài toán liệt kê và bài toán tố i ưu Bài toán tồ n ta ̣i thường có nô ̣i dung hấ p dẫn và khó giải quyết, thường xuyên xuấ t hiê ̣n các kỳ thi học sinh giỏi quố c gia và quố c tế Mô ̣t công cu ̣ hữu hiê ̣u để giải quyế t da ̣ng toán này là số Ramsey Số Ramsey ứng dụng quan trọng nguyên lý Dirichlet, để vận dụng đươ ̣c nó viê ̣c giải toán thì đòi hỏi phải hiể u nó mô ̣t cách sâu sắ c và vâ ̣n du ̣ng nó mô ̣t cách linh hoa ̣t từng bài toán cu ̣ thể Hiê ̣n chưa có mô ̣t tài liê ̣u trin ̀ h bày mô ̣t cách ̣ thố ng kiế n thức về số Ramsey và ứng du ̣ng giải toán sơ cấ p Chính vì lẻ đó cho ̣n đề tài này nghiên cứu với mong muố n ho ̣c tâ ̣p và tić h lũy cho bản thân kiế n thức về số Ramsey và ứng du ̣ng giải toán sơ cấ p, luận văn bổ sung thêm tài liệu tổ hợp cho học sinh phổ thông; đặc biệt dành cho em học sinh có khiếu mơn tốn Chúng tơi hi vọng luận văn đáp ứng phần lịng u thích khám phá tốn học em Đồng thời tài liệu tham khảo quan trọng cho đồng nghiệp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số Ramsey và viê ̣c ứng du ̣ng để giải tốn tồn tại toán sơ cấp Mục tiêu nhiệm vụ việc nghiên cứu 3.1 Mục tiêu nghiên cứu: - Hiểu số Ramsey tính chất - Vâ ̣n du ̣ng linh hoa ̣t số Ramsey để giải quyế t các bài toán tồn tại toán sơ cấp 3.2 Nhiê ̣m vụ nghiên cứu: - Hê ̣ thố ng mô ̣t số kiế n thức bản về bài toán tồ n ta ̣i - Nắ m vững và vâ ̣n du ̣ng số Ramsey để phân lớp ứng dụng số Ramsey thường gặp việc giải toán tồn tại toán sơ cấp Phương pháp nghiên cứu Tham khảo, phân tić h, tổ ng hơ ̣p, ̣ thố ng: Tham khảo các nguồ n tài liê ̣u khác có liên quan đế n bài toán tồ n ta ̣i và ứng du ̣ng giải toán sơ cấ p, phân tić h tư liê ̣u thu thâ ̣p đươ ̣c sau đó tổ ng hơ ̣p, ̣ thố ng la ̣i viế t đề tài này Kết dự kiến: Trình bày mô ̣t cách ̣ thố ng kiế n thức về số Ramsey và ứng du ̣ng số Ramsey để giải toán tồn tại toán sơ cấp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 6.1 Ý nghiã khoa học: Hê ̣ thố ng các kiế n thức về bài toán tồ n ta ̣i, số Ramsey và ứng du ̣ng giải toán sơ cấ p 6.2 Ý nghiã thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liê ̣u tham khảo bổ ić h cho giáo viên , ho ̣c sinh ở trường THPT, sinh viên ở các trường đa ̣i ho ̣c và cao đẳ ng , các ba ̣n yêu toán, đă ̣c biê ̣t là các đố i tươ ̣ng da ̣y bồ i dưỡng và tham gia các kỳ thi học sinh giỏi quố c gia và quố c tế Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầ u, kết luận tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương sau: Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ Chương LÝ THUYẾT VỀ SỐ RAMSEY Chương ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ 1.1 Sơ lược lịch sử: Tư về tổ hơ ̣p đời từ rấ t sớm Ở Trung Quố c, vào thời nhà Chu người ta đã biế t đế n những hiǹ h vuông thầ n bi.́ Thời cổ Hy La ̣p, thế kỷ thứ trước Công nguyên, nhà triế t ho ̣c Kxenokrat đã biế t cách tiń h số các từ khác lâ ̣p từ bảng chữ cái cho trước Nhà toán ho ̣c Pitagor và ho ̣c trò đã tìm đươ ̣c nhiề u số có tính chấ t đă ̣c biê ̣t Chẳ ng ̣n 36 không những là tổ ng số chẳ n và số lẻ mà còn là tổ ng lâ ̣p phương của số tự nhiên đầ u tiên 36 = + + + + + + + = 13  23  33 Từ đinh ̣ lý Pitagor người ta cũng tìm những số mà biǹ h phương của nó bằ ng tổ ng bình phương của số khác Các bài toán vâ ̣y đòi hỏi phải có nghê ̣ thuâ ̣t tổ hơ ̣p nhấ t đinh ̣ Tuy nhiên có thể nói rằ ng, lý thuyế t tổ hơ ̣p đươ ̣c hình thành mô ̣t ngành của toán ho ̣c rời ̣c chỉ vào thế kỷ 17 bằ ng mô ̣t loa ̣t các công trình nghiên cứu nghiêm túc của các nhà toán ho ̣c xuấ t sắ c Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler…Mă ̣c dầ u vâ ̣y, tổ hơ ̣p vẫn là liñ h vực mờ nha ̣t và it́ đươ ̣c chú ý quañ g thời gian hai thế kỷ Các bài toán tổ hơ ̣p có đă ̣c trưng bùng nổ tổ hơ ̣p với số cấ u hình tổ hơ ̣p khổ ng lồ (có trường hơ ̣p mấ t hàng chu ̣c năm) Vì vâ ̣y thời gian dài, mà các ngành toán ho ̣c Phép tính vi phân, Phép tiń h tích phân, Phương trình vi phân,…phát triể n vũ baõ , thì dường nó nằ m ngoài sự phát triể n và ứng du ̣ng của toán ho ̣c Tình thế thay đổ i từ xuấ t hiê ̣n máy tính và sự phát triể n của toán ho ̣c hữu ̣n Nhiề u vấ n đề tổ hơ ̣p đươ ̣c giải quyế t máy tính Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hơ ̣p đã trở thành ngành toán ho ̣c phát triể n ma ̣nh me,̃ có nhiề u ứng du ̣ng các liñ h vực toán ho ̣c, tin ho ̣c Vì tổ hơ ̣p có liên quan tới nhiề u vấ n đề nhiề u liñ h vực của đời sống và các khoa ho ̣c khác nên khó có thể đinh ̣ nghiã nó mô ̣t cách hin ̀ h thức chă ̣t che.̃ Nói chung, lý thuyế t tổ hơ ̣p gắ n liề n với viê ̣c nghiên cứu các cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p và các cấ u trúc tổ hơ ̣p mà ta có thể đinh ̣ nghiã chúng mô ̣t cách khái quát dưới Cấ u hin ̀ h tổ hơ ̣p Cho các tâ ̣p hơ ̣p A , , An Giả sử S là sơ đồ sắ p xế p các phầ n tử của A , , An đươ ̣c mô tả bằ ng các quy tắ c sắ p xế p và R1, , Rn là các điề u kiê ̣n ràng buô ̣c lên mỗi sắ p xế p theo sơ đồ S Khi đó mỗi sắ p xế p các phầ n tử của A , , An thoả mañ các điề u kiê ̣n R1, , Rn go ̣i là mô ̣t cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p các tâ ̣p A , , An Ví du ̣ Xét sự bố trí các quân cờ bàn cờ vua Mỗi thế cờ có thể coi là mô ̣t cấ u hình tổ hơ ̣p Ở ta có thể đinh ̣ nghiã A là tâ ̣p hơ ̣p các quân cờ trắ ng B là tâ ̣p hơ ̣p các quân cờ đen S là sơ đồ sắ p xế p các quân cờ bàn cờ R là ̣ thố ng các điề u kiê ̣n đươ ̣c xác đinh ̣ bằ ng luâ ̣t cờ vua Ví du ̣ Bài toán tháp Hà Nô ̣i A là tâ ̣p hơ ̣p n điã S là sơ đồ sắ p xế p các điã co ̣c R là điề u kiê ̣n mỗi lầ n chuyể n điã từ mô ̣t co ̣c sang co ̣c khác R là điề u kiê ̣n điã nằ m dưới lớn điã nằ m Cấ u hình tổ hơ ̣p là mô ̣t cách sắ p xế p các điã co ̣c thỏa các điều kiê ̣n R và R Cấ u trúc tổ hơ ̣p Giả sử V là mô ̣t tâ ̣p bấ t kỳ Ta ký hiê ̣u  (V) là tâ ̣p tấ t cả cấ u hin ̀ h tổ hơ ̣p V (theo mo ̣i sơ đồ sắ p xế p S và mo ̣i điề u kiê ̣n R1, , Rn có thể ) Khi đó bô ̣ ba G = (V, E, f) đươ ̣c go ̣i là mô ̣t cấ u trúc tổ hơ ̣p V nế u V và E là các tâ ̣p rời nhau, f là mô ̣t hàm từ E vào  (V) và V, E, f thoả mañ mô ̣t số tiên đề xác đinh ̣ nào đó Ví du ̣ Giả sử V = v1, , vm  , E = e1, , en  với V E   Ta cũng giả sử S là sơ đồ sắ p xế p “ că ̣p  x1 , x2  ” và f là hàm từ E vào  (V) (a) Nế u với mo ̣i e  E, f(e) là mô ̣t cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p theo S các bản rời A1 và A2 của V thoả mañ x1  A1 , x2  A2 , thì cấ u trúc tổ hơ ̣p (V, E, f) đươ ̣c go ̣i là mô ̣t đa đồ thi ̣ có hướng với tâ ̣p đin ̉ h V và tâ ̣p cung E Nế u hàm f nói là đơn ánh, thì cấ u trúc tổ hơ ̣p (V, E, f) đươ ̣c go ̣i là mô ̣t đơn đồ thi ̣ có hướng và thường đươ ̣c go ̣i tắ t là đồ thi ̣có hướng (b) Nế u với mo ̣i e  E, f(e) mô ̣t cấ u hình tổ hơ ̣p theo S A1 = V thoả mãn x1  A1 , x2  A1 \ x1 , thì cấ u trúc tổ hơ ̣p (V, E, f) đươ ̣c go ̣i là mô ̣t đa đồ thi ̣ có hướng không có khuyên Nế u hàm f la ̣i là đơn ánh, thì cấ u trúc tổ hơ ̣p (V, E, f) đươ ̣c go ̣i là mô ̣t đơn đồ thi ̣có hướng không có khuyên và thường đươ ̣c go ̣i tắ t là đồ thi ̣có hướng không có khuyên Các cấ u trúc tổ hơ ̣p đươ ̣c biế t nhiề u tới hiê ̣n là đồ thi,̣ siêu đồ thị (hypergraph), thiế t kế khố i (block design), matroid Mỗi cấ u trúc tổ hơ ̣p đề u đã có mô ̣t lý thuyế t phát triể n đô ̣c lâ ̣p cho ̀ h Các vấ n đề của lý thuyế t tổ hơ ̣p liên quan tới các cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p cũng rấ t đa dạng Tuy nhiên, bố n loa ̣i bài toán kể thường gă ̣p cả Trong các bài toán này, người ta thường giả thiế t rằ ng các tâ ̣p A1 , , Am mà đó các cấ u hin ̀ h tổ hơ ̣p đươ ̣c ta ̣o lâ ̣p, đề u là hữu ̣n 1.2 Các dạng toán tổ hợp: 1.2.1 Bài toán đế m Nô ̣i dung bài toán đế m là trả lời câu hỏi “Có cấ u hin ̀ h thuô ̣c da ̣ng xét ?” Phương pháp đế m cấ u hin ̀ h tổ hơ ̣p thường dựa vào mô ̣t số quy tắ c, nguyên lý đế m và phân rã đưa về các cấ u hình tổ hơ ̣p đơn giản Khi viê ̣c xác định chin ́ h xác số cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p gă ̣p khó khăn hay chưa giải quyế t đươ ̣c tro ̣n ve ̣n, người ta thường đă ̣t bài toán đánh giá số các cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p đó bằ ng cách xác đinh ̣ câ ̣n và câ ̣n dưới của nó Bài toán đế m đươ ̣c áp du ̣ng có hiê ̣u quả vào những công viê ̣c mang tiń h chấ t đánh giá tin ́ h xác xuấ t của mô ̣t sự kiện, tin ́ h đô ̣ phức ta ̣p của mô ̣t thuâ ̣t toán Ví du ̣ Đếm số tập tập hợp cho trước Ví du ̣ Đếm số nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z = 10 1.2.2 Bài toán liê ̣t kê Các bài toán này quan tâm đế n viê ̣c tìm các thuâ ̣t toán có hiê ̣u quả để xây dựng tấ t cả các cấ u hình tổ hơ ̣p thuô ̣c da ̣ng đã cho Theo thuâ ̣t toán đó người ta lâ ̣p trình để máy tính in tấ t cả cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p cầ n liê ̣t kê Các bài toán các liñ h vực khác thường đươ ̣c đưa về bài toán liê ̣t kê và kiể m tra xem các cấ u hình tổ hơ ̣p liê ̣t kê đó có thoả mãn tính chấ t này hay tính chấ t khác không Vì thế mà bài toán liê ̣t kê là sở để giải quyế t nhiề u bài toán các liñ h vực khác của cuô ̣c số ng Hiê ̣n nhiề u bài toán vẫn chưa có cách giải nào khác ngoài cách giải dựa vào bài toán liê ̣t kê Nế u trước đây, cách giải này còn mang tiń h lý thuyế t thì bây giờ nó ngày càng khả thi nhờ sự tiế n bô ̣ nhanh chóng của khoa ho ̣c máy tin ́ h Ví du ̣ Liê ̣t kê tấ t cả các hoán vi ̣của n phầ n tử 1.2.3 Bài toán tố i ưu tổ hợp Trong nhiề u vấ n đề , mỗi cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p đươ ̣c gán mô ̣t giá tri ̣ bằ ng số (chẳ ng ̣n hiê ̣u quả sử du ̣ng, hay chi phí thực hiê ̣n) Khi đó bài toán tố i ưu tổ hơ ̣p nghiên cứu những thuâ ̣t toán tìm cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p có giá tri ̣ tố i ưu (lớn nhấ t hay nhỏ nhấ t) Đây là bài toán có nhiề u ứng du ̣ng thực tiễn Lý thuyế t tổ hơ ̣p đã đóng góp mô ̣t phầ n đáng kể viê ̣c xây dựng những thuâ ̣t toán hữu hiê ̣u để giải quyế t các bài toán tố i ưu tở hơ ̣p Ví du ̣ 7.(Bài tốn ba lô) Một nhà thám hiểm dùng ba lô trọng lượng khơng q b để mang đồ vật Có n đồ vật 1, 2, …, n Đồ vật thứ j có trọng lượng a j giá trị sử dụng cj, j = 1, 2, …, n Hỏi nhà thám hiểm cần mang theo đồ vật để tổng giá trị sử dụng lớn 1.2.4 Bài toán tồ n ta ̣i Trong các bài toán đế m, bài toán liê ̣t kê hay bài toán tố i ưu tổ hơ ̣p, viê ̣c tồ n ta ̣i các cấ u hình tổ hơ ̣p thuô ̣c da ̣ng đã cho là hiể n nhiên Tuy nhiên đố i với mô ̣t số cấ u hình tổ hơ ̣p, viê ̣c chúng có tồ n ta ̣i hay không chưa đươ ̣c sáng tỏ Viê ̣c tìm câu trả lời “có” hay “không có” các cấ u hình này chính là mu ̣c tiêu của bài toán tồ n ta ̣i Để trả lời “có”, ta thường phải xây dựng đươ ̣c mô ̣t cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p thuô ̣c da ̣ng đã cho Nhiề u bài toán loa ̣i này là những bài toán rấ t nan giải Lich ̣ sử toán ho ̣c để la ̣i nhiề u bài toán khó loa ̣i này và viê ̣c cố gắ ng giải quyế t chúng đã thúc đẩ y không it́ sự phát triể n của nhiề u hướng nghiên cứu lý thuyế t tổ hơ ̣p Ví du ̣ Giả sử A1 là tâ ̣p gồ m 2n vâ ̣t Ta cũng giả sử rằ ng sơ đồ sắ p xế p S đươ ̣c xác đinh ̣ bởi mô ̣t lưới ô vuông ta ̣o bởi n đường kẻ ngang cách đề u đơn vi ̣ đo và n đường kẻ ̣c cũng cách đề u mô ̣t đơn vi ̣ đo đó Các đường kẻ ngang và kẻ ̣c của lưới giao ta ̣o n  n giao điể m go ̣i là các điể m của lưới Ta cầ n sắ p xế p 2n vâ ̣t của A lên các điể m của lưới này Điề u kiê ̣n sắ p xế p R1 : Tấ t cả 2n vâ ̣t từ tâ ̣p A1 đề u phải đươ ̣c sắ p lên các điể m của lưới Điều kiê ̣n sắ p xế p R2 : Không có vâ ̣t nào đươ ̣c sắ p thẳ ng hàng với theo cả chiề u ngang, ̣c và chéo Với  n  15 cấ u hiǹ h tổ hơ ̣p tồ n ta ̣i Nhưng bài toán chưa có lời giải với n > 15 Dưới là lời giải đố i với n =12                         Hình 1.1 Hiê ̣n nay, bài toán liê ̣t kê cấ u hình tổ hơ ̣p là mô ̣t bô ̣ phâ ̣n quan tro ̣ng liñ h vực phầ n mề m ứng du ̣ng, còn bài toán tố i ưu tổ hơ ̣p thì đã phát triể n thành mô ̣t liñ h vực đô ̣c lâ ̣p go ̣i là tố i ưu tổ hơ ̣p Đố i với bài toán tồ n ta ̣i, mô ̣t số lý thuyế t đã hình thành cho mô ̣t số lớp bài toán (lý thuyế t Ramsey, lý thuyế t chứng minh tồ n ta ̣i bằ ng phương pháp không kiế n thiế t phương pháp xác suấ t) Tuy nhiên, chưa có lý thuyế t thố ng nhấ t để giải quyế t mo ̣i bài toán tồ n ta ̣i 1.3 Nguyên lý Dirichlet 1.3.1 Nguyên lý Dirichlet ( nguyên lý chim bồ câu) Một số đối tượng xếp vào số hộp Nếu số đối tượng nhiều số hộp, thì tồn tại hộp chứa đối tượng Chứng minh Nếu khơng có hộp có đối tượng, thì số đối tượng không lớn số hộp, mâu thuẩn giả thiết Ví dụ Trong 367 người có hai người trùng ngày sinh nhật, vì năm có nhiều 366 ngày Ví dụ 10 Mười người có họ Trần, Lê, Nguyễn tên A, B, C Khi có người trùng họ tên Vì có cặp họ tên khác nhau, có 10 người 1.3.2 Nguyên lý Dirichlet Nếu xếp N đối tượng vào k hộp thì tồn tại hộp chứa ┌N/k┐đối tượng ( ┌x┐ số nguyên nhỏ  x ) Chứng minh Nếu khơng có hộp có ┌N/k┐đối tượng, thì số đối tượng nhỏ k.(N/k) = N, mâu thuẩn với giả thiết số đối tượng nhiều N Ví dụ 11 Trong 100 người có người trùng tháng sính Chứng minh Thật vậy, xếp người tháng sinh vào nhóm Có 12 nhóm tất Ta có ┌100/12┐= Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn tại nhóm có người 10 Ví dụ 12.Trong hội nghị có n người có người có số người quen Chứng minh Thật vậy, xếp người có số người quen i vào nhóm, kí hiệu nhóm i,  i  n 1 Ta phân làm trường hợp: (i) Có người khơng quen Trong trường hợp khơng có quen (n-1) người Vì có tối đa (n-1) nhóm 0, 1, 2, …, n-3, n-2 Như theo ngun lý Dirichlet phải tồn tại nhóm có người (ii) Ai có người quen Ta có tối đa (n-1) nhóm 1, 2, …, n-2, n-1 Như theo nguyên lý Dirichlet phải tồn tại nhóm có người Ví dụ 13 Trong mặt phẳng cho điểm, khơng có điểm thẳng hàng Các điểm nối với cặp cạnh xanh đỏ Chứng minh tồn tại tam giác có cạnh màu Chứng minh Chọn điểm P từ điểm Từ P có cạnh nối đến điểm cịn lại Như theo nguyên lý Dirichlet có 3=┌5/2┐ cạnh màu PP1, PP2, PP3 Giả sử màu xanh Nếu cạnh P1P2, P2P3, P3P1 màu đỏ thì ta có  P1P2P3 màu Nếu cạnh P1P2, P2P3, P3P1 có màu xanh, giả sử PiPj  PPiPj màu xanh Hình 1.3 1.3.3 Nguyên lý Dirichlet mở rộng Giả sử A1, A2,…, Ak tập tập hữu hạn S a) Nếu phần tử S chứa r tập Ai, A1   Ak  r S 31 2.5 Mở rộng khái niệm số Ramsey Định nghĩa 1.Giả sử i1, i2, …, in số nguyên dương, ij  2,  j = 1, …, n Số nguyên dương m gọi có tính chất (i1, i2, …, in ;2)-Ramsey, nếu với mọi cách tô màu cạnh Km n màu 1, 2, …., n, thì Km tồn tại K i j màu j với j  {1, …, n} Số nguyên dương nhỏ có tính chất (i1, i2, …, in ;2)-Ramsey gọi số Ramsey R(i1, i2, …, in ;2) Ta thấy nếu n=2 thì R(i1, i2 ;2) số Ramsey R(i1, i2 ) 2.5.1 Mệnh đề 15 R( 2, 142, , 432;2)= n 2.5.2 Mệnh đề 16 R(3,3,3;2)= 17 Chứng minh Xét cách tô màu cạnh K17 màu 1,2,3 Chọn đỉnh v Xét 16 đỉnh lại Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại đỉnh có cạnh nối với v tơ màu i 1, 2,3 Kí hiệu S tập đỉnh Nếu S có đỉnh s, t nối cạnh màu i thì tam giác với ba cạnh v, s, t K3 màu i Ngược lại, nếu cạnh nối đỉnh S tô màu khác i, thì từ R(3,3) = suy tồn tại K3 có màu j  i Suy 17 có tính chất R(3,3,3;2) –Ramsey Ta nhận thấy 16 khơng có tính chất R(3,3,3;2) –Ramsey Vậy R(3,3,3;2) = 17 Hình vẽ minh hoạ, hình 2.5 32 Hình 2.5 Định nghĩa Cho số nguyên dương n  2, r Giả sử i1,…, in số nguyên dương, ij  r ,  j = 1,…,n Số nguyên dương m gọi có tính chất (i1,…,in;r)-Ramsey, nếu mệnh đề sau đúng: Nếu S tập m phần tử tập r phần tử S phân vào n lớp C 1, …, Cn thì tồn tại j  {1,…,n} cho S tìm tập lực lượng ij thoả mãn tập r phần tử thuộc lớp Cj Số ngun dương nhỏ có tính chất (i1,…,in;r)-Ramsey gọi số Ramsey R(i1,…,in;r) 2.5.3 Mệnh đề 17 (Ramsey 1930) Cho số nguyên dương n  2, r Giả sử i1,…,in số nguyên dương, ij  r  j = 1,…,n Khi tồn tại số Ramsey R(i1,…,in;r) 33 2.5.4 Mệnh đề 18 R(i1,…,in ;1) = i1 +…+in - n + Chứng minh Đặt m = i1+…+in- n + Trước hết ta m có tính chất (i1,…,in;1)-Ramsey Cho S tập m phần tử Ta phân phần tử S vào n lớp C1,…,Cn Nếu |Cj|  ij-1,  j = 1,…,n thì m = |C1|+…+|Cn|  i1+…+in-n < m, vơ lí Vậy tồn tại j thoả |Cj|  ij Tập ij phần tử Cj có tất phần tử thuộc lớp Cj Vậy m có tính chất (i1,…,in;1)-Ramsey Bây ta m-1 = i1+…+in-n khơng có tính chất (i1,…,in;1)- Ramsey Xét tập S có m-1 phần tử ta phân phần tử S vào lớp C1,…,Cn cho |Cj| = ij -  j = 1,…,n Như với mọi j không tồn tại tập ij phần tử thuộc lớp Cj Vậy m-1=i1+…+in – n tính chất (i1,…,in;1)- Ramsey Vậy R(i1,…,in;1) = i1+…+in - n + - Hệ R (2, 142, , 432;1)  n  n 34 Chương ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 3.1 Ứng dụng số Ramsey R(3,3) Bài tốn Có đội bóng thi đấu với ( đội phải thi đấu với đội khác) Chứng minh vào lúc có đội cặp đã đấu với chưa đấu với trận Giải Ta xem đội bóng điểm phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Hai đội đá với không đá với xem hai điểm nối với cạnh màu xanh đỏ Khi ta có đồ thị K6, theo mệnh đề 1, R(3,3) = 6, nên tồn tại K3 xanh K3 đỏ Vậy ln tồn tại đội cặp đã đấu với chưa đấu với trận Bài tốn Cho trước nhóm người Chứng minh ln có nhóm gồm người họ quen đơi họ không quen đôi Giải Ta xem người bất kì điểm phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Hai người quen không quen xem hai điểm nối với cạnh màu xanh đỏ Khi ta có đồ thị K6 , theo mệnh đề 1, R(3,3) = 6, nên tồn tại K3 xanh K3 đỏ Vậy tồn tại nhóm nguời quen khơng Bài tốn Trên đường trịn cho 16 điểm tô màu: xanh (X), đỏ (Đ), vàng (V) Các dây cung nối điểm 16 điểm tô màu trắng (T), đỏ Chứng minh ta ln có 16 điểm tơ màu cạnh tơ màu Giải Theo ngun lý Dirichlet có điểm tô màu Hai điểm nối với cạnh màu trắng hoăc màu đỏ nên ta có đồ thị K6 Theo mệnh đề 1, R(3,3) = 6, nên tồn tại K3 trắng K3 đỏ Vậy ta ln có 16 điểm tơ màu cạnh tơ màu 35 Bài tốn IMO 1992 Trong khơng gian, cho điểm cho khơng có hệ điểm số đồng phẳng Cứ hai điểm thì nối đoạn thẳng(cạnh), cạnh tô màu xanh đỏ, không tô gì Tìm giá trị n nhỏ cho có n cạnh tơ màu thì tập hợp cạnh tơ phải có tam giác có cạnh màu Giải Nếu chọn điểm bất kì mà 15 cạnh sơn màu xanh đỏ thì đồ hình tạo điểm chứa tam giác với cạnh màu Thật vậy, ta có đồ thị K6, theo mệnh đề 1, R(3,3) = 6, nên tồn tại K3 xanh K3 đỏ Vậy ln tồn tại tam giác có ba cạnh màu Giờ ta xét hệ gồm điểm Nếu có ba cạnh khơng màu, thì số cạnh tơ màu 36-3 = 33, ta có tập điểm trường hợp đã xét Vậy với n = 33 thì bảo đảm có tam giác với cạnh màu Mặt khác, nếu có 32 cạnh sơn(trong hệ điểm) thì khơng bảo đảm có tam giác với cạnh màu.Ví dụ đồ hình sau:( Những cặp đỉnh khơng nối với tượng trưng cho việc không tô màu) A B I C H D G E F Hình 3.1 Vậy số cần tìm 33 36 3.2 Ứng dụng số Ramsey R(3,4) Bài toán Cho nhóm gồm người Chứng minh ln có a) b) biết: a) Một nhóm người khơng quen biết lẫn nhóm người quen biết lẫn b)Một nhóm người quen biết lẫn nhóm người khơng quen biết lẫn Giải Ta xem người điểm phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Hai người quen không quen xem hai điểm nối với cạnh màu xanh đỏ Khi ta có đồ thị K9, theo mệnh đề 9, R(3,4) = 9, nên tồn tại K3 đỏ K4 xanh hay tồn tại tam giác tứ giác có cạnh màu Vậy ln có a), b) a) Một nhóm người khơng quen biết lẫn nhóm người quen biết lẫn b)Một nhóm người quen biết lẫn nhóm người khơng quen biết lẫn Bài tốn Trong mặt phẳng cho n điểm ( n > 9) khơng có điểm thẳng hàng Các điểm nối với cặp cạnh xanh đỏ Chứng minh tồn tại tam giác tứ giác có cạnh màu Giải Từ định nghĩa 2.2 , hiển nhiên nếu m có tính chất (i,j)-Ramsey n>m, n có tính chất (i,j)-Ramsey Vì n > nên tốn ln Bài tốn Cho điểm mặt phẳng, điểm tạo thành tam giác mà cạnh tô màu xanh đỏ, ln có cạnh đỏ Chứng minh tồn tại tứ giác có cạnh đường chéo tô màu đỏ Giải 37 Nếu tồn tại điểm A cho từ điểm xuất phát đoạn thẳng màu xanh ( giả sử AB, AC, AD, AE) thì toán chứng minh ( điểm B, C, D, E) thoả mãn D C E A B Hình 3.2 Nếu điểm điểm đầu mút nhiều ba đoạn thẳng màu xanh, ta thấy xảy trường hợp điểm đầu mút đoạn thẳng xanh, số đoạn thẳng xanh 9.3 không số nguyên Như tồn tại điểm cho đầu mút nhiều hai đoạn thẳng xanh, đồng nghĩa với đầu mút đoạn thẳng đỏ Giả sử điểm A đoạn thẳng đỏ AB, AC, AD, AE, AF, AG Theo toán 1, điểm B, C, D, E, F, G tồn tại tam giác có cạnh màu đỏ( giả sử tam giác BCD) Do điểm A, B, C, D thoả mãn yêu cầu toán 3.3 Ứng dụng số Ramsey R(4,4) Bài tốn Cho nhóm 18 người Chứng minh ln có nhóm người quen biết lẫn không quen biết lẫn Giải Ta xem 18 người 18 điểm phân biệt, khơng có điểm thẳng hàng, hai người quen không quen xem hai điểm nối với cạnh màu xanh đỏ Với giả thiết toán cho ta đồ thị K18 , theo 38 mệnh đề 11, R(4,4) = 18, nên tồn tại K4 xanh K4 đỏ Vậy tồn tại người quen biết lẫn không quen biết lẫn Bài toán Trong mặt phẳng cho n điểm ( n > 18), khơng có điểm thẳng hàng Các điểm nối với cặp cạnh xanh đỏ Chứng minh tồn tại tứ giác có cạnh màu Giải Từ định nghĩa 2.2 , hiển nhiên nếu m có tính chất (i,j)-Ramsey n>m, n có tính chất (i,j)-Ramsey Vì n > 18 nên tốn ln 3.4 Ứng dụng số Ramsey R(3,5) Bài tốn 10 Cho nhóm gồm 14 người Chứng minh ln có a) b) biết: a) Một nhóm người khơng quen biết lẫn nhóm người quen biết lẫn b)Một nhóm người quen biết lẫn nhóm người khơng quen biết lẫn Giải Ta xem 14 người 14 điểm phân biệt, khơng có điểm thẳng hàng, hai người quen không quen xem hai điểm nối với cạnh màu xanh đỏ Với giả thiết toán cho ta đồ thị K14 , theo mệnh đề 10, R(3,5) = 14, nên tồn tại K3 đỏ K5 xanh Vậy tồn tại a) b) a) Một nhóm người khơng quen biết lẫn nhóm người quen biết lẫn b)Một nhóm người quen biết lẫn nhóm người khơng quen biết lẫn Bài toán 11 Trong mặt phẳng cho n điểm ( n > 14), khơng có điểm thẳng hàng Các điểm nối với cặp cạnh xanh đỏ Chứng minh tồn tại tam giác ngũ giác có cạnh màu 39 Giải Từ định nghĩa 2.2 , hiển nhiên nếu m có tính chất (i,j)-Ramsey n>m, n có tính chất (i,j)-Ramsey Vì n > 14 nên toán 14 ln Bài tốn 12 Trong mặt phẳng cho 18 điểm khơng có điểm thẳng hàng Các điểm nối với cặp cạnh xanh đỏ Chứng minh tồn tại tứ giác có cạnh đường chéo màu Giải Một điểm M nối với 17 điểm lại tạo thành 17 đoạn thẳng, theo nguyên lý Dirichlet tồn tại đoạn màu, giả sử màu xanh Xét điểm khác M đầu mút đoạn thẳng xanh kẻ từ M Nếu tồn tại tam giác ABC có ba cạnh xanh thì điểm M, A, B, C thoả mãn yêu cầu đề Nếu không tồn tại tam giác có cạnh xanh, tức tam giác có đỉnh điểm cạnh đỏ Theo toán ln tồn tại tứ giác có cạnh hai đường chéo màu đỏ 3.5 Ứng dụng số Ramsey R(3,3,3;2) Bài toán 13 Mười bảy nhà khoa học viết thư cho Mỗi người viết thư cho tất người khác, thư trao đổi đề tài Từng cặp nhà bác học viết thư trao đổi đề tài Chứng minh có nhà bác học viết thư cho trao đổi đề tài Giải Ta xem 17 nhà khoa học 17 điểm phân biệt, khơng có điểm thẳng hàng Hai người viết thư theo đề tài 1, 2, xem hai điểm nối với cạnh màu xanh, đỏ, vàng Với giả thiết toán cho ta đồ thị K17, theo mệnh đề theo mệnh đề 13, R(3,3,3;2) = 17, nên tồn tại K3 xanh K3 đỏ K3 vàng Vậy ln có nhà bác học viết thư cho trao đổi đề tài 40 Bài toán 14 Trong gặp gỡ quốc tế có 17 nhà ngoại giao tham gia Mỗi cặp nhà ngoại giao trao đổi trực tiếp với ba ngôn ngữ: Anh, pháp, Đức Chứng minh luôn tìm ba nhà ngoại giao, mà họ trao đổi trực tiếp ba ngôn ngữ Giải Ta xem 17 nhà ngoại giao 17 điểm phân biêt, khơng có ba điểm thẳng hàng Hai người nói với ba ngơn ngữ Anh, Pháp, Đức xem hai điểm nối với màu xanh, đỏ, vàng Với giả thiết toán cho ta đồ thị K17, theo mệnh đề 13, R(3,3,3;2) = 17, nên tồn tại K3 xanh K3 đỏ K3 vàng Vậy luôn tìm ba nhà ngoại giao, mà họ trao đổi trực tiếp ba ngôn ngữ Bài toán 15 Có 17 đối tượng phân biệt, cặp đối tượng cho trước có ba quan hệ: t1, t2, t3 Chứng minh luôn tìm ba đối tượng, mà cặp ba có quan hệ ti 1  i  3 đã cho Giải Ta xem 17 đối tượng 17 điểm phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Mỗi cặp đối tượng có quan hệ với ba quan hệ t1, t2, t3 xem hai điểm nối với ba màu xanh, đỏ, vàng Với giả thiết toán cho ta đồ thị K17, theo mệnh đề 13, R(3,3,3;2) = 17, nên tồn tại K3 xanh K3 đỏ K3 vàng Vậy luôn tìm ba đối tượng, mà cặp ba có quan hệ ti 1  i  3 đã cho 41 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày cách có ̣ thớ ng kiế n thức về số Ramsey ứng du ̣ng số Ramsey để giải toán tồn tại toán sơ cấp Chúng tơi đã xây dựng lớp tốn ứng dụng số Ramsey R(3,3), R(4,3), R(4,4), R(3,5) R(3,3,3;2) Với gì tìm hiểu nghiên cứu được, luận văn trở thành tài liệu tham khảo có chất lượng đồng nghiệp bồi dưỡng học sinh giỏi học sinh có khiếu tốn học cấp 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đại học quốc gia Hà Nội, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên chuyên toán, (20002006) [2] Hà Văn Chương, Tuyển chọn 351 tốn giải tích tổ hợp, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, (2004) [3] Hồng Chí Thành, Giáo trình tổ hợp, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, (2001) [4] Lê Hồnh Phị, Tổ hợp xác suất, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, (2008) [5] Nguyễn Ngọc Thu, Hướng dẫn giải toán tổ hợp, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, (2003) [6] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng, Tổ hợp toán rời rạc, NXB giáo dục, (2008) [7] Trần Quốc Chiến, Giáo trình lý thuyết tổ hợp, (Giáo trình cho học viên cao học toán, ĐHĐN), (2010) [8] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho, 40 năm Olympic toán học quốc tế, Hà Nội Tiếng Anh [10] V.K.Balakrishnan, Theory and Problems of Combinatorics, McGraw Hill Book Company, New York, (1995) [11] Landman & amp_ Robertson, Ramsey Theory on the Integers, McGraw Hill Book Company, (1995) 43 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài 2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục tiêu nhiệm vụ việc nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết dự kiến: Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 7.Cấu trúc luận văn: Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ 1.1 Sơ lược lịch sử: 1.2 Các dạng toán tổ hợp: 1.2.1 Bài toán đế m 1.2.2 Bài toán liê ̣t kê 1.2.3 Bài toán tố i ưu tổ hơ ̣p 1.2.4 Bài toán tồ n ta ̣i 1.3 Nguyên lý Dirichlet 1.3.1 Nguyên lý Dirichlet ( nguyên lý chim bồ câu) 1.3.2 Nguyên lý Dirichlet 1.3.3 Nguyên lý Dirichlet mở rộng 10 1.4 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu 11 1.5 Sơ lược lí thuyết đồ thị 12 1.5.1 Các khái niệm 12 1.5.1.1 Đồ thị vô hướng có hướng 12 1.5.1.2 Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc 14 1.5.2 Các Định lý, bổ đề, thuật toán 15 1.5.2.1 Đồ thị, đỉnh, cạnh, cung 15 44 1.5.2.2 Đường đi, chu trình, tính liên thơng 15 Chương LÝ THUYẾT VỀ SỐ RAMSEY 19 2.1 Bài toán mở đầu: 19 2.2 Định nghĩa 19 2.3 Định nghĩa 19 2.3.1 Mệnh đề 19 2.3.2 Mệnh đề 21 2.3.3 Mệnh đề 21 2.3.4 Mệnh đề 22 2.3.5 Mệnh đề 23 2.3.6 Mệnh đề 23 2.3.7 Mệnh đề 7.(Định lý Ramsey) 24 2.3.8 Mệnh đề 24 2.3.9 Mệnh đề 25 2.3.10 Mệnh đề 10 25 2.3.11 Mệnh đề 11 26 2.3.12 Mệnh đề 12: 27 2.3.13 Mệnh đề 13: 27 2.3.14 Mệnh đề 14: 28 2.4 Các số Ramsey cổ điển: 29 2.5 Mở rộng khái niệm số Ramsey 31 2.5.1 Mệnh đề 15 31 2.5.2 Mệnh đề 16 31 2.5.3 Mệnh đề 17 (Ramsey 1930) 32 2.5.4 Mệnh đề 18 33 Chương ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 34 3.1 Ứng dụng số Ramsey R(3,3) 34 45 3.2 Ứng dụng số Ramsey R(3,4) 36 3.3 Ứng dụng số Ramsey R(4,4) 37 3.4 Ứng dụng số Ramsey R(3,5) 38 3.5 Ứng dụng số Ramsey R(3,3,3;2) 39 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN TH ẠC SĨ (BẢN SAO ... Chương ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 34 3.1 Ứng dụng số Ramsey R(3,3) 34 45 3.2 Ứng dụng số Ramsey R(3,4) 36 3.3 Ứng dụng số Ramsey R(4,4) 37 3.4 Ứng dụng số Ramsey. .. về số Ramsey và ứng du ̣ng giải toán sơ cấ p Chính vì lẻ đó cho ̣n đề tài này nghiên cứu với mong muố n ho ̣c tâ ̣p và tić h lũy cho bản thân kiế n thức về số Ramsey và ứng. .. LÝ THUYẾT VỀ SỐ RAMSEY Chương ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 4 Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ 1.1 Sơ lược lịch sử: Tư về tổ hơ ̣p đời từ rấ t sơ? ?m Ở Trung Quố c, vào thời nhà