Đề thi học sinh giỏi toán 9 cấp tỉnh năm 2018 2019 sở GD đt gia lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi: 07/03/2019 Câu (3,0 điểm) Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 Có thể lập số tự nhiên có chữ số đôi khác lớn 2019 Câu (5,0 điểm) 1) Chứng minh với số nguyên n, số A  3n3  15n chia hết cho 18 2) Một đoàn học sinh tham quan quảng trường Đại Đoàn Kết tỉnh Gia Lai Nếu ô tô chở 12 người thừa người Nếu bớt tơ số học sinh đồn chia cho tơ cịn lại Hỏi có học sinh tham quan có tơ? Biết tơ chở không 16 người Câu (6,0 điểm) 1) Một nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác có chiều cao độ dài cạnh đáy 20cm 1cm Người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho nến nằm khít hộp Tính thể tích hộp 2) Cho đường trịn  O; R  điểm I cố định nằm bên đường tròn ( I khác O ), qua điểm I dựng hai dây cung AB CD Gọi M , N , P, Q trung điểm IA, IB, IC , ID a) Chứng minh bốn điểm M , P, N , Q thuộc đường tròn b) Giả sử dây cung AB CD thay đổi ln ln vng góc với I Xác định vị trí dây cung AB CD cho tứ giác MPNQ có diện tích lớn Câu (4,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình sau  x    y   y  ( x  1)   x  ( x  y )  10 x  y  y  2) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z  xyz  Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  yz  zx  xyz Câu (2,0 điểm) Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh, đồn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi Mỗi thí sinh có số báo danh số tự nhiên khoảng từ đến 907 Chứng minh chọn học sinh đồn có tổng số báo danh chia hết cho Hết -Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………… .……; Số báo danh: … ; Phòng thi số: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI (Hướng dẫn chấm có 04 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 07/03/2019 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Câu Ý Đáp án Điểm Gọi số cần lập có dạng abcd  2019 Trường hợp a  Có cách chọn a a  3, 4,5, 6, 7,8,9 Có cách chọn b ( Trừ chữ số chọn cho a ) 1,25 Có cách chọn c ( Trừ chữ số chọn cho a , b ) Có cách chọn d ( Trừ chữ số chọn cho a, b, c ) Trường hợp có 7.9.8.7  3528 ( số) Trường hợp a  2, b  (3,0đ) Có cách chọn b Có cách chọn c 0,75 Có cách chọn d Trường hợp có 8.8.7  448 (số ) Trường hợp a  2, b  0, c  Có cách chọn c Có cách chọn d 0,5 Trường hợp có 7.7  49 (số) Như vậy, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán 3528  448  49  4025 ( số) Ta có: A  3n3  15n   n3  n  6n    ( n  1) n( n  1)  6n  Ý Với số nguyên n, (n  1) n( n  1)  6n chia hết cho (2,0) Vậy A  3 (n  1)n(n  1)  6n  chia hết cho 18 (5,0đ) Gọi số ô tô lúc đầu x với x   ; x  Số học sinh tham quan 12 x  Theo giả thiết số xe x – số học sinh đồn chia cho tất xe Khi xe chở y học sinh với y   ;  y  16 Ý2 Ta có:  x  1 y  12 x  (3,0) 12 x  13  y  12  x 1 x 1 Vì x, y   nên x  1 Ư(13)  1;13 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Với x    x  suy y  25 (loại) 0,5 Với x   13  x  14 suy y  13 (thỏa mãn) 0,5 Vậy đồn tham quan có 14 tơ 169 học sinh M F A Q 1(cm) E B 0,5 N P D C Ý Đáy hộp hình chữ nhật có kích thước (2,0) MQ  BE  2.1  2(cm) QP  FD  2.1   cm  0,5 Chiều cao hộp chiều cao nến 0,5 (6,0đ)  Thể tích khối hộp V  3.20  40 cm3  0,5 C P A M I H N K O Ý 2a (2,0) B Q D a) Ta có: MQ đường trung bình tam giác AID   QMN  Tương tự BCD   NPQ  Suy MQ / / AD  DAB 1,0   BCD  (hai góc nội tiếp chắn cung) có DAB   NPQ  Suy QMN 0,5 Suy tứ giác MPNQ nội tiếp Vậy bốn điểm M, P, N, Q thuộc đường tròn 1 Vì AB  CD nên SMPNQ   MN PQ   AB  CD   ( AB  CD ) 16 0,5 Kẻ OH  AB H , OK  CD K, ta có : AB  CD  4( AH  CK )  4( R  OH  R  OK ) 1,0 0,5  4(2 R  KH )  4(2 R  OI ) Ý 2b (2,0) Suy S MPNQ  (2 R  OI ) (không đổi) Vậy S MPNQ đạt giá trị lớn (2 R  OI ) đạt : AB  CD  OH  OK  OKIH hình vng 0,5  AB CD lập với OI góc 45o  x  1  Điều kiện  y  5  y  ( x  1)  0,25 Từ phương trình (2) ta có x  10 x3 y  x  xy  x   x ( x  y )  x( x  y )   x( x  y )(5 x  1)    x  2y 0,25 Với x  thay vào (1) ta có:   y   y    y   y  0,25   y    y   y   y  y2   y  0,25 Với: x  y Thay vào phương trình (1) ta Ý1 (2,0) (4,0đ) x    x   x  ( x  1)   Đặt t  x    x   x   x  Thay vào phương trình (*) ta có: t  x    x  ( x  1)(4  x )  (*) t2   t  5 t2    t  2t  15    t  x  Khi t   x   x    x  x    x  Ý2 0,5  3 Tóm lại, hệ có nghiệm  x; y    0;0  ,  3;   2 Nếu chia trục số thành hai phần số 0,thì số (2 x  1), (2 y  1), (2 z  1) ln tồn hai số nằm phía, khơng tính tổng qt giả sử 0,5 0,5 (2,0)  x  1 y  1    x  y   xy   z  x  y   xyz  z Từ x  y  z  xyz  suy  z  xyz  x  y  xy  xyz  xy  z  1  xy  Vì P  xy  yz  zx  xyz  Với x  y  z  0,5 1 z 1 z z   2 0,5 1 P Vậy giá trị lớn P 2 0,5 Trước hết, ta chứng minh bổ đề “trong số tự nhiên bất kì, tồn số có tổng chia hết cho 3.” Thật vậy, Với số tự nhiên chia cho 3, ta chọn hai trường hợp sau 0,5 TH1 Cả ba số chia cho có số dư giống suy tổng ba số chia hết cho TH2 Ba số chia cho ba có số dư đơi khác  3k ; 3m 1; 3n   , suy tổng ba số chia hết cho (2,0đ) Xét 17 số tự nhiên tuỳ ý Chia chúng thành tập, có 5, 5, phần tử Trong tập, ta chọn số có tổng là: 3a1 , 3a2 , 3a3  a1 , a2 , a3  N  lại: 0,5 17   số, số này, chọn tiếp số có tổng 3a , cịn lại số, chọn tiếp số có tổng 3a Như vậy, ta ln chọn từ đồn nhóm, nhóm có thí sinh mà tổng số báo danh nhóm 3a1 ,3a2 , 3a3 ,3a4 ,3a5 0,5 Trong số a1 , a2 , a3 , a4 , a5 có số ai1 , , có tổng chia hết cho Như vậy, học sinh tương ứng có tổng số báo danh là: 0,5 3ai1  3ai  3ai   ai1    Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác , lập luận chặt chẽ chấm điểm tối đa - Điểm tồn khơng làm trịn Hết ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI (Hướng dẫn chấm có 04 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 – 20 19 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 07/03/20 19 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH... (5,0đ) Gọi số ô tô lúc đầu x với x   ; x  Số học sinh tham quan 12 x  Theo giả thi? ??t số xe x – số học sinh đồn chia cho tất xe Khi xe chở y học sinh với y   ;  y  16 Ý2 Ta có:  x  1 y ... CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Câu Ý Đáp án Điểm Gọi số cần lập có dạng abcd  20 19 Trường hợp a  Có cách chọn a a  3, 4,5, 6, 7,8 ,9? ?? Có cách chọn b ( Trừ chữ số chọn cho a ) 1,25 Có cách chọn c ( Trừ