Đề thi chọn HSG toán 12 cấp tỉnh năm 2018 2019 sở GD và đt gia lai

Vũ Ngọc Thành Latex hóa KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI 2018-2019 MƠN THI: TỐN 12-BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYÊN ĐỀ 2x + có đồ thị (H ) đường thẳng d : y = (m2 + 1) x − (với m x−1 tham số) Tìm tất giá trị m để d cắt (H ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 Câu Cho hàm số y = cho biểu thức P = 12( x1 + x2 ) + 11 x1 x2 đạt giá trị lớn Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (H) d 2x + = ( m2 + 1) x − ⇔ ( m2 + 1) x2 − ( m2 + 5) x + = x−1 (do x = khơng nghiệm phương trình) Đường thẳng d cắt (H) hai điểm phân biệt 2 ⇔ ( m2 + 5) − 4( m2 + 1) > ⇔ ( m2 + 3) + 12 > Suy ∀m ∈ R d ln cắt (H) hai điểm phân biệt m2 + ; x1 x2 = 2 m +1 m +1 59 m2 + + 11 = 12 + ≤ 71 P = 12( x1 + x2 ) + 11 x1 x2 = 12 2 m +1 m +1 m +1 Ta có x1 + x2 = Do P đạt giá trị lớn 71 m = Vậy m = giá trị cần tìm STRONG TEAM TỐN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUN ĐỀ Câu Giải phương trình sau tập hợp số thực x4 − x3 + x2 + x = x2 − x 7x − log7 (6 x + 1) − = Lời giải x4 − x3 + x2 + x = x2 − x ⇔ ( x2 − x) − 3( x2 − x) − x2 − x = Đặt t = x2 − x , t ≥ , phương trình trở thành t4 − t2 − t = ⇔ t = 0; t = 2; t = −1 (loại) Với t = suy x = 0, x = Với t = suy x = −1, x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0, x = , x = −1, x = Vũ Ngọc Thành Latex hóa Điều kiện x > − Đặt y = log7 (6 x + 1) , y = x + Kết hợp với phương trình cho ta có hệ 7x = y + y = 6x + Suy x − y = y − x ⇔ 7x + x = y + y (1) Xét hàm số f ( t) = 7t + t Ta có f ( t) = 7t ln + > 0, ∀ t ∈ R nên hàm số f đồng biến R Do (1) ⇔ f ( x) = f ( y) ⇔ x = y Suy 7x − x − = (*) Xét hàm số g( x) = 7x − x − khoảng − ; +∞ Ta có g ( x) = 7x ln − 6; g ( x) = 7x (ln 7)2 > nên đồ thị hàm số g lõm khoảng − ; +∞ Do (*) có khơng q hai nghiệm thuộc − ; +∞ Mà g(0) = 0, g(1) = nên x = 0, x = tất nghiệm (*) Vậy nghiệm phương trình cho x = 0, x = STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYÊN ĐỀ n Câu Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển (1 + x + x2 ) , biết n số tự nhiên 2n = 512 thỏa mãn hệ thức C2n + C 2n + C 2n + · · · + C 2n Lời giải Ta có 2n + · · · + C 2n = 512 ⇔ + C 2n C 2n + C 2n ⇔ ⇔ (1 + x + x2 ) = [1 + x(1 + x)]5 = C 5k x k (1 + x)k = Hệ số cần tìm k k=0 i =0 k=0 Vì số hạng chứa x5 nên 2n (C + C 2n + C 2n + · · · + C 2n ) = 512 2n 2n = 512 n=5 i+k=5 i, k ∈ N, i ≤ k C 55 C 50 + C 41 C 54 + C 32 C 53 C 5k C ki x k+ i , ( i, k ∈ N, i ≤ k) , giải ta i=0 k=5 ; i=1 k=4 ; i=2 k=3 = 51 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYÊN ĐỀ Câu Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, C A = b , h a độ dài đường cao xuất phát a từ đỉnh A b + c = + h a Chứng minh tam giác ABC Lời giải Vũ Ngọc Thành Latex hóa Ta có b+c = a + ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ a 2S ABC + a a b + c = + ( b sin C ) sin(B + C ) sin B + sin C = + sin B sin C 3 sin B + sin C = sin B( cos C + sin C ) + sin C ( cos B + sin B) 2 2 π π − + sin C cos B − −1 = sin B cos C − 3 π π cos B − = cos C − =1 3 π B=C= b+c = Vậy tam giác ABC STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYÊN ĐỀ Câu Một bóng cao su thả rơi từ độ cao h = 18m Sau lần chạm đất, bóng lại nảy lên cao độ cao lần rơi trước Giả sử bóng rơi nảy theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài đoạn đường bóng di chuyển từ lúc thả đến lúc bóng khơng nảy Lời giải Sau lần chạm đất đầu tiên, bóng nảy lên độ cao h1 = h Tiếp theo, bóng rơi từ độ cao h1 , chạm đất nảy lên độ cao h2 = h1 Sau bóng lại rơi từ độ cao h2 tiếp tục Sau lần chạm đất thứ n, bóng nảy lên độ cao h n = h n−1 Tổng độ dài đoạn đường bóng từ lúc thả đến lúc bóng khơng nảy d = (h + h1 + h2 + · · · + h n + · · · ) + (h1 + h2 + · · · + h n + · · · ) d tổng hai cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q = Do d = h h1 + = 126 m 1− q 1− q , có số hạng đầu h, h1 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYÊN ĐỀ Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn tâm I có phương trình ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = , tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường phân giác góc A có phương trình x − y − = Biết hai điểm A I cách đường thẳng BC điểm A có hồnh độ dương Tính diện tích tam giác ABC Vũ Ngọc Thành Latex hóa Lời giải Ta có I (1; −1) Tọa độ giao điểm đường phân giác góc A (I) nghiệm hệ phương trình ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = x− y−1 = ⇔ x = 2; y = x = −1; y = −2 Suy có hai giao điểm A (2; 1), A (−1; −2) Đường thẳng BC vng góc A’I nên phương trình BC có dạng: x + y + m = (BC ⊥ A I ) d ( A ; BC ) = d ( I ; BC ) ⇔ |4 + + m | Phương trình BC: x + y − = = |2 − + m | ⇔ m = −3 − 21 −3 + 21 + 21 −3 − 21 ; ), ( ; ) 5 5 1 84 2 21 Vậy diện tích tam giác ABC S ABC = BC.d ( A ; BC ) = = 2 5 Tìm tọa độ điểm B, C là: ( STRONG TEAM TỐN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUN ĐỀ Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , chiều cao h không đổi Gọi M, N hai điểm di động hai cạnh BC, CD cho góc M AN = 450 Đặt BM = x Tìm x theo a cho thể tích khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ Lời giải Vũ Ngọc Thành Latex hóa h AM.AN 12 Đặt M AB = α ,00 ≤ α ≤ 450 , N AD = 450 − α a2 AB AD a2 = AM.AN = = cosα cos(450 − α) cosα( cosα + sin α) + sin(2α + 450 ) Vs.AMN nhỏ ⇔ AM.AN nhỏ ⇔ + sin(2α + 450 ) lớn ⇔ α = 22, 50 Ta có Vs.AMN = h.S AMN = Vậy với x = a tan 22, 50 = a( − 1) thể tích khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYÊN ĐỀ Câu Cho a, b, c ba số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a ≥ b ≥ c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = b c 5a + + b+a c+b a+c Lời giải   1 Biến đổi M =  a+ 2 1+ b 1+  + b 1+ c a c 1 Ta có bất đẳng thức + ≥ , (∀ x, y > 0, x y ≥ 1) 1+ x 1+ y 1+ xy 1 2 Thật + ≥ ⇔ x − y ( x y − 1) ≥ 0, ∀ x, y > 0, x y ≥ 1+ x 1+ y 1+ xy + Do M ≥ a 1+ c 1+ a c 5t 5t + a + = Đặt t = Vì a ≥ b ≥ c > nên t ≥ ⇒ t ≥ t Suy M ≥ c 1+ t 1+ t t+1 5t + , ta có f ( t) = Xét hàm số f ( t) = > 0, ∀ t ∈ [1; +∞) nên f ( t) đồng biến [1; +∞) t+1 ( t + 1)2 Do f ( t) ≥ f (1), ∀ t ≥ Vậy Mmin = f (1) = , t = ⇔ a = b = c ... VD-VDC-ĐỀ THI- CHUN ĐỀ n Câu Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển (1 + x + x2 ) , biết n số tự nhiên 2n = 512 thỏa mãn hệ thức C2n + C 2n + C 2n + · · · + C 2n Lời giải Ta có 2n + · · · + C 2n = 512. .. ) = 512 2n 2n = 512 n=5 i+k=5 i, k ∈ N, i ≤ k C 55 C 50 + C 41 C 54 + C 32 C 53 C 5k C ki x k+ i , ( i, k ∈ N, i ≤ k) , giải ta i=0 k=5 ; i=1 k=4 ; i=2 k=3 = 51 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI- CHUYÊN... tổng hai cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q = Do d = h h1 + = 126 m 1− q 1− q , có số hạng đầu h, h1 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI- CHUYÊN ĐỀ Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn tâm