Định nghĩa 1.Giả sử i1, i2, …, in là các số nguyên dương, ij 2, j = 1, …, n Số nguyên dương m được gọi là có tính chất (i1, i2, …, in ;2)-Ramsey, nếu với mọi cách tô màu các cạnh của Km bởi n màu 1, 2, …., n, thì trong Km luôn tồn tại Kijmàu j với j {1, …, n} nào đó.
Số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất (i1, i2, …, in ;2)-Ramsey gọi là số Ramsey R(i1, i2, …, in ;2).
Ta thấy rằng nếu n=2 thì R(i1, i2 ;2) chính là số Ramsey R(i1, i2 ) 2.5.1. Mệnh đề 15. R( 2, 2,..., 2;2)= 2
n
14 2 43
2.5.2. Mệnh đề 16. R(3,3,3;2)=17.
Chứng minh.
Xét một cách tô màu cạnh nào đó của K17 bằng 3 màu 1,2,3. Chọn đỉnh v bất kỳ.
Xét 16 đỉnh còn lại. Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 6 đỉnh có cạnh nối với v được tô cùng màu i1, 2,3. Kí hiệu S là tập 6 đỉnh đó. Nếu trong S có 2 đỉnh s, t được nối bằng cạnh màu i thì tam giác với ba cạnh v, s, t là K3 màu i. Ngược lại, nếu các cạnh nối các đỉnh trong S chỉ được tô bằng 2 màu khác i, thì từ R(3,3) = 6 suy ra tồn tại K3 có màu ji.
Suy ra 17 có tính chất R(3,3,3;2) –Ramsey.
Ta nhận thấy 16 không có tính chất R(3,3,3;2) –Ramsey. Vậy R(3,3,3;2) = 17.
Hình vẽ minh hoạ, hình 2.5
32
Định nghĩa 2. Cho các số nguyên dương n 2, r. Giả sử i1,…, in là các số nguyên dương, ijr , j = 1,…,n. Số nguyên dương m được gọi là có tính chất (i1,…,in;r)-Ramsey, nếu mệnh đề sau là đúng:
Nếu S là tập m phần tử và các tập con r phần tử của S được phân vào n lớp C1, …, Cn thì tồn tại j{1,…,n} sao cho trong S tìm được tập con lực lượng ij thoả mãn các tập con r phần tử của nó đều thuộc lớp Cj.
Số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất (i1,…,in;r)-Ramsey gọi là số Ramsey R(i1,…,in;r).
2.5.3. Mệnh đề 17 (Ramsey 1930).
Cho các số nguyên dương n2, r. Giả sử i1,…,in là các số nguyên dương, ijr j = 1,…,n. Khi đó tồn tại số Ramsey R(i1,…,in;r).
Hình 2.5
33
2.5.4. Mệnh đề 18. R(i ,…,i ;1) = i +…+i - n + 1.1 n 1 n Chứng minh.
Đặt m = i1+…+in- n + 1.
Trước hết ta chỉ ra rằng m có tính chất (i1,…,in;1)-Ramsey. Cho S là tập m phần tử.
Ta phân các phần tử của S vào n lớp C1,…,Cn .
Nếu |Cj|ij-1, j = 1,…,n thì m = |C1|+…+|Cn|i1+…+in-n < m, vô lí. Vậy tồn tại j thoả |Cj|ij. Tập con ij phần tử của Cj có tất cả phần tử thuộc lớp Cj. Vậy m có tính chất (i1,…,in;1)-Ramsey.
Bây giờ ta chỉ ra rằng m-1 = i1+…+in-n không có tính chất (i1,…,in;1)- Ramsey. Xét tập S có m-1 phần tử. ta phân các phần tử của S vào các lớp C1,…,Cn sao cho |Cj| = ij - 1j = 1,…,n. Như vậy với mọi j sẽ không tồn tại tập con ij phần tử thuộc cùng một lớp Cj. Vậy m-1=i1+…+in – n không có tính chất (i1,…,in;1)- Ramsey.
Vậy R(i1,…,in;1) = i1+…+in - n + 1.
- Hệ quả. R(2, 2,..., 2;1) 1
n
n 14 2 43
34
Chương 3. ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 3.1. Ứng dụng của số Ramsey R(3,3)
Bài toán 1. Có 6 đội bóng thi đấu với nhau ( mỗi đội phải thi đấu với 5 đội khác). Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào.
Giải.
Ta có thể xem 6 đội bóng như là 6 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Hai đội đá với nhau hoặc không đá với nhau xem như hai điểm nối với nhau bởi cạnh màu xanh hoặc đỏ. Khi đó ta có đồ thị K6, theo mệnh đề 1, R(3,3) = 6, nên luôn tồn tại một K3 xanh hoặc K3 đỏ .Vậy luôn tồn tại 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào.
Bài toán 2. Cho trước một nhóm 6 người bất kỳ. Chứng minh rằng luôn có một nhóm con gồm 3 người trong đó họ quen nhau từng đôi một hoặc họ không quen nhau từng đôi một.
Giải.
Ta có thể xem 6 người bất kì như là 6 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Hai người quen nhau hoặc không quen nhau xem như hai điểm nối với nhau bởi cạnh màu xanh hoặc đỏ. Khi đó ta có đồ thị K6 , theo mệnh đề 1, R(3,3) = 6, nên luôn tồn tại một K3 xanh hoặc K3 đỏ. Vậy luôn tồn tại một nhóm con 3 nguời quen nhau hoặc không nhau.
Bài toán 3. Trên đường tròn cho 16 điểm tô bởi 3 màu: xanh (X), đỏ (Đ), vàng (V). Các dây cung nối 2 điểm trong 16 điểm trên được tô bởi 2 màu trắng (T), đỏ. Chứng minh rằng ta luôn có 3 trong 16 điểm trên tô cùng màu và 3 cạnh của nó cũng được tô cùng màu.
Giải.
Theo nguyên lý Dirichlet có 6 điểm tô cùng màu. Hai điểm được nối với nhau bởi cạnh màu trắng hoăc màu đỏ nên ta có một đồ thị K6. Theo mệnh đề 1, R(3,3) = 6, nên luôn tồn tại một K3 trắng hoặc K3 đỏ .Vậy ta luôn có 3 trong 16 điểm trên tô cùng màu và 3 cạnh của nó cũng được tô cùng màu.
35
Bài toán 4. IMO 1992. Trong không gian, cho 9 điểm sao cho không có bất cứ hệ 4 điểm nào trong số đó đồng phẳng. Cứ hai điểm thì được nối một đoạn thẳng(cạnh), mỗi cạnh được tô màu xanh hoặc đỏ, hoặc không tô gì cả. Tìm giá trị n nhỏ nhất sao cho hễ có đúng n cạnh được tô màu thì tập hợp các cạnh được tô đó phải có một tam giác có cả 3 cạnh cùng màu.
Giải.
Nếu chọn 6 điểm bất kì mà cả 15 cạnh đều được sơn màu xanh hoặc đỏ thì đồ hình tạo bởi 6 điểm này sẽ chứa một tam giác với 3 cạnh cùng màu.
Thật vậy, ta có một đồ thị K6, theo mệnh đề 1, R(3,3) = 6, nên luôn tồn tại một K3 xanh hoặc K3 đỏ . Vậy luôn tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu.
Giờ ta xét hệ gồm 9 điểm. Nếu có ba cạnh không màu, thì số cạnh được tô màu là 36-3 = 33, ta sẽ có một tập con 6 điểm như trường hợp đã xét trên.
Vậy với n = 33 thì bảo đảm có được tam giác với 3 cạnh cùng màu.
Mặt khác, nếu chỉ có 32 cạnh được sơn(trong hệ 9 điểm) thì không bảo đảm có được tam giác với 3 cạnh cùng màu.Ví dụ đồ hình sau:( Những cặp đỉnh không nối với nhau tượng trưng cho việc không tô màu).
Vậy số cần tìm là 33.
Hình 3.1 A B I
C D
E F
H G
36