Chuyên đề hằng đẳng thức và ứng dụng Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.[r]
(1)Chuyên đề đẳng thức ứng dụng Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG A Áp dụng nhựng đẳng thức
1 Bình phương tổng: 2 2
2AB B A
B
A =AB24AB Bình phương hiệu: 2 2 2
2AB B A
A B B
A = AB24AB
3 Hiệu hai bình phương: A2 B2 ABAB
4 Lập phương tổng: AB3 A33A2B3AB2B3 A3B33ABAB Lập phương hiệu: AB3 A33A2B3AB2B3 A3B33ABAB Tổng hai lập phương: A3B3 ABA2ABB2AB33AB.(AB) Hiệu hai lập phương: A3 B3 ABA2 ABB2(AB)3 3AB.(AB) * Một số đẳng thức tổng quát
1 an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)
2 a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) (a + b)n = an + nan-1b +
2
) (n n
an-2b2+…+
2
) (n n
a2bn-2 +nabn-1 + bn (a -b)n = an - nan-1b +
2
) (n n
an-2b2-
…-2
) (n n
a2bn-2 +nabn-1 - bn
Bài tập1: Chứng minh đẳng thức sau :
1 ABC2 A2B2C22ABBCAC ABC3 A3B3C33AB.BC AC 2A2B2AB 2 AB2
4 A2B2.X2 Y2AX BY 2 AX BY2
Bài tập 2 Tính :
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)
A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005
A = ( + 2002 ) 2005 : = 2011015
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
(2)B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – – 264
B = -
* Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức A2 – B2
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x +
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15
Giải a/ A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = ( x - 2)2 + > Dấu “ =” xảy x – = x =
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x =
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy x – = x =
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A -16 x =
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x - 2)2 – < - Dấu “ =” xảy x – = x =
Vậy giá trị lớn biểu thức A - x = * Chú ý:
Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần: - Chứng minh A > m với m số - Chỉ dấu “=” xảy
- Kết luận: Giá trị nhỏ A m ( kí hiệu minA ) Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần: - Chứng minh A < t với t số
- Chỉ dấu “=” xảy
- Kết luận: Giá trị lớn A t ( kí hiệu maxA )
Bài tập 4: Chứng minh nếu( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c
Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )
a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac a2 + b2 + c2- ab - bc – ac =
2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac =
( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 =
( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 = a = b hay b = c hay c = a
(3)Chuyên đề đẳng thức ứng dụng * Chú ý:
Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 5 Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n N)
Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19
Vì ( 25n – 6n ) ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n ) 19 19.6n 19 Vậy 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 11n + 12.122n
= 12.( 144n – 11n) + 133.11n 133 Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133
* Chú ý:
Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1) (an – bn) (a- b)
Bài tập 6 Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Giải
2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 =
(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 =
( x + y + z)2 = ; ( x + 5)2 = ; (y + 3)2 = x = - ; y = -3; z =
* Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 7: Cho x = số chữ
n 15
11 ; y =
1 số chữ
n 19
11 Chứng minh xy + số phương
Ta có : y =
1 số chữ
n 19
11 =
1 số chữ
n 15
11 + = x +
Do đó: xy + = x(x + 4) + = x2 + 4x + = ( x + )2 hay xy + =
1 số chữ n
2
17
11 số phương B Ứng dụng đẳng thức
(4)= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)
= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c) = (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) = (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) =
2
(a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]
Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 – 3abc = =>
2
(a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] =
=>
0 ) ( ) ( ) (
0
2
2
c a c b b a
c b a
=>
c b a
c b
a
Áp dụng nhận xét vào giải số dạng toán: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức
DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử Ta thấy : x – y + y – z + z – x = => áp dụng nhận xét ta có: (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)
Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử
Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = => áp dụng nhận xét ta có:
(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2) Bài : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3 = (x+y)3 + (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3
(5)Chuyên đề đẳng thức ứng dụng Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3 Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c =>x+y+z = a+b+c
=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
Bài 1: Cho 1 11 0
z y
x tính P = 2 y2
zx x yz z xy Từ 1 11 0
z y
x => x y z xyz
3 1 3
3
=> P = 2 2 2 3 3 3 13 13 13 3
xyz xyz z y x xyz y xyz x xyz z xyz y zx x yz z xy
Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = a c c b b a 1
Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => c b a c b a
Nếu a+b+c = A = 1
b c a b c c c a c c b b b a
Nếu a = b = c A = (1+1) (1+1) (1+1) = => A có giá trị: -1
Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 Tính P = x z z y y x 1
Đặt a= xy, b = yz, c =zx
Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => c b a c b a
Nếu a + b + c = hay xy + yz + xz = (x+z) y = -xz
P =
xy y z x zx x z y yz z y x x x z z z y y y x x z x y y
x
1
1
(6)Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8
Bài 4: Cho a + b + c = tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3 Ta biến đổi b-c = b-a+a-c
Ta A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c) Vì a+b+c=0 -> A=0
Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B =
xzy z y x
3
x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B = 3
3 3
xyz xyz xyz
z y x
Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc a+b+c 0 tính giá trị biểu thức M=
2
2 2
c b a
c b a
ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) =
=
1 2
b c a b b c c a a
Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = => a=b=c
=> M =
1
3
2
2 2
a a a
a a a
Bài 7: Cho a+b+c=0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức
A =
2 2
a b c
cbcaab; B= 2
2
2
2
2
2
b a c
c a
c b
b c
b a
a
Ta có A =
abc c b a3 3
vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc
A = 3abc
abc
B = 2 2 2
2
2
2
2
2
b a c
c a
c b
b c
b a
a
Từ a+b+c= => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac
Nên B=
abc c b a ab c ac b bc a
a
2
2
3 3 2
2
(7)Chuyên đề đẳng thức ứng dụng -> B =
2
3
abc abc
Bài 8: Cho a+b+c= tính giá trị biểu thức:
A = a b b c c a
c a b
c a
b c b
a b a
c
Đặt B =
b a c a
c b c
b
a
Ta có B
ab
a ac bc b b a
c b
a c a
c b b a
c b
a
c
1
= +
abc c ab
c ab
b a c b a b a
c 2
1
Tương Tự B ;
3
abc a c
b a
B ;
2
3
abc b a
c b
Bậy A =
abc c b a abc
b abc
a abc
c3 3 3
3 2
1
Vì a+b+c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = +2.3 9
abc abc
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3
(3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = => (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = =>
=> Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = =>
Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0 =>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2
Vì x;y Z ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1) 2(-1)
chỉ xảy trường hợp
1
2
1
y x
y x
1
y x
Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vơ nghiệm KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1
(8)x3 +y3+z3- 3xyz=1
Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 <=>
(x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1
Ta xét x2+y2+z2-xy-xz=
2
[(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ] nên xảy
) ( )
1 (
2 2
zx yz xy z y x
z y x
Từ ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 3 Từ 2,3 => xy + yz + zx = <2-3>
Nên x2 +y2 + z2 = giả sử x2 y2 z2 =>z = 0; y = 0; x = 1
Nếu
0
z y x
không t/m
Nếu
0
z y x
T/m phương trình
và TH:
0
z y x
và
1 0
z y x
DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác gì?
Ta có a3 +b3+c3 = 3abc
c b a
c b
a
Vì a,b,c cạnh tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => ABC Là tam giác
Bài 2: Cho a+bc+c+d = cmr a3+b3+c3+d3 = (d+c) (ab-cd)
(9)Chuyên đề đẳng thức ứng dụng =3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b)
= 3(c+d)(ab-cd)
Bài 3: CMR x+y+z = 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) từ x+y+z = => -x= y+z => (y+z)5= -x5
=>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5 =>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = =>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm
C Sử dụng đẳng thức biến đổi đồng chất
Bài tập : Cho ab0, biết
a/ 3a2 3b2 10ab Tính
b a
b a P
b/ 2a2 2b2 5ab Tính
b a
b a Q
a Xét
4 10
6 10
3
6 3
2
2
2 2
2
2
2
ab ab
ab ab ab
b a
ab b
a b ab a
b ab a
b a
b a
P Mà
2
0
P
P b ( Tương tự ) Xét E2 9E 3
Bài tập 2:
a/ Cho abc0và a2 b2 c2 14 Tính Aa4 b4 c4
b/ Cho xyz 0 x2 y2 z2 a2 Tính Bx4 y4 z4theo a
a/ Ta có: 142 a2 b2 c22 a4 b4 c4 1962a2b2b2c2c2a2
Ta có:
2
0
2 2
b c a b c ab bc ac a b c a
2 49 2 2 22 ( )49 2 2 2 49
ab bc ac a b b c a c abca b c a b b c a c
Vậy Aa4 b4 c4 1962.4998
(10)
2
2
2
4
2 2 4
2 2 2 4
4 a
B a z
y x z y x z
x z y y x z y
x
Bài tập 3: Cho x0và a
x
x1 Tính biểu thức sau theo a
2
2
x x
A 13
x x
B 16
x x
C 17
x x
D
Dể dàng chứng minh được, n>1, ta có:
1 1
1 1 1
n n n
n n
n
x x x x x x x
x
Ta tính Aa2 2 Ba3 3a C a6 6a4 9a2 2 Da7 7a1514a3 7a
Bài tập 4: Phân tích số sau thừa số
a/ a2bcb2cac2ab b/ a3 4a2 29a24à
c/ x4 6x3 7x2 6x1
d/ x3 6x2 11x6
e/ x1 x3 x5 x715
f/ xy 3 yz 3 zx3 Gợi ý:
a/ Thay bc(ca)(ab)
Sau thay, ta abc2 a2cab2 a2abcaca baabcacb
b/ Đáp số: a1a3a8
c/ Đáp số: x2 3x12 d/ Đáp số: x1x2x3
e/ Đáp số: 8 10. 6 2
x x x
x
f/ Đặt xya yzb zxc
3
0 a b c a b c
c b
a
a b c a b c ab a b abc
ab b
a3 3 3 3 ( )3
x yy zz x