Chuyên đề: Hằng đẳng thức và ứng dụng – Toán lớp 8

Chuyên đề hằng đẳng thức và ứng dụng Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.[r]

Chuyên đề đẳng thức ứng dụng Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG A Áp dụng nhựng đẳng thức

1 Bình phương tổng:  2 2

2AB B A

B

A    =AB24AB Bình phương hiệu:   2 2 2

2AB B A

A B B

A      = AB24AB

3 Hiệu hai bình phương: A2 B2 ABAB

4 Lập phương tổng: AB3  A33A2B3AB2B3  A3B33ABAB Lập phương hiệu: AB3  A33A2B3AB2B3  A3B33ABAB Tổng hai lập phương: A3B3 ABA2ABB2AB33AB.(AB) Hiệu hai lập phương: A3 B3 ABA2 ABB2(AB)3 3AB.(AB) * Một số đẳng thức tổng quát

1 an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)

2 a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) (a + b)n = an + nan-1b +

2

) (n n

an-2b2+…+

2

) (n n

a2bn-2 +nabn-1 + bn (a -b)n = an - nan-1b +

2

) (n n

an-2b2-

…-2

) (n n

a2bn-2 +nabn-1 - bn

Bài tập1: Chứng minh đẳng thức sau :

1 ABC2  A2B2C22ABBCAC ABC3  A3B3C33AB.BC AC 2A2B2AB 2 AB2

4 A2B2.X2 Y2AX BY 2 AX BY2

Bài tập 2 Tính :

a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)

A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005

A = ( + 2002 ) 2005 : = 2011015

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – – 264

B = -

* Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức A2 – B2

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x +

b/ B = x2 + 8x

c/ C = - 2x2 + 8x – 15

Giải a/ A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = ( x - 2)2 + > Dấu “ =” xảy  x – =  x =

Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x =

b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy  x – =  x =

Vậy giá trị nhỏ biểu thức A -16 x =

c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x - 2)2 – < - Dấu “ =” xảy  x – =  x =

Vậy giá trị lớn biểu thức A - x = * Chú ý:

Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần: - Chứng minh A > m với m số - Chỉ dấu “=” xảy

- Kết luận: Giá trị nhỏ A m ( kí hiệu minA ) Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần: - Chứng minh A < t với t số

- Chỉ dấu “=” xảy

- Kết luận: Giá trị lớn A t ( kí hiệu maxA )

Bài tập 4: Chứng minh nếu( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c

Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )

a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac a2 + b2 + c2- ab - bc – ac =

2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac =

( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 =

( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 = a = b hay b = c hay c = a

Chuyên đề đẳng thức ứng dụng * Chú ý:

Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Bài tập 5 Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n  19 ( n N) b/ 11n+2 + 122n+1  133 ( n N)

Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n  19

Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n )  19 19.6n  19 Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n N)

b/ 11n+2 + 122n+1  133 = 112 11n + 12.122n

= 12.( 144n – 11n) + 133.11n  133 Vì (144n – 11n)  (144 – 11) nên (144n – 11n)  133

* Chú ý:

Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1) (an – bn)  (a- b)

Bài tập 6 Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Giải

2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 =

 (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) =  ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 =

 ( x + y + z)2 = ; ( x + 5)2 = ; (y + 3)2 = x = - ; y = -3; z =

* Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Bài tập 7: Cho x =  số chữ

n 15

11 ; y = 

1 số chữ

n 19

11 Chứng minh xy + số phương

Ta có : y = 

1 số chữ

n 19

11 = 

1 số chữ

n 15

11 + = x +

Do đó: xy + = x(x + 4) + = x2 + 4x + = ( x + )2 hay xy + = 

1 số chữ n

2

17

11 số phương B Ứng dụng đẳng thức

= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)

= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c) = (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) = (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) =

2

(a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]

Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 – 3abc = =>

2

(a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] =

=>   

     

  

0 ) ( ) ( ) (

0

2

2

c a c b b a

c b a

=>   

 

  

c b a

c b

a

Áp dụng nhận xét vào giải số dạng toán: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức

DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ

Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử Ta thấy : x – y + y – z + z – x = => áp dụng nhận xét ta có: (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)

Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử

Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = => áp dụng nhận xét ta có:

(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2) Bài : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử

(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3 = (x+y)3 + (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3

Chuyên đề đẳng thức ứng dụng Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3 Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c =>x+y+z = a+b+c

=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:

Bài 1: Cho 1 11 0

z y

x tính P = 2 y2

zx x yz z xy   Từ 1 11 0

z y

x => x y z xyz

3 1 3

3   

=> P = 2 2 2 3 3 3 13 13 13 3

             xyz xyz z y x xyz y xyz x xyz z xyz y zx x yz z xy

Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A =                      a c c b b a 1

Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>         c b a c b a

Nếu a+b+c = A =     1

                     b c a b c c c a c c b b b a

Nếu a = b = c A = (1+1) (1+1) (1+1) = => A có giá trị: -1

Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 Tính P =                      x z z y y x 1

Đặt a= xy, b = yz, c =zx

Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc =>         c b a c b a

Nếu a + b + c = hay xy + yz + xz = (x+z) y = -xz

P =      

xy y z x zx x z y yz z y x x x z z z y y y x x z x y y

x    

                                         

 1

1

Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8

Bài 4: Cho a + b + c = tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3 Ta biến đổi b-c = b-a+a-c

Ta A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c) Vì a+b+c=0 -> A=0

Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B =

xzy z y x

   3

x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B = 3

3 3

    

 

xyz xyz xyz

z y x

Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc a+b+c 0 tính giá trị biểu thức M=

 2

2 2

c b a

c b a

 

 

ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) =

=        

1 2

      

b c a b b c c a a

Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = => a=b=c

=> M =

 

1

3

2

2 2

   

a a a

a a a

Bài 7: Cho a+b+c=0 (a  0; b 0; c  0) tính giá trị biểu thức

A =

2 2

a b c

cbcaab; B= 2

2

2

2

2

2

b a c

c a

c b

b c

b a

a

      



Ta có A =

abc c b a3 3

vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc

A = 3abc

abc 

B = 2 2 2

2

2

2

2

2

b a c

c a

c b

b c

b a

a

       

Từ a+b+c= => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac

Nên B=

abc c b a ab c ac b bc a

a

2

2

3 3 2

2  

 

Chuyên đề đẳng thức ứng dụng -> B =

2

3 

abc abc

Bài 8: Cho a+b+c= tính giá trị biểu thức:

A = a b b c c a

c a b

  

   

 

  

 



   

 c a

b c b

a b a

c

Đặt B =

b a c a

c b c

b

a 

   

Ta có B 

  



    

     



    

 

 ab

a ac bc b b a

c b

a c a

c b b a

c b

a

c

1

= +   

abc c ab

c ab

b a c b a b a

c 2

1

      



Tương Tự B ;

3

abc a c

b a

 

 B ;

2

3

abc b a

c b

  

Bậy A =  

abc c b a abc

b abc

a abc

c3 3 3

3 2

1     

Vì a+b+c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = +2.3 9

abc abc

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3

(3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = => (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = =>

=> Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = =>

Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0 =>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2

Vì x;y Z ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1) 2(-1)

chỉ xảy trường hợp     

  

  

  

1

2

1

y x

y x



  

  

1

y x

Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vơ nghiệm KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1

x3 +y3+z3- 3xyz=1

Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 <=>

(x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1

Ta xét x2+y2+z2-xy-xz=

2

[(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ]  nên xảy

  

     

  

) ( )

1 (

2 2

zx yz xy z y x

z y x

Từ ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 3 Từ 2,3 => xy + yz + zx = <2-3>

Nên x2 +y2 + z2 = giả sử x2  y2 z2 =>z = 0; y = 0; x = 1

Nếu 

    

  

0

z y x

không t/m

Nếu 

    

  

0

z y x

T/m phương trình

và TH: 

    

  

0

z y x

và     

  

1 0

z y x

DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC

Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác gì?

Ta có a3 +b3+c3 = 3abc   

 

   

c b a

c b

a

Vì a,b,c cạnh tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => ABC Là tam giác

Bài 2: Cho a+bc+c+d = cmr a3+b3+c3+d3 = (d+c) (ab-cd)

Chuyên đề đẳng thức ứng dụng =3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b)

= 3(c+d)(ab-cd)

Bài 3: CMR x+y+z = 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) từ x+y+z = => -x= y+z => (y+z)5= -x5

=>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5 =>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = =>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm

C Sử dụng đẳng thức biến đổi đồng chất

Bài tập : Cho ab0, biết

a/ 3a2 3b2 10ab Tính

b a

b a P

  

b/ 2a2 2b2 5ab Tính

b a

b a Q

  

a Xét

4 10

6 10

3

6 3

2

2

2 2

2

2

2 

  

 

    

        

  

ab ab

ab ab ab

b a

ab b

a b ab a

b ab a

b a

b a

P Mà

2

0 

 P

P b ( Tương tự ) Xét E2 9E 3

Bài tập 2:

a/ Cho abc0và a2 b2 c2 14 Tính Aa4 b4 c4

b/ Cho xyz 0 x2  y2 z2 a2 Tính Bx4 y4 z4theo a

a/ Ta có: 142 a2 b2 c22 a4 b4 c4 1962a2b2b2c2c2a2

Ta có:  

2

0

2 2

              

b c a b c ab bc ac a b c a

   2 49 2 2 22 (   )49 2 2 2 49

 ab bc ac a b b c a c abca b c a b b c a c

Vậy Aa4 b4 c4 1962.4998

   

2

2

2

4

2 2 4

2 2 2 4

4 a

B a z

y x z y x z

x z y y x z y

x              



Bài tập 3: Cho x0và a

x

x1  Tính biểu thức sau theo a

2

2

x x

A  13

x x

B  16

x x

C  17

x x

D 

Dể dàng chứng minh được, n>1, ta có: 

  

   

          

   

  

 

1 1

1 1 1

n n n

n n

n

x x x x x x x

x

Ta tính Aa2 2 Ba3 3a C a6 6a4 9a2 2 Da7 7a1514a3 7a

Bài tập 4: Phân tích số sau thừa số

a/ a2bcb2cac2ab b/ a3 4a2 29a24à

c/ x4 6x3 7x2 6x1

d/ x3 6x2 11x6

e/ x1 x3 x5 x715

f/ xy 3 yz 3 zx3 Gợi ý:

a/ Thay bc(ca)(ab)

Sau thay, ta abc2 a2cab2 a2abcaca  baabcacb

b/ Đáp số: a1a3a8

c/ Đáp số: x2 3x12 d/ Đáp số: x1x2x3

e/ Đáp số:  8 10. 6 2

x x x

x

f/ Đặt xya yzb zxc

 3

0 a b c a b c

c b

a        



a b c a b c ab a b abc

ab b

a3  3     3 3 (  )3



x yy zz x