Khi giải đợc tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở để học sinh học tốt các kiến thức về sau nh gi¶i c¸c bµi to¸n: chøng minh tÝnh chia hÕt trong ®a thøc, rót gän vµ t[r]
(1)a- phÇn më ®Çu I - Lí chọn đề tài Nh chúng ta đã biết, việc học tập môn Toán giúp cho ngời học hình thành và phát triển lực trí tuệ; giáo dục các phẩm chất đạo đức: t cách, ý chí, tình cảm; có điều kiện để hình thành giới quan khoa học Việc học toán là hoạt động mang đầy tÝnh s¸ng t¹o, t¹o ®iÒu kiÖn vµ hoµn thiÖn dÇn nh÷ng nÐt nh©n c¸ch ChÝnh ë n¬i ®©y học sinh thấy và sửa chữa đợc sai lầm, thiếu sót dù nhỏ suy luận, tính toán thiếu cẩn thận từ đó có điều kiện để so sánh và tìm đợc đờng tối u để đến chân lí Cũng chính nơi đây đã hình thành cho học sinh tính cách cần cù, nhẫn nại, ý chí vợt khó để khắc phục khó khăn Học sinh biết rung động trớc cái đẹp Toán học: cái đẹp kết quả, ứng dụng Toán học, cái đẹp lời giải ngắn gọn bài toán, đó là cảm xúc trớc vấn đề lí thú đợc đặt ra, hng phấn giải đợc vấn đề đã làm ta trăn trở Từ đó tạo hứng thú cho học sinh có say mê và hoài bão học tập, mong muốn đợc góp phần mình cho nghiệp chung đất nớc, phát triển lực t lôgíc, khả diễn đạt chính xác ý tởng mình và hình thành cảm xúc thẩm mĩ để đạt tới nhân cách hoµn thiÖn h¬n Trong nhµ trêng phæ th«ng, c¸c tri thøc vµ ph¬ng ph¸p to¸n häc gióp häc sinh häc tèt c¸c m«n häc kh¸c vµ cµng lªn c¸c líp trªn, tÝnh c«ng cô cña m«n To¸n viÖc häc c¸c m«n häc kh¸c cµng trë nªn râ rµng h¬n Trong cuéc sèng hµng ngµy c¸c kĩ tính toán, vẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ớc lợng, kĩ sử dụng các dụng cụ Toán học, máy tính điện tử là điều kiện cần có để tiến hành hoạt động ngời lao động thời kì công nghiệp hoá, đại hoá đất nớc Tuy nhiªn To¸n häc lµ khoa häc vÒ cÊu tróc tæng qu¸t, c¸c quan hÖ tæng qu¸t vµ kết trừu tợng hoá các đối tợng, qua hệ giới thực Do đó quá trình học toán, học sinh thờng gặp nhiều vớng mắc để tìm đợc lời giải và lời giải tèi u, sù suy luËn l«gÝc vµ lËp luËn chÆt chÏ gi¶i to¸n Mét sè häc sinh thêng cã tâm lí sợ sệt phải đối mặt với việc giải các bài toán Vì tôi chọn nghiên cứu chuyên đề này để bớc hình thành cho học sinh tâm lí tự tin, say mê và có hứng thó häc tËp bé m«n To¸n; Tõng bíc h×nh thµnh kÜ n¨ng, kÜ x¶o ph¸t triÓn n¨ng lùc t trí tuệ, phẩm chất đạo đức, khả ứng dụng Toán học vào học các môn học kh¸c vµ cuéc sèng hµng ngµy II - Mục đích nghiên cứu Nghiªn cøu mét sè biÖn ph¸p nh»m g©y høng thó cho häc sinh gi¶i c¸c bµi toán liên quan đến kiến thức “Phân tích đa thức thành nhân tử” chơng trình đại sè líp Th«ng qua d¹y häc mét sè bµi to¸n cô thÓ mµ h×nh thµnh cho häc sinh c¸ch thøc, kinh nghiÖm viÖc suy nghÜ t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n theo c¸c bíc: T×m hiÓu néi dung bµi to¸n, x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i, thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i, kiÓm tra vµ nghiên cứu lời giải Từ đó trang bị cho học sinh số tri thức, phơng pháp toán bíc ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ vµ t khoa häc III - §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu Do thời gian hạn hẹp, trình độ lực chuyên môn, nghiệp vụ còn hạn chế nên tôi nghiên cứu và thực chuyên đề này phạm vi: nghiên cứu số ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ “ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö” ch¬ng trình đại số lớp và đối tợng là học sinh khối 8, trờng Phổ thông sở Cao Chơng IV - NhiÖm vô nghiªn cøu T×m mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p th«ng thờng và số phơng pháp khác Từ đó phân loại dạng toán giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để Học sinh tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng và thực chơng trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải để tìm đợc lời giải tèi u V - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Trong quá trình thực chuyên đề, tôi đã sử dụng phơng pháp sau: - §iÒu tra gi¸o dôc (2) - Ph©n tÝch s¶n phÈm - Th¶o luËn nhãm - Tæng kÕt kinh nghiÖm b- néi dung Ch¬ng I - C¬ së lÝ luËn Môn Toán là môn học công cụ đợc áp dụng nhiều việc học tập các môn học khác và đợc ứng dụng rộng rãi sống hàng ngày Khi giải đợc tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là sở để học sinh học tốt các kiến thức sau nh gi¶i c¸c bµi to¸n: chøng minh tÝnh chia hÕt ®a thøc, rót gän vµ thùc hiÖn c¸c phép toán trên trờng các phân thức đại số, giải các phơng trình, rút gọn các bài toán chứa thức bậc hai, tính nhanh giá trị các biểu thức đại số các giá trị biến, Song môn Toán trờng trung học sở, bên cạnh bài toán đã có phơng pháp, thuật toán để giải còn nhiều bài toán cha có không có thuật toán để giải Điều đó đã làm cho học sinh gặp không ít khó khăn, rắc rối phải giải bài toán đó để lỗ hổng kiến thức dần xuất số học sinh, đó là nguyên nhân học sinh khó tiếp thu và chí không thể tiếp thu đợc các kiến thức Chính vì tôi chọn chuyên đề này với mục đích trang bị dÇn dÇn cho häc sinh mét sè tri thøc ph¬ng ph¸p: ph¬ng ph¸p to¸n hoc, ph¬ng ph¸p To¸n häc ho¸, nh»m rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn ë hä n¨ng lùc t khoa häc, lµm n¶y sinh nhu cầu học Toán học sinh: Học toán để năm vững các tri thức Toán học, nhằm đáp ứng các hoạt động ngời lao động sản xuất công nghiệp hoá, đại hoá đất nớc Ch¬ng II - KÕt qu¶ ®iÒu tra vµ kh¶o s¸t thùc tiÔn Lµ häc sinh sèng ë vïng nói, vïng s©u, vïng xa nªn viÖc tiÕp cËn víi c¸c ph¬ng tiện thông tin đại chúng các em còn nhiều hạn chế Đa số học sinh là em nông dân, trình độ dân trí cha cao nên học gặp khó khăn việc tự học Môi trờng học tập các em cha đợc sôi nổi, cha thật đầu t và dành thời gian cho việc tự häc Bªn c¹nh nh÷ng häc sinh cã ý thøc häc tËp cßn mét bé phËn häc sinh cha cã ý thøc tù gi¸c §a sè häc sinh giao tiÕp b»ng tiÕn d©n téc cña m×nh nªn tr×nh bµy vấn đề nào đó khả diễn đạt ngôn ngữ cha đợc chính xác và chặt chẽ Khi giải toán, học sinh thờng giải máy móc và tơng tự hoá Cha biết đào sâu kiến thức để t×m tßi ph©n tÝch lêi gi¶i, x©y dùng vµ thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i mét bµi to¸n Ch¬ng III - Gi¶i ph¸p Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phân tích tìm lời giải bài toán đó phải áp dụng phơng pháp nào, sử dụng phơng pháp nào để phân tích Từ đó trình bày lời giải, kiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i I- Ph¬ng ph¸p chung Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p th«ng thêng: - §Æt nh©n tö chung - Dùng đẳng thức - Nhãm nhiÒu h¹ng tö - Phèi hîp c¶ ba ph¬ng ph¸p trªn Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c: - Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö - Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö - Phơng pháp đổi biến II - C¸c d¹ng to¸n cña bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Phơng pháp đặt nhân tử chung VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 5x( x- 2y) +2(2y- x) ❑2 (3) a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta thÊy ®a thøc trªn cha cã nh©n tö chung v× x-2y≠ 2y-x, ®a thøc còng kh«ng có dạng khai triển hằnh đẳng thức nào V× (2y-x) ❑2 =(x-2y) ❑2 nªn ®a thøc trªn cã nh©n tö chung lµ x-2y b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: 5x( x-2y) + 2( 2y-x) ❑2 = 5x(x-2y) + 2( x-2y) ❑2 = (x-2y)[ 5x+ (x-2y)] = (x-2y)(6x-2y) =2(x-2y)(3x-y) c) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Khi phân tích đa thức trên học sinh cần nhứ đợc đẳng thức: (A –B) ❑2 = (B- A) ❑2 để tránh nhầm lẫn phân tích: 5x(x- 2y) + 2(2y – x) ❑2 = 5x(x -2y) – 2(x-2y) ❑2 , lúc đó xuất nhân tử chung là x-2y nhng việc phân tích tiếp lại đợc kết sai Phơng pháp dùng đẳng thức VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x ❑2 +4y ❑2 +4xy a)T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta nhận thấy x ❑2 và 4xy; hay 4y ❑2 và 4xy có nhân tử chung xuất nhng c¶ ba h¹ng tö trªn l¹i kh«ng cã nh©n tö chung Ta thấy 4y ❑2=¿ (2y) ❑2 , 4xy= 2.x.2y đó ta có thể áp dụng đẳng thức (A +B) ❑2 = A ❑2 + 2AB + B ❑2 để phân tích b)Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: x ❑2 + 4y ❑2 + 4xy= x ❑2 + 2.x.2y + (2y) ❑2 = (x + 2y) ❑2 d) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Ta thấy đa thức có ba hạng tử mà không có nhân tử chung, ta cần xét đó là dạng khai triển đẳng thức nào Từ đó áp dụng đẳng thức để phân tích tiÕp Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x ❑2 - zx – 9y ❑2 +3yz a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta thÊy h¹ng tö kh«ng cã nh©n tö chung vµ còng kh«ng ph¶i lµ d¹ng khai triển đẳng thức nào nên không áp dụng đợc phơng pháp đặt nhân tử chung và dùng đẳng thức để phân tích NÕu ta nhãm x ❑2 - xz – 9y ❑2 + 3yz = (x ❑2 - 9y ❑2 ) – (xz – 3yz) ta thấy nhóm có thể áp dụng đẳng thức và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp, sau đó lại xuất nhân tử chung x- 3y b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: x ❑2 - xz – 9y ❑2 + 3yz = (x ❑2 - 9y ❑2 ) – (xz – 3yz) = (x – 3y)(x + 3y) – z(x – 3y) = (x – 3y) (x + 3y – z) c) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: NÕu ta nhãm x ❑2 - xz – 9y ❑2 + 3yz = (x ❑2 - xz) - (9y ❑2 -3yz) th× ë nhóm lần lợt xuất hiên nhân tử chung nhng đặt thừa số chung nhóm ta đợc x(x – z) – 3y(3y-z) lại không có nhân tử chung để phân tích tiếp đợc đến kết cuối cùng Do đó áp dụng phơng pháp nhóm hạng tử ta cần linh hoạt nhóm các hạng tử để phân tích đợc đến kết cuối cùng Phèi hîp c¶ ba ph¬ng ph¸p trªn VÝ dô: Chøng minh r»ng 999 ❑4 + 999 chia hÕt cho 1000 a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: (4) Ta phải phân tích đợc 999 ❑4 + 999 thành tích các thừa số đó có thõa sè lµ béi cña 1000 Ta nhận nhận thấy biểu thức trên có nhân tử chung là 999 và phân tích đợc 999( 999 ❑3 +1) sử dụng đẳng thức A ❑3 + B ❑3 =(A +B )(A ❑2 - AB + B ❑2 ) để phân tích tiếp ta đợc thừa số là bội 1000 b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: 999 ❑4 + 999 = 999(999 ❑3 + 1) =999( 999 + 1)(999 ❑2 +999.1 + 1) =999 1000 (999 ❑2 +1000) ⋮ 1000 VËy 999 ❑ + 999 chia hÕt cho 1000 c) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Để chứng minh đợc tính chia hết đa thức ta cần phân tích đa thức bị chia thµnh nh©n tö vµ cã mét nh©n tö lµ béi cña ®a thøc chia Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A= 4x ❑2 -8x + a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta thÊy c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng th× kh«ng thÓ ph©n tÝch A thµnh nh©n tö v× A không có nhân tử chung, không có dạng đẳng thức nào Đa thức A có ba hạng tử nên không thể dùng phơng pháp nhóm hạng tử đợc Vậy ta cần tách ba hạng tử đó thành hai hạng tử để xuất nhóm hạng tử cho áp dụng đợc các phơng pháp thông thờng để phân tích T¸ch h¹ng tö -8x = -2x -6x Khi đó 4x ❑2 - 8x + = 4x ❑2 - 2x – 6x + = (4x ❑2 - 2x) – (6x – 3), nhóm lần lợt có nhân tử chung là 2x và Ta phân tích đợc 2x(2x – 1) – 3(2x-1) vµ cã nh©n tö chung 2x-1 b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: A= 4x ❑2 - 8x + = 4x ❑2 - 2x – 6x + = ( 4x ❑2 - 2x) – (6x – 3) = 2x( 2x – 1) – 3( 2x – 1) = ( 2x – 1)(2x – 3) c)KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Ta có thể nhóm 4x ❑2 với -6x; -2x với để phân tích tiếp Ta có thể tách hạng tử = 4-1 đó 4x ❑2 - 8x +4 – xuất dạng các đẳng thức để phân tích 4x ❑2 - 8x + – = (4x ❑2 -8x +4) – = 4(x-1) ❑2 - =[ 2(x-1) +1)][2(x-1) -1]= (2x-1)(2x-3) Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö M = 4x ❑4 + y ❑4 a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Nếu sử dụng các phơng pháp thông thờng ta không phân tích đợc Ta tăng thêm c¸c h¹ng tö cña M b»ng c¸ch thªm bít cïng mét h¹ng tö 4x ❑2 y ❑2 cã thÓ phân tích đợc đa thức trên Khi đó M = 4x ❑4 + y ❑4 + 4x ❑2 y ❑2 - 4x ❑2 y ❑2 dùng phơng pháp nhóm hạng tử để phân tích tiếp M= (4x ❑4 +4x ❑2 y ❑2 + y ❑4 ) - 4x ❑2 y ❑2 sau đó áp dụng phơng pháp dùng đẳng thức để phân tích b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: M = 4x ❑4 + y ❑4 + 4x ❑2 y ❑2 - 4x ❑2 y ❑2 =(4x ❑4 +4x 2 2 ❑ y ❑ + y ❑ ) - 4x ❑ y ❑ =[(2x) ❑2 + y ❑2 ] ❑2 - (2xy) ❑2 (5) ❑ +2xy] = [(2x) ❑2 +y ❑2 - 2xy][(2x) ❑2 +y = (4x ❑2 +y ❑2 - 2xy)(4x ❑2 +y ❑2 +2xy) c)KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Nh để phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thêm bớt cùng hạng tử nhằm để xuất nhóm hạng tử cho có thể dùng đẳng thức đặt nhân tử chung để phân tích Phơng pháp đổi biến VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö B = x ❑2 - 2xy + y ❑2 + 3x – 3y – a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta nhận thấy nhóm các hạng tử B và phân tích B ta đợc B = (x ❑2 - 2xy + y ❑2 ) + (3x – 3y) – = (x-y) ❑2 + 3(x-y) – l¹i khôngthấy có nhân tử chung, không là dạng đẳng thức nào để có thÓ ph©n tÝch tiÕp Nếu đặt z= x-y thì B = z ❑2 - 3z – 4, sau đó áp dụng phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích tiếp, B = z ❑2 + z – 4z – áp dụng ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö råi tr¶ cho biÕn x, y b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: B = (x ❑2 - 2xy + y ❑2 ) + (3x – 3y) – = (x-y) ❑2 + 3(x-y) – §Æt z = x-y B = z ❑2 - 3z – = z ❑2 + z – 4z – = (z ❑2 + z) - ( 4z + ) =z(z + 1) – 4( z + 1) = (z + 1)(z - 4) VËy B = ( x – y + 1) (x – y – 4) d) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Nhờ phơng pháp đổi biến x –y = z mà phân tích đa thức trên thành nhân tử đợc đễ dàng và thuận tiện C - kÕt luËn Trên đây là chuyên đề nhỏ kho tàng kiến thức phong phú To¸n häc nghiªn cøu mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n “ Ph©n tÝch ®a thøc thành nhân tử” chơng trình đại số lớp Toán học là môn học đòi hỏi phải cã sù linh ho¹t, t khoa häc t×m hiÓu néi dung, x©y dùng lêi gi¶i vµ thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i mét bµi to¸n th× viÖc lêi gi¶i mét bµi to¸n míi chÝnh x¸c, khoa học Chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử” có nhiều dạng toán và nhiều phơng pháp giải khác Mặc dù đã có nhiều cố gắng quá trình nghiên cứu, song kết thu đợc cha cao, thân tôi cha thể đa thêm đợc nhiều dạng toán minh hoạ khác cho phơng pháp và cha đa hết đợc số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác đó chuyên đề này không thể tránh khỏi thiếu sót Tôi mong các đồng chí đồng nghiệp đóng góp ý kiến để thân đợc rút kinh nghiệm và cho chuyên đề đợc hoàn chỉnh có thể áp dụng đợc năm học tới nhằm nâng cao chất lợng häc tËp m«n To¸n cña häc sinh tµi liÖu tham kh¶o - S¸ch gi¸o khoa To¸n - S¸ch gi¸o viªn To¸n - Ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n ( tËp 1) (6) Cao Ch¬ng ngµy 08 th¸ng 02 n¨m 2012 Ngêi viÕt TriÖu ThÞ Nga (7)