Đang tải... (xem toàn văn)
Cho tam giác ABC với các điểm O, I, H, G,O1, O2,, O3,, O9 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C và tâm[r]
(1)MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG TAM GIÁC
Cho tam giác ABC với điểm O, I, H, G,O1, O2,, O3,, O9 tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tâm đường trịn Ơ le tam giác ABC Gọi R, r, ra, rb, r c bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp, đường trịn bàng tiếp góc A, B, C của tam giác ABC.
1 Hệ thức Ơ le: OI2 R2 2Rr.
2 Định lý Steward: Nếu đường thẳng AD chia cạnh BC tam giác ABC thành đoạn BD = m, CD = n, AD = d ad2 mb2nc2 amn.
3 Định lý Leibniz: Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có: MA2MB2MC23MG2GA2GB2GC2.
4 OO12R2 2Rr OOa, 22 R2 2Rr OOb, 32 R2 2Rrc.
Cm: Gọi A’ giao đường tròn (O) với O1A Ta chứng minh O A1 'BA' Ta có phương tích điểm O1 với đường trịn tâm O
2
1 ' ' sin 2
sin
a
a
r A
O O R O A O A O A BA R Rr
A
, suy O O1 R22Rra.
5
2
1
16
( )( )
R
O I p b p c
bc
Cm: Gọi A’ giao đường tròn (O) với O1A Ta chứng minh
1 ' ' '
O A IA A C Suy ra:
2 2
1 ' 2.2 sin 2A 16 sin 2A O I A C R O I R
2 2 2
2 16
8 (1 cos ) ( )( ) ( )( )
2
b c a R R
R A R a c b a b c p b p c
bc bc bc
6
2 abc
OI R
a b c
(2)2 2 2 2
4
S abc abc
OI R Rr R R R R R
p Rp a b c
.
7
2 2
2
9
a b c
OG R
Cm: Áp dụng định lý Stewart cho tam giác AOA’ ta có:
2 2
' ' ' ' '
AA OG GA OA GA OA AA GA GA .
Suy ra:
2 OG
2
2 ' ' . '
'
GA OA GA OA
OG GA GA
AA
Mà
2
2 2
' '
4
a OA OC CA R
2 2
2
'
3
b c a
GA AA
nên:
2 2 2 2
2 2 2 2
3 9
a b c a a b c
OG R R R
Lại có OG 2O G9 , GH 2OG, OH = 3OG,
3
O O OG
nên từ (7) ta có
2 2 2
9
1
(9 )
36
O G R a b c ,
2 4(9 2 2)
9
GH R a b c ,
2 9 2 2
OH R a b c ,
2 2 2
9
1
(9 )
4
O O R a b c
8
2
2 2( 2 2)
3
p
IG r a b c
Cm: Áp dụng định lý Leibniz ta có IA2IB2IC2 3IG2 GA2GB2GC2
2 2 2 2
3 ( ) ( ) ( ) ( )
9 a b c
r p a p b p c IG m m m
2
2 2( 2 2)
3
p
(3)9
2
2 2 2
1
( )
( )
3
a
p a
O G r a b c Cm: Áp dụng định lý Leibniz ta có
2 2 2 2
1 1
O A O B O C O G GA GB GC . Suy ra:
2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( )
3
a a a
r p r p c r p b O G a b c
.
2 2 2 2 2
1
3 ( )
3 a
O G r p a b c a ap a b c
2 2 2
3 ( ) ( )
3 a
r a p a b c
2
2 2 2
1
( )
( )
3
a
p a
O G r a b c 10 O H1 3ra24R2 (p a )2 4Rra.
Cm: Áp dụng định lý Stewart cho tam giác O1OH ta có:
2 2
1 1
OH O G O O GH O H OG OH GH OG .
Suy
2 2
1 1
2 2 2 2 2
2 2
3
2
3 ( ) ( ) ( ) 2( )
3
3 4 ( )
(theo (4), (7), (9))
a a
a a
O H O G OG O O
r a b c p a R a b c R Rr
r R Rr p a
11
2
1
16
( )
R
O O p p c
bc
Cm: Có
1 2
0 os sin os
s 90
2
a b a b
r r r r A B C
O O O C O C R Rc
C
C c
in
(vì a sin cos cos ,2 2 b sin cos cos2 2
A B C B A C
r R r R
(4)2 2
2 2 2
1 16 os C2 (1 cos ) (1 b 2a c ) 16R ( )
O O R c R C R p p c
ab bc
12 IH24R2 p23r2 4Rr
Cm: Áp dụng định lý Stewart cho tam giác IOH ta có:
2 2
OH IG OI HG IH OG OH OG HG
Suy ra:
2 2 2
3
IG OI IH OH 2 2
3
IH IG OI OH
Từ (1), (7), (8) ta có:
2 3 2 2( 2 2) 2 4 6 2( 2 2)
3
IH r p a b c R Rr R a b c
2 2
4R p 3r 4Rr
.
13
2
9 (2 )
R O I r
Cm: Vì O9 trung điểm OH nên theo công thức đường trung tuyến tam giác IOH ta có:
2 2
2
9 IO 2IH OH4
IO
Từ (1), (7), (12) suy ra:
2 2 2
2
9 R 6r 2p 44Rr (a b c )
IO
Mà a2b2c2 2(p2 r2 4Rr)nên
2
2
9
4
( )
4
R Rr r R
O I r
14
3 3
2 4 a b c abc
IH R
a b c
.
Cm: Ta có (a b c HI aHA bHB cHC )
(vì aIA bIB cIC 0)
(5)2 2 2 2
2 2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( )
a b c IH a HA b HB c HC
ab HA HB c bc HC HB a ac HA HC b
2 2
(a b c aHA)( bHB cHC ) abc a b c( )
mà
2 2
1
4
HA OA R a (A1 trung điểm BC) Nên
2 2 3
(a b c ) IH (a b c ) 4 R a b c( ) ( a b c ) abc a b c( )
3 3
2 4 a b c abc
IH R
a b c
15
2 2 3
2
( )( )( )( )
a b c a b c abc
IH
a b c b c a c a b a b c a b c
.
Cm: Theo cm (14) ta có
3 3
2 4 a b c abc
IH R
a b c
mà
2
4
4
abc R
S
2 2 4 2
4 ( )( )( ) ( )( )( )( )
a b c a b c
p p a p b p c b c a c a b a b c a b c
Suy ra:
2 2 3
2
( )( )( )( )
a b c a b c abc
IH
a b c b c a c a b a b c a b c
.
16
2
1 2 a
R O O r
Cm: Vì O9 trung điểm OH nên theo công thức đường trung tuyến tam giác O1OH ta có
2 2
2 1
1 2O O 2O H4 OH
O O
Từ công thức (4), (7), (10) suy ra:
2 2 2 2 2
1
4O O 2(R 2Rra) 2(3 ra 4R 4Rra (p a ) ) 9 R a b c
2 6 4 2( 2 2) 2
a a
R r Rr p pa a a b c
(6)2 6 4 2( 2 2) 2( 2 4 )
a a
R r Rr p pa a p r Rr
2 6 4 4 2 2 8
a a
R r Rr pa a r Rr
.
2
2 2
1
2 ( )
2 a a
R
O O r Rr a b c r Rr
2
2 2
3 (4 )( ) 2
2 a a a a a a
R R
r Rr R r r r r r Rr r Rr
Vậy
2
1 R2 a O O r