Mot so he thuc ve khoang cach trong tam giac

Cho tam giác ABC với các điểm O, I, H, G,O1, O2,, O3,, O9 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C và tâm[r]

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG TAM GIÁC

Cho tam giác ABC với điểm O, I, H, G,O1, O2,, O3,, O9 tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tâm đường trịn Ơ le tam giác ABC Gọi R, r, ra, rb, r c bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp, đường trịn bàng tiếp góc A, B, C của tam giác ABC.

1 Hệ thức Ơ le: OI2 R2 2Rr.

2 Định lý Steward: Nếu đường thẳng AD chia cạnh BC tam giác ABC thành đoạn BD = m, CD = n, AD = d ad2 mb2nc2 amn.

3 Định lý Leibniz: Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có: MA2MB2MC23MG2GA2GB2GC2.

4 OO12R2 2Rr OOa, 22 R2 2Rr OOb, 32 R2 2Rrc.

Cm: Gọi A’ giao đường tròn (O) với O1A Ta chứng minh O A1 'BA' Ta có phương tích điểm O1 với đường trịn tâm O

2

1 ' ' sin 2

sin

a

a

r A

O O R O A O A O A BA R Rr

A

    

, suy O O1 R22Rra.

5

2

1

16

( )( )

R

O I p b p c

bc

  

Cm: Gọi A’ giao đường tròn (O) với O1A Ta chứng minh

1 ' ' '

O A IA A C Suy ra:

2 2

1 ' 2.2 sin 2A 16 sin 2A O I  A C  R  O I  R

2 2 2

2 16

8 (1 cos ) ( )( ) ( )( )

2

b c a R R

R A R a c b a b c p b p c

bc bc bc

   

             

 

 

6

2 abc

OI R

a b c

 

 

2 2 2 2

4

S abc abc

OI R Rr R R R R R

p Rp a b c

       

  .

7

2 2

2

9

a b c

OG R   

Cm: Áp dụng định lý Stewart cho tam giác AOA’ ta có:

2 2

' ' ' ' '

AA OG GA OA GA OA  AA GA GA .

Suy ra:

2 OG 

2

2 ' ' . '

'

GA OA GA OA

OG GA GA

AA



 

Mà

2

2 2

' '

4

a OA OC  CA R 

2 2

2

'

3

b c a

GA AA   

nên:

2 2 2 2

2 2 2 2

3 9

a b c a a b c

OG  R  R      R   

   

   

Lại có OG 2O G9 , GH 2OG, OH = 3OG,

3

O O OG

nên từ (7) ta có

2 2 2

9

1

(9 )

36

O G  R  a  b  c ,

2 4(9 2 2)

9

GH  R  a  b  c ,

2 9 2 2

OH  R  a  b  c ,

2 2 2

9

1

(9 )

4

O O  R  a  b  c

8

2

2 2( 2 2)

3

p

IG r   a b c

Cm: Áp dụng định lý Leibniz ta có IA2IB2IC2 3IG2 GA2GB2GC2

2 2 2 2

3 ( ) ( ) ( ) ( )

9 a b c

r p a p b p c IG m m m

          



2

2 2( 2 2)

3

p

9

2

2 2 2

1

( )

( )

3

a

p a

O G r    a b c Cm: Áp dụng định lý Leibniz ta có

2 2 2 2

1 1

O A O B O C  O G GA GB GC . Suy ra:

2 2 2 2 2

1

( ) ( ) ( )

3

a a a

r p r p c r p b O G a b c

              

      .

2 2 2 2 2

1

3 ( )

3 a

O G r p a b c a ap a b c

          

2 2 2

3 ( ) ( )

3 a

r a p a b c

     



2

2 2 2

1

( )

( )

3

a

p a

O G r    a b c 10 O H1 3ra24R2 (p a )2 4Rra.

Cm: Áp dụng định lý Stewart cho tam giác O1OH ta có:

2 2

1 1

OH O G O O GH O H OG OH GH OG  .

Suy

2 2

1 1

2 2 2 2 2

2 2

3

2

3 ( ) ( ) ( ) 2( )

3

3 4 ( )

(theo (4), (7), (9))

a a

a a

O H O G OG O O

r a b c p a R a b c R Rr

r R Rr p a

  

           

    

11

2

1

16

( )

R

O O p p c

bc

 

Cm: Có

1 2

0 os sin os

s 90

2

a b a b

r r r r A B C

O O O C O C R Rc

C

C c

in

  

     

 



 

 

(vì a sin cos cos ,2 2 b sin cos cos2 2

A B C B A C

r  R r  R

2 2

2 2 2

1 16 os C2 (1 cos ) (1 b 2a c ) 16R ( )

O O R c R C R p p c

ab bc

 

      

12 IH24R2 p23r2 4Rr

Cm: Áp dụng định lý Stewart cho tam giác IOH ta có:

2 2

OH IG OI HG IH OG OH OG HG 

Suy ra:

2 2 2

3

IG  OI  IH  OH 2 2

3

IH IG OI OH

   

Từ (1), (7), (8) ta có:

2 3 2 2( 2 2) 2 4 6 2( 2 2)

3

IH  r  p  a b c  R  Rr R  a b c

2 2

4R p 3r 4Rr

    .

13

2

9 (2 )

R O I   r

Cm: Vì O9 trung điểm OH nên theo công thức đường trung tuyến tam giác IOH ta có:

2 2

2

9 IO 2IH OH4

IO   

Từ (1), (7), (12) suy ra:

2 2 2

2

9 R 6r 2p 44Rr (a b c )

IO       

Mà a2b2c2 2(p2  r2  4Rr)nên

2

2

9

4

( )

4

R Rr r R

O I      r

14

3 3

2 4 a b c abc

IH R

a b c

  

 

  .

Cm: Ta có (a b c HI aHA bHB cHC  )       

                                                   

(vì aIA bIB cIC    0)

2 2 2 2

2 2 2 2 2

( )

( ) ( ) ( )

a b c IH a HA b HB c HC

ab HA HB c bc HC HB a ac HA HC b

    

 

        

 

2 2

(a b c aHA)( bHB cHC ) abc a b c( )

        mà

2 2

1

4

HA  OA  R  a (A1 trung điểm BC) Nên

2 2 3

(a b c  ) IH (a b c  ) 4 R a b c(   ) ( a b c )  abc a b c(   )

 



3 3

2 4 a b c abc

IH R

a b c

  

 

 

15

2 2 3

2

( )( )( )( )

a b c a b c abc

IH

a b c b c a c a b a b c a b c

  

 

          .

Cm: Theo cm (14) ta có

3 3

2 4 a b c abc

IH R

a b c

  

 

  mà

2

4

4

abc R

S

 

  

 

2 2 4 2

4 ( )( )( ) ( )( )( )( )

a b c a b c

p p a p b p c b c a c a b a b c a b c

 

          

Suy ra:

2 2 3

2

( )( )( )( )

a b c a b c abc

IH

a b c b c a c a b a b c a b c

  

 

          .

16

2

1 2 a

R O O  r 

 

Cm: Vì O9 trung điểm OH nên theo công thức đường trung tuyến tam giác O1OH ta có

2 2

2 1

1 2O O 2O H4 OH

O O   

Từ công thức (4), (7), (10) suy ra:

2 2 2 2 2

1

4O O 2(R 2Rra) 2(3 ra 4R  4Rra  (p a ) ) 9 R a b c

2 6 4 2( 2 2) 2

a a

R r Rr p pa a a b c

2 6 4 2( 2 2) 2( 2 4 )

a a

R r Rr p pa a p r Rr

        

2 6 4 4 2 2 8

a a

R r Rr pa a r Rr

       .



2

2 2

1

2 ( )

2 a a

R

O O   r  Rr a b c  r  Rr

2

2 2

3 (4 )( ) 2

2 a a a a a a

R R

r Rr R r r r r r Rr r Rr

           

Vậy

2

1 R2 a O O  r 

 