TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC + PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO DÀNH CHO CÁC BẠN HỌC SINH LỚP 11, QUÍ THẦY CÔ LÀM TÀI LIỆU THAM KHẢO, TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC + PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO DÀNH CHO CÁC BẠN HỌC SINH LỚP 11, QUÍ THẦY CÔ LÀM TÀI LIỆU THAM KHẢO,
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LỚP 11 Cơng thức lượng giác sin cos tan tan cot sin cos tan cot cos cos sin cot sin Công thức đối: cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot Công thức bù: sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot * * sin( ) cos tan( ) cot * cos( * ) sin cot( ) tan Công thức : sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot Công thức cộng: sin( a b) sin a.cos b cos a.sin b sin(a b) sin a.cos b cos a.sin b cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b (cách nhớ : sin sin cos cos sin, cos cos cos sin sin h ơn d ấu tr ừ) Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Công thức nhân đôi: cos 2a cos a sin a 2cos a 2sin a sin 2a 2sin a.cos a Công thức nhân sin x 3sin x 4sin x =======> cos3 x 4cos x 3cos x ========> sin x 3sin x 3sin x cos3 x 3cos x cos3 x 3tan x tan x tan x 3tan x Công thức hạ bậc: cos a cos 2a Hạ bậc toàn cục sin x cos x cos x 4 4 sin x cos x cos x sin x cos x cos x 8 sin x cos x cos3 x cos x 4 Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b cos(a b) cos(a b) sin a.sin b cos(a b) cos(a b) sin a.cos b sin(a b) sin(a b) 10 Cơng thức biến đổi tổng thành tích: Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc sin a cos 2a cos a cos b 2cos ab a b cos 2 cos a cos b 2sin sin a sin b 2sin ab a b cos 2 sin a sin b 2cos tan a �tan b sin( a �b) cos a.cos b cot a �cot b 11 Cơng thức tính tổng � � � � sin x cos x sin �x � cos �x � � 4� � 4� � � � � sin x cos x sin �x � cos �x � � 4� � 4� sin x sin x cos x sin x sin x cos x ý : bù sin , đối cos, phụ chéo, tan h ơn pi, Bẳng giá trị lượng giác sin cos 2 tan ththgtgf cot KXĐ 2 1 3 KXĐ Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc ab a b sin 2 ab a b sin 2 sin a �b sin a sin b � x u k 2 sin x sin u � � x u k 2 � tan x tan u � x u k 2 cos x cos u � x �u k 2 cot x cot u � x u k Công thức nghiệm thu gọn sin x � x k 2 sin x 1 � x k 2 cos x � x k 2 cos x 1 � x k 2 cos x � x k sin x � x k Tập xác định f x ۳ f x Căn bậc xác định ۹ f x f x Phân thức xác định 0 f x � f x Căn thức mẫu xác định y sin f x � f x Hàm số xác định xác định ( y sin x xác đinh x xác định y cos f x � f x Hàm số xác định xác định ( y cos x xác đinh x xác định) y tan f x ۹ cos f x ۹ f x k Hàm số xác định xác định x � k ( y tan x xác đinh ) y cot f x sin f x �0 ۹ f x Hàm số xác định � ( y cot x xác đinh x �k ) GTLN, GTNN hàm số lượng giác 1 �sin x �1 =======> �sin x �1 1 �cos x �1 =======> �cos x �1 Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc k xác định �sin x �1 �cos x �1 Phương trình lượng giác Phương trình theo sin � x k 2 sin x sin � � x k 2 � sin x m Nếu Nếu m 1 phương trình vơ nghiệm m �1 phương trình có nghiệm � � m α��� 0, , ; ; 1� � 2 � � 2 � � x arcsin m k 2 m �� 0, � , � ; � ; �1� sin x m � � � 2 x arcsin m k 2 , k �� � �thì � Nếu Phương trình theo cos k 2 cos x cos � x � , k �� cos x m Nếu Nếu m 1 phương trình vơ nghiệm m �1 phương trình có nghiệm � � m α��� 0, , ; ; 1� � 2 � � 2 � � m �� 0, � , � ; � ; �1� 2 � �thì cos x m � x �arccos m k 2 , k �� Nếu Phương trình theo tan tan x tan � x k tan x m Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc � m α�� 0; ; � � � 3; 1� � � � m �� 0; � ; � 3; �1� � �thì tan x m � x arctan m k , k �� Nếu Phương trình theo cot cot x cot � x k cot x m � m α�� 0; ; � � � 3; 1� � � � m �� 0; � ; � 3; �1� � �thì cot x m � x arccot m k Nếu , k �� Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: * Dạng a sin x b sin x c Đặt t sin x , t �1 ( 1 �t �1 ) * Dạng a cos x b cos x c Đặt t cos x , t �1 ( 1 �t �1 ) * Dạng a cot x b cot x c Đặt t cot x Phương trình dạng a sin x b cos x c (1): *Cách giải: a b �c + xét điều kiên có nghiệm phương trình: + Chia hai vế phương trình (1) cho a Ta được: a b2 sin x b a b2 cos x Đưa phương trình dạng sin cos Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc a b2 c a b2 Ho ặc đ ưa ph ương trình v ề d ạng � cos sin x sin cos x � sin( x ) c a2 b2 c � sin sin x cos cos x ۱ cos( x ) a2 b2 c a2 b2 c a b2 2 Phương trình dạng: a sin x b sin x cos x c cos x d (1) ( Dạng phương trình đẳng cấp) Cách giải: Chia vế cho cos x + Xét cos x � x k vào (1) để kiểm tra có phải nghiệm khơng? n + Với cos x �0 , chia hai vế (1) cho cos x ( với n bậc đẳng cấp ) ta phương trình: Ví dụ trường hợp đẳng cấp bậc 2: chia cho cos x a tan x b tan x c d cos x � a tan x b tan x c d (1 tan x) 5: Phương trình : Dạng a (sin x cos x ) b sin x cos x c ( đối xứng loại 1) Đặt t sin x cos x sin( x Ta có : sin x cos x ) cos( x ), t � 4 t2 1 Thay vào phương trình ta phuơng trình theo biến t *Dạng a (sin x cos x) b sin x cos x c t sin x cos x sin( x ), t � Đặt 1 t2 sin x cos x Ta có : Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Thay vào phương trình ta phuơng trình theo biến t Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau a) 2sin 3x d) � 3 2cos � 3x � b) e) � � � � � 2sin � x � 3� � c) sin x 200 tan x 600 �2 x � sin � � �3 � f) Bài 2: Giải phương trình a) cos x b) sin x d) cos x sin x e) cos x.cos5 x cos x cos 2 x h) 2cos cos x c) f) sin x.sin x cos x i) cos x cos x cos3 x Bài 3: Giải phương trình bậc sin cos: a) sin x cos x b) cos x sin x c) 3sin x 3cos x d) e) sin x 3cos2x f) 3sin x 2cosx 13 h) 5sin x 2cosx i sin x cosx k) sin x cos x (1 3)sin x cos x Bài 4.(Dạng tìm m để phương trình sau có nghiệm) 2sin x mcosx m m sin x ( m 1)cosx 4sin xcosx mcos2x mcos x sin x m Bài ( Phương trình bậc hai hàm số lượng giác) 4sin x 4sin x Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc 8sin x 6cosx cos4x cos2x 2(sin x cos6 x) sin x.cosx 0 sin x sin x cos x sin x 4 tan x (1 3) tan x 10 2cot x 3cot x tan x cos x tan x 6sin 2 x cos8x 14 11 sin x 3cot x 3 cosx Bài (Phương trình bậc ba hàm số lượng giác) a) 4sin x 8sin x sin x b) sin 3x sin x c) cos3x 3cos2x 2(1 cosx) d) tan x tan x 3tan x 3cot x sin x e) g) 5sin x 4sin x cosx f) h) cos x 3cos x cot x 2cos2 x 8cosx 2sin x sin x sin x 1 2sin x.cos x i) j) cos x 6cos 2 x 25 16 k) sin x cos x cos x Bài ( Giải biện luận theo tham số m) Cho phương trình: cos x sin x m a) Giải phương trình với m b)Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài 8: (dạng phương trình đẳng cấp) 2 a) sin x sin x 3cos x 2 c) 6sin x sin x 8cos x e) sin x cos2x cos2x Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc 2 b) 8sin x 8sin x.cosx 3cos x 2 d) cos x sin x.cosx cos2x 3 f) 4sin x sin x.cosx 3cos x sin x g) sin x cosx 4sin x h) sin x cos2x tan x Bài 8.( Định m để phương trình sau có nghiệm) Định m để phương trình sau có nghiệm: a 3sin x -6sinxcosx-5cos x+m=0 b 6sin x+ msinxcosx- cos x=2+m Cho phương trình : msin x-3sinxcosx-m-1=0 Tìm mđể phương trình có nghiệm x( 0; \f(,4 ) Cos x-sinxcosx-2sin x-m=0 Giải biện luận theo m? Bài 9: (Dạng phương trình đối xứng sinx cosx) a) 2(sinx +cosx) + sin2x + = b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) � sin x sin � �x � � 4� c) d) tan x 2 sin x e) sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx f) sin2x(sin x + cosx) = Bài 10: Giải phương trình sau sin x cos x sin x sin x cot x 1) 2) sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x 2cos x sin x 0 tan x 3) 4) cos x 12sin x � � � � cos x ( ĐẠI HỌC KHỐI A-2011) (ĐẠI HỌC KHỐI B-2011) (ĐẠI H ỌC KH ỐI D-2011) ( cao đ ẳng kh ối A-B-D 2011) sin x cos x sin � �x 5) tan x sin x cos x cos x cos x sin x 6) 7) sin x cos x 3sin x cos x 5x 3x 4cos cos 8sin x 1 cos x 2 8) Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc (đại học khối A-2010) ( đại học khối B-2010) ( đại học khối D-2010) ( Cao đẳng khối A-B-D 2010) Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc ... luận theo m? Bài 9: (Dạng phương trình đối xứng sinx cosx) a) 2(sinx +cosx) + sin2x + = b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) � sin x sin � �x � � 4� c) d) tan x 2 sin x e) sin3x + cos3x =... x 3tan x Công thức hạ bậc: cos a cos 2a Hạ bậc toàn cục sin x cos x cos x 4 4 sin x cos x cos x sin x cos x cos x 8 sin x cos x cos3 x cos x 4 Công thức biến đổi... sin x cos2x tan x Bài 8.( Định m để phương trình sau có nghiệm) Định m để phương trình sau có nghiệm: a 3sin x -6sinxcosx-5cos x+m=0 b 6sin x+ msinxcosx- cos x=2+m Cho phương trình : msin