TINH DON DIEU CUA HAM SO

1. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m... Bài 6.[r]

CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Quy tắc:

1 Tìm TXĐ hàm số

2 Tính đạo hàm f’(x) Tìm điểm xi mà đạo hàm không xác định

3 Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập BBT

4 Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau:

2

3 3x x 2x +

a) y 2x + 3x + b) y = x 2x c) y d) y

x x

 

    

 

Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau:

3

2

x x x

a) y 25 x b) y c) y d) y

x 100

16 x x

    



 

Bài Chứng minh rằng:

a) Hàm số y x  x đồng biến khoảng

1 1;

2

 



 

  nghịch biến khoảng

1 ;1

 

 

 .

b) Hàm số y x2  x 20 nghịch biến khoảng   ; 4 đồng biến khoảng 5;

Bài Xét đồng biến, nghịch biến hàm số sau:

 

a) y x sin x, x 0;2 b) y x 2cos x, x ; 6

 

 

       

 

Bài Chứng minh rằng:

a) f x  cos 2x 2x 3  nghịch biến R b) f x   x cos x2 đồng biến R

Giải:

a) Ta có: f '(x)2(sin 2x 1) 0, x R    f '(x) sin 2x x k , k Z



       

Hàm số f liên tục đoạn  

k ; k

4

 

 

      

 

  có đạo hàm f’(x) < với mọi

 

x k ; k , k Z

4

 

 

        

Do đó, hàm số nghịch biến đoạn  

k ; k , k Z

4

 

 

       

 

 

Vậy hàm nghịch biến R

b) Ta có: f’(x) = – sin2x; f '(x) sin 2x x k , k Z



       

NX: Hàm số f liên tục đoạn  

k ; k

4

 

 

    

 

  có đạo hàm f’(x) > với mọi

 

x k ; k , k Z

4

 

 

      

 

Do hàm số đồng biến đoạn  

k ; k , k Z

4

 

 

     

 

 

Vậy hàm đồng biến R

VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau đây:

1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K

 Nếu f '(x) 0, x K   f(x) đồng biến K  Nếu f '(x) 0, x K   f(x) nghịch biến K

2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức  b2  4ac Ta có: 

a f (x) 0, x R

0

 

    

  



a f (x) 0, x R

0

 

    

  

3 Xét tốn: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến K” Ta thực theo bước sau:

 B1 Tính đạo hàm f’(x,m)  B2 Lý luận:

Hàm số đồng biến K f '(x,m) 0, x K    m g(x), x K m g(x)       B3 Lập BBT hàm số g(x) K Từ suy giá trị cần tìm tham số m Bài

Với giá trị a, hàm số  

3

1

f (x) x 2x 2a x 3a

3

     

nghịch biến R ? Giải:

TXĐ: R Ta có:

2

Hàm số nghịch biến R

5

f '(x) 0, x R a

2

       

Bài 2

Với giá trị m, hàm số f (x) mx 3 3x2 m x 3   nghịch biến R ? Giải:

TXĐ: R Ta có:

2

f '(x) 3mx  6x m 2 

Hàm số nghịch biến R

2

f '(x) 3mx  6x m 0, x R    

 m = 0, f’(x) =

1

6x x

3

    

: không thỏa  x R  m 0 ,

m f '(x) 0, x R

9 3m(m 2)

 

    

    



m m

m

m v m

3m 6m

 

 

     

 

    



Vậy, với m1 thỏa mãn toán

Bài 3

Với giá trị m, hàm số  

2

3x mx f x

2x

  



 nghịch biến khoảng xác định

Giải: TXĐ:

1 D R \

2

 

  

 

Đạo hàm:  

2

2

6x 6x m f '(x)

2x

   





Hàm số nghịch biến khoảng xác định

1 f '(x) 0, x

2

  

2 11

6x 6x m 0, x ' 6(4 m) m

2

               

Bài 4

Định m để hàm số

mx y

x m

 

 ln đồng biến khoảng xác định nó.

Giải:

Đạo hàm:  

2

m

y'

x m

 

 Hàm số đồng biến khoảng xác định khi

2

y' 0, x  m m  0  m 1 v m 1 Bài 5

Tìm m để hàm số    

3

1

y mx m x m x

3

     

đồng biến 2; Giải:

Ta có:    

2

y' mx  m x m 2  

Hàm số đồng      

2

2;  y' 0, x 2    mx  m x m 2     0, x

 

2

6 2x

m x 2x 2x 0, x m , x

x 2x



           

  (vì x2 – 2x + > 0) Bài toán trở thành:

Tìm m để hàm số  

6 2x

f x m, x

x 2x



   

 

Ta có  

   

2

2

2

2x 12x

f ' x , f ' x 2x 12x x

x 2x

 

        

 

BBT:

x 2 3 6  f’(x)

f(x)

3 0

Ta cần có: 2; 

2 max f (x) m m

3



  

Đó giá trị cần tìm tham số m

Bài 6

Tìm m để hàm số

2

mx 6x y

x

 



 nghịch biến nửa khoảng 1;. Giải:

Ta có:  

2

2

mx 4mx 14 y'

x

 





Hàm số nghịch biến  

2

 

2

14

m x 4x 14, x m ,

x 4x



        



Bài tốn trở thành: Tìm m để hàm số   14

f x m, x

x 4x



   



Ta có:  

2

14(2x 4)

f '(x) 0, x

x 4x



   



x  f’(x)

f(x)

14

5



Ta cần có: 1; 

14 f (x) m m

5



  

Vậy

14 m

5



giá trị cần tìm m

Bài tập tự giải:

Bài Tìm giá trị tham số a để hàm số  

3

1

f x x ax 4x +

3

  

đồng biến R

Bài Với giá trị m, hàm số

m y x

x

  

 đồng biến khoảng xác định ?

Bài Định a để hàm số    

2

1

y a x a x 3x

3

     

đồng biến R ? ĐS: a1 v a 2

Bài Cho hàm số

m x 2x 1

y

x

  



 Xác định m để hàm số đồng biến khoảng xác định

ĐS: m 2 

Bài Cho hàm số yx3 m x   m2 2 x m  Chứng minh hàm số nghịch biến R với m

Bài Tìm m để hàm số y = 3x3 – 2x2 + mx – đồng biến khoảng 0; ĐS:

4 m

9



Bài Tìm m để hàm số y = 4mx3 – 6x2 + (2m – 1)x + tăng khoảng (0;2) ĐS:

9 m

10



Bài Cho hàm số

2

x 2mx m y

x m

  



a) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định b) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng 1;

VẤN ĐỀ 3:

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:

 f(x) đồng biến đoạn a; b f a  f x  f b , x   a; b  f(x) nghịch biến đoạn a; b f a  f x  f b , x   a; b Bài

Cho hàm số f x  2sin x tan x 3x 

a) Chứng minh hàm số đồng biến nửa khoảng 0;2 

 

 

 .

b) Chứng minh rằng:

2sin x tan x 3x, x 0; 

 

    

 . Giải:

a) Hàm số cho liên tục nửa khoảng 0;2 

 

 

  có

  2 

2

1 cos x 2cos x 1

f '(x) 2cos x 0, 0;

cos x cos x

   

      

  Do đó, hàm số f đồng

biến nửa khoảng 0;2 

 

 

  (đpcm)

b) Từ câu a) suy f(x) > f(0) = 0,

x 0; 2sin x tan x 3x, x 0;

2

 

   

       

    (đpcm).

Bài 2

a) Chứng minh hàm số f x  tan x x đồng biến nửa khoảng 0;

2 

 

 

 .

b) Chứng minh

3

x

tan x x , x 0;

3



 

    

a) Hàm số cho liên tục nửa khoảng 0;2 

 

 

  có

2

1

f '(x) tan x 0,

cos x     x 0;       

  Do đó, hàm số f đồng biến nửa khoảng 0;2 

 

 

 .

b) Từ câu a) suy f(x) > f(0) = 0,

x 0; tan x x, x 0;

2

 

   

      

   .

Xét hàm số

3

x g(x) tan x x

3

  

nửa khoảng 0;     

  Hàm số liên tục nửa

khoảng 0;2 

 

 

  có đạo hàm

2 2

2

1

g '(x) x tan x x 0, x 0;

cos x



 

        

 , do tan x x, x 0;

2 

 

   

 .

Do đó, hàm số g đồng biến nửa khoảng 0;     

  nên g(x) > g(0) = x 0;2          x

tan x x , x 0;

3



 

     

  (đpcm).

Bài 3

Chứng minh :

2(x 1) ln x

x

 

 , với x > 1.

Giải:

Bất đẳng thức cho tương đương với

2(x 1)

ln x 0, x

x



   



Xét hàm số  

2(x 1)

f (x) ln x , x 0;

x



   

 Ta có:

        2 x 1

f '(x) 0, x 0;

x x 1 x x 1



      

 

Suy hàm số đồng biến khoảng 0; nên đồng biến khoảng 1; Vậy ta ln có f(x) > f(1) = với x > Đó điều phải chứng minh

Bài tập tự giải:

Bài 1. Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x x, x 0   sin x 0, x 0   b)

2

x

cos x , x

2

   

c)

3

x

sin x x , x

   

3

x

sin x x , x

d) sin x tan x 2x, x 0;2 

 

     

 

e)

2x

sin x , x 0; 

 

   

  

f) tan x sin x với 0 x 

 

Bài 2. Cho hàm số  

f x x tan x, x 0; 

 

    

   .

a) Xét chiều biến thiên hàm số đoạn 0;

4       .

b) Từ suy rằng: tan x 4x, x 0;4

  

    

  .

Bài 3. Chứng minh rằng:

2

1 x

1 x x x

2

     

với x0;

VẤN ĐỀ 4:

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ

CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM DUY NHẤT

Bài

Cho hàm số f x  2x2 x 2

a) Chứng minh hàm số đồng biến nửa khoảng 2;

b) Chứng minh phương trình 2x2 x 11  có nghiệm nhất.

Giải:

a) TXĐ: D2; Đạo hàm:

 

 

2 x 5x 8

x

f '(x) 2 x 0, x 2;

2 x x



 

         

 

 

Do hàm số đồng biến nửa khoảng 2;

b) NX: Hàm số liên tục [2;3] có f(2) = 0, f(3) = 18 Vì < 11 < 18 nên  c 2;3 cho f(c) = 11 Số thực c nghiệm phương trình f đồng biến 2; nên c nghiệm phương trình cho

Bài 2

a) CMR hàm số đồng biến đoạn 0;

3 

 

 

  nghịch biến đoạn 3; 

 



 

  .

b) Chứng minh với m  1;1, phương trình sin2x + cosx = m có nghiệm thuộc đoạn 0;

Giải:

a) Hàm số cho liên tục 0; có đạo hàm

f’(x) = 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1), x0; sinx > nên

1

f '(x) cos x x

2



    

BBT:

x 0 / 3  y’ + 

y 5 /

1  1

Vậy, hàm số đồng biến đoạn 0;

3     

  nghịch biến đoạn 3; 

 



 

 

b) Hàm số liên tục đoạn ; 

 



 

   

5

f ,f

3   

  

 

  Theo định lí giá trị trung gian

của hàm số liên tục  

5 m 1;1 1;

4

 

     

 , tồn số c 3; 

 

 

  cho f(c) = Số c

nghiệm phương trình sin2x + cosx = m Vì hàm f nghịch biến 3; 

 



 

  nên phương trình có nghiệm

Lại

x 0; 

 

   

ta có   f x

4

 

nên phương trình nêu khơng có nghiệm với  

m 1;1 Vậy phương trình có nghiệm thuộc 0; . Bài 3

Giải phương trình: x5x3  3x 0   (3)

Giải:

Đặt f (x) x x3  3x 4  với x

3

Ta có f(x) hàm liên tục nửa khoảng

1 ;

3

 

 

 

  có đạo hàm

4

f '(x) 5x 3x 0, x

3 3x

     



Do hàm số đồng biến nửa khoảng

1 ;

3

 

 

 

  Mặt khác f(-1) = 0, nên x = -1 nghiệm (3) nghiệm phương trình

Bài 4

Giải phương trình: x  x2 8x 14 (4)

Giải:

Điều kiện xác định phương trình : x 3

Xét hai hàm số f (x) 2 x g(x) x2 8x 14 xác định liên tục  ;3, ta có:

3 x

f '(x) ln 2 x

   

   



  g '(x)2x 0  với x   ;3 Như f(x) hàm số nghịch biến, g(x) hàm số đồng biến  ;3 Mặt khác f(3) = g(3) = nên x = nghiệm (4) nghiệm

Bài 5

Giải phương trình: 4(x 2) log (x 3) log (x 2)      5(x 1) (5)

Giải:

Điều kiện xác định phương trình: x > Khi đó:

5(x 1) (5) log (x 3) log (x 2)

4(x 2)



    



Xét hai hàm số f (x) log (x 3) log (x 2)   

5(x 1) g(x)

4(x 2)

 

 hai hàm xác định liên

tục khoảng 3;, ta có:

 f(x) tổng hai hàm số đồng biến nên hàm số đồng biến

  

2

45

g '(x)

4 x

 

 nên g(x) hàm nghịch biến.

Mặt khác ta có f(11) = g(11) = nên x = 11 nghiệm (5) nghiệm

Giải phương trình: 3.25x 2 3x 10 5  x 2  3 x 0 (6) Giải:

Đặt t = 5x-2 (t > 0) Khi đó:

x 2

x

1

1 5

t

(6) 3t (3x 10)t x 3

t x x

 



 

 



       

 

    

 

Ta có: 

x

5

1

5 x log

3



   

 Xét phương trình 5x 2  3 x, ta dễ chứng minh x = nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x log x 2  

Bài (Đ thi n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i D-2006)ề ể ạ ọ ẳ ố

Cho hệ phương trình

 

x y

e e ln(1 x) ln(1 y)

a y x a

     

 

 



Chứng minh hệ có nghiệm Giải:

Xét hệ:

x y

e e ln(1 x) ln(1 y) (1)

y x a (2)

     



 

 với điều kiện xác định x 1, y 1

Từ (1)  y = x + a, vào (1) ta được: ex a  ex ln(1 x) ln(1 x a) 0     (3)

Bài toán trở thành chứng minh (3) có nghiệm khoảng 1; Đặt

x a x

f (x) e  e ln(1 x) ln(1 x a)

       khoảng 1;

Ta có f(x) hàm liên tục khoảng 1; có đạo hàm

x a x 1

f '(x) e e

x x a



   

  

Do a > nên với x > -1, ta có:

x a x

e e

1

0 x x a



  

 

 

   



Mặt khác, ta có:

x a x

f (x) e (e 1) ln

1 a x



  

 

Từ ta tính giới hạn:

x a

x x x

1 x lim f (x) lim e (e 1) lim ln

1 a x

     



   

  x ( 1) lim f (x)  

Vậy, phương trình (3) có nghiệm khoảng 1; Từ suy đpcm

Bài tập tự luyện:

Giải phương trình sau:

a) x2 15 3x 2   x2 8 ĐS: x = 1 b) x 2x 1      x 4   x 2x 1     3 x 2 ĐS: x =

VẤN ĐỀ 4:

ỨNG DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC BIỆN LUẬN

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chú ý. Cho f(x) hàm số liên tục T, thì:

a) f x  a với x T  a max f x   b) f x  a với x T  a f x   c) f x  a có nghiệm a f x  

d) f x  a có nghiệm a max f x   Bài

Cho phương trình  

2

m x  2x 1  x(2 x) 0 

Tìm m để phương trình có nghiệm x0,1 3

Giải:

Xét bất phương trình :  

m x  2x 1  x(2 x) (1) 

Đặt t  x2  2x 2  x2 2x t 2 Ta xác định điều kiện t :

Xét hàm số   

2

t x 2x 2 với x0,1 3

Ta có: x

t ' , t ' x

x 2x



   

 

t Vậy với x0,1 3 t 2  .

Khi :

(1) 

 



2

t

m

t với t [1;2]

Xét hàm số

 



2

t

f(t)

t với t [1;2] Ta có:

f’(t)

 

   



2

2

t 2t 0, x [1;2]

(t 1) Vậy hàm số f tăng [1; 2].

Do đó, yêu cầu tốn trở thành tìm m để (1) có nghiệm t[1,2]   

  

t 1;2

2 m max f(t) f(2)

3. Đó giá trị cần tìm tham số

Bài 2

Tìm m để phương trình x4  13x m x 0    có nghiệm.

Giải: Ta có:

4 x4 13x m x 0

      x4  13x m x  

 4

4

x x 1

4x 6x 9x m

x 13x m x



  



   

   

   

 



Yêu cầu toán trở thành tìm m để đường thẳng y = -m cắt phần đồ thị f(x) = 4x3–6x2–9x–1

ứng với x 1 điểm nhất.

Xét hàm số f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – nửa khoảng   ;1

 

Ta có: f'(x) = 12x2 – 12x – = 3(4x2 – 4x – 3)

Cho f'(x) =  4x2 – 4x – = 

1

x x

2

  

x

–

1



f(x)

12  

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Yêu cầu toán xảy

3

m m

2

m 12 m 12

 

  

  

 

   

 

Đó giá trị cần tìm tham số m

Bài 3

Tìm m để hệ phương trình

  2x y m

I

x xy

  

  

 



 có nghiệm nhất.

Giải: Ta có:

(I)

2x y m 2x y m

x xy xy x

     

 

 

   

   

 

 

Với điều kiện:

xy x

  



 ta có:

(I)   

 

 

2

y 2x m y 2x m

1 x

xy x y x 1

x

 



 

 

 

   

 

 

 (Do x = không nghiệm hệ)

1 x2 x2 2x 1

2x m m

x x

  

    

()

Xét hàm số

2

x 2x 1

f (x) x

x x

 

   

tập D   ;1 \ 0  

Ta có hàm số f(x) liên tục D có đạo hàm    

f '(x) 0, x ;0 0;1

x

       

Giới hạn : xlim f (x)    ; limx 0  ; limx 0    f(1) =

BBT :

f’(x) + + f(x)

 2 – –

Từ BBT ta thấy :

Yêu cầu toán xảy m > Đó giá trị cần tìm tham số

Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)

Tìm m để phương trình log x32  log x 2m 023     có nghiệm thuộc

1;3

 

  .

Giải:

Đặt t log x 132  Với x

3

1;3

 



  t [1;2] .

Khi phương trình cho tương đương với : t2  t 2m Bài toán trở thành tìm m để phương trình

2

t  t 2m có nghiệm t [1;2]

Xét hàm số f(t) = t2 + t – với t [1;2] Ta có : f’(x) = 2t + > 0, với t [1;2] Vậy yêu cầu toán xảy :

x [1;2]min f (x) 2m max f (x)  x [1;2]  f (1) 2m f (2)   2m 4   m 2 

Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)

Tìm m để phương trình  

2 2

m x  x 2 2 x  x  x

có nghiệm Giải:

Điều kiện xác định phương trình : x [ 1;1] 

Đặt t x  x Với x [ 1;1]  , ta xác định điều kiện t sau : Xét hàm số

2

t x  x với x [ 1;1] 

Ta có :

 2

2

x x x

x x

t '

1 x x x

  

  

   , cho t ' 0  x 0

t

Vậy với

x [ 1;1]  t0; 2

Từ t x  x  x  2 t2 Khi đó, phương trình cho tương đương với :  

2

2 t t

m t t t m

t

  

     



Bài tốn trở thành tìm m để phương trình

2

t t

m t

  



 có nghiệm t0; 2

Xét hàm số

2

t t

f (t)

t

  



 với t0; 2 Ta có :  

2

t 4t

f '(t) 0, t 0; t

   

    



Suy : t 0; t 0;  

max f (t) f (0) 1, f (t) f 2

 

  

   

    

Bây giờ, yêu cầu toán xảy t 0; t 0;

min f (t) m max f (t) m

   

   

     

Đây giá trị cần tìm tham số

Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2006)

Tìm m để phương trình x2 mx 2x 1   có nghiệm thực phân biệt. Giải:

Ta có:     2 x

x mx 2x 1

3x 4x mx

              (*)

NX : x = nghiệm (2) Do vậy, ta tiếp tục biến đổi :

  x (*)

3x 4x

m x            

Bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm thực phân biệt  

x ; \

2

 

  

 

Xét hàm số

2

3x 4x

f (x)

x

 



với  

1

x ; \

2

 

  

 

2

3x 1

f '(x) 0, x ; \

x

  

     

 

BBT :

x –

f’(x) + + f(x)

 

9

2 –

Từ BBT, ta thấy : Yêu cầu toán xảy

9 m

2



Vậy với

9 m

2



phương trình cho có nghiệm thực phân biệt

Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2007)

Tìm m để phương trình x m x x     1  có nghiệm Giải:

Điều kiện xác định phương trình : x 1 Khi :

 

   

2

4

4 2

x x x x

1 m m 2

x x 1 x x

   

     

   

Đặt

4 x

t

x  

 ( t 0 ) Vì

4 x 41

x x



  

  nên t < Vậy với x 1 t 1  .

Khi đó, (2)  3t2 m 2t  3t2 2t m (3)

Bây tốn trở thành tìm m để (3) có nghiệm t0;1 Xét hàm số f(t) = 3t2 2t nửa khoảng 0;1 Ta có : 

f’(t) = -6t + 2, cho f’(t) =

1

6t t

3

     

t f’(t) + 

f(t)

Từ BBT, ta thấy yêu cầu toán xảy

1 m

3

  

Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2007)

Chứng minh với m > 0, phương trình x2 2x 8  m(x 2) ln có hai nghiệm thực

Giải:

Giải:

Bài 10 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2008)

Bài tập tự giải

Bài Tìm m để bất phương trình    

2

x x  x  2x m với x [ 4;6]  .

ĐS : m 6

Bài Tìm m để bất phương trình x 1  x m  có nghiệm.

ĐS : m

Bài Tìm m để phương trình x  x  x m có nghiệm. ĐS : 2 m 2  

Bài Tìm m để hệ phương trình

x y

x x y y 3m

  

 

  



 có nghiệm.

ĐS:

1 m

4