Hiện nay, XSTK không những được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành đào tạo trong các trường đại học và cao đẳng trên thế giới và trong nước, mà còn được đưa vào chương trình môn Toán ở trường phổ thông. Trong bài báo này tác giả trình bày về việc vận dụng XSTK trong một số tình huống thực tiễn.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Science., 2010, Vol 55, N◦ 5, pp 143-148 VẬN DỤNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG THỰC TIỄN Nguyễn Thị Thu Hà Trường cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Hải Dương Đặt vấn đề Xác suất Thống kê ngành toán học đời khoảng kỉ XVII, có đối tượng nghiên cứu tượng ngẫu nhiên, quy luật ngẫu nhiên Khác với số chuyên ngành toán học trừu tượng, XSTK xây dựng dựa cơng cụ tốn học đại Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo, gắn liền với toán thực tế tự nhiên xã hội XSTK ngành khoa học phát triển lý thuyết thực tiễn; công cụ giải nhiều vấn đề nhiều lĩnh vực: Khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, khoa học giáo dục, ngành kinh tế, kỹ thuật, y học, v.v Khả sử dụng XSTK ngày mở rộng nhiều Các tổ chức cá nhân sử dụng XSTK để tìm hiểu liệu định Các phương pháp công cụ thống kê vận dụng đan xen số nội dung nhiều môn học Với định hướng cải tiến chương trình nội dung gắn liền với thực tiễn, nhiều trường Đại học bắt đầu giảng dạy lí thuyết thống kê theo hướng ứng dụng có thực hành máy vi tính Hiện nay, XSTK khơng đưa vào giảng dạy hầu hết ngành đào tạo trường đại học cao đẳng giới nước, mà đưa vào chương trình mơn Tốn trường phổ thơng Trong báo chúng tơi trình bày việc vận dụng XSTK số tình thực tiễn Nội dung nghiên cứu Thực tế thường gặp tình tưởng ngẫu nhiên khơng thể dự đốn vận dụng XSTK để phân tích, ta biết khả xảy Tình 1: Chơi số đề 143 Nguyễn Thị Thu Hà Chơi số đề (đánh đề) trị “đỏ đen” nhiều người ham thích Chơi đề trị chơi thơng dụng đơn giản, dễ hiểu trúng ăn nhiều(1 ăn 70) Khả trúng đề(1/100) cao nhiều so với giải xổ số thức nhà nước Những người chơi đề lâu ngày, thường thắng quen biết người thắng vài lần Tâm lý chơi đề để có hội “đổi đời” phổ biến Vậy thực chất đánh đề có phải trò chơi đem lại nhiều hi vọng? Luật chơi số đề sau: người chơi ghi vào sổ chủ đề số tự nhiên có chữ số (từ 00 đến 99) nộp cho chủ đề khoản tiền; số trùng với chữ số cuối số trúng giải độc đắc xổ số ngày hơm người chơi chủ đề trả lại số tiền gấp 70 lần số tiền nộp; khơng chủ đề khoản tiền người chơi nộp Vậy kết chơi số đề nào? [3] Nhìn khía cạnh tốn học mà nói, luật chơi đề thiệt cho người chơi, kì vọng số âm Giả sử ông Nguyễn Văn A chơi đề ngày lần, lần đặn triệu đồng Như sau 2000 ngày ông A bỏ tỷ Mỗi lần chơi, xác xuất trúng 1%, thế, trung bình ơng A trúng 20 lần Mỗi lần 70 triệu, 20 lần 1,4 tỉ Vậy trung bình ông A lỗ 600 triệu Tất nhiên, ông A nói “ trung bình vậy, nhỡ tơi may mắn sao?” Xác suất may ơng A hồn tồn tính Nó biểu diễn qua định lý tiếng Định lý giới hạn trung tâm [1] đây: Định lý giới hạn trung tâm: Với x1 , x2 , , xn biến độc lập ngẫu nhiên, có kỳ vọng E phương sai V = σ Khi n tiến đến vơ n x − nE i=1 i ≥ x Pr √ → Φ (x) nσ Trong Φ(x) hàm phân bố Gauss: ∞ Φ (x) = √ 2π /2 e−t dt x Định lý viết lại dạng: Pr 144 n i=1 √ xi ≥ nE + x nσ ≈ Φ (x) Vận dụng xác suất thống kê thực tiễn Quay trở lại ví dụ, n = 2000 lớn, ta ứng dụng định lý với xi số tiền ông A thu hoạch lần chơi thứ i, xi có phân bố sau: Pr(xi = −1) = 0.99 (thua) Pr(xi = 69) = 0.01 (thắng) Kỳ vọng xi −0.3 (triệu đồng) phương sai xấp xỉ 49 = 72 Nếu ông A không lỗ sau 2000 lần chơi, 2000 i=1 xi ≥ 0, tức ta phải lấy n |E| 600 x≥ √ ≈√ ≈ 1.9 nσ 2000.7 Vậy xác suất để ông A “may” (không lỗ vốn) độ Φ(1.9) ≈ 0.03, xác suất cỡ 3% Tức 100 người chơi, trung bình có người khơng lỗ Trên thực tế xác suất việc không thiết phải số, mà thay đổi, phụ thuộc vào nhiều yếu tố Xác suất phụ thuộc vào thời gian; phụ thuộc vào thông tin; phụ thuộc vào điều kiện; phụ thuộc vào người quan sát Ví dụ phần cho ta hiểu phụ thuộc xác suất vào yếu tố [4] Tình 2: Trị chơi nhắn tin trúng thưởng Chưa trò chơi gửi tin nhắn gọi điện thoại qua tổng đài để dự đoán trúng thưởng bùng nổ mạnh nay, thu hút đông đảo người sử dụng điện thoại di động Người ta thi “soạn gửi tin nhắn” Giờ điệp khúc “hãy soạn gửi tin nhắn qua tổng đài để bình chọn ” thường xun phát đài truyền hình, sóng phát ngày Ở số trị chơi, ngồi việc dự đoán kết quả, người chơi phải đoán (hoặc gần đúng) tổng số người tham gia, thắng Nhà tổ chức thường công bố kết số người chơi số dự đốn (đúng) xê xích ±1 Vậy, thực chất, xác suất để đoán tổng số người tham gia nào? Ví dụ chương trình nhắn tin dự đốn kết bóng đá Trung bình, chương trình dự đốn kết bóng đá có 50.000 người tham gia gửi tin nhắn Một tin nhắn tính 1000 đồng Giả sử có giải thưởng dành cho người dự đoán đúng, gần với số người dự đốn xác, trị giá giải 1.000.000đ (tổng giá trị giải thưởng 5.000.000đ) Khi khả trúng người chơi 0.01%, tỉ lệ nhỏ Trong thử xem số tiền thu trung bình sau chơi bao nhiêu? Giả sử với tin nhắn 1.000đ nhà sản xuất phải chịu chi phí cước tin nhắn, tiền thuế, quảng cáo, 200đ, tức 20%, số tiền mà nhà làm chương trình thu 40.000.000đ (bằng 80% tổng số tiền), trừ tiền thưởng 5.000.000đ họ cịn 35.000.000đ (bằng 75% tổng số tiền) Như ta biết vận dụng tính xác suất vào thấy tỉ lệ người trúng thưởng thấp, số tiền họ bị trung bình 45.000.000/50.000.0000 = 145 Nguyễn Thị Thu Hà 90% số tiền họ chơi Ngồi ra, thời lượng phát sóng chương trình thuê bao di động gửi nhiều tin nhắn trả lời khả trúng cao, muốn có hội thắng người chơi phải nhắn tin thật nhiều Như vậy, số tin nhắn gửi đến tổng đài tăng, trị giá phần thưởng giữ nguyên, kết số tiền thu nhà sản suất nhiều, số tiền người chơi nhiều Tình 3: Trị chơi truyền hình Tại châu Âu, thịnh hành trị chơi truyền hình mang tên “Dốc sức”, phần kết thúc, người chơi ba cửa kín mà phía sau ba cửa có để phần thưởng chính, tương tự chương trình “Ơ cửa bí mật” phát sóng VTV3 đài truyền hình Việt Nam Sau người chơi chọn ba ô cửa, người dẫn chương trình mở hai cửa cịn lại mà sau cửa khơng có phần thưởng (Điều người dẫn chương trình biết trước) Tiếp theo, người dẫn chương trình cho phép người chơi thay đổi việc chọn ô cửa Phần lớn người chơi không thay đổi ô cửa chọn lúc ban đầu họ nghĩ xác suất để có phần thưởng sau ô cửa 50% (lý hai ô cửa chưa mở) Do vậy, việc đổi cửa hay khơng đổi cửa khơng có ý nghĩa Tuy nhiên, từ phương diện tốn xác suất, thay đổi cửa lại có lợi Thật vậy, phân tích ban đầu ta thấy khả để phần thưởng nằm sau ô cửa chọn lần đầu khoảng 33,3% (không phải 50%) Ngược lại xác suất nhận phần thưởng sau đổi ô cửa 66,6% Điều mâu thuẫn thật có sở tốn học Đó nghịch lí tốn học có tên nghịch lí “Monty Hall” [2] Do nghịch lý “Monty Hall” nên nhiều trường hợp người chơi để tuột hội lớn để nhận phần thưởng Bài toán Monty-Hall Ta nêu lại toán sau: Trong chương trình gameshow truyền hình, số tiền giấu sau cánh cửa Người chơi phải đoán cánh cửa số tiền Người chơi đoán ngẫu nhiên cánh cửa, giả sử cửa số Khi người dẫn chương trình, người biết rõ số tiền cánh cửa nào, mở khơng có tiền cánh cửa cịn lại, ví dụ cửa số Người chơi lúc có quyền, giữ nguyên lựa chọn cửa số 3, thay đổi sang chọn cửa số (vẫn đóng) Người chơi có nên thay đổi lựa chọn hay khơng? Câu trả lời theo cảm tính là: Giả sử người chơi thay đổi lựa chọn, cánh cửa thứ chọn ban đầu có xác suất trúng 1/3, xác suất để sau cánh cửa số có tiền 1/3, với xác suất người chơi thua Trong không đổi lựa chọn, xác suất thắng 1/3 nên xác suất thua 2/3, gấp lần so với việc đổi lựa chọn Vì đổi lựa chọn làm tăng gấp đôi khả thắng 146 Vận dụng xác suất thống kê thực tiễn Bây ta xem xét lời giải toán phương diện XSTK: Giả sử cánh cửa chọ ban đầu cửa số cửa mở cửa số Xác suất có điều kiện để cánh cửa thứ có tiền phía sau bao nhiêu? Ta dùng ký hiệu sau: Ai = sau cửa thứ i có tiền i = 1; B= cửa thứ mở C= cửa thứ chọn ban đầu Theo công thức Bayes: P (A1 ∩ B ∩ C) P (A1 |B ∩ C ) = P (B ∩ C) Lại dùng công thức Bayes để tính tử số: P (A1 ∩ B ∩ C) = P (A1 ∩ C)P (B/A1 ∩ C) Vì kiện Ai C độc lập nên: P (A1 ∩ B ∩ C) = P (B|A1 ∩ C)P (A1 )P (C) = 1 × × P (C) = P (C) 3 Mẫu số tính cách dùng quy luật xác suất đủ: P (B ∩ C) = = i=1 = i=1 i=1 P (B ∩ C ∩ Ai ) = P (B/C ∩ Ai )P (C ∩ Ai ) = P (B/C ∩ Ai )P (C)P (Ai) = 1 1 = (1 × + × + × ) × P (C) 3 = P (C) Chú ý ta dùng giả thuyết là, số tiền nằm sau cửa số 3, người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên cửa số số để mở, nên xác suất để mở cửa số xác suất mở cửa số 1/2 Như là: P (C) = P (A1 |B ∩ C ) = 3 P (C) 147 Nguyễn Thị Thu Hà Khi đó, P (A3 /B ∩ C) = Như ta tìm kết cách suy luận cảm tính, với giả thiết người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên cửa để mở cửa khơng có tiền phía sau Kết luận Các tốn XSTK thường gắn liền với thực tiễn Nếu biết vận dụng XSTK vào lĩnh vực nghiên cứu đời sống ngày lựa chọn phương án tối ưu tránh rủi ro định Khi giảng dạy XSTK, giáo viên đưa nhiều ví dụ thực tế, gần gũi với đời sống làm sinh viên có hứng thú học nhờ thấy ý nghĩa môn học, qua góp phần nâng cao hiệu học tập TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.A Borokov, 1976 Lý thuyết xác suất NXB Khoa học Maxcova [2] Phạm Văn Kiều, 2000 Lý thuyết xác suất thống kê toán học NXB Giáo Dục Đại học sư phạm(Giáo trình đào tạo giáo viên trung học sở ) [3] Bùi Văn Nghị, 2008 Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm [4] Nguyễn Tiến Dũng, Nhập môn đại xác suất thống kê ABSTRACT Practical applications of probability and statistics Probability and statistics plays an important role in economicsand,technology etc It’s wide and plentiful applications of human life In this article, we would like to mention the applications of probability and statistics in some particular situations such as lottery, message sending for awards, games on television and then explain that situations with theorems so that we can know the applications of probability and statistics in daily life Therefore, if probability and statistics are properly applied in some detail situations, the best solutions can be chosen and certain losses can be avoided 148 ... cửa thứ chọn ban đầu có xác suất trúng 1/3, xác suất để sau cánh cửa số có tiền 1/3, với xác suất người chơi thua Trong không đổi lựa chọn, xác suất thắng 1/3 nên xác suất thua 2/3, gấp lần so... tăng gấp đôi khả thắng 146 Vận dụng xác suất thống kê thực tiễn Bây ta xem xét lời giải toán phương diện XSTK: Giả sử cánh cửa chọ ban đầu cửa số cửa mở cửa số Xác suất có điều kiện để cánh cửa... Pr √ → Φ (x) nσ Trong Φ(x) hàm phân bố Gauss: ∞ Φ (x) = √ 2π /2 e−t dt x Định lý viết lại dạng: Pr 144 n i=1 √ xi ≥ nE + x nσ ≈ Φ (x) Vận dụng xác suất thống kê thực tiễn Quay trở lại ví