ỨNG DỤNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG GIẢI BÀI TẬP DI TRUYỀN HAY

BÀI TẬP LỚNỨNG DỤNG XÁC SUẤT NHỊ THỨC ĐỂ GIẢI BÀI TẬP DI TRUYỀN A Giáo viên hướng dẫn: HOÀNG TRỌNG PHÁN Sinh viên thực hiện: LÊ VĂN HÂN Lớp: sinh 3A Huế, 27/11/2013... BÀI TẬP LỚNỨNG DỤN

BÀI TẬP LỚN

ỨNG DỤNG XÁC SUẤT NHỊ THỨC

ĐỂ GIẢI BÀI TẬP DI TRUYỀN

A

Giáo viên hướng dẫn: HOÀNG TRỌNG PHÁN

Sinh viên thực hiện: LÊ VĂN HÂN

Lớp: sinh 3A

Huế, 27/11/2013

BÀI TẬP LỚN

ỨNG DỤNG XÁC SUẤT NHỊ THỨC

ĐỂ GIẢI BÀI TẬP DI TRUYỀN

Giáo viên hướng dẫn: HOÀNG TRỌNG PHÁN

Sinh viên thực hiện: LÊ VĂN HÂN

Lớp: sinh 3A

Huế, 27/11/2013

H oà n

g

Lời nói đầu

Thống kê (toán học) là bộ môn toán học rất quan trọng và có nhiều ứng dụng to lớn trong thực tế, giúp con người rút ra thông tin từ dữ liệu quan sát, nhằm giải quyết các bài toán thực tế trong cuộc sống Trong nghiên cứu khoa học nói chung, sinh học nói riêng, đặc biệt khi nhắc đến di truyền học, không thể không nhắc đến những đóng góp to lớn mà các ứng dụng xác suất thông kê mang lại

Ngay từ những giai đoạn của lịch sử hình thành di truyền học, các phương pháp xác suất thống kê đóng vai trò hữu ích trong việc phân tích dữ liệu, tìm ra quy luật của

di truyền Lí thuyết xác suất – thống kê đã được ứng dụng rộng rãi trong quá trình học tập, nghiên cứu Sinh học nói chung và trong lĩnh vực Di truyền học nói riêng

Ngày nay, nó đã trở thành công cụ không thể thiếu trong học tập, và nghiên cứu di truyền học, đặc biệt là trong giải các bài tập về di truyền học một cách nhanh chóng và chính xác Do vậy, việc ứng dụng của các phương pháp xác suất-thống kê là hết sức quan trọng Đây là cơ sở để em hướng đến đề tài: “Ứng dụng xác suất nhị thức trong giải bài tập di truyền học”

Do khả năng còn hạn chế, chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu sót, em mong được sự thông cảm và chỉ bảo tận tình của quý thầy cô giáo bộ môn

Huế, ngày 08 tháng 12 năm 2013

Sinh viên thực hiện

LÊ VĂN HÂN

MỤC LỤC

Lời nói đầu 2

Chương I: TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU: 4

1 Lý do chọn đề tài: 4

2 Nhiệm vụ nghiên cứu: 4

Chương II: CƠ SỞ DI TRUYỀN HỌC MENDEL 5

1 Hệ thống kiến thức về di truyền học Mendel – Di truyền học Cổ điển 5

1.1 Gregor Johann Mendel: 5

1.2 Thuyết di truyền gián đoạn và các quy luật của Mendel: 5

2 Lý thuyết xác suất-thống kê 7

2.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của xác suất 7

2.2 Xác suất nhị thức 9

Chương III: ỨNG DỤNG XÁC SUẤT NHỊ THỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP DI TRUYỀN 12

1 Một số dạng bài tập di truyền 12

1.1 Xác định tính đực cái trong nhiều lần sinh: 12

1.2 Xác định tần số của các alen trội hoặc lặn trong trường hợp nhiều cặp gene 13

1.2.1 Đối với trường hợp tất cả các cặp gen của bố mẹ đều là dị hợp 13

1.2.2 Trường hợp tổng quát: 13

1.3 Xác định tần số các cặp alelle đồng hợp hay dị hợp trong trường hợp nhiều cặp gene 15

Đối với trường hợp bố mẹ đều là dị hợp hai cặp tất cả các cặp gen 15

2 Một số lưu ý khi ứng dụng công thức xác suất nhị thức trong giải bài tập di truyền: 15

Chương IV: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 17

1 Kết luận: 17

2 Kiến nghị 17

Tài liệu tham khảo: 18

Chương I: TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU:

1 Lý do chọn đề tài:

Lí thuyết xác suất – thống kê là một lĩnh vực của Toán học đã được ứng dụng rộng rãi trong quá trình học tập, nghiên cứu Sinh học nói chung và trong lĩnh vực Di truyền học nói riêng Các kiến thức giải tích tổ hợp, nhị thức Newton và các nguyên lý xác suất cơ bản đã được vận dụng trong việc học tập, nghiên cứu trong bộ môn Di truyền học Trong đó, xác suất nhị thức (binomial probability) là một trong những công cụ ứng dụng của xác suất thống kê, được sử dụng trong việc giải nhiều bài toán trong di truyền học, ứng với 1 số dạng bài tập riêng, trong đó thỏa mãn các tính chất của dãy phép thử bernoulli

2 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Khái quát được những đặc trưng cơ bản của xác suất nhị thức và những vấn đề liên quan

- Tìm ra điều kiện nghiệm đúng, nói cách khác là khi nào có thể dùng được xác suất nhị thức

- Ứng dụng và giải một số dạng bài tập có thể giải được bằng công thức xác suất nhị thức

Chương II: CƠ SỞ DI TRUYỀN HỌC MENDEL

1 Hệ thống kiến thức về di truyền học Mendel – Di truyền học Cổ điển

1.1 Gregor Johann Mendel:

Gregor Johann Mendel (20/7/1822 – 6/1/1884), là một nhà khoa học, một linh mục Công giáo người Áo, ông được coi là "cha đẻ của di truyền hiện đại" vì những nghiên cứu của ông về đặc điểm di truyền của đậu Hà Lan Mendel chỉ ra rằng đặc tính

di truyền tuân theo những quy luật nhất định, ngày nay chúng ta gọi là Định luật Mendel Nội dung định luật của ông rất đơn giản, tuy nhiên, khi ông còn sống, ý nghĩa

và tầm quan trọng trong các công trình nghiên cứu của ông không được công nhận, người ta cũng không quan tâm đến các nghiên cứu của ông Đến tận đến thế kỷ 20 các kết luận của ông mới được công nhận, khi đó ông được tôn vinh như là nhà khoa học thiên tài, một danh hiệu ông xứng đáng được nhận từ lúc sinh thời Ngày nay người ta vẫn xem năm 1866 là mốc đánh dấu cho sự ra đời của Di truyền học và Mendel là cha

đẻ của ngành này

Mendel đã thí nghiệm trên nhiều loại đối tượng, nhưng công phu nhất là trên đậu Hà Lan (có hoa lưỡng tính tự thụ phấn nghiêm ngặt) Ông đã trồng khoảng 37000 cây, tiến hành lai 7 cặp tính trạng thuộc 22 giống đậu trong 8 năm liền, phân tích trên một vạn cây lai và khoảng 30000 hạt Từ đó đã xây dựng 3 định luật di truyền từ thực nghiệm (năm 1965), đặt nền móng cho di truyền học

1.2 Thuyết di truyền gián đoạn và các quy luật của Mendel:

Ở cấp độ cơ bản nhất, tính di truyền của các sinh vật xuất hiện ở các tính trạng riêng rẽ, được gọi là gen Đặc tính này lần đầu được nhận biết bởi Gregor Mendel, khi nghiên cứu sự phân ly các tính trạng di truyền ở đậu Hà Lan Trong thí nghiệm nghiên cứu về tính trạng màu hoa của mình, Mendel quan sát được rằng hoa của mỗi cây đậu

Hà Lan có màu tía hoặc trắng - và không bao giờ có tính trạng trung gian giữa hai màu Những dạng khác nhau, riêng biệt của cùng một gen được gọi là allele

Ở đậu Hà Lan, mỗi gen của mỗi cá thể có hai allele, và cây đậu sẽ thừa hưởng một allele từ mỗi cây bố mẹ Nhiều sinh vật khác, bao gồm cả con người, cũng có kiểu

di truyền như vậy Cá thể mà có hai allele giống nhau ở một gen được gọi là đồng hợp

tử ở gen đấy, còn nếu có hai allele khác nhau thì cá thể gọi là dị hợp tử

Nhìn chung, khi một cặp cá thể sinh sản hữu tính, con cái của chúng sẽ thừa kế ngẫu nhiên một allele từ bố và một allele từ mẹ Những phát hiện về sự di truyền riêng

rẽ và sự phân ly của các allele được phát biểu chung với tên gọi Quy luật thứ nhất

của Mendel hay "nguyên lý phân ly".

Nội dung cơ bản của quy luật phân ly đó là: “Các allele là những dạng khác nhau của cùng một gen; trong các thể dị hợp tử chúng phân ly về các giao tử với tỉ lệ tương đương”

Để xác định sự di truyền đồng thời của nhiều cặp tính trạng, Mendel đã tiến hành nhiều thí nghiệm lai hai cặp tính trạng khác nhau theo phương pháp phân tích thế

hệ lai, từ đó, Mendel đã phát hiện ra sự di truyền độc lập của các cặp tính trạng

Mendel đã xây dựng nên nguyên lý phân ly độc lập hay còn gọi là Quy luật thứ hai

của Mendel; rằng các allele của các gen khác nhau thì phân ly một cách độc lập với

nhau trong quá trình hình thành giao tử (kết quả là tạo ra tỉ lệ 9:3:3:1 ở thế hệ F2 từ phép lai hai tính

2 Lý thuyết xác suất-thống kê

2.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của xác suất

Phép thử và các biến cố:

Phép thử là việc thực hiện một nhóm các điều kiện xác định, ví dụ một thí nghiệm tung đồng xu, hay một phép lai cụ thể… Các kết quả khác nhau có thể có từ phép thử gọi là các biến cố, được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa Ví dụ: Kiểu gen dị hợp AaBb có thể cho ra bốn loại giao tử với xác suất ngang nhau là 0,25 Trong khi hiểu gen đồng hợp tử AABB chỉ cho một loại giao tử là AB với tỉ lệ 100% hay nói cách khác xác suất là của sự kiện này 1

Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê:

Giả sử khi lặp lại n lần một phép thử, có k lần xuất hiện biến cố A Ta gọi tỉ số

là tần suất của biến cố A Khi n thay đổi, tần suất k cũng thay đổi Bằng thực nghiệm người ta chứng tỏ được rằng tần suất luôn dao động xung quanh một số cố định, khi n càng lớn thì nó càng gần với số cố định đó Ta gọi số cố định đó là xác suất của biến

cố A theo nghĩa thống kê và kí hiệu là P(A)

Định nghĩa xác suất cổ điển:

Cho { B1, B2, B2,…,Bn} là hệ đầy đủ các biến cố đồng khả năng của một phép thử và A là biến cố trong phép thử đó Giả sử trong hệ trên có k biến cố thuận lợi đối với A, tức là:

A= B1 + B2 + B2 +…+ Bk với (1 ≤ ni ≤ n), i = 1, 2, …, k.

Ta gọi tỉ số P(A) = là xác suất của biến cố A

Khi thực hiện phép thử, có thể xuất hiện một trong các biến cố sau:

Biến cố ngẫu nhiên (A), (0 ≤ P(A) ≤ 1);

Biến cố chắc chắn (Ω), P(Ω) = 1;), P(Ω), P(Ω) = 1;) = 1;

Biến cố không thể có (Ø), p(Ø)= 0;

Biến cố xung khắc (A  B = Ø);

Biến cố đối lập (Ā = Ø \ A), P(A) = 1- P(Ā)

Nhóm đầy đủ các biến cố hay không gian biến cố sơ cấp (Ω), P(Ω) = 1;) là tập hợp toàn bộ các biến cố sơ cấp () của một phép thử mà khi được thực hiện thì nhất thiết trong

chúng phải xảy ra, và có hiện tượng xung khắc từng đôi Ví dụ dãy biến cố { B1, B2,

B2,…,Bn} lập thành một nhóm đầy đủ nếu thỏa mãn cả hai điều kiện:

a Tổng của chúng là một biến cố chắc chắn = Ω), P(Ω) = 1;

b Chúng xung khắc nhau từng đôi một

Quy tắc cộng xác suất: Xác suất kết hợp của hai (hay nhiều) sự kiện xung khắc

từng đôi là tổng cá xác suất riêng rẽ của chúng

P(AB) = P(A)  P(B) | A và B là hai sự kiện xung khắc

Mở rộng quy tắc cộng xác suất, ta có:

P(AB) = P(A)  P(B) + P(AB)

Quy tắc nhân xác suất: Xác suất trùng hợp của cả hai biến cố độc lập bằng tích

các xác suất riêng rẽ của chúng Hai biến cố độc lập là hai biến cố mà sự xuất hiện của

biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia P(AB) = P(A).P(B) ) | A và B là hai biến cố độc lập

Trong di truyền học, mệnh đề trên được phát biểu rằng: Nếu các gene phân ly

độc lập và tổ hợp tự do, thì tỷ lệ phân ly đồng thời của cả hai tính trạng bằng tích các

tỷ lệ phân ly riêng rẽ của các tính trạng đó, và ngược lại.

Xét một phép lai hai tính tuân theo quy luật phân ly độc lập, các gene tổ hợp tự

do và tỷ lệ phân ly của từng tính trạng là 3:1 và 1:1 Ta cũng có thể suy ra kết quả tỷ lệ phân ly đồng thời của cả hai tính là 3:3:1:1

Biến cố có điều kiện , có nghĩa sự xuất hiện của biến cố này có ảnh hưởng đến

xác suất xuất hiện của biến cố kia Khi đó, xác suất điều kiện của biến cố B đối với biến cố A đã xảy ra là:

P(B/A) = P(AB) : P(A)

Hoán vị, Chỉnh hợp, tổ hợp:

Cho tập hợp A có n phần tử (n > 0) Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự,

ta được một Hoán vị các phần tử của tập A Với số nguyên k (1 ≤ k ≤ n) Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một Chỉnh hợp chập k của n

phần tử của A Mỗi tập hợp con của A gồm k phần thử được gọi là một tổ hợp chập

k của n phần thử của A.

Số các chỉnh hợp: Pn = n! = n(n-1)(n-2)…2.1

Số các chỉnh hợp: = n(n-1)(n-2)…(n-k+1)

Một số chú ý:

Khi k = n thì = Pn

Với số nguyên k (1 ≤ k ≤ n), thì = ; ;

2.2 Xác suất nhị thức

Nhị thức newtơn:

Dãy các tổ hợp | i=1,2,…,k tạo thành một dãy đối xứng Các dãy đối xứng này

có thể lặp thành 1 tam giác Pascal Trong toán học, Tam giác Pascal là một mảng tam giác của hệ số nhị thức trong tam giác Thuật toán được đặt theo tên của nhà toán học Pháp nổi tiếng Blaise Pascal

Khi viết các hệ số lần lượt với

n=0,1,2, ta được bảng

Trong tam giác số này, bắt đầu từ

hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột

thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số

đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước

nó Sơ dĩ có quan hệ này là do có công

thức truy hồi

Công thức xác suất nhị thức:

Xét phép thử gồm 2 sự kiện đối lập là sự kiện A và sự kiện B, xác suất của mỗi

sự kiện tương ứng là p và q (p + q = 1), trong mỗi phép thử xác suất xảy ra của mỗi sự kiện là không thay đổi Giả sử trong n phép thử độc lập được tiến hành, sự kiện A xuất hiện k lần, sự kiện B xuất hiện n - k lần Để tính các xác suất này cần sử dụng công

thức xác suất nhị thức sau:

Pn (k) = | (0 ≤ k ≤ n).

k

n 0 1 2 3 4 5 6 …

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

Tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt giống đạt 95% Tìm xác suất để gieo 10hạt giống, trong đó có đúng 7 hạt nảy mầm Ta kí hiệu:

Sự kiện M = “gieo ngẫu nhiên một hạt giống thì hạt đó nảy mầm” P(M) = 0,95% sự kiện N = “gieo ngẫu nhiên một hạt giống thì hạt đó không nảy mầm” Vậy P(N) = 0,05%

Nhận xét:

 Mỗi phép thử gieo hạt là độc lập với nhau Sự nảy mầm của hạt này không liên quan đến xác suất nảy mầm của các hạt còn lại

 Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố xảy ra đó là nảy mầm (M) hoặc

không nảy mầm (N) P(M)+P(N)=1 P(MN)=Ø

 Xác suất của nảy mầm của mỗi hạt là không đổi trong n phép thử

Do vậy, bài toán trên có thể áp dụng công thức nhị thức để tính xác suất có 7 hạt nảy mầm khi gieo 10 hạt Với Số phép thử n = 10 (hạt), số hạt thỏa mãn biến cố nảy mầm (M) là k=7, số hạt không nảy mầm (N) n-k= 3 Xác suất p, q lần lượt của 2 biến cố M và N là 0,95 và 0,05

Áp dụng công thức xác suất nhị thức, ta có xác suất để gieo 10 hạt giống, trong

đó có đúng 7 hạt nảy mầm là:

P10 (7) =

Bài toán trên, sự kiện “gieo 10 hạt giống, trong đó có đúng 7 hạt nảy mầm” có thể nói cách khác là “gieo 10 hạt giống, trong đó có đúng 3 hạt không nảy mầm”

Khi đó, xác suất được tính theo công thức: P10 (3) =

Mặc khác, dãy các tổ hợp nhị thức newtơn có tính chất đối xứng, nên , do vậy, kết quả của bài toán theo hai con đường có chung 1 đáp án

Ví dụ 2:

Xét trường hợp một cặp vợ chồng bình thường, dự định sẽ sinh 3 người con Xác suất cặp vợ chồng đó sinh được 2 người con trai và 1 người con gái

Chú ý, bài toán trên không quan tâm đến thứ tự con gái trước hay con trai trước

Ta có, xác suất để sinh ra con gái hoặc con trai là như nhau và bằng 0,5

khi không quan tâm đến thứ tự con trai hay con gái sinh ra trước, có thể áp dụng công thức xác suất nhị thức:

P3 (2) = =0,375

Chương III: ỨNG DỤNG XÁC SUẤT NHỊ THỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP DI TRUYỀN

1 Một số dạng bài tập di truyền

1.1 Xác định tính đực cái trong nhiều lần sinh:

Cơ sở lý thuyết:

Mỗi lần sinh là được xem như một phép thử gồm 2 sự kiện sinh đực hoặc sinh cái với xác suất bằng nhau, không đổi và bằng ½ Giữa các lần sinh xảy ra độc lập với nhau Xác suất suất hiện đực cái trong n lần sinh là kết quả của sự tổ hợp ngẫu nhiên của n phép thử

Gọi số đực và số cái trong n lần sinh lần lượt là k, n-k Số tổ hợp chập k của n phần tử, số tổ hợp chập n-k của n phần tử được tính bằng

Xác suất để trong n lần sinh có k lần sinh con đực ( hay n-k lần sinh con cái) được xác định theo công thức xác suất nhị thức:

Pn (k) =

= Pn (n-k) = | (0 ≤ k ≤ n).

Bài tập áp dụng:

Một cặp vợ chồng bình thường dự kiến sinh 3 người con Người bố thích có nhiều con trai nên mong muốn cả 3 đứa đều là con trai

a) Tính xác suất để trong 3 lần sinh họ sinh được 2 con trai và 1 con gái

b) Tính xác suất để trong 3 lần sinh họ đều có con trai và con gái

c) Tính xác suất để trong 3 lần sinh họ đều có con trai hoặc con gái

Giải: Với bài toán này, có nhiều cách giải khác nhau Trong phạm vi đề tài, ta chỉ đề cập đến việc ứng dụng xác suất nhị thức để giải dạng bài tập này

Gọi A,B,C lần lượt là xác suất của các trường hợp ở các câu a, b, c Ta có: a) xác suất để trong 3 lần sinh họ sinh được 2 con trai và 1 con gái

P(A)= P3 (2) = )

b) Xác suất để trong 3 lần sinh họ đều có con trai và con gái bằng tổng xác suất 2 trường hợp xảy ra là 2 trai và 1 gái hoặc 2 gái là 1 trai 2 trường hợp này có xác suất như nhau P(B)= P3 (2) + P 3 (1) = P 3 (2)x2 = ) x 2