Ta ph¶i tÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng phÇn.[r]
(1)Phơng pháp tính Tích phân
I Tính tích phân ph−ơng pháp đổi biến:
Những phép đổi biến phổ thơng:
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa đặt t phần bên dấu ngoặc có luỹ thừa cao
- Nếu hàm chứa mẫu số đặt t mẫu số
- Nếu hàm số chứa thức đặt t phần bên dấu thức - Nếu tích phân chứa
x dx
đặt t ====lnx - Nếu tích phân chứa x
e đặt t====ex
- NÕu tÝch ph©n chøa x dx
đặt t ==== x - Nếu tích phân chứa 2
x dx
đặt x 1 t ====
- Nếu tích phân chứa cosxdx đặt t ====sinx - Nếu tích phân chứa sinxdx đặt t ====cosx - Nếu tích phân chứa
x cos
dx
2 đặt t ====tgx
- NÕu tÝch ph©n chøa
x sin
dx
2 thỡ t t ====cotgx
Bài tập minh hoạ: 1.∫∫∫∫(((( ++++ ))))(((( ++++ −−−− ))))
1
0
3 2
dx 1 x 2 x 1
x x. 1 xdx
1
0 3
∫∫∫∫ −−−− ∫∫∫∫
−−−−
e
1 x. 1 ln2x
dx
∫∫∫∫ −−−−
1
0 x
x
1 e
dx e
5 ∫∫∫∫
++++
1
0 x 1 x
dx
∫∫∫∫
ππππ
++++ −−−−
2
0 2
6 x sin 5 x sin
xdx cos
∫∫∫∫
ππππ
++++
2
0 3
x cos 1
xdx sin 4
∫∫∫∫
ππππ
4
0 2 tgx
x cos
dx e
9 ∫∫∫∫
ππππ
ππππ
2
4 4
x sin
dx
10 x . 1 x dx
1
0
2 3
∫∫∫∫
II Tính tích phân phơng pháp tích phân phần:
Công thức: ====
b
a b
a
b
a vdu
uv dx ) x (
f Nh− việc chọn đ−ợc u dv có vai trò định việc áp dụng ph−ơng pháp ny
Ta thờng gặp ba loại tích phân nh sau: Lo¹i 1:
) x ( P u dx
. e ). x ( P
dx ). x ( f cos ). x ( P
dx ). x ( f sin ). x ( P
n
b
a
) x ( f n b
a n b
a n
==== ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
(2)Ta phải tính n lần tích phân phần Loại 2: b ====
a
n n
) x ( f ln u dx
). x ( f ln ). x (
P : Tính n lần tích phân phần
Lo¹i 3:
ββββ ββββ
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
α αα α α αα α
b
a x b
a x
dx . x cos . e
dx . x sin . e
Đây hai tích phân mà tính tích phân phải tính tích phân lại Thông thờng ta làm nh sau:
- TÝnh ∫∫∫∫ αααα ββββ
b
a x
dx . x sin .
e :Đặt u====ex Sau tích phân phần ta lại cã tÝch ph©n
∫∫∫∫ αααα ββββ
b
a x
dx . x cos .
e .Ta lại áp dụng TPTP với u nh
- Tõ hai lÇn TPTP ta cã mèi quan hƯ hai tích phân dễ dàng tìm đợc kết Bài tập minh hoạ:
1.(((( ))))
ππππ
++++ −−−−
2
0 2
dx . x sin . 1 x
x ∫∫∫∫
e
1
2 3
dx . x ln .
x ∫∫∫∫
ππππ
0 2
dx . x 3 cos . x
4 ∫∫∫∫
ππππ
2
0 x 3
dx . x 5 cos .
e ∫∫∫∫
ππππ
2
0 x 2003
dx . x 2004 sin .
e ∫∫∫∫
ππππ
2
0
2 x 2
dx . x sin . e
Ngoài ta xét thêm vài tích phân áp dụng ph−ơng pháp TPTP nh−ng khơng theo quy tắc đặt trên:
1 ∫∫∫∫ (((( ))))
ππππ
e
1
dx . x ln
cos
(((( )))) ∫∫∫∫
−−−−
2
0
3 4
8
1 x
dx . x
∫∫∫∫
e
1
3
dx . x
x ln
(((( ))))
∫∫∫∫
++++
1
0
2 x 2
2 x
dx . e x
∫∫∫∫
ππππ
++++ ++++
2
0
x
dx e . x cos 1
x sin 1
III Tích phân hàm phân thức hữu tỷ:
Phần 1: Tích phân hữu tỷ bản.
1 a.Dạng: lnax b C
a A dx b ax
A
++++ ++++ ====
++++
∫∫∫∫
b.D¹ng: ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
++++ ++++
==== ++++
++++
dx d cx
A dx
c a dx d cx
b ax
c D¹ng: ∫∫∫∫ ∫∫∫∫(((( )))) ∫∫∫∫
++++ ++++
++++ ====
++++ ++++ ++++
dx e dx
C dx
B Ax dx
e dx
c bx ax2
2 a.D¹ng: ∫∫∫∫
++++
++++bx c
ax dx
2
- NÕu ∆∆∆∆>>>>0:
(((( ))))(((( )))) (((( (((( )))) (((())))(((( ))))))))
x x x x a
dx x x x
x x x
1 x
x x x a
dx
2 1
2 1
1 2 2 1
∫∫∫∫
∫∫∫∫ ====
−−−− −−−−
−−−− −−−− −−−− −−−−
==== −−−− −−−−
- NÕu ∆∆∆∆====0: a
2 b x a
dx
2
∫∫∫∫ ====
−−−− - NÕu ∆∆∆∆<<<<0:
(((( ))))
∫∫∫∫
ββββ ++++ αααα
−−−− 2 2
x dx
(3)3 D¹ng: ∫∫∫∫
++++ ++++
++++
==== dx
c bx ax
B Ax
I 2
Ph©n tÝch: ∫∫∫∫ ∫∫∫∫(((( )))) ∫∫∫∫
++++ ++++ ++++
++++ ++++
++++ ++++ ====
++++ ++++
++++ ====
c bx ax
dx .
n dx c bx ax
' c bx ax
. m dx c bx ax
B Ax
I 2 2
2 2
∫∫∫∫
++++ ++++ ++++
++++ ++++ ====
c bx ax
dx .
n c bx ax
ln .
m 2 2
Bài tập minh hoạ: 1.
++++
1
0
dx 2004 x
2003
2003 x
2004
2.∫∫∫∫
++++ ++++
2
1
2
x 5 x 6
dx
∫∫∫∫
++++ −−−−
4
0 2
9 x 6 x
dx
∫∫∫∫
++++ ++++
1
0 2
1 x x
dx
∫∫∫∫
++++ ++++
++++
2
1
2 dx
x 5 x 6
3 x 2
∫∫∫∫
++++ ++++
−−−−
1
0
2 dx
1 x x
x 3 4
Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát
b
a
dx ) x ( Q
) x ( A
- B−íc 1: NÕu bËc cđa A(x) lín h¬n bËc cđa B(x): Chia chia A(x) cho B(x) Ta phải tính tích phân:
b
a
dx ) x ( Q
) x ( P
- B−íc 2:
+ Nếu Q(x) toàn nghiệm đơn: Q(x)====((((x−−−−a1))))((((x−−−−a2)))) (((( x−−−−an)))), ta tìm A1,A2 An
sao cho :
n n 2
2 1
1
a x
A
a x
A a
x A )
x ( Q
) x ( P
−−−− ++++ ++++ −−−− ++++ −−−− ====
+ Nếu Q(x) gồm nghiệm đơn nghiệm bội: (((( ))))(((( ))))(((( ))))2
c x b x a x ) x (
Q ==== −−−− −−−− −−−− , ta t×m
2
1,C
C , B ,
A cho :
(((( )))) ((((x c))))
C c
x C b
x B a
x A )
x ( Q
) x (
P 2
2 1
−−−− ++++ −−−− ++++ −−−− ++++ −−−− ====
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn nhân tử bậc hai đơn: ((((x a))))((((x px q))))
) x (
Q ==== −−−− 2 ++++ ++++ , ta t×m A,B,C cho : q px x
C Bx a
x A )
x ( Q
) x ( P
2
++++ ++++
++++ ++++
−−−− ====
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn nhân tử bậc hai bội:
(((( ))))(((( 2 ))))2
q px x
a x ) x (
Q ==== −−−− ++++ ++++ , ta t×m A,B1,C1,B2,C2 cho :
(((( )))) x px q C x B q
px x
C x B a
x A )
x ( Q
) x ( P
2
2 2
2 2
1 1
++++ ++++
++++ ++++
++++ ++++
++++ ++++
====
Bài tập minh hoạ:
1 dx
x 4 x
8 x 16 x 4
3
2 3 2
∫∫∫∫ ++++−−−− −−−− dx 2 x 3 x
3 x 3 x 3
2
1 3
2
∫∫∫∫ −−−−++++ ++++++++ dx x x
1 x
5
2
2 3
∫∫∫∫ −−−−++++
IV Tích phân hàm vơ tỷ đơn giản:
1.D¹ng: ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
++++ ++++ b
a n
b
a n
b ax
dx ;
dx . b
ax : §ỉi (((( ))))n
1 n
b ax b
(4)2.D¹ng: ∫∫∫∫ ++++ ++++
b
a 2
dx . c bx ax
- Nếu a>0 : Tích phân có dạng u a du
b
a
2 2
∫∫∫∫ ++++ t u=atgt
Hoặc chứng minh ngợc công thức: lnu u a C
2 u a u 2 u du a
u 2 2
2 2 2 2
2
++++ ++++ ++++
++++ ++++ ====
++++
∫∫∫∫
NÕu a<0 : Tích phân có dạng a u du
b
a
2 2
∫∫∫∫ −−−− đặt u=asint
3.D¹ng: ∫∫∫∫
++++ ++++
b
a ax2 bx c
dx
- NÕu ∆∆∆∆>>>>0:
(((( ))))(((( )))) (((( a((((x )))) ((((x ))))((((x x))))))))
dx x x x
x x x
1 x
x x x a
dx
2 1
2 1
1 2 2 1
∫∫∫∫
∫∫∫∫ ====
−−−− −−−−
−−−− −−−− −−−− −−−−
==== −−−− −−−−
- NÕu ∆∆∆∆====0: ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ====
−−−− ====
−−−− a x 2ba
dx
a 2
b x a
dx
2
- NÕu ∆∆∆∆<<<<0: Víi a>o:
(((( ))))
∫∫∫∫
ββββ ++++ αααα
2 2
x dx
Đặt ((((x))))====.tgt
Hoặc chứng minh ngợc công thức: lnu u a C
a u
du 2 2
2
2 ==== ++++ ++++ ++++
++++
∫∫∫∫
Víi a<0:
(((( ))))
∫∫∫∫
αααα −−−− −−−−
ββββ2 2
x dx
Đặt ((((x ))))====.sint
Bài tập minh hoạ: ∫∫∫∫
++++ −−−−
==== 3
0 x2 3x 2
dx
I ∫∫∫∫
++++ ++++
==== 1
0 x2 2x 1
dx
I ∫∫∫∫
++++ ++++
==== 1
0 x2 x 1
dx
I ∫∫∫∫
++++ −−−− −−−−
==== 1
0 x2 2x 3
dx I
5 ====∫∫∫∫ ++++ ++++
1
0 2
dx . 1 x x
I ====∫∫∫∫ −−−− −−−− ++++
1
0
2
dx . 3 x 2 x I
4.D¹ng
(((( ))))
∫∫∫∫
++++ ++++ αααα
++++
b
a x ax2 bx c
dx
Đặt (((( )))) t 1 x++++αααα ==== BTMH:
(((( ))))
∫∫∫∫
++++ ++++ ++++
1
0 x 1 x2 x 1
dx
(((( ))))
∫∫∫∫
++++ ++++
1
0 2x 4 x2 2x
dx
5.D¹ng: R((((n ((((ax b)))) ((((m;q ax b))))p)))).dx
∫∫∫∫ ++++ ++++ Đặt (((( ))))s 1
b ax
t ==== ++++ víi s lµ BCNN cđa n vµ q BTMH:
(((( )))) (((( ))))
∫∫∫∫
++++ −−−−
++++
1
0 3 2x 1 2 2x 1
dx
(((( )))) (((( ))))
∫∫∫∫
−−−− −−−− −−−−
1
0 1 2x 4 1 2x
dx
∫∫∫∫
++++
1
0 3
6
dx x 1
x
V Tích phân hàm số lợng giác:
1.D¹ng: ∫∫∫∫ (((( ))))
b
a
dx x cos ; x sin f
(5)- Nếu f hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx
- Nếu f hàm chẵn theo sinx cosx: Đặt t=tgx Bài tập minh ho¹: 1.∫∫∫∫ ππππ 2 0 3 3 dx x cos x sin
∫∫∫∫
ππππ ++++ 6 0 3 dx x sin 4 x cos
∫∫∫∫
ππππ 4 0 3 x cos . x sin dx (((( )))) ∫∫∫∫ ππππ ++++ 4 0 2 x cos x sin dx
2.D¹ng: ∫∫∫∫
b a n m dx . x cos . x sin
- Nếu m n chẵn: Hạ bậc - Nếu m lẻ: Đặt t=cosx - Nếu n lẻ: Đặt t=sinx
Bài tập minh hoạ: 1. ππππ 2 0 2 3 dx . x cos . x
sin ∫∫∫∫
ππππ 2 0 2 4 dx . x cos . x
sin 3.∫∫∫∫
ππππ 2 0 2 4 dx x cos x sin
∫∫∫∫
ππππ 2 0 4 4 x sin . x cos dx
3.D¹ng:∫∫∫∫ (((( ))))
b a dx . x cos ; x sin
R trong R hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Đặt
2 x tg
t==== 2
t 1 dt 2 dx ++++ ==== ⇒ ⇒⇒
⇒ ; 2
t 1 t 2 x sin ++++
==== ; 2
2 t 1 t 1 x cos ++++ −−−−
==== ; 2
t 1 t 2 tgx −−−− ====
Cơ thĨ lµ hµm: ∫∫∫∫
++++ ++++
==== b
aasinx bcosx c
dx I
Bài tập minh hoạ:
++++ ++++
==== 4
0 sinx cosx 1
dx
I (((( ))))
(((( ))))dx
1 x cos . x sin x sin 1 I 2 0 ∫∫∫∫ ππππ ++++ ++++
====
(((( ))))
∫∫∫∫
ππππ
++++
==== 2
0 cosx 2
dx I
4.D¹ng: ∫∫∫∫
++++ ++++ ==== b a dx x cos d x sin c x cos b x sin a I
Ph©n tÝch: (Tư sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’
(((( )))) ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ==== ++++ ++++++++ ++++ −−−− ++++ ==== ++++ ++++ ==== b a b a b a b a b
a csinx dcosx
x cos d x sin c d . B dx A dx x cos d x sin c x sin d x cos c . B dx A dx x cos d x sin c x cos b x sin a I
Bài tập minh hoạ:
ππππ ++++ −−−− ==== 2 0 dx x cos 3 x sin 4 x cos 2 x sin 3 I 5.D¹ng: ∫∫∫∫
++++ ++++
++++ ++++
==== b
a 2 2 2
1 1 1 dx c x cos b x sin a c x cos b x sin a I
Ph©n tÝch: (Tư sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’+C
(((( )))) C.J
c x cos b x sin a c x cos b x sin a d B dx A c x cos b x sin a dx C dx c x cos b x sin a x sin b x cos a B dx A I b
a 2 2 2
2 2 2 b a b
a 2 2 2
b
a 2 2 2
2 2 b a ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ −−−− ++++ ==== ∫∫∫∫
J tích phân tính đợc
Bài tập minh hoạ: 1
++++ ++++ ++++ −−−− ==== 2 0 dx 3 x cos 2 x sin 1 x cos x sin
I ∫∫∫∫
(6)VI Phép đổi biến đặc biệt:
∫∫∫∫ ==== b
a
dx ) x ( f I
Khi sử dụng cách tính tích phân mà khơng tính đ−ợc ta thử dùng phép đổi biến: ((((a b)))) x
t==== ++++ −−−− Thực chất phép đổi biến nhờ tính chất chẵn lẻ hàm số f(x)
Bài tập minh hoạ:
ππππ −−−− ++++
==== 2
2
x dx
1 e
x cos
I ∫∫∫∫ (((( ))))
−−−−
++++ ++++
==== 1
1
2 3
dx 1 x x ln
I ∫∫∫∫
ππππ
++++ ====
0
2 dx
x cos 1
x sin x
I ∫∫∫∫
−−−− ++++
==== 1
1
x dx
1 2003
x 2004 sin
I
Chøng minh r»ng:
1 NÕu f(x) lµ hµm sè chẵn liên tục [[[[a;a]]]] thì:
−−−−
==== a
0 a
a
dx ) x ( f . 2 dx ) x ( f
2 Nếu f(x) hàm số lẻ liên tục [[[[a;a]]]] thì: f(x)dx 0
a
a
∫∫∫∫
−−−−
==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
ππππ ππππ
====2
0 2
0
dx ) x (cos f dx ) x (sin
f ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
ππππ ππππ
ππππ ==== 2
0 2
0