Phương pháp tích phân từng phần tạo các lượng triệt tiêu

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TẠO CÁC LƯỢNG TRIỆT TIÊU Dự án năm 2019 nhóm Giáo viên Tốn Việt Nam thầy Lê Tài Thắng phụ trách Trong trình dạy học tốn tích phân, có nhiều cách tính tích phân đổi biến, phần…Tuy nhiên đứng trước tốn khơng phải lúc thấy ln điều đó, đặc biệt tốn cồng kềnh hình thức phức tạp Mặc dù cách xử lý lại đơn giản, xuất phát từ thứ gần gũi thân quen mà thân chũng ta lại không ngờ đến Từ thực tế kinh nghiệm giảng dạy như cầu học tập em học sinh, BQT xin đưa hướng làm nhỏ tốn tích phân: Phương pháp tích phân phần tạo lượng triệt tiêu Cở sở phương pháp sử dụng tích phân học chương trình sách giáo khoa định nghĩa tích phân I PHƯƠNG PHÁP Phương pháp tích phân phần b Tính tích phân I =  u ( x ) v ( x ) dx a Cách tính: u = u ( x ) du = u  ( x ) dx  Đặt  dv = v ( x ) dx v = v ( x ) b Khi I = ( u.v ) ba −  v.du (công thức tích phân phần) a Chú ý: b b a a + Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân  vdu dễ tính  udv + Với P( x) hàm đa thức ta có ý trường hợp sau b b b b a a a a x  P( x ).e dx u dv  P( x ).cos xdx P(x)  P( x ).sin xdx P(x) cos xdx e x dx b P(x) sin xdx  P( x ).l n xdx lnx P(x) Xét tốn: Tính tích phân I =  f ( x ) dx , ta giải với cách sau: a b b b a a a + Ta đưa I dạng I =  f ( x ) dx =  f1 ( x ) dx +  f ( x ) dx (1) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM b  f ( x ) dx đưa dạng + Ta sử dụng phương pháp tích phân phần để tính a b b  f ( x ) dx = A −  f ( x ) dx Thay vào (1) ta tính I = A a a Vấn đề ta lựa chọn việc tách f ( x ) = f1 ( x ) + f ( x ) cho việc sử dụng phương pháp tích phân b phần để đưa  b f1 ( x ) dx tạo tích phân −  f ( x ) dx a a II Câu CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG e Cho    ln x A a = 2b −  a − be với a, b số nguyên Mệnh đề đúng?  dx = ln x  ln B 2a = b C a + b = D a + b = Lời giải Chọn A       + Tính   −  dx =    dx −    dx = I1 + I ln x ln x  ln x  ln x  2 2 2 e e e e dx theo phần, đặt + I2 =  ln x −1   dx u = du = suy ln x =  x.ln x    dv = dx v = x e e x − I1 = e − dx = − I1 ln x ln x ln 2 I2 =        d x = d x − Nên   −      dx = I1 + I = e − ln   ln x ln x  ln x  ln x  2 2 2 e e e Vậy a = −2; b = −1 Nhận xét: Bài toán tách sẵn nên cần tích phân phần tích phân thứ để tạo lượng đối tích phân lại 1 eae  Cho I =  e2 x ln x  ln x +  dx = + c với a, b, c  Tính T = a + b + c x b  A −2 B C −4 D Lời giải Chọn D e Câu 1  Ta có I =  e ln x  ln x +  dx =  e x ln xdx +  e x ln x dx x x  1 e e e 2x M N e  1 2x  2x e Lại có N =  e ln x dx =  e d ( ln x ) = e ln x −  ln xd ( e x )  1 x 21 2  e e 2x e 2x e = e ln x −  e2 x ln xdx = e2e − M 1 2 1  Suy I = M + N = M +  e e − M  = e e 2  Do a = b = 2, c = Vậy T = a + b + c = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Nhận xét: + Ta thấy toán tương đối phức tạp thống nhìn qua, nhiên theo hướng dạng tốn chũng ta có hướng xử lý e + Ta dùng cơng thức tích phân phần cho tích phân M =  e2 x ln xdx Vì vai trị hai tích phần nhau, quan trọng ta chọn phần tích phân để nhanh chóng cho kết nhanh mà lại đơn giản  du = ln x x dx u = ln x → Đặt  2x dv = e dx Chän v = e2 x  e e 2x e 1 Ta M =  e ln xdx = e ln x −  e2 x ln x dx = e2e − N 1 x 2x 1  Vậy I = M + N =  e e − N  + N = e e 2  Câu I Biết x( x 1) e T = log 6000a − log b A T log 15 1 x a e a dx B T b e , biết b a, b số nguyên dương Tính C T log D T Lời giải Chọn C x( x 1) I u dv Ta có: N 1)2 (x e x e 1)2 (x x Suy I e dx 1 x dx 1)2 (x e 1 x dx 1 1x e dx x2 x v 1 x 4 1 x e x( x 1) e x( x 1) dx du x x dx x e 1)2 (x Xét N Đặt: 1 x x x dx 1 2e x e 1 x e dx e e 1 e x dx x( x 1) 1 e x dx x( x 1) Vậy a = 5, b =  T = log ( 6000.5) − log3 = log10000 = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc e e 3 NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM  + sin x x e dx = e a + b với b số nguyên Tính giá trị biểu thức S = 2a + b + cos x Câu Cho tích phân I =  B S = 2 A S =   C S = Lời giải   D S =   2 2 + sin x x ex sin x ex Ta có I =  e dx =  dx +  = dx +  + cos x + cos x + cos x 2cos2 x 0 0 2  x x 2sin cos 2 e x dxe x dx x 2cos  = x x dx +  tan e x dx x 2 cos 2 e u = e x du = e x dx    Đặt dv = x dx   x  v = tan cos          x x  x x  dx +  tan e x dx =  tan e x  −  tan e x dx +  tan e xdx = e x 2 0 2  2cos 0 e Do I =  x  Vậy S = 2a + b = + =  Nhận xét:  + Khi biến đổi thành I =   x x dx +  tan e x dx Nếu để ý kĩ ta thấy x 2 cos 2 e    2 x  x x x  x x  x     I = tan e d x + tan e d x = tan tan = nên ta viết lại ( )   0   0 0  e  dx  cos x  Làm việc đòi hỏi học sinh phải nắm công thức đạo hàm, nguyên hàm tư suy ngược giải toán + Bản chất cơng thức tích phân phần xuất phát từ b b b b b a a a a a  ( u.v ) dx = ( u.v + uv) dx   u.vdx = (u.v ) dx − uvdx b b a a nên ta phân tích đưa I =  f ( x ) dx =  ( u.v ) dx sau sử đụng định nghĩa tích phân việc giải tốn nhanh gọn Vì vây, ta đồng thời dụng tích phân phần để giải dạng toán kiểu Câu  2 Biết I =  1 −  e x dx = ae + bec , với a, b, c số thực Tính S = a + 2b + c x 1 A S = B S = C S = −3 D S = Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM  2  4  4     I =  1 −  e x dx =  1 − +  e x dx =  1 −  e x dx +   e x dx = A +   e x dx x x x  x x x   1 1 1 1 1 2 2  4 Xét A =  1 −  e x dx x 1 4   u = − du = dx Đặt  x  x dv = e x dx v = e x    4  4   Khi A =  1 −  e x dx= 1 −  e x −   e x dx x  x 1 x  1 2 2  2  4      4 Vậy I =  1 −  e x dx = 1 −  e x −   e x dx +   e x dx = 1 −  e x = 3e − e2 x x  x 1 x    x 1 1 Vậy a = 3, b = −1, c =  S = a + 2b + c = 2 Chú ý: Ta biến đổi để làm sau: 4  2  4  4  I =  1 −  e x dx =  1 − +  e x dx =   e x + 1 −  e x dx x x x  x  x  1 1  2 2 2   x   x     x  4 x   =  1 −  e + 1 −  ( e ) dx =  1 −  e  dx = 1 −  e = 3e − e x x    x  x 1     Vậy a = 3, b = −1, c =  S = a + 2b + c = Nhận xét: Cách giải theo hướng hai làm cho ta thấy hiệu hiểu rõ vấn đề để đưa biểu thức dấu tích phân dạng đạo hàm tích hai biểu thức  Biết I =  sin x ( x sin x + x cos x ) dx = Câu B 21 A 11 a b với a, b, c  , c  Tính a + b + c c C D Lời giải    Cách 1: Ta có I =  sin x ( x sin x + x cos x ) dx =  x sin xdx +  x sin x cos xdx = A + B 2 0  Xét A =  x sin xdx du = 2sin x cos xdx u = sin x  Đặt   x2 v = dv = xdx    Suy A =  x 2 sin x −  x sin x cos xdx = −B 0 2 Vậy I = A + B  I = 2 −B+B  I = 2 Do a = 1; b = 2; c =  a + b + c = 11 Cách 2: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM   Ta có I =  sin x ( x sin x + x cos x ) dx =  ( x sin x + x sin x cos x ) dx 2 0   12   2 =  ( x sin x + x sin x cos x ) dx =  ( x ) sin x + x ( sin x )  dx 20 20      12 2  =  ( x ) sin x + x ( sin x )  dx =  ( x sin x ) dx = x sin x = 20 20  Nhận xét: Việc sử dụng tích phân phần tạo lượng triệt tiêu hay biến đổi để xuất dạng đạo hàm tùy thuộc vào khả nhìn nhận người, hiểu rõ vận dụng hướng làm đảm bảo cho em có nhiều cơng cụ việc giải toán Kết luận: Bài viết kinh nghiệm nho nhỏ trình dạy học, hy vọng giúp ích phần cho thầy trình dạy học em học sinh hiểu rõ vấn đề trình học tập tốn tích phân III BÀI TẬP VẬN DỤNG: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục Câu 1 thỏa mãn  f ( x ) dx = 10, f (1) = cot1 Tính tích phân I =   f ( x ) tan x + f ' ( x ) tan x  dx A −9 Câu B − cot1 C −1 D − ln ( cos1) e   x a Biết I =   + ln x +  e dx = e b − c.e với a số thực dương b; c số  x + ln x  1 nguyên dương Giá trị ln a + b + c = A B C D  Câu Biết I =  ( sin x + sin x − 1)esin x dx = − a.eb với a, b số thực dương Giá trị a − b A B − C D ea Tính giá trị biểu thức T = a − b b B T = −4 C T = D T = e Câu Biết I =  x5 ln x ( 3ln x + ) dx = A T = x.cosx.ln x + sin x dx = sin a.ln b với a, b  * Giá trị a + b2 x A B 20 C 10 D 13 Câu Biết   Câu Biết  (1 + x.cosx ).e S = 2a − b2 A −2 sin x dx = a e a , a, b số nguyên dương, phân số tối giản Tính b b B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C D NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM  Câu Biết I =  − ( tan x − tan x )e− xdx = a.e − b c với a, b, c số nguyên dương phân số giản.Giá trị biểu thức T = a + b + c A B 2 Câu Biết I e 2x 1 dx x a c e b  Biết I =  x ( cos x + x sin x )dx = a b cos x Giá trị a.b + c bằng? A 13 B 12 ln3 Câu 10 Giả sử x.e x  ( x + 1) dx = ln C D d , biết a, b, c, d số nguyên khơng âm phân số tối giản Tính T = a + b2 + c3 + d A 10 B Câu c C , với a, b, c số thực dương C 11 a b với a, b số nguyên dương Mệnh đề sau − ln ( ae ) ln ( be ) C 2a + 3b = 31 D log ( a + b + 5) =  ( 2x + x + 1) e x a phân số tối giản c D B log ab 36 = a b D sai? A a2 + b2 = 13 Câu 11 Biết b tối c dx = a.e7 + b.e3 ( a , b  + x +1 ) Đặt S = a2019 + b2020 Chọn khẳng định khẳng định sau? A S  22019 B 22019  S  32019 C 32019  S  112020 D 112020  S  112021 Hết https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc ... chũng ta có hướng xử lý e + Ta dùng cơng thức tích phân phần cho tích phân M =  e2 x ln xdx Vì vai trị hai tích phần nhau, quan trọng ta chọn phần tích phân để nhanh chóng cho kết nhanh mà lại đơn... 2 2 2 e e e Vậy a = −2; b = −1 Nhận xét: Bài toán tách sẵn nên cần tích phân phần tích phân thứ để tạo lượng đối tích phân cịn lại 1 eae  Cho I =  e2 x ln x  ln x +  dx = + c với a, b,... dụng phương pháp tích phân phần để tính a b b  f ( x ) dx = A −  f ( x ) dx Thay vào (1) ta tính I = A a a Vấn đề ta lựa chọn việc tách f ( x ) = f1 ( x ) + f ( x ) cho việc sử dụng phương pháp