Hướng dẫn. Viết phương trình AM , lấy giao với BC. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến chung của hai đường tròn... Đáp số. Tìm C sao cho tam giác ABC vuông và nội tiếp đường tròn..[r]
(1)Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
ThS Nguyễn Xuân Quý∗
Tài liệu ôn thi Đại học - Cao đẳng
1 Một số tập tổng hợp
1.1 Cho A(10; 5), B(15;−5), C(−20; 0) là3 đỉnh hình thang cân ABCD TìmC, biết rằngABkCD
Đáp số.C(−7;−26)
1.2 Cho đường cong (Cm) :x2+y2+ 2mx−6y+ 4−m=
a) Chứng minh (Cm) đường trịn với m Tìm quĩ tích tâm đường trịn (Cm) khim thay đổi;
b) Với m = 4, viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng (∆) : 3x−4y+ 10 = cắt đường tròn hai điểmA, B cho AB=
Đáp số.a) Quĩ tích đường thẳngy= 3; b)(d) : 4x+ 3y+ 27hoặc4x+ 3y−13 =
1.3 Cho M 52; 2, đường thẳng (d1) : y = x2, (d2) : y = 2x Lập phương trình đường thẳng (d) qua M, cắt (d1),(d2) A, B cho M trung điểm AB
Đáp số.(d) :y=
1.4 Tam giác ABC cân A, cóBC :x−3y−1 = 0, AB :x−y−5 = 0, đường thẳng chứa cạnh AC qua điểmM(−4; 1) Tìm tọa độ điểmC
Hướng dẫn.Tìm tọa độA19 4;−14
trước Viết phương trìnhAM, lấy giao vớiBC.Đáp số.C8 5;15
1.5 Tam giácABC có A(−1; 2), B(2; 0), C(−3; 1) a) Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giácABC; b) Tìm điểm M đường thẳngBC cho SABM =
1 3SABC
Đáp số.a)I−11 14;−1314
; b)M1 3;13
hoặcM11 3;−13
1.6 Cho đường thẳng (d) : √2.x+my + 1−√2 = 0, hai đường tròn (C1) : x2 +y2 −2x+ 4y −4 = 0, (C2) :x2+y2+ 4x−4y−56 =
a) Gọi I tâm đường tròn (C1) Tìm m cho (d) cắt C1 hai điểm A, B phân biệt Với giá trị
m tam giácIAB có diện tích lớn nhất?
b) CMR(C1),(C2) tiếp xúc Viết phương trình tất tiếp tuyến chung hai đường tròn
Đáp số.a) Với mọimthì(d)ln cắt(C1)tại hai điểm phân biệt,m=−4thì diện tích tam giác lớn nhấtS= 92; b) Hai đường tròn tiếp xúc trong, tiếp tuyến chung là3x−4y−26 =
1.7 Viết phương trình ba cạnh tam giácABC biết rằngC(4; 3), đường phân giác đường trung tuyến kẻ từ đỉnh tam giác có phương trình là(d) :x+ 2y−5 = 0,(d0) : 4x+ 13y−10 =
Hướng dẫn.Giả sử hai đường kẻ từ đỉnhA(vì khơng thể từC), vậyA(9;−2) Dựa vào tính chất đối xứng đường phân giác, ta dựng đượcAB:x+ 7y+ = Tìm trung điểmM(−4; 2)củaBC.Đáp số.BC:x−8y+ 20 =
1.8 Viết phương trình đường trịn tâmQ(−1; 2), bán kính R=√13 Gọi A, B giao điểm đường trịn đường thẳng(d) :x−5y−2 = Tìm C cho tam giácABC vng nội tiếp đường tròn
Đáp số.C(−4; 4)hoặc(1; 5)
1.9 Cho A(1; 0), B(2; 1), đường thẳng(d) : 2x−y+ =
a) Viết phương trình đường trịn tâmA, tiếp xúc với(d), tìm vị trí B đường trịn đó; b) Tìm M trên(d) cho M A+M B nhỏ
Đáp số.b)M−8 11;1711
∗
GV Toán - ĐH Kiến trúc Hà Nội - EMAIL: quynx2705@gmail.com - TEL: 0986.980.256
(2)1.10 Tam giácABC có AB: 4x+y+ 15 = 0, AC : 2x+ 5y+ = 0, trọng tâm G(−2;−1) Viết phương trình đường thẳngBC
Đáp số.x−2y+ =
1.11 Tam giác ABC có AB : 2x+ 5y+ = 0, AC : x−2y−2 = 0, trung điểm BC M(−2; 2) Viết phương trình đường thẳngBC
Đáp số.B(409;119),C(−76
9;259),BC: 63x+ 522y−918 =
1.12 Tam giác ABC có A(4; 0), B(0; 3), trọng tâmG nằm (d) : x−y−2 = 0, diện tích bằng22,5 Tìm tọa độ đỉnhC
Hướng dẫn.Tìm trọng tâmGtrước, ý rằngSGAB=13SABC.Đáp số.C(17; 12)hoặcC(−1;−6)
1.13 Tam giác ABC có A(2;−3), B(3;−2), trọng tâmGnằm trên(d) : 3x−y−8 = 0, diện tích 32 Tìm tọa độ đỉnhC
Hướng dẫn.Tìm trọng tâmGtrước, ý rằngSGAB=13SABC.Đáp số.C(−2;−10)hoặcC(1;−1)
1.14 Tam giácABC có A(−1;−3), trọng tâm G(4;−2), trung trực củaAB có phương trình3x+ 2y−4 = Tìm tọa độ đỉnh B, C
Hướng dẫn.Tìm trung điểm củaAB.Đáp số.B(5; 1), C(8;−4)
1.15 Viết phương trình cạnh hình vngABCD biết đỉnh là(−4; 5), đường chéo là7x−y+ =
Đáp số.A(−4; 5), B(0; 8), C(3; 4), D(−1; 1)
.1.16 Hình bình hànhABCDcó diện tích bằng4, đỉnhA(1; 0), B(2; 0) Hai đường chéoAC vàBDcắt tạiI nằm đường thẳng x−y= Tìm tọa độC, D
Hướng dẫn.TìmItrước,I(2; 2)hoặc(−2;−2).Đáp số.C(3; 4), D(2; 4)hoặcC(−5;−4), D(−6;−4)
1.17 Cho đường tròn tâmI có phương trình x2+y2−4x+ 2y−4 = 0và đường trịn tâmJ có phương trình x2+y2−10x−6y+ 30 =
a) Chứng minh (I) tiếp xúc với(J) H;
b) Gọi (d) tiếp tuyến chung hai đường trịn khơng quaH Tìm giao điểmK của(d) vàIJ; c) Viết phương trình đường trịn quaK, tiếp xúc với hai đường tròn (I),(J) tạiH
Hướng dẫn.Từ−IH→= R
R+R0
−→
IJ, suy raH195;75 Áp dụng Thales, suy raKJ−−→= 23−→KI, từ tìm đượcK(11; 11)
1.18 Phương trình hai cạnh tam giác 5x−2y+ = 0và4x+ 7y−21 = 0, viết phương trình cạnh thứ ba, biết trực tâm tam giác trùng gốc tọa độ
Đáp số.y=
1.19 Tam giácABC có A(1; 3), hai đường trung tuyếnx−2y+ = 0,y−1 = Viết phương trình cạnh tam giác
Đáp số.x−y+ = 0,x+ 2y−7 = 0,x−4y−1 =
1.20 Tam giác ABC có C(−4;−5), hai đường cao 5x+ 3y−4 = 0, 3x+ 8y+ 13 = Viết phương trình cạnh tam giác
Đáp số.A(−1; 3),B(1;−2)
.1.21 Tam giácABC cóC(4;−1), đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh là2x−3y+12 = 0,2x+3y= Viết phương trình cạnh tam giác
Đáp số.A(−3; 2),B(8;−7)
1.22 Cho đường thẳng d1 :x−y−1 = 0,d2: 3x−y+ = 0và điểmM(1; 2) Viết phương trình đường thẳng
dquaM, cắtd1,d2 tạiM1,M2 cho:
a)M M1 =M M2; b) M M1 = 2M M2
Đáp số.a)x= 1; b)x+y−3 =
1.23 Cho A(1; 1), tìmB đường y= 3,C trục hồnh cho tam giácABC
Đáp số.B(1±√4
3; 3);C(1±
√
3; 0)
1.24 Viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x−4y+ = 0và cáchdmột khoảng
Đáp số.3x−4y+ = 0hoặc3x−4y−4 =
(3)1.25 Lập phương trình đường dqua A(1; 2) cho khoảng cách từM(2; 3) vàN(4;−5)tớidbằng
Đáp số.4x+y−6 = 1hoặc3x+ 2y−7 =
1.26 Cho A(2; 1),B(0; 1),C(3; 5),D(−3;−1) a) Tính diện tích tứ giácABDC;
b) Viết phương trình cạnh hình vng có cạnh song song quaA C, hai cạnh lại quaB vàD
Đáp số.a)S= 7; b) Có hình vng:x−3y+ 1(+12) = 0,3x+y−1(+10) = 0và7x+y−15(−26) = 0,x−7y+ 7(−4) =
1.27 Lập phương trình đường thẳng qua P(2; 5) cáchQ(5; 1) khoảng
Đáp số.x= 2hoặc7x+ 24y−134 =
2 Các thi Đại học - Cao đẳng (đề chung Bộ GD ĐT)
1 (ĐH A10) Chuẩn: Cho đường thẳngd1 :
√
3x+y= 0và d2 :
√
3x−y= 0, gọi (T) đường tròn tiếp xúc
với d1 A, cắt d2 B C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (T) biết tam giác
ABC có diện tích
√
2 điểmA có hồnh độ dương
2 (ĐH A10) NC: Tam giác ABC cân A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm AB, AC có phương trình x+y−4 = TìmB, C biết E(1;−3)thuộc đường cao hạ từ đỉnh C tam giác
3 (ĐH B10) Chuẩn: Tam giácABCvng tạiA, cóC(−4; 1), phân giác gócAcó phương trìnhx+y−5 = Viết phương trìnhBC biết diện tích tam giác ABC 24 vàA có hồnh độ dương
4 (ĐH B10) NC: Cho A(2;√3) Elip(E) : x32 +y22 = có tiêu điểm F1, F2 (F1 có hồnh độ âm) M
giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E),N đối xứng với F2 qua M Viết phương trình
đường tròn ngoại tiếp tam giácAN F2
5 (ĐH D10) Chuẩn: Tam giácABC có đỉnh A(3;−7), trực tâmH(3;−1), tâm đường trịn ngoại tiếpI(−2; 0) Tìm tọa độC biết C có hoành độ dương
6 (ĐH D10) NC: Cho A(0; 2), ∆ đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vng góc A lên ∆ Viết phương trình đường thẳng∆biết khoảng cách từ H đến trục hồnh bằngAH
7 (CĐ 10) Khơng có phần này!
8 (ĐH A09) Chuẩn: Hình chữ nhật ABCD có giao điểm đường chéo I(6; 2), biết M(1; 5) thuộc đường thẳngAB trung điểm E củaCD thuộc đườngd:x+y−5 = Viết phương trình đường thẳngAB (ĐH A09) NC: Cho đường trịn(C) :x2+y2+4x+4y+6 = 0có tâmIvà đường thẳng∆ :x+my−2m+3 =
vớim∈R Tìm mđể ∆cắt (C) hai điểm phân biệtA, B cho diện tích tam giác IAB lớn 10 (ĐH B09) Chuẩn: Cho(C) :(x−2)2+y2 = 45 d1 :x−y= 0,d2 :x−7y = Viết phương trình đường
trịn có tâm nằm trên(C) tiếp xúc với cảd1, d2
11 (ĐH B09) NC: Tam giácABC cân tạiA(−1; 4), đỉnhB, C nằm đường thẳng ∆ :x−y−4 = Xác định tọa độB vàC biết diện tích tam giácABC 18
12 (ĐH D09) Chuẩn: Tam giácABC có M(2; 0) trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao từ đỉnh Alần lượt là7x−2y−3 = 0và 6x−y−4 = Viết phương trình đường thẳng AC
13 (ĐH D09) NC: Đường trịn(C) : (x−1)2+y2 = có tâmI TìmM (C) cho \IM O= 30◦
14 (CĐ 09) Chuẩn: Tam giác ABC có C(−1;−2), đường trung tuyến từ A đường cao từ B
5x+y−9 = 0và x+ 3y−5 = Tìm A, B
15 (CĐ 09) NC: Cho đường thẳng∆1 :x−2y−3 = 0và∆2:x+y+ = Tìm M trên∆1 cho khoảng
cách từM đến∆2 √12
16 (ĐH A08) Viết phương trình tắc elip có tâm sai
√
3 hình chữ nhật sở có chu vi 20
(4)17 (ĐH B08) Tìm đỉnhCcủa tam giácABC biết hình chiếu vng góc củaClên đường thẳngABlàH(−1;−1), đường phân giác góc Alàx−y+ = 0, đường cao kẻ từB là4x+ 3y−1 =
18 (ĐH D08) Cho parabol (P) : y2 = 16x A(1; 4) Hai điểm B, C (khác A) di động (P) cho \
BAC = 90◦ CMR đường thẳng BC qua điểm cố định
19 (CĐ A08) Tìm A trục hoành, B trục tung cho A, B đối xứng qua đường thẳng d :
x−2y+ =
20 (ĐH A07) Cho tam giácABC cóA(0; 2),B(−2; 2),C(4;−2), đường caoBH, trung tuyếnCM, AN Viết phương trình đường trịn quaH, M, N
21 (ĐH B07) ChoA(2; 2), đường thẳngd1 :x+y−2 = 0,d2 :x+y−8 = TìmB, C trênd1, d2
sao cho tam giácABC vuông cân tạiA
22 (ĐH D07) Cho đường tròn(C):(x−1)2+ (y+ 2)2 = vàd: 3x−4y+m= Tìmmđể trêndcó điểmP mà từ kẻ tiếp tuyếnP A, P B tới(C) cho tam giácP AB
23 (ĐH A06) Chod1 :x+y+ = 0,d2 :x−y−4 = 0,d3 :x−2y= TìmM trênd3 cho khoảnh cách từ
M đến d1 gấp đôi khoảng cách từM đếnd2
24 (ĐH B06) Cho đường tròn(C) : x2+y2−2x−6y+ = vàM(−3; 1) GọiA, B tiếp điểm tiếp tuyến kẻ tửM tới(C) Viết phương trình đường thẳngAB
25 (ĐH D06) Cho(C :x2+y2−2x−2y+ = d:x−y+ = Tìm M dsao cho đường trịn tâm M có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C) tiếp xúc ngồi với(C)
26 (ĐH A05) Chod1:x−y= 0vàd2: 2x+y−1 = Tìm tọa độ đỉnh hình vngABCDbiếtA∈d1,
C∈d2 vàB, D nằm trục hoành
27 (ĐH B05) ChoA(2; 0), B(6; 4) Viết đường trịn tiếp xúc với trục hồnh tạiA khoảng cách từ tâm đường tròn đếnB
28 (ĐH D05) Cho C(2; 0) elip (E) : x42 +y12 = TìmA, B (E) cho A, B đối xứng qua trục hoành tam giácABC
29 (ĐH A04) Cho A(0; 2), B(−√3;−1) Tìm tọa độ trực tâm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
30 (ĐH B04) ChoA(1; 1), B(4;−3) TìmC trênd:x−2y−1 = cho khoảng cách từC đến đường thẳng AB
31 (ĐH D04) Cho tam giácABC có A(−1; 0),B(4; 0),C(0;m) (m6= 0) Tìm tọa độ trọng tâmGtheom Tìm m để tam giácGABvuông G
32 (ĐH A03) Không có phần này!
33 (ĐH B03) Cho tam giácABC vuông cân tạiA, biết M(1;−1)là trung điểmBC,G(23; 0)là trọng tâm tam giác TìmA, B, C
34 (ĐH D03) Cho(C):(x−1)2+ (y−2)2= vàd:x−y−1 = Viết phương trình đường trịn(C0) đối xứng với(C) quad Tìm tọa độ giao điểm của(C) và(C0)
35 (ĐH A02) Tam giácABC vuông A, đường thẳng BC làx√3−y−√3 = 0, biết A, B thuộc trục hồnh bán kính đường trịn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâmGcủa tam giác
36 (ĐH B02) Hình chữ nhật ABCD có tâm I(12; 0), đường thẳng AB : x−2y+ = AB = 2AD Tìm
A, B, C, Dbiết điểm A có hồnh độ âm
37 (ĐH D02) Cho elip(E) : x162 + y92 = Xét điểm M chuyển động tia Ox, điểmN chuyển động tia Oy cho đường thẳng M N tiếp xúc với elip Tìm M, N để đoạn M N nhỏ Tính giá trị nhỏ