PHUONG PHAP TOA DO TRONG MAT PHANG

§4. Tìm tâm sai của elips trong các trường hớp sau: a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục bé dưới một góc vuông b) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng tiêu cự... Tìm tọa độ các điểm A, B t[r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Cho ux y1; 1



, vx y2; 2



số thực k Khi đó:

 u v x1x y2; 1y2

 

, u v x1 x y2; 1 y2

 

, k u k x k x ; 2



, độ dài véc tơ

2 1 u  x y  Tích vơ hướng hai véc tơ: u v u v c os , u v

     

(Định nghĩa), u v x x  2y y1  

(BT tọa độ)

 Cơng thức tính góc hai véc tơ:

  2

2 2

1 2

cos ,

x x y y u v

u v

u v x y x y

          

2. Cho A x y A; A, B x y B; B, C x y C; C thì:

 Tọa độ ABxB  x yA; B yA



, Độ dài đoạn thẳng    

2

B A B A

ABAB  x  x  y  y

 Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB

;

2

A B A B

x x y y

I   

 

 Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là:

;

3

a B C A B C

x x x y y y

G     

 

3.Phương trình tổng quát đường thẳng có dạng Ax + By + C =  Véc tơ u0

 

có giá vng góc với đường thẳng Δ gọi véc tơ pháp tuyến đường thẳng Δ  Đường thẳng Δ qua A x y A; A nhận véc tơ u a b ; 



làm véc tơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a x x  Ab y y  A 0

 Đường thẳng Δ: Ax + By + C = có véc tơ pháp tuyến uA B; 



 Nếu A(a;0), B(0;b) đường thẳng AB:

1 x y

a b  gọi PTĐT theo đoạn chắn  Đường thẳng Δ qua A x y A; A có hệ số góc k có phương trình y k x x   AyA 4 Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng

 Véc tơ v0

 

có giá song song trùng với đường thẳng Δ gọi véc tơ phương đường thẳng Δ

 Đường thẳng Δ qua điểm A x y 0; 0 nhận véc tơ v a b ; 



làm véc tơ phương có phương trình

tham số

0 x x at y y bt

 

 

 

 (t tham số)

 Nếu a, b đồng thời khác đường thẳng Δ quaA x y 0; 0 nhận véc tơ v a b ; 



làm véc tơ

phương có phương trình

0

x x y y

a b

 



gọi phương trình tắc đường thẳng Δ

 Nếu uA B; 



VTPT đường thẳng Δ vB A; 



VTCP đường thẳng Δ uv

 

5 Vị trí tương đối hai đường thẳng, cơng thức tính góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng Δ1: A x B y C1   10 Δ2: A2x A x B y C2   0 Khi đó:

 Δ1 cắt Δ2

1 2

A B

 Δ1 song song Δ2

1 1

2 2

A B C

A B C

 Δ1 trùng với Δ2

1 1

2 2

A B C

A B C

 Nếu Δ1 cắt Δ2 tạo với góc     

1 2

2 2

1 2

os A A B B

c

A B A B

  

 

6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, phương trình đường phân giác

 Khoảng cách từ điểm M x y 0; 0 đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = là

  0

2 Ax

, By C

d M

A B

 

 



 Cho hai đường thẳng Δ1: A x B y C1   0 Δ2: A2x A x B y C2   0 cắt Khi đường

phân giác góc tạo hai đường thẳng có phương trình là:

1 1 2

2 2

1 2

A x B y C A x B y C

A B A B

   



 

 Chú ý: (Dùng để phân biệt đường phân giác phân giác tam giác)Hai điểm A B nằm phía đường thẳng Δ ta thay tọa độ hai điểm vào vế trái phương trình đường thẳng Δ cho ta dấu Ngược lại trái dấu hai điểm khác phía đường thẳng Δ

7 Phương trình đường trịn

 Đường trịn tâm I(a;b) bán kính R có phương trình là:    

2 2

x a  y b R  Phương trình

2 2 2 0

x y  ax by c  phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán kính

2 R a b  c 8 Phương trình đường elip

 Phương trình tắc elip:

2 2

x y

a b  Trong đó: c2 a2 b2

  , a, b, c > 0

 F1c;0 , F c2 ;0 gọi tiêu điểm  Độ dài F F1 2 = 2c gọi tiêu cự

 Các đỉnh: A1a;0 , A a2 ;0 , B10;b B, 20;b  Độ dài trục lớn: A A1 22a, độ dài trục bé: B B1 2b

B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Giáo viên tự bịa cho học sinh làm tư kiến thức C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

(Có hướng dẫn làm lớp)

§1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT VÀ THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;2) Lập phương trình cạnh tam giác, biết 9x - 3y - = x + y - = phương trình đường cao kẻ từ B C tam giác

ĐS AC: x + 3y - = 0, AB: x - y = 0, BC: 7x + 5y - = 0 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x - 3y - = 0; x + y + = Xác định tọa độ đỉnh B C tam giác

3 Cho tam giác ABC có đỉnh A(1;3), hai đường trung tuyến có phương trình x - 2y + = 0, y - = Lập phương trình cạnh tam giác

ĐS: x - y + = 0, x - 4y - = 0, x + 2y - = 0 Viết phương trình đường trung trực tam giác ABC, biết trung điểm cạnh BC, CA, AB tương ứng M(-1;-1), N(1;9), P(9;1)

ĐS: x - y = 0, x + 5y - 14 = 0, 5x + y - 14 = 0 Lập phương trình đường thẳng d qua A(3;0) cắt hai đường thẳng

d1: 2x - y - = d2: x + y + = tương ứng I, J cho A trung điểm IJ ĐS: 8x - y - 24 =

6 Cho điểm A(8;6) Lập phương trình đường thẳng qua A tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 12

ĐS: 4 1;

x y x y

    

7 Cho tam giác ABC Điểm M(2;0) trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao kẻ từ A có phương trình 7x - 2y - = 6x - y - = Viết phương trình cạnh AC

ĐS: 3x - 4y + = 0 Cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) giao điểm hai đường chéo Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB Trung điểm E cạnh CD nằm đường thẳng

x + y - = Viết phương trình cạnh AB

ĐS: x - 4y + 19 = 0 Cho tam giác ABC, biết A(1;2) Đường trung tuyến BM đường phân giác CD có phương trình tương ứng 2x + y + = 0; x + y - = Viết phương trình cạnh BC

ĐS: 4x + 3y + = 0 10 Cho tam giác ABC, biết hình chiếu vng góc C AB H(-1;-1), đường phân giác góc A có phương trình x - y + = 0, đường cao kẻ từ B có phương trình

4x + 3y - = Tìm tọa độ đỉnh C

ĐS:

10 ;

C 

 

§2 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

1 Cho tam giác ABC biết    

;3 , 1; , 4;3

A  B C 

  Viết phương trình đường phân giác góc A

ĐS: 3x - 9y + 10 = 0 Cho điểm P(-2;3) Lập phương trình đường thẳng qua P cách hai điểm A(5;-1), B(3;7)

ĐS: y = 4x + y + = 0 Cho tam giác ABC có diện tích

3

2 hai điểm A(2;-3), B(3;-2) Trọng tâm G nằm đường thẳng 3x - y - = Tìm tọa độ đỉnh C tam giác

ĐS: C(-2;-10) C(1;-1) Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d1: 2x - y + = 0; d2: 3x + 6y - = điểm P(2;-1) Lập

phương trình đường thẳng Δ qua P cho Δ với d1, d2 tạo thành tam giác cân đỉnh A, A

giao điểm d1 d2

ĐS: x - 3y - = 3x + y - = 0 Trong mặt phẳng cho bốn điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4), D(3;5) Giả dử d đường thẳng có phương trình 3x - y - = Tìm điểm M d cho diện tích hai tam giác MAB MCD

ĐS:

; M 

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x - y = điểm M(2;1) Viết phương trình đường thẳng Δ cắt trục hoành A, cắt đường thẳng (d) B cho tam giác AMB vuông cân M

2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích A(1;0), B(0;2), trung điểm I cạnh AC thuộc đường thẳng có phương trình x - y = Tìm tọa độ đỉnh C

3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB x - 2y + = 0, đường chéo BD x - 7y + 14 = 0, điểm M(2;1) nằm đường chéo AC Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật

4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2), trung tuyến BM phân giác CD có phương trình 2x + y + = 0, x + y - = Viết phương trình cạnh BC?

5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 5,5 trọng tâm G thuộc đường thẳng 3x + y - = Tìm tọa độ đỉnh C

6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết AB: x - y - = 0, AC: x + 2y - = 0, trọng tâm G(3;2) Viết phương trình cạnh BC

7 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm C(2;-5) đường thẳng : 3x 4y 4 Tìm Δ hai

điểm A B đối xứng qua điểm

5 2;

2 I 

  diện tích tam giác ABC 15.

8 (ĐHKB-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, đỉnh C(-4;1), phân giác góc A có phương trình x + y - = Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương

9.(ĐHKA-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6); Đường thẳng qua trung điểm hai cạnh AB AC có phương trình x + y - = Tìm tọa độ đỉnh B C biết điểm E(1;-3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho

10 (ĐHKD-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường trịn ngoại tiếp I(-2;0) Tìm tọa độ đỉnh C biết có hồnh độ dương

11 (ĐHKD-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng Δ qua O Gọi H hình chiếu vng góc A Δ Viết phương trình đường thẳng Δ biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH

12.(ĐHKB-2011)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng :x y  0 đường thẳng

: 2

d x y   Tìm tọa độ điểm N d cho đường thẳng MN cắt đường thẳng Δ M thỏa mãn điều

kiện OM.ON =

13 (ĐHKB-2011)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

1 ;1 B 

  Đường tròn nội tiếp

tam giác tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Cho D(3;1) đường thẳng EF có phương trình y - = Tìm tọa độ đỉnh A biết điểm A có tung độ dương

14 (ĐHKD-2011)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết B(-4;1), trọng tâm G(1;1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x - y - = Tìm tọa độ đỉnh A C

§3 ĐƯỜNG TRỊN.

2 Lập phương trình đường trịn qua A(4;2) tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình

x - y - = 0, x - 3y + 18 = ĐS:    

2

1 10

x  y 

2

29 23

10

5

x y

   

   

   

   

3 Trong mặt phẳng cho hai điểm A(2;0) B(6;4) Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với trục hoành A khoảng cách từ tâm đường tròn đến B ĐS:        

2 2

2 49; 1

x  y  x  y 

4 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: x - y + = đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = Tìm

M đường thẳng d cho qua M vẽ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) A B cho

 600

AMB ĐS: M(-3;-2) M(3;4)

5 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn(C): x2 + y2 - 2x - 2y + = đường thẳng d: x - y + = 0.

Tìm tọa độ điểm M d cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đơi bán kính (C) tiếp xúc với (C) ĐS: M(1;4) M(-2;1)

6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình  

2

4 25

x y 

điểm M(1;-1) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm M cắt (C) hai điểm A, B cho MA = 3MB Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) (C') có phương trình

2 2 2 1 0; 2 4 5 0

x y  x y  x y  x  Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm M(1;0) cắt

(C), (C') A, B cho MA = 2MB

8 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao BH, trung tuyến CM có phương trình x + y + = 0, 2x - y - = Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

9 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2y2 2x 2my m 2 24 0 có tâm I

đường thẳng :mx4y0 Với giá trị m Δ cắt (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác

IAB 12

10 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: 4x - 3y - 12 = 0,

4x + 3y - 12 = Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác có ba cạnh nằm d1, d2 Oy

11 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-1;0), B(1;2) đường thẳng d: x - y - = Viết phương trình đường trịn qua A, B tiếp xúc với d

12 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;3), trọng tâm G(2;0), hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng có phương trình x + y + = 0, x + 2y - = Viết phương trình đường trịn tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG

13 (ĐHKA-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y 0 và 2:

d x y  , gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d

1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC

vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích

3

2 điểm A có hoành độ dương.

13.(ĐHKA-2011)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ có phương trình x + y + = đường

trịn (C) có phương trình x2y2 4x 2y0 Gọi I tâm (C), M điểm thuộc Δ Qua M kẻ tiếp tuyến

MA MB tới (C) (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10

14 (ĐHKD-2011)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1;0) đường trịn (C) có phương trình:

2 2 4 5 0

x y  x y  Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) hai điểm M N cho tam giác AMN

vng cân A

§4 ĐƯỜNG ELIP Cho elip (E) có tâm sai

5 e

hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Viết phương trình tắc (E)

3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E):

2

x y

 

hai điểm A(3;-2), B(-3;2) Tìm (E) điểm C có hồng độ tung độ dương diện tích tam giác ABC lớn

4.(ĐHKB-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A2; 3 elip (E) :

2

x y

 

; Gọi F1

F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E) N

là điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ANF2

5.(ĐHKA-2011)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trình:

2

x y

 