Đang tải... (xem toàn văn)
Vị trí tương đối của hai đường thẳng... Góc giữa hai đường thẳng..[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. CÁC HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIAC VÀ GIẢI TAM GIÁC
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b, đường cao AH = đường trung tuyến
AM = ma, BN = mb, CP = mc. a. Định lí cosin.
a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC
Hệ quả
cosA=b
2
+c2− a2
2 bc cosB=a
2
+c2−b2
2 ac cosC=a
2
+b2− c2
2 ab b. Định lí sin.
R a
sinA = b sinB=
c
sinC=2R¿
: bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) c Độ dài đường trung tuyến tam giác.
2 2 2 2 2
2 ; ;
2 4 2 4 2 4
a b c
b c a a c b a b c
m m m
4 Các cơng thức tính diện tích tam giác.
Diện tích S tam giác tính theo cơng thức: *
1 1 1
. . .
2 a 2 b 2 c
S a h b h c h
* S=1
2ab sinC= 1
2ac sinB= 1
2bc sinA * S=abc
4R ( R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) * S=pr với p=1
2(a+b+c) r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
* S=√p(p − a)(p − b)(p − c) với p=1
2(a+b+c) (công thức Hê- rông)
II. TỌA ĐỘ
1 Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đơi vng góc với với ba vectơ đơn vị i j,
ij 1
.
2 a a a 1; 2 a a i1 a j2
; M(x;y)OM xi y j
3 Tọa độ vectơ: cho u x y v x y( ; ), ( '; ')
a u v x x y y '; '
b u v x x y y '; '
c ku( ; )kx ky
d u v xx. 'yy'
e u v xx'yy' 0
f
2
u x y
g
cos , .
.
u v u v
u v .
(2)a.ABxB x yA; B yA
b.
2
B A B A
AB x x y y c G trọng tâm tam giác ABC ta có:
3
A B C
G
x x x
x
;
A B C
G
y y y
y
d M chia AB theo tỉ số k: ;
A B A B
M M
x kx y ky
x y
k k
Đặc biệt: M trung điểm AB: ;
A B A B
M M
x x y y
x y
III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Phương rình tham số.
* Phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0), có vec tơ phương
u →
=(u1;u2) là
¿ x=x0+tu1
y=y0+tu2
(u1
+u2
≠0)
¿{
¿
* Phương trình đường thẳng Δ qua M0(x0 ; y0) có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0). 2 Phương trình tổng quát.
* Phương trình đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0) có vec tơ pháp tuyến n →
=(a; b)
là:
a(x – x0) + b(y – y0) = ( a2 + b2 0¿
* Phương trình ax + by + c = với a2 + b2 0 phương trình tổng quát đường thẳng nhận n
→
=(a; b) làm véc tơ pháp tuyến u
( b; -a ) làm vectơ phương
* Đường thẳng Δ cắt Ox Oy A(a ; 0) B(0 ; b) có phương trình theo đoạn chắn là :
x a+
y
b=1(a , b≠0)
* Cho (d) : ax+by+c=0 Nếu // d phương trình là ax+by+m=0 (m khác c)
Nếu vng góc d phươnh trình là : bx-ay+m=0
3 Vị trí tương đối hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng ΔΔ1:a1x+b1y+c1=0
2:a2x+b2y+c2=0
Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng Δ1vàΔ2 ta xét số nghiệm hệ phương trình ¿
a1x+b1y+c1=0
a2x+b2y+c2=0 ¿
{
¿
(I)
Chú ý: Nếu a2b2c2 0 :
Δ1∩ Δ2⇔
a1 a2
≠b1 b2
Δ1//Δ2⇔a1
a2= b1
b2≠ c1
c2 Δ1≡ Δ2⇔a1
a2= b1 b2=
(3)4 Góc hai đường thẳng
Góc hai đường thẳng Δ1vàΔ2 có VTPT n
→
1vàn
→
2 được tính theo cơng thức: ¿a1a2+b1b2∨ ¿
√a1
+a22.√b12+b22
¿n
→
1∨¿n
→
2∨¿=¿ ¿n
→
1.n
→
2∨¿¿
cos(Δ1, Δ2)=cos(n
→
1, n
→
2)=¿
5 Khoảnh cách từ điểm đến đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0) đến đường thẳng Δ : ax + by + c = cho công thức: d(M0, Δ ) =
¿ax0+by0+c∨ ¿
√a2+b2
¿ B BÀI TẬP.
1) Cho tam giác ABC với A(-1;2);B(2;-4);C(1;0).Tìm phương trình đường thẳng chứa đường cao tam giác ABC
2) Viết phương trình trung trực cạnh tam giác ABC biết trung điểm cạnh M(-1;1) ; N(1;9) P(9;1)
3) Cho A(-1;3) d: x-2y +2=0.Dựng hình vng ABCD có B C thuộc d, C có tọa độ số dương
a) Tìm tọa dộ A,B,C,D
b) Tìm chu vi diện tích hình vng ABCD
4) Cho d1: 2x-y-2=0 d2:x+y+3=0 ; M(3;0)
a) Tìm giao điểm d1 d2
b) Tìm phương trình đường thẳng d qua M cắt d1 d2 A B cho M trung điểm đoạn AB
5) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng d:
1 2 3
x t
y t
tR
b)Viết phương trình tham số đường thẳng d: 3x-y +2 =
6) Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau :
2 1
x t
y t
tR d2:
2 7
3 1
x
7) Cho d1
2 3 1
x t
y t
d2:
' ' 3
1 2
x t
y t
a) Tìm giao điểm d1 d2 gọi M
b) Tìm phươn trình tổng quát đường thẳng d qua M vng góc d1
8) Lập phương trình sau M( 1;1) ; d : 3x +2y-1 =
a) đường thẳng di qua A( -1;2) song song đường thẳng d
b) đường thẳng qua M vng góc d
c) đường thẳng qua M có hệ số góc k =
d) đường thẳng qua M A
9) Cho d
2 2 1 2
x t
y t
M (3;1)
a) Tìm A thuộc d cho AM = b) Tìm B thuộc d cho MB đạt giá trị nhỏ
10) Cho d có cạnh có trung điểm M( -1;1) ; cạnh nằm đường thẳng: 2x + 6y+3 =
2
x t
y t
Tìm phương trình cạnh thứ tam giác
11) Cho tam giác ABC có pt BC :
1 2
1 2
x y
Pt đường trung tuyến BM CN có pt : 3x + y – = x + y
– =0 viết pt cạnh AB AC
12) Cho A ( -1; ) ; B(3;1) d :
1 2
x t
y t
(4)13) Cho A( -1;2) d :
1 2 2
x t
y t
Tìm d’ (A;d) Tìm diện tích hình tròn tâm A tiếp xúc d
14/ Viết pt đường thẳng : Qua A( -2; 0) tạo với : d : x + 3y + = góc 450
15/ Viết pt đường thẳng : Qua B(-1;2) tạo với đường thẳng d:
2 3 2
x t
y t
góc 600
16/a) Cho A(1;1) ; B(3;6) Tìm pt đường thẳng qua A cách B khoảng
b) Cho d: 8x – 6y – = tìm pt d’ cho d’ song song d d’ cách d khoảng
17) A(1;1); B(2;0); C(3;4) Tìm pt đường thẳng qua A cách B C
18) Cho hình vng có đỉnh A (-4;5) pt đường chéo 7x – y + = lập pt cãnh hình vng đường chéo cịn lại
IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 phương trình đường trịn.
* Phương trình đường trịn tâm I(a ; b), bán kính R : (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
* Nếu a2 + b2 – c > phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = phương trình đường trịn tâm
I(a ; b), bán kính R = √a2
+b2−c
* Nếu a2 + b2 – c = có điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
* Nếu a2 + b2 – c < khơng có điểm M(x ; y) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
2 Phương trình tiếp tuyến đường tròn.
Tiếp tuyến điểm M0(x0 ; y0) đường trịn tâm I(a ; b) có phương trình
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) =
B BÀI TẬP
19) Tìm pt đường trịn (C) trường hợp sau
a) Có đường kính AB với A ( 7;3); B(1;7)
b) Ngoại tiếp tam giác ABC với A(1;3);B(5;6) C(7;0)
c) Đi qua A(2;-1) tiếp xúc trục tọa độ
d) Có tâm thuộc d: 3x – 5y – = tiếp xúc trục tọa độ
e) Đi qua A(-1;0) ; B(1;2) tiếp xúc d: x – y – =
f) Tiếp xúc 0x A(6;0) qua B(9;9)
g) Có tâm I(1;3) tiếp xúc d: x + y + =
20/ Tìm tâm I bán kính R đường tròn sau : a) x2 + y2 – 4x – 2y + =
b) 3x2 + 3y2 – 6x + 4y – =
21/ Cho (C) : x2 + y2 – 2x + 6y + = d: 2x + y – = Tìm pttt d’ (C) biết d song song d’ Tìm tọa độ tiếp
điểm
22/ Cho ( C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 =
a) Tìm tâm I bán kính R (C)
b) Tìm pttt d với (C) M (2;1)
c) Tìm pttt d với (C) biết d song song d’ : 4x – 3y +1 =
d) Tìm pttt d với (C) biết d vng gốc d’ : 4x – 3y + =
e) Tìm pttt d với (C) biết d qua A(2;6)
V ELIP A.CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phương trình tắc:
2
2 1
x y
a b , (a>b>0).
2. Các yếu tố: c2 a2 b2, c>0.
Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b.
(5)Bốn đỉnh: đỉnh trục lớn A1a;0 , A a2 ;0 , đỉnh trục bé B10;b B, 20;b.
Bán kính qua tiêu điểm: MF1 r1 a exM;MF2 r2 a exM
Tâm sai: 1
c e
a
Đường chuẩn:
2
a a
x
e c
Khoảng cách hai đường chuẩn: 2 a d
e
.
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2. B BÀI TÂP
23/ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ tiêu điểm đỉnh elip sau: a) x
2
25+ y2
16=1 b) 4x
2 + 16y2 – = c) x2 + 4y2 = d) x2 + 3y2 = 2
24/ Lập phương trình tắc elip (E) biết
a) A(0 ; - 2) đỉnh F(1 ; 0) tiêu điểm (E) b) F1(-7 ; 0) tiêu điểm (E) qua M(-2 ; 12)
c) Tiêu cự 6, tâm sai 3/5
d) Phương trình cạnh hình chữ nhật sở x = ±4, y=±3
25/ Tìm điểm elip (E) : x
9 +y
2
=1 thỏa mãn :
a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải b) Nhìn hai tiêu điểm góc vng
26/ Cho elip (E) : x
9 + y2
4 =1
a) Tìm tọa độ tiêu điểm, đỉnh ; tính tâm sai vẽ (E) b) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m (E) có điểm chung
x y
F F
1
B2 B1
A A1