Phương pháp lượng giác trong giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ======== ======== KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giảng viên hướng dẫn Sinh viên thực hiêṇ Lớp : TS Nguyễn Ngọc Châu : Trần Thị Thanh Vân : 13ST Đà Nẵng, 5/2017 LỜI CẢM ƠN Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến q Thầy Cơ khoa TốnTrường đại học Sư phạm Đà Nẵng với tri thức tâm huyết truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho em suốt thời gian học tập trường Đặc biệt, em xin cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Châu tận tình giúp đỡ em suốt thời gian thực đề tài Đà nẵng, tháng năm 2017 Sinh viên thực Trần Thị Thanh Vân MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa 1.1.1 Góc cung lượng giác: 1.1.2 Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác: 1.2 Các hàm số lượng giác .6 1.2.1 Hàm số sin .6 1.2.2 Hàm số cosin 1.2.3 Hàm số tan 1.2.4 Hàm số cot 1.3 Các công thức lương giác 1.3.1 Hệ thức lượng giác 1.3.2 Hệ thức giá trị lượng giác cung - góc có liên quan đặc biệt 1.3.3 Công thức lượng giác .2 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Một số phương dấu hiệu để nhận biết phương trình, bất phương trình hệ phương trình giải phương pháp lượng giác 2.2 Phương pháp lượng giác giải phương trình đại số 2.3 Phương pháp lượng giác giải bất phương trình đại số 20 2.4 Phương pháp lượng giác giải hệ phương trình đại số 28 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO .43 CÁC KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN - UV cung lượng giác có điểm đầu U điểm cuối V - (Ou, Ov) góc lượng giác có tia đầu Ou tia cuối Ov - Sd(Ou, Ov) số đo góc lượng giác (Ou, Ov) - AB độ dài đại số đoạn thẳng AB - tập số thực - tập số nguyên MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình, bất phương trình hệ phương trình nội dung quan trọng chương trình tốn bậc phổ thơng trung học Có nhiều phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số, phương pháp lượng giác tỏ có hiệu số lớp phương trình, bất phương trình hệ phương trình Trong chương trình tốn bậc phổ thơng trung học, học sinh làm quen với phương pháp lượng giác, nhiên với số thời lượng không nhiều mực độ định Việc vận dụng phương pháp lượng giác, rèn luyện kỹ giải toán cần thiết học sinh trung học phổ thông Là sinh viên ngành sư phạm Tốn, giáo viên Tốn tương lai, tơi muốn tìm hiểu kỹ phương pháp lượng giác nhằm phục vụ cho ngành nghề sau này, nên chọn đề tài “Phương pháp lượng giác giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình” cho khóa luận Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dấu hiệu để nhận biết phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số giải phương pháp lượng giác Hệ thống phân loại lớp toán - Đưa quy trình giải cho lớp tốn, với nhiều vi dụ minh họa Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phương pháp lượng giác giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình - Phương trình, bất phương trình hệ phương trình thuộc chương trình trung học phổ thơng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tư liệu qua sách kháo khoa, sách tham khảo, tạp chí Tốn, tài liệu từ internet - Phương pháp tiếp cận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống tài liệu sưu tầm để thực khóa luận - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Nội dung khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận chia làm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày sơ lược kiến thức sở lượng giác để làm tiền đề cho chương sau Chương Phương pháp lượng giác giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Chương trình bày phương pháp lượng giác giải số lớp phương trình, bất phương trình hệ phương trình Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại sơ lược kiến thức sở lượng giác như: Một số định nghĩa, tính chất bản, cơng thức lượng giác để làm sở cho chương sau 1.1 Một số định nghĩa 1.1.1 Góc cung lượng giác: Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O, ta cần chọn chiều quay chiều dương Thông thường ta chọn chiều ngược chiều quay kim đồng hồ chiều dương (và chiều quay chiều kim đồng hồ chiều âm) Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho hai tia Ou, Ov, tia Om quay theo chiều âm (hoặc chiều dương), xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov ta nói: Tia Om quét góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov Chú ý 1.1 - Khi cho hai tia Ou, Ov có vơ số góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov Mỗi góc lượng giác kí hiệu (Ou,Ov) - Khi tia Om quay góc a° ( hay α rad ) ta nói góc lượng giác mà tia qt nên có số đo a° ( hay α rad ) Định nghĩa 1.2 ([8]) - Đường tròn (O, R) có chiều di động Hình 1.2 gọi đường tròn định hướng - Khi tia Om quét nên góc lượng giác (Ou, Ov) điểm M chạy đường tròn theo chiều định từ U đến V Ta nói điểm M vạch nên cung lượng giác với điểm đầu U, điểm cuối V, tương ứng với góc lượng giác (Ou, Ov), kí hiệu cung lượng giác UV - Nếu cung lượng giác UV có số đo α cung lượng giác có điểm đầu, điểm cuối với cung lượng giác UV có số đo dạng α + k2π, (k  ) ; cung ứng với giá trị k 1.1.2 Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác: Định nghĩa 1.3 ([8]) Đường trịn lượng giác đường trịn định hướng, có bán kính có điểm A điểm gốc Với góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α, lấy điểm M đường trịn lượng giác cho (OA,OM)  α Chọn hệ trục tạ độ Hình 1.3 gọc M(x,y) Ta định nghĩa: x  cos   cos  Ou,Ov   OH y  sin  sin  Ou,Ov   OK x  cot   cot Ou,Ov sin   (tức   y y  tan   tan  Ou,Ov  cos   x   k , k  (tức   )   k , k  ) Chú ý 1.2 Nếu sd(Ou, Ov) = a° ta viết: sin(Ou, Ov) = sin a° ; cos(Ou, Ov) = cos a° tan(Ou, Ov) = tan a° ; cot(Ou, Ov) = cot a° tan α = AT , trục At gọi trục tang cot α = BS , trục Bs gọi trục tang 1.2 Các hàm số lượng giác 1.2.1 Hàm số sin Hàm số y = sinx có tập xác định ℝ -1 ≤ sinx ≤ 1, ∀ x∈ℝ y = sinx hàm số lẻ hàm số tuần hoàn với chu kì 2π Hàm số y = sinx nhận giá trị đặc biệt:  sinx = x = kπ, k∈ℤ  sinx = x =   sinx = -1 x =  + k2π, k∈ℤ  + k2π, k∈ℤ Đồ thị hàm số y = sinx 1.2.2 Hàm số cosin Hàm số y = cosx có tập xác định ℝ -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀ x∈ℝ y = cosx hàm số chẵn hàm số tuần hồn với chu kì 2π Hàm số y = cosx nhận giá trị đặc biệt:  cosx = x =  + kπ, k∈ℤ  cosx = x = k2π, k∈ℤ  x  sin  Hệ phương trình có dạng x  y2  k nên đặt:  ,    0; 2   y  cos  Bước 2: Lượng giác hóa tốn: Phương trình (x  y)(1  4xy)  trở thành: (sin   cos  )(1  4cos  sin  )  Bước 3: Giải phương trình: Ta có: (sin   cos  )(1  4cos  sin  )  (sin   cos  )(1  4cos  sin  )     2sin     1  2sin 2   4        4sin     sin  sin 2              8sin     sin     cos        12 12             4cos     cos  cos  2     12             2cos      4cos     cos  2    12  12  6             2cos      cos  3    cos       12  4 12         5   cos  3     cos 4  30  5 13 2       k2     k   36   (h, k  )    3     5  h2    7  h 2   36 (h, k  ) 13 37 61 17 41 65  Vì   0;2  nên    ; ; ; ; ;  36 36 36 36 36   36 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  13 13   sin 36 ;cos 36  ,   (x; y)     sin 17 ;cos 17  ,    36 36   Bài toán 3.2.3 ([14]) 37 37   ;cos  sin , 36 36   41 41   ;cos  sin , 36 36   61 61    ;cos  sin , 36 36     65 65    ;cos  sin  36 36      2y 1  y  x Giải hệ phương trình sau :   2x  y 1  x Giải: Bước 1: Nhận biết dấu hiệu có tốn Hệ phương trình có tập xác định : D = R nên đặt:  x  tan      với  ,    ;   y  tan  2   Bước 2: Lượng giác hóa tốn:  2y  x    y2 Hệ phương trình   2x  y   x2   tan    tan   tan  trở thành:   tan   tan    tan  31  tan    tan   tan  Bước 3: Giải hệ phương trình:   tan   tan    tan  Ta có:  tan    tan   tan    tan   tan    tan   sin 2  tan    sin 2  tan  (1) (2) Ta xét hai trường hợp : + Nếu sin   sin   ngược lại nên ta có x = y = nghiệm hệ + Nếu sin   sin   : Nhân (1) (2) vế theo vế ta có : sin 2.sin 2  tan .tan   cos .cos   cos .cos  cos.sin  (3) (1)  2sin  cos c os  sin  sin   sin      (4) Thay (4) vào (3) ta có : cos 2   1 (1  cos 2 )  2  cos 2   2    k , k      k , k Z       ;  nên   Suy ra: x  y  tan  Vì    4  2 Kết luận : Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y)  (0;0); (1;1) 32 Bài toán 3.2.4 ([12])  x  x2 y  y  Giải hệ phương trình:  y  y z  z  2z  z2 x  x  Giải: Ta có:  x  x2 y  y   2y  y z  z  2z  z2 x  x   x  y (1  x )    y  z (1  y )  z  x(1  z )  (1) Vì x   1; y   1; z   khơng thỏa hệ phương trình (1) Nên hệ phương trình (1)   2x y    x2  2y   z   y2   2z  x    z2        ; \  Đặt x  tan t , t    2   Khi hệ phương trình (1) trở thành: tant  y   tan 2t   tan t  tan 2t   tan 4t  z   tan t  tan t   x   tan 4t  tan 8t  Kết hợp với điều kiện x  tan t ta được: tan 8t  tan t  t  k , k  2 3          3 2  ;  \   nên t   ; ; ;0; ; ; Vì t    7 7   2    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: 33 3 6 5 2 4   (x; y; z)  (tan ; tan ; tan ); (tan ; tan ; tan ); 7 7 7   2 4  2 4 (tan ; tan ; tan ); (0;0;0); (tan ; tan ; tan ); 7 7 7 2 4  3 6 5  (tan ; tan ; tan ); (tan ; tan ; tan )  7 7 7  Bài toán 3.2.5 ([1])  x2  y  Cho hệ phương trình  z  v   xv  yz   Tìm nghiệm hệ để xz đạt giá trị lớn Giải: 2 Ta nhận thấy tốn có dạng x  y  m x y  Đặt:  z v  cos a  2sin a  3cos b a, b   0, 2   3sin b Khi đó: xv  yz    cos a.sin b  sin a cosb   6sin  a  b    sin  a  b   Mà sin  a  b    sin  a  b   Vì a, b  0; 2     ab     a  b  5  1  2 Khi đó: xz  6cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b   3cos  a  b  Vậy xz đạt giá trị lớn  cos  a  b    a  b Từ (1) (3) suy ra: a  b  (3)  34 Suy nghiệm hệ phương trình : x  y  Từ (2) (3) suy ra: a  b  2; z  v  2 2; z  v  3 2 5 Suy nghiệm hệ phương trình : x  y  Kết luận: Vậy để xz đạt giá trị lớn nghiệm hệ phương trình là:  3 2  3 3   (x; y; z; v)   2; 2; ; ; 2; 2; ;    2 2       xy    Bài tốn 3.2.6 ([14]) Giải hệ phương trình  z 1  y   y   x 1  z   z 1  2  3 Giải: Tập xác định : D = R Vì y2  1, z  khơng phải nghiệm hệ phương trình   xy   2y  Nên hệ phương trình tương đương với  z   1 y  2z x    z2 Đặt  x  tan a   y  tan b  z  tan c         a, b, c   ; \   2   35   tan a.tan b   tan b   tan c   tan b  tan c  tan a    tan c Ta có :  Khi đó: c  2b  k ; a  2c  l Thay vào (4):  tan a  cot b   tan c  tan 2b  tan a  tan 2c  (4) (5) (6)  a  4b  2k  l tan(4b  2k  l )  cot b  5b    m  b    10 m  3   3         ; ; ; Vì b  ;  \   nên b     10 10 10 10   2   Nếu b  3 10  x  tan Nếu b   10  x  tan 4  2 ; y  tan ; z  tan 10 10 10 Nếu b  x  tan 4  2 ; y  tan ; z  tan 10 10 10 Nếu b  x  tan 2 ; 10  10 3 10 2 3 6 ; y  tan ; z  tan 10 10 10 y  tan 3 6 ; z  tan 10 10 Vậy nghiệm hệ phương trình là:  2 3 6 (x; y; z) tan ; tan ; tan 10 10 10  4  2   ; tan ; tan ; tan   10 10 10   4  2  tan ; tan ; tan  10 10 10  Bài toán 3.2.7 ([14])  ;  2 3 6  tan ; tan ; tan  10 10 10    x  y  Tìm m để hệ sau có nghiệm:  3mx  3y  5m  ;     (1) Giải: 36 Điều kiện: 1  x  Ta đặt x  cos t, t  0;   Hệ phương trình (1) trở thành :   cos t  y   y   cos t     3m cos t  3y  5m  3m cos t  3y  5m  3m cos t   cos t  5m  3m cos  3sin t  5m (2) Để hệ phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn điều kiện sin t   (3m)   (5m)    3sin t  3m cos t  5m     16m2   3m cos t  5m  m      3m cos t  5m Xét   m  ta có cos t  ( đúng) Vậy với   m  phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn điều kiện sin t  Xét  m  Vậy với  ta có cos t  ( vơ lí) 3  m  phương trình (2) khơng có nghiệm thỏa mãn điều kiện sin t    x  y  Vậy để hệ phương trình  điều kiện m là:   m   3mx  3y  5m 37 Một số toán tương tự: Bài toán 3.2.8 ([16])  x(4  y )  8y  Giải hệ phương trình sau:  y(4  z )  8z  z(4  x )  8x  Hướng dẫn: Ta nhận thấy x  4, y2  4, z  khơng phải nghiệm hệ phương trình 8y  x    y2  8z  Khi đó:  y  Đặt x  tan t,  z  8x   z   x2   z  tan 2t       t  ;  Suy ra:  y  tan 4t  2  x  tan 8t   2 3   ; tan ; tan Tập nghiệm cuả hệ phương trình là: x 0; tan  7   Bài tốn 3.2.9 ([8]) Giải hệ phương trình  xy  y   3x   2  2x  y   (1) (2) Hướng dẫn: 2  x  cos t      x   y t  ;  Ta có (2)   , nên đặt:        2 y  2sin t      2 Thay vào phương trình (1) ta được: ( cos t)  2sin t.cos t  4sin t  (3)  (2  3) cos t  2sin t.cos t  sin t  38   1 ; ;  ; Nghiệm hệ phương trình là: (x, y)      Bài toán 3.2.10 ([12])        x  y(4  y)  Giải hệ phương trình:  y  z(4  z)  z  x(4  x)  Hướng dẫn: Cộng vế tương ứng với phương trình cho hệ, ta có: 3(x  y  z)  x  y2  z  x  y  z  Nên phải có số không âm, giả sử z số khơng âm Ta có: x(4  x)  z    x  Do vây, ta đặt: x  4sin t   t  o,   2  x  4sin t  Tập nghiệm hệ phương trình là:  x  4sin 4t  x  4sin 2t     2 2  4 3  , , , , với t  0, , ,   9  Bài toán 3.2.11 ([15])  x  3z  3z x  z   Giải hệ phương trình  y  3x  3x y  x   z  3y  3y z  z   Hướng dẫn:  x(1  3z )  3z  z3  Hệ phương trình tương đương với :  y(1  3x )  3x  x  z(1  3y )  3y  y3  39   x  x       Vì  y  nghiệm hệ phương trình nên ta có:  y      x z    3z  z  3z 3x  x  3x 3y  y3  3y        Ta đặt: x  tan t, t    ;  \    2   Khi đó: x  tan t  tan 27t  t k 26 kZ        Vì t    ;  \   nên suy t 0;  1;  2;  3;  11;  12  2   k  x  tan  26  3k  Vậy nghiệm hệ phương trình là:  y  tan 26  9k   z  tan 26  Bài toán 3.2.12 ([17]) Giải hệ phương trình: với t  0;  1;  11;  12  log (y  x)  log 1  y   x  y  25  Hướng dẫn: y  x ĐK:  y  Hệ (II)   log (y  x)  log y   4  x  y  25  1  (y  x) y     x  y  25   x  5cos t Đặt:  (sint > sint > cost), thay vào phương trình (3) ta được: y  5sin t  40 x  Hệ phương trình có nghiệm là:  y  Bài toán 3.2.13 ([10]) Giải hệ phương trình sau:  x   y    y   x  Hướng dẫn:   x  Điều kiện hệ phương trình là:    y   x     y   x  sin     nên đặt  , với  ,     ;   2  y  sin   x   y2   Hệ phương trình   y   x   sin   cos   trở thành:   sin   cos   Nghiệm hệ phương trình (x,y) = (0,0), (x,y) = (1,1) 41 KẾT LUẬN Khóa luận “Phương pháp lượng giác để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình” thực mục đích đề ra, cụ thể giải vấn đề sau: Đề xuất số dấu hiệu để nhận biết phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số giải bẳng phương pháp lượng giác Đồng thời đưa quy trình giải cho lớp toán Ứng dụng phương pháp lượng giác để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Đối với lớp tốn, ngồi ví dụ minh họa cịn có tốn tương tự kèm theo Hy vọng nội dung khóa luận cịn tiếp tục mở rộng hồn thiện hơn, nhằm giải nhiều lớp toán khác 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo – Hội Toán học Việt Nam (1998), Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục [2] Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1999), Các giảng luyện thi mơn Tốn (3 tập), NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) (2004), Bài tâp đại số giải tích 11, NXB Giáo dục [4] Võ Giang Giai (2006), Các chủ đề đại số 10 nâng cao, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [5] Nguyễn Trung Kiên (2014), Tài liệu ôn thi đại học môn tốn_ Sáng tạo giải phương trình, bất phương trình, hệ phương, bất đẳng thức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo dục [7] Trần Phương (2003), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn Tốn –Phương trình lượng giác, NXB Hà Nội [8] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006), Đại số lớp 10 nâng cao, NXB Giáo Dục [9] Phan Thế Thương, Bùi Thế Minh, Nguyễn Anh Dũng (2001), Tuyển tập 450 tốn đại số hình học, NXB Đại Học Quốc Gia Tp.Hồ Chí Minh [10] Mai Xuân Vinh (chủ biên) (2015), Tư logic tìm tịi lời giải hệ phương trình, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [11] http://123doc.org 43 [12] http://doc24.vn [13] http://diendantoanhoc.net [14] http://www.maths.vn [15] http://olm.vn [16] http://tailieu.vn [17] http://toanthpt.net 44 ... Chương 2: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chương trình bày phương pháp lượng giác để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại... hiệu để nhận biết phương trình, bất phương trình hệ phương trình giải phương pháp lượng giác Để áp dụng phương pháp lượng giác vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình ta cần nhận... LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Một số phương dấu hiệu để nhận biết phương trình, bất phương trình hệ phương trình giải phương pháp lượng giác