Một số biện pháp khắc phục các sai lầm thường gặp của học sinh khi học hình học không gian lớp 11

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: Một số biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp học sinh học Hình học không gian lớp 11 Giảng viên hướng dẫn : ThS Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Đặng Thảo Trang Lớp : 16ST Đà Nẵng, tháng năm 2020 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn – trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, tơi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy – người trực tiếp hướng dẫn tơi suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn ý kiến góp ý quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, thầy cơ, bạn bè, bạn lớp 16ST q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Đà Nẵng, tháng 01 năm 2020 Sinh viên Đặng Thảo Trang SVTH: Đặng Thảo Trang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC .2 MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1.CƠ SỞ LÍ LUẬN .6 1.1 Nội dung chương trình HHKG sách giáo khoa hình học 11 hành 1.1.1 Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song 1.1.2 Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc 1.2 Dạy học giải toán 1.2.1 Yêu cầu lời giải toán: 1.2.2 Các bước hoạt động giải toán: 10 1.2.3 Về tiến trình giải toán 10 1.3 Một số khó khăn học sinh học hình học khơng gian lớp 11 10 1.3.1 Hình học khơng gian mơn học khó 10 1.3.2 Nội dung, chương trình mơn hình học khơng gian có nhiều vấn đề 11 1.3.3 Bài tập hình học không gian đa dạng, phức tạp 11 1.3.4 Khó khăn từ tư tưởng học tập học sinh 12 1.3.5 Khó khăn việc nắm vững kiến thức 12 1.3.6 Những khó khăn việc vẽ hình đọc hình khơng gian .12 1.4 Những sai lầm học sinh thường mắc phải học HHKG 13 1.4.1 Sai lầm lời giải 14 1.4.2 Sai lầm lập luận 21 1.4.3 Lời giải chưa đầy đủ .22 CHƯƠNG 2.MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 24 2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ tư logic cho học sinh 24 2.1.1 Xây dựng xếp hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp 24 2.1.2 Giải toán phương pháp phân tích lên .26 SVTH: Đặng Thảo Trang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy 2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng trí tưởng tượng khơng gian, rèn luyện kĩ vẽ hình khơng gian 27 2.2.1 Bồi dưỡng trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh 27 2.2.2 Nâng cao kĩ vẽ hình khơng gian 29 2.3 Biện pháp 3: Một số hoạt động dạy học giúp học sinh nắm vững kiến thức HHKG 31 2.3.1 Chọn lọc kiến thức “trọng tâm” 31 2.3.2 Chọn lọc tập 34 2.3.3 Mở rộng toán phẳng vào không gian 36 2.3.4 Đưa tốn khơng gian tốn phẳng 39 2.3.5 Sử dụng liên kết hình 44 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 SVTH: Đặng Thảo Trang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng yêu cầu cấp bách ngành giáo dục nước ta Để thực yêu cầu này, bước quan trọng đổi nội dung phương pháp dạy học Dạy học trình thống biện chứng việc dạy thầy việc học trị Muốn nâng cao chất lượng dạy học cần phải quan tâm nhiều đến hoạt động học tập học sinh Điều giúp học sinh rèn luyện phát triển thao tác tư Hình học khơng gian mảng kiến thức địi hỏi học sinh phải nâng cao tư trừu tượng Các dạng tốn mang tính logic, vận dụng nhuần nhuyễn đinh lý Học sinh phải biết phân tích tốn, qui lạ quen Thực tế, học sinh gặp nhiều sai lầm giải tốn Qua q trình thực tập trường Trung học phổ thơng, tơi tìm hiểu thực trạng dạy học hình học khơng gian khối lớp 11 Là sinh viên sư phạm trường, chọn đề tài “Một số biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp học sinh học Hình học khơng gian lớp 11” nhằm nâng cao chất lượng dạy học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khó khăn, sai lầm phổ biến học sinh lớp 11 học HHKG, đồng thời đề xuất biện pháp sư phạm để khắc phục, nhằm rèn luyện lực giải toán cho học sinh Đối tượng nghiên cứu Luận văn nghiên cứu đặc điểm, nội dung chương trình tìm hiểu thực tế dạy học môn HHKG lớp 11 (sách bản) kinh nghiệm thân Từ đó, phát khó khăn, sai lầm học sinh thường gặp tìm biện pháp khắc phục Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn thường gặp, sai lầm phổ biến học sinh học HHKG lớp 11 - Đề xuất số biện pháp nhằm hạn chế khó khăn khắc phục sai lầm cho học sinh học HHKG 11 Phương pháp nghiên cứu a Nghiên cứu lí luận Nghiên cứu lí luận phương pháp dạy học tốn, phương pháp dạy học hình học, tâm lí học để phân tích nguyên nhân khó khăn, sai lầm đề số biện pháp khắc phục b Nghiên cứu thực tiễn SVTH: Đặng Thảo Trang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Tiến hành tìm hiểu khó khăn, sai lầm học sinh thường gặp học HHKG 11 thơng qua giáo viên tốn trường trung học phổ thơng q trình thực tập vệ tinh, kinh nghiệm học tập môn HHKG thân, em học sinh thơng qua việc tìm hiểu tài liệu có liên quan đến mơn học HHKG Đối tượng sử dụng đề tài Đề tài hy vọng trở thành tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên sư phạm toán độc giả quan tâm Cấu trúc luận văn Khóa luận gồm có hai chương • Chương 1: Cơ sở lí luận • Chương 2: Một số biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp học sinh học Hình học khơng gian SVTH: Đặng Thảo Trang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Nội dung chương trình HHKG sách giáo khoa hình học 11 hành Chương trình hình học khơng gian lớp 11 gồm : - Chương II: Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song Bài 1: Đại cương đường thẳng mặt phẳng Bài 2: Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song Bài 3: Đường thẳng mặt phẳng song song Bài 4: Hai mặt phẳng song song Bài 5: Phép chiếu song song Hình biểu diễn hình khơng gian Ôn tập chương II - Chương III: Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian Bài 1: Vectơ không gian Bài 2: Hai đường thẳng vng góc Bài 3: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Bài 4: Hai mặt phẳng vng góc Bài 5: Khoảng cách Ôn tập chương III 1.1.1 Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song a Các tính chất thừa nhận khơng gian: - Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt - Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng - Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng - Tính chất 4: Tồn bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng - Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác - Tính chất 6: Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng b Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song • Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt: có vị trí - Hai đường thẳng cắt - Hai đường thẳng song song - Hai đường thẳng chéo • Các định lí, hệ quả: - Định lí 1: Trong khơng gian, qua điểm khơng nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho - Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đơi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với SVTH: Đặng Thảo Trang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy - Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng - Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với c Đường thẳng mặt phẳng song song • Các định lí hệ quả: - Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng (α) d song song với đường thẳng d’ nằm (α) d song song với (α) - Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Nếu mặt phẳng (𝛽) chứa a cắt (α) theo giao tuyến b b song song với a - Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng - Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng d Hai mặt phẳng song song • Định nghĩa: Hai mặt phẳng (α), (𝛽) gọi song song với chúng khơng có điểm chung • Các định lí hệ quả: - Định lí 1: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song song với mặt phẳng (𝛽) (α) song song với (𝛽) - Định lí 2: Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho - Hệ 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) qua d có mặt phẳng song song với (α) - Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với - Hệ 3: Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) Mọi đường thẳng qua A song song với (α) nằm mặt phẳng qua A song song với (α) - Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với - Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng - Định lí 4: (định lí Ta-let) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ 1.1.2 Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc a Vectơ khơng gian • Định nghĩa: Trong khơng gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng SVTH: Đặng Thảo Trang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy • Các định lí: - Định lí 1: Trong khơng gian cho hai vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ khơng phương vectơ 𝑐⃗ Khi ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ đồng phẳng có cặp số 𝑚, 𝑛 cho 𝑐⃗ = 𝑚𝑎⃗ + 𝑛𝑏⃗⃗ Ngoài cặp số 𝑚, 𝑛 - Định lí 2: Trong khơng gian cho ba vectơ khơng đồng phẳng 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ Khi với 𝑥⃗ ta tìm ba số 𝑚, 𝑛, 𝑝 cho 𝑥⃗ = 𝑚𝑎⃗ + 𝑛𝑏⃗⃗ + 𝑝𝑐⃗ Ngoài ba số 𝑚, 𝑛, 𝑝 b Hai đường thẳng vng góc • Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 c Đường thẳng vng góc với mặt phẳng • Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng (α) d vng góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) • Các định lí, hệ quả, tính chất: - Định lí : Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng - Hệ quả: Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh thứ ba tam giác - Tính chất 1: Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước - Tính chất 2: Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước • Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng - Tính chất 1: + Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng + Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với - Tính chất 2: + Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng + Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với - Tính chất 3: + Cho đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với Đường thẳng vng góc với (α) vng góc với a + Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với SVTH: Đặng Thảo Trang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy d Hai mặt phẳng vng góc • Góc hai mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng • Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng • Các định lí hệ quả: - Định lí 1: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng - Hệ 1: Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng - Hệ 2: Cho hai mặt phẳng (α) (𝛽) vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (𝛽) đường thẳng nằm mặt phẳng (α) - Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba e Khoảng cách • Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α), kí hiệu d(a, (α)) • Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng • Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: - Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo a,b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b - Nếu đường vng góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b 1.2 Dạy học giải toán 1.2.1 Yêu cầu lời giải toán: - Lời giải khơng có sai lầm: Lời giải khơng có sai sót kiến thức tốn học, suy luận tính tốn, hình vẽ kí hiệu, trình bày,… - Lập luận phải có xác: Các bước lời giải phải có sở lí luận, nghĩa phải dựa vào định nghĩa, định lí, tính chất, qui tắc, cơng thức,…đã học, giả thiết cho - Lời giải phải đầy đủ: Lời giải phải bao hàm hết tất khả xảy tình SVTH: Đặng Thảo Trang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Ta có: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎√2 ⇒ tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông 𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Mà: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑆𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (𝐴𝐶 𝐴𝑆 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑆𝐶 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑆 Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.cos(𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Do đó: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑆 = |𝐴𝐵 𝐴𝑆)= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ cos(𝐴𝐵 𝑆𝐶 ) = − 𝑎2 (vì tam giác SAB đều) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(𝐴𝐵 𝑆𝐶 ) = 120° Do đó: (𝐴𝐵, 𝑆𝐶 ) = 60° ❖ Giáo viên thơng qua ví dụ để ơn lại cho học sinh phép tốn vectơ đồng thời minh họa kiến thức “trọng tâm”: “Cách xác định góc hai đường thẳng, mối liên hệ góc hai đường thẳng góc hai vectơ phương hai đường thẳng đó” Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có: 𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐷 Gọi P, Q trung điểm AB, CD Chứng minh AB PQ hai đường thẳng vng góc với Lời giải: Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑄 Và 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ 2𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ 2𝑃𝑄 𝐴𝐵 = (𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷 𝐴𝐵 = Hay ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗0⃗ Do đó: 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝐵 ❖ Qua ví dụ trên, học sinh tập làm quen với việc chứng minh hai đường thẳng vng góc dựa vào việc chứng minh tích vơ hướng vectơ phương hai đường thẳng ⃗0⃗ SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 33 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy b Phương pháp góp phần: - Giúp học sinh nắm vững kiến thức: Qua phương pháp này, kiến thức hệ thống lại theo lối giảm tải, lượng kiến thức học sinh cần tiếp thu nhẹ hơn, điều tạo thuận lợi cho học sinh ghi nhớ khắc sâu kiến thức, đảm bảo vốn kiến thức ổn định giúp học sinh giải tập - Rèn luyện tư logic cho học sinh: + Học sinh rèn luyện tư thông qua tập phân loại trên, tư nâng cao tập từ mức độ dễ đến khó + Ở tốn minh họa giảng, toán luyện lớp, học sinh củng cố kiến thức mới, đồng thời tạo nên tư liên hệ lí thuyết giải tốn + Đối với toán nhà bắt buộc, toán học sinh tự luyện, vài toán dành cho học sinh khá, giỏi toán giúp học sinh nhuần nhuyễn cách giải số toán Q trình học sinh suy nghĩ tìm tịi lời giải q trình học sinh tự rèn luyện tư duy, nâng cao đào sâu kiến thức - Rèn luyện cách thể nội dung toán: + Với tập đơn giản lớp, giáo viên nhận xét lưu ý cho học sinh cách trình bày hình vẽ, diễn đạt + Đối với tập rèn luyện nhà, học sinh tự rèn luyện cách trình bày cho hợp lí logic 2.3.2 Chọn lọc tập a Sơ lược phương pháp Trong chương trình họ có nhiều tập, từ tập lên tập Những tập thường mang ba tính chất sau: (1) Rèn luyện tư tưởng tượng tốt cho học sinh, khắc sâu kiến thức học (2) Chỉ phương pháp giải vấn đề HHKG (3) Có liên quan đến nhiều tốn khác chương trình Với quan niệm trước tiên định lí sách giáo khoa tốn Nhưng rõ ràng với định lí chưa đủ Trong sách giáo khoa khơng nêu rõ phương pháp giải số toán quan trọng khác Ví dụ cách tìm giao tuyến hai mặt phẳng, cách chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng qui…Cần phải nêu lên toán hướng dẫn phương pháp giải, cách trình bày, vẽ hình b Phương pháp góp phần - Cung cấp cho học sinh số phương pháp giải tốn hình chủ yếu: Thơng qua việc dạy tập bản, giáo viên cung cấp cho học sinh phương pháp chủ yếu để giải tốn định Khi học sinh có SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 34 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy mẫu, giúp học sinh có số vốn kiến thức kĩ ổn định, có số thói quen định mặt tư mặt tâm lí - Ngồi ra, tập hợp tốn tảng để học sinh có kĩ phát triển tư logic, giải tốn khác Ví dụ 8: Trong “Đại cương đường thẳng mặt phẳng”, sau phần ý sách giáo khoa định nghĩa thiết diện (hay mặt cắt) mặt phẳng với hình khơng gian Từ giáo viên đưa tốn tìm thiết diện vào chương trình học tốn đóng vai trị thực quan trọng việc rèn luyện để học sinh hiểu học tốt HHKG Đối với tốn tìm thiết diện này, giáo viên nên tổng quát thành dạng nhất, như: Dạng 1: Thiết diện hình đa diện với mặt phẳng (P), (P) qua ba điểm không thẳng hàng Dạng 2: Thiết diện hình đa diện với mặt phẳng (P), (P) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b cho trước (a b chéo nhau) Dạng 3: Thiết diện hình đa diện với mặt phẳng (P), (P) qua điểm song song với hai đường thẳng cho trước Dạng 4: Thiết diện hình đa diện với mặt phẳng (P), (P) qua điểm song song với mặt phẳng cho trước Dạng 5: Thiết diện hình đa diện với mặt phẳng (P), (P) qua đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước Dạng 6: Thiết diện hình đa diện với mặt phẳng (P), (P) qua điểm vng góc với mặt phẳng cho trước Đối với dạng, giáo viên nên cho học sinh phương pháp giải ví dụ minh họa Như dạng 1, ta có phương pháp tổng quát sau: Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt hình chóp Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm cắt cạnh mặt đó, ta tìm điểm chung (P) với mặt khác Từ xác định giao tuyến với mặt Bước 3: Tiếp tục tới đoạn giao tuyến tạo thành khối đa giác phẳng khép kín ta thiết diện Bước 4: Dựng thiết diện kết luận * Bài tập áp dụng cho dạng Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M điểm cạnh SC (khơng trùng với S, C), N P trung điểm AB, AD Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Lời giải: SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 35 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Ta có (𝑀𝑁𝑃 ) ∩ (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝑁𝑃 Kéo dài BC NP cắt I Kéo dài CD NP cắt J Khi đó, 𝐼𝑀 ∩ 𝑆𝐵 = 𝐾 𝑀𝐽 ∩ 𝑆𝐷 = 𝑄 ⇒(𝑀𝑁𝑃) ∩ (𝑆𝐵𝐶 ) = 𝐾𝑀 (𝑀𝑁𝑃) ∩ (𝑆𝐴𝐵) = 𝐾𝑁 (𝑀𝑁𝑃) ∩ (𝑆𝐶𝐷 ) = 𝑀𝑄 (𝑀𝑁𝑃) ∩ (𝑆𝐴𝐷 ) = 𝑃𝑄 Vậy thiết diện cần dựng ngũ giác MQPNK ❖ Đây phương pháp có hiệu tình hình Học sinh có số vốn kiến thức, kĩ thói quen tư định để tự tin làm Vì dạy tốn đó, giáo viên nên dành thời gian để nhấn mạnh cách phân tích, vẽ hình, hướng giải cách trình bày để khắc sâu cho học sinh; tránh tình trạng phải thời gian lặp lại toán tương tự sau 2.3.3 Mở rộng tốn phẳng vào khơng gian a Sơ lược phương pháp - Trong trình giảng dạy, nội dung thích hợp ta hướng dẫn cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề theo quan điểm mở rộng toán phẳng vào tốn khơng gian Thực chất mở rộng tốn từ khơng gian hai chiều vào khơng gian ba chiều Ví dụ 9: Từ tam giác cho trước, thêm điểm S mặt phẳng tam giác đó, ta có hình tứ diện Cũng thế, tịnh tiến tam giác theo vectơ không đồng phương với mặt phẳng tam giác ta hình lăng trụ tam giác Tương tự với hình bình hành ta hình hộp - Cũng từ quan điểm trên, học sinh thấy có phương pháp giải tốn hình khơng gian tương tự với phương pháp giải tốn hình phẳng SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 36 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy - Có thể cho học sinh thấy rõ nhiều vấn đề, nhiều cơng thức tương tự hình học phẳng hình khơng gian như: trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện; vài quan hệ song song hình phẳng khơng gian b Phương pháp góp phần - Hệ thống kiến thức: + Thông thường, môn HHKG, học sinh cảm thấy lạ Tuy nhiên với phương pháp này, học sinh thấy hệ thống kiến thức liền mạch mối quan hệ hình học phẳng HHKG Ví dụ 10: Từ hai đường thẳng cắt đến hai đường thẳng chéo Từ đường thẳng song song với đường thẳng đến đường thẳng song song với mặt phẳng, tam giác với tứ diện, hình bình hành với hình hộp… + Qua đó, học sinh cảm thấy HHKG trở nên gần gũi, quen thuộc hơn, điều giúp học sinh khắc sâu kiến thức mới, đồng thời hứng thú học tập - Phát triển tư logic: + Với cách nhìn nhận toán theo hướng mở rộng toán phẳng vào tốn khơng gian, học sinh kích thích trí tị mị, óc phán đốn, dự đốn tính chất tương tự khơng gian tìm cách chứng minh điều Học sinh rèn luyện nhiều trí thơng minh suy luận có lí - Bên cạnh phương pháp góp phần bồi dưỡng trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh Ví dụ 11: Cho tam giác ABC vng A (𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑐) Gọi I trung điểm đường cao OH ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗ Chứng minh rằng: 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐴 + 𝑏2 𝐼𝐵 𝐼𝐶 = Lời giải: ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐴 + 𝑏2 𝐼𝐵 𝐼𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐼 = 𝑏2 𝐼𝐵 𝐼𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⇔ 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐼 = 𝑏2 (𝐼𝐴 𝐴𝐵) + 𝑐 (𝐼𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 )𝐴𝐼 𝐴𝐵 + 𝑐 𝐴𝐶 ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐼 = 𝑏2 𝑐2 2𝑎 2𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 Thay chứng minh 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐴 + 𝑏2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐵 + 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐶 = ⃗0⃗ , ta chứng minh đẳng thức SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 37 Khóa luận tốt nghiệp ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐼 = GVHD: ThS Ngô Thị Bích Thủy 𝑏2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 2𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑐2 2𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ta có: 𝑎 𝐴𝐻 = (𝑏 + 𝑐 )𝐴𝐻 ⇔ 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐻 = 𝑏2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 + (𝑏2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐻 + 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐻 ) (1) Lại có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑏2 𝐵𝐻 𝐶𝐻 =𝐴𝐶 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐻 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵) + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (𝐴𝐻 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐻 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐻 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 = ⃗0⃗ (2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Từ (1) (2) suy ra: 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐻 = 𝑏2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝑐 𝐴𝐶 𝐴𝐻 = I trung điểm AH nên: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐼 = 𝑏2 2𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝑐2 2𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 (điều phải chứng minh) Ta mở rộng tốn thành tốn khơng gian sau: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi 𝑆𝑂 , 𝑆𝐴 , 𝑆𝐵 , 𝑆𝐶 diện tích mặt tứ diện đỉnh tương ứng O, A, B, C Gọi I trung điểm đường cao OH tứ diện Chứng minh rằng: 𝑆𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑂 + 𝑆𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐴 + 𝑆𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐵 + 𝑆𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐶 = ⃗0⃗ Gọi M giao điểm AH với BC Ta có: 𝑂𝐻 ⊥ 𝐵𝐶 𝑂𝐴 ⊥ 𝐵𝐶 (vì 𝑂𝐴 ⊥ (𝑂𝐵𝐶)) nên 𝐵𝐶 ⊥ (𝑂𝐴𝑀) ⇒ 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝑀 𝐵𝐶 ⊥ 𝑂𝑀 Vì OA, OB, OC vng góc với đơi nên: 𝑆𝐴 + 𝑆𝐵 + 𝑆𝐶 = (𝑂𝐵2 𝑂𝐶 + 𝑂𝐴2 𝑂𝐶 + 𝑂𝐴2 𝑂𝐵2 ) = [ (𝑂𝐵2 + 𝑂𝐶 )𝑂𝐴2 +𝑂𝐵2 𝑂𝐶 ] = (𝐵𝐶 𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 𝑂𝐶 ) SVTH: Đặng Thảo Trang 1 4 𝑆𝑂 = 𝐵𝐶 𝐴𝑀 = 𝐵𝐶 (𝑂𝐴2 + 𝑂𝑀2 ) = (𝐵𝐶 𝑂𝐴2 + 𝐵𝐶 𝑂𝑀2 ) Trang 38 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy 1 Vì: 𝑂𝐵2 𝑂𝐶 = 𝐵𝐶 𝑂𝑀2 = 𝑆𝐴 4 2 Suy ra: 𝑆𝑂 = 𝑆𝐴 + 𝑆𝐵 + 𝑆𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑆𝑂 𝐼𝑂 𝐼𝐴 + 𝑆𝐵 𝐼𝐵 𝐼𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑆𝑂 + 𝑆𝐴 + 𝑆𝐵 + 𝑆𝐶 ) = 𝑆𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ 𝑂𝐼 𝑂𝐴 + 𝑆𝐵 𝑂𝐵 𝑂𝐶 Chia hai vế cho 𝑆𝑂 + 𝑆𝐴 + 𝑆𝐵 + 𝑆𝐶 với 𝑆𝑂 = 𝑆𝐴 + 𝑆𝐵 + 𝑆𝐶 2 2 𝑆 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑆𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ta được: 2𝑂𝐼 𝑂𝐴 + 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 + 𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 𝑆𝑂 𝑆𝐴 𝑆𝑂 Hay: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐻 = 𝑆𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + 𝑆𝐵 𝑆𝑂 𝑆𝑂 𝑆𝐶 𝑆𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , ta ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ Như vậy, thay chứng minh 𝑆𝑂 𝐼𝑂 𝐼𝐴 + 𝑆𝐵 𝐼𝐵 𝐼𝐶 = 2 𝑆 𝑆 𝑆 chứng minh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐻 = 𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 + 𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 𝑆𝑂 𝑆𝑂 𝑆𝑂 Từ ta giải tốn nhờ sử dụng kiến thức hình phẳng tốn Tam giác AOM vng O, có đường cao OH; tam giác BOC vng O, có đường cao OM Đặt 𝑂𝐴 = 𝑎, 𝑂𝐵 = 𝑏, 𝑂𝐶 = 𝑐, 𝐴𝑀 = 𝑥, 𝑂𝑀 = 𝑚 Áp dụng hệ thức (*) tốn vào hai tam giác vng AOM BOC 2 𝑚 𝑎 ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐻 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 (3) 𝑥 𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = 𝑐2 𝑏2 𝐵𝐶 𝐵𝐶 ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 + 𝑐2 𝑏2 +𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵 𝑏2 𝑏2 +𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 (4) Thay (4) vào (3) ta có: 2 𝑆 𝑆 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐻 = 𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 + 𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 𝑆𝑂 𝑆𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑂 𝑆𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑆𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ Vậy: + 𝑆𝐴 𝐼𝐴 + 𝑆𝐵 𝐼𝐵 + 𝑆𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐶 = ⃗0⃗ (điều phải chứng minh) * Lưu ý: Cần lưu ý cho học sinh biết có vấn đề tương tự khơng phần hình học phẳng HHKG - Như tam giác có trực tâm, tứ diện nói chung khơng có trực tâm, có tứ diện trực tâm có trực tâm - Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp trùng nhau, khơng phải có tứ diện tâm hình cầu ngoại tiếp nội tiếp trùng với tứ diện gần có tính chất 2.3.4 Đưa tốn khơng gian toán phẳng a Sơ lược phương pháp - Chúng ta thấy để chứng minh nhiều định lí, để giải nhiều tốn hình khơng gian người ta thường đưa việc giải tốn hình học phẳng SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 39 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy - Sách giáo khoa không rõ vấn đề này, song giảng dạy thầy cô nên lưu ý cho học sinh phương pháp - Một số cách đưa tốn khơng gian tốn phẳng: + Sử dụng phép chiếu song song vng góc Tùy theo tốn, học sinh lựa chọn phép chiếu thích hợp để chuyển việc giải tốn không gian với giả thiết, kết luận chứa tính chất bất biến, qua phép chiếu trên, việc giải tốn mặt phẳng Ví dụ 12: Các cách dựng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: • Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a • Lấy M  a, chiếu M lên (P) thành M’ • Qua M’ dựng đường thẳng a’ song song với a, cắt đường thẳng b J • IJ đoạn vng góc chung a b Cách 2: Chia hai trường hợp * Trường hợp 1: a b vng góc với • Dựng mặt phẳng (P) chứa b vng góc với a I SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 40 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy • Chiếu I b thành J • IJ đoạn vng góc chung * Trường hợp 2: a b khơng vng góc • Dựng mặt phẳng (P) vng góc với a O • Chiếu b (P) thành b’ • Chiếu O b’ thành H • Từ H vẽ đường thẳng song song với a, cắt b J • Từ J vẽ đường thẳng song song với OH cắt a I • IJ đoạn vng góc chung + Bên cạnh đó, để giải số tốn khơng gian, ta dùng phương pháp trải hình khơng gian lên mặt phẳng thích hợp Ví dụ 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Ta trải mặt AA’D’D, A’B’C’D’, BB’C’C, DD’C’C, AA’B’B lên mặt phẳng (ABCD), ta có hình vẽ: SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 41 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Với phương pháp này, học sinh quan sát hình chữ nhật tạo nên hình hộp dễ dàng tính diện tích xung quanh hình hộp thơng qua việc tính tổng diện tích hình chữ nhật ABCD, AA’B’B, A’B’C’D’, ADD’A’, BB’C’C, DCC’D’ (vì để thuận lợi cho việc quan sát nên điểm lặp lại không thay đổi tên) - Ngoài ra, giải số tốn khơng gian, giáo viên hướng dẫn học sinh trích hình thuộc mặt phẳng thành hình phẳng để thuận tiện quan sát giải tốn Ví dụ 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, cạnh a; M  BC 𝐴𝑀 = 𝑥 Mặt phẳng (A’MC) cắt C’D’ N 1) Chứng minh tứ giác A’MCN hình bình hành Tính diện tích A’MCN theo a x 2) Định vị trí M để diện tích A’MCN nhỏ định vị trí M để chu vi A’MCN nhỏ Lời giải: SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 42 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy 1) Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) nên (A’MC) cắt hai mặt phẳng theo hai giao tuyến song song: A’N // MC Tương tự: (ABB’A’) // (DCC’D’) nên A’M // NC Do đó: A’MCN hình bình hành + Tính: 𝑆𝐴′𝑀𝐶𝑁 Kẻ 𝐴′ 𝐻 ⊥ 𝑀𝐶, ta có: 𝐴𝐻 ⊥ 𝑀𝐶 (𝑀𝐶 ⊥ (𝐴′ 𝐴𝐻)) Ta có hai tam giác vuông AHM CBM đồng dạng nên: Suy ra: 𝐴𝐻 = 𝐴𝑀.𝐵𝐶 𝑀𝐶 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶 = 𝐴𝑀 𝑀𝐶 𝑎𝑥 𝑀𝐶 Tam giác vng A’AH có: 𝑎2 𝑀𝐶 +𝑎2 𝑥 𝐴′ 𝐻 = √𝐴′ 𝐴2 + 𝐴𝐻 = √ 𝑀𝐶 = = 𝑎√𝑀𝐶 +𝑥 𝑀𝐶 𝑎√(𝑎−𝑥)2 +𝑎2 +𝑥 𝑀𝐶 = 𝑎√2(𝑎2 −𝑎𝑥+𝑥 ) 𝑀𝐶 Ta có 𝑆𝐴′𝑀𝐶𝑁 = 𝐴′ 𝐻 𝑀𝐶 = 𝑎√2(𝑎2 − 𝑎𝑥 + 𝑥 ) 2) * Định M để 𝑆𝐴′𝑀𝐶𝑁 nhỏ nhất: 𝑎 Ta có: 𝑆𝐴′𝑀𝐶𝑁 = 𝑎√2 [(𝑥 − ) + 3𝑎2 ] 𝑎 𝑎 2 Do đó: 𝑆𝐴′𝑀𝐶𝑁 nhỏ 𝑥 − = ⇔ 𝑥 = ⇔ M trung điểm AB * Định M để chu vi A’MCN nhỏ nhất: Ta có: Chu vi (A’MCN)= 2(𝐴′ 𝑀 + 𝑀𝐶 ) = 2(𝐷𝑀 + 𝑀𝐶) (vì ∆𝐴𝐴′ 𝑀 = ∆𝐴𝐷𝑀) Gọi 𝐷1 điểm đối xứng D qua A Lúc ta có: SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 43 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Chu vi (A’MCN)= 2(𝐷1 𝑀 + 𝑀𝐶 ) Ta có: 𝐷1 𝑀 + 𝑀𝐶 ≥ 𝐶𝐷1 Dấu xảy M giao điểm 𝐶𝐷1 AB, M trung điểm AB Vậy: Chu vi A’MCN nhỏ M trung điểm AB (cũng lúc diện tích A’MCN nhỏ nhất) b Phương pháp góp phần: - Rèn luyện tư cho học sinh Qua phương pháp này, học sinh rèn luyện nhiều mặt tư biết qui lạ quen, vận dụng kiến thức hình học phẳng quen thuộc để giải tốn khơng gian - Cung cấp thêm cho học sinh nhiều phương pháp giải toán Khai thác vấn đề ta cho học sinh thấy chất cách chứng minh định lí giải tập Vì cho học sinh nhiều cách chứng minh khác cho dạng toán 2.3.5 Sử dụng liên kết hình a Sơ lược phương pháp: - Nội dung sách giáo khoa nêu rõ liên kết hình khơng gian hình chóp tam giác lăng trụ tam giác, hình chóp hình chóp cụt, tứ diện hình lập phương… - Nhờ liên kết học sinh hiểu rõ tính chất hình, từ tính chất hình hiểu tính chất hình khác b Phương pháp góp phần - Hệ thống kiến thức: + Qua phương pháp này, kiến thức hệ thống theo chuỗi liên kết hình Từ học sinh hiểu tính hệ thống chương trình, khắc sâu kiến thức + Bên cạnh đó, học sinh củng cố nhận thức tính thống tốn học, tăng thêm lịng say mê hứng thú học tập môn HHKG - Rèn luyện tư + Xuất phát từ số hình khơng gian, học sinh vận dụng kiến thức hình để tìm tịi chứng minh tính chất số hình khác Qua q trình đó, khả tư em nâng cao - Cung cấp thêm số phương pháp giải tốn Ví dụ 15: Hình chóp cụt SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 44 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Định nghĩa: Cho hình chóp 𝑆 𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt cạnh 𝑆𝐴1 , 𝑆𝐴2 ,…, 𝑆𝐴𝑛 𝐴1′ , 𝐴′2 , … , 𝐴𝑛 ′ Hình hợp thiết diện 𝐴1′ 𝐴′2 … 𝐴𝑛 ′ đáy 𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 hình chóp với tứ giác 𝐴1′ 𝐴′2 𝐴2 𝐴1 , 𝐴′2 𝐴′3 𝐴3 𝐴2 , … , 𝐴′𝑛 𝐴1′ 𝐴1 𝐴𝑛 gọi hình chóp cụt Dựa vào định nghĩa ta thấy hình chóp cụt hình cắt từ hình chóp, dễ dàng suy tính chất sau: + Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cặp cạnh tương ứng + Các mặt bên hình thang + Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy điểm SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 45 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Qua q trình thực đề tài này, tơi rút số kết luận sau: Bộ môn HHKG môn hấp dẫn, thú vị, lạ nhiên đánh giá số mơn khó học sinh Luận văn nêu khó khăn học sinh học HHKG lớp 11 Luận văn nêu sai lầm thường gặp học sinh học HHKG lớp 11 Luận văn đề xuất biện pháp với 15 ví dụ minh họa nhằm khắc phục sai lầm Do thời gian hạn chế nên q trình làm khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi xin chân thành cảm ơn đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hồn thiện SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyên Hà Thanh, Phan Văn Viện (2009), Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục [2] Trung tâm đào tạo từ xa Đại học Huế (1997), Giáo trình phương pháp dạy – học Toán, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), Nguyễn Hải Châu, Quách Tú Chương, Nguyễn Trung Hiếu, Đoàn Thế Phiệt, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thị Qúy Sửu (2009), Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn lớp 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [4] Bộ giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, Hà Nội [5] Các trang Website Internet SVTH: Đặng Thảo Trang Trang 47 ... Trung học phổ thơng, tơi tìm hiểu thực trạng dạy học hình học khơng gian khối lớp 11 Là sinh viên sư phạm trường, chọn đề tài ? ?Một số biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp học sinh học Hình học không. .. .22 CHƯƠNG 2.MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 24 2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ tư logic cho học sinh 24 2.1.1 Xây dựng... sinh thường gặp tìm biện pháp khắc phục Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn thường gặp, sai lầm phổ biến học sinh học HHKG lớp 11 - Đề xuất số biện pháp nhằm hạn chế khó khăn khắc phục sai lầm