De thi co dap an hoc sinh gioi Dong Ha

Chủ đề chính Vận dụng Tổng 1)Phân tích ĐT thành nhân tử, biến. đổi đồng nhất[r]

PHỊNG GD-ĐT ĐƠNG HÀ -

-ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011

Mơn Tốn Thời gian 150 phút

*Ma trận đề kiểm tra :

Chủ đề chính Vận dụng Tổng 1)Phân tích ĐT thành nhân tử, biến

đổi đồng 1 1

2) Bất đẳng thức 2

2 2 3)Phép chia hết, phép chia có dư

1 1 4)Số phương

1,5

2 1,5 5)Phương trình nghiệm nguyên

1,5 1,5 6)Diện tích tam giác, tam giác

đồng dạng 3 3

Tổng 10

10

10 10

Câu 1: (1đ)

Cho số x, y, z khác không thoả mãn

2010

1 1

2010 x y z

x y z    

 

  

 

Chứng minh số x, y, z tồn số đối

Câu 2: (1đ) Cho n N* Chứng minh : 1 n

n

 

 

 

 

Câu 3: (1đ) Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ A xy yz zx

z x y

  

Câu 4: (1đ) Chứng minh :P 4n3 6n2 3n 17

    không chia hết cho 125, n N

Câu 5:(1,5đ) a) Tìm số tự nhiên n cho 3n 55

 số phương

b) Cho a + 1 2a + 1 (a  N) đồng thời hai số phương

Chứng minh a chia hết cho 24

Câu 6: (1,5đ)Tìm nghiệm nguyên phương trình:

a) x4 x2 1 y2

   b) 2x  3y 1

Câu 7: (3đ) Cho tam giác ABC với tâm O Gọi M điểm bên tam giác ABC Kẻ MH BC MK, AC MI, AB

Chứng minh rằng: ' ' '

' ' '

MA MB MC OA OB OC 

-Hết -ĐÁP ÁN

Câu 1: Từ

2010

1 1

2010 x y z

x y z           

1 1 1 1

0

x y z x y z x y z x y z

   

         

       

( ) ( ) 

( )

x y x y

x y z x y z xy xy z x y z

 

        

 

   

(x y zx zy z) xy (x y z x z) ( ) y x z( )

           

0

( )( )( ) 0

0

x y x y

x y y z z x y z y z

z x z x

                          Vậy số x, y, z tồn số đối

Câu :

 Với n = 1, ta có :

1

1

1

 

  

 

  (đúng)

 Với n  2, ta có :

1 1 ( 1) 2 ( 1)( 3) 3 ( 1)( 2) 2.1

2! 3! !

n

n

n n n n n n n n

n

n n n n n n

    

 

      

 

 

1 1 2! 3! n!

 

      

 

Mặt khác: 1 1 1 1

2! 3!   n! 1.2 2.3 (n1)n   n  Vậy 1

n

n

 

 

 

  (đpcm)

Câu 3:

Vì x > 0, y > 0, z > nên xy 0, yz 0,zx z  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

xy yz xy yz 2y

z  x  z x  (1)

yz zx yz zx 2z x  y  x y  (2) zx xy zx xy 2x

Từ (1), (2), (3)  xy yz zx 2(x y z)

z x y

 

     

 

  (vì x + y + z = 1)

 2A   A 

Vậy Min A = 

3

xy yz zx

x y z

z  x  y    

Câu 4:

Giả sử tồn n  N cho P4n36n23n17  125  P 

 2P2(4n36n23n 17) (2 n1)3 35 5

 (2n1) 53  2n1 5  2n 1 ,k kN  k lẻ

Đặt k = 2m + 1, m  N ta có : 2n = 5(2m + 1) –  n = 5m + 2

Khi :P 4(5m 2)3 6(5m 2)2 3(5m 2) 17 125(4m3 6m2 3 ) 45m

          

không chia hết cho 125, trái với điều giả sử VậyP 4n3 6n2 3n 17

    không chia hết cho 125, với n N Câu 5:

a) Đặt 3n 55 a2

  , với a  N (1)

Từ (1) a chẵn  a2 0(mod 4) 3n 1(mod 4) (2)

Mặt khác: 1(mod 4) 3n ( 1) (mod 4)n

    (3)

Từ (2) (3) n chẵn n = 2m, (m  N)

pt (1) a2 (3 )m 55 (a )(m a ) 55m

       (*)

Vì a 3m a 3m

    nên từ (*) 

3 11

3 3

3

3 27

3 55

3

m

m m

m m

m a

a m

m a

a      

     

 

   

  

    

 

   

 Với m =  n =  3n 55 3 55 64 8   Với m =  n =  3n 55 3 55 784 28 

Vậy n2;6 thì 3n55 số phương b) Đặt a + = k2, 2a + = m2 , (k, m

 N)

Vì 2a + 1 lẻ nên m2 lẻ

m lẻ m = 2t + 1, (t  N)

2a + = (2t + 1)2  a = 2t(t + 1) số chẵn

a + 1 lẻ k2 lẻ klẻ k = 2n + 1, (n  N)

Do từ a + = k2

 a = (k – 1)(k + 1) = 4n(n + 1)  8 (1)

Mặt khác: k2 + m2 = a + + 2a + = 3a + 2(mod 3)

 k2 m2 1(mod 3) m2  k2  a 0(mod 3) hay a3 (2) Từ (1) (2)  a(3.8), (vì (3; 8) = 1)

Vậy a chia hết cho 24

Câu 6: a) x4 x2 1 y2

Ta có x2  0 x  ( )x2 x4 x2  1 (x2 1)2

Do từ (1) ( )x2  y2 (x2 1)2 (*)

Vì x2và x2 + 1 số tự nhiên liên tiếp nên từ (*) y2 (x2 1)2

 

(x2 1)2 x4 x2 1 x2 0 x 0

        

 y2  1 y1

Vậy pt cho có nghiệm nguyên : (0 ; 1), ( ; -1) b) 2x 3y 2x 3y

     (1)

Từ (1)  2x > 1 x >  y 0

 Xét y số chẵn : Ta có : 31(mod 4) 3y  ( 1) (mod 4)y

3y 1(mod 4)

  (vì y chẵn)

Do từ pt(1)  2x 2(mod 4)x = y =

 Xét y số lẻ : đặt y = 2m + 1, (m  N) Ta có : 3y 32m1 3.9m 3(mod8)

Do từ pt(1)  2x 4(mod8)x = y =

Vậy pt cho có nghiệm nguyên : (1; 0), (2; 1)

Câu 7:

Chứng minh:

a) Ta có: SABC SMBCSMCASMAB

BC h BC MH AC MK AB MI

   

 BC h (MH MK MI BC  )  MH MK MI  h (đpcm)

b) Từ O kẻ OH'BC OK, 'AC OI, 'AB

Theo kết câu a ta có: OH’ + OK’ + OI’ = h

Mà O tâm tam giác ABC nên:

' ' '

3 OH OK OI  h Ta có: MH // OH’ nên: '

' '

MA MH

OA OH (1) OK’ // MK nên: '

' '

MB MK

OB OK (2) IM // OI’ nên: '

' '

MC MI

OC OI (3) Cộng (1), (2) (3) theo vế ta có: ' ' '

' ' ' ' ' ' '

MA MB MC MH MK MI MH MK MI

OA OB OC OH OK OI OH

 

      (vì OH’ = OK’ = OI’)

3

h h

 

H C'

K

I B'

A'

I'

H'

K' O

A

B C

Vậy ' ' '

' ' '

MA MB MC

OA OB OC  (đpcm)