Dang 4. Các bài toán cực trị(VDC)

Câu r a   1;  1;0  Oxyz [2H3-1.4-4] (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho hai điểm A  4;7;3 B  4;4;5  Oxy  cho , Giả sử M , N hai điểm thay đổi mặt phẳng uuuu r r MN hướng với a MN  Giá trị lớn AM  BN A 17 B C  Lời giải 77 D 82  Tác giả: Nguyễn Trung Thành; Fb: Thanh Nguyen Chọn A uuuu r r uuuu r r Vì MN hướng với a nên t  : MN  ta r uuuu r MN  � t a  � t  MN   5;  5;0  Hơn nữa, Suy 45 1 �x� �x� � � � �y�   5 � �y � 2 uuur uuuu r � � A� ; y�� ;z  3  � A�  x�  1;2;3 �z� �z �  MN Gọi điểm cho AA�  Oxy  chúng có cao độ Dễ thấy điểm A� , B nằm phía so với mặt phẳng dương Hơn cao độ chúng khác nên đường thẳng A ' B cắt mặt phẳng  Oxy  điểm cố định uuur uuuu r  MN suy AM  A� N nên AM  BN  A ' N  BN �A ' B dấu xảy N Từ AA�  Oxy  giao điểm đường thẳng A ' B với mặt phẳng Do max AM  BN  A ' B  N  A� B � Oxy    1        3  17 2 , đạt Nhận xét Ý tưởng đề Từ bất đẳng thức véc tơ r r r r r r | u |  | v | �u  v a) Dấu “=” xảy hai véc tơ u v chiều r r r r r r | u  v �u  u b) Dấu “=” xảy hai véc tơ u v chiều r r r r r r | u  v �u  u u v c) Dấu “=” xảy hai véc tơ ngược chiều Tác giả: Nguyễn Văn Hải, FB: https://www.facebook.com/nguyenvan.hai.96387 Bài xuất phát từ bất đẳng thức ta có toán gốc sau Câu 2 2 [2H3-1.4-4] (ĐH Vinh Lần 1) Cho mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  4)  z  hai điểm A(3;0;0), B(4; 2;1) Gọi M điểm thuộc mặt mặt cầu ( S ) Tính giá trị nhỏ biểu thức MA  2MB A B C D Lời giải Chọn C Ý tưởng Tìm điểm B ' cố định cho MA  2MB ' áp dụng bất đẳng thức r r r r | u  v �u  u 2 2 2 Cách 1: Gọi M (a; b; c) �( S ), ta có ( a  1)  (b  4)  c  � a  b  c  2a  8b  2 2 2 2 Do MA  (a  3)  b  c  4(a  b  c )  3(a  b  c )  6a  a  b  c  6b   a  (b  3)  c  MB ' với B '(0;3; 0) Dễ thấy B ' nằm mặt cầu, B nằm mặt cầu nên MA  2MB  2(MB ' MB ) nhỏ B ', M , B thẳng hàng Vậy, giá trị nhỏ biểu thức MA  MB BB '  Cách 2: Ta có IA  2, với I tâm mặt cầu Gọi E (1; 2;0), B '(0;3;0) trung điểm IA IE + M điểm nằm đường thẳng IA ta có MB '  MA MB ' IM   IA , + M điểm không nằm đường thẳng IA ta có IMB ' : IAM nên MA ta có MB '  MA Dễ thấy B ' nằm mặt cầu, B nằm mặt cầu nên MA  2MB  2(MB ' MB ) nhỏ B ', M , B thẳng hàng M �M Vậy, giá trị nhỏ biểu thức MA  MB BB '  Câu [2H3-1.4-4] (Lý Nhân Tông) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A  a;0;0  , B  0; b;  , C  0; 0; c  A, B, C với a, b, c  cho Giá trị lớn VO.ABC 1 1 A 108 B 486 C 54 D 162 Lời giải Chọn D 2 2 2 Ta có OA  a, OB  b; OC  c; AB  a  b , BC  b  c , CA  c  a 1 VOABC  OA.OB.OC  a.b.c 6 OA  OB  OC  AB  BC  CA   � a  b  c  a  b  b  c  c  a   Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: a  b  c �3 abc , a  b  b  c  c  a �3  a  b   b  c   c  a  �3 2ab.2bc.2ac  3 abc 2 2 2 3 Suy a  b  c  a  b  b  c  c  a �3 abc  abc  + �1�+2 3 abc  abc abc 27 1 abc 162 VOABC 162 � a  0; b  0; c  � �� abc � � a  b  c  2 2 2 a  b  c  a  b  b  c  c  a  1 � Dấu xảy Vậy giá trị lớn Câu VOABC 162 A  1; 1;  B  2; 0;3 C  0;1; 2  [2H3-1.4-4] (Đoàn Thượng) Trong không gian Oxyz , cho , , M  a; b; c   Oxy  cho biểu thức Gọi điểm thuộc mặt phẳng uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur S  MA.MB  2MB.MC  3MC.MA đạt giá trị nhỏ Khi T  12a  12b  c có giá trị A T  B T  3 C T  D T  1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mộng; Fb:Nguyễn Văn Mộng Chọn D M  a; b; c  � Oxy  M  a; b;0  Ta có nên c  Do uuur uuur uuuu r MA    a; 1  b;  MB   2  a; b;3 MC   a;1  b; 2  , , uuur uuur MA.MB    a   2  a    1  b   b    a  a  b  b  uuur uuuu r MB.MC   2  a    a    b    b    a  2a  b  b  uuuu r uuur MC.MA   a    a     b   1  b    a  a  b  Suy S  a  a  b  b    a  2a  b  b     a  a  b    6a  2a  6b  b  23 2 557 � � � � 557 S  6� a  � � b  � � 24 � � � 12 � 24 557 1 a b 12 Do S đạt giá trị nhỏ 24 � 1� T  12a  12b  c  12 �  � 12   1 � � 12 Khi  Câu M  a; b; c  [2H3-1.4-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi điểm ( 2  S  : x  y  z  x  y  z   cho biểu thức với a, b, c tối giản) thuộc mặt cầu T  2a  3b  6c đạt giá trị lớn Khi giá trị biểu thức P  2a  b  c 12 51 A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Điệp ; Fb: Nguyễn Văn Điệp Chọn C 2 S  : x  y  z  x  y  z   �  x  1   y     z    16  Ta có 2 M � S  �  a  1   b     c    16  * Vì điểm T  2a  3b  6c   a  1   b     c    20 Xét �  22  32  62    a  1 Dấu xảy được:   b     c  3 2   20  7.4  20  48 a   2t � a 1 b  c  �   t 0�� b   3t � c   6t � 4t  9t  36t  16 � t  P  2a  b  c  Câu , thay vào phương trình  * ta 15 26 38 � � M� ; ; � �7 7 �và Do 15 26 38   6 7 [2H3-1.4-4] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2; 3; 2) , B (2;1; 4) mặt cầu ( S ) : ( x  1)  y  ( z  4)  12 Điểm uuur uuur M (a ; b ; c) thuộc mặt cầu ( S ) cho MA.MB nhỏ nhất, tính a  b  c A B  C D Lờigiải Tác giả: hoangthihonghanhc3ln@gmail.com Chọn C 2 Mặt cầu ( S ) : ( x  1)  y  ( z  4)  12 có tâm I ( 1;0;4) , bán kính R  12 Gọi C (0; 1;3) trung điểm AB uuur uuur uu r uuur uur uuur uu r uur uuur2 uuur uu r uur u r uur uuur uur MA.MB  IA  IM IB  IM  IA.IB  IM  IM IA  IB  u IA IB  R  IM IC Ta có uu r uur u u u r u u r  IA.IB  R  2.R.IC.cos IM , IC        uuur uur uuur uuur cos IM , IC  I , A , B , R , C MA.MB nhỏ Vì khơng đổi nên lớn hay hai véctơ uuur uur IM , IC hướng uur IC   1; 1; 1 Cách 1: Đường thẳng IC có véctơ phương   �x  1  t � �y  t �z   t Phương trình đường thẳng IC : � M   1  t ;  t ;  t  Điểm M thuộc đường thẳng IC nên t2 � � t  12 � � ( 1  t  1)   t   (4  t  4)  12 t  2 � Điểm M thuộc mặt cầu nên uuur uuur uur uuur uur M  3; 2;6  IM   2; 2;2  � IM  2 IC t   Khi nên hai véctơ IM , IC không hướng uuur uuur uur uuur uur M  1; 2;  IM   2;  2; 2  � IM  IC t  Khi nên hai véctơ IM , IC hướng Vậy M  1; 2;  hay a  b  c  uuur uur uuur uur IM , IC IC  IM  R  IM  IC (Tổng quát Cách 2: , hai véctơ hướng nên uuur IM uur IM  IC M  1; 2;  c  IC ) hay C trung điểm đoạn thẳng IM Suy hay a  b  u uur uuur Bình luận: Bài tốn dạng Điểm M (a; b; c) thuộc mặt cầu ( S ) cho MA.MB lớn nhất, tính a  b  c Câu [2H3-1.4-4] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian Oxyz 2 A  2;  2;  B  3; 3;  1 S : x  1   y  3   z  3  , cho hai điểm , mặt cầu    2  S  , giá trị nhỏ 2MA  3MB Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu A 103 B 108 C 105 D 100 Lời giải Tác giả: Phạm Minh Thùy; Fb: Phạm Minh Thùy Chọn C  Gọi H  x; y; z uuur uuur r HA  HB  điểm thỏa mãn:   x  3   x  � �x   � ��   y   3  y   � � �y  � H  1;1;1 � �z    z   3 1  z   � � uuuur uuur uuuur uuur P  MA2  3MB  MH  HA  MH  HB  Xét uuuur uuur uuuur uuuu r  MH  HA2  2MH HA  MH  HB  MH HB       uuuur uuur uuur  5MH  HA2  HB  MH HA  3HB     uuur uuur r  5MH  HA2  HB (vì HA  3HB  )  5MH  90 Để P  5MH  90 nhỏ � MH nhỏ  Mặt cầu  S có tâm I  1;3;3 , bán kính R  IH   R nên điểm H nằm mặt cầu  S  Khi đó: Vậy Câu MH  IH  R    Pmin  5.3  90  105 B C D có cạnh Các điểm [2H3-1.4-4] (Yên Phong 1) Cho hình lập phương ABCD A���� � � M , N thuộc đoạn A�� B A�� D cho hai mặt phẳng  MAC   NAC  MC � N vng góc với Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp A A� 1 52 1 1 A B C D Lời giải Tác giả: Đỗ Minh Đăng ; Fb: Johnson Do Chọn C A  0;0;0  A�  0; 0;1  , C �  1;1;1  Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ, ta có: , M  t ;0;1 �A�� B , t � 0;1 N  0; m ;1  �A�� D , m � 0;1  M N B , , ( , thuộc đoạn A�� A�� D ) uuuu r � AM �   t ;0;1  ur uuuu r uuuu r r �uuuu � �   1;1  t ; t  � n  AM ; AC � � AC  1;1;1   �  AMC  có vectơ pháp tuyến � � � uuur � �AN   0; m ;1  uu r uuur uuuu r r �uuuu � �  m  1;1;  m  � n  AN ; AC � � AC  1;1;1 � ANC     � � có vectơ pháp tuyến �  m t ur uu r  MAC �    NAC�  � n1.n2  � m  t  mt  �  m  t  mt � m  t  Cauchy  m  t � 2  m  t  �0 � m  t �2  m, t � 0;1 t m � � t  m  1 � t  m   � Dấu "  " xảy 1 1 S B�MC� B� M B�� C    t  S D�NC � D� N D�� C   1 m  S BCD 1 2 2 , , A���� S A�MC �  mt  N  S A���� B C D  S B � MC � S D � NC � VA A�MC �N  1 1 AA� S A�MC �N   t  m  � MC � N Vậy giá trị nhỏ thể tích khối chóp A A� Câu 1 [2H3-1.4-4] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục 2 Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y    z  điểm A  3;0;0  ; B  4; 2;1 Điểm M thay đổi nằm mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức P  MA  2MB A P  2 B P  C P  D P  Lời giải Tác giả: Nguyễn Hữu Nam; Fb: Nam Nguyen Huu Chọn D  S  Mặt cầu  S  có tâm I  1; 4;0  , R  2 Nhận xét: điểm A, B nằm ngồi mặt cầu Ta có: IA   R, E  IA � S  � E  1; 2;0  IE � F  0;3;  Gọi F trung điểm (Do E trung điểm IA ) IF IM   � AIM : MIF � Tam giác IFM IMA có AIM chung IM IA MA AI   � MA  MF Suy FM MI Ta có: MA  MB   MF  MB  �2 FB   S  B nằm  S  nên dấu ''  '' xảy M  BF � S  Vì F nằm Câu 10 [2H3-1.4-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian Oxyz , cho điểm uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A  2t ; 2t ;0  , B  0;0; t  t  OP AP  OP BP  AP BP  P với Cho điểm di động thỏa mãn a a t b với a, b nguyên dương b tối giản cho OP đạt giá trị lớn Biết có giá trị Tính giá trị Q  2a  b ? A B 13 D C 11 Lời giải Tác giả: Quang Pumaths ; Fb: Quang Pumaths Chọn C uuu r uuu r Ta có: OA.OB  nên uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r OP AP  OP.BP  AP.BP  uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur � OP OP  OA  OP OP  OB  OP  OA OP  OB     uuu r uuu r uuu r � � 3OP   2OP � OA  OB  1 � � Giả sử P  x; y; z      phương trình (1) trở thành  x  y  z    2t  x  y  z  �3  2t    1  x  y  z  Hay 3OP �3  6tOP � OP  2tOP  �0 � t  t  �OP �t  t  Từ giả thiết suy t  t 1  � t  Vậy Q  2a  b  11 Phát triểu câu 48: Tác giả: Phạm Nguyên Bằng ; Fb: Phạm Nguyên Bằng Câu 48-1 D  1;1;1 A  3;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;6  Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm Gọi  đường thẳng qua D thỏa mãn tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến  lớn nhất, hỏi  qua điểm điểm đây? M  1; 2;1 M  5; 7;3  M  3; 4;3 A B C Lời giải Chọn B Phương trình mặt phẳng  ABC  x y z    � 2x  3y  z   D M  7;13;5  Dễ thấy D � ABC  Gọi H , K , I hình chiếu A, B, C Δ Do Δ đường thẳng qua D nên AH �AD, BK �BD, CI �CD Vậy để khoảng cách từ điểm A, B, C đến Δ lớn Δ đường thẳng qua D �x   2t �  �y   3t  t �� �  ABC  Vậy phương trình đường thẳng Δ �z   t vng góc với Kiểm tra ta thấy M  5;7;3 � điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu m2 2  Sm  :  x  1   y  1   z  m   hai điểm A  2;3;5  , B  1; 2;  Tìm giá trị nhỏ 2 S  m để m tồn điểm M cho MA  MB  4 m A m  B m   C m   D Lời giải Câu 48-2 Chọn C Gọi M  x; y; z  , suy MA2  MB  2 2 2 �  x     y  3   z    � 9  x  1   y     z   � � � � x y z40 Suy ra: Tập điểm M  x; y ; z  2  P : x  y  z   thỏa mãn MA  MB  mặt phẳng 2  S   P  có điểm chung tồn điểm M cho MA  MB  m 11 m  m ۣ  d  I; P  R ۣ � m2 � m 111 Trên  Sm  � m  16m  16 �0 �  �m �8  Vậy giá trị nhỏ m  Câu 11 [2H3-1.4-4] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3Oxyz , cho mặt cầu trục Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ 2  S  :  x  1   y    z  điểm A  3;0;  ; B  4; 2;1 Điểm M thay đổi nằm mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức P  MA  2MB A P  2 B P  C P  D P  Lời giải Tác giả: Nguyễn Hữu Nam; Fb: Nam Nguyen Huu Chọn D  S  Mặt cầu  S  có tâm I  1; 4;0  , R  2 Nhận xét: điểm A, B nằm mặt cầu Ta có: IA   R, E  IA � S  � E  1; 2;0  (Do E trung điểm IA ) IE � F  0;3;  Gọi F trung điểm IF IM   � AIM : MIF � Tam giác IFM IMA có AIM chung IM IA MA AI   � MA  MF Suy FM MI Ta có: MA  MB   MF  MB  �2 FB   S  B nằm  S  nên dấu ''  '' xảy M  BF � S  Vì F nằm Câu 12 [2H3-1.4-4] (THPT Nghèn Lần1) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;1;2  ; B  0;  1;  3  Oxz  , giá trị nhỏ Xét điểm M thay đổi mặt phẳng uuuu r uuur uuur OM  2MA  3MB bằng? 1 A B C D Lời giải Tác giả: Lê Tú Anh ; Fb: Tú Tam Tạng Chọn A 1 5 � uur uur uur r � I � �; ; � I  a; b; c  �2 4 � Chọn thỏa OI  IA  3IB  Ta có : uuuu r uuur uuur uur uu r uur uuu r uuu r OM  MA  3MB  OI  IA  3IB  4MI  MI uuuu r uuur uuur uuu r � OM  MA  3MB � MI � MI   Oxz  nhỏ nhỏ Lúc uuu r MI  4d  I ;  Oxz    Câu 13 [2H3-1.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu ( S1 ) : x  y  z  x  y  z   (S ) : x2  y  z  x  y  z   Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A , B nằm ( S1 ) ; hai đỉnh C , D nằm ( S2 ) Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A B C D Lời giải Chọn D có tâm I (1;  2;1) bán kính bán kính R2  10 Mặt cầu ( S1 ) R1  Mặt cầu ( S2 ) có tâm I (1;  2;1) Gọi a , b khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng AB , CD Ta có AB  R12  a   a CD  R22  b  10  b , d ( AB, CD) �d ( I , AB)  d ( I , CD)  a  b Thêm nữa: sin( AB, CD) �1 Ta có Ta có: VABCD  AB.CD.d ( AB, CD).sin( AB, CD) � (a  b)  a 10  b ab  a b b2 � a2  2 � b2 b2 a   4a 5 � b2 � b2 � � � 2 a   a  � �   � � � � 2 � � � �� � � � � � 27 � � � VABCD � 27  Vậy Dấu đạt a  , b  hai đường AB, CD vng góc với Câu 14 [2H3-1.4-4] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Trong  S  : x  y   z  1  A  0; 0;  B  1;1;  Oxyz Xét điểm không gian cho , mặt cầu M thay đổi thuộc  S  Giá trị nhỏ biểu thức MA +2MB2 21 19 A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thơm; Fb: Thơm Nguyễn Chọn D uuu r uuu r r �2 2 � EA  EB  � E � ; ; � �3 3 � Gọi E điểm thỏa mãn uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r MA2  2MB  MA  2MB  ME  EA  ME  EB     uuur uuu r uuu r  3ME  EA2  EB  ME EA  EB  3ME  EA2  EB   MA Gọi  2MB  I  0;0;1  � MEmin tâm mặt cầu 2 �2 � �2 � � � IE  � � � � � �   � , suy E nằm mặt cầu �3 � �3 � � � Ta có Do MEmin � M giao điểm IE với mặt cầu Khi Suy MEmin  IE  � MA2  2MB  3MEmin  EA2  EB  19 ...  R  IM  IC (Tổng quát Cách 2: , hai véctơ hướng nên uuur IM uur IM  IC M  1; 2;  c  IC ) hay C trung điểm đoạn thẳng IM Suy hay a  b  u uur uuur Bình luận: Bài tốn dạng Điểm M (a; b;... nên MA  2MB  2(MB ' MB ) nhỏ B ', M , B thẳng hàng Vậy, giá trị nhỏ biểu thức MA  MB BB '  Cách 2: Ta có IA  2, với I tâm mặt cầu Gọi E (1; 2;0), B '(0;3;0) trung điểm IA IE + M điểm nằm... R , C MA.MB nhỏ Vì khơng đổi nên lớn hay hai véctơ uuur uur IM , IC hướng uur IC   1; 1; 1 Cách 1: Đường thẳng IC có véctơ phương   �x  1  t � �y  t �z   t Phương trình đường thẳng