Dang 4. Tích phân của hàm ẩn. Tích phân đặc biệt(VDC)

Câu f [2D3-2.4-4] (Chuyên Vinh Lần 2)Giả sử hàm số f(1) = ¢(1) = f (1- x) + x2 f ÂÂ(x) = 2x vi mi x ẻ R Tính tích phân A I = B I Phân tích lỗi đề câu 45 Ta có: Thay = C I= ¡1 có đạo hàm cấp I = ị xf ¢(x)dx I= D thỏa mãn x= vào f (1- x) + x f ¢¢(x) = 2x ta f ( 1) = f (1- x) + x2 f ÂÂ(x) = 2x ị - f Â( 1- x) + 2xf ¢¢(x) + x2 f ¢¢¢(x) = Khi f ¢(1) =- Sửa đề (Thầy Nguyễn Việt Hải – Tổ trưởng tổ STRONG) Câu f [2D3-2.4-4] (Chuyên Vinh Lần 2) Giả sử hàm số n ¡ có đạo hàm cấp f (1- x) + x f ¢¢(x) = 2x với xỴ ¡ A I =- B I = I = ị xf ¢(x)dx Tính tích phân C Lời giải I= thỏa mãn D I =- Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm Chọn A Ta có: Thay x= vào f (1- x) + x f ¢¢(x) = 2x ta f ( 1) = f (1- x) + x2 f ÂÂ(x) = 2x ị - f ¢( 1- x) + 2xf ¢¢(x) + x2 f ¢¢¢(x) = Khi f ¢(1) =- 1 ù = 2xdx f (1- x) + x f ¢¢(x) = 2x Û ị é f (1 x ) + x f ¢¢(x)dx ê ú ị ë û 0 Û- ò f (10 x)d( 1-x) + f ¢( 1) - 2ị xf ¢(x)dx = Û Đặt J = ò f ( x) dx 1 , ta có: ị f ( x) dx - 2ị xf ¢(x)dx = I = ị xf ¢(x)dx = xf ( x) 0 ïìï J - 2I = Û í Do ta có hệ phương trình: ïïỵ I =- J 1 ò f (x)dx = f( 1) - ò (x)dx =- J ïìï I =- í ïïỵ J = Vậy Câu I = ị xf ¢(x)dx =- [2D3-2.4-4] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ ỉxư I = ũ xf Âỗỗ ữ ữ ữdx bng: ỗố2ứ f ( x) + f ( 1- x) = x ( 1- x) , " x Ỵ ¡ f ( 0) = Tính thoả mãn A 10 B 20 - C 10 D - Lời giải 20 Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm Chọn A Từ giả thiết f ( x) + f ( 1- x) = x3 ( 1- x) , " x ẻ Ă ị f ( 1) = 1 1 f ( x) dx + ò f ( 1- x) dx = ò x ( 1- x) dx = Þ ị 20 Ta có: 0 ïìï u = x ï ỉxư Þ ỉxư ữ ỗ ỗỗ ữ I = ũ xf Âỗ ÷ d x ¢ ï d v = f d x ữ ữ , t ùù ỗố2ứ ữ ỗố2ứ ợù 1 ò f ( x) dx = 40 ïìï du = dx ï ỉxư í ùù v = f ỗỗ ữ ữ ữ ỗ2ứ ố ùợù Nờn 2 ổxử I = 2xfỗỗ ữ ữ ữ0- 2ũ ỗố2ứ Cõu ổxử ỗỗ ữ ữ ữdx = f( 1) - 2ũ ỗố2ứ ổxử ổ x ỗỗ ữ çç ÷ d x =2 f d x =4 f t d t =( ) ữ ữ ũ ốỗ2ứữ ũ ữ ỗ2ứ ố 10 0 [2D3-2.4-4] (Chuyờn Vinh Lần 2) Cho hàm số [ 0;2] I =ò ( x3 - f ( 0) = 3x2 ) f '( x) f ( x) A Biết I =- 14 dx B f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x với xỴ [ 0;2] Tính tích phân I =- 32 C Lời giải I =- 16 D I =- 16 Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm Chọn D Từ giả thiết f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x , thay x = ta ìï u = x3 - 3x2 ïï 2 ïí ( x - 3x ) f '( x) f '( x) Þ ïï dv = I =ị dx dx ï f x f x ( ) ( ) Ta có Đặt ïỵ I = ( x - 3x ) ln f ( x) Khi đó: 2 =- 3ò( x - 2x) ln f ( x) dx =- 3J Đặt ò( 3x - 6x) ln f ( x) dx 2 J = (do f ( 2) = 1), với x = 2- t é( 2- t) - 2( 2- t) ùln f ( 2- t) d( 2- t) ú ò êë û ìï du = ( 3x2 - 6x) dx ïíï ïï v = ln f ( x) ïỵ 2 f ( 2) = J = ò( x2 - 2x) ln f ( x) dx 2 = òé (ë2- x) - 2( 2- x) ùúûln f ( 2- x) d( 2- x) = ò( x2 - 2x) ln f ( 2- x) dx ê Suy 2 2J = ò( x - 2x) ln f ( x) dx + ò( x - 2x) ln f ( 2- x) dx = ò( x2 - 2x) ln f ( x) f ( 2- x) dx 2 2 32 16 = ò( x2 - 2x) ln e2x - 4xdx = ò( x2 - 2x)( 2x2 - 4x) dx = Þ J = 15 15 0 Vậy Câu I =- 3J =- 16 [2D3-2.4-4] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số f ( ) = 0, f ′ ( ) ≠ thỏa f ( x) mãn có đạo hàm liên tục hệ ¡ , thức f ( x ) f ′ ( x ) + 18x = ( 3x + x ) f ′ ( x ) + ( x + 1) f ( x ) , ∀ x ∈ ¡ ∫ ( x + 1) e Biết f ( x) dx = a.e2 + b A B , vi a; b Ô Giỏ trị a − b C D Lời giải Tác giả: Đặng Mai Hương; Fb: maihuongpla Chọn A Ta có f ( x ) f ′ ( x ) + 18 x = ( 3x + x ) f ′ ( x ) + ( x + 1) f ( x ) ⇒ ∫  f ( x ) f ′ ( x ) + 18 x dx = ∫ ( 3x + x ) f ′ ( x ) + ( x + 1) f ( x ) dx ′ 1 ′ 3 ⇒ ∫  f ( x ) + x  dx = ∫ ( 3x + x ) f ( x )  dx 2  ⇒ f ( x ) + x = ( 3x + x ) f ( x ) + C , với Mặt khác: theo giả thiết C số f ( ) = nên C = f ( x ) + x3 = ( 3x + x ) f ( x ) ( 1) , ∀ x ∈ ¡ Khi  f ( x) = 2x ⇔  ( 1) ⇔ f ( x ) + 12 x3 = x2 + x f ( x ) ⇔  f ( x ) − x   f ( x ) − x  =  f ( x ) = x ( Trường hợp 1: Với ) f ( x ) = 6x2 , ∀ x ∈ ¡ , ta có f ′ ( 0) = (loại) Trường hợp 2: Với ∫ ( x + 1) e f ( x) f ( x ) = x, ∀ x ∈ ¡ , ta có :  ( x + 1) e x  e2 x 2x dx = ∫ ( x + 1) e dx =   − ∫ dx = e − 4  0  a =  ⇒ a−b =1 ⇒ b = −  Câu f ( x) [2D3-2.4-4] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f ′ ( x) đạo hàm f ′ ( x) ( 1+ f ( x) ) [ 1;3] , f ( x ) ≠ liên tục đoạn với xác định có x ∈ [ 1;3] , đồng thời 2 =  ( f ( x ) ) ( x − 1)    f ( 1) = − ∫ f ( x ) dx = a ln + b , a, b∈ ¢ , tính tổng S = a + b2 Biết A S = B S = − C S = D S = Lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Anh; Fb: conganhmai Chọn B Ta có: f ′ ( x) ( 1+ f ( x) ) 2 =  ( f ( x ) ) ( x − 1)  ⇔   f ′ ( x) ( 1+ f ( x) ) f ( x) = ( x − 1) Lấy nguyên hàm vế ta được: ∫ f ′ ( x) ( 1+ f ( x) ) f ( x) ( + f ( x ) + f ( x ) ) f ′ ( x ) dx = ( x − 1) dx = ∫ ( x − 1) dx ⇔ ∫ ∫ f ( x) 2  ( x − 1) + C 1  ⇔ ∫ + + ÷d ( f ( x ) ) =  f ( x) f ( x ) f ( x ) ÷  ( x − 1) + C ⇔− − − = f ( x) f ( x) f ( x) ⇔− 1+ f ( x) + f ( x) f ( x) ( x − 1) = 3 +C 1− + Mà f ( 1) = − nên − − = C ⇒ C = Suy ra: − 1+ f ( x) + f ( x) f ( x) ( x − 1) = 3 + 1+ f ( x) + f ( x) ⇔ f ( x) ( x − 1) + =− 3 dx ( 1+ f ( x) ) ⇔ f ( x) Vậy: Câu ∫   3 = − ( x − 1) ⇔  + ÷÷ = ( − x ) ⇔ f ( x ) = −  f ( x)  x 3 −1 f ( x ) dx = ∫ dx = − ln x = − ln x Suy 1 a = − 1; b = hay a + b = − [2D3-2.4-4] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = − A thỏa dx = 1 45 I = f ( x ) dx 30 Tính ∫1 36 I=− [ 1;2] ∫ ( f ′ ( x) ) mãn f ( ) =0 , B I=− 15 C Lời giải I= 12 D I=− 12 Tác giả:Vũ Nam Sơn; Fb: Vũ Nam Sơn Chọn D  du = f ′ ( x ) dx u = f x  ( )   ⇒  ( x − 1)  E = ∫ ( x − 1) f ( x ) dx  dv = ( x − 1) dx  v = Xét: Đặt  ( x − 1) ⇒ E= 2 2 2 ( x − 1) x − 1) ( ( x − 1) f ′ x dx = − f ( x) − ∫ f ′ ( x ) dx = − ∫ f ′ ( x ) dx ⇒ − ∫ ( ) 1 2 30 1 ⇒ ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = 15 Ta có: ∫( Ta tìm số k để ∫1 ( x − 1) dx = f ′ ( x ) − k ( x − 1) ∫( ⇔ 1 1 − 2k + k = ⇔ k = 45 15 ) dx = ⇔ ∫ ( 2 ∫ ( f ′( x) ) dx = 1 45 ) dx = 2 2 f ′ ( x ) − k ( x − 1) 2 2 f ′ ( x ) ) dx − 2k ∫ f ′ ( x ) ( x − 1) dx + k ∫ ( x − 1) dx = 2 1 2  ′ ′ f x − x − d x = ⇔ f x − x − = ⇔ f x = x − +C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ÷ ∫ 3  Khi đó:  2 −1 1 1 3 1 f ( ) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = ( x − 1) − ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫  ( x − 1) −  dx = − 9 9 9 12 Mà 1 Câu [2D3-2.4-4] (Sở Nam Định) Cho hàm số y = f ( x) Biết tiếp tuyến với đồ thị Ox lượt tạo với chiều dương trục Tính tích phân A I= y = f ( x) điểm có hồnh độ góc −1 có đạo hàm đến cấp hai liên tục x = − , x = , x = lần I = B 30° , 45° , 60° I = ∫ f ' ( x ) f '' ( x ) dx + ∫  f ' ( x )  f '' ( x ) dx 25 ¡ I= C D I= +1 Lời giải Tác giả: Hồ Văn Thảo ; Fb: Thảo Thảo Chọn A y = f ( x) Vì tiếp tuyến với đồ thị tạo với chiều dương trục Ta có: góc 30° , 45° , 60° −1 I = ∫ f ' ( x ) f '' ( x ) dx + ∫  f ' ( x )  f '' ( x ) dx Đặt t = f ' ( x ) ⇒ dt = f '' ( x ) ⇒ I = ∫ tdt + ∫ t dt = t 3 x = − , x = , x = nên hệ số góc tiếp tuyến lần 3 , f ' ( ) = tan 45° = , f ' ( 1) = tan 60° = f ' ( − 1) = tan 30° = lượt là: Ox điểm có hồng độ   x = −1  x =  x = dx Đổi cận  +t = 25 ⇒ t = f ' ( −1) = ⇒ t = f '( 0) = ⇒ t = f ' ( 1) = 3 Câu f ( x) [2D3-2.4-4] (THTT số 3) Cho hàm số ( ) ( ) xác định, liên tục ¡ thoả mãn f x3 + x − + f − x3 − x − 1 = − 6x6 − 12x4 − 6x2 − 2, ∀ x∈ ¡ A 32 ∫ f ( x) dx Tính tích phân B −3 − 36 C D − 20 Lời giải Tác giả: Trần Tín Nhiệm ; Fb: Trần Tín Nhiệm Chọn D ( ) Đặt a = x + x − 1, ta có f ( a) + f ( − a − 2) = − 6( a + 1) − ( 1) Hàm số f a liên tục xác định ¡ Lúc ycbt trở thành tính giá trị tích phân ta đặt ∫ f ( a) da + ∫ f ( − a − 2) da = ∫ ( − 6( a + 1) 1 −3 −3 −3 ∫ f ( a) da Lấy tích phân hai vế ( 1) , ta −3 ) − da = − 40 ( 2) Từ tích phân ∫ f ( − a − 2) da −3 t = − a − ⇒ dt = − da Khi a = − 3⇒ t = 1; a = 1⇒ t = − Tích phân chuyển thành ∫ f ( t) dt , kết hợp với ( 2) −3 ta suy : cần tìm 2∫ f ( a) da = − 40 ⇔ −3 Câu 10 [2D3-2.4-4] (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số f ( x) ∫ f ( a) da = − 20 Đây đáp số −3 có đạo hàm liên tục [ − 1;1] thỏa f ( 1) = , ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) = x + 16 x − với A B − x thuộc C Lời giải f x dx [ − 1;1] Giá trị ∫ ( ) D − Chọn A Cách 1 Đặt I = ∫ f ( x ) dx −1  u = f ( x )  du = f ′ ( x ) dx ⇒   v = x + Dùng tích phân phần, ta có:  dv = 2dx 1 −1 −1 −1 I = ( x + ) f ( x ) − − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx = f ( 1) − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx = − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx ( Ta có f ′ ( x ) ) + f ( x ) = x + 16 x − ⇔ ⇒ −1 1 ∫ ( f ′ ( x ) ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 8x −1 −1 ∫ ( f ′ ( x ) ) dx − ∫ ( x + 2) f ′ ( x ) dx + ∫ ( x + 2) dx = ∫ ( 8x −1 −1 −1 + 16 x − 8) dx −1 + 16 x − ) dx + ∫ ( x + ) dx −1 ⇔ ∫  f ′ ( x ) − ( x + )  dx = ′ ⇔ f x = x + ⇒ f x = x + 2x + C , ( ) ( ) −1 ( ) = ⇒ C = − ⇒ f ( x) = x Mà f Cách f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) Chọn + 2x − 1 0 C∈ ¡ ⇒ ∫ f ( x ) d x = ∫ ( x + x − ) dx = − (lý do: vế phải hàm đa thức bậc hai) ⇒ f ′ ( x ) = 2ax + b Ta có: ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) = 8x + 16x − ⇒ ( 2ax + b ) + ( ax + bx + c ) = 8x ⇔ ( 4a + 4a ) x + ( 4ab + 4b ) x + b + 4c = x + 16 x − 2 2 2  4a + 4a =  ⇒  4ab + 4b = 16 ⇔  b + 4c = −  a =  b =  c = −  Vậy f ( x ) = x + 2x − 1 0 c = − f ′ ( x ) − f ( x ) = ( x + 1) e A 3e12 − B ,∀ x∈ ¡ f ( x ) có Câu 11 [2D3-2.4-4] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số x2 + x −1 + 16 x −  a = −2  b = −4 c = −6  ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + x − 3) dx = − 2 f ( 1) = ⇒ a + b + c = ⇒ a = , b = Do đạo hàm f ( 1) = e Giá trị f ( ) C 5e17 − D 3e12 Lời giải Tác giả: Lê Thị Như Quỳnh ; Fb: Lê Thị Như Quỳnh 5e17 ( ) Ta có: f ′ ( x ) − f ( x ) = x + e ⇔ ( e− x f ( x ) ) = ( x + 1) e ' x2 −1 1 ⇔ e f ( ) − = I1 + I ( * ) −5 x2 + x−1 ⇔ f ′ ( x ) e − e f ( x ) = ( x + 1) e −x −x x2 −1 ⇒ ∫ ( e f ( x ) ) ′ dx = ∫ ( x + 1) e −x x −1 thỏa mãn Chọn B ¡ dx ⇔ e f ( x ) = ∫ x e −x x2 −1 dx + ∫ e x2 −1 dx Xét: I2 = ∫ e x −1 dx x −1 x −1   u = e du = xe dx ⇒  v = x Đặt: dv = dx I = xe x −1 5 −∫x e x −1 dx = 5e12 − − I1 ⇔ I1 + I = 5e12 − ( *) ⇔ e− f ( 5) − = 5e12 − ⇔ f ( 5) = 5e17 Câu 12 [2D3-2.4-4] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số y = f ( x) 2 ′ f x d x =  f x  d x = ( ) ( ) ∫0   [ 0;2] , thỏa điều kiện f ( 2) = ∫0 Giá trị A.1 C B.2 liên tục ∫ f ( x) x2 dx : D Lời giải Tác giả:Nguyễn Trần Tuấn Minh; Fb: Tuấn Minh Phản biện:Nguyễn Phương Thu;Fb: Nguyễn Phương Thu Chọn C  u = f ( x )  du = f ′ ( x ) dx ⇒  d v = d x v= x  Đặt   2 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = x f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx ⇒ − ∫ x f ′ ( x ) dx = − = − 3 0 0 2 2 x3 x dx = = ∫ 12 Ta lại có: 2 2 2   ′ ′ ′ f x d x − x f x d x + x d x = − + ⇔ f x − x dx =   ( ) ( ) ( ) ∫   ∫0 ∫0 3 ∫0   Do đó: 2   f ′ ( x ) − x  dx ≥ , ∀x ∈ [ 0;2] ⇒ f ′ ( x) − x = ∫   (vì  ) ⇒ f ( x ) = x2 + C ⇒ f ( 2) = + C ⇔ C = f ( x ) = x2 ⇒ Vậy  ∫ f ( x) x2 Tổng quát: 2 1 dx = ∫ dx = x = 4 b b a a , suy f ′ ( x ) = − α u ( x ) − β ∫ u ( x ) f ′ ( x ) dx = h , ∫  f ′ ( x )  dx = k (với u ( x ) Khi đề cho biết giá trị f ( a ) , f ( b ) , biểu thức chứa x tường minh), đề tìm f ( x ) trước tiên ta tìm số α , β cho b ∫  f ′ ( x ) + α u ( x ) + β  dx = a tìm , sau nguyên hàm hai vế để f ( x) Bài tập tương tự (Nguyễn Phương Thu sưu tầm): Vd 1: Cho hàm số ∫  f ′ ( x )  y = f ( x) liên tục [ 0;1] , thỏa mãn điều kiện f ( 0) = , f ( 1) = , dx = Tính J = ∫  f ( x ) + 2018 x dx Giải:  f ( ) = ⇒  Ta có:  f ( 1) = Với α∈¡ ∫ f ′ ( x ) dx = − = , xét tích phân: 1 1 0 I = ∫  f ′ ( x ) + α  dx = ∫  f ′ ( x )  dx + 2α ∫ f ′ ( x ) dx + ∫ α dx = + 2α + α = ( α + ) Ta có: 2 I = ⇒ α = − ⇒ f ′ ( x) = ⇒ f ( x) = 2x + C  f ( ) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = 2x  Mà  f ( 1) = 1 2018  8 J = ∫ ( x ) + 2018 x  dx =  x + x ÷ = 1011   4 0 Vậy Vd 2: Cho hàm số ∫  f ( x )  y = f ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] , thỏa mãn dx = ∫  f ( x )  Tính giá trị tích phân dx ∫ f ( x ) dx = ∫ xf ( x ) dx = Giải:  f ( x )  , xf ( x ) , f ( x ) Ở hàm xuất dấu tích phân bình phương  f ( x ) + α x + β  Với số thực α ,β ta có: nên ta liên kết với Câu 22 [2D3-2.4-4] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số Biết đẳng thức f ( x ) + ( x − 1) f ′ ( x ) = x( x + 1) f ( 0) A 3− C − f ( x ) có đạo hàm ( − 1; + ∞ ) x + thỏa mãn ∀ x ∈ ( − 1; + ∞ ) Tính giá trị B 2− f ( 0) D.Chưa đủ kiện tính Lờigiải Tácgiả : Nguyễn Thị Bích Ngọc; Fb:Nguyên Thị Bích Ngoc Chọn B ∀ x ∈ ( − 1; + ∞ ) , ta nhân hai vế đẳng thức cho ( x + 1)2 ta được: f ( x ) + ( x − 1) f ′ ( x ) = 2 x−1 x( x + 1) ⇔ f x + f ′( x ) = ( ) x + ( x + 1) x +3 x x2 + 1 ′ x  x −1   x −1  x  x −1 ′ f ( x) ÷ = ⇒ ∫ f ( x ) ÷ dx = ∫ dx ⇒  ⇒ f ( x) ÷ = 2 x + x + x +  0     x +3 x +3 0 ( x2 + ) ⇒ f ( 0) = − Câu 23 [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn 2 f ( x) + f (1 − x) = x − x , với A 75 25 − B − x ∈ [0;1]  x xf ' ∫  ÷ dx Tích phân 16 C 75 − 16 D 25 − Lời giải Tác giả: Nguyễn Đắc Hà ; Fb: Nguyễn Đắc Hà Chọn C Đặt − x = a ⇒ x = − a Khi ta có hệ  f ( x ) + f ( − x ) = x − x ⇒ f ( x ) =  ( − x ) x − x − x    f ( x ) + f ( − x ) = ( − x ) x Đặt t= x ⇒ dt = dx; x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Khi tích phân cần tính: 2   1 I = ∫ 2t f '(t )2dt = ∫ t f '(t ) dt = ∫ td ( f (t )) =  tf (t ) − ∫ f (t ) dt ÷ 0 0     =  f (1) − ∫ f (x) dx ÷     =  − ∫ 3 ( − x ) x − x − x  dx ÷    −4  = 4. ÷  75  −16 = 75 1 Câu 24 [2D3-2.4-4] (Sở Quảng NamT) Cho hàm số f ( x) khơng âm, có đạo hàm đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = ,  f ( x ) + − x  f ′ ( x ) = x 1 + f ( x )  , ∀ x ∈ [ 0;1] A B C Tích phân ∫ f ( x ) dx D Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin Chọn C Ta có  f ( x ) + − x  f ′ ( x ) = x 1 + f ( x )  ⇔ f ( x ) f ′ ( x ) = x f ( x ) + ( x − 1) f ′ ( x ) + x ′ ⇔  f ( x )  ′ =  ( x − 1) f ( x ) + x  ⇒ f ( x ) = x − f ( x ) + x + C ( Với ) x = f ( 1) = + C ⇔ = + C ⇔ C =  f ( x ) = − 1( l ) 2 ⇔ f x − x − f x − x = ⇔ ( ) (  ) ( ) 2 2  f ( x ) = x Do f ( x ) = x − f ( x ) + x ( ) 1 x3 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx = = 3 Vậy 0 Câu 25 [2D3-2.4-4] (SGD-Nam-Định-2019) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm đến cấp hai liên tục ¡ Biết tiếp tuyến với đồ thị y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = − , x = , x = tạo với chiều dương trục Ox góc 30° , 45° , 60° Tính tích phân A I= 25 I= ∫ −1 f ' ( x ) f '' ( x ) dx + ∫  f ' ( x )  f '' ( x ) dx B I = C Lời giải I= D I= +1 Tác giả: Hồ Văn Thảo ; Fb: Thảo Thảo Chọn A y = f ( x) Vì tiếp tuyến với đồ thị Ox tạo với chiều dương trục Ta có: I= góc −1 ∫ f ' ( x ) f '' ( x ) dx + 4∫  f ' ( x )  Đặt t = f ' ( x ) ⇒ dt = f '' ( x ) ⇒ I = ∫ tdt + ∫ t dt = t 30° , 45° , 60° 3 nên hệ số góc tiếp tuyến lần f '' ( x ) dx   x = −1  x =  x = dx Đổi cận  ⇒ t = f ' ( −1) = ⇒ t = f '( 0) = 3 ⇒ t = f ' ( 1) = 3 +t 25 = 3 Câu 26 [2D3-2.4-4] (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Cho hàm số x = − , x = , x = 3 , f ' ( ) = tan 45° = , f ' ( 1) = tan 60° = f ' ( − 1) = tan 30° = lượt là: điểm có hồng độ f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn 2 ′ [ 1;2] thỏa mãn ∫1 ( x − 1) f ( x ) dx = − , f ( ) = , ∫1  f ( x )  dx = Tính I = ∫1 f ( x ) dx A I= B I=− C I=− 20 D I= 20 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang Chọn B  u = f ( x )  Đặt  dv = ( x − 1) dx ta  du = f ′ ( x ) dx    v = ( x − 1)  2 1 3 ( x − 1) f ( x ) dx = ( x − 1) f ( x ) − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx ∫ 31 Khi 2 1 ⇒ − = − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx 31 ⇒ ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = 2  f ′ ( x ) − k ( x − 1)  dx = ∫  ( k∈ ¡ ) Xét  2 ⇔ ∫  f ′ ( x )  dx − 2k ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx + k 2 ∫ ( x − 1) dx = k2 ⇔ − 2k + = ′ ⇒ f x = x − ( ) ( ) ⇔ k=7 ⇒ f ( x) = ( x − 1) 4 +C ( x − 1) 7 C = − ⇒ f x = − ( ) Do f ( ) = nên 4 4  ( x − 1)  7 I = ∫  ( x − 1) − 1 dx =  − x  = −    41 Vậy Câu 27 [2D3-2.4-4] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số f ′ ( x ) + ( x + 1) f ( x ) = , ∀ x > ( 0;+ ∞ ) , biết thức P = f ( 1) + f ( ) + + f ( 2019 ) khoảng 2021 A 2020 2020 B 2019 y = f ( x) f ( 2) = 2019 C 2020 Lời giải Fb: Tú Tam Tạng Chọn C TH1: f ( x) = ⇒ f ′ ( x) = TH2: f ( x ) ≠ ⇒ f ′ ( x ) = − ( x + 1) f ( x ) ⇒ ∫ trái giả thiết ⇒ f ′( x) = − ( x + 1) f ( x) f ′ ( x) −1 = − ( x2 + x + C ) dx = − ∫ ( x + 1) dx ⇒ f ( x) f ( x) Ta có: f ( 2) = 1 1 ⇒ f ( x) = = − ⇒ C=0 x + x x x +1 1 1 2019 ⇒ P = − + − + − = 2 2020 2020 có đạo hàm liên tục Tính giá trị biểu 2018 D 2019 Câu 28 [2D3-2.4-4] (KINH MÔN II LẦN NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN NĂM 2019) Cho hàm số f ( x) ¡ liên tục ∫ thỏa f ) ( x + 16 + x dx = 2019 C 2020 , ∫ f ( x) x2 dx = Tính ∫ f ( x ) dx A 2019 B 4022 D 4038 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy Chọn B ∫f( Xét ) x + 16 + x dx = 2019 t t − x = x + 16 ⇒ t − 2tx + x = x + 16 ⇒ x = − Đặt t = x + 16 + x Ta có t 1 8 dx =  + ÷ dt Suy 2 t  Khi x = t = , x = t = Suy 2019 = ∫ f ( ) 8 1 8 1  x + 16 + x dx = ∫ f ( t )  + ÷dt = ∫ f ( x )  + ÷dx 2 t  2 x  4 8 f ( x) 1 = ∫ f ( x ) dx + 8∫ dx = ∫ f ( x ) dx + 24 x 24 Vậy ∫ f ( x ) dx = 4022 Câu 29 [2D3-2.4-4] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số f ( x) >  π 0, có đạo hàm liên tục   , đồng thời thỏa mãn f ′ ( ) = ; f ( ) =  f ( x)  π  f ′′ ( x ) f ( x ) +  T= f ÷  =  f ′ ( x )  Tính  cos x   3 A T= B T= C T= D T= Lời giải Tác giả: Phạm Văn Chuyền; Fb: Good Hope Chọn D f ′′ ( x ) f ( x ) −  f ′ ( x )   f ( x)  ′ f ′′ ( x ) f ( x ) +  = f x ⇔ =−   ( )    f ( x) cos x Ta có  cos x  2  f ′ ( x ) ′ f ′( x) = − tan x + C   =− ⇒ f x cos x f x ( ) ( ) Vì   π  f ′ ( ) =   f ( ) = nên π C = π d f x f ′ ( x) ( ( ) ) = − tan x.dx = d (cos x) ⇔ ln f x π3 = ln cos x π3 = − tan x ( )0 ∫ ∫0 ∫0 cos x Do f ( x ) Suy f ( x ) π  π  ⇔ ln f  ÷ − ln f ( ) = ln − ln1 ⇔ f  ÷ =  3  3 Câu 30 [2D3-2.4-4] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hàm số f ( 0) = e Biết f ( x) thỏa mãn đẳng thức f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0, π ] f '( x) + sin x f ( x) = cos x.ecos x , " x Ỵ [ 0, π ] π Tính A I = ị f ( x) dx I » 6,55 (làm tròn đến phần trăm) B I » 17,30 C I » 10,31 D I » 16,91 Lời giải Fb:Tứng Tartarus Chọn B f ' ( x ) + sin x f ( x ) = cos x.ecos x Chia hai vế đẳng thức cho ecos x f ' ( x ) e − cos x + e − cos x sin x f ( x ) = cos x ( vế trái có dạng ta u ' v + uv ' ) − cos x ⇔ ( f ( x ) e − cos x ) ' = cos x ⇔ ∫ ( f ( x ) e ) 'dx = ∫ cos x.dx ⇔ f ( x ) e − cos x = sin x + C Do f ( ) = 2e Vậy f ( x) = nên 2e.e − = C ⇒ C = sin x + cos x = e ( sin x + ) e − cos x π π 0 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ecos x ( sin x + ) dx Sử dụng MTCT ( để đơn vị rad) KQ: 10,31 Câu 31 [2D3-2.4-4] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số  xf ′ ( x )  + = x 1 − f ( x ) f " ( x )  với x dương Biết f ( 1) = f ′ ( 1) = f ( x) thỏa mãn Giá trị f ( 2) A f ( ) = 2ln + B f ( ) = 2ln + C f ( ) = ln + D f ( ) = ln + Lời giải Tác giả: Phan Hữu Thế ; Fb: Phan Hữu Thế Chọn B  xf ′ ( x )  + = x 1 − f ( x ) f " ( x )  ; x > Ta có: ⇔ x  f ' ( x )  + = x 1 − f ( x ) f " ( x )  2 ⇔  f ' ( x )  + = − f ( x ) f " ( x ) x ⇔  f ' ( x )  + f ( x ) f " ( x ) = − x ' ⇔  f ( x ) f ' ( x )  = − x '  1  f x f ' x  d x = − d x ⇒ f x f ' x = x + + c1 ( ) ( ) ( ) ( )  ∫  x2 ÷ Do : ∫  x Vì f ( 1) = f ' ( 1) = ⇒ = + c1 ⇔ c1 = − ∫ Nên     f ( x ) f ' ( x ) dx = ∫  x + − 1÷.dx ⇔ ∫ f ( x ) d ( f ( x ) ) = ∫  x + − 1÷.dx  x   x  f ( x ) x2 1 f ( 1) = ⇒ = − + c2 ⇔ c2 = ⇒ = + ln x − x + c2 Vì 2 2 f ( x ) x2 = + ln x − x + ⇒ f ( ) = 2ln + Vậy Hoanghai445@gmail.com Câu 32 [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số 22 f (2) = thỏa mãn f (1) = , 15 A B ∫ ( f ′( x) ) x4 y = f ( x) có đạo hàm dx = 375 Tích phân C f ′ ( x) > , ∀ x ∈ [1;2] ∫ f ( x)dx D Lời giải Tác giả: Lê Đức Hợp ; Fb: Le Hoop Chọn B 22 ∫ f ′( x)dx = f (2) − f (1) = 15 − = 15 Ta có Mặt khác sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ( f ′( x) ) x4 2 ( f ′( x) ) 2 + x + x ≥3 x x = f ′( x) ∀ x ∈ 1;2 [ ] 125 125 x 125 125 25 Do  ( f ′( x) ) 2  2 f ′( x) ) ( ′ + x dx ≥ f ( x ) dx  ÷ ⇔∫ dx ≥ ∫ f ′( x)dx − x dx = ∫1  x4 125 ÷ 25 ∫1 ∫ x 25 125 375   Vì dấu xảy ra, tức ( f ′( x ) ) x4 x2 = x ⇔ f ′ ( x) = 125 x2 x3 x3 dx = + C ⇒ f ( x) = + C Ta có ∫ với C số thực 15 15 Vì f (1) = Vậy ∫ ⇒ 14 x 14 + C = ⇔ C = ⇒ f ( x) = + 15 15 15  x 14  f ( x)dx = ∫  + ÷dx = 15  1 Câu 33 [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hai hàm số f ( x) = ax + bx3 + cx + dx + e g ( x) = mx3 + nx + px + với a , b , c , d , e , m , n , p , q số thực Đồ thị hai hàm số y = f ′ ( x ) , y = g ′ ( x) hình vẽ bên Tổng nghiệm phương trình f ( x ) + q = g ( x) + e 13 A 13 B − C D − Lời giải Tác giả: Phan Thanh Tâm ; Fb: Phan Thanh Tâm Chọn C Đặt h( x) = f ( x) − g ( x) Do hai đồ thị y = f ′ ( x) , y = g ′ ( x) cắt điểm có hồnh độ − , ; mà bậc đa thức h′ ( x ) Ta có −  5 h′( x) = k ( x + 1)  x − ÷( x − 3) (k ≠ 0) với h(0) = f (0) − g (0) = e − q  4 Do h( x ) = ( h( x ) − h(0) ) + h(0) x = ∫ h′( x) dx + e − q x 5  = k ∫ ( x + 1)  x − ÷( x − 3) dx + e − q 4  x k = ∫ ( x + 1)(4 x − 5)( x − 3)dx + e − q 40 x k = ∫ (4 x3 − 13 x − x + 15)dx + e − q 40 k 13  =  x − x − x + 15 x ÷+ e − q 4  Phương trình f ( x ) + q = g ( x) + e tương đương với  x = −   13 h( x) = e − q ⇔ x − x − x + 15 x = ⇔  x =  x =   − + 0+ 3= Vậy tổng nghiệm phương trình 3  HẾT  Câu 34 [2D3-2.4-4] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số ¡ I= −1+ 4089 ∫ thỏa mãn (4 x + 1) f ( x )dx = A T = 6123 B f ( x ) f '( x ) − xe − f y = f ( x) ( x )+ x2 + x + liên tục có đạo hàm = = f (0) Biết a b phân số tối giản Tính T = 12279 T = a − 3b C T = 6125 D T = 12273 Lời giải Tác giả:Nguyễn Dung ; Fb:Ngọc Dung Chọn D Ta có : f ( x ) f '( x ) − xe − f ⇔ ( f ( x ))' e f ( x) ( x )+ x + x + ( x) − ef f ⇒  f ( x ) − x  ′ e Mà 3 ( x) − x = = f (0) 2 = (4 x + 1).e2 x + x + − e2 x + x+ = ( x + 1) ′ e x + ⇒ e f 3( x) − x = e2 x +1 + C f ( 0) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) − x = x + ⇒ f ( x) = x + x + ⇒ f ( x) = x + x + ⇒I= −1+ 4089 ∫ (4 x + 1) f ( x )dx = 12285 f ( x) Câu 35 [2D3-2.4-4] (Chuyên KHTN) Cho hàm số π ∫ tan x f (cos x)dx = ∫ Tính tích phân A ∫ liên tục ¡ thỏa mãn f (3 x) dx = x f ( x2 ) dx x B C D 10 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hạnh ; Fb: Hạnh nguyễn Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn Chọn C +) Đặt t = x ⇒ t = x ⇒ 3t dt = dx Đổi cận: x t1 Khi +) Đặt ∫ 2 f (3 x) f (t) f (t) dx = ∫ 3t dt = 3∫ dt = ⇒ x t t 1 ∫ f (t) dt = t t = cos2 x ⇒ dt = − 2cos x sin xdx ⇒ dt = − 2cos x tan xdx ⇒ tan xdx = − π Đổi cận: x t1 dt 2t π Khi ∫ tan x f (cos x)dx = − +) Đặt 1 f (t) f (t) dt = ⇒ ∫1 t dt = 12 ∫1 t t = x ⇒ dt = xdx ⇒ dt = x Đổi cận: x 2 t Khi ∫ dx dx dt ⇒ = x x t 2 4 f ( x2 ) f (t) f (t) f (t) + 12 dx = ∫ dt = ∫ dt + ∫ dt = =7 x 21 t 21 t 21 t 1  ;3 Câu 36 [2D3-2.4-4] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục   thỏa mãn f ( x) I=∫ dx 1 f ( x ) + x f  ÷ = x − x x + x Giá trị tích phân  x A B C 16 D Lờigiải Tác giả: Vũ Văn Hiến; Fb: Vu Van Hien Chọn A 1 x = ⇒ dx = − dt + Đặt t t 1 x = ⇒ t = 3; x = ⇒ t = + Đổi cận: 3  1 f ÷ f ( x) t  I=∫ dx = − ∫ dt = ∫ 1 x + x 1 + t + Ta có 3 t t 3  1 f ÷  t  dt t +1 Suy ra: 1 1 f ÷ f ( x ) + x f  ÷ 3 f ( x) x ( x − 1) ( x + 1) 16 x x   2I = ∫ dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ ( x − 1) dx = x ( x + 1) x ( x + 1) x + x x +1 1 3 3 3 Vậy I= Câu 37 [2D3-2.4-4] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Cho hàm số  f ′ ( x )  dx = − 2ln ∫ [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , f ( x) f ( x) ∫ ( x + 1) có đạo hàm liên tục dx = 2ln − Tích phân ∫ f ( x ) dx − 2ln A − 2ln B − 4ln C − ln D Lời giải Tác giả: Nguyễn Trường An; Fb: Trường An Nguyễn Chọn A Ta có: 1 x f ′ ( x ) f ( 1) x f ′ ( x ) x f ′ ( x )  x  x f ( x ) d x = f x d = − d x = − d x = − ( )  ÷ ∫0 ( x + 1) ∫0 ∫0 x + dx x + ∫0 x + ∫0 x +  x + 1 f ( x) ⇒∫ 1 x f ′ ( x ) f ( x) dx = − ∫ d x = − 2ln 2 x +1 ( x + 1) Mặt khác: 2 1     x    ∫0  x + ÷ dx = ∫0  − x + ÷ dx = ∫0 1 − x + + ( x + 1)  dx =  x − 2ln x + − x + ÷ = − 2ln   Khi đó: x f ′ ( x )  x  3  ∫0  f ′ ( x )  dx − 2∫0 x + dx + ∫0  x + ÷ dx = − 2ln −  − 2ln ÷ + − 2ln = 2  x x    ⇔ ∫   f ′ ( x )  − f ′( x) +  ÷  dx = x + x +    0  x   ⇔ ∫  f ′( x) −  dx = ( *) x +  2 x   ′ x   ′ f x − dx ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] ( ) f x − ≥ 0, ∀ x ∈ 0;1 ( ) [ ] ∫ x + 1 Vì  nên  x +  Dấu " = " xảy ⇔ f ′ ( x) − x x = 0, ∀ x ∈ [ 0;1] ⇔ f ′ ( x ) = , ∀ x ∈ [ 0;1] x+1 x+1 ∫ Khi đó: 1 x2   f ( x ) dx = x f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) dx = − ∫ dx = − ∫  x − + ÷dx x + x +   0 1  x2  1 − 2ln = −  − x + ln x + ÷ = − ln =  0 Câu 38 [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số đoạn [0;1] Giá trị nhỏ biểu thức A 24 liên tục nhận giá trị không âm 1 0 M = ∫ ( f ( x) + 3x ) f ( x) dx − ∫ ( f ( x) + x ) xf ( x) dx B − f ( x) D C 12 − − − Lời giải Tác giả: Trịnh Văn Thạch; Fb: Trịnh Văn Thạch Chọn A a = f ( x) , ta có: Đặt 1 1 0 0 M = ∫ ( f ( x) + x ) f ( x) dx − ∫ ( f ( x) + x ) xf ( x) dx = ∫ (2a + x)a dx − ∫ ( 4a + x ) xa dx =∫ ( 1  x2  x2  2a − 4a xa + 3xa − x xa dx = ∫  a − x − ÷dx ≥ ∫  − ÷dx = − 8 8 24 0 0 Dấu “=” xảy ) ( a = x ⇔ 4a = x ⇔ a = Vậy giá trị nhỏ biểu thức M ) x x ⇔ f ( x) = 4 24 − Lời bình Trong giải có sử dụng biến đổi: 2a − 4a xa + 3xa − x xa = ( ) x2 x2 a− x − ≥− 8 Tuy nhiên, hệ số biểu thức 2a − 4a xa + 3xa − hệ số khác) ta khó mà đưa dạng mũ x xa bị thay đổi (thành Câu hỏi đặt trường hợp phải làm để đưa đánh giá Để ý biểu thức 2a − 4a ax + 3ax − x ax đẳng cấp bậc hai Chúng xin đề xuất hướng giải trường hợp biểu thức cần đánh giá đẳng cấp Chẳng hạn toán trên, ta cần đánh giá biểu thức g ( a, x ) = 2a − 4a ax + 3ax − x ax , a = f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ [ 0;1] Ta thực sau: với x∈ [ 0;1]  2a 4a a 3a a g ( a, x ) = x  − + − ÷ x x x x ÷ biểu diễn  x +) Với Đặt x≠ t= a ≥0 Khi g ( a, x ) = x 2t − 4t + 3t − t x ( Lập bảng biến thiên hàm số ) h ( t ) = 2t − 4t + 3t − t h ( t ) = − [ 0;+ ∞ ) , ta [ 0; + ∞ ) x2 g ( a, x ) ≥ − , ∀ x ∈ ( 0;1] Do ta có +) Kiểm tra đánh giá g ( a, x ) ≥ − Như giải Chú ý: Nếu g ( a, x ) x = x2 , ∀x ∈ [ 0;1] Từ lấy tích phân vế đoạn [ 0;1] tốn đẳng cấp bậc n ta đưa xn ngồi dấu ngoặc Câu 39 [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số đoạn [ 1;e] thỏa mãn A 2e f ( 1) = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) liên tục 1 x f ′ ( x ) = xf ( x ) − f ( x ) + x , ∀ x ∈ [ 1;e] Giá trị f ( e ) B 3e C 4e D 3e Lời giải Tác giả: Phạm Duy Nguyên; Fb: The Scarpe Chọn D Theo giả thiết, với ∀ x ∈ [ 1; e] ta có xf ′ ( x ) = xf ( x ) − f ( x ) + ⇔ x f ( x ) − 3xf ( x ) + = x f ′ ( x ) x ⇔ x f ( x ) − xf ( x ) + = x f ′ ( x ) + xf ( x ) ⇔ ( xf ( x ) − 1) = x ( xf ′ ( x ) + f ( x ) ) = x ( xf ( x ) − 1) ′ xf ( x ) − 1) ′ xf ( x ) − 1) ′ ( ( 1 ⇔ = ⇒∫ dx = ∫ dx ⇔ − = ln x + C x x xf x − ( ) xf x − xf x − ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ xf ( x ) − = − 1 ⇔ f ( x) = − ln x + C x x ( ln x + C ) x = vào ta có Thay f ( 1) = − 1 1 = ⇔ C = ⇒ f ( x) = − ⇒ f ( e) = C x x ( ln x + ) 3e Câu 40 [2D3-2.4-4] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho hàm số  f ( x )  + 3x + x − ≤ x f ( x ) , ∀ x ∈ ¡ hai điều kiện A B C f ( x) thỏa mãn −1 ∫ f ( x ) dx = 12 Giá trị ∫ f ( x ) dx D Lời giải Tác giả: Bùi Bài Bình; Fb: Bui Bai Chọn D f ( x ) + x + x − ≤ x f ( x ) ⇔  f ( x ) − ( x + 1)   f ( x ) − ( x − 1)  ≤ ∗ Nếu x ≥ ( 1) ⇔ x + ≤ f ( x ) ≤ x − 3 3 1 1 ∫ ( x + 1) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ ( 3x − 1) dx ⇔ ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ 10 ( ) ⇒ ∗ ( 1) Nếu ⇒ x ≤ ( 1) ⇔ 3x − ≤ f ( x ) ≤ x + 1 1 −1 −1 −1 −1 ∫ ( 3x − 1) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ ( x + 1) dx ⇔ − ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ( 3) Từ ( 2) ( 3) ⇒ ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ 12 −1  3x − x ≥ f x d x = 12 ⇒ f x = ( ) ( )  ∫ Do −1  x + x ≤ Vậy 2 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ... suy 0 Phân tích, bình luận phát triển tốn - Đây tốn tích phân hàm ẩn dạng tốn mà đề thi hay gặp xf ′( x )dx ∫ - Trong toán để tính tích phân sử dụng tích phân phần đưa tính tích f ( x)dx ∫ phân. .. 19 [2D3-2.4-4] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Cho hàm số liên tục R f (0) = f ( x) + f (2 − x) = x − x + 2, ∀ x ∈ R thỏa mãn ∫ xf ′( x)dx −4 A f ( x) B có đạo hàm Tích phân − 10 D C ... + 1) − ( 1) Hàm số f a liên tục xác định ¡ Lúc ycbt trở thành tính giá trị tích phân ta đặt ∫ f ( a) da + ∫ f ( − a − 2) da = ∫ ( − 6( a + 1) 1 −3 −3 −3 ∫ f ( a) da Lấy tích phân hai vế (