Dang 4. Tích phân của hàm ẩn. Tích phân đặc biệt(VDT

Câu f ( x) [2D3-2.4-3] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho liên tục ¡ f ( − x ) + f ( x ) = x10 , ∀x ∈ ¡ A I = 55 B Tính I= I = ∫ f ( x ) dx 11 C I = 11 D I= 55 Lời giải Tác giả: Nguyễn Đăng Thuyết; Fb: Thuyết Nguyễn Đăng Chọn D Ta có f ( − x ) + f ( x ) = x10 , ∀x ∈ ¡ Do ta thay 10 x = − x ta f ( x ) + f ( − x ) = x , ∀x ∈ ¡  f ( − x ) + f ( x ) = x10  10 Khi ta có hệ phương trình  f ( x ) + f ( − x ) = x 1 x10 x11 1 10 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ dx = = f ( x) = x 55 55 Giải hệ phương trình ta tìm 0 Khi Câu [2D3-2.4-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho ¡ A I = 14 thỏa mãn f ( ) = 16, B 0 f ( x) có đạo hàm liên tục ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ x f ′ ( x ) dx ta kết I = 20 C I = 10 D I = Lời giải Tác giả: Nguyễn Thủy ; Fb Thu Thủy Chọn B Ta có ∫ f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( x ) d ( x ) = ⇒ ∫ f ( x ) dx = 12 20 Xét I = ∫ x f ′ ( x ) dx  u = x ⇒  Đặt  dv = f ′ ( x ) dx  du = dx   v = f ( x ) 2 I = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( ) − 12 = 20 0 Khi Câu [2D3-2.4-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Bắc-Ninh-2019) f ( ) = 16, A f ( x) Cho có 0 đạo hàm liên tục (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3- ¡ D I = thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ x f ′ ( x ) dx ta kết I = 14 B I = 20 C I = 10 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thủy ; Fb Thu Thủy Chọn B Ta có ∫ f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( x ) d ( x ) = ⇒ ∫ f ( x ) dx = 12 20 Xét I = ∫ x f ′ ( x ) dx  u = x ⇒  ′ d v = f x d x ( )  Đặt   du = dx   v = f ( x ) 2 I = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( ) − 12 = 20 0 Khi Câu [2D3-2.4-3] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Cho hàm số liên tục ¡ 0 I = ∫ f ' ( x − ) dx + ∫ f ' ( x + ) dx −2 B I1 = ∫ f ' ( x − ) dx I = ∫ f ' ( x + ) dx Tính I1 : Đặt Đổi cận: , u = x − ⇒ d u = dx C D 10 Lời giải Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh Chọn C Cách 1: Đặt có đạo hàm có đồ thị hình vẽ Giá trị biểu thức A y = f ( x) Ta có: I1 = ∫ f ' ( u ) du = ∫ f ' ( x ) dx −2 Tính I : Đặt Đổi cận: −2 = f ( 2) − f ( − 2) = − ( − 2) = I = ∫ f ' ( v ) d v = ∫ f ' ( x ) dx 2 = f ( x ) 42 = f ( ) − f ( ) = − = I = I1 + I = + = Vậy: C −2 v = x + ⇒ dv = dx Ta có: = f ( x) ách 2: 4 0 0 I = ∫ f ' ( x − ) dx + ∫ f ' ( x + ) dx = ∫ f ' ( x − ) d ( x − ) + ∫ f ' ( x + ) d ( x + ) = f ( x − ) 04 + f ( x + ) 02 = ( f ( ) − f ( − ) ) + ( f ( ) − f ( ) ) = ( − ( − ) ) + ( − ) = Câu  1 − ; [2D3-2.4-3] (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm  2  thỏa mãn 109 ∫1  f ( x ) − f ( x ) ( − x )  dx = − 12 − ln ln B f ( x) dx −1 ∫ Tính x A 2 ln C D ln Lời giải Tác giả: Phan Chí Dũng; Fb: Phan Chí Dũng Chọn B 109 ∫  f ( x ) − f ( x ) ( − x )  dx = − 12 − ⇔ ⇔ 2 ∫ ( f ( x) − ( − x) ) − 2 dx − ∫ ( − x) − 2 ∫  ( f ( x ) − ( − x ) ) − ( − x ) − dx = − 2 109 12  x 2 109 2 − x d x = − x + x d x = x − x + = ( ) ( )  ÷ ∫1 ∫1  12  − − − 2 Mà 2  dx = − 109  12 Suy ∫ ( f ( x) − ( − x) ) − dx =  1  1 ∀x ∈  − ;   f ( x ) − ( − x )  ≥ 0, ∀ x ∈  − ;  Vì  2  nên f ( x ) = − x ,  2 2 2  −1  f ( x) 3− x 1− x + 2 d x = d x = d x = +  ∫ ∫0 x2 − ∫0 x − ∫0  x + ( x − 1) ( x + 1) ÷÷dx Vậy x −    x −1  =  − ln x + + ln = ln x + ÷  Câu [2D3-2.4-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho 1 ∫ f ( x ) dx = ; ∫ f ( x ) dx = 200 Khi ∫ f ( x ) dx A 104 B 204 C 196 D 96 Lời giải Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm Chọn D Ta có: 5 1 ∫ f ( x ) dx = 200 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 100 Theo tính chất tích phân: 5 1 2 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇔ 100 = + ∫ f ( x ) dx Suy Câu ∫ f ( x ) dx = 96 [2D3-2.4-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 1 0 2018-2019 LẦN 03) Cho ∫ ( 3x + 1) f ′ ( x ) dx = 2019, f ( 1) − f ( ) = 2020 Tính ∫ f ( 3x ) dx A B C D Lời giải Tác giả: Trịnh Duy Thanh Fb: Trịnh Duy Thanh Chọn A Ta có: 1 ∫ ( 3x + 1) f ′ ( x ) dx = 2019 ⇔ ∫ ( 3x + 1) d ( f ( x ) ) = 2019 ⇔ ( 3x + 1) f ( x ) 0 1 − 3∫ f ( x ) dx = 2019 1 0 ⇔ f ( 1) − f ( ) − 3∫ f ( x ) dx = 2019 ⇔ 2020 − 3∫ f ( x ) dx = 2019 ⇔ 1 ∫ f ( x ) dx = ( 1) I = ∫ f ( 3x ) dx Xét: Đặt : x = t ⇒ dt = 3dx ⇒ dx = dt x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = ; Đổi cận: 1 1 1 I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = = 30 30 3 Vậy: Câu [2D3-2.4-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) π 2 I = ∫ f ( x ) dx = Giá trị J=∫ sin x f ( 3cos x + B ) dx C − A 3cos x + Cho D −2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang Chọn C Đặt t = 3cos x + ⇒ dt = Đổi cận : x = 0⇒ t = 2; − 3sin x dx 3cos x + x= π ⇒ t =1 2 2 2 J = ∫ − f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = = 3 31 3 Khi đó: Câu [2D3-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) liên tục R có đồ thị hàm số f '( x) hình vẽ, Biết 3 ∫ f '(x) dx = c , f (1) = d Tích phân ∫ f (x)dx ∫ ( x + 1) f '( x)dx = a ∫ f '(x) dx = b , A − a + b + 4c − 5d B − a + b − 3c + 2d C − a + b − 4c + 3d D − a − b − 4c + 5d Lời giải Tác giả: Trần Duy Khương; Fb: Trần Duy Khương Chọn C Tích phân phần có 3 3 ( x + ) f '( x )d x = ( x + )d f ( x ) = ( x + ) f ( x ) − f ( x )d x = f ( ) − f ( ) − ( ) ∫0 ∫0 ∫0 f (x)dx ∫0 3 0 f (x)dx = f (3) − f (0) − ∫ (x + 1) f '(x )dx = f (3) − f (0) − a ∫ ( 1) Suy 1 0 b = ∫ f '( x) dx = ∫ f '( x)dx = f (1) − f (0) = d − f (0) ⇒ f (0) = d − b 3 1 c = ∫ f '( x) dx = − ∫ f '( x)dx = f (1) − f (3) = d − f (3) ⇒ f (3) = d − c ( 2) ( 3) Từ ( 1) , ( 2) , ( 3) ⇒ ∫ f ( x)dx = 4(d − c) − (d − b) − a = − a + b − 4c + 3d Câu 10 [2D3-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số ¡ x = 1; có đồ thị hàm số đường thẳng ∆ f ( x) có đạo hàm cấp hai hình vẽ bên Biết hàm số f ( x) x = Tích phân ∫  ex +  ′′ e f  ÷ dx   x f ′ ( x) liên tục đạt cực đại điểm hình vẽ bên tiếp tuyến đồ thị hàm số ln hoành độ f ( x) f ( x) điểm có A C B D Lời giải Tác giả: Lê Thị Hồng Vân; Fb: Hồng Vân Phản biện: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ Chọn D ex + 1 t= ⇒ dt = e x dx Đặt 2 x = ⇒ t = 1; x = ln3 ⇒ t = Đổi cận ln3 Khi ∫ 2  ex +  e f ''  dx = f ''( t ) dt = f '( t ) = ( f '(2) − f'(1) ) ÷ ∫1   x Do hàm số đạt cực đại điểm x = có đạo hàm ¡ ⇒ f ′ (1) = Mặt khác đường thẳng Δ qua hai điểm Do Vậy f ( x) ∆ tiếp xúc với đồ thị hàm số ln3  ex +  e f ′′  ÷ dx   = 2(3 − 0) = ∫ A(1;0) , B(0; −3) nên có hệ số góc điểm có hồnh độ k= yB − y A =3 xB − x A x = nên f ′(2) = x Câu 11 [2D3-2.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số f ( x) liên tục có đồ thị hình bên −1 Biết F ′ ( x) = f ( x), ∀ x ∈ [− 5;2] 145 A ∫ f ( x ) dx = −3 89 B − 14 Tính F ( ) − F ( − ) 145 C − 89 D Lời giải Tác giả: Nguyễn Vượng; Fb: Nguyen Vuong Chọn C Trên đoạn [ − 5; − 3] f ( x) = ta có 5− x ; đoạn [ − 1;2] ta có f ( x ) = x + Khi đó: F ( ) − F ( − ) = ∫ f ( x ) dx −5 −3 −1 −5 −3 −1 −1 5− x 145 dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ ( x + ) d x = −5 −3 −1 −3 = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) d x = ∫ Câu 12 [2D3-2.4-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số thỏa mãn A ∫ x × f ′ ( x − ) dx = I = −5 B f ( x) có đạo hàm ¡ ; f ( ) = Tính I = − 10 I= ∫ f ( x ) dx −2 C I = D I = 10 Lời giải Tác giả: Huỳnh Quy; Fb: huynhquysp Chọn B + Xét Đặt J = ∫ x ×f ′ ( x − ) dx = u= x 1  dv = f ′ ( x − ) dx = d  f ( x − ) ÷ v = f ( 2x − 4) 2  , ta du = dx 3 13 1 ⇒ J = x f ( x − ) − ∫ f ( x − ) dx = f ( ) − ∫ f ( x − ) dx = − ∫ f ( x − ) dx 20 2 20 20 3 ⇒ − ∫ f ( x − ) dx = ⇒ ∫ f ( x − ) dx = − 10 20 Vì J = 2t = x − ⇒ 2dt = 2dx ⇔ dt = dx Đặt Đổi cận: 1 −2 −2 x t −2 ∫ f ( 2t ) dt = ∫ f ( x ) dx = − 10 I1 = Vậy I = − 10 Câu 13 [2D3-2.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm  π f :  0,  → ¡  2 ∫ π A hàm liên tục  ( f ( x ) ) − f ( x ) ( sin x − cos x )  dx = − π   Tính ∫ π f ( x)dx = − B ∫ π f ( x)dx = C Lời giải ∫ thỏa ∫ π π mãn điều kiện f ( x)dx f ( x)dx = D ∫ π f ( x)dx = Tác giả: Nguyễn Minh Thắng ; Fb: https://www.facebook.com/nmt.hnue Chọn D π ∫ ( sin x − cos x ) Ta có ⇒ ∫ π π 2 π π π   dx = ∫ ( − sin x ) dx =  x + cos x ÷ = −  0  ( f ( x ) ) − f ( x ) ( sin x − cos x ) + ( sin x − cos x )  dx   π π π = ∫  ( f ( x ) ) − f ( x ) ( sin x − cos x )  dx + ∫ ( sin x − cos x ) dx = − + − =   2 π ⇒ ∫  f ( x ) − ( sin x − cos x )  dx = ⇒ f ( x ) = sin x − cos x ⇒ π π ∫ f ( x ) dx = ∫ ( sin x − cos x ) dx = ( − cos x − sin x ) π = Câu 14 [2D3-2.4-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Cho hàm số f ( x) A liên tục [ 0;1] Biết f ( 0) = − B ′   x f − x − f x d x = ( ) ( ) ∫  f ( 0) = C Lời giải Tính f ( 0) = − f ( 0) D f ( 0) = Tác giả:Nguyễn Thị Bích Ngọc; Fb:Nguyễn Thị Bích Ngọc Chọn C Ta có 1 0 A = ∫  x f ′ ( − x ) − f ( x )  dx = ∫ x f ′ ( − x ) dx − ∫ f ( x ) dx I = ∫ x f ′ ( − x ) dx Đặt  u = x ⇒  ′ d v = f − x d x ( )  Đặt  Khi  du = dx   v = − f ( − x ) 1 0 I = − f ( − x ) x + ∫ f ( − x ) dx = − f ( ) + ∫ f ( x ) dx 1 1 A = − f ( ) + ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = ⇔ f ( ) = − 2 Do 0 Câu 15 [2D3-2.4-3] (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số ( 0;+∞ ) hàm khoảng x ∈ ( 0; +∞ ) , biết A f ( 1) = − 14 f ( x ) > , ∀ x ∈ ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ′ ( x ) = − x f ( x ) f ( 2) > a + Tổng tất giá trị nguyên B C f ( x) D có đạo với a thỏa mãn −2 Lời giải Tác giả:Nguyễn Hoài Phúc ; Fb: Nguyen Phuc Chọn D Trên ( 0;+∞ ) ta có f ′ ( x ) = − x f ( x ) ⇔ −  ′ = x ⇔  ÷÷ = x f ( x)  f ( x)  f ′ ( x)  ′ x2 ⇒ ∫  = +C ÷÷ dx = ∫ xdx ⇔ f x f x ( ) ( )   a+ a+ f ( 1) = ⇒ = +C⇔ C= Có a+ 2  f ( ) − f ( 1) = ⇔   f ( 1) − f ( ) = −   f ( 1) =   f ( 0) =  Tính I = ∫ x f ' ( x ) dx u= x   du = dx   Đặt :  dv = f ' ( x ) dx Chọn  v = f ( x ) I = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = − J Đặt x = 1− t 1 ⇒ J = − ∫ f ( − t ) dt = ∫ f ( − x ) dx = K Suy J − K = 3∫ ( x − x ) dx = −  J=K ⇔ J = K =1  Ta có :  J − K = − −3  a = I = −1= ⇒  8 b = Vậy ⇒ T = 8a − 3b = Câu 25 [2D3-2.4-3] (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y = f ( x) liên tục, có đạo hàm ( −∞ ; +∞ ) có đồ thị hình vẽ Tích phân A B I = ∫ f ′ ( x − 3) dx C D Lời giải Tác giả: Đỗ Bảo Châu; Fb: Đỗ Bảo Châu Chọn A Từ đồ thị hàm số f ( x ) , ta có bảng biến thiên hàm số đoạn [ − 3;2] Xét, I = ∫ f ′ ( 5x − 3) dx u = x − ⇒ du = 5dx ⇒ dx = du Đặt Đổi cận: x u −3 y = f ( x ) , Ta được: Kết hợp với bảng xét dấu hàm số −1 −1 2 1 1 I = ∫ f ′ ( u ) du = ∫ f ′ ( u ) du + ∫ f ′ ( u ) du = − ∫ f ′ ( u ) du + ∫ f ′ ( u ) du −3 −3 −1 −3 −1 Câu 26 [2D3-2.4-3] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số π ∫ tan x f ( cos x ) dx = 2 A e2 ∫ f ( ln x ) x ln x e dx = Tính ∫ f ( 2x) x Chọn D π f ( cos x ) I1 = ∫ tan x f ( cos x ) dx = ∫ sin2xdx cos x * Đặt cos x = Đổi cận t ⇒ sin xdx = − dt f ( t) ⇒ I1 = − ∫ dt 21 t Khi ∫ liên tục ¡ thỏa mãn dx C D Lời giải Tác giả : Ngô Quốc Tuấn, FB: Quốc Tuấn B π f ( x) x t f ( t) t dt = π e2 * ∫ I2 = e f ( ln x ) e f ( ln x ) 2ln x dx = ∫ dx x ln x e ln x x Đặt ln x = Đổi cận 2ln x dx = dt x ⇒ t f ( t) dt ⇒ ∫1 t I2 = Khi I=∫ f ( 2x) x * Tính Đổi cận x e t f ( t) ∫ t dt = dx Đặt 2x = t ⇒ dx = dt x t Khi I =∫ f ( t) t dt = ∫ f ( t) t dt + ∫ e2 f ( t) t dt = + = Câu 27 [2D3-2.4-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y = f ( x) x2 f ′ ( x ) + f ( x ) = f ( x ) ≠ , ∀ x ∈ ( 0; + ∞ ) Tính f ( ) A f ( ) = e2 B có đạo hàm liên tục khoảng f ( 2) = e C f Lời giải biết ( 2) = 2e2 ( 0;+ ∞ ) thỏa mãn f ( 1) = e D f ( 2) = e Tác giả: Huỳnh Quy ; Fb: huynhquysp Chọn D Ta có f ( x ) ≠ , ∀ x ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ f ( x ) = khơng có nghiệm khoảng ( 0;+ ∞ ) ⇒ f ( x ) = nghiệm khoảng ( 1;2 ) ⇒ f ( 1) f ( ) > , ∀ x ∈ ( 1;2 ) Mà f ( 1) = e > Do nên f ( 2) > f ′ ( x) = − x2 f ( x) x2 f ′ ( x ) + f ( x ) = ⇔ f ′ ( x) d x = − ∫ ∫1 f ( x ) dx Suy x 2 ⇔ − = − ln f ( x ) x1 ⇔ 1  −  − 1÷ = − ln f ( ) − ln f ( 1) 2  ) ⇔ = − ln f ( ) + 2 ( ⇔ ln f ( ) = ⇔ = −  ln f ( ) − ln e   ⇔ f ( 2) = e = e Câu 28 [2D3-2.4-3] (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f ( x)  π x ∈  0;  f ( x ) f ′ ( x ) = cos x + f ( x ) với A B C  π 0; liên tục không âm   , thỏa mãn π  f ÷ f ( ) = Giá trị   2 D Lời giải Chọn C f ( x) f ′( x)  π ′ f x f x = cos x + f x ⇒ = cos x ( *) ( ) ( ) ( ) x ∈  0;  2 + f x ( ) Với ta có  2 + f ( x ) = sin x + C Suy Ta có f ( 0) = ⇒ C = Dẫn đến f ( x) = ( sin x + ) −1 π  f  ÷= 2 Vậy   π x3 + x + ex3 x 1 e   dx = + ln  p + ÷ x ∫ π + e.2 m eln n  e + π  với Câu 29 [2D3-2.4-3] (Lý Nhân Tông) Biết p số nguyên dương Tính tổng A P = B P = m+ n+ p P= C P = Lời giải Chọn D x ( π + e.2 x ) + x  π x3 + x + ex3 x 2x  ∫0 π + e.2x dx = ∫0 π + e.2x dx = ∫0  x + π + e.2x ÷dx 1 x4 1 e = + ln π + e.2 x = + ln + e ln e.ln π +e Vậy m = , n = , p = nên P = m + n + p = D P= m, n, Câu 30 [2D3-2.4-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số [ 1;2] f (2) = , đồng thời thỏa mãn ∫[ f ( x) có đạo hàm, liên tục đoạn f ( x) f '( x )] dx = + ln d x = − + ln 12 ∫1 ( x + 1) 12 Tính 2 I = ∫ f ( x)dx I = + 2ln A B I = ln 3 I = + 2ln C I = + 2ln D Lời giải Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb:Huedinh Chọn A u = f ( x )  du = f ′ ( x ) d x    dv = dx ⇒   x −   v =  x + ÷ ( x + 1) + Đặt     Khi f ( x) ∫1 ( x + 1)2 dx = 2  1 x −1 x −1 ′ f ( x ) − f ( x )d x    x + 1 ∫1 x +  ⇔ − + ln = 12 2  1 x −1 f '( x)dx   f (2) − ∫ 2 x+  x −1 ⇔ − 2ln = ∫ f ′( x)dx ( 1) x+1 2 2   x −1  d x = −  ÷  ∫ ∫1  x + ÷ dx Xét  x +   4    = ∫ 1− + ÷dx =  x − ln x + − ÷ = − 4ln + 4ln − + = − 4ln  ÷ x + x + 1 ( x + 1)   1 3 2 2  x −1 ⇒ ∫ ÷ dx = − ln  x + 1 12 2 ( 2) ∫ [ f '( x)] dx = 12 − ln Theo đề (3) Từ (1), (2), (3) ta có 2  x − 1   x − 1   x − 1 ′ − f ( x ) d x = ⇒  ÷  ÷ − f ′( x ) = ⇔ f '( x ) =  ∫1   x +   ÷  x + 1  x + 1  ⇒ f ( x) =  x − 2ln ( x + 1)  + C ⇒ f (2) = [ − 2ln 3] + C = ⇒ C = ln − ⇒ f (x) =  x − 2ln ( x + 1)  + ln − 2 1  I = ∫   x − 2ln ( x + 1)  + ln − ÷dx  1 2  x2  =  + ( ln − 1) x  − ∫ ln ( x + 1) dx = − + ln − ln ( x + 1) dx ∫1 4 1   = − + ln −  ( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ xdx    = − + ln − [ 3ln − 2ln − 1] = − 2ln Câu 31 [2D3-2.4-3] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục khoảng f (1; +∞ ) thỏa mãn ( xf ′( x) − f ( x) ) ln x = x3 − f ( x) , ∀ x ∈ (1; +∞ ) ; biết ( e ) = 3e Giá trị f (2) thuộc khoảng đây?  25   12; ÷ A  2  27   13; ÷ B  2  23   ;12 ÷ C    29   14; ÷ D  2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Viết Chiến ; Fb:Viết Chiến Chọn C x∈ (1; + ∞ ) Vì nên ta có ( x f ′( x) − xf ( x) ) ln x = x − xf ( x)  x f ′( x) − xf ( x)  f ( x) ⇔ ln x = − ÷ x4 x3   f ( x)  f ( x) ′ ⇒  ÷ ln x = − x  x   f ( x ) ′  f ( x)  ⇔ ∫  ÷ ln xdx = ∫  − ÷dx x   x   ⇔ f ( x) ln x f ( x) f ( x) − ∫ dx = x − ∫ d x + C x x x x2 ( x + C ) f ( x) ln x f ( x) ln x ⇔ = x+ C ⇔ = x + C ⇔ f ( x) = x2 ln x x2 f Theo Do f (2) = ( ) x3 e = 3e ⇒ C = ⇒ f ( x) = ln x  23  ∈  ;12 ÷ ln   Câu 32 [2D3-2.4-3] (Nguyễn Khuyến)Cho hàm số π ∫ f ′ ( x ) cos mãn xdx = 10 A − 13 f ( x) có đạo hàm liên tục  π  0;  , thoả π f ( ) = Tích phân ∫0 f ( x ) sin2xdx B 13 C Lời giải D −7 Tác giả: Trịnh Duy Thanh; Fb: Trịnh Duy Thanh Chọn B Từ cơng thức tính vi phân hàm số, ta có f ′ (x)dx = d( f (x)) , d(cos x) = (cos x)′dx = − sin xdx Do đó, áp dụng cơng thức tích phân phần, với π ∫ f ′ ( x ) cos v = f (x) , ta thu π π xdx = f ( x ) cos x + ∫ f ( x ) sin2xdx π ∫ f ′ ( x ) cos Theo giả thiết, ta có xdx = 10 ⇔ u = cos x π  π  ∫ f ( x ) sin2xdx = 10 −  f  ÷ cos Từ π π f ( x ) cos x + ∫ f ( x ) sin2xdx = 10 π  − f ( ) cos ÷ = 13  Câu 33 [2D3-2.4-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm y = f ( x) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = x2 − x + 1 Tính tích phân A I= I = ∫ f ( x )dx B I= C Lời giải I= D I= Tác giả:Nguyễn Mạnh Quyền ; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền Chọn D f ( x ) + f ( − x ) = x2 − x + Ta có: 1 0 ⇒ I + ∫ f (1 − x )dx = ∫ (2 x − x + 1)dx 2 1 ⇒ I + ∫ f (1 − x)dx =  x3 − x + x ÷ 3 0 ⇒ I + ∫ f (1 − x) dx = ( 1) Xét ∫ f (1 − x)dx , đặt: t = − x ⇒ dt = − dx Đổi cận x t Ta có: 1 1 ∫ f (1 − x)dx = ∫ f (t )(− dt ) = ∫ f (t )dt = I ( ) Từ (1) (2) ⇒ ⇒ 2∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = Câu 34 [2D3-2.4-3] (KonTum 12 HK2) Cho hàm số f ( x) −3 có đạo hàm liên tục tập hợp ¡ thỏa x f ′ ( x ) dx f ( 3x − ) dx = ∫ ∫ f − = ( ) mãn Giá trị A − C D Lời giải Tác giả: Lê Thị Như Quỳnh; Fb: Lê Thị Như Quỳnh B 11 Chọn A t = 3x − ⇒ dt = 3dx Đổi cận: x = ⇒ t = − , x = ⇒ t = Đặt ∫ f ( 3x − ) dx = 0 f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( x ) dx = −∫3 −3 −3  u = x ⇒  Đặt  dv = f ′ ( x ) dx  du = dx   v = f ( x ) Khi ∫ x f ′ ( x ) dx = xf ( x ) −3 −3 − ∫ f ( x ) dx −3 = f ( ) + f ( − 3) − = − Câu 35 [2D3-2.4-3] (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn y = f ( x) liên tục f ( 2x) ∫−1 + 5x dx = Giá trị ∫0 f ( x ) dx bằng: ¡ A B C D 16 Lời giải Tác giả: Đinh Văn Trường; Fb: Đinh Văn Trường Chọn D f ( 2x) f ( 2x) f ( 2x ) = d x + dx 8= ∫ d x x x ∫ ∫ x + + + +) Ta có (1) −1 −1 Xét Đặt I= ∫ 1+ −1 x dx : t = − x ⇒ dt = − dx Đổi cận: x = − ⇒ t = x = ⇒ t = Khi t f ( −2t ) f ( − 2t ) f ( − 2t ) I=∫ + 5− t Vì f ( 2x) y = f ( x) ( − dt ) = ∫ + 5− t hàm chẵn dt = ∫ 5t + ¡ f ( − 2t ) = f ( 2t ) , ∀ t ∈ ¡ nên dt x 5t f ( 2t ) f ( 2x) I=∫ t dt = ∫ x dx + + Do Thay vào (1) thu 0 1 1 5x + 1) f ( x ) 5x f ( x ) f ( 2x) ( 8= ∫ x dx + ∫ d x =∫ d x = ∫ f ( x ) dx +1 + 5x 5x + 0 0 1 ⇒ f ( 2x ) d ( 2x) = ∫0 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 16 ∫ f ( x ) dx = 16 Vậy Chú ý: a f ( x) ∫ x dx = ∫0 f ( x ) dx với a , Nếu f ( x ) hàm chẵn liên tục [ − a; a ] − a + b a b > Câu 36 [2D3-2.4-3] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hàm số  f ( − x ) f ( x ) = 1  f = ( ) y = f ( x ) có đạo hàm đoạn [ 0;3] , thỏa mãn  f ( x ) ≠ ∀ x ∈ 0;3 [ ] , x f ′ ( x ) I=∫ dx 2  Tính tích phân 1 + f ( − x )  f ( x ) I= I= I= A B C I = D 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang Chọn B  f ( − x) f ( x) =   f ( 0) =  ⇒ f ( 3) = Từ giả thiết  f ( − x ) f ( x ) = ⇒ 1 + f ( − x )  f ( x ) = 1 + f ( x )  Do Khi ta được: x f ′ ( x )   3 x I=∫ dx = − ∫ xd  +∫ dx = − + J ÷÷ = − + f x + f x + f x ( ) ( ) ( )  0   1 + f ( x )  3 3 t =3− x 1 1 J =∫ dx = − ∫ dt = ∫ dt = ∫ dx + f x + f − t + f − t + f − x ( ) ( ) ( ) ( ) Tính 0 3 3 f ( x) 1 2J = ∫ dx + ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = ∫ dx = + f x + f − x + f x + f x ( ) ( ) ( ) ( ) Suy 0 0 Do J= I= Vậy Câu 37 [2D3-2.4-3] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f ′ ( x ) + x f ( x ) = e x f ( x ) A e + với B f ( x ) ≠ 0,∀ x ee− f ( ) = Khi f ( 1) C e − f ( x) thỏa mãn D ee+ Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh giang Chọn B Từ giả thiết: f ′ ( x ) + x f ( x ) = e x f ( x ) , ta có f ′ ( x) = f ( x) ( ex − 2x) f ′ ( x) x = e − 2x f ( x) ( f ( x ) ≠ 0, ∀ x ) ⇒ ⇒ ∫ f ′ ( x) d x = ∫ ( e x − x ) dx f ( x) ⇒ ln f ( x ) = e x − x + C f ( ) = nên C = − Mà Khi đó, ta được: Thế ln f ( x ) = e x − x − e− x = , ta có: ln f ( 1) = e − ⇒ f ( 1) = e Câu 38 [2D3-2.4-3] (CổLoa Hà Nội) xf ' ( x ) ln x + f ( x ) = x , ∀ x ∈ ( 1; +∞ ) A I= B I= Cho hàm f ( e) = e C số Tính tích phân I= f ( x) I=∫ D e2 e thỏa mãn x dx f ( x) I=2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Quang Thái; Fb:Nguyễn Quang Thái Chọn A Ta có: xf ' ( x ) ln x + f ( x ) = x ⇔ f ' ( x ) ln x + ⇒ ∫ f ' ( x ) ln xdx + ∫ ⇔ f ( x ) ln x − ∫ f ( x) x f ( x) dx = ∫ xdx x dx + ∫ f ( x) x dx = x + C ⇔ f ( x ) ln x = x + C , ∀ x ∈ ( 1; +∞ ) Do f ( e ) = e2 ⇒ C = Suy f ( x ) ln x = x , ∀ x ∈ ( 1; +∞ ) ⇒ f ( x) = ⇒ x2 > 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ln x x ln x = f ( x) x , ∀ x ∈ ( 1; +∞ ) f ( x) x = x ∀ x ∈ ( 1; +∞ ) , Vậy I=∫ e2 e e2 ln x x e2 dx = ∫ dx = ln x = e f ( x) x e Câu 39 [2D3-2.4-3] (THPT NÔNG CỐNG LẦN NĂM 2019) Cho hàm số liên tục [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) + x f ′ ( x) ≥ x 2018 ∀ x ∈ [ 0;1] y = f ( x) có đạo hàm Tìm giá trị nhỏ ∫ f ( x ) dx A 2018.2020 B 2019.2020 C 2020.2021 D 2019.2021 Lời giải Fb: Nguyễn Đình Thịnh Chọn D x 2021 g ( x) = x f ( x) − Xét hàm số: 2021 [ 0;1] Ta có: g ′ ( x ) = 3x f ( x ) + x3 f ′ ( x ) − x 2020 = x  f ( x ) + x f ′( x) − x 2018  ≥ ∀ x ∈ [ 0;1] Do g ( x) hàm số khơng giảm [ 0;1] , suy g ( x ) ≥ g ( 0) ∀ x ∈ [ 0;1] x 2021 x 2018 x f ( x) − ≥ 0, ∀ x ∈ [ 0;1] ⇔ f ( x ) ≥ ≥ 0, ∀ x ∈ [ 0;1] Hay 2021 2021 Vậy: ∫ x 2018 f ( x ) dx ≥ ∫ dx = 2021 2019.2021 x 2018 f ( x) = Đẳng thức xảy 2021 Câu 40 [2D3-2.4-3] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho đa thức bậc bốn cực trị x=1 A x= x + f ′( x) lim = Tích phân Biết x→ x B C y = f ( x) đạt ∫ f ′( x)dx D Lời giải Tác giả: Hoàng Ngọc Huệ ; Fb: Hoàng Ngọc Huệ Chọn B Ta có y = f ( x) đa thức bậc bốn nên f ′ ( x) đa thức bậc ba (1)  f ′( x)  ′ x + f ′( x) lim  + = lim f ( x) = =2 ÷ Ta có x → (2) ⇔ x →  x  ⇔ x →0 x 2x lim Từ (1), (2) suy y = f ( x) Ta lại có f ′ ( x) có dạng f ′ ( x) = x(ax + bx + 2) đạt cực trị a + b + =  phương trình  8a + 4b + = ⇔ x = x = nên f ′ (1) = , f ′ (2) = Do đó, ta có hệ a =  b = −3 ∫ f ′( x)dx = ∫ x( x Vậy − 3x + 2)dx = f ( x) Câu 41 [2D3-2.4-3] (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hàm số f ( x ) ≠ 0, ∀ x > A ( x + 1) f ' ( x ) =  f ( x )  ( x − 1) 2 2 B thỏa mãn điều kiện với x > Giá trị f ( ) C − f ( 1) = , D − Lời giải Tác giả:Nguyễn Thanh Bảo ; Fb:Nguyễn Thanh Bảo Chọn D Ta có f ' ( x) ( x + 1) f ' ( x ) =  f ( x )  ( x − 1) ⇔ 2 Lấy tích phân vế (*) [ 1;2]  f ( x )  = x2 − ( x + 1) ∀x ∈ [ 1;2 ] (*) ta x −1 x dx d x = d x ⇔ − = ∫1  f ( x )  ∫1 x + f ( x ) ∫1  1 ( )   x +  ÷ x  1  d x + ÷ 1 1 x  ⇔− + =∫ ⇔ − + = − 1 f ( ) f ( 1)  f ( 2)  1 x+ ÷ x+ ÷ x  x  f '( x) ⇔− 2 2 1− 1 + = − + ⇔ f ( 2) = f ( 2) 2 Câu 42 [2D3-2.4-3] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đa thức bậc bốn x + f ′( x ) lim = Tích phân x = Biết x→ x A B y = f ( x) đạt cực trị x = ∫ f ′( x)dx C D Lời giải Tác giả: Hoàng Ngọc Huệ ; Fb: Hoàng Ngọc Huệ Chọn B y = f ( x) Ta có đa thức bậc bốn nên f ′ ( x) đa thức bậc ba (1)  f ′( x)  ′ x + f ′( x) lim  + = lim f ( x) = =2 ÷ Ta có x → (2) ⇔ x →  x  ⇔ x →0 x 2x lim Từ (1), (2) suy y = f ( x) Ta lại có f ′ ( x) có dạng f ′ ( x) = x(ax + bx + 2) a + b + =  phương trình  8a + 4b + = x = x = nên f ′ (1) = , f ′ (2) = Do đó, ta có hệ đạt cực trị ⇔ a =  b = −3 ∫ f ′( x)dx = ∫ x( x Vậy − 3x + 2)dx = Câu 43 [2D3-2.4-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho f ( x ) + xf ( x ) = 3x Tính I = ∫ f ( x ) dx tích phân A I = −2 B I=− I= C I = D Lời giải Tác giả: Bùi Duy Nam ; Fb: Bùi Duy Nam Chọn D f ( x ) + xf ( x ) = 3x ⇒ Ta có ∫ f ( x ) + xf ( x ) dx = ∫ 3xdx ⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ xf ( x ) dx = Xét A = ∫ xf ( x ) dx Đặt t = x ⇒ dt = xdx Đổi cận x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 1 A = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx ⇒ 3∫ f ( x ) dx = ⇔ Vậy 0 ∫ f ( x ) dx = Câu 44 [2D3-2.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hàm ¡ thỏa mãn f ′ ( x ) e f ( x ) − x −1 − 2x =0 f ( x) với x∈ ¡ Biết f ( x) f ( ) = , tính tích phân A I= I= ∫ x f ( x ) dx B I= 45 C Lời giải Chọn B I= 11 D có đạo I= 15 Ta có f ′ ( x ) e 2x e f ( x) 2x − = ⇔ f ′ ( x ) x +1 = f ( x) ′ ⇔ f x f x e = x.e x + f ( x) f x ( ) ( ) ( ) e f ( x ) − x −1 ( )′ = ( e )′ ⇔ e ⇔ ef Thế ( x) x2 +1 x= Do ef vào ( x) I= Vậy ∫ ( *) f ( x) ta = e x + + C ( *) e = e+ C ⇔ C = = ex +1 ⇔ f ( x ) = x + ⇔ f ( x ) = x2 + x x + 1dx = 3 45 = ( 16 − 1) = 8 Thuanchy@gmail.com ( x + 1) ∫0 ( x + 1) d ( x + 1) = 7 3 = ( x + 1) x + ... [2D3-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số ¡ x = 1; có đồ thị hàm số đường thẳng ∆ f ( x) có đạo hàm cấp hai hình vẽ bên Biết hàm số f ( x) x = Tích phân ∫  ex +  ′′ e f  ÷ dx   x f ′... [2D3-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) liên tục R có đồ thị hàm số f '( x) hình vẽ, Biết 3 ∫ f '(x) dx = c , f (1) = d Tích phân ∫ f (x)dx ∫ ( x + 1) f '( x)dx... Cho hàm số ¡ thỏa mãn I = ∫ x f ' ( x ) dx = − A T=1 f ( x ) − f ( − x ) = 3( x2 − 2x ) ,∀ x∈ a a b ( với b phân số tối giản ) Tính T B T = C T = 16 y = f ( x) ¡ liên tục có đạo hàm Biết tích phân