Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 57 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
57
Dung lượng
2,88 MB
Nội dung
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 17 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: 17 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 23 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 33 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG : 35 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 39 DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 40 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 51 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 1) Quy tắc: Nếu u u x v v x uv uv uv - Nếu f x g x h x f x g x h x dx Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục khoảng 0; thỏa mãn điều kiện f 1 x f x f x 1, x Giá trị f A B C D Lời giải Chọn B +)Từ giả thiết, ta có x f x f x xf x f x x xf x x xf x x 1 dx xf x x x C +) Lại có f 1 C f x x f Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục khoảng 1; thỏa mãn đẳng thức f x x 1 f x A f x3 x2 x x2 với x 1; Giá trị f 0 B f e C f Lời giải D f Chọn A +) Từ giả thiết, ta có x x 1 x3 x2 x f x x 1 x 1 f x x 3 x2 f x x 1 x x 1 x x f x f x f x x 1 x2 x 1 x2 x 1 x f x x 1 f x x 1 x x 1 x x 1 f x f x dx f x x2 C x 1 x 1 x 1 x 3 x 3 có * thỏa mãn với x 1; nên thay x vào * ta có C 2 x 1 Suy f x x Do f x 1 * +) Lại Câu (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x f x f '' x x x với x f Giá trị f 1 A B C 16 15 D 15 Lời giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Ta có: f ' x f x f '' x f x f ' x ' Từ giả thiết ta có: f x f ' x ' x x Suy ra: f x f ' x x x dx x x C Với f C Nên ta có: f x f ' x x x Suy ra: f x f ' x dx x x dx f x 16 f 1 15 15 Câu (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f x thỏa mãn xf x x 1 f x f x với x dương Biết f 1 f 1 Giá trị f A f ln B f 2ln C f ln D f ln Lời giải Chọn B Ta có: xf x x 1 f x f " x ; x 2 x f ' x x 1 f x f " x f ' x f x f " x x ' 1 f ' x f x f " x f x f ' x x x ' Do đó: f x f ' x dx .dx f x f ' x x c1 x x Vì f 1 f ' 1 c1 c1 1 Nên f x f ' x dx x 1.dx f x d f x x .dx x x f x x2 1 ln x x c2 Vì f 1 c2 c2 2 2 2 f x x Vậy ln x x f ln 2 Câu (THPT NÔNG CỐNG LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn f x x f ( x) x 2018 x 0;1 Tìm giá trị nhỏ f x dx A 2018.2020 B 2019.2020 C 2020.2021 D 2019.2021 Lời giải Chọn D x 2021 Xét hàm số: g x x f x 0;1 2021 Ta có: g x x f x x f x x 2020 x 3 f x x f ( x) x 2018 x 0;1 Do g x hàm số không giảm 0;1 , suy g x g x 0;1 x2021 x 2018 0, x 0;1 f x 0, x 0;1 Hay x f x 2021 2021 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy: 1 f x dx 0 Tích Phân Hàm Ẩn x 2018 dx 2021 2019.2021 Đẳng thức xảy f x x 2018 2021 u uv uv 2) Quy tắc: Nếu u u x v v x với v v2 v f x f x h x dx - Nếu h x g x g x u Hệ quả: Nếu u u x với u u u g x - Nếu g x dx f x f x Câu (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số f x thỏa mãn f f x x f x , x Giá trị f 1 35 19 A B C D 36 36 15 Lời giải Chọn B f x +)Ta có f x x f x 2x xdx 2 x f x f x f x x2 C f x 1 +) Lại có f C x f 1 f x Câu (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục khoảng 0; thỏa mãn x f x f x f x , x 0; Tính f biết f 1 e A f e2 C f 2e2 B f e D f e Lời giải Chọn D Ta có f x , x 0; f x khơng có nghiệm khoảng 0; f x khơng có nghiệm khoảng 1; f 1 f , x 1; 2 Mà f 1 e nên f Do x f x f x f x x2 f x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 f x 1 d x d x ln f x 1 x 1 f x x1 Suy 1 1 ln f ln f 1 ln f ln e 2 1 ln f ln f f e e 2 Câu Cho hàm số f x thỏa mãn f 1 f x xf x với x Giá trị f 3 16 A B C D 3 16 Lời giải Chọn B f x x3 2 x x x dx C +) Từ giả thiết, ta có f x f x f x 10 x3 10 +) Lại có f 1 C f 2 3 f x f 2 Câu (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số f x thỏa mãn điều kiện f 1 , 2 f x 0, x x 1 f ' x f x x 1 với x Giá trị f 2 2 5 A B C D 5 2 Lời giải Chọn D f ' x x2 2 Ta có x 1 f ' x f x x 1 x 1; 2 (*) 2 f x x 1 Lấy tích phân vế (*) 1; 2 ta 1 x2 1 f x dx 1 x dx f x 1 2 dx x x 1 d x 1 1 x 1 f f 1 f 2 1 x x x x f ' x x2 1 1 f 2 2 f 2 Câu 10 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1 2 f x xf x x x f x , x 1; 2 Giá trị tích phân xf x dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A ln 3 B ln Tích Phân Hàm Ẩn C ln D Lời giải Chọn B +) Từ giả thiết, ta có f x xf x x x f x f x xf x xf x 2x 1 1 2 x 1 dx x x C 2 x xf x xf x xf x 2 1 1 +) Lại có f 1 C xf x xf x dx dx x x 1 x x 1 1 x 1 dx ln ln x 1 x x 1 Câu 11 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f f x f x x Tính T f 1 f A T 9ln B T C T ln D T 9ln Lời giải Chọn C 2 Ta có f x f x x f x 1 f x x f x 1 f x x f x 1 x dx dx C f x x f ' x x 9 Do f nên C suy f x x f x x x 1 x 1 Lấy nguyên hàm hai vế x2 x dx 9ln x ln Vậy T f 1 f x 1 0 0 Câu 12 Cho hàm số f x thỏa mãn điều kiện f x x 3 f x f Biết a a tổng f 1 f f 3 f 2017 f 2018 với a , b phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A 1 B C a b 1010 D b a 3029 b b Lời giải Chọn D f x Ta có f x x 3 f x 2x f x f x f x dx x 3 dx 1 x x C Vì f C f x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy f x x 1 x Tích Phân Hàm Ẩn 1 x x 1 Do f 1 f f 3 f 2017 f 2018 1 1009 2020 2020 Vậy a 1009 ; b 2020 Do b a 3029 Câu 13 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1 f x x 1 f x xf x , x 1;2 Giá trị f x dx A ln B ln ln 2 C D ln 2 Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có f x x 1 f x xf x f x x 1 f x f x 2x x x 1 x 1 xdx x C 2x f x f x f x 2 1 1 +) Lại có f 1 C f x f x dx dx x x x x 1 12 ln x ln x1 Câu 14 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f f x f x f x với x 0;1 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x 0; x B ln A ln D ln C ln12 Lời giải Chọn B +) Ta có f x f x f x e f x e f x e x x f x +) Lại có f ln +) Do S x f x f x f x 1 ex f x ex f x f x ex e x ex x e x dx e x C e f x f x ex ex C 2 ex f x f x ex ln ex dx ln e x ln ln ln x 2e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 15 Cho hàm số f x xác định có đạo hàm liên tục khoảng 0; thỏa mãn f 1 x f x x f x 1, x Giá trị f e A e e B e C e e D e Lời giải Chọn B +) Từ giả thiết, ta có x f x x f x xf x f x x xf x f x x xf x x f x x f x 1 2 x x x x x x f x x C x x +) Lại có f 1 C f x x x f x x2 f e e x Câu 16 (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số y f x xác định liên tục \ 0 , biết x f x 1, x 0; f 1 2 x f x 1 x f x f x với x \ 0 Tính e f x dx A 2 e B e C e D 1 e Lời giải Chọn A 2 Ta có x f x 1 x f x f x x f x 1 x f x f x x f x f x (do x f x 1, x ) x f x 1 1 1 1 xC x f x x f x 1 Do f 1 2 nên C 1 C 1 C f 1 1 1 x 1 Do x x f x x 1 f x x f x x x x e Suy e e 1 1 f x dx dx ln x x x x 1 e 1 Câu 17 (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục khoảng (1; ) thỏa mãn xf ( x) f ( x) ln x x f ( x) , x (1; ) ; biết f thuộc khoảng đây? 25 27 A 12; B 13; 23 C ;12 e 3e Giá trị f (2) 29 D 14; Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn C Vì x (1; ) nên ta có x f ( x ) xf ( x ) f ( x) x f ( x) xf ( x) ln x x xf ( x) ln x x x f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ln x ln xdx 1 dx x x x x f ( x ) ln x f ( x) f ( x) dx x dx C x x x x2 x C f ( x) ln x f ( x) ln x xC x C f ( x) x2 x2 ln x x3 Theo f e 3e C f ( x) = ln x 23 Do f (2) = ;12 ln Câu 18 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục khoảng 0;1 f x , x 0;1 Biết 3 1 f a, f x xf x f x , x 0;1 Tính tích phân b 2 I sin x.cos x 2sin x dx theo a b f sin x 3a b 4ab A I 3b a B I 4ab 3b a C I 4ab 3a b D I 4ab Lời giải Chọn D x 0;1 ta có: x xf x f x x f x xf x x x xf x x2 f x x x x2 x x xf x x f x f x f x f x f x Tính I sin x.cos x 2sin x sin x.cos x 4sin x.cos x d x dx f sin x f sin x Đặt t sin x dt cos xdx , đổi cận x t , x t 2 Ta có I t 4t t2 d t f t f t 2 3 3 f 1 3a b 4ab 4b 4a f 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn f x dx f x dx 10 0 Đặt 2t x 2dt 2dx dt dx Đổi cận: x t 2 Vì J I1 f 2t dt 2 f x dx 10 2 Vậy I 10 TRƯỜNG HỢP RIÊNG: b b Khi đề cho biết giá trị f a , f b , u x f x dx h , a thức chứa x tường minh), đề tìm b f x dx k (với u x biểu a f x trước tiên ta tìm số , cho f x u x dx , suy f x u x , sau nguyên hàm hai vế để tìm f x a Câu 85 (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số y f x liên tục 0; 2 , thỏa điều kiện f 2 f x dx f x dx A Giá trị B C f x dx : x2 D Lời giải Chọn C u f x du f x dx Đặt vx dv dx 2 2 f x dx x f x x f x dx x f x dx x f x dx 0 Ta lại có: x x dx 12 0 2 3 2 2 Do đó: f x dx x f x dx x 2dx f x x dx 3 0 0 2 x (vì f x x dx , x 0; 2 ) 2 f x x2 C f 2 C C 2 f x 1 Vậy f x x dx dx x x 4 1 f x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 86 (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn 1 0 x f x dx Tích phân f 1 , f x dx 36 A B f x dx C D Lời giải Chọn B 1 Từ giả thiết: x f x dx x f x dx 0 du f x dx u f x Đặt: dv xdx v x 1 5 Ta có: I x f x dx x f x x f x dx 20 0 1 5 f 1 x f x dx 10 x f x dx , (vì f 1 ) 20 20 1 Mà: I x f x dx 10 1 18 x f x dx x f x dx 20 1 2 10 x f x dx 36 10 x f x dx f x dx , (theo giả thiết: f x dx 36 ) 2 0 1 10 x f x f x dx f x 10 x f x dx 0 10 x3 C 10 x3 10.1 Với f 1 C C Khi đó: f x 3 3 10 x f x f x 10 x2 f x Vậy: 1 10 x 5x f x dx dx x 3 0 0 Câu 87 (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0; thỏa mãn 2 f , f x dx A 115 B 0 x f x dx Tích phân 297 115 C f x dx 562 115 D 266 115 Lời giải Chọn C Từ giả thiết: x f x dx x f x dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Tính: I x f x dx du f x dx u f x Đặt: dv 3x dx v x 2 2 Ta có: I 3x f x dx x3 f x x f x dx 24 x f x dx , (vì f ) 0 2 Mà: I x f x dx 24 x f x dx 0 2 x f x dx 23 x3 f x dx 23 2 x3 f x dx f x dx , 23 0 (theo giả thiết: f x dx ) 2 4 4 x3 f x f x dx f x x3 f x dx 23 23 0 4 x f x f x x f x x C 23 23 23 16 53 Với f C C 23 23 53 Khi đó: f x x 23 23 Vậy 2 53 562 53 f x dx x dx x x 23 23 23 115 115 0 Câu 88 (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 1; thỏa mãn x 1 A I f x dx , f 2 , 2 f x dx Tính I f x dx 1 B I C I 20 D I 20 Lời giải Chọn B u f x Đặt ta dv x 1 dx 2 Khi du f x dx v x 1 x 1 2 1 3 f x dx x 1 f x x 1 f x dx 31 2 1 3 x 1 f x dx x 1 f x dx 31 Xét f x k x 1 dx k File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Tích Phân Hàm Ẩn f x dx 2k x 1 f x dx k x 1 dx 1 x 1 k 2k k f x x 1 f x C 4 x 1 7 Do f nên C f x 4 2 x 1 7 Vậy I x 1 dx x 4 41 Câu 89 (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm f x có đạo 2 1 x 1 f x dx Tính 45 30 hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f =0 , f x dx I f x dx A I 36 B I 15 C I 12 D I 12 Lời giải Chọn D du f x dx u f x Xét: E x 1 f x dx Đặt x dv x 1 dx v 2 E x 1 2 2 2 x 1 f x dx 1 Ta có: 15 x 1 f x k x 1 dx Ta tìm số k để 2 2 x 1 x 1 x 1 f x f x dx f x dx f x dx 1 2 30 1 f x dx 45 dx f x k x 1 2 2 2 dx f x dx 2k f x x 1 dx k x 1 dx 1 1 1 1 2k k k 45 15 2 1 2 Khi đó: f x x 1 dx f x x 1 f x x 1 C 3 1 Mà f C 1 1 1 3 1 f x x 1 f x dx x 1 dx 9 9 9 12 1 Câu 90 (THPT NGHÈN LẦN 1) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa 1 mãn f 1 , x f x dx 1 0 f x dx Tính tích phân I 0 f x dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A I B I C I Tích Phân Hàm Ẩn D I Lời giải Chọn C du f x dx u f x Xét A x f x dx Đặt x2 dv xdx v 1 1 x2 1 1 A f x x f x dx x f x dx x f x dx 20 20 0 + Xét f x 1 dx 2k x f x dx k 2 x dx 1 2k k k 5 1 1 trở thành f x dx 6 x f x dx 9 x 4dx f x 3x2 dx f x 3x 2 0 f x 3x dx Do f x 3x 2 dx f x 3x f x 3x f x x dx x C f 1 f x x3 1 I f x dx x 3dx 0 Câu 91 (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1;1 thỏa f 1 , f x f x x 16 x với x thuộc 1;1 Giá trị f x dx A B C D Lời giải Chọn A Cách 1 Đặt I f x dx 1 u f x du f x dx Dùng tích phân phần, ta có: dv 2dx v x 1 1 I x f x 1 x f x dx f 1 x f x dx x f x dx 1 Ta có f x f x x 16 x 1 1 1 f x dx f x dx 8x 1 1 16 x dx 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 f x dx x f x dx x dx 8 x 1 1 Tích Phân Hàm Ẩn 1 2 16 x dx x dx 1 1 f x x dx f x x f x x x C , C 1 1 Mà f 1 C 3 f x x x f x dx x x dx 0 Cách Chọn f x ax2 bx c a (lý do: vế phải hàm đa thức bậc hai) f x 2ax b Ta có: f x f x x2 16 x 2ax b 2 ax2 bx c 8x2 16 x 4a 4a x 4ab 4b x b 4c x 16 x 4a a a 4ab 4b 16 b c 3 b 4c 8 a 2 b 4 c 6 Do f 1 a b c a , b c 3 1 Vậy f x x x f x dx x x dx 0 Câu 92 (THUẬN-THÀNH-BẮC-NINH) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 f x x f x 40 x 44 x 32 x 4, x 0;1 Tích phân f x dx bằng? A 23 15 B 13 15 C 17 15 D 15 Lời giải Chọn B f x x f x 40 x6 44 x4 32 x2 f x dx x f x dx 40 x 44 x 32 x dx 1 0 1 Xét I x f x dx 24 x f x dx 0 u f x du f x dx Đặt dv 24 x dx v x x 1 I x3 x f x x x f x dx = x x f x dx 0 Do đó: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 f x 1 Tích Phân Hàm Ẩn dx x x f x dx x x dx 56 x 60 x 36 x dx 0 f x x x dx f x x3 x f x x x c Mà f 1 c f x x x 1 Do f x dx x x dx 13 15 Câu 93 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN LẦN 2) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0; thỏa mãn: f x dx cos x f x dx 0 A B f Khi tích phân 2 1 C D f x dx 1 Lời giải Chọn B *) Xét tích phân I cos x f x dx u f x du f x dx Đặt dv cos xdx v sin x I sin x f x sin x f x dx sin x f x dx 0 Theo giả thiết I , suy sin x f x dx 2 *) Tìm số thực k thỏa mãn f x k.sin x Khi f x k sin x dx f x dx 2k sin x f x dx k sin xdx 0 0 2k k k 2k k 2 2 Từ đó, f x sin x f x sin x f x cos x C Do f nên C Vậy f x cos x 2 *) Ta có f x dx cos x 1 dx sin x x 02 0 Trắc nghiệm: 0 f x dx 0 sin x f x dx ta suy f x sin x Từ giải tiếp phần Từ giả thiết File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 94 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f , 2 f x dx cos x f x dx Tính f 2018 A 1 B C D Lời giải Chọn D Bằng cơng thức tích phân phần ta có cos xf x dx sin xf x sin xf x dx Suy sin xf x dx 2 cos x x sin x Hơn ta tính sin xdx dx 2 Do đó: f x 2 2 dx sin xf x dx sin xdx f x sin x dx 0 0 Suy f x sin x Do f x cos x C Vì f nên C 2 Ta f x cos x f 2018 cos 2018 Câu 95 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1 x f x dx x 1 e f x dx 0 A I e e2 Tính tích phân I f x dx B I e C I e D I e 1 Lời giải Chọn B u f x du f x dx Xét A x 1 e x f x dx Đặt x x dv x 1 e dx v xe 1 1 Suy A xe f x xe f x dx xe f x dx xe x f x dx x x x 0 1 Xét e2 1 e2 2x 2x x e d x e x x 0 40 2 Ta có 1 x x 2x f x dx 2 xe f x dx x e dx f x xe 0 Suy f x xe x 0;1 (do f x xe x x dx 0 x x 0;1 ) x f x xe f x 1 x e C Do f 1 nên f x 1 x e x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Tích Phân Hàm Ẩn Vậy I f x dx 1 x e x dx x e x e 0 Câu 96 (THPT-TỒN-THẮNG-HẢI-PHỊNG) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn f 1 , f x dx ln A ln B f x 0 x 12 dx ln Tích phân 2ln C 4ln D f x dx ln Lời giải Chọn A Ta có: f x x 1 dx 1 x f x f 1 x f x x f x x x f x f x d d x d x dx x 1 0 x 1 x x x 1 0 x f x f x dx dx ln x 1 x 1 Mặt khác: 2 1 x 0 x dx 0 1 x dx 0 1 x x 12 dx x 2ln x x 2ln Khi đó: 1 x f x x 3 f x x x d d 0 0 x 0 x dx ln 2ln ln x x f x f x dx x 1 x 0 x f x dx * x 2 x x 0, x 0;1 nên f x dx 0, x 0;1 Vì f x x 1 x x x Dấu " " xảy f x 0, x 0;1 f x , x 0;1 x 1 x 1 1 1 x2 Khi đó: f x dx x f x x f x dx dx x dx x x 0 0 x2 1 ln x ln x ln 0 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x p x f x h x Phương pháp: + Tìm P ( x) p( x) dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn p x dx + Nhân hai vế với e ta p x dx p x dx p x dx f x e p x e f x h x e f '( x ) e P ( x ) p ( x ).e P ( x ) f ( x) q ( x ) e P ( x ) p x dx p x dx f x e h x e + Lấy tích phân hai vế ta f ( x )e P ( x ) q( x)e P ( x ) dx Từ suy f ( x ) Hệ 1: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x f x h x Phương pháp: + Nhân hai vế với e x ta e x f x e x f x e x h x e x f x e x h x + Suy e x f x e x h x dx + Từ ta dễ dàng tính f x Hệ 2: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x f x h x Phương pháp: + Nhân hai vế với e x ta e x f x e x f x e x h x e x f x e x h x + Suy e x f x e x h x dx + Từ ta dễ dàng tính f x Câu 97 (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số f x thỏa mãn f f x f x x3 , x Giá trị f 1 A 4 10 e B 10 C 2 D 2 10 e Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có e x f x e x f x x 3e x e x f x x 3e x e x f x x 3e x dx e x f x x3ex 3 x2e x dx x3e x 3x 2e x 6 xe x dx x3e x 3x 2e x x 1 e x C 10 10 +) Lại có f C 10 f x x3 3x x x f 1 2 e e Câu 98 Cho f x thỏa mãn f 1 f ' x 3x f x 15x 12x e x , x R e Tính I f x dx A I e B I 2e C I e D I 2e+1 Lời giải Chọn C ' Ta có e3 x f x e3x f ' x 3x f x e3x 15x 12x e 3x 15x 12x Do đó: e3 x f x (15x 12x )dx=3x 6x C f x 3x 6x C e 3x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vì f 1 Tích Phân Hàm Ẩn C f x 3x 6x e 3x e 1 Khi I f x dx 3x 6x e 3x dx e 0 Câu 99 Cho hàm số f x có đạo hàm đến cấp hai liên tục thỏa mãn f f f x f x f x x x , x Tích phân f x dx A 107 21 12 e B 107 12 21 e C 107 21 12 e D 107 12 21 e Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có: f x f x f x f x x x f x f x f x f x x3 x e x f x f x e x f x f x e x x3 x e x f x f x e x x x e x f x f x e x x x dx e x x x 2x 2 C Mặt khác f f nên 2 C C e x f x f x e x x x x Do e x f x e x x3 x x e x f x e x x x x dx e x x3 x 10 x 12 x C f C 13 f x x 13 e x x x 10 x 12 1 f x dx x 13 e x x x 10 x 12 dx 0 107 21 12 e Câu 100 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 , f f x f x e x 1, x 0;1 Tính I f x dx A 2e B e 1 C e D 2e Lời giải Chọn B Ta có f x f x e x f x f x e x e x f x e x f x e x e x f x e x e x f x x e x C f x xe x Ce x Do f C f x x e x Do I x e x 1 dx e 1 Câu 101 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f x f x x 2e x , với x , f 0 1 Tính f 3 ? A 6e3 B 6e C 3e D 9e3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn D Ta có: f x f x x 2e x e x f x x e x e x f x x e x 3 x x xe e x C f x Ce x 3 x xe f 1 1 1 C C f x f 3 9e3 Do đó: e x f x e x f x dx Câu 102 (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f x có đạo hàm thỏa mãn f x f x x 1 e x x 1 A 3e12 , x f 1 e Giá trị f B 5e17 D 3e12 C 5e17 Lời giải Chọn B Ta f x f x x 1 e có: ' e x f x x e x 1 x 1 x Xét: I e x 1 5 dx e f x x e x x 1 x x f x e e f x x 1 e x 1 e f x dx = x e x x 1 1 dx e x 1 dx e5 f I1 I * dx 2 x 1 x 1 u e du xe dx Đặt: dv dx v x I xe x 1 5 x e x 1 dx 5e12 I1 I1 I 5e12 * e5 f 5 5e12 f 5 5e17 Câu 103 Cho hàm số f x có đạo hàm thỏa mãn f 1 e x 2 f x xf x x với x Tính f 2 A e e B e e C 2e 2e D e 4e Lời giải Chọn A Biến đổi giả thiết x 2 f x xf x x f x x2 f x x2 x e x f x x 2 x e x x e f x e f x e x x x x ex f x ex dx e x C f x x2 Cx2ex x Mà f 1 e C e 1 f x x2 e 1 x2e x1 e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Vậy, f 2 4 4e e 1 4e 4e Câu 104 Cho hàm số y f x có f x liên tục nửa khoảng 0; thỏa mãn f x f x 3.e 2 x Khi đó: A e3 f 1 f C e e2 e f 1 f 3 1 e2 B e3 f 1 f e2 D e3 f 1 f e e2 Lời giải Chọn C e2 x ex Ta có: f x f x 3.e 2 x Nhân hai vế giả thiết với e3x ta 3e3 x f x e3 x f x e x e x e3 x f x e2 x e2 x Lấy tích phân từ đến hai vế ta 3x 2x 2x e f x dx e e dx e f x 3x 2x e 3 31 e e f 1 f 3 e2 Câu 105 Trong hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f ( x ) xf ' ( x ) x 2018 Giá trị nhỏ I f ( x )dx A 2019.2021 B 2018.2021 C 2020.2021 D 2017.2021 Lời giải Chọn A + f ( x) xf ' ( x) x 2018 f ' ( x) f ( x) x 2017 , x x + P( x) 3ln x e P ( x ) x3 ' + Nhân hai vế (*) cho x ta x f ' ( x ) 3x f ( x) x 2019 x f ( x) x 2020 , x 0;1 + Lấy tích phân từ đến hai vế có x f ( x) 2018 f (t ) 1 t x t t 2020 2021 t 2021 dx x , t 0;1 2021 2021 2018 t t f (t )dt 2021 2021 2019.2021 Câu 106 Cho hàm số f x có đạo hàm R thỏa mãn f x 2018 f x 2018.x2017 e2018 x với x f 2018 Tính giá trị f 1 A f 1 2019e2018 B f 1 2018.e2018 C f 1 2018.e2018 D f 1 2017.e2018 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn A + P ( x ) 2018 dx 2018 x + Nhân hai vế với e 2018 x ta ' f x e 2018 x 2018e 2018 x f x 2018.x 2017 f ( x )e 2018 x 2018.x 2017 + Lấy tích phân từ đến hai vế ta f ( x) e 2018 x | 2018x 2017 dx f (1) 2019e2018 Câu 107 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f xf x f x x x với x 0;1 Tích phân xf x dx A e4 8e B C D e4 4e Lời giải Chọn A 2 2 Nhân hai vế giả thiết với e x ta e x xf x e x f x e x x x 1 e x f x x 3e x xe x 2 ex x2 x2 e f x x x 1 e dx x C f x x Ce x 2 2 Do f C f x x e x 1 e4 1 Vậy xf x dx x x e x dx 8e 0 2 Câu 108 (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0, Biết f 0 2e f x thỏa mãn đẳng thức f ' x sin x f x cos x.ecos x , x 0, Tính I f x dx (làm tròn đến phần trăm) A I 6,55 B I 17, 30 C I 10,31 D I 16,91 Lời giải Chọn B f ' x sin x f x cos x.e cos x Chia hai vế đẳng thức cho ecos x ta f ' x e cos x e cos x sin x f x cos x (vế trái có dạng u ' v uv ' ) f x e cos x ' cos x f x e cos x 'dx cos x.dx f x e cos x sin x C Do f 2e nên 2e.e 1 C C Vậy f x sin x ecos x sin x e cos x I f x dx ecos x sin x dx 0 Sử dụng MTCT (để đơn vị rad) KQ: 10,31 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 109 Suy Cho hàm số y f x liên tục \ 0; 1 thỏa mãn điều kiện f 1 2ln x x 1 f x f x x x Giá trị f 2 a b ln , với a, b Tính a b A 25 B C D 13 Lời giải Chọn B + Trước tiên ta đưa phương trình dạng tổng quát f x + P( x ) f x x x 1 x dx ln (ta cần xét x>0) x( x 1) x 1 ' + Nhân hai vế cho e P ( x ) ta f x x x x x f ( x ) f x x x 1 x 1 x 1 x 1 + Lấy tích phân từ đến hai vế ta có 2 3 x x 3 dx x ln x 1 f ln Suy a b f ( x) 1 2 x 1 x 1 2 Vậy a b Câu 110 Cho hàm số f x liên tục có đạo hàm 0; , thỏa mãn hệ thức 2 x f x tan xf x Biết f f a b ln a, b Tính giá cos x 3 6 trị biểu thức P a b 14 A P B P C P D P 9 9 Lời giải Chọn A x Từ giả thiết cot x f x f x cot x cos3 x cot xdx Nhân thêm vế với e sin x ta có cos xf x sin xf x x x sin xf x cos x cos2 x x dx x tan x ln cos x C cos x Với x f ln 3f 3 Suy sin xf x ln 2C 3 Với x f ln ln C f ln 2ln 2C 6 6 a Suy f f ln P a b 3 6 b 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông