Tổng hợp chuyên đề TÍCH PHÂN THPT giải chi tiết các dạng bài tập về tích phân từ cơ bản đến nâng cao phần đại số, đã được biên soạn tương đối đầy đủ về các dạng bài tập được giải chi tiết. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về toán học lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG.
Tích Phân Hàm Ẩn Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC Tích Phân Hàm Ẩn MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 1) Quy tắc: Nếu - Nếu u = u ( x) f ( x ) g ( x ) ′ = h ( x ) Câu Cho hàm số f ( x) v = v ( x) B f ( x ) g ( x ) = ∫ h ( x ) dx có đạo hàm liên tục khoảng x ( − f ′ ( x ) ) = f ( x ) − 1, ∀x > A ( uv ) ′ = u′v + uv′ Giá trị f ( 2) ( 0; +∞ ) thỏa mãn điều kiện f ( 1) = C D Lời giải Chọn B x ( − f ′ ( x ) ) = f ( x ) − ⇒ xf ′ ( x ) + f ( x ) = x + +)Từ giả thiết, ta có ⇒ xf ( x ) ′ = x + ⇒ xf ( x ) = ∫ ( x + 1) dx ⇒ xf ( x ) = x + x + C +) Lại có f ( 1) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = x + ⇒ f ( ) = Câu Cho hàm số f ( x) f ( x ) + ( x − 1) f ′ ( x ) = A có đạo hàm liên tục khoảng x3 + x + x x2 + f ( ) = − B với ( −1; +∞ ) x ∈ ( −1; +∞ ) f ( ) = e − C thỏa mãn đẳng thức Giá trị f ( 0) f ( ) = D f ( ) = − Lời giải Chọn A +) Từ giả thiết, ta có x ( x + 1) x3 + x + x f ( x ) + ( x − 1) f ′ ( x ) = ⇒ f ( x ) + ( x − 1) ( x + 1) f ′ ( x ) = x +3 x2 + 2 ⇒ f ( x) ( x + 1) + x −1 x x −1 x x − ′ f ′( x) = ⇒ f ′( x) = ÷ f ( x) + x +1 x +1 x + x +1 x +3 x −1 ′ f ( x) ÷ = x +1 ⇒ có ( *) x x +3 thỏa mãn với ⇒ x −1 x x −1 f ( x) = ∫ dx ⇒ f ( x ) = x2 + + C x +1 x +1 x +3 x ∈ ( −1; +∞ ) nên thay x =1 vào ( *) ta có ( *) +) Lại C = −2 Tích Phân Hàm Ẩn x −1 f ( x ) = x + − x +1 Suy f ( ) = − Do Câu (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số x∈¡ A f ( 0) = f ( 1) Giá trị B f ( x) f ' ( x ) + f ( x ) f '' ( x ) = x + x thỏa mãn với C 16 15 D 15 Lời giải Chọn C f ' ( x ) + f ( x ) f '' ( x ) = f ( x ) f ' ( x ) ' f ( x ) f ' ( x ) ' = x + x Ta có: Từ giả thiết ta có: f ( x ) f ' ( x ) = ∫ ( x + x ) dx = x + x + C f ( 0) = ⇒ C = Suy ra: Với f ( x) f '( x) = x + x Nên ta có: ∫ f ( x ) f ' ( x ) dx = ∫ ( x ) + x dx ⇔ 2 f ( x) = Suy ra: 16 ⇒ f ( 1) = 15 15 Câu (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số xf ′ ( x ) + = x 1 − f ( x ) f ′′ ( x ) f ( ) = ln + A f ( ) = ln + f B với x dương Biết ( ) = ln + f ( 1) = f ′ ( 1) = f f ( x) C ( ) = ln + thỏa mãn Giá trị f ( 2) D Lời giải Chọn B xf ′ ( x ) + = x 1 − f ( x ) f " ( x ) ; x > Ta có: 2 ⇔ x f ' ( x ) + = x 1 − f ( x ) f " ( x ) ⇔ f ' ( x ) + x = − f ( x ) f " ( x ) ⇔ f ' ( x ) + f ( x ) f " ( x ) = − ' 1 ⇔ f ( x ) f ' ( x ) = − 2 x x dx ⇒ f ( x ) f ' ( x ) = x + + c1 ÷ x ∫ f ( x ) f ' ( x ) dx = ∫ 1 − x ' Do đó: f ( 1) = f ' ( 1) = ⇒ = + c1 ⇔ c1 = −1 Vì Tích Phân Hàm Ẩn ∫ f ( x ) f ' ( x ) dx = ∫ x + x − 1÷.dx ⇔ ∫ f ( x ) d ( f ( x ) ) = ∫ x + x − 1÷.dx Nên f ( x ) x2 ⇒ = + ln x − x + c2 2 f Vậy ( x) = f ( 1) = ⇒ Vì 1 = − + c2 ⇔ c2 = 2 x + ln x − x + ⇒ f ( ) = ln + 2 Câu (THPT NÔNG CỐNG LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] A f ( x ) + x f ′( x) ≥ x 2018 ∀x ∈ [ 0;1] thỏa mãn 2018.2020 Tìm giá trị nhỏ 1 2019.2020 2020.2021 B C Lời giải ∫ f ( x ) dx D 2019.2021 Chọn D g ( x ) = x3 f ( x ) − x 2021 2021 [ 0;1] Xét hàm số: 2020 g ′ ( x ) = 3x f ( x ) + x f ′ ( x ) − x = x 3 f ( x ) + x f ′( x) − x 2018 ≥ ∀x ∈ [ 0;1] Ta có: g ( x) g ( x ) ≥ g ( ) ∀x ∈ [ 0;1] [ 0;1] Do hàm số không giảm , suy 2021 x x 2018 x f ( x) − ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ f ( x ) ≥ ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] 2021 2021 Hay 1 2018 x ∫0 f ( x ) dx ≥ ∫0 2021 dx = 2019.2021 Vậy: x 2018 f ( x) = 2021 Đẳng thức xảy u ′ u′v − uv′ ÷= u = u ( x) v = v ( x) v2 v v ≠ 2) Quy tắc: Nếu với f ( x ) ′ f ( x) = h ( x) = h ( x ) dx ÷ ÷ g ( x) ∫ g ( x) - Nếu ′ −u ′ ÷= u = u ( x) u u u≠0 Hệ quả: Nếu với Tích Phân Hàm Ẩn - Nếu ′ = g ( x) ÷ ÷ f ( x) = g ( x ) dx f ( x) ∫ Câu (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số f ′ ( x ) = x f ( x ) , ∀x ∈ ¡ − A 35 36 B Giá trị − f ( 1) f ( x) f ( 2) = − thỏa mãn − C 19 36 − D 15 Lời giải Chọn B ′ f ′ ( x ) = x f ( x ) ⇒ = 2x ⇒ = − ∫ xdx = −2 x ⇒ f ( x) f ( x ) f ( x ) f ′( x) +)Ta có ⇒ = − x2 + C f ( x) +) Lại có 1 f ( 2) = − ⇒ C = − ⇒ = − x − ⇒ f ( 1) = − f ( x) Câu (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số khoảng A ( 0; + ∞ ) f ( 2) = e thỏa mãn x2 f ′ ( x ) + f ( x ) = B f ( 2) = e y = f ( x) có đạo hàm liên tục f ( x ) ≠ ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) f ( 2) f ( 1) = e , Tính biết C f ( ) = 2e D f ( 2) = e Lời giải Chọn D f ( x ) ≠ ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ f ( x ) = ( 0; + ∞ ) Ta có , khơng có nghiệm khoảng ( 1; ) ⇒ f ( 1) f ( ) > ∀x ∈ ( 1; ) ⇒ f ( x) = khơng có nghiệm khoảng , f ( 1) = e > f ( 2) > Mà nên f ′( x) =− 2 x f ′( x) + f ( x) = ⇔ x f ( x) Do 2 f ′( x) 1 d x = − ∫1 x ∫1 f ( x ) dx ⇔ − x = − ln f ( x ) Suy 1 − − 1÷ = − ln f ( ) − ln f ( 1) = − ln f ( ) − ln e ⇔ 2 ⇔ ( ) Tích Phân Hàm Ẩn 1 = − ln f ( ) + ln f ( ) = f = e = e ( ) ⇔ ⇔ ⇔ Câu Cho hàm số A f ( 1) = f ( x) thỏa mãn B f ′ ( x ) = xf ( x ) C 16 với x∈¡ Giá trị 16 D f ( 2) Lời giải Chọn B ′ x3 2 = x ⇒ = − x ⇒ = − x dx = − +C ∫ f ( x) f ( x) f ( x ) f ′( x) +) Từ giả thiết, ta có 10 − x + 10 f ( 1) = ⇒ C = ⇒ = ⇒ = ⇒ f ( 2) = 3 f ( x) f ( 2) +) Lại có f ( x) Câu (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số f ( x ) ≠ 0, ∀x > A (x ) +1 f ' ( x ) = f ( x ) − B (x thỏa mãn điều kiện ) −1 với − C x>0 f ( 1) = Giá trị , f ( 2) D Lời giải Chọn D ( ) x2 + f ' ( x ) = f ( x ) Ta có Lấy tích phân vế (*) f '( x) ∫ f ( x) 2 dx = ∫ ( [ 1; 2] ( ) x2 − ⇔ f '( x) f ( x ) = x2 −1 (x ) +1 ∀x ∈ [ 1; ] (*) ta 1− x dx dx ⇔ − =∫ 2 f ( x) 1 1 x2 + x+ ÷ x x2 −1 ) 1 d x + ÷ 1 1 x ⇔− + =∫ ⇔− + =− 11 f ( ) f ( 1) f ( 2) 1 x+ ÷ x+ ÷ x x ⇔− 1 + = − + ⇔ f ( 2) = f ( 2) 2 Tích Phân Hàm Ẩn Câu 10 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 2] f ( 1) = − thỏa mãn ( ) f ( x ) + xf ′ ( x ) = x + x f ( x ) , ∀x ∈ [ 1; ] A ln B ∫ xf ( x ) dx Giá trị tích phân ln ln C D Lời giải Chọn B ( f ( x ) + xf ′ ( x ) ) f ( x ) + xf ′ ( x ) = x + x f ( x ) ⇒ xf ( x ) = 2x + +) Từ giả thiết, ta có ′ 1 ⇒ = ∫ ( −2 x − 1) dx ⇒ = − x − x + C = −2 x − ⇒ xf ( x ) xf ( x ) xf ( x ) 2 1 −1 f ( 1) = − ⇒ C = ⇒ xf ( x ) = − ⇒ ∫ xf ( x ) dx = ∫ dx x ( x + 1) x x + ( ) 1 +) Lại có 1 x +1 = ∫ − ÷dx = ln = ln x +1 x x 1 Câu 11 Cho hàm số f ( x) f ′′ ( x ) + f ′ ( x ) − x = có đạo hàm liên tục đoạn A T = + ln Tính B T = f ( 1) − f ( ) T =9 [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ′ ( 0) = T= C + ln 2 D T = − ln Lời giải Chọn C f ′′ ( x ) + f ′ ( x ) − x = ⇒ ( f ′′ ( x ) − 1) = − f ′ ( x ) − x Ta có −∫ Lấy nguyên hàm hai vế Do f ′ ( 0) = C= nên f ′′ ( x ) − f ′ ( x ) − x f ′′ ( x ) − 1 x dx = ∫ dx ⇒ = +C f ' ( x ) − x f ′( x) − x f ′( x) − x = suy = 9 ⇒ f ′( x) = +x x +1 x +1 x2 T = f ( 1) − f ( ) = ∫ + x ÷dx = ln x + + ÷ = 9ln + 0 x +1 0 Vậy ⇒− Tích Phân Hàm Ẩn f ( x) ≠ Câu 12 Cho hàm số thỏa mãn điều kiện f ( 0) = − f ′ ( x ) = ( x + 3) f ( x ) f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = tổng Mệnh đề sau đúng? a a < −1 >1 b b A B a b với C ( a∈¡ , b∈¡ a + b = 1010 + ) a b Biết phân số tối giản D b − a = 3029 Lời giải Chọn D Ta có ⇔∫ f ′ ( x ) = ( x + 3) f f ′( x) f ( x) ( x) ⇔ f ′( x) f ( x) dx = ∫ ( x + 3) dx ⇔ − = 2x + = x + 3x + C f ( x) Vì Vậy 1 f ( x) = − = − ( x + 1) ( x + ) x + x + 1 f ( 0) = − ⇒ C = 2 f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = Do a = −1009 b = 2020 b − a = 3029 Vậy ; Do Câu 13 Cho hàm số y = f ( x) 1 1009 − =− 2020 2020 có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 2] thỏa mãn f ( 1) = f ( x ) − ( x + 1) f ′ ( x ) = xf ( x ) , ∀x ∈ [ 1; ] A + ln B ∫ f ( x ) dx Giá trị 1 − ln C − ln 2 D + ln 2 Lời giải Chọn D f ( x ) − ( x + 1) f ′ ( x ) = xf ( x ) ⇒ f ( x ) − ( x + 1) f ′ ( x ) f ( x) +) Từ giả thiết, ta có x + ′ x +1 x +1 ⇒ = ∫ xdx ⇒ = x + C = 2x ⇒ f ( x) f ( x) f ( x ) f ( 1) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = +) Lại có = 2x 1 1 + ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ + ÷dx x x x x 1 Tích Phân Hàm Ẩn 12 = ln x − = + ln x1 f ( x) Câu 14 Cho hàm số f ( x ) − f ′ ( x ) = f ( x ) số y = f ( x) A ln có đạo hàm liên tục đoạn với x ∈ [ 0;1] [ 0;1] f ( 0) = thỏa mãn S Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm , trục hoành hai đường thẳng ln B x = 0; x = C ln12 D ln Lời giải Chọn B f ( x ) − f ′ ( x ) = f ( x ) ⇒ f ( x) − f ′( x) f ( x ) +) Ta có e )′ f ( x) − e f ′( x) ( ⇒ =e x x f ( x ) x 2 = 1⇒ ex f ( x) − ex f ′( x ) S= +) Do e x ∫ 2+e x ( dx = ln + e x f ( x) Câu 15 Cho hàm số x e e f ( 0) = ⇒ C = ⇒ = ex + ⇒ f ( x ) = f ( x) + ex ln e + e +) Từ giả thiết, ta có = ln − ln = ln xác định có đạo hàm liên tục khoảng Chọn B ln )0 x ( f ′ ( x ) − x ) = f ( x ) − 1, ∀x > A = ex e x ′ ex x ⇒ = ∫ e x dx = e x + C =e ⇒ f ( x) f ( x ) x +) Lại có f ( x ) B Giá trị e + ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( 1) = f ( e) e − e C Lời giải D e2 − x ( f ′ ( x ) − x ) = f ( x ) − ⇒ xf ′ ( x ) − f ( x ) = x − ⇒ xf ′ ( x ) − f ( x ) x − xf ′ ( x ) − ( x ) ′ f ( x ) x − f ( x ) ′ = ⇒ = ⇒ = 1− 2 x x x x x x ⇒ f ( x) = x + + C x x 10 Tích Phân Hàm Ẩn ( x − 1) k2 ⇒ f ( x) = ⇔ − 2k + =0 +C ⇔ k = ⇒ f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 1) 7 C = − ⇒ f ( x) = − f ( 2) = 4 Do nên ( x − 1) = − x I = ∫ ( x − 1) − dx = − 41 Vậy Câu 89 (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm hàm liên tục đoạn [ 1; 2] thỏa mãn f ( ) =0 ∫ ( f ′( x) ) , dx = 45 f ( x) có đạo ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = − 30 Tính I = ∫ f ( x ) dx A I =− 36 I =− B 15 I= C 12 I =− D 12 Lời giải Chọn D E = ∫ ( x − 1) f ( x ) dx Xét: Đặt ( x − 1) ⇒E= 2 du = f ′ ( x ) dx u = f ( x ) ⇒ x − ( ) dv = ( x − 1) dx v = 2 2 ( x − 1) ( x − 1) f ′ x dx ( x − 1) ′ f ( x) − ∫ f ′ ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx = − ( ) ⇒ −∫ 1 2 30 1 ⇒ ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = 2 15 Ta có: k để ⇔ 1 1 − 2k + k = ⇔ k = 45 15 Khi đó: ) 2 dx = 45 2 dx = ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) ) dx − 2k ∫ f ′ ( x ) ( x − 1) dx + k ∫ ( x − 1) dx = ∫ f ′ ( x ) − ( x − 1) ∫ ( f ′( x) ) ∫( 2 f ′ ( x ) − k ( x − 1) ∫1 ( x − 1) dx = ∫ ( f ′ ( x ) − k ( x − 1) ) dx = Ta tìm số 2 2 1 ÷ dx = ⇔ f ′ ( x ) − ( x − 1) = ⇔ f ( x ) = ( x − 1) + C 57 Tích Phân Hàm Ẩn f ( 2) = ⇒ C = Mà y = f ( x) Câu 90 (THPT NGHÈN LẦN 1) Cho hàm số f ( 1) = mãn I= A ∫ x f ( x ) dx = , I= B A = ∫ x f ( x ) dx Đặt Tính tích phân I= C Lời giải du = f ′ ( x ) dx u = f ( x ) ⇒ x2 dv = xdx v = I= D ∫ f ′ ( x ) trở thành ( f ′ ( x ) − 3x ) 2 2 ′ f x ( ) ∫0 dx − 2k ∫ x f ′ ( x ) dx + k ∫ x dx = ( 1) ⇔ − 2k + k = ⇔ k = 0 5 5 1 ( 1) I = ∫ f ( x ) dx x 1 1 f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx = ⇔ ∫ x f ′ ( x ) dx = 20 20 0 ⇒ A= + Xét thỏa ∫ f ′ ( x ) dx = [ 0;1] có đạo hàm liên tục đoạn 1 Chọn C Xét −1 1 1 3 1 ⇒ f ( x ) = ( x − 1) − ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x − 1) − dx = − 9 9 9 12 1 1 0 ( dx − ∫ x f ′ ( x ) dx + 9∫ x 4dx = ⇔ ∫ f ′ ( x ) − 3x ) dx = ≥ ⇒ ∫ ( f ′ ( x ) − x ) dx ≥ ∫ ( f ′ ( x ) − 3x ) 2 dx = ⇔ f ′ ( x ) − x = 0 Do f ( 1) = ⇒ f ( x ) = x 1 0 ⇔ f ′ ( x ) = x ⇒ f ( x ) = ∫ x dx = x + C I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx = Câu 91 (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ −1;1] thỏa f ( 1) = , ( f ′( x) ) + f ( x ) = x + 16 x − với x thuộc [ −1;1] ∫ f ( x ) dx Giá trị 58 Tích Phân Hàm Ẩn − A B C − D Lời giải Chọn A Cách 1 I = ∫ f ( x ) dx −1 Đặt Dùng tích phân phần, ta có: I = ( x + 2) f ( x ) u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇒ v = x + dv = 2dx 1 −1 −1 −1 − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx = f ( 1) − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx = − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx −1 1 ( f ′( x) ) Ta có ⇔ ∫( −1 + f ( x ) = x + 16 x − ⇒ ∫ ( f ′( x) ) −1 1 −1 −1 1 dx + ∫ f ( x ) dx = f ′ ( x ) ) dx − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx + ∫ ( x + ) dx = −1 ∫( −1 ∫ ( 8x ) + 16 x − dx −1 ) x + 16 x − dx + ∫ ( x + ) dx −1 ⇔ ∫ f ′ ( x ) − ( x + ) dx = ⇔ f ′ ( x ) = x + ⇒ f ( x ) = x2 + x + C C ∈ ¡ −1 , f ( 1) = ⇒ C = −3 ⇒ f ( x ) = x + x − 1 0 ( ) ⇒ ∫ f ( x ) d x = ∫ x + x − dx = − Mà Cách f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) Chọn (lý do: vế phải hàm đa thức bậc hai) ⇒ f ′ ( x ) = 2ax + b Ta có: ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) = 8x + 16 x − ⇒ ( 2ax + b ) + ( ax + bx + c ) = 8x + 16x − ( ) ⇔ 4a + 4a x + ( 4ab + 4b ) x + b + 4c = x + 16 x − 4a + 4a = a = ⇒ 4ab + 4b = 16 ⇔ b = b + 4c = −8 c = −3 a = −2 b = −4 c = −6 f ( 1) = ⇒ a + b + c = ⇒ a = b = c = −3 Do , f ( x) = x + 2x − Vậy 1 0 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + x − 3) dx = − 59 Tích Phân Hàm Ẩn Câu 92 (THUẬN-THÀNH-BẮC-NINH) Cho hàm số f ( x) [ 0;1] có đạo hàm liên tục đoạn thỏa f ( 1) = mãn bằng? A 23 15 ( f ′( x) ) ( ) + x − f ( x ) = 40 x − 44 x + 32 x − 4, ∀x ∈ [ 0;1] B 13 15 − C 17 15 ∫ f ( x ) dx Tích phân − D 15 Lời giải Chọn B ( f ′ ( x ) ) + ( x − 1) f ( x ) = 40 x − 44 x + 32 x − 1 ( ) ( ) ⇒ ∫ ( f ′ ( x ) ) dx + ∫ x − f ( x ) dx = ∫ 40 x − 44 x + 32 x − dx. ( 1) 0 1 0 I = ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = ∫ ( 24 x − ) f ( x ) dx Xét Đặt u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇒ dv = 24 x − dx v = x − x ( ) 1 ⇒ I = ( x − x ) f ( x ) − ∫ ( x − x ) f ′ ( x ) dx = − ∫ ( x − x ) f ′ ( x ) dx 3 0 Do đó: ( 1) ⇒ ∫ ( f ′ ( x ) ) ( ) ( ) ( ) dx − 2∫ x − x f ′ ( x ) dx + ∫ x − x dx = ∫ 56 x − 60 x + 36 x − dx 3 ⇒ ∫ f ′ ( x ) − ( x − x ) dx = ⇒ f ′ ( x ) = x3 − x ⇒ f ( x ) = x − x + c Mà f ( 1) = ⇒ c = ⇒ f ( x ) = x − x + 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x Do 0 − x + 1) dx = 13 15 Câu 93 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN LẦN 2) Cho hàm số π [ 0; π ] A thỏa mãn: π π ∫0 f ′ ( x ) dx = ∫0 cos x f ( x ) dx = 2 B π +1 f ( x) π f ÷= 2 C π có đạo hàm liên tục đoạn π ∫ f ( x ) dx Khi tích phân D π −1 60 Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn B π I = ∫ cos x f ( x ) dx *) Xét tích phân u = f ( x ) dv = cos xdx ⇒ Đặt I = sin x f ( x ) d u = f ′ ( x ) dx v = sin x π π 0 − ∫ sin x f ′ ( x ) dx = − ∫ sin x f ′ ( x ) dx π I= Theo giả thiết π π π ∫ sin x f ′ ( x ) dx = − , suy π *) Tìm số thực π k thỏa mãn f ′ ( x ) + k sin x = π π 0 ∫ f ′ ( x ) + k.sin x dx = Khi ⇔ ∫ f ′ ( x ) dx + ∫ 2k sin x f ′ ( x ) dx + ∫ k sin xdx = π π π + 2k − ÷+ k = ⇔ 2 ⇔ k − 2k + = ⇔ k = f ′ ( x ) + sin x = ⇒ f ′ ( x ) = − sin x ⇒ f ( x ) = cos x + C Từ đó, π f ÷= f ( x ) = cos x + 2 C =1 Do nên Vậy π π ∫ f ( x ) dx = ∫ ( cos x + 1) dx = ( sin x + x ) π 0 *) Ta có Trắc nghiệm: π π ∫0 f ′ ( x ) dx = 2 Từ giả thiết Từ giải tiếp phần π = 1+ π π ∫ sin x f ′ ( x ) dx = − ta suy π Câu 94 Cho hàm số π f ( x) ∫ f ′ ( x ) , π 2 dx = π π ∫ cos x f ( x ) dx = π có đạo hàm liên tục thỏa mãn π f ÷= 2 f ′ ( x ) = − sin x Tính f ( 2018π ) 61 Tích Phân Hàm Ẩn A −1 B C D Lời giải Chọn D Bằng cơng thức tích phân phần ta có π π ∫ cos xf ( x ) dx = sin xf ( x ) π π π ∫ sin π Hơn ta tính π ∫ f ′ ( x ) Do đó: Ta π π π − ∫ sin xf ′ ( x ) dx Suy π 2 − cos x π x − sin x dx = = π π π π π 0 dx + ∫ sin xf ′ ( x ) dx + ∫ sin xdx = ⇔ ∫ f ′ ( x ) + sin x dx = Câu 95 Cho hàm số f ( x) 0 A I = 2−e B C=0 thỏa mãn f ( 1) = e2 − I = e−2 nên [ 0;1] I = ∫ f ( x ) dx Tính tích phân có đạo hàm liên tục đoạn π f ÷= 2 f ( x ) = cos x + C x ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = π Do Vì f ( x ) = cos x ⇒ f ( 2018π ) = cos ( 2018π ) = 1 π ∫ sin xf ′ ( x ) dx = − xdx = ∫ f ′ ( x ) = − sin x Suy π I= C e I= D e −1 Lời giải Chọn B A = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx x Xét Đặt u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇒ x x v = xe dv = ( x + 1) e dx 1 A = xe f ( x ) − ∫ xe f ′ ( x ) dx = − ∫ xe f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ xe x f ′ ( x ) dx = x Suy x 0 1 e2 −1 1 ∫0 x e dx = e x − x + ÷ = 2x ∫ f ′ ( x ) Ta có Suy − e2 1 Xét x 2x 1 ( dx + 2∫ xe f ′ ( x ) dx + ∫ x e dx = ⇔ ∫ f ′ ( x ) + xe x x 2x f ′ ( x ) + xe x = ∀x ∈ [ 0;1] 0 ( f ′ ( x ) + xe ) x (do ≥ ∀x ∈ [ 0;1] ) dx = ) 62 Tích Phân Hàm Ẩn ⇒ f ′ ( x ) = − xe x ⇒ f ( x ) = ( − x ) e x + C f ( 1) = Do f ( x) = ( 1− x) ex nên 1 0 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( − x ) e x dx = ( − x ) e x = e − Vậy Câu 96 (THPT-TỒN-THẮNG-HẢI-PHỊNG) Cho hàm số f ( 1) = thỏa mãn − ln 2 A ∫ f ′ ( x ) dx = , − ln 2 B ∫ ( x + 1) C có đạo hàm liên tục dx = ln − − ln 2 f ( x) f ( x) ∫ f ( x ) dx Tích phân − ln 2 [ 0;1] D − ln 2 Lời giải Chọn A Ta có: 1 x f ′ ( x ) f ( 1) x f ′ ( x ) x f ′ ( x ) x x f ( x ) d x = f x d = − d x = − d x = − ( ) ÷ ∫0 ( x + 1) ∫0 ∫0 x + ∫0 x + dx x + ∫0 x + x +1 f ( x) ⇒∫ 1 x f ′ ( x ) x +1 f ( x) dx = − ∫ ( x + 1) dx = − ln 2 Mặt khác: 2 1 x ∫0 x + ÷ dx = ∫0 1 − x + ÷ dx = ∫0 1 − x + + ( x + 1) dx = x − ln x + − x + ÷ = − ln Khi đó: ∫ f ′ ( x ) dx − ∫ x f ′ ( x ) x 3 dx + ∫ ÷ dx = − ln − − ln ÷+ − ln = x +1 x +1 2 0 x x ⇔ ∫ f ′ ( x ) − f ′( x) + ÷ dx = x + x + 0 x ⇔ ∫ f ′( x) − dx = ( *) x + Vì x f ′ ( x ) − x + ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] Dấu "=" xảy ⇔ f ′( x) − nên x ∫0 f ′ ( x ) − x + 1 dx ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] x x = 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ f ′ ( x ) = , ∀x ∈ [ 0;1] x +1 x +1 63 Tích Phân Hàm Ẩn ∫ Khi đó: 1 0 f ( x ) dx = x f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) dx = − ∫ 1 x2 dx = − ∫ x − + ÷dx x +1 x +1 0 x2 1 − ln = − − x + ln x + ÷ = − ln = 0 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP f ′( x) + p ( x) f ( x) = h ( x) Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức Phương pháp: P( x ) = ∫ p ( x )dx + Tìm p ( x ) dx e∫ + Nhân hai vế với ta p x dx p x p ( x ) dx ( ) ( ) dx f ′ ( x ) e ∫ + p ( x ) e ∫ f ( x ) = h ( x ) e ∫ ⇔ f '( x ) e P ( x ) + p ( x).e P ( x ) f ( x) = q ( x ) e P ( x ) ⇔ f ( x ) e ∫ p ( x ) dx ′ = h x e ∫ p( x ) dx ( ) + Lấy tích phân hai vế ta f ( x)e P ( x ) = ∫ q ( x )e P ( x ) dx Hệ 1: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức Phương pháp: e x f ′ ( x ) + e x f ( x ) = e x h ( x ) ⇔ e x f ( x ) ′ = e x h ( x ) ex + Nhân hai vế với ta x e f ( x ) = ∫ e x h ( x ) dx + Suy + Từ ta dễ dàng tính f ( x) Hệ 2: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức Phương pháp: e− x f ( x) Từ suy f ′( x) + f ( x) = h ( x ) f ′( x) − f ( x) = h ( x) e − x f ′ ( x ) − e − x f ( x ) = e − x h ( x ) ⇔ e − x f ( x ) ′ = e − x h ( x ) + Nhân hai vế với ta −x e f ( x ) = ∫ e − x h ( x ) dx + Suy f ( x) + Từ ta dễ dàng tính Câu 97 (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số f ( x ) + f ′ ( x ) = x3 , ∀x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) f ( x) thỏa mãn f ( 0) = 64 Tích Phân Hàm Ẩn −4 + A 10 e B −10 −2 C −2 + D 10 e Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) = x 3e x ⇒ e x f ( x ) ′ = x 3e x ⇒ e x f ( x ) = ∫ x 3e x dx ⇒ e x f ( x ) = x3e x − 3∫ x e x dx = x 3e x − 3x 2e x + ∫ xe x dx = x3e x − 3x 2e x + ( x − 1) e x + C f ( ) = ⇒ C = 10 ⇒ f ( x ) = x − 3x + x − + +) Lại có Câu 98 Cho f ( x) f ( 1) = thỏa mãn e 10 10 ⇒ f ( 1) = −2 + x e e ( ) f ' ( x ) + 3x f ( x ) = 15x + 12x e − x , ∀x ∈ R I = ∫ f ( x ) dx Tính I = 3+ A e B I = 3− I = 2e − C e D I = 2e+1 Lời giải Chọn C ( e f ( x) ) 3x Ta có Do đó: ) ( ) ( ) ⇒ C = ⇒ f ( x ) = 3x + 6x e −3x e ( Khi ( = e3x f ' ( x ) + 3x f ( x ) = e3x 15x + 12x e −3x = 15x + 12x e3 x f ( x ) = ∫ (15x + 12x )dx=3x + 6x + C ⇒ f ( x ) = 3x + 6x + C e −3x f ( 1) = Vì ' (( ) ) I = ∫ f ( x ) dx = ∫ 3x + 6x e −3x dx = − e 0 Câu 99 Cho hàm số f ( x) ) có đạo hàm đến cấp hai liên tục ¡ thỏa mãn f ′ ( 0) = f ( 0) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) = x + x , ∀x ∈ ¡ A 107 21 − 12 e B 107 12 − 21 e ∫ f ( x ) dx Tích phân 107 21 + 12 e C D 107 12 + 21 e Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có: f ( x ) + f ′ ( x ) + ( f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) ) = x + x ⇔ f ( x ) + f ′ ( x ) + ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) ′ = x + x 65 Tích Phân Hàm Ẩn ( ( ) x ⇔ ex ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) + ex ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) ′ = e x x3 + 2x2 ⇔ e ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) ( ) ( )′ = e ( x x + 2x2 ) ) ⇔ e x ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) = ∫ e x x + x dx = e x x − x + x − + C Mặt khác f ( 0) = f ′ ( 0) = ( e f ( x) )′ = e ( x x x nên x x + = −2 + C ⇔ C = ⇔ e ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) = e ( x − x + x − ) + ) − x2 + 2x − + Do ⇒ e x f ( x ) = ∫ e x ( x − x + x − ) + dx = e x ( x − x + 10 x − 12 ) + x + C f ( ) = ⇔ C = 13 ⇔ f ( x ) = ( x + 13 ) e − x + x − x + 10 x − 12 1 0 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + 13 ) e − x + x − x + 10 x − 12 dx = 107 21 − 12 e Câu 100 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , f ( 0) = f ′ ( x ) = f ( x ) + e x + 1, ∀x ∈ [ 0;1] A 2e − B I = ∫ f ( x ) dx Tính ( e − 1) C 1− e D − 2e Lời giải Chọn B f ′ ( x ) = f ( x ) + e x + ⇔ f ′ ( x ) − f ( x ) = e x + ⇔ e− x f ′ ( x ) − e− x f ( x ) = + e − x Ta có ⇔ e − x f ( x ) ′ = + e − x ⇒ e − x f ( x ) = x − e − x + C ⇒ f ( x ) = xe x − + Ce x x f ( 0) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = ( x + 2) e − Do I = ∫ ( x + ) e x − 1 dx = ( e − 1) Do Câu 101 Cho hàm số x∈¡ A f ( ) = −1 , 6e3 + f ( x) Tính f ( 3) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ′ ( x ) = f ( x ) + x 2e x + , với ? B 6e + C 3e − D 9e − Lời giải Chọn D Ta có: ( −x f ′ ( x ) − f ( x ) = x 2e x + ⇔ e − x f ′ ( x ) = x + e − x ⇔ e f ( x ) )′ = x + e− x 66 Tích Phân Hàm Ẩn ( x3 x 3e x − e−x + C ⇔ f ( x ) = − + Ce x 3 ) e − x f ( x ) = ∫ e − x f ( x ) dx = Do đó: x xe f ( ) = −1 ⇒ −1 = −1 + C ⇔ C = ⇒ f ( x ) = − ⇒ f ( 3) = 9e − Câu 102 (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số ( ) f ′( x) − f ( x) = x +1 e 3e − x + x −1 , ∀x ∈ ¡ 12 A B có đạo hàm f ( 1) = e 17 5e f ( x) ¡ thỏa mãn f ( 5) Giá trị 5e17 − C Lời giải D 3e12 Chọn B Ta ( có: ( ) ( ) ⇔ e f ( x) = x +1 e ⇒∫ ' −x ( ) I2 = ∫ e Xét: x −1 ( x + x −1 ( ) ⇔ f ′( x) e − e f ( x) = x +1 e −x −x x −1 x −1 e f ( x ) ′ dx = ∫ x + e −x ) f ′( x) − f ( x) = x +1 e ) x −1 dx ⇔ e f ( x ) = ∫ x e −x x −1 dx + ∫ e x −1 dx ⇔ e −5 f ( ) − = I1 + I ( *) dx x −1 u = e ⇒ du = xe dx dv = dx v = x x −1 Đặt: I = xe x −1 5 − ∫ x 2e x −1 dx = 5e12 − − I1 Câu 103 Cho hàm số f ( x) −5 12 17 ⇔ I1 + I = 5e12 − ( *) ⇔ e f ( ) − = 5e − ⇔ f ( ) = 5e f ( 1) = e ( x + ) f ( x ) = xf ′ ( x ) − x3 với có đạo hàm ¡ thỏa mãn f ( 2) x ∈ ¡ Tính A 4e + 4e − B 4e − 2e +1 C 2e − 2e + D 4e − 4e + Lời giải Chọn A x + ) f ( x ) = xf ′ ( x ) − x ⇔ f ′ ( x ) − ( Biến đổi giả thiết x+2 f ( x ) = x2 x ′ e e− x f ′ ( x ) ( x + ) − x −x ⇔ f ( x ) = e− x ⇔ − e f x = e ( ) x x2 x3 −x 67 Tích Phân Hàm Ẩn e− x f ( x ) = ∫ e − x dx = − e − x + C ⇒ f ( x ) = − x + Cx e x x ⇒ Mà e +1 2 x −1 e ⇒ f ( x ) = − x + ( e + 1) x e f ( 1) = e ⇒ C = Vậy, f ( ) = − + 4e ( e + 1) = 4e + 4e − y = f ( x) Câu 104 Cho hàm số f ′( x) có liên tục nửa khoảng [ 0; +∞ ) thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) = + 3.e−2 x Khi đó: 1 e3 f ( 1) − f ( ) = − e +3 A e3 f ( 1) − f ( ) = (e e3 f ( 1) − f ( ) = B + 3) e + − e +3 − C ( e3 f ( 1) − f ( ) = e + D ) e2 + − Lời giải Chọn C e2 x + ex f ( x ) + f ′ ( x ) = + 3.e−2 x = Ta có: e3x Nhân hai vế giả thiết với ta ⇔ e3 x f ( x ) ′ = e2 x e x + Lấy tích phân từ ⇔ e f ( x ) = 3x đến ( ⇒ 3e3 x f ( x ) + e3 x f ′ ( x ) = e2 x e x + 1 0 ′ 3x 2x 2x ∫ e f ( x ) dx = ∫ e e + dx hai vế ta e +3 2x ) 31 Câu 105 Trong hàm số ⇔e f ( x) (e f ( 1) − f ( ) = + 3) e + − liên tục có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f ( x ) + xf ' ( x ) ≥ x 2018 A 2019.2021 I = ∫ f ( x)dx Giá trị nhỏ 2018.2021 B C 2020.2021 D 2017.2021 Lời giải Chọn A f ( x ) + xf ' ( x ) ≥ x 2018 ⇔ f ' ( x ) + + + P ( x) = 3ln x ⇒ e P ( x ) = x3 f ( x ) ≥ x 2017 , x ≠ x 68 Tích Phân Hàm Ẩn x3 + Nhân hai vế (*) cho ( ta (x f ( x) ) t t ≥ ∫ x 2020 dx = + Lấy tích phân từ đến hai vế có 1 2018 t 2018 t ⇒ f (t ) ≥ ⇒ ∫ f (t )dt ≥ ∫ = 2021 2021 2019.2021 f ( x) Câu 106 Cho hàm số có đạo hàm f ( ) = 2018 x∈¡ f ( 1) = 2019e 2018 A f ( 1) = 2017.e 2018 ) ' x f ' ( x ) + x f ( x) ≥ x 2019 ⇒ x f ( x) ≥ x 2020 R t , ∀x ∈ [ 0;1] 2021 2021 t x = , ∀t ∈ [ 0;1] 2021 2021 thỏa mãn f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 e 2018 x với f ( 1) Tính giá trị f ( 1) = 2018.e −2018 B C f ( 1) = 2018.e 2018 D Lời giải Chọn A P( x) = − ∫ 2018 dx = −2018 x + e −2018x + Nhân hai vế với ta f ′ ( x ) e −2018 x − 2018e −2018 x f ( x ) = 2018.x 2017 ⇒ ( f ( x )e −2018 x ) = 2018.x 2017 ' + Lấy tích phân từ đến hai vế ta ( f ( x )e −2018 x ) | = ∫ 2018x 1 2017 Câu 107 Cho hàm số f ( x) dx ⇒ f (1) = 2019e 2018 có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 0) = ( ) xf ( x ) + f ′ ( x ) = x x − A e−4 8e với B x ∈ [ 0;1] ∫ xf ( x ) dx Tích phân C D e−4 4e Lời giải Chọn A ex Nhân hai vế giả thiết với ta 2 ′ ⇔ e x f ( x ) = x3e x − xe x ⇒ ( ) e x xf ( x ) + e x f ′ ( x ) = e x x x − 2 2 2 ex e f ( x ) = ∫ x ( x − 1) e dx = x − ) + C ⇒ f ( x ) = ( x − ) + Ce − x ( 2 x2 x2 69 Tích Phân Hàm Ẩn f ( 0) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = Do 1 2 x − + e− x ( ) e−4 1 − x2 xf x dx = x x − + e ( ) ∫0 ∫0 dx = 8e Vậy ( ) Câu 108 (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2) Cho hàm số f ( ) = 2e f ( x) thỏa mãn đẳng thức f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0, π ] f ' ( x ) + sin x f ( x ) = cos x.ecos x , ∀x ∈ [ 0, π ] Biết Tính π I = ∫ f ( x ) dx (làm tròn đến phần trăm) I ≈ 6,55 I ≈ 17,30 A B C I ≈ 10,31 D I ≈ 16,91 Lời giải Chọn B f ' ( x ) + sin x f ( x ) = cos x.e cos x ecos x Chia hai vế đẳng thức cho ta f ' ( x ) e− cos x + e− cos x sin x f ( x ) = cos x u ' v + uv ' (vế trái có dạng ) − cos x − cos x ⇔ ( f ( x ) e ) ' = cos x ⇔ ∫ ( f ( x ) e ) 'dx = ∫ cos x.dx ⇔ f ( x ) e− cos x = sin x + C Do f ( ) = 2e f ( x) = −1 nên π π 0 2e.e = C ⇒ C = Vậy sin x + = ecos x ( sin x + ) − cos x e I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ecos x ( sin x + ) dx Sử dụng MTCT (để đơn vị rad) KQ: 10,31 Câu 109 Suy Cho hàm số y = f ( x) x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x + x A 25 Giá trị B liên tục ¡ \ { 0; − 1} f ( ) = a + b ln thỏa mãn điều kiện a, b ∈ ¡ , với C Lời giải Tính a + b2 f ( 1) = −2 ln D 13 Chọn B f ′( x) + + Trước tiên ta đưa phương trình dạng tổng quát x P( x) = ∫ dx = ln x( x + 1) x +1 + (ta cần xét x>0) f ( x) = x ( x + 1) 70 Tích Phân Hàm Ẩn eP( x) + Nhân hai vế cho f ′( x) ta ' x x x x + f ( x) = ⇒ f ( x) ÷= x + ( x + 1) x +1 x +1 x +1 + Lấy tích phân từ đến hai vế ta có 2 x x 3 f ( x ) = dx = x − ln x + ⇒ f ( ) = − ln ( ) ( ) ÷ ∫1 x +1 x +1 2 Vậy a2 + b2 = Suy b=− Câu 110 Cho hàm số f ( x ) + tan xf ′ ( x ) = trị biểu thức P=− A a= f ( x) x cos3 x liên tục có đạo hàm Biết π f ÷− 3 π 0; ÷, 2 thỏa mãn hệ thức π f ÷ = aπ + b ln ú a, b Ô Tớnh giá P = a + b B P=− C P= P= D 14 Lời giải Chọn A ⇒ cot x f ( x ) + f ′ ( x ) = Từ giả thiết Nhân thêm vế với e∫ cot xdx x cot x cos3 x = sin x ta có x x cos xf ( x ) + sin xf ′ ( x ) = ⇔ sin xf ( x ) ′ = cos x cos x Suy sin xf ( x ) = ∫ x dx = x tan x + ln cos x + C cos x x= π π π π → f ÷ = − ln → f ÷ = π − ln + 2C 3 3 x= π π π → f ÷= + ln − ln + C → 6 Với Với π f ÷− 3 Suy π f ÷ = π + ln − ln + 2C 6 a = π f ÷ = π − ln → →P = a+b = − 6 b = −1 71 .. .Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC Tích Phân Hàm Ẩn MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 1) Quy tắc: Nếu - Nếu... = ∫ y −3 y − dy = Khi đó: DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ( ) Tích phân phần với hàm ẩn thường áp dụng cho tốn mà giả thiết kết ḷn có tích phân sau: 49 Tích Phân Hàm Ẩn b b ∫ u( x) f '( x).dx... ( x) = Cách Chọn hàm thỏa giả thiết I = a ⇒ b = 1; c = ⇒ b + c = Dễ dàng tính TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG : Câu 70 Cho f ( x) g ( x) số lẻ Biết hàm Mệnh đề sai? ∫ f ( x ) dx = 10 A hàm số