Kỹ thuật tích phân của hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN CỦA " HÀM ẨN " Người thực hiện:Trần Ngọc Tiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn MỤC LỤC Mục lục………………………………………………………………………… THANH HOÁ NĂM 2018 Mục lục 1.Mở đầu…………………………………………………………………… 1.1.Lí chọn đề tài………………………………………………………….1 1.2.Mục đích nghiên cứu…………………………………………………… 1.3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu……………………………………… 1.4.Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………3 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………… 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm…………………………………3 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….4 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề……………4 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…………………………………………….20 3.Kết luận, kiến nghị…………………………………………………………21 3.1.Kết luận………………………………………………………………… 21 3.2.Kiến nghị…………………………………………………………………22 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………22 1.Mở đầu 1.1.Lí chọn đề tài Trong chương trình bậc THPT mơn Tốn học ln mơn học quan trọng Để đạt kết cao môn học đòi hỏi người học kiên trì, chịu khó, nỗ lực phấn đấu, ln tìm tòi sáng tạo học tập Và để giúp học sinh học tập tốt đòi hỏi người dạy phải ln tự học tập, nghiên cứu, trau dồi kiến thức, phải tâm huyết, đam mê, tỉ mỉ, kiên nhẫn giảng dạy nghiên cứu Qua nhiều năm giảng dạy tơi thấy có nhiều học u thích đam mê mơn tốn kết đạt lại chưa cao Bên cạnh kì thi học sinh giỏi, kì thi tốt nghiệp quốc gia ln có nhiều cách khai thác kiến thức chương trình nhiều khía cạnh khác để tạo nhiều dạng tốn khó Kì thi mà xã hội quan tâm kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia Kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia kì thi quan trọng bậc trung học phổ thông Để chuẩn bị tốt cho kì thi để đạt kết cao kì thi học sinh ngồi việc học tất mơn học phải đặc biệt hóa môn xét điểm vào trường Đại học, trường danh tiếng Bộ mơn tốn học môn cần đạt kết cao để hoàn thành mục tiêu tốt nghiệp quốc gia xét tuyển vào trường chuyên nghiệp Muốn làm tốt nhiệm vụ này, học sinh việc đầu tư nhiều thời gian phải tìm tòi phương pháp học hiệu sáng tạo để thu kết cao Bộ mơn tốn học trường THPT mơn học tương đối khó chứa đựng nhiều nép đẹp quyễn rũ đầy tính sáng tạo Để chuẩn bị tốt cho kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia Bộ giáo dục đào tạo đạo học sinh ôn tập đưa đề thi minh họa, bên cạch trường THPT nước đề kiểm tra chất lượng ôn tập tốt nghiệp quốc gia, đề thi chứa đựng nhiều dạng toán câu hỏi để phân loại học sinh phần vận dụng cao, chẳng hặn dạng tốn tích phân VD: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn  ' � f (1)  0, � �f (x) � �dx  7 A x f (x) dx  � B.1 0;1 thỏa mãn điều kiện: f(x) dx � Tích phân C bằng: D Khi gặp dạng tốn tơi bắt gặp lúng túng, phương hướng việc tìm cách giải học sinh vận dụng kiến thức thực khó để tìm lời giải cho tốn này, tài liệu, chuyên đề vấn đề chưa nhiều Và nhiều câu hỏi đồ thị hàm ẩn, toán thực tế…vv Trước thực trạng vấn đề tồn thiết nghĩ chọn nghiên cứu chủ đề nóng kì thi là: " Kĩ thuật tính tích phân hàm ẩn" nhằm giúp em ơn tập tốt đạt kết cao kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia tới 1.2 Mục đích nghiên cứu -Các vấn đề trình bày sáng kiến nhằm mục đích cung cấp cho học sinh lớp 12 phương pháp tính tích phân "hàm ẩn" sở sử dụng kĩ thuật tính tích phân trình bày sách giáo khoa Giải tích lớp 12 -Giúp học sinh nhận dạng phân loại tốn tích phân "hàm ẩn" -Hình thành phương pháp tính tích phân "hàm ẩn" dựa phương pháp tính tích phân qua bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ giải toán, khả vận sáng tạo phương pháp tính Qua giúp học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo niềm đam mê toán học -Nâng cao khả tư độc lập, sáng tạo, tự học, tự bồi dưỡng khả giải dạng toán kì thi, để từ thu kết cao kì thi tốt nghiệp quốc gia tới 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng tốn tính tích phân hàm ẩn b Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích bậc trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu lí luận: Dựa việc tìm đọc, nghiên cứu, phân tích tài liệu liên quan Rút kinh nghiệm thực tiễn giáo dục Từ xây dựng sở lý luận đề tài - Kết hợp với điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin, trò chuyện, điều tra vấn học sinh, đồng nghiệp - Thống kê, xử lí số liệu: So sánh, phân tích, rút kinh nghiệm Hệ thống lại cho học sinh kiến thức phương pháp tính tích phân: phương pháp đặt ẩn phụ phương phương pháp tích phân phần Thơng qua ví dụ cách giải dẫn dắt học sinh đến tốn tích phân hàm ẩn cách tự nhiên, nhẹ nhàng Bằng cách giải đơn giản, sáng tạo dựa khai thác phương pháp biết, phân dạng hình thành phương pháp giải cho dạng toán học sinh thấy vận dụng linh hoạt việc giải dạng tốn khó nhiều, thường rơi mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi thử tốt nghiệp quốc gia trương THPT nước Các ví dụ minh họa đề tài chọn lọc từ nhiều tài liệu tham khảo đề thi thử tốt nghiệp quốc gia năm gần đây, đặc biệt năm học 2017-2018, xếp theo thứ tự từ dễ đến khó Trong học lớp lồng ghép ví dụ cách tự nhiên để xem xét phản ứng từ phía học sinh, khơi gợi cho em tò mò từ dẫn dắt em tìm tòi, suy luận sáng tạo cách giải từ phương pháp để từ rút phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn Qua cho em thấy hiệu việc sử dụng "kĩ thuật tính tích phân hàm ẩn" 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận a Lí luận chung: Chủ trương ngành giáo dục phổ thơng phát huy tính tích cực, tự giác , chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh b Kiến thức vận dụng: * Định nghĩa tích phân, tính chất, phương pháp tính tích phân, quy tắc tính đạo hàm, đặc biệt quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp * Để giải tốn tích phân hàm số ẩn ta cần nắm vững cách tính đạo hàm hàm số hợp, phương pháp tính tích phân bản: - Đạo hàm hàm số hợp: + Nếu hàm số u  u (x) có đạo hàm điểm x0 hàm số y  f (u) có đạo hàm g (x)  f  u (x)  điểm u  u ( x0 ) hàm số hợp có đạo hàm điểm x0 , g , ( x0 )  f ' (u ).u , (x ) + Nếu giả thiết phần a) thỏa mãn điểm x �J hàm , ' , số hợp y  g (x) có đạo hàm J , g ( x)  f (u).u (x) - Phương pháp đặt ẩn phụ: b u (b) a u (a) f  u ( x)  u '( x) dx  �f (u) du � Trong hàm số u  u(x) có đạo hàm liên tục K, hàm số y  f (u ) liên tục  xác định K; a b hai số thực thuộc K cho hàm hợp  - Phương pháp tích phân phần: f u ( x) b b b , u (x) v (x) dx  u (x) v(x) � v(x) u , (x) dx � a a a Trong hàm số u,v có đạo hàm liên tục K, a,b hai số thực thuộc K 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong qua trình học tập giảng dạy, thân nhận thấy tốn tính tích phân đề thi tốt nghiệp quốc gia đa dạng phong phú, đặc biệt đề minh họa mơn tốn năm học 2017-2018 Bộ giáo dục trương THPT nước khai thác sâu phương pháp tính tích phân xuất dạng tốn : tính tích phân của" hàm số ẩn" Đứng trước toán dạng học sinh thường lúng túng, bế tắc việc tìm phương pháp giải nhanh hiệu vì: - Học sinh thường quen với cách tính tích phân hàm số cụ thể, thường có cách giải tổng quát như: tích phân hàm số phân thức hữu tỷ, tích phân hàm số lượng giác, tích phân hàm số chưa ẩn dấu thức…vv Trong lần học sinh bắt gặp tốn tích phân " hàm số ẩn" - Số lượng tốn tích phân " hàm số ẩn" xuất phổ biến đề minh họa tốt nghiệp trường THPT nước đề thi thử tốt nghiệp sở giáo dục khắp tỉnh thành nước - Trong tài liệu chuyên đề viết vấn đề chưa nhiều, chưa phổ biến chưa cập nhật với chuyên động mùa thi 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề Đầu tiên hệ thống lại cho học sinh kiến thức phương pháp tính tích phân: phương pháp đặt ẩn phụ phương phương pháp tích phân phần Thơng qua ví dụ cách giải dẫn dắt học sinh đến tốn tích phân hàm ẩn cách tự nhiên, nhẹ nhàng Sau cách giải đơn giản, sáng tạo dựa khai thác phương pháp biết, phân dạng hình thành phương pháp giải cho dạng toán học sinh thấy vận dụng linh hoạt việc giải dạng tốn khó nhiều, thường rơi mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi thử tốt nghiệp quốc gia trương THPT nước Các ví dụ minh họa đề tài chọn lọc từ nhiều tài liệu tham khảo đề thi thử tốt nghiệp quốc gia năm gần đây, đặc biệt năm học 2017-2018, xếp theo thứ tự từ dễ đến khó Trong học lớp tơi lồng ghép ví dụ cách tự nhiên để xem xét phản ứng từ phía học sinh, khơi gợi cho em tò mò từ dẫn dắt em tìm tòi, suy luận sáng tạo cách giải từ phương pháp để từ rút phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn Qua cho em thấy hiệu việc sử dụng "kĩ thuật tính tích phân hàm ẩn" Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả hướng dẫn cho học sinh nhận dạng, phân loại tốn dẫn dắt học sinh tìm cách giải toán từ cách giải sách giao khoa theo hệ thống ví dụ tập xếp theo trình tự logic biên soạn công phu sau a.Phương pháp giải chung Các tốn tích phân hàm số ẩn khai thác sâu cho nhiều dạng phong phú, dạng toán thường bắt gặp đề thi là: Cho hàm số f(x) xác định hàm liên tục đoạn, khoảng K b I� f (x)dx a thỏa mãn điều kiện cho trước Bài tốn u cầu tính Chẳng hặn: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần Bộ giáo dục đào tạo Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn  : 1 ' � f (1)  0, � �f (x) � �dx  x f (x) dx  � thỏa mãn điều kiện f(x) dx � Tích phân bằng: C B.1 A 0;1 D Một dạng khác phổ biến là: Cho hàm số f(x) xác định hàm liên tục đoạn, khoảng K thỏa mãn điều kiện cho trước phương trình hàm khai thác thành b phương trình chứa tích phân cần tìm Bài tốn u cầu tính f (x)dx � a Ví dụ : Câu 46 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Lam Sơn lần năm 2018 Cho hàm số f(x) xác định liên tục R \  0 thỏa mãn điều kiện x f (x)  (2 x  1) f(x)  xf ' (x)  1,  x �R\  0 f(x) dx � f (1)   đồng thời Tích phân bằng: ln 1 A ln   2  B  ln  C  ln  D Đứng trước tốn khó ta thường tư theo bước sau để tìm lời giải cách nhanh nhất: Bước 1: Khai thác điều kiện cho trước giả thiết để định hướng cách giải + Nếu giả thiết cho dạng phương trình tích phân với biến khác ta sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm ta cách giải + Nếu giả thiết cho dạng tích phân hàm số chứa đạo hàm cấp 1, cấp 2, ta thường vận dụng phương pháp tích phân phần để làm xuất tích phân hàm số cần tìm Lưu ý vận dụng hệ thức đặc biệt từ điều kiện giải thiết + Đặc biệt có tốn mà giải thiết cần sử dụng sáng tạo hai phương pháp tìm cách giải Bước 2: Tiến hành giải tốn dựa vào hai phương pháp tính tích phân : phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phân phối hợp hai phương pháp Bước 3: Sử dụng hệ thức tính chất đặc biệt tích phân từ tìm kết Lưu ý: + Kiến thức đạo hàm hàm số hợp + Tính chất tích phân f (x)  � 0,�x +  a; b  b f (x)dx � a b.Phân loại theo phương pháp giải: b.1 Sử dụng kĩ thuật đổi biến số để tính tích phân của" hàm ẩn": Phương pháp đổi biến số hai phương pháp để tính tích phân trình bày chi tiết sách giáo khoa giải tích lớp 12 lấy ví dụ minh họa phong phú, đa dạng Qua trình giảng dạy nhiều năm thấy học sinh nắm tốt phần kiến thức này, thông thạo phương pháp đổi biến số loại hàm số cụ thể như: hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác, hàm số chưa ẩn dấu thức , hàm số siêu việt…Tuy nhiên bắt gặp dạng tốn tích phân hàm ẩn gần khơng có phản ứng ý tưởng giải tốn Đứng trước thực trạng vấn đề tơi tìm tòi, nghiên cứu sáng tạo cách giải toán dạng sở phương pháp sách giáo khoa cách sáng tạo khéo léo Xin trình bày giải ấn tượng Ví dụ 1: Câu 50 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2018 y  f (x) đồng biến khoảng (0; �) , y  f (x) liên tục nhận Giả sử hàm số f (2)  2 ' � � f (x)  (x  1) f(x) � � giá trị dương khoảng (0; �) thỏa mãn: Mệnh đề sau ? 2 A 2613  f (8)  2614 B 2614  f (8)  2615 C 2618  f (8)  2619 D 2616  f (8)  2617 Trong yêu cầu tốn tính giá trị f (8) hàm số chưa biết, mặt khác giải thiết lại cho nhiều điều kiện phức tạp liên quan đến đạo hàm hàm số Câu hỏi lớn đặt tận dụng giả thiết để tìm lời giải? Có liên quan đến tích phân hay khơng? Câu hỏi thật khó tìm câu trả lời Sau thời gian suy ngẫm, tìm đọc tài liệu có liên quan vận dụng vào tốn cụ thể cuối tơi tìm câu trả lời cách khai thác triệt để giải thiết Sử dụng điều kiện giả thiết ' ' � �f (x) � � (x  1) f(x) � f (x)  (x  1) f(x) � f ' (x)  x 1 f (x) Đến lúc tốn có hướng giải rõ ràng cách lấy tích phân hai vế sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân 8 d� f ' (x) � f ' (x) � �dx  (x  1)3 �� dx  �x  1dx � � Để tính tích phân f (x) f (x) 3 ' d� �f (x) � �dx � f (x) ta đặt: t  f (x) � dt  f '  x  dx � d  f (x)  f '  x  dx d �f ' (x) � �dx  (x  1)3 � f (x)  38 � � �� 8 3 f (x) � f (8)  f (8)  f (3)  19 19 19  � f (8)  (  ) �2613.261332 3 3 Vậy ta chọn đáp án : A Bài giải ấn tượng thứ mà thành cơng theo lối phân tích giả thiết cách giải phương trình hàm từ giả thiết tốn thu kết sau Ví dụ 2: Câu 41 đề thi thử TNQG trường THPT Chu Văn An (Hà nội) lần năm 2018 Cho hàm số y  f (x) liên tục R , thỏa mãn điều kiện: � x  f(x)  1  � f ' (x) � , x �R � � � � �f(0)  1 Tích phân 1  A B C f(x) dx � bằng: D  Đọc giả thiết toán ta thấy phương trình phức tạp khó để tìm ý tưởng giải tốn Thế với cảm hứng việc chinh phục ví dụ ta định hướng tốn cách lấy bậc hai vế phương trình để suy f (x)  x(1  f(x)) Và từ ta tìm cách giải theo hướng ví dụ1 ' f ' (x)  x(1  f(x)) � f ' (x) f ' (x)  2x � � dx  � xdx  f (x)  f (x) ' Đặt: t   f (x) � dt  f (x) dx Từ suy d   f (x)  f ' (x) �� dx  � xdx � � dx  � x  d (2 x)   f (x)  f (x) ��   f (x)  d   f (x)  33 (2 x)  C 33 2   f (x)  (2 x)  C �   f (x)  (2 x)  C 1 f (x)  x  � � f (x) dx   2 � 4x 1 x  � C  � f (x)  � � 4 x  1 � f (x)   x  � � f (x) dx   � Đối chiếu với đáp án ta chọn : Đáp án B Một ví dụ theo xu hướng mang tính vận dụng cao : Câu 50 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp lần Ví dụ năm 2018 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn R thỏa mãn điều kiện f (x)  f ' (x) �1, x �R; f (0)  Tìm giá trị lớn f (1) 2e  A e 2e  e 1 B e C e  D Giả thiết bất phương trình đạo hàm nên việc tìm ý tưởng giải khó nhiều so với ví dụ Tuy nhiên ta giải trọn vẹn ví dụ ví dụ ta cần sử dụng khéo léo tính chất tích f (x)  � 0,� x  a; b  b f (x)dx � a phân là: điều kiện giả thiết ta suy luận sau Nếu : cho ta lời giải hay Thật vậy, từ f (x) �1 � f ' (x)   f (x) �0 � y  f (x) nghịch biến � f (x)  f(0)  vơ lí f (x)  � f ' (x)   f (x)  Nếu : f ' (x) � f (x) � f (x) �� � � 1  f ' (x) ' f ' (x) 1  f ' (x) (1 � 0 f ' (x) ) dx  f (x) Do ta được: 1 f ' (x) dx �� dx �  � d   f( x )  �1(t   f (x) � d   f( x)   dt   f ' (x) dx) �  f (x)  f (x) 0 �ln �� f� (x)��1 ln Suy : Maxf (1)  f (1) 1 f (1) e f (1) e 1 e e 1 e Vậy ta chọn đáp án :B Một toán ấn tượng giải thiết cho phương trình đạo hàm hàm số dạng phương trình mũ Ví dụ 4: Câu 41 đề thi thử TNQG trường THPTChuyên Lê Quý Đôn Hà nội lần năm 2018 Giả sử hàm số y  f (x) liên tục có đạo hàm khoảng R '  f (x) thỏa mãn: f (x)  e (2 x  3);f(0)  ln Tích phân A 6ln  ln  B ln  f(x) dx � C ln  D Cũng với cách giải ví dụ1 ta biến đổi phương trình : f (x)  e '  f (x) f ' (x) (2 x  3) �  f (x)  x  � f ' (x)e f (x)  x  � � f ' (x)e f (x) dx  � (2 x  3) dx e �� e f (x) d  f ( x)   � (2 x  3) dx � e f (x)  x  3x  C � x  � C  Do : 2 1 e f (x)  x  3x  � f (x)  ln x  3x  � � f(x) dx  � ln x  3x  2dx  ln  Vậy ta chọn đáp án : B 10 Bài tốn khai thác sâu phương trình hàm cách giải theo phong cách ví dụ dựa vào kĩ thuật biến đổi Ví dụ 5: Câu 46 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Lam Sơn lần năm 2018 Cho hàm số f(x) xác định liên tục R \  0 thỏa mãn điều kiện x f (x)  (2 x  1) f(x)  xf ' (x)  1,  x �R\  0 � đồng thời f (1)  2 Tích phân f(x) dx bằng: ln 1 A ln   2  B  ln  C  ln  D Giả thiết phương trình khó Đối với học sinh khá, giỏi khó nhận để khai thác giả thiết theo cách giải ví dụ trên, tổng   Mới đầu nhìn bình phương phức tạp: vào giả thiết ta dễ bị chống ngợp q phức tạp, sau ta lại thấy có nét liên quan đến đẳng thức quen thuộc, từ ý tưởng biến đổi sau x f (x)  (2 x  1) f(x)  xf ' (x)  1,  x �R\ x f (x)  (2 x  1) f(x)  xf ' (x)  1,  x �R\  0 � (xf(x)  1)  f (x)  xf ' (x) � f (x)  xf ' (x) f (x)  xf ' (x)  � dx �(xf(x)  1) dx  � (xf(x)  1) d (xf(x)  1)  (f(x)  xf ' (x)) dx toán lại chinh Lúc ta cần để ý phục theo phong cách ví dụ d  xf(x)  1 f (x)  xf ' (x) �� dx  x  C � � dx  x  C �   xC 2 (xf(x)  1) (xf(x)  1) xf (x)  x 1�  x 1 x 1   C � C  � f (x)   � I  � f (x) dx   � dx   ln  f (1)  x x 1 Vậy ta chọn đáp án : B Thêm toán hay giải theo phong cách Ví dụ 6: Đề thi thử TNQG trường THPT QuảngXương I –ThanhHóa- lần 11 Cho hàm số f(x) dương, xác định hàm liên tục đoạn  x kiện A g(x)   2018� f (t) dt , g(x)  f (x) 1011 0;1 thỏa mãn điều �g(x)dx Tính 1009 B 2009 C D 505 Bài toán phức tạp, từ cách khai thác giả thiết tìm mối liên hệ với tích phân cần tính tương đối khó Bài tốn đòi hỏi cao tính sáng tạo cách khai thác giả thiết Ta giải toán sau: Đầu tiên ta áp dụng tính chất nguyên hàm: x g(x)   2018� f (t) dt � g ' (x)  2018 f (x)  2018 g(x) � g ' (x)  2018 g (x) Sau ta lấy tích phân hai vế theo biến t � t t t t d  g (x) g ' (x) g ' (x)  2018 � � dx  2018� dx � �  2018� dx g (x) g (x) g (x) 0 0 2( g (t)  1)  2018 t � g (t)  1009t  � �g (x) dx  1011 Vậy ta chọn đáp án : A Bây ta lại khai thác gỉa thiết dạng phương trình tích phân, học sinh phải khai thác tối đa giả thiết cho ta cách giải tốn tích phân dạng phương trình bậc Ví dụ 7: Câu 42 đề thi thử TNQG trường THPT Chu Văn An TP Hà nội lần năm 2018.Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện 2 : xf (x )  3f(1  x)   x A I  I I� f(x) dx Tích phân B  I bằng: C I  20 D  16 Từ giải thiết: xf (x )  3f(1  x)   x , cách đổi biến số ta đưa phương trình I suy I cách giải phương trình bậc Ta có : 1 0 xf (x )  3f(1  x)   x � � xf (x ) dx  � 3f(1  x)  �1  x dx 12 �x  � u  � Đổi cận: �x  � u  u  x � du  2xdx Đặt: 1 Do đó: 0 4xf (x ) dx  � f (u)du  2I � �x  � t  � Đổi cận: �x  � t  Đặt: t   x � dt  dx 1 3� f (1  x)dx  3� f (t)dt  3� f (t)dt  3I Suy ra: Như ta thiết lập phương trình bậc là: xf (x � 1 0 )dx  � 3f(1  x) dx  �1  x dx � I  3I    �I 20 Vậy ta chọn đáp án : C Ví dụ tương tự yêu cầu cao Ví dụ 8: Đề thi thử tốt nghiệp quốc gia Sở GD&ĐT Bình Phước- lần năm 2018 Cho số thực a>0.Giả sử hàm số f(x) dương, xác định hàm liên tục a đoạn  A I 0;a  dx �  f (x) Thỏa mãn điều kiện: f(x) f(a  x)  Tính a B I a C I  a D I 2a Ta có : f(x) f(a  x)  � f(x) f(a  x)  f(a  x)   f(a  x) � f(a  x) 1  � 1  f(a  x)  f(x)  f(a  x)  f(x)  a �� (1  a a a a 1 1 ) dx  � dx � � dx  � ( )d (a  x)  � dx f(a  x)  f(x)  f(a  x)  f(x)  0 0 Mặt khác, đặt a a 1 t  a  x � dt   dx � � ( ) d (a  x)  � ( ) dt   � ( ) dt f(a  x)  f(t)  f(t)  a 13 a a a a a a 1 1 �� dx  � ( ) d (a  x)  � dx � � dx  � dx  � dx f(a  x)  f(x)  f(x)  f(x)  0 0 0 a a 1 a � a  2� dx � � dx  f(x)  f(x)  0 Vậy ta chọn đáp án: B Một dạng toán khác đơn giản tác giả khai thác theo phương pháp đổi biến số: Ví dụ 9: Câu 28 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh (Tỉnh Đồng Nai) lần năm 2018 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn R K � f (2 x)dx  thỏa mãn điều kiện B I  16 A I  I Tính xf (x � ) dx C I  D I  32 Đối với tốn nhiều học sinh có ý tưởng giải theo hướng tìm mối liên hệ tích phân K I Đây ý tưởng hồn tồn xác, vấn đề dẫn dắt em sử dụng phương pháp đổi biến cho hợp với giả thiết cho lời giải hay để từ kích thích trí sáng tạo học sinh hình thành niềm đam mê mơn tốn Xin trình bày ý tưởng sau: �x  � t  � Đổi cận: �x  � t  t  2x � dt  2dx Đặt: f (2 x)dx  � � Suy ra: 2 f (t)dt  � � f (t)dt  16 2� 0 Lúc ta liên hệ K I theo cách đặt: �x  � u  � Đổi cận: �x  � u  2 ặt: u  x � du  2xdx Đ 2 1 I � xf (x ) dx  � f (u)du  16  20 2 Do đó: Vậy ta chọn đáp án: C b.2 Sử dụng kĩ thuật tích phân phần để tính tích phân hàm ẩn 14 Phương pháp tính tích phân phần trình bày dễ hiểu sách giáo khoa, học sinh nắm phương pháp tương đối tốt Các toán cho phương pháp dược phân chia đến loại hàm số trí nhiều loại hàm ta có cách đặt tổng qt, hàm ẩn khơng Vận dụng phương pháp tốn tích phân hàm ẩn tương đối khó, đòi hỏi ước lượng tốt, nhạy bén, sáng tạo kinh nghiệm Và sau đây, tơi xin trình bày giải ấn tượng vận dụng cách linh hoạt phương pháp tích phân phần Ví dụ 1: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần Bộ giáo dục đào tạo Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn  ' � f (1)  0, � �f (x) � �dx  A x f (x) dx  � 0;1 thỏa mãn điều kiện : f(x) dx � Tích phân bằng: C B.1 D Cá nhân xem đề minh họa tốt nghiệp quốc gia lần năm 2018 Bộ giáo dục, bất ngờ với câu hỏi Ban đầu tơi khơng có phản ứng cách tìm lời giải cho tốn này, vượt khỏi tầm suy nghĩ cơng chinh phục tốn bất đầu Tơi bắt tay vào việc tìm đọc tài liệu, cách giải tác giả diễn đàn toán học nước bắt gặp nhiều toán cho theo phong cách Sau thời gian nghiên cứu sưu tầm tổng kết cách làm riêng để chinh phục tốn dạng tích phân biểu thức không âm sau Từ giả thiết toán ta tiến hành bước đặt theo phương pháp tích phân phần Đặt � u  f  x � du  f �  x  dx � � � , � � dv  x d x � v  x3 � khiđó: x f  x  dx  x3 f  x   � x3 f �  x  dx � 0 15 1 0  f  1  � x3 f � x3 f � x3 f �  x  dx � �  x  dx  1 � �  x  dx   Suyra: Đến lúc ta xét tích phân đặc biệt dựa ước lượng suy luận từ kết vừa tìm kết hợp với giả thiết toán 1 1 Xét tích phân: 0 0 ( f ' (x)  x ) dx  � ( f ' (x)) dx  14� f ' (x) x 3dx  49 � x6  � ' � f (x)  x �0 � � �f (x)  x � �dx �0 ' Mặt khác: ' ' ' � �� �f (x)  x � �dx  � f (x)  x  � f (x)  7 x f ' (x)dx   � x4 7  C ; f (1)  � C  � I  4 Vậy ta chọn đáp án: A Các toán tương tự trương THPT nước khai thác theo phong cách Ví dụ : Đề thi TNQG trường THPT Chuyên Trần Phú –Hải Phòng- lần năm 0;1 2018 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn   thỏa mãn điều kiện 1 1 � x f (x) dx  � �f (x) � �dx  9; � f (1)  0 ' 3 A Tính B f (x)dx � C D Ta có: 1 0 x4 ' ' f  x  � x f (x) dx � � x f ' (x) dx  1 40 x f (x) dx  � f (x) d � x f (x) dx  � x4 x4 ' x f (1) '  f (x)  � f ' (x) dx   � x f (x) dx 0 4 4 40 1 Trong lại xét tích phân đặc biệt sau: Xét tích phân: 1 1 0 0 ( f ' (x)  x )2 dx  � ( f ' (x)) dx  18 � f ' (x) x 4dx  81� x8  � 16 Mặt khác: ' � f ' (x)  x �0 � � �f (x)  x � �dx �0 ' ' ' � �� �f (x)  x � �dx  � f (x)  x  � f (x)  9 x �� f ' (x) dx   x5 14  C ; f (1)  � C  � I  5 Vậy ta chọn đáp án: B Tích phân đặc biệt tác giả khai thác hàm lượng giác, mang lại cảm giác khó đốn phức tạp cách suy luận Ví dụ 3: Đề thi TNQG trường THPT Chuyên Vinh –Nghệ An- lần năm 2018 Cho hàm số f(x) liên tục có đạo hàm đoạn   f (0)  f(1)  0; � f (x) dx  ; � f ' (x) c os xdx= 2 1 thỏa mãn điều kiện : Tính B  A  0;1 C f (x)dx � 3 D 2  Ta có :   f (x) c os xdx= �  � cos xd(f(x)) � 2 0 ' � 1   f (x)cos x   � f (x) sin  xdx � � f (x)sin  xdx  2 0 Lúc ta lại xét tích phân đặc biệt dưa giả thiết Xét tích phân: 1 1 0 0 (f (x)  sin  x) dx  � f (x) dx  � sin xdx  � sin xdx  0(1) � (f (x)  sin  x) �0 � � (f (x)  sin  x) �0(2) Ta thấy: Từ (1) (2) suy : 1 0 �� (f (x) dx  � sin xdx   Vậy ta chọn đáp án: C Vấn đề khai thác hàm số siêu việt dẫn đến vận dung cao cách giải 17 f x 0;1 Ví dụ 4: Cho hàm số   có đạo hàm liên tục   thỏa mãn điều kiện: 1 � f ' x  �  x  1 e x f  x  dx  � �dx  � � 0 e2  f 0   Tính tích phân e2 B e 1 A C e  I� f  x  dx D e 1 � u  f  x � du  f '  x  dx � � x x � , � � � x  e f x dx  xe f x  xe x f '  x  dx       x x � � dv  x  e dx v  xe   � 0 Đặt � 1 1  e2  e.f  1  � xe x f '  x  dx � � xe x f '  x  dx  �  x  1 e x f  x  dx  0 1 Xét tích phân: � 1 0 � f '  x   xe � � f ' x  � xe x f '  x  dx  � x 2e 2x dx  � �dx  2.� � � �dx  � x 0 e2  1  e2 e2     � f '  x    xe x 4 f  x  � f '  x  dx   � x.e x dx    x  e x  C Do f 0�C 0 mà   I� f  x  dx  �   x  e x dx �I  e  0 Vậy Vậy ta chọn đáp án: C Và nữa, tốn mà tơi phải suy luận để tìm biểu thức đặc biệt khó khăn Ví dụ 5: Đề thi TNQG trường THPT Chuyên Lam sơn –Thanh Hóa- lần năm 0;1 2018 Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục đoạn   thỏa mãn điều A B 1 1� �' 3� f (x)  f (x)  �dx �2�f ' (x) f(x) dx � 9� kiện f (1)  0, � C Tính  f (x) dx � D 1� �' 3� f (x)  f (x)  �dx �2 �f ' (x) f(x) dx(1) � 9� Ta có : � Mặt khác: 18 2 1� 1� � ' � ' f (x) f (x)  ��0 � � f (x) f (x)  �dx �0 � � 3� 3� � � 1 1� �' � 3� f (x)  f (x)   �dx �3� � 9� � f ' (x) f(x) dx �2 �f ' (x) f (x)dx(2) Từ (1) (2) suy : 1 1� �' ' ' � � 3� f (x) f (x) � � �dx  2�f (x) f(x) dx(1) � � 0� Dấu xảy t t  f (x) t  x t 1 ' � f (x)  f (x)   � � f (x)  f (x)  dx  �dx � 9 0 '  f (t)   f (0) � 3 1 t x 3  t �  f (t)    � � (1  )dx   f (x) dx  � 3 0 Vậy ta chọn đáp án: D Về phương pháp tích phân hàm số ẩn khai thác sâu rộng đòi hỏi người học phải có ước lượng tốt kinh nghiệm việc giải toán từ cách khai thác tinh vi điều kiện tốn Ví dụ 6: Câu 47 -Đề thi TNQG trường Đại học Hồng Đức- lần năm 2018 ��  0; � f ( ) 1 � � �với , thỏa mãn điều kiện : Cho hàm số f(x) liên tục đoạn  x f (x) � (xsinx  cos x) A I   4  xf (x) ;� dx=0   cos x( x sin x  cosx) 2 dx   '  B   Tính C f (x) I  � dx cos x 4 D Đây ví dụ hay khó việc tìm lời giải Bắt gặp khó để tìm cách đặt ẩn, Câu hỏi đặt ẩn để tận dụng tối đa giả thiết tìm lời giải nhanh thời gian ngắn Câu hỏi hiện lại đầu sau thời gian dài tơi tìm cách giải từ ý tưởng tính đạo hàm mẫu số, thêm bớt làm xuất vi phân mẫu số tìm cách đặt ẩn 19 Thật vậy, ta thấy d (xsinx  cos x)  xcosxdx , từ điều ta thêm bớt mẫu số tử số dẫn đến cách đặt sau:  x f (x) � (xsinx  cos x) dx    4  xf (x) d ( x s inx  cos x)   ��  � 4 cos x (xsinx  cos x) 4 xf (x) x cos x � cos x (xsinx  cos x) dx  � xf (x) � f (x)(cosx  xsinx)  xf ' (x) cosx) u  du  dx � � � cos x � cos x �� , � d(x s inx  cos x) � � dv  v (xsinx  cos x) � � xsinx  cos x � Đặt Khi  xf (x) x cos x � cos x (xsinx  cos x) dx   4   xf (x) f (x)(cosx  xsinx)  xf ' (x) cosx)  �  dx  � cos x (xsinx  cos x) cos x xsinx  cos x  0   2 f (x) xf ' (x)  2  �  � dx  � dx  � I 0  � I 1   cos x cos x (xsinx  cos x) 4   4  Vậy ta chọn đáp án: A Tiếp theo toán hóc búa vận dụng phương pháp Ví dụ 7: Đề thi thử TNQG trường THPT ChuyênVinh –Nghệ An- lần năm 2018 Cho hàm � f ' (x) � f (x) f '' (x)  15 x  12 x, x �R � � số f(x) thỏa mãn điều kiện : f (0)  f ' (0)  Giá trị f (1) A B C 10 D Ta có: ' '' � �f (x) � � f (x) f (x)  15 x  12 x, x �R t t t t � � �� ( f (x))  f (x) f (x) � dx  � (15 x  12 x) dx � � f (x) f '' (x) dx  t  6t � � �f (x) � �dx  � ' '' ' 0 20   Mặt khác, ta đặt: ' t t t � du  f '' (x)dx �u  f (x) ' ' � � � � f (x) dx  f (x)f (x) � f (x) f '' (x) dx � � � � � ' dv  f (x) dx �v  f (x) 0 � t t � �� f ' (x) � f (x)f '' (x) dx  t  6t � �dx  � 0 t t t '' � f (x) f (x)  � f (x) f (x) dx  � f (x) f '' (x) dx  t  6t � f (t) f ' (t)  t  6t  0 ' 1 1 0 0 f (x)  � f (x)  2 �� f (t) f ' (t)dt  � (3 t  6t  1)dt � � f (t) df(t)  � (3 t  6t  1) dt � Vậy ta chọn đáp án: D Có nhiều tốn theo phong cách vận dụng sâu phương trình hàm đánh lạc hướng suy nghĩ học sinh Ví dụ 8: Câu 40 -Đề thi thử TNQG trường THPT Hàm Rồng- lần năm 2018 Hàm số f  x có đạo hàm đến cấp hai � thỏa mãn: f   x    x  3 f  x  1 Biết B A 4 Nếu ta đặt: f  x  �0, x �� , tính C I �  x  1 f "  x  dx D u  2x  du  f '' (x)dx � � � � � ' dv  f '' (x) dx �v  f (x) � 2 �I � f ' (x) dx  x  1 f "  x  dx  (2 x 1) f (x)  � 0 ' � I  3f ' (2)  f ' (0)  f(x) Mặt khác: Từ giả thiết � I  3f ' (2)  f ' (0)  f(2)  f(0) f   x    x  3 f  x  1 2 � � �x  1 � f    f   �f    f   ��2 � f (0)  f(2)  � �x  � f    f   �f    f   ' ' Vấn đề gặp phải mà tốn gây khó khăn phải tìm f (2);f (0);f(2);f(0) Đến lúc ta lại phải khai thác giả thiết lần sâu để tìm yếu tố Từ giả thiết ta lấy đạo hàm hai chọn giá trị thích hợp biến số ta 21 f   x    x  3 f  x  1 � 2 f ' (1  x) f(1  x)  xf(x  1)   x   f '  x  1 �x  1 � 2 f ' (2) f(2)  2 f(0)  f '   �8 f ' (2)  8  f '   �f ' (2)  � � �� � � � ' �' ' ' ' �f (0)  2 �x  � 2 f (0) f(0)  f(2)  f   �8 f (0)   f   Đến lúc ta suy tích phân cần tính: � I  3f ' (2)  f ' (0)  f(2)  f(0)  3.2     Vậy ta chọn đáp án: B 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong năm học vừa qua tiến hành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cách nghiêm túc khoa học lớp thực tế giảng dạy khối 12 lớp cụ thể sau: Đối tượng thực nghiệm: 12C2,12C3 Đối tượng đối chứng: 12C1,12C4 Tiến hành triển khai đề tài theo kế hoạch thời gian vạch Tổ chức kiểm tra, đánh giá rút kinh nghiệm kết Kết đạt sau: Điểm trở lên Năm học 20172018 Lớp 12C 12C 12C 12C Tổng số Điểm từ đến Số lượn Tỷ lệ g 37,5 18 % Số lượn g Tỷ lệ 48 6.3 % 50 18 % 27 50 11 22 % 49 2% Điểm Số lượn g Tỷ lệ 27 56,2 % 54 % 14 38 % 24 48 % 15 30 % 19 39 % 29 59 % 3.Kết luận, kiến nghị 3.1.Kết luận Qua thời gian tìm tòi, thu thập liệu, nghiên cứu, học hỏi, sáng tạo viết nên SKKN đề tài kĩ thuật tính phân hàm ẩn vận dụng chuyên đề công tác giảng dạy lớp 12, bước đầu thu kết khả quan từ phía em học sinh thơng qua kiểm tra tự luận trắc nghiệm Đây thực phương pháp hiệu để giải toán khó 22 tích phân hàm ẩn Thơng qua kĩ thuật tính tích phân lại giải toán mức độ vận dụng cao, từ phát huy tính độc lập sáng tạo niềm đam mê toán học, tự tin kì thi tới Qua việc áp sáng kiến vào công tác giảng dạy lớp, nhận thấy chuyên đề rộng hấp dẫn người học lẫn người dạy áp dụng cho năm học tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi Tất nhiên phải tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện đề tài Bài học kinh nghiệm rút từ trình nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo việc viết sáng kiến kinh nghiệm đến việc áp dụng sáng kiến vào thực tiễn dạy học để thu kết tốt là: - Người thầy phải thường trau chun mơn, tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi, suy ngẫm, sáng tạo để áp dụng phương pháp dạy học cách tốt phù hợp với xu ln mang tính cập nhật chuyển động kì thi - Người thầy phải ln ln nhiệt tình, gương mẫu, sáng tạo hăng say tiếp cận dạng toán làm cho học sinh thấy đam mê nghiên cứu khoa học dẫn dắt học sinh tìm phương pháp giải hay, qua hình thành tình u tốn học bồi dưỡng tư logic cho học sinh giảm áp lực cho em học sinh việc đón nhận kì thi qc gia -Trong trình dạy học, người thầy phải thường xuyên tạo tình có vấn đề, từ kích thích tìm tòi dẫn dắt học sinh hoạt động tích cực, chủ động hoạt động chiếm lĩnh tri thức 3.2.Kiến nghị Trong trình làm sáng kiến kinh nghiệm nhận giúp đỡ từ đồng nghiệp học sinh.Tuy nhiên thời gian có hạn lực thân chưa thực tốt, nên nội dung sáng kiến tơi nhiều thiếu xót tồn nhiều hạn chế, tơi mong đóng góp hội đồng khoa học cấp đồng nghiệp để tơi ngày hồn thiện kinh nghiệm giảng dạy qua giúp tơi thực hoạt động giáo dục tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thiệu hóa, ngày 15 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trần Ngọc Tiến Tài liệu tham khảo 23 Giải tích 12 nâng cao, Đại số giải tích lớp 11 nâng cao NXB giáo dục năm 2008 Nhóm tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng Giải tích 12 , Đại số giải tích lớp 11 NXB giáo dục năm 2008 Nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất 3.Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học, từ năm 1997-1998 đến năm 20042005 NXB Đại học Quốc gia Hà nội tác giả Dỗn Minh Cường 4.Tạp chí tốn học tuổi trẻ hàng tháng năm 2017-2018-NXB Giáo dục Bộ giáo dục đào tạo-Hội toán học Việt nam Đề minh họa kì thi tốt nghiệp quốc gia năm 2018 Bộ giáo dục đào tạo Đề minh họa kì thi tốt nghiệp quốc gia năm 2017-2018 trường THPT nước DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐẪ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI TỪ LOẠI C TRỞ LÊN ST Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá Kết đánh Năm học đánh T xếp loại giá xếp loại giá xếp loại Kĩ thuật viết phương Ngành giáo trình tiếp tuyến hàm dục đào tạo C 2011-2012 Thanh Hóa ax  b y cx  d có đạo số Kĩ thuật tính tích phân Ngành giáo phần phương dục đào tạo pháp cộng thêm số Thanh Hóa C 2014-2015 24 ... tích phân hàm số phân thức hữu tỷ, tích phân hàm số lượng giác, tích phân hàm số chưa ẩn dấu thức…vv Trong lần học sinh bắt gặp tốn tích phân " hàm số ẩn" - Số lượng toán tích phân " hàm số ẩn" ... tính tích phân "hàm ẩn" sở sử dụng kĩ thuật tính tích phân trình bày sách giáo khoa Giải tích lớp 12 -Giúp học sinh nhận dạng phân loại tốn tích phân "hàm ẩn" -Hình thành phương pháp tính tích phân. .. nghĩa tích phân, tính chất, phương pháp tính tích phân, quy tắc tính đạo hàm, đặc biệt quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp * Để giải tốn tích phân hàm số ẩn ta cần nắm vững cách tính đạo hàm hàm số