Dang 4. Các bài toán khác(góc, khoảng cách,...) liên quan đến thể tích khối đa diện(TH)

Câu [2H1-3.4-2] (Cẩm Giàng) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên SA a3 vng góc với đáy thể tích khối chóp Tính cạnh bên SA a B A a a D C 2a Lời giải Tác giả: Trần Lê Cường; Fb: Thầy Trần Lê Cường Chọn A S A C a B ABC tam giác cạnh a � diện tích tam giác ABC SABC  a2 VS ABC  SA.S ABC SA vng góc với đáy � thể tích khối chóp S ABC a 3.VS ABC � SA   a S ABC a Câu [2H1-3.4-2] (THPT YÊN DŨNG SỐ LẦN 4) Cho tứ diện ABCD có AB  a, AC  a 2, AD  a Các tam giác ABC , ACD, ABD vuông đỉnh A  BCD  Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng a a a 30 a 66 d d d d 11 A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Phu ; Fb: Nguyễn Văn Phu Chọn D Theo giả thiết AB, AC , AD đơi vng góc nên AD  ( ABC ) � AD  BC Trong ABC , kẻ  ADK    BCD  AK  BC ,  K �BC  , suy BC   ADK  mà BC � BCD  nên AH  DK ,  H �DK  Trong ADK , kẻ Do BC   ADK  AH � ADK  , nên AH  BC Suy AH   BCD  � d  A,  BCD    d  AH 1   2 AB AC Ta có ABC vng A có đường cao AK : AK  1 1   2 AD AK Tương tự ADK vng A có đường cao AH : AH  2  1   ta có Từ 1 1 1 11 6a a 66        � AH  � d  AH  2 2 2 2 11 11 AH AB AC AD a 2a 3a 6a Chú ý: Có thể sử dụng cơng thức tính nhanh: Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi d  d  A,  BCD   vng góc với ta có 1 1 1 11 6a a 66        �d  �d 2 2 11 11 d AB AC AD a 2a 3a 6a Câu 3 [2H1-3.4-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho khối chóp tứ giác tích 16 cm cạnh đáy cm , chiều cao khối chóp A cm B cm C 3cm D cm Lời giải Tác giả:Nguyễn Thùy Linh; Fb:Nguyễn Thùy Linh Chọn C 2 Diện tích đáy S   16 cm 1 V  S h � 16  16 h � h  3cm 3 Ta có: Câu [2H1-3.4-2] (Nguyễn Khuyến)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên a3 SA vuông góc với đáy thể tích khối chóp Tính cạnh bên SA a A a B C a Lời giải D 2a Tác giả:Mai Quỳnh Vân; Fb:Vân Mai Chọn C Tam giác ABC tam giác cạnh VS ABC Câu 3V  SA.S ABC � SA  S ABC  SABC a nên S ABC  a2 3.a a a2 4 B C D có mặt [2H1-3.4-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� AB AA�  A� BD  C� BD  ABCD hình vng, Xác định góc hai mặt phẳng   45� 30� 90� 60� A B C D Lời giải Chọn D BD cân A�và C � Do BD C � Gọi I trung điểm BD, A� A� I  BD, C � I  BD BD  � C � BD   BD �  A� � � �� � I  BD �� A� BD  ,  C � BD  � A I , C� I A IC � � �A� � � � C � I BD Ta có �   IC �có: Áp dụng định lí hàm số cosin vào A� A� I  C� I  A�� C2 �� �� A�� C  A� I  C� I  A� I C � I cos A IC � � cos A IC �  A� I C � I C  AB 2, Ta có BD  A�� � A� I  A� B  BI  Vậy Câu �� cos A IC �  A� B A� A2  AB  AB 10 AB  AB  2 AB AB   AB 2 AB  AB  AB ��  �A IC �  60� 2.2 AB [2H1-3.4-2] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi cạnh a , 3a SA  � ABC  60 , SA   ABCD  , Gọi O tâm hình thoi ABCD Khoảng cách từ  SBC  bằng: điểm O đến mặt phẳng 3a 5a A B 3a C Lời giải 5a D Tácgiả:Kim Liên; Fb:Kim Liên Chọn C S K A D  SBC  cắt mặt phẳng B O C I d (O,  SBC  )  d  A,  SBC   Vì đường thẳng AO điểm C nên � Vì ABCD hình thoi cạnh a ABC  60�nên tam giác ABC tam giác cạnh a a AI  Gọi I trung điểm BC Suy AI  BC  1 Gọi K hình chiếu vng góc A lên đường thẳng SI Ta có AK  SI SA   ABCD  BC   SAI  � BC  AK   Vì AI  BC SA  BC (vì ) nên  1   suy AK   SBC  � d  A,  SBC    AK Từ Xét tam giác SAI vuông A , ta có: 1 4 16 3a      � AK  AK SA AI 9a 3a 9a 3a d (O,  SBC  )  d  A,  SBC    Vậy Câu [2H1-3.4-2] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B cạnh AB  a , cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Tính cosin góc  góc mặt phẳng  ABC  mặt phẳng  SBC  1 cos   cos   cos   cos   3 5 A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Mai Facebook: Mai Nguyen Chọn C �BC  AB � BC   SAB  � BC  SB � BC  SA Vì � �  ABC  mặt phẳng  SBC  góc   SBA Suy góc mặt phẳng AB AB cos     2 SB SA  AB Xét tam giác vng SBA có Câu B C có đáy tam [2H1-3.4-2] (KINH MƠN HẢI DƯƠNG 2019)Cho lăng trụ đứng ABC A��� B  3a Thể tích khối lăng trụ giác ABC cạnh 2a Biết A� a 15 a 15 2a 15 3 A B a 15 C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Mai Facebook: Mai Nguyen Chọn B  AB�  A�� B a B vng A�nên AA� Tam giác AA�� Diện tích tam giác ABC  2a  S Thể tích khối lăng trụ V  a Câu [2H1-3.4-2] 2  a2 3.a  a 15 (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho hình lập phương  ABCD A���� B C D có cạnh Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  BDA� d d d A B C D d  Lời giải Tác giả: Tranngocquang2204@gmail.com ; Fb: Quang Tran Chọn A  BDA�  d Đặt khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 1 VA�ABD  VAA�BD � A� A.S ABD  d SA�BD 3 Ta có: S d  A� A ABD S A�BD Do đó: A� A  1, SABD  1 AB AD  2 , tam giác A� BD cạnh có S A�BD   2  d   3 Vậy luckykaka1702@gmail.com Câu 10 [2H1-3.4-2] (CổLoa Hà Nội) Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M cạnh AB cho AM  2MB Biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng  ACD  Tính khoảng cách từ B  ACD  đến mặt phẳng A B C 12 Lời giải D Tác giả: Cấn Duy Phúc ; Fb: Duy Phuc Can Chọn B  ACD  ; H hình chiếu vng góc Gọi K hình chiếu vng góc M mặt phẳng  ACD  B mặt phẳng AM MK MK  �  � BH  MK � BH  BH Ta có: AB BH Câu 11 [2H1-3.4-2] (Sở Điện Biên) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp cho 3 A V  7a B V 7a3 C V 4a3 D V 7a3 Lời giải Chọn D Gọi O tâm hình vuông ABCD 2 2 2 Ta có: SC  SO  OC � SO  SC  OC  9a  2a  a 1 7a3 V  SO.S ABCD  a 7.4a  3 Thể tích khối chóp S ABCD Câu 12 [2H1-3.4-2] (THPT Nghèn Lần1) Cho khối chóp S ABCD có cạnh đáy a thể 2a  SAD  tích Khoảng cách từ B đến mặt phẳng a A a B C a a D Lời giải Tác giả: Hà Khánh Huyền ; Fb: Hà Khánh Huyền Chọn A Gọi O  AC �BD Khối chóp S ABCD nên SO  ( ABCD) 3VS ABCD  VS ABCD  SO.S ABCD � SO  S ABCD Ta có: 2a  2a a 3V d ( B, ( SAD ))  S ADB VS ADB  d  B,  SAD   S SAD S SAD � 1 2a3 2a VS ADB  VS ABCD   2 12 Mặt khác, 2 � � � � a SA  SD  SO  OA2  � 2a � � 2a �  a  AD OA  OD  �2 � �2 � � � � � ; Tính được: Do tam giác SAD cạnh a � d ( B,( SAD))  Vậy 3VS ADB S SAD S SAD  a2 2a a  12  a 3 Câu 13 [2H1-3.4-2] (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho khối chóp S ABCD tích V  6a , đáy ABCD hình thang với hai đáy AD BC thỏa mãn AD  BC , diện tích tam giác SCD  SCD  bằng 34a (thao khảo hình vẽ) Khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng 34 a A 34 34 a B 17 34 a C 17 34 a D 34 Lời giải Tác giả: Nguyễn Tiến Hà; Fb: Nguyễn Tiến Hà Chọn B Nhận xét: VS BCD  VS BCD VS ABCD VS ABCD S BCD d  S ,  ABCD   S  VS ABCD  BCD VS ABCD S ABCD S ABCD d  S ,  ABCD   BC.h S BCD BC   S ABCD BC  AD h BC  AD   VS BCD  VB SCD  S SCD d  B,  SCD   Ta có Suy d  B,  SCD    3VS BCD S BCD 3  VS ABCD  V S BCD SSCD 34a S ABCD 34a 3a 34 BC VS ABCD  6a  2 17 34a BC  AD 34a  B C có đáy ABC tam giác Câu 14 [2H1-3.4-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho lăng trụ đứng ABC A��� �� cos BA C � Tính góc đường thẳng A� B mặt cân A , BC  a , AA  a C C  AA�� phẳng 30� A B 45� C 60� D 90� Lời giải Tác giả: Minh Thế; Fb: Yyraya Tore Chọn A a a Trong mặt phẳng (ABC), kẻ BH  AC �BH  AA�  AA�  ABC   � � �BH  AC �AA� �AC   A � BH   AA�� C C Ta có: � �� H hình chiếu A� B lên mặt phẳng  AA C C  Suy ra: A� �� � � A� B;  AA�� C C  � A� B, A� H  BA H B  A� C � A� BC cân A� Dễ thấy AB  AC � A�     B  A� C  x Điều kiện x  Đặt: A� �� BC ta có: BC  A� B  A� C  A� B A� C cos BA C Áp dụng ĐL cosin cho tam giác A� � a  x  x  x.x 2 Ba � 3a  x � x  a � A� 2 B  AA�  3a  2a  a AB vuông A , ta có: AB  A� Xét A� � BH  a Do đó: AB  BC  BC  a � ABC tam giác a BH �� sin BA H   �� A� B a � BA H  30� BH vuông H : Xét A� � A ' B;  AA�� C C   30� Vậy   Câu 15 [2H1-3.4-2] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) Cho khối chóp S ABC có  ABC  SA  a Biết thể tích đáy ABC tam giác đều, SA vng góc với mặt phẳng khối chóp S ABC 3a Tính độ dài cạnh đáy khối chóp S ABC A 2a B 3a C 2a D 2a Lời giải Tác giả: Trần Đình Thái ; Fb: Đình Tháii Chọn A  x  0 Gọi độ dài cạnh đáy tam giác ABC x 3a VS ABC  SA.S ABC  3a � S ABC   3a a Ta có x2 Diện tích tam giác ABC x2  3a � x  12a � x  2a Từ suy Vậy độ dài cạnh đáy 2a Câu 16 [2H1-3.4-2] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) Cho tứ diện ABCD Gọi a PQ  P, Q trung điểm cạnh BC , AD Giả sử AB  CD  a Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 90� B 45� C 30� D 60� Lời giải Tác giả: Dương Thị Vân Thanh; Fb: dtvthanhnt@gmail.com Chọn D IP  IQ  a a PQ  2, nên Gọi I trung điểm AC Xét tam giác IPQ có 2 � Q  IP  IQ  PQ  1 cos PI � �  60� �  120� 90� AB, CD   180�  PIQ 2.IP.IQ PIQ ,  S ABC Câu 17 [2H1-3.4-2] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hình chóp tích 27 (đvtt) diện tích tam giác ABC 18 (đvdt) Tính khoảng cách từ  ABC  đỉnh S đến mặt phẳng A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa ; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn Chọn B 1 VS ABC  d  S , mp  ABC   S ABC � 27  d  S , mp  ABC   18 3 + Ta có � d  s, mp  ABC    Chọn B Câu 18 [2H1-3.4-2] (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA  SCD  hợp với đáy góc 60�, M trung điểm BC Biết vng góc với đáy, mặt bên a3  SCD  thể tích khối chóp S ABCD Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng a a a A B C D a Lời giải Chọn C Ta có: CD  AD � � � CD  SA  SA   ABCD   � CD   SAD  � SD  CD � �  ABCD  � SCD   CD � CD  SD � �  60� � �� SCD  ,  ABCD  � SDA � CD  AD � � � Ta có Đặt AB  x , với x  Ta có: SA  AD tan 60� x x3 a3  VS ABCD  S ABCD SA  x x  3 �xa Do M trung điểm BC nên: 1 d� M ,  SCD  � B,  SCD  � A,  SCD  � � � d � � � d � � � AB //  SCD  (do Trong SAD , kẻ AH  SD Ta có: � �AH  SD � AH   SCD  � �AH  CD  CD   SAD   d� A,  SCD  � � AH Suy ra: � 1   2 AD SA Trong SAD , ta có: AH  � AH  Vậy SA AD SA  AD 2 d� M ,  SCD  � � �   a 3.a  a 3  a2  a 1 a a d� A,  SCD  �   � � 2 S ABC Câu 19 [2H1-3.4-2] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hình chóp  ABC  a Tính diện tích tích a khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng tam giác ABC 3a a A a B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa ; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn Chọn B 1 VS ABC  d  S , mp  ABC   S ABC � a  d  S , mp  ABC   2a 3 + Ta có � d  s, mp  ABC    3a Chọn B B C có cạnh bên Câu 20 [2H1-3.4-2] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� a đáy tam giác vuông A, AB  a, AC  a Ký hiệu  góc tạo hai mặt phẳng A  A ' BC  tan   B�  BCC �  Tính B tan   tan  C Lời giải tan   D tan   Tác giả:; Fb: Đào Duy Cang Chọn B Kẻ A ' H  B ' C ' , H thuộc B ' C ' A ' H   BCC ' B '  Suy H  BCC ' B ' kẻ HK  BC K Trong �BC  HK � BC  A ' H  A ' H  BCC ' B ' Ta có � � BC   A ' HK  A ' K � A ' HK  Mà � BC  A ' K �  A ' BC  � BCC ' B '  BC � �BC  HK  gt  � BC  A ' K  cmt  Ta có �  A ' BC   BCC ' B ' � Suy A ' KH góc � Tính góc A ' KH Xét A ' KH vng H có A ' B ' A ' C ' a.a a A' H    2 A ' B '2  A ' C '2 a2  a , HK  a   a A ' H tan � A ' KH    HK a Ta có Câu 21 [2H1-3.4-2] (n Phong 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc a � BAD  60� Biết cạnh SA , SB , SD Gọi góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  A  Tính sin  ? 30 B C Lời giải D Tác giả: ; Fb: Trang Đỗ Chọn B Gọi O giao điểm BD AC Ta có ABCD hình thoi suy O trung điểm hai đường chéo BD AC Ta có ( SBD) �( ABCD)  BD � SBD cân S � SO  BD ; ABD � AO  BD Khi đó:   SOA SA  SB  SD S ABD Mặt khác ABD nên hình chóp � SH   ABD  với H trọng tâm ABD AO  AD  OD  a Xét AOD vuông O có: a a 15 AH  AO  HO  AO  SH  SA2  AH  a 3 , , , Ta có: a SO  SH  HO  SH 30 sin    SO Do đó: Câu 22 [2H1-3.4-2] (Chun Bắc Giang)Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh đáy 2a ,  AB'C'   A'B'C'  cạnh bên a Tính góc hai mặt phẳng 0 450 B 60 C 30 D 75 A Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Bình; Fb: Nguyễn Văn Bình Chọn C H  B'C' ( A'B'C' tam giác đều) Gọi H trung điểm B'C' suy A�  AA'H   B'C' � AH  B'C' Mặt khác AA'  B'C' nên ta suy  AB'C'  � A'B'C'   AH Ta có  AB'C'   A'B'C'  � AHA' Suy góc Xét tam giác A'B'H vng H ta có: A'H  Xét tam giác AA'H vng A' ta có: Vậy góc hai mặt phẳng A'B'  B'H  4a  a  a tan � AHA'   AB'C'   A'B'C'  AA' a   �� AHA'  300 A'H a 3 30 Câu 23 [2H1-3.4-2] (Hai Bà Trưng Huế Lần1) Cho hình lập phương có cạnh 2a Khi thể tích khối bát diện có đỉnh tâm mặt hình lập phương cho a3 4a a3 A a B C D Lời giải Chọn D S B O A C D E Với SO  OB  OC  a a3 VS OBC  SO.OB.OC  6 Thê tích khối bát diện đều: V  8VS OBC a 4a   Câu 24 [2H1-3.4-2] (Yên Phong 1) Cho hình chóp SABC có SA  a vng góc với đáy, đáy ABC �  SAC  tam giác vng B có BAC  60�, AC  a Tính khoảng cách từ B đến a A a B a C Lời giải a D Tác giả: ; Fb: Biện Tuyên Chọn C S a a A C H B Cách 1: BH  AC  H �AC  Kẻ: SA  ABC   Mà BH  SA  � BH   SAC  � d  B,  SAC    BH � a BC  � � �  �� a �BC  AC.sin  60� �AB  � AB  AC c os 60 �   � � Xét ABC vng B , ta có: ABC Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông : a 3a a AB.BC  2 � BH  BH AC  AB.BC a AC d  B,  SAC    Vậy: Cách 2: Ta có: VSABC  VBSAC � d  B,  SAC    a  d  B,  SAC   SSAC 3VSABC SVSAC �1 � � SA AB.BC � a2 �  � a AB BC   SA AC  a AC Câu 25 [2H1-3.4-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , góc mặt bên mặt đáy 60� Thể tích khối chóp cho 6a 3a 3a 3a A B C D Lời giải Tác giả:Nguyễn Trần Tuấn Minh; Fb: Tuấn Minh Phản biện: Nguyễn Phương Thu;Fb: Nguyễn Phương Thu Chọn D Do S ABCD hình chóp nên đáy ABCD hình vng, SO đường cao hình chóp (với O tâm hình vng ABCD ), góc mặt bên mặt đáy 60� � IO  AB  a � � a �� � SO  IO.tan SIO �  60� �   SBC  ,  ABCD    SIO � Gọi I trung điểm BC Vậy VS ABCD  1 3a SO.SABCD  a  2a   3 Câu 26 [2H1-3.4-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Lăng trụ có chiều cao a , đáy tam giác vng cân tích 2a Cạnh góc vng đáy lăng trụ A 4a B 2a C a D 3a Lời giải Tác giả: Ngọc Thanh; Fb: Ngọc Thanh Chọn B Gọi x  x  0 độ dài cạnh góc vng đáy lăng trụ Do đáy lăng trụ tam giác vng cân nên có diện tích Vì lăng trụ có chiều cao a tích 2a nên S đ a  2a3 � Sđ  2a � x  a � x  2a Vậy cạnh góc vng lăng trụ 2a Sđ  x ... V  SO.S ABCD  a 7.4a  3 Thể tích khối chóp S ABCD Câu 12 [2H1-3.4-2] (THPT Nghèn Lần1) Cho khối chóp S ABCD có cạnh đáy a thể 2a  SAD  tích Khoảng cách từ B đến mặt phẳng a A a B C a... [2H1-3.4-2] (CổLoa Hà Nội) Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M cạnh AB cho AM  2MB Biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng  ACD  Tính khoảng cách từ B  ACD  đến mặt phẳng A B C 12 Lời giải... ABC Câu 17 [2H1-3.4-2] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hình chóp tích 27 (đvtt) diện tích tam giác ABC 18 (đvdt) Tính khoảng cách từ  ABC  đỉnh S đến mặt phẳng A B C D Lời giải