SKKN GIẢI các bài TOÁN về KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị:TRƯỜNG THPT NAM HÀ Mã số: ……… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Người thực hiện: NGUYỄN THỊ TH

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị:TRƯỜNG THPT NAM HÀ

Mã số:

………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI

ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ THANH TRANG Lĩnh vực nghiên cứu: TOÁN HỌC

Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN HỌC Phương pháp giáo dục

Lĩnh vực khác: ………

Năm học: 2012-2013

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

1 Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Trang

2 Ngày tháng năm sinh: 08-02-1972

8 Đơn vị công tác:Trường THPT Nam Hà

- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ ) cao nhất: cử nhân khoa học tự nhiên

- Năm nhận bằng: 1994

- Chuyên ngành đào tạo:toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm:

- Số năm có kinh nghiệm:19

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

giải phương trình bằng phương pháp đồ thị

giải bất phương trình bằng phương pháp đồ thị

A MỞ ĐẦU :

TÊN ĐỀ TÀI

KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY:

GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: Các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

là chủ đề tương đối khó đối với học sinh, học sinh rất lúng túng và thường bỏ qua Tuy nhiên những năm gần đây trong các đề tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng phần hình học không gian thường có câu: tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bên cạnh tìm thể tích khối đa

diện.Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, nhằm trang bị thêm cho học sinh vốn kiến thức khi làm toán, đồng thời giúp cho học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học và vận dụng vào việc giải bài tập một cách năng động sáng tạo

2) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Nhằm củng cố cho học sinh kiến thức

để phát triển tư duy, óc sáng tạo, đồng thời bổ sung vào vốn kiến thức của các em để chuẩn bị sau này cho các kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, học sinh giỏi

3) PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

Trong chương trình toán lớp 11 Học sinh lớp 11, 12 khá giỏi mà chúng ta đang giảng dạy

4) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Nghiên cứu nhiều tài liệu khác nhau, tập hợp lại thành một tập tài liệu Tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp.Trong quá trình giảng dạy toán khối lớp 11, học sinh khá, giỏi và luyện thi đại học, cao đẳng, tôi

đã lồng các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, nhất là trong một số giờ tự chọn tôi đã lồng các bài tập này cho các em

Nghiên cứu các tài liệu các sách giáo khoa, sách tham khảo và chọn lọc một số bài có tính đặc trưng, quen thuộc mà các em có thể giải quyết được

B NỘI DUNG:

1) CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Cơ sở của phương pháp này dựa vào các tính chất sau đây:

1/Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

 đđđường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b là đường thẳng d cắt a

và b và cùng vuông góc với a và b

 Nếu d cắt a và b lần lượt tại M; N thì MN được gọi là đoạn vuông góc chung của a và b

Khỏang cách giữa a và b là: d(a,b) = MN

2/Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

A

M

 Dựng mp() chứa b và song song a

 Dựng hình chiếu vuông góc a’của a trên mp()

 Từ giao điểm B của a’ và b, dựng đường thẳng vuông góc với mp(), rồi lấy giao điểm của A của đường thẳng này với a

3/Tính chaát: Với a, b là hai đường thẳng chéo nhau

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng còn lại

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

a

b P

Q

M

N

2) CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ:

☼ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG CÁCH SỬ DỤNG :

ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Bài 1: Trong mặt phẳng (P), cho đường tròn đường kính AB = 2R và M là điểm trên đường tròn đường kính AB.Gọi AS là đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng (P).Cho 0

P

A

B

Ta có :

) 1 ( )

(

)

(

AM SA

BˆAB.sinAAM

(

)1(

)()

(

)(

)(

)

(

)(

)

(

can)giacchat tamtinh

(

hcn la ABCD CD

BC

SB

BC

SAB BC

hcn la ABCD

AB ABCD

SB

d( ,C )B 3



Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC=a; 0 0

90ˆ

;60ˆ

  AOBvà  AOC đều;

 AB=AC=a ;BC  a 2   ABCvuông tại A

  AOB đều BIOA(1)

  AOC đều  CI  OA(2)

Từ (1) ;(2) suy ra: OA(BIC)

IJ(*)OA

 vuông cân tai A và  OBCvuông cân tai O

Chứng minh tương tự : BC(AOJ)

IJ(**)B

Từ (*) ;(**) suy ra :IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC

Vậy :

2C)

,

(OA B IJ a

Bài 4:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = a; CD = 2a

)

( ABCD

SD  , E là trung điểm đoạn CD

a/Tính khoảng cách giữa đường thẳng SD và AB

b / Tính khoảng cách giữa đường thẳng SD và BC

a/Tính khoảng cách giữa đường thẳng SD và AB

AD SD

ABCD

AD

AB  ( ABCD là hình thang vuông tại A)(2)

Từ (1) ;(2) suy ra :AD là đoạn vuông góc chung của SD và AB

a AD AB

,

(SD BC BD a



Bài 5:Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên 2a.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Tính khoảng cách giữa đường thẳng SG và BC

Lược Giải:

B S

Gọi I là trung điểm BC

SABC là hình chóp tam giác đều,nên : SG  ( ABC )

Lược Giải:

H N

2

5

; CN DM a DM



4

5

2

DM CN

  CDN vuông tại D có DH là đường cao

52

2 2

a CN

CD

CH

CN CH

CH SH

6

1

3

DM CN SH S

( :

Vi (

cmt) (

SHC DM

ABCD SH

(

) (

HK DM

a SC

HC SH

HK

HC SH SC

,



Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông cạnh a.Tính khoảng cách giữa A’B và B’C’

Gọi I; I’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’

K là trung điểm của B’I’

E; H lần lượt là tâm của hình bình hành AA’B’B và AA’I’I

  A ' C ' I 'vuông tại I’.Nên :

2

3'

'''''I A C2 C I 2 a

  AA ' I 'vuông tại A’.Nên :

2

7'

''' AA2 A I 2 a

//

''

'

C B KE H

1)

'','



☼ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG CÁCH SỬ DỤNG :

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐƯỜNG THẲNG NÀY ĐẾN MẶT PHẲNG SONG SONG CHỨA ĐƯỜNG THẲNG KIA

Bài 1:Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a,cạnh bên bằng a.Gọi O là tâm hình vuông ABCD I là trung điểm đoạn AB Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và SC

Lược Giải:

J I

Gọi J là trung điểm của CD

H là hình chiếu của I lên SJ(1)

  SJCvuông tại J.Nên :

3

6

.

SJ

IJ SO IH

IJ SO SJ

IH CD SOI

IH

SOI CD

)(,()(,(),



Bài 2:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là vuông tại cạnh a, SA  ( ABCD ) SA  a 3 a/Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và SB

b/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng SC và AB

Gọi H là hình chiếu của A lên SBAH  SB (1)

K là hình chiếu của A lên SD

a /

  SABvuông tại A.Nên : SB SA2AB2 2a

  SABvuông tại A.Có AH là đường cao

2

3

.

SB

AB SA AH AB

SA SB

SA BC

AB BC

)(,()(

;(),

)(,()(

;(),



Bài 3(ĐH KTQD 01) : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB = 2a;

BC = a.Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 Gọi M; N lần lượt là trung điểm đoạn

AB và CD; K là điểm trên đoạn AD sao cho

I O

Gọi I là trung điểm của AD

H là hình chiếu của O lên SI.(1)

Vì :SA = SB = SC = SD

Nên : SO  ( ABCD )

) 2 (

  SOI vuông tại O Có OH là đường cao Nên :

721

3

71

11

2 2

2 2

a OH

a OI

)(,()(

;(),



Bài 4(ĐH-CĐ 07B):Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC Chứng minh MN  BD và tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và AC

SAC NK

BD NK

SAC BD

AC BD

PC BD

//

SAC MN

SAC PC

PC MN

(,()(

;(),



Bài 5 (ĐH 08D): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’,có đáy ABC là tam giác vuông

AB=BC=a,cạnh bên AA ' a  2 Gọi M là trung điểm đoạn BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’và khoảng giữa hai đường thẳng AM và B’C

Lược Giải:

a/ Thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’

2

2 '.

3 '

'

'

.

a S

AA

VABC A B C  ABC 

b/ Khoảng giữa hai đường thẳng AM và B’C

Gọi N là trung điểm của BB’

M N

C B

C' B'

B AMN

B d AMN C

B d C B

AM

d( , ' ) ( ' ;( ) ( ',( )( ,( )B



(Vì :N là trung điểm của BB’và H là hình chiếu của B lên mp(AMN))

Theo kết quả bài tập 4 trang 105 sgk hình 1.Ta có :

7

7

71

11

1

2 2 2

)',

Bài 6 (ĐH 12-A-A1):Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) là H nằm trên AB sao cho AH = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và

mp(ABC) bằng 600

Tính theo a thể tích khối chóp SABC và khoảng giữa hai đường thẳng SA và BC Lược Giải:

d I

J

K F

SH3

7HI

HC2

3CD

6

0 2

CI a

a

12

7 3

21 4

3 3

1

3

S SH

khoảng giữa hai đường thẳng SA và BC

Qua A vẽ d // BC Gọi J và K lần lượt là hình chiếu của H trên d và SJ

Gọi E là giao điểm HJ với BC Gọi F là hình chiếu của E trên SJ

3)

(,()(

;(),

HK

;3

62SH

SJ3

360

sinHJ

3

SJ

HJ SH a

HJ

a AH

a

8

42a)(,(2

32

3)

(,()(

;()

,

(SA BC  d BC SAJ d E SAJ  EF  HK  d H SAJ 

d

Bài 7: Cho hình lâp phương ABCD.A’B’C’D’,có cạnh a Gọi M ;N lần lượt là trung điểm đoạn AC và

AD Tính khoảng giữa hai đường thẳng DM và D’N

Lược Giải:

J

N

I M D

A

C

B

B' A'

C' D'

H

Gọi I là trung điểm của AM

Dựng hình chữ nhật IMDJ Gọi H là hình chiếu của D trên D’J

Ta có : JN (D'DJ).Suy ra : JN  DH(2)

Từ ( 1) ;(2) Suy ra : DH  ( D ' JN ).

DH JN

'

D

;4

23'

DJD'4

J D

DJ DD H

a DJ

'(,()'(

;()'

Qua D vẽ d // AC Gọi E là hình chiếu của A trên SI.(1)

vẽ AI // BD(I nằm trên d) AI  Dd

) 2 ( )

(

)

(

AE Dd

;2

6SI

2

SI

AI SA AE

a AI SA

(,()(

;(),



☼ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG CÁCH SỬ DỤNG :

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG LẦN LƯỢT CHỨA HAI ĐƯỜNG THẲNG ĐÓ.

Bài 1 :Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’,có BB’=a góc giữa BB’ và mp(ABC)bằng 600,tam giác ABC vuông tại C và 0

'B G 

2

360

s'Bˆ's

)(

,'()(

);

'''((

),

Bài 2:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a; AD = 2a

a SA ABCD

SA  ( )  2 .Gọi M; N; I lần lượt là E là trung điểm đoạn SA; SD;AD

a/Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật

b / Tính khoảng cách giữa đường thẳng SB và IC

Lược Giải:

N M

) 1 ( //

//

//

a BC AI MN

BC MN AI

BC

AI MN

)(

:

ra

Suy

)//(

//

)//(

//

NIC SAB

SAB NC

MB

NC

SAB IN

I d NIC SAB

d IC SB

(**) )

(

) (

BM BC

Bài 3: Cho hình lâp phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Gọi N là trung điểm đoạn BC; F là trung điểm đoạn BB’; E là điểm trên A’D’ sao cho D’E = 2A’E Tính khoảng giữa hai đường thẳng FN và

D A

E

Ta có :(AA'D'D)//(BB'C'C)

a CD D

D AA C d C C BB D D AA d DE

FN

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, ,tam giác ABC vuông tại

A ; AB=a ; AC  a 3và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C’ và AI

Gọi I là trung điểm của BC

2

12

1AI2

)(

,'()(

);

'''((

),

3) Những kết quả đạt được trong quá trình thực hiện:

Tạo cho học sinh hứng thú trong việc giải các bài tốn về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bản thân học sinh tự tin, phân tích vấn đề nhạy bén hơn, tư duy logic hơn, cĩ cái nhìn tổng quát hơn Học sinh phát huy được khả năng tự học, tự tìm tịi, đặc biệt chủ động hơn trong việc giải tốn

4) Giả thiết khoa học và nhiệm vụ nghiên cứu:

Nhiệm vụ của đề tài là tìm một giải pháp cĩ tính khoa học, lập đề cương, thơng qua tổ chuyên

mơn.Được sự đồng ý của Ban giám hiệu và tổ chuyên mơn, giáo viên lên kế hoạch và tiến hành thực hiện vận dụng giải pháp vào quá trình giảng dạy Sau đĩ thường xuyên kiểm tra, so sánh đối chiếu và đánh giá kết quả cuối cùng để rút ra được kinh nghiệm từ thực tiễn cơng việc đã làm

Nếu kết quả được đánh giá là thành cơng thì thơng qua tổ, chuyên đề này sẽ được phổ biến, cùng nhau

áp dụng để nâng cao chất lượng giảng dạy bộ mơn

 Thực trạng :

Qua đề tài này học sinh cĩ thể tự giải các bài tốn về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Tự đánh giá kết quả của đề tài :

Những điểm thực hiện tốt:

Học sinh sẽ cĩ kỹ năng hơn về việc giải các bài tốn về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Học sinh vận dụng được kiến thức của mình trong việc giải các bài tốn về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Kết luận:

1) Bài học kinh nghiệm:

Giáo viên thể hiện được tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy của mình qua các tiết ơn tập là lấy học sinh làm trung tâm.Thầy chủ đạo cịn trị chủ động

Giáo dục cho học sinh được tính độc lập suy nghĩ, tính kiên trì, biết tìm tịi vấn đề, phát hiện vấn đề trong quá trình tự ơn tập.Nhất là phát huy được khả năng phân tích và tổng hợp một vấn đề

Đây là kinh nghiệm được tích lũy trong quá trình dạy tốn của tơi, qua phương pháp này tơi đã cung cấp một số kỹ năng giúp cho học sinh chuẩn bị cho các kì thi tuyển sinh, chọn học sinh giỏi Qua đề tài này tơi mong các quý đồng nghiệp giúp đỡ , bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm mang lại hiệu quả tốt hơn, thiết thực hơn

2) Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:

Qua đề tài này, nếu được hội đồng khoa học ngành chấp nhận.Hướng nghiên cứu tiếp của tơi với đề tài: giải các bài tốn về thể tích khối đa diện; khối trịn xoay

 Tài liệu tham khảo:

 Sách giáo khoa lớp 11; Sách bài tập lớp 11

 Sách giáo khoa lớp 11 nâng cao; Sách bài tập nâng cao lớp 11

Đơn vị :Trường THPT Nam Hà Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Biên Hòa , ngày 12 tháng 12 năm 2012

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến, đối mới từ giải pháp đã có

2 Hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả