D04 các bài toán khác(góc, khoảng cách, ) liên quan đến thể tích khối đa diện muc do 3

Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau.. Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , ta xác định hình

Trang 1

Câu 35: [2H1-3.4-3] [1H1-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1) Cho tứ diện có

Hai tam giác và có diện tích lần lượt là và Biết thể tích khối tứdiện bằng Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng

Lời giải Chọn B

Gọi là hình chiếu của xuống Ta có Gọi là hình chiếu của xuống , dễ thấy Vậy

Câu 21 [2H1-3.4-3] (THPT HOA LƯ A- LẦN 1-2018)Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả

các cạnh bằng Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối

đá thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói

trên (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá đầu).

Lời giải Chọn D.

Gọi , , , lần lượt là giao điểm của mặt phẳng cắt với cạnh bên , , ,

Trang 2

Câu 41 [2H1-3.4-3] (THPT HOA LƯ A- LẦN 1-2018)Cho hình hộp chữ nhật có đáy là

hình vuông cạnh , Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Gọi lần lượt là tâm của hai mặt đáy.Khi đó tứ giác là hình bình hành và

Câu 47 [2H1-3.4-3] (THPT HOA LƯ A- LẦN 1-2018)Cho khối lăng trụ đứng, mặt phẳng đi qua và các

trung điểm của , chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỷ số thể tích bằng với Tìm

Trang 3

A B C D

Lời giải Chọn D

Gọi lần lượt là trung điểm của và là độ dài chiều cao của khối lăngtrụ Khi đó ta có

Mặt khác

Suy ra

Câu 23 [2H1-3.4-3] (Chuyên Bắc Ninh - Lần 1 - 2018) Hình lăng trụ có đáy là

tam giác vuông tại Hình chiếu vuông góc của trên nằm trênđường thẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Lời giải Chọn C

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

Trang 4

Câu 6 [2H1-3.4-3] (THPT XUÂN HÒA-LẦN 1-2018) Cho hình chóp tứ giác có đáy là

vuông; mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biếtkhoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng Tính thể tích của khối chóp

Câu 45 [2H1-3.4-3] (THPT XUÂN HÒA-LẦN 1-2018) Cho hình lăng trụ đứng , biết đáy

là tam giác đều cạnh Khoảng cách từ tâm của tam giác đến mặt phẳng bằng Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải

Chọn D

Trang 5

Câu 37 [2H1-3.4-3] (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho hình chóp tam giác

đều có các cạnh bên , , vuông góc với nhau từng đôi một Biết thể tích của hình chóp bằng Bán kính mặt cầu nội tiếp của tứ diện là

Lời giải Chọn A

Do nên các tam giác vuông cân tại , do , , vuônggóc với nhau từng đôi một nên ta có:

.Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp

Trang 6

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên

Câu 14: [2H1-3.4-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình chóp

có , là tam giác đều cạnh và tam giác cân Tính khoảng cách

từ điểm đến mặt phẳng

Gọi là trung điểm Do tam giác đều nên

Trong tam giác , kẻ

Theo giả thiết, ta có , (đường cao trong tam giác đều cạnh )

Tam giác vuông nên

Trang 7

Câu 27: [2H1-3.4-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình lập phương

có cạnh bằng Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho Tính khoảng cách

từ điểm đến

Ta có:

Câu 45 [2H1-3.4-3] (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng

trụ đứng có đáy là tam giác vuông, , , là trung điểm của Khoảng cách giữa hai đường thẳng , là

Trang 8

Cách 1: Gọi là trung điểm

Ta có

Mà là trung điểm nên

 Trong mặt phẳng , kẻ thì

Câu 32 [2H1-3.4-3] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)

Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng Tính khoảng cách

từ đỉnh tới mặt phẳng đáy ?

Trang 9

Hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên là hình tứ diện đều cạnh

Khi đó, hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm đường tròn ngoại

Vậy

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông , cạnh bên

Gọi là trung điểm của Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

?

Trang 10

Nhận xét: hai đường thẳng và chéo nhau và không vuông góc nên ta chọn phươngpháp tính thông qua đoạn vuông góc chung.

Qua điểm , dựng đường thẳng với Ta dễ dàng chứng minh được

Theo định lý Talet trong tam giác với , ta có

Có là đường cao của tam giác vuông nên

Có là đường cao của tam giác nên

Vậy, ta có:

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , Hình chiếuvuông góc của trên mặt đáy là trung điểm của cạnh Biết Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ?

Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , ta xác định hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng qua các bước sau:

Trang 11

- Dựng với , chứng minh được và

- Dựng là hình chiếu vuông góc của trên , ta chứng minh được

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều nằm trong mặtphẳng vuông góc với đáy Gọi , lần lượt là trung điểm của , Ta có của góctạo bởi hai mặt phẳng và bằng:

Ta có: là trung điểm thì (vì tam giác đều)

Mà

Mặt khác

Mà , với là trung điểm

Trang 12

Khi đó

Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với đáy và

Biết diện tích tam giác là , khoảng cách từ điểm đến là

Vì đáy là hình vuông tâm nên ; , suy ra

Vậy là khoảng cách từ điểm đến : ,

Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một Biết

, , Khoảng cách từ đến bằng:

Trang 13

Vậy khoảng cách từ đến là , trong tam giác vuông :

Cho hình chóp có đáy là hình vuông, Cạnh ,khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng:

Câu 45: [2H1-3.4-3] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho lăng

trụ đứng có tất cả các cạnh đều bằng Gọi là trung điểm cạnh là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng Tính giá trị

Trang 14

Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh

Khi đó ta có nên góc giữa và bằng góc giữa và Mặt khác ta có đều (vì có ba cạnh bằng nhau) nên , lại có nên

, suy ra

Ta có là đường cao tam giác đều nên

Câu 39 [2H1-3.4-3] (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm

2017-2018) Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng Thể tích phần chungcủa hai khối và bằng

Gọi , , , , , lần lượt là giao điểm của và , và , và ,

và , và , và Phần chung của hai khối và là khối

Trang 15

Thể tích khối là:

Câu 27 [2H1-3.4-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ

có đáy là tam giác vuông cân tại , Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho Mặt bên tạo với đáy một góc Thể tích khối lăng trụ là:

Ta có tạo với đáy một góc là , với

Vậy thể tích khối lăng trụ là:

Câu 43 [2H1-3.4-3] (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện có

, và Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng Biết thể tích của khối tứ diện bằng Góc giữa hai mặt phẳng và

là

Trang 16

Gọi là trung điểm cạnh và là trung điểm cạnh

Câu 44 [2H1-3.4-3] (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều

có cạnh đáy bằng Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc Mặtphẳng chứa và đi qua trọng tâm của tam giác cắt , lần lượt tại và Thể tích khối chóp là

Trang 17

Gọi là trung điểm cạnh và là tâm hình vuông

Ta có là hình chóp tứ giác đều nên các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau

có đáy là tam giác vuông và , , là trung điểm của Tính khoảng cách của hai đường thẳng và

Lời giải Chọn C.

Trang 18

Tam giác vuông và nên chỉ có thể vuông tại

Kẻ

Tứ diện là tứ diện vuông

chóp có đáy là tam giác vuông tại , , và Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Gọi là trung điểm của cạnh Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

Trang 19

biết , , đôi một vuông góc với nhau, biết và thể tích khối tứ diện bằng 6 Khi đó khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng:

Trang 20

A B C D

Câu 48 [2H1-3.4-3] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ

giác đều Mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng , cắt đường thẳng tại Gọi và lần lượt là thể tích các khối chóp và Tính số

đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp biết

Gọi là trung điểm Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc

Kéo dài Đây là giao điểm cần tìm

Trang 21

Xét tam giác vuông vuông tại có

Câu 28 [2H1-3.4-3] (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ

diện có , hai tam giác , có diện tích lần lượt là và Biết thểtích của tứ diện bằng , tính số đo góc giữa hai mặt phẳng và

* Do đó góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc

có đáy là tam giác đều cạnh bằng , biết Tính thể tích khối lăng trụ ?

Trang 22

A B C D

Gọi là trọng tâm tam giác Theo giả thiết ta có là tam giác đều cạnh bằng và

nên là tứ diện đều cạnh hay là đường cao của khối chóp

Xét tam giác vuông ta có

Diện tích tam giác là

có đáy là tam giác vuông vuông tại , , Đường thẳng tạo với mặt phẳng góc Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

Hướng dẫn giải Chọn B.

Trang 23

Ta có , dễ thấy góc giữa đường thẳng tạo với mặt phẳng là góc

có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh Góc giữa mặt phẳng

và mặt phẳng bằng Tính thể tích của khối lăng trụ ?

Vì tam giác vuông cân tại , cạnh nên

Vậy thể tích của khối lăng trụ là:

Câu 38 [2H1-3.4-3] (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho

hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , Gọi là

Trang 24

trung điểm cạnh , biết hai mặt phẳng , cùng vuông góc với đáy và thể tích khối chóp bằng Tính góc giữa hai mặt phẳng ,

Câu 40 [2H1-3.4-3] (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác

đều có thể tích Gọi là trung điểm cạnh Nếu thì khoảngcách từ đến mặt phẳng bằng bao nhiêu?

Trang 25

Gọi là tâm hình vuông

Câu 42 [2H1-3.4-3] (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho hình

chóp có đáy là hình vuông, vuông góc với mặt phẳng , góc giữađường thẳng và mặt phẳng bằng Biết rằng thể tích khối chóp

bằng Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

Trang 26

Đặt cạnh của hình vuông là ,

Vì nên suy ra góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc Vậy Do đó tam giác vuông cân tại Suy ra

Theo bài ra thì Vậy

Cách 1: Qua dựng đường thẳng song song với , qua dựng đường thẳng song song với Gọi là giao điểm của và Ta có

Trong mặt phẳng dựng vuông góc với tại (1)

Vì nên suy ra (2) Mặt khác nên (3)

Trang 27

Từ đó ta có

Câu 35 [2H1-3.4-3] (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho

hình lăng trụ có thể tích bằng Các điểm , , lần lượt thuộc các cạnh, , sao cho , Tính thể tích của đa diện

, tam giác vuông cân tại và Gọi lần lượt là trungđiểm của và Trên hai cạnh lấy các điểm tương ứng sao cho

Tính thể tích của tứ diện

Ta có

Cách 1 :

Trang 28

Lấy điểm sao cho

Gọi lần lượt là khoảng cách từ đến mặt phẳng

Trang 29

Suy ra (đvtt).

có đáy là hình vuông cạnh và cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi là trung điểm của cạnh Biết thể tích của khối chóp bằng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Lời giải Chọn A.

Trang 30

Gọi ta có Gọi là hình chiếu của lên Khi đó

tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

trùng với trọng tâm tam giác Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

Lời giải Chọn A.

Do đều trọng tâm và nên là hình chóp đều.Gọi là trung điểm của , khi đó

Gọi là hình chiếu của trên Khi đó do nên

là đường vuông góc chung của hai đường thẳng và Do đó

cạnh Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tamgiác Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng Khi đó thể tích củakhối lăng trụ là

Trang 31

A B C D

Gọi là trọng tâm của , là trung điểm của

.Gọi là hình chiếu của lên

Xét tam giác vuông tại , ta có:

Vậy thể tích của khối lăng trụ là:

Câu 24 [2H1-3.4-3] (THPT HỒNG LĨNH HÀ TĨNH-2018) Cho khối lăng trụ , mặt bên

có diện tích bằng Khoảng cách đỉnh đến mặt phẳng bằng Thểtích khối lăng trụ đã cho bằng

Trang 32

Gọi là thể tích khối lăng trụ khi đó Theo đề bài ta có

Câu 43: [2H1-3.4-3] (THPT TRẦN NHÂN TÔNG QUẢNG NINH-LẦN 1-2018) Cho hình chóp

có đáy là hình chữ nhật cạnh , Mặt phẳng và cùng vuông góc với Gọi là hình chiếu vuông góc của trên Tínhkhoảng cách giữa và biết

Hướng dẫn giải Chọn C.

Trong tam giác vuông tại và đường cao , ta có

nên

Trang 33

với nhau, và , Gọi là trung điểm của Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

Lời giải

Trang 34

Chọn D.

Gọi là trung điểm của suy ra

.Xét tam giác vuông cân :

Trong tam giác cân , gọi là trung điểm của ta có

Câu 33: [2H1-3.4-3] (Đề thực nghiệm - 03-2018) Xét hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có độ dài tất cả các

cạnh bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy hình hộp một góc Khối hộp tạo bởi hình hộp đã cho có thể tích lớn nhất bằng

Hướng dẫn giải Chọn D.

Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy hình hộp bằng 60

Suy ra chiều cao của hình hộp bằng =

Vậy để thể tích của hình hộp đã cho là lớn nhất thì đáy của hình hộp là hình vuông

Thể tích của khối hộp lớn nhất bằng

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	4,64 MB