Dang 6. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số(VDC)

Câu [2D1-5.6-4] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số liên tục ( 0;+ ∞ ) thỏa mãn f ′( x) + y = f ( x) f ( x) x = x + 3x, ∀x ∈ ¡ A y = − 16 x − 20 B x = y = 16 x − 20 C y = 16 x + 20 D y = − 16 x + 20 tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) f ( 1) = có đạo hàm Phương trình điểm có hồnh độ Lời giải Tác giả: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope Chọn B Ta có f ′ ( x) + f ( x) x = x + x ⇔ x f ′ ( x ) + f ( x ) = x + 3x ⇔ ( x f ( x ) ) ′ = x3 + 3x ⇔ x f ( x ) = ∫ ( x + 3x ) dx ⇔ x f ( x ) = x + x + C Vì f ( 1) = ⇒ f ( 1) = + C ⇔ = + C ⇔ C = Suy x f ( x ) = x + x3 ⇒ f ( x ) = x3 + x Khi đó: f ′ ( x ) = 3x + x; f ′ ( ) = 16; f ( ) = 12 Do phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm có hồnh độ y = 16 ( x − ) + 12 ⇔ y = 16 x − 20 Câu [2D1-5.6-4] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số f ′( x) + f ( x) y = f ( x) x = x + 3x, ∀x ∈ ¡ điểm có hồnh độ y = f ( x) (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3- có đạo hàm liên tục f ( 1) = x = ( 0;+ ∞ ) thỏa mãn Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x = A y = − 16 x − 20 B y = 16 x − 20 C y = 16 x + 20 D y = − 16 x + 20 Lời giải Tác giả: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope Chọn B Ta có f ′ ( x) + f ( x) x = x + x ⇔ x f ′ ( x ) + f ( x ) = x + 3x ⇔ ( x f ( x ) ) ′ = x3 + x ⇔ x f ( x ) = ∫ ( x + x ) dx ⇔ x f ( x ) = x + x + C Vì f ( 1) = ⇒ f ( 1) = + C ⇔ = + C ⇔ C = Suy x f ( x ) = x + x3 ⇒ f ( x ) = x3 + x Khi đó: f ′ ( x ) = 3x + x; f ′ ( ) = 16; f ( ) = 12 Do phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm có hồnh độ y = 16 ( x − ) + 12 ⇔ y = 16 x − 20 Câu ( C ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi đường thẳng ∆ tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ Hỏi ∆ ( C ) có điểm chung? [2D1-5.6-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hàm đa thức bậc bốn A B y = f ( x) x = C có đồ thị D Lời giải Tác giả: Lê Vũ Hải; Fb: Vũ Hải Lê Chọn B Ta có tiếp tuyến ∆ ( C) Dựa vào đồ thị hàm số x = y = f ′ ( 1) ( x − 1) + f ( 1) f ′ ( x ) , ta có f ′ ( 1) = Vậy ∆ : y = f ( 1) Gọi a1 , a2 hai nghiệm lại f ′ ( x ) Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên: ∆ : y = f ( 1) Dựa vào bảng biến thiên ta có Câu ( C) [2D1-5.6-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hàm số thuộc đường thẳng A 34 B y= x+ x − có đồ thị ( C ) , điểm M thay đổi M có hai tiếp tuyến ( C ) với hai tiếp điểm AB qua điểm cố định H Độ dài đoạn cho qua A , B Biết đường thẳng tương ứng OH d : y = − 2x có ba điểm chung 10 C Lời giải 29 D 58 Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật Chọn D M ( m;1 − 2m ) ∈ d Gọi ∆ Gọi đường thẳng Để ∆ ∆ : y = k ( x − m ) + − 2m tiếp tuyến đồ thị k=− Thay đường thẳng qua ( C) ( x − 1) M kẻ vào hai có hệ số góc k , phương trình x+3  x − = k ( x − m ) + − 2m   − =k x −  ) hệ phương trình  ( có nghiệm phương mx + ( − m ) x − m − = ( *) Qua M x+ = k ( x − m ) + − 2m x−1 trình ta tiếp tuyến với ( C) phương trình g ( x ) = mx + ( − m ) x − m − = có hai nghiệm phân biệt x ≠ a = m ≠  m ≠ ⇔ ∆′ = ( − m ) + m ( m + ) > ⇔  m ≠  g = m + − m − m − ≠ ( )  Gọi A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) hai tiếp điểm, với x A , xB hai nghiệm phương trình ( *)  ( m − 2)  x A + xB = m  x x = − m + Theo địnhlý Vi-et ta có  A B m Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB  m−2 m+3 I ; ÷  m m −  uuur  m ( xB − x A )  AB =  xB − xA ; ÷ m −  ⇒ vectơ pháp tuyến đường thẳng Mặt khác  r n = ( 2m;1 − m ) Phương trình đường thẳng qua hai điểm AB có vectơ pháp tuyến AB r n = ( 2m;1 − m )  m−2 m+3 I ; ÷ qua điểm  m m −  2mx + ( − m ) y + − m = Gọi H ( xH ; y H ) Khi đó, điểm cố định mà đường thẳng qua 2mxH + ( − m ) yH − m + = ⇔ m ( xH − yH − 1) + yH + =  xH − y H − = ⇔  Suy  yH + = Vậy AB OH = ( − 3) + ( − ) 2 với m≠ m ≠  xH = − ⇒ H ( − 3; − )  y = −  H = 58 Phát triển câu 38 Câu 38-1 Cho hàm số d : y = 1− 2x cho qua Khoảng cách từ A 34 y= M x+ x − có đồ thị ( C ) , điểm có hai tiếp tuyến O đến đường thẳng AB B 10 ( C) M thay đổi thuộc đường thẳng với hai tiếp điểm tương ứng A, B lớn C 58 D 29 Lời giải Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi Chọn C Kế thừa Lời giải trên, ta có đường thẳng AB : 2mx + ( − m ) y − m + = định H ( − 3; − ) qua điểm cố Gọi K hình chiếu vng góc và m ≠ ) K ≡ H , tức OH ⊥ AB Vậy khoảng cách từ O AB Ta có OK ≤ OH = 58 Đẳng thức xảy hay 7.2m − ( − m ) = ⇔ m = O đến đường thẳng AB lớn 17 (thỏa điều kiện m ≠ 58 Nhận xét +) Bài toán dựa đặc điểm đường thẳng cách từ O đến AB lớn AB quay quanh điểm cố định H nên khoảng AB ⊥ OH Từ ta có cách hỏi AB qua điểm cố định H học sinh giải theo cơng thức tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB Tuy nhiên, làm theo cách +) Nếu không phát đường thẳng học sinh phải khảo sát hàm số thực bước tính tốn phức tạp Câu 38-2 Cho hàm số d : y = − 2x cho qua y= M x+ x − có đồ thị ( C ) , điểm có hai tiếp tuyến Gọi K hình chiếu vng góc O đường trịn cố định có bán kính A 58 B ( C) M thay đổi thuộc đường thẳng với hai tiếp điểm tương ứng AB Khi M di chuyển d 58 C 29 K A, B di chuyển 29 D Lờigiải Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi Chọn C Kế thừa Lời giải toán đầu tiên, ta có đường thẳng Gọi K Khi hình chiếu vng góc K nhìn đoạn OH AB ln qua điểm cố định O AB (cố định) góc vng nên chuyển đường trịn đường kính Vậy bán kính đường trịn R= H ( − 3; − ) OH OH 58 = 2 M di chuyển d K di AB Nhận xét Bài tốn kết hợp ý tưởng đường thẳng quen thuộc lớp điểm đường kính K nhìn đoạn OH qua điểm cố định góc vng K H tốn thuộc đường trịn OH Câu 38-3 Cho hàm số y= x+ x − có đồ thị ( C ) , điểm ( C) d : y = 1− 2x cho qua M có hai tiếp tuyến Chọn khẳng định M thay đổi thuộc đường thẳng với hai tiếp điểm tương ứng A, B AB cắt hai trục tọa độ B Tồn điểm M cho AB song song với trục Ox C Tồn điểm M cho AB song song với trục Oy A Đường thẳng D Không tồn điểm M cho AB qua gốc tọa độ O Lời giải Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi Chọn A AB có phương trình Theo kết tốn ban đầu đường thẳng 2mx + ( − m ) y − m + = Do đó, AB khơng thể song song với trục Tiếp đến, đường thẳng AB qua m ≠ ) Do đó, tồn điểm M Đường thẳng tơ đơn vị AB r i = ( 1;0 ) O m≠ m ≠ Ox , Oy −m+ = 0⇔ m = AB qua gốc tọa độ O cho có véc-tơ phương với r u = ( m − 1;2m ) r j = ( 0;1) trục Ox , Oy Vậy khẳng định “Đường thẳng AB nên AB cắt trục tọa độ cắt hai trục tọa độ” [2D1-5.6-4] (Trần Đại Nghĩa) Cho hàm số M ( x0 ; y0 ) với đường thẳng y= d : x + y = Giá trị AB x −1 ( x + 1) có đồ thị ( C ) Gọi điểm x0 > − điểm thuộc ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) A , B tam giác OAB x0 + y0 bao nhiêu? trục tung hai điểm phân biệt m≠ không phương với véc- Nhận xét Bài toán đặt dựa điều kiện tồn đường thẳng Câu (thỏa điều kiện điểm M cắt trục hồnh, có trọng tâm G nằm A B C D − − Lời giải Tác giả: Nguyễn Tấn Kiệt; Fb: Kiệt Nguyễn Chọn D y= Có x − ⇒ y′ = > 0, ∀x ≠ −1 2 ( x + 1) ( x + 1) Tiếp tuyến ( C) M ( x0 ; y0 ) điểm  x2  A  − + x0 + ;0 ÷ , Theo đề:  Vì G ∈ d : 4x + y = y= có phương trình: ( x0 + 1) ( x − x0 ) + x0 − ( x0 + 1) ( d)  x2 − 2x −   x2 x x2 − x −1  0 B  0; G− + + ; ÷ ÷  ( x + 1) ÷ suy  6 ( x + 1) ÷ 0      x02 x0  x02 − x0 −  − + + ÷ + =0 6 x + ( )   ta có:  x02 − x0 − =    ⇔ 1 =2 ⇔ x0 − x0 −  − + ÷= 2   ÷ x + x + ( ) ( )    ( ) ( 1) ( 2) ( 1) : x02 − x0 − = không xảy lúc A ≡ B ≡ O   x0 = − > −1 ( N ) ⇔ 1 = ( 2) :  x = − < −1 ( L ) ⇔ x + = ( ) 0 ( x0 + 1)  x0 = − ⇒ y0 = − ⇒ x0 + y0 = − Với 2 Mar.nang@gmail.com Câu [2D1-5.6-4] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d , có đồ thị (C ) (C ) cho tiếp tuyến (C ) M cắt (C ) điểm thứ hai N ; tiếp tuyến (C ) N cắt (C ) điểm thứ hai P Gọi S1 , S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng MN (C ) ; đường thẳng NP (C ) Mệnh đề M điểm thuộc ? A S1 = 8S2 B S2 = 8S1 C S2 = 16S1 D S1 = 16S2 Lời giải Tác giả:Phạm Hoàng Hải ; Fb: phamhoang.hai.900 Chọn C Giả sử M a > gọi m, n, p hoành độ điểm M , N , P với m < n Tiếp tuyến y = ex + f cắt (C ) điểm M , N có hồnh độ m, n điểm M điểm tiếp xúc Vì phương trình (ax3 + bx2 + cx + d ) − (ex + f ) = a( x − m) ( x − n) 2m + n = x1 = x2 = m; x3 = n Theo định lý vi-et ta có Với giả sử m< n⇒ m< NP Sử dụng tích phân S1 = S( MN ,(C )) = ∫ ( x − a) ( x − b)dx = a b − − 2m a ∫ m S = S( NP ,( C )) = b − −2m a ∫ b +4m a = ∫ m có −b −b −b  −b  b ⇔ p = − n = −  − 2m ÷ = + m < n a a a  a  a b b − −2m a −b b ⇔ n = − − 2m a a −b 3a Một cách tương tự cho tiếp tuyến 2n + p = có nghiệm −1 (a − b) 12 Diện tích mặt phẳng:  b  a ( x − m)  x + + 2m ÷dx = −  a  2 b   a  x + + 2m ÷ a   b   a  x + + 2m ÷ a   b − − 2m a ∫ m a b  b   a( x − m)  x + + 2m ÷ dx =  − − 3m ÷ 12  a  a   b    x − − 4m ÷dx a   b a  2b     x − − 4m ÷dx =  − − 6m ÷ a 12  a    ⇒ S2 = 16S1 *Lưu ý: Có thể chọn hàm bậc ba cụ thể với điểm M cụ thể để thử đáp án trắc nghiệm Câu [2D1-5.6-4] (Chuyên KHTN) Cho hàm số ( C) y = − x3 + x + x có đồ thị ( C ) Gọi A, B, C , D a , b, c , d ABCD hình thoi đồng thời hai tiếp tuyến A C song song với đường thẳng AC tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Tính tích abcd A 60 B 120 C 144 D 180 bốn điểm đồ thị với hoành độ cho tứ giác Lời giải Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn Chọn B Đặt A ( a; y ( a ) ) , B ( b; y ( b ) ) , C ( c; y ( c ) ) , D ( d ; y ( d ) ) Theo giả thiết y′ ( a ) = y′ ( c ) ⇔ − 3a + 6a + = − 3c + 6c + ⇔ a + c = (vì a ≠ c ) Do đường thẳng AC: AC cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân nên hệ số góc đường thẳng k = ± y ( c) − y ( a) − c3 + 3c + 9c + a − 3a − 9a k = 1⇒ = 1⇔ = ⇔ ac = − 10 TH1: c− a c− a ABCD Do uuur uuur  AB = DC  b − a = c − d ⇒ ⇔   AC ⊥ BD  y′BD = − Do thoi nên có b + d = a + c =  ⇒ bd = − 12  y ( d ) − y ( b) = −   d −b abcd = 120 [2D1-5.6-4] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) y = ( m + 1) x − ( 2m + 1) x − m + có đồ thị ( Cm ) , biết đồ thị ( Cm ) định ta k = − Lập luận tương tự ta thu abcd = 120 TH2: Câu hình A, B , C thẳng hàng Có số nguyên tuyến vng góc với đường thẳng chứa ba điểm 19 A m thuộc đoạn A, B , C ? B Cho hàm số qua ba điểm cố [ − 10;10] C để ( Cm ) có tiếp 20 D 10 Lời giải Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông Chọn C Gọi A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) Ta có: A điểm cố định mà đồ thị ( Cm ) qua nên A ∈ ( Cm ) , ∀ m ⇔ y A = ( m + 1) x3A − ( 2m + 1) x A − m + 1, ∀ m ⇔ m ( x3A − x A − 1) + x A3 − x A + − y A = 0, ∀ m  x3 − xA − = ⇔  3A ⇔ x − x + − y =  A A A  xA3 − xA − = ⇔  y = x − x − + x +  A A A A Tương tự ta chứng minh được: yB Hay ba điểm Ta lại có: Khi để A, B , C thuộc đường thẳng y′ = ( m + 1) x − ( 2m + 1) ( Cm ) phải có nghiệm = xB + gọi  xA3 − xA − =   y A = xA + yC = xC + ∆ : y = x+ M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ⇔ ( m + 1) x02 − 2m = ( *) ∆ phải có nghiệm phương trình y′ ( xo ) = −1 = −1 k∆ +) Xét +) Xét m = − 1: ( *) ⇔ = m ≠ −1: ( *) ⇔ x02 = (vơ lí) nên loại m = −1 2m ( m + 1) 2m ≥ ⇔ m ∈ ( −∞ ; − 1) ∪ [ 0; + ∞ ) Để ( *) có nghiệm ( m + 1) So với điều kiện Hay m ∈ [ − 10;10] ta m∈ ¢ m ∈ [ − 10 ; − 1) ∪ [ 0;10] m ∈ { − 10; − 9; − 8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 3; − 2;0;1;2;3;4;5;6;7; 8;9;10} Vậy có Câu m∈ ¢ 20 số m thỏa yêu cầu toán [2D1-5.6-4] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) Cho đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x Có số nguyên b∈ ( − 10;10 ) qua điểm B ( 0; b ) ? A B để có tiếp tuyến C 17 ( C) D 16 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hữu Nam; Fb: Nam Nguyen Huu Chọn C Gọi M ( x0 ; x03 − 3x02 ) Tiếp tuyến ∆ qua ∆ tiếp điểm (C ) M có dạng y = ( 3x02 − x0 ) ( x − x0 ) + x03 − 3x02 B(0; b) ⇔ b = ( 3x02 − x0 ) ( − x0 ) + x03 − 3x02 ⇔ − b = x03 − 3x02 (*) Có tiếp tuyến ( C) qua điểm B ( 0; b ) ⇔ (*) có nghiệm x0 x = g′ ( x) = ⇔  Đặt g ( x ) = x − 3x ; g′ ( x ) = x − x ; x = Ta có bảng biến thiên hàm g ( x) −b > ⇔ ⇔ Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình ( *) có nghiệm −b < −1 Vì b nguyên b < b >  b∈ ( − 10;10 ) , suy b∈ { − 9; − 8; ; − 1;2;3; ;9} , có 17 giá trị b Câu 10 [2D1-5.6-4] (Chuyên KHTN) Gọi (C ) Gọi d1 , d A đồ thị hàm số y = x2 + 2x + đường thẳng qua M cho đối xừng qua tiếp tuyến qua điểm (C ) điểm M di chuyển d1 song song với trục tung d1 , d (C ) M Biết M di chuyển (C ) d I (a; b) cố định Đẳng thức sau ? 3a + 2b = B D a+ b = C ab = − 5a + 4b = Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hạnh ; Fb: Hạnh nguyễn Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb:Điệp Nguyễn Chọn D +) Gọi Do M ( x0 ; y0 ) M ∈ (C ) ⇒ y0 = x02 + x0 + Hệ số góc tiếp tuyến d +) TH1: (C ) M f ′( x0 ) = 2( x0 + 1) x0 > − Hệ số góc d k = tan α cot γ −  µα + 2$ γ = 90 ⇒ tan α = cot 2γ = tan β −  cot γ  ⇒ tan α = tan β  Ta có βµ + γ$ = 90 ⇒ tan β = cot γ  Mà hệ số góc tiếp tuyến d Khi k = tan α = (C ) M tan β ⇒ tan β = 2( x0 + 1) [2( x0 + 1)]2 − 4( x0 + 1) − = 4( x0 + 1) 4( x0 + 1) 4( x0 + 1)2 − y= ( x − x0 ) + x02 + x0 + d 4( x0 + 1) Phương trình đường thẳng là: Thay x = - vào d2 ta 4( x0 + 1)2 − − 4( x0 + 1) + y= (− − x0 ) + x0 + x0 + = + x0 + x0 + = 4( x0 + 1) 4 với ∀ x > − I ( − 1; ) Vậy d qua điểm cố định +) TH2: x0 < − Hệ số góc d k = tan α Ta có: cot φ − 1 αµ + γ$ = 900 ⇒ αµ + (1800 − 2φ$) = 900 ⇒ 2φ$ − αµ = 900 ⇒ tan α = − cot 2φ = −  2cot φ   βµ + φ$ = 900 ⇒ tan β = cot φ  tan β − ⇒ tan α = − tan β Mà hệ số góc tiếp tuyến d (C ) M − tan β ⇒ tan β = − 2( x0 + 1) [-2( x0 + 1)]2 − 4( x0 + 1) − k = tan α = − = − 4( x0 + 1) 4( x0 + 1) Khi 4( x0 + 1)2 − y= ( x − x0 ) + x02 + x0 + 4( x0 + 1) Phương trình đường thẳng d là: Thay x = - vào d2 ta 4( x0 + 1)2 − − 4( x0 + 1) + y= (− − x0 ) + x0 + x0 + = + x0 + x0 + = 4( x0 + 1) 4 với ∀ x > − I (−1; ) Vậy d ln qua điểm +) TH3: Khi x0 = − M (− 1;1) ; d1 qua M song song với trục tung nên có phương trình là: x = − Tiếp tuyến d Mà cố định d1 , d (C ) M có phương trình: y = đối xứng qua tiếp tuyến d (C ) M I ( − 1; ) Vậy d qua điểm cố định d2 qua M nên d trùng d1 ... Do phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm có hồnh độ y = 16 ( x − ) + 12 ⇔ y = 16 x − 20 Câu ( C ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi đường thẳng ∆ tiếp tuyến đồ thị. .. − 2m tiếp tuyến đồ thị k=− Thay đường thẳng qua ( C) ( x − 1) M kẻ vào hai có hệ số góc k , phương trình x+3  x − = k ( x − m ) + − 2m   − =k x −  ) hệ phương trình  ( có nghiệm phương. .. [2D1-5.6-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hàm đa thức bậc bốn A B y = f ( x) x = C có đồ thị D Lời giải Tác giả: Lê Vũ Hải; Fb: Vũ Hải Lê Chọn B Ta có tiếp tuyến ∆ ( C) Dựa vào đồ thị hàm số x = y = f ′ ( 1)