Bài tập về VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đƣờng cong:Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểmPhương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x0). (x – x0) + y01.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếptuyến duy nhất nhận M(x0; y0) làm tiếp điểm).Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C)(hoặc tại h x = x0 ) có dạng: y =f’(x0).(x – x0) + y0.2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (xA, yA) cho trước, kể cả điểmthuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(xA, yA)).Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f’(x).(x – x0) + y0 (d).Điểm A(xA, yA) ∈ d, ta được: yA = f’(x0). (xA – x0) + y0 => x0

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:

Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + y0

1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M(x0; y0) làm tiếp điểm)

Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C)

(hoặc tại h x = x0 ) có dạng: y =f’(x0).(x – x0) + y0

2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (xA, yA) cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(xA, yA))

Cho hàm số (C): y = f(x) Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y

= f’(x).(x – x0) + y0 (d)

Điểm A(xA, yA) ∈ d, ta được: yA = f’(x0) (xA – x0) + y0 => x0

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d

3 Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k

Cho hàm số (C): y = f(x) Giả sử tiếp điểm là M(x0;y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f’(x0).(x – x0) + y0

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:

f’(x0) = k => x0, thay vào hàm số ta được y0 = f(x0)

Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f’(x0) (x – x0) + y0

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) có hệ số góc k có dạng;

d:y = g’(x) = k.(x – x0) + y0

Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm: { ( ) ( )

( ) ( )

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d

II Bài tập

Loại 1: Cho hàm số y =f(x) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C)

Giải

Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*)

Với x0 là hoành độ tiếp điểm;

Với y0 = f(x0) là tung độ tiếp điểm;

Với k = y’(x0) = f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến

Để viết được phương trình tiếp tuyến ta phải xác định được x0; y0 và k

MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) ∈ (C)

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc

- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0

-Giải phương trình y0 = f(x0) để tìm x0

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến

Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’(x0) = f’(x0)

-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’(x0) = f’(x0) để tìm x0

- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến

Chú ý: Một số dạng khác

-Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :

y = ax + b thì điều này ⇔ y’(x0) a = -1 ⇔ y’(x0) = … Quay về dạng 4

- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = ax + b thì điều này ⇔ y’(x0) = a… Quay về dạng 4

- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng… Quay về dạng 1

Chú ý:

Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 với a1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2 với a2

là hệ số góc của đường thẳng d2

+Nếu d1 ⊥ d2 ⇔ a1.a2 = -1

+Nếu d1 // d2 ⇔ {

-Nếu đường thẳng cho ở dạng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0) thì có hệ số góc là

-Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ = 1

Giải

Gọi M0(x0;y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*)

Đạo hàm y’(x0) = 2x03 – 6x0

Theo giả thiết x0 = 1 => y(1) = 0 và k = y’(1) = -4 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là

y = -4 (x – 1) = -4x + 4

Ví dụ 2: Cho hàm số: ( ) ( ) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có hoành độ x0, với f’’(x0) = 6

Giải

Gọi M0(x0; y0) ∈ (C)

Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*)

Tính f’(x0) = -x02 + 4x0 - 3; f’’(x0) = -2x0 + 4

Theo giả thiết f’’(x0) = 6 ⇔ -2x0 + 4 = 6 ⇔x0 = -1 =>y0 (-1) =

k=f’(x0) = f’(-1) = - (-1)2

+ 4 (-1) – 3 = - 8 Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm là

( ) ⇔

Ví dụ 3: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng

Giải

Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*)

Theo giả thiết:

⇔

Tính y’(x0) =

Với x0 = 2 => k = y’(2) = -12 và y0 = thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:

( )

Với x0 = -2 => k = y’(-2) = 12 và y0 = thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:

( )

Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc bằng 2

Giải

Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*)

Đạo hàm ( ) ( )

Theo giả thiết:

k=y’(x0) = 2 ⇔( ) ⇔ ( ) ⇔ ⇔ [

Với x0 = 0 => y0 = -1 và k = 2 Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:

y = 2(x – 0) – 1 = 2x -1

Với x0 = -2 => y0 = 3 và k = 2 Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:

y = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7

Ví dụ 5: Cho hàm số: y = x3

– 3x2 + 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 3x

Giải

Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*)

Tiếp tuyến song song với ∆: y = 3x nên có hệ số góc k = f’(x0) = 3

Do đó: ⇔ ⇔ [

Với x0 = 0 thì y0 = 03 – 3 02 + 3 0 = 0

Và f’(x0) = 3 nên pttt là: y – 0 = 3(x – 0) ⇔ y = 3x (loại vì trùng với ∆)

Với x0 = 2 thì y0 = 23 – 3 22 + 3 2 = 2 và f’(x0) = 3 nên phương trình tiếp tuyến là:

y – 2 = 3(x – 2) ⇔ y =3x – 4

Vậy có một tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: y = 3x – 4

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x4 – 2x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

Giải

Giao điểm của đồ thị (C) với trục Ox là ⇔ [

√ Với x0 = 0 thì y0 = 0 và k = 0 suy ra phương trình tiếp tuyến là y = 0

Với x0 = √ thì y0 = -4 và √ suy ra phương trình tiếp tuyến là √

Với x0 = √ thì y0 = -4 và √ suy ra phương trình tiếp tuyến là √

Vậy có 3 tiếp tuyến là y = 0; √ √

Ví dụ 7: Cho hàm số y = -x4

– x2 + 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Giải

Tiếp tuyến ∆ vuông góc d: =>Phương trình tiếp tuyến ∆: y = -6x + b

∆ tiếp xúc (C) ⇔ hệ số có nghiệm: {

⇔ { Vậy ∆ vuông góc d: => Phương trình ∆: y = -6x + b

∆ tiếp xúc (C) ⇔hệ sau có nghiệm: {

⇔ { Vậy ∆: y = -6x + 10

Hoặc:

Hệ số góc của tiếp tuyến là y’ = -4x3 – 2x Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

⇔( ) ⇔ ( )( ) ⇔ ( )

Vậy ∆: y = -6(x – 1) + 4 = -16 + 10

Loại 2: Tiếp tuyến đi qua một điểm

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số: y = 2x3

– 3x2 + 5 (C) Tìm phương trình các đường thẳng qua ( ) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số

Giải

Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) ⇔ y0 = 2x03 – 3x02 + 5

Ta có: y’ = 6x2

– 6x =>y’(x0) = 6x02 – 6x0

Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có dạng: y – y0 = y’(x0)(x – x0)

⇔ ( ) ( )( )

⇔ ( )

A ∈ ∆⇔ ( )

⇔ ⇔

Vậy có 3 tiếp tuyến thỏa mãn là y = 4 hoặc y = 12x – 15 hoặc

Ví dụ 2: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; - 9) Giải Tiếp tuyến qua M(-1;-9) có dạng ∆: y = k(x + 1) – 9 Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến ⇔{ ( )

⇔ ( )( )

⇔ ( )( ) ⇔ ( )( )

⇔*

⇔ * ⇔ [

Khi đó: ( ) ( )

Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hoặc hay

Loại 3: Một số dạng khác về viết phương trình tiếp tuyến

VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1: Cho hàm số ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Giải

Giả sử ( ) ∈ ( ) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: ( ) ( )

⇔ ( ) ( )

Ta có ( )

√ ( ) Đặt

Xét hàm số ( ) √ ( )

Ta có ( ) ( )( )( ( )√ )

f’(t)=0 khi t =1

Bảng biến thiên, từ bảng biến thiên ta có d(I; tt) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay

⇔ [

Với x0 = 0 ta có y = -x

Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x + 4

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng √

Giải

Tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;f(x0)) ∈ (C) có phương trình

y=f’(x0)(x – x0) + f(x0) ⇔ x + (x0 – 1)2y – 2x02 + 2x0 – 1 = 0 (*)

Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng √

⇔√ ( ) √ ⇔ [

Các tiếp tuyến cần tìm: x + y – 1= 0 hoặc x + y – 5 = 0

Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại A sao cho OA = 1

Giải

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C) có dạng:

( )( ) ( ) ⇔ ( ) ( )

⇔ ( ) ( ) với x0 ≠ 1

Tiếp tuyến (*) cắt trục Ox tại điểm ( )

Ta có ⇔ ⇔ (loại),

Vậy các tiếp tuyến cần tìm là: x + 2y +1 = 0 hoặc x + 8y – 1 = 0

Ví dụ 4: Cho hàm số ( ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng

Giải

Giả sử M0(x0; y0) ∈ (C) với và ( ) ( )

Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng d: ( ) ( )

Tọa độ điểm A = d ∩ Ox là nghiệm của hệ

{ ( ) ( )

⇔ {

( ) Tọa độ điểm B = d ∩ Oy là nghiệm của hệ:

{ ( ) ( )

⇔ {

( ) ( ( ) ) Theo giả thiết

⇔ ⇔ ( ) ⇔ ( )

⇔[

⇔ [

Với ( )

Với ( )

Ví dụ 5: Cho hàm số ( ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Giải Cách 1:

Giả sử M0(x0; y0) ∈ (C) với và ( ) ( )

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 có dạng:

( ) ( )

Tọa độ điểm A = d∩ Ox là nghiệm của hệ {

( ) ( )

⇔ {

=> ( )

Tọa độ diểm B = d ∩ Ox là nghiệm của hệ {

( ) ( )

⇔ {

( )

=> ( ( ) )

Theo giả thiết tam giác OAB vuông cân tại O nên OA = OB ⇔ ( )

⇔( ) ⇔ [ ⇔ [

Với =>Phương trình tiếp tuyến là y = -x (loại) Với =>Phương trình tiếp tuyến là y = -x – 2 Cách 2: Vì tam giác OAB vuông cân tại O nên tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C) phải song song với hai đường phân giác ⇔( ) ⇔ ( )

⇔[ ⇔ [

Với => Phương trình tiếp tuyến là y = -x (loại)

Với => Phương trình tiếp tuyến là y = -x – 2

Ví dụ 6: Cho hàm số ( ) Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0

Giải

Gọi ( ) ∈ ( ) là điểm cần tìm Gọi ∆ tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình:

∆:y = f’(x0)(x – x0) + ( ) => ( ) ( ) ( )

Gọi A = ∆ ∩ Ox => ( ); B = ∆ ∩ Oy => ( )

Khi đó tam giác tạo với hai trục tọa độ ∆AOB có trọng tâm là: ( ( ) )

Do G ∈ đường thẳng: 4x + y = 0

⇔ ( )

⇔

( ) (vì A, B ≠ 0 nên )

⇔ [

Với ( )

Với ( )

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ̂ bằng

√ , với I là giao 2 tiệm cận của (C)

Giải

Gọi ( ) ∈ ( )

Phương trình tiếp tuyến tại M: ( ) ( ) (∆)

Tọa độ ( ) ( ) , tọa độ B(2x0 -2; 2) = (C) ∩ TCN

Do os ̂ √ nên t n ̂ √ ̂

Ta được: ⇔ ( ) ⇔

Vậy: Tại ( ) phương trình tiếp tuyến:

Tại ( ) phương trình tiếp tuyến:

Bài 2: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rẳng khoảng cách

từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Giải

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ≠ -2 thuộc đồ thị (C) có phương trình:

( ) ( ) ⇔ ( )

Tâm đối xứng I(-2; 2)

Ta có ( ) √ ( )

√ ( )

√ √

=>d(I,d)max ⇔ ( ) ⇔ *

Từ đó suy r ó h i tiếp tuyến y x và y x

Bài 3: Cho hàm số ( ) Viết phương tình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến với 2 tiệm cận một tam giác vuông cân

Giải

Tiếp tuyến luôn tạo với 2 tiệm cận một tam giác vuông tại I, để tam giác đó cân, tiếp tuyến phải vuông góc với đường phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận

Phương trình đường phân giác đó lần lượt là y = x + 2 và y = - x

Không có tiếp tuyến nào vuông góc với đường thẳng y = x + 2

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -x có hệ số góc thỏa mãn:

( ) ⇔ ( ) ⇔ *

Với x = 0 thì tiếp tuyến có phương trình: y = x

Với x = -4 thì tiếp tuyến có phương trình y = x + 8

Vậy: y = x hoặc y = x +8 là tiếp tuyến thỏa mãn

Bài 4: Cho hàm số y = x4

– 4x2 + 3 (C) Gọi (C1) là đồ thị đối xứng của đồ thị qua điểm ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C1) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 16x + y – 2 = 0

Giải

Giả sử M(x1, x2) ∈ (C1), N(x2; y2) ∈ (C2) là điểm đối xứng nh u qu A khi đó t ó

{ =>M(1-x2; 4 – y2)

Vì M ∈ (C) nên t ó – y2 = (1 – y2)4 – 4 (1- x2)2 + 3

Vậy (C1) ó phương trình y f(x) -x4 + 4x3 – 2x2 – 4x + 4

T ó f’(x) -4x3 + 12x2 – 4x – 4

Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0; y0) ó dạng y f’(x0)(x – x0) + y0

Vì tiếp tuyến song song với d nên

f’(x0) = - ⇔ - 4x3 + 12x2 – 4x – 4 = - ⇔ x0 = 3

Suy r phương trình tiếp tuyến cần tìm là y -16x + 49

Bài 5: Cho hàm số y = x3

- 3x2 + 2 có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thỏa mãn OB = 9OA

Giải

Gọi tọa độ điểm M(x0; f(x0)) là tọa độ của tiếp điểm

Theo giả thiết OB = 9OA suy ra hệ sô góc của tiếp tuyến bằng 9 hoặc -9

[ ( )

( ) ⇔ [

⇔ [

( )

( ) Phương trình (2) vô nghiệm

Phương trình (1) suy ra x0 = -1, x0 = 3

Với x0 = -1 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 9x + 7

Với x0 = 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 9x – 25