ÔN HSG Phương trình liên quan đồ thị hàm số P2-2

PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐỒ THỊ HÀM SỐ P2... Tìm số phần tử của tập S... Tổng các phần tử của S bằng... Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2... Hỏi có bao nhiêu giá

PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐỒ THỊ HÀM SỐ P2

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( ) 2 1

0 8

Câu 4: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ

Phương trình f ( 2 − f x ( ) ) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Câu 5: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi m là số nghiệm của phương trình f f x ( ) ( ) = 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 6: [2D1-5.2-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp

tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f f x ( ) ( ) = m có nghiệm thuộckhoảng ( − 1;0 ) Tìm số phần tử của tập S.

Câu 9: [2D1-5.4-3] Cho hàm số y f x = ( ) = − x3 3 x x2+ − 2 Gọi m là số nghiệm thực của phương

trình f f x ( ( ) ) + = − 3 1 f x ( ) Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 10: [2D1-5.1-3] Cho hàm số u x ( ) liên tục trên đoạn [0; 5] và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 x + 10 2 − = x mu x ( ) có nghiệm trên đoạn [0; 5]?

Câu 11: [0D3-4.6-4] Phương trình 2 f x − ( ) ( ) = f x có tập nghiệm là T1 = { 20;18;3 } Phương trình

2 g x − + 1 3 g x − = 2 2 g x có tập nghiệm T2 = { 0;3;15;19 } Hỏi tập nghiệm củaphương trình f x g x ( ) ( ) + = 1 f x ( ) + g x ( ) có bao nhiêu phần tử?

Câu 12: [2D1-5.4-4] Cho hàm số y f x = ( ) =ax4+ b x3+ c x2+ + d e x trong đó a b c d e , , , , là các hệ số

thực có đồ thị như hình vẽ sau đây

Số nghiệm của phương trình f ( f x ( ) ) + f x ( ) + 2 f x ( ) − = 1 0 là

Câu 13: [2D1-5.3-4] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số f x ′ ( ) như hình vẽ.

0 0

1 0

2 0

g g g

g g

1 0

g g

0 0

1 0

2 0

g g g

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 f ( 9 − x2) = − m 2019 cónghiệm?

Tập nghiệm của phương trình f x g x ( ) ( ) = có số phần tử là

Câu 18: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f x ( 2 3− + = 6 x 2 ) m có 6 nghiệm phân biệt thuộc

đoạn [ ] − 1;2 ?

Câu 19: [2D1-5.9-4] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x ( ) 3 = + x m cónghiệm thuộc nửa khoảng ( 0;1 ] Tổng các phần tử của S bằng

Câu 20: [2D1-5.9-4] Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( ) sin x = 2sin x m +

có nghiệm trong khoảng ( ) 0; π Tính tổng các giá trị của S .

Câu 21: [2D1-5.6-4] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f   − f x2( ) + 2 f x ( ) + = 1   m ( ) 1

có 12 nghiệm thực phân biệt?

Câu 22: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) xác định, liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 3 4 6 9 f ( − x − x2) = − m 3 có nghiệm?

Câu 23: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình f ( 4 − x2) = m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m thuộc tập nào sauđây?

A m ∈ − − ( 3; 1 ). B m ∈ − − ∪ [ 3; 1 ] { } 1 . C m ∈ − { } 3;1 . D m ∈ − ∪ − ( ) { } 1;1 3 .

Câu 24: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( 3cos 1 )

Câu 25: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 4 x x − − =2 1 ) m có nghiệm là

A [ ] − 2;0 . B [ − − 4; 2 ] . C [ ] − 4;0 . D [ ] − 1;1 .

Câu 26: [2D1-3.4-3] Cho hàm số f x ax bx cx m ( ) = 4+ + +3 có đạo hàm trên ¡ , đồ thị hàm số

( )

y f x = ′ như trong hình vẽ bên

Hỏi phương trình f x m ( ) = có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Câu 27: [2D1-1.8-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình f (2cos 1) x − = m có

nghiệm thuộc khoảng ;

Câu 28: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) là một hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f e ( )x2 = m có ba nghiệm phân

Câu 30: [2D1-5.3-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3m + 33 m + 3sin x = sin x có nghiệm thực?

BẢNG ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: [2D1-5.4-4] Cho hàm số y f x ax bx cx dx m = ( ) = 4+ + + +3 2 với ( a b c d m , , , , ∈ ¡ ) Hàm số

Phương trình f x m ( ) = 4 13 3 2

15 3

x x x

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Câu 2: [2D1-5.5-4] Cho hàm số y f x mx nx px qx r = ( ) = 4+ 3+ 2+ + trong đó m n p q r , , , , ∈ ¡ Biết

Hàm số y f x mx nx px qx r = ( ) = 4+ 3+ 2+ + ⇒ = y f x ′ ′ ( ) = 4 mx3+ 3 nx2+ 2 px q + ( ) 1 .

Từ đồ thị hàm số y f x = ′ ( ) ta có:

52

Như vậy tổng bình phương tất cả các nghiệm của f x r ( ) = bằng 14.

Câu 3: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ.

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( ) 2 1

0 8

Ta có mỗi t > 0 cho duy nhất một giá trị x = lnt

Phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình ( ) 1 có hai nghiệm dương phân biệt

⇔ Đường thẳng

2 1 8

⇒ m ∈ − − { 2; 1;0;1;2 } ⇒ Có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu 4: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình f ( 2 − f x ( ) ) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Lời giải Chọn A

4

21

Vậy phương trình f ( 2 − f x ( ) ) = 1 có ba nghiệm phân biệt

Câu 5: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi m là số nghiệm của phương trình f f x ( ) ( ) = 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải Chọn B

Đặt f x u ( ) = khi đó phương trình f f x ( ) ( ) = 1trở thành f u ( ) ( ) = 1 1 .

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f u = ( ) và đường thẳng y = 1

Dựa vào đồ thị ta có 3 nghiệm giả sử u1∈ − ( ) 1;0 , u2∈ ( ) 0;1 , 3

5

;3 2

∈   ÷ .

Xét số giao điểm của đồ thị hàm số f x ( ) với từng đường thẳng y u = 1, y u = 2, y u = 3

Dựa vào đồ thị ta có:

Phương trình f x u ( ) = 1, với u1∈ − ( ) 1;0 cho 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình f x u ( ) = 2, với u2∈ ( ) 0;1 cho 3 nghiệm phân biệt

Phương trình f x u ( ) = 3, với 3

5

;3 2

∈  ÷  cho 1 nghiệm duy nhất.

Suy ra phương trình ban đầu f f x ( ) ( ) = 1 có 7 nghiệm

Câu 6: [2D1-5.2-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp

tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f f x ( ) ( ) = m có nghiệm thuộc

khoảng ( − 1;0 ) Tìm số phần tử của tập S.

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy x ∈ − ( ) 1;0 thì f x ( ) ( ) ∈ − 1;1

Đặt u f x = ( ) , khi đó phương trình f f x ( ) ( ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( − 1;0 ) khi phươngtrình f u m ( ) = có nghiệm thuộc khoảng ( ) − 1;1 ⇔ ∈ − m ( ) 3;1 , m nguyên nên m ∈ − − { 2; 1;0 }Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu 7: [2D1-5.3-4] Cho hàm số f x x ( ) = −3 3 x2+ 1 Số nghiệm của phương trình

( ) 2 4 ( ) 1

f f x   + + =   f x + là

Lời giải Chọn B

t t t

Vây phương trình ban đầu có 6 nghiệm phân biệt.

Câu 8: [2D1-5.3-4] Cho hàm số f x ( ) = − x3 3 x2 − + 6 1 x Số nghiệm phân biệt của phương trình

( ) 1 1 ( ) 2

f f x   + + =   f x + là

Lời giải Chọn B

+ Hàm số f x ( ) có yCD∈ ( ) 3;4 , yCT∈ − − ( 18; 17 ) .

+ Đặt t f x = ( ) + ∈ 1, t ¡ , ta được phương trình

( ) ( )

Suy ra phương trình f x t ( ) = −2 1 có 3 nghiệm phân biệt.

+ Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Câu 9: [2D1-5.4-3] Cho hàm số y f x = ( ) = − x3 3 x x2+ − 2 Gọi m là số nghiệm thực của phương

trình f f x ( ( ) ) + = − 3 1 f x ( ) Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải Chọn A

Câu 10: [2D1-5.1-3] Cho hàm số u x ( ) liên tục trên đoạn [0; 5] và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Theo bảng biến thiên ta có trên [ ] 0;5 thì 1 ≤ u x ( ) ≤ 4 1 ( )

Do đó

( ) ( )

10

5 4

f x

u x

với mọi x ∈ [ ] 0;5 Phương trình 3 x + 10 2 − = x m u x ( ) có nghiệm trên đoạn [ ] 0;5

Điều kiện:

( ) ( )

1.2

1 1

20;18;3 0;3;15;19

Câu 12: [2D1-5.4-4] Cho hàm số y f x = ( ) =ax4+ b x3+ c x2+ + d e x trong đó a b c d e , , , , là các hệ số

thực có đồ thị như hình vẽ sau đây

Số nghiệm của phương trình f ( f x ( ) ) + f x ( ) + 2 f x ( ) − = 1 0 là

Lời giải Chọn B

*) Phân tích: Đây là bài toán tương giao dựa vào đồ thị.

-Phương pháp chung giải bài tập loại này là ta thường biến đổi phương trình đưa về dạng( )

f x m = , ( m ∈ ¡ ) .

- Ta thấy vế trái của phương trình có chứa f x f ( ) , ( ) f x ( ) , do đó để biến đổi phương trình

về dạng f x m ( ) = ta cần đặt ẩn phụ t = f x ( ) .

-Ngoài ra ta có thể tìm hàm số f x ax bx cx dx e ( ) = 4+ 3+ 2+ + có đồ thị như giả thiết.

Sau đây tôi xin trình bày 2 cách

Cách 1: Biến đổi phương trình.

Ta có đồ thị hàm số y f t = ( ) và y = − − + t2 2 1 t như hình vẽ bên dưới

Trên đoạn [ ] 0;1 đồ thị hàm số y f t = ( ) và đồ thị hàm số y g t = ( ) = − − + t2 2 1 t cắt nhau tạimột điểm duy nhất

Do đó phương trình (1) có duy nhất nghiệm ,t = m ∈ ( ) 0;1 , với m ∈ ( ) 0;1 .

Hay phương trình tương đương với f x m ( ) = , .

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Lưu ý: Việc tìm ra nghiệm thuộc [ ] 0;1 của phương trình h t ( ) = 0có thể dùng MTCT với chức

năng MODE 7

Câu 13: [2D1-5.3-4] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số f x ′ ( ) như hình vẽ.

0 0

1 0

2 0

g g g

g g

1 0

g g

0 0

1 0

2 0

g g g

Ta có:

( )

0 1

1 0

g g

Theo đồ thị ta có phương trình − = x ax bx cx2 3+ 2+ − 2 có ba nghiệm − − 2, 1,1

Với x = − 2 ta có: − + − = − 8 4 2 a b c 2.

Với x = − 1 ta có: − + − = a b c 1

Với x = 1 ta có: a b c + + = 1

Suy ra: a = 1, b = 1, c = − 1 nên P = 3

Câu 15: [2D1-5.3-4] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 f ( 9 − x2) = − m 2019 có

nghiệm?

Lời giải Chọn A

b b

Tập nghiệm của phương trình f x ( ) ( ) = g x có số phần tử là

Lời giải Chọn B

Phương trình

3 8 2

2 8 0 3

x − x − + = x có đúng một nghiệm thực khác 0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt

Câu 18: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f x ( 2 3− + = 6 x 2 ) m có 6 nghiệm phân biệt thuộc

đoạn [ ] − 1;2 ?

Lời giải Chọn A

Xét hàm số g x ( ) = 2 x3− + 6 2 x trên đoạn [ ] − 1;2 , ta có bảng biến thiên như sau.

Với nhận xét trên và đồ thị hàm số trên đoạn [ ] − 2;6 thì phương trình f x ( 2 3− + = 6 x 2 ) m có 6

nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ ] − 1;2 khi và chỉ khi phương trình f t m ( ) = có 3 nghiệm phân biệt trên nửa khoảng ( − 2;6 ] .

Suy ra 0 < < m 2.Vậy một giá trị nguyên m = 1 thỏa mãn

Câu 19: [2D1-5.9-4] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x ( ) 3 = + x m cónghiệm thuộc nửa khoảng ( 0;1 ] Tổng các phần tử của S bằng

Lời giải Chọn B

Nghiệm của phương trình f x ( ) 3 = + x m là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x = ( ) vàđường thẳng d y : = + 3 x m trên ( 0;1 ].

Gọi ∆ = −1: y 3 4 x là đường thẳng qua điểm ( ) 1; 1 − và ∆2: y = + 3 1 x là đường thẳng qua điểm( ) 0;1 .

Đồ thị hàm số y f x = ( ) trên ( 0;1 ] là phần đường cong nằm giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.Phương trình phương trình f x ( ) 3 = + x m có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1 ] khi và chỉ khi d daođộng trong miền giới hạn bởi ∆1 và ∆2 (không trùng với ∆2) ⇔ − ≤ < 4 m 1

Vì nên S = − − − − { 4; 3; 2; 1;0 } Tổng các phần tử của S bằng − 10

Câu 20: [2D1-5.9-4] Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( ) sin x = 2sin x m + cónghiệm trong khoảng ( ) 0; π Tính tổng các giá trị của S.

Lời giải Chọn D

Đặt t = sin x, x ∈ ( ) 0; π ⇔ ∈ t ( 0;1 ]

Phương trình f ( ) sin x = 2sin x m + có nghiệm thuộc khoảng ( ) 0; π khi và chỉ khi phương

trình f t ( ) = + 2 t m có nghiệm thuộc ( 0;1 ] khi và chỉ khi đồ thị hàm số y f x = ( ) và đường thẳng d y : = + 2 x m có điểm chung với hoành độ x ∈ ( 0;1 ]

Vậy phương trình f t ( ) = + 2 t m có nghiệm thuộc nửa khoảng ( 0;1 ] khi và chỉ khi d dao độngtrong miền giới hạn bởi ∆1 và ∆2 (không trùng với ∆2) khi và chỉ khi

3 m 1 m 3; 2; 1;0

− ≤ < ⇔ ∈ − − − .

Vậy tổng các giá trị của S bằng − 6.

Câu 21: [2D1-5.6-4] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f   − f x2( ) + 2 f x ( ) + = 1   m ( ) 1

có 12 nghiệm thực phân biệt?

Lời giải Chọn C

Đặt t f x = ( ) , u = − + + t2 2 1 t Ta có đồ thị của hàm số u = − + + t2 2 1 t như sau

Từ hai đồ thị ta xét các trường hợp sau:

TH1 : m ∈ −∞ − ∪ + ∞ ( ; 3 ) ( 1; ) .

Phương trình f u m ( ) = ⇔ = u a Khi đó phương trình − + + = t2 2 1 t a có nhiều nhất hai

nghiệm t, với mỗi t phương trình f x t ( ) = có nhiều nhất ba nghiệm x suy ra ( ) 1 có nhiều

nhất sáu nghiệm (loại)

TH2: m = − 3

( )

( ) ( ) ( )

1 1

0 0 0 0

1 21

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu là − 2, − 1, 0

Câu 22: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) xác định, liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 3 4 6 f ( − x − 9 x2) = − m 3 có nghiệm?

Chọn A

+) Điều kiện:

2 0;

+) Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f t = ( ) và đường thẳng

3 :

+) Vậy có 13giá trị mcần tìm.

Câu 23: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Phương trình f ( 4 − x2) = m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m thuộc tập nào sauđây?

A m ∈ − − ( 3; 1 ) B m ∈ − − ∪ [ 3; 1 ] { } 1 C m ∈ − { } 3;1 D m ∈ − ( ) { } 1;1 ∪ − 3

Lời giải Chọn D

Đặt t = − 4 x2 với 0 ≤ ≤ t 2

Ta dễ thấy với t = 2 thì ta được một giá trị của x, với mỗi t mà 0 ≤ < t 2 thì ta được hai giá trịcủa x Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm x thì phương trình f t m ( ) = phải có đúngmột nghiệm t mà 0 ≤ < t 2, điều này tương đương với đường thẳng y m = cắt đồ thị hàm số( )

y f t = tại đúng một điểm thuộc nửa khoảng [ 0;2 ) (đồ thị hàm số y f t = ( ) trên đoạn [ ] 0;2

giống như đồ thị hàm số y f x = ( ) trên đoạn [ ] 0;2 ).

Căn cứ đồ thị ta được các giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán là m ∈ − ( ) { } 1;1 ∪ − 3

Câu 24: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( 3cos 1 )

A 8 B 6 C 7 D 9.

Lời giải Chọn D

Đặt t = 3cos 1 x + ta được phương trình ( ) ( ) *

2

m

f t = − .

Khi x ∈ [ 0;2 π ] thì t ∈ − [ ] 2;4 , dựa vào bảng biến thiên ta được f t ( ) ∈ − [ ] 1;3

Vậy phương trình ( ) * có nghiệm khi và chỉ khi − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ 1 m 2 3 6 m 2.

Do m nguyên nên có tất cả 9 giá trị

Câu 25: [2D1-5.3-3] Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 4 x x − − =2 1 ) m có nghiệm là

Dựa vào đồ thị hàm số ta có phương trình f t m ( ) = có nghiệm t ∈ − [ ] 1;1 ⇔ ∈ − m [ ] 4;0 .

Câu 26: [2D1-3.4-3] Cho hàm số f x ax bx cx m ( ) = 4+ 3+ + có đạo hàm trên ¡ , đồ thị hàm số

( )

y f x = ′ như trong hình vẽ bên